蘇教版高二數(shù)學寒假講義第04講直線的斜率與傾斜角（四大題型）（2份，原卷版+解析版）-試卷下載-教習網(wǎng)

題型一：直線的傾斜角與斜率定義
題型二：斜率與傾斜角的變化關系
題型三：已知兩點求斜率、已知斜率求參數(shù)
題型四：直線與線段相交關系求斜率范圍
【知識點梳理】
知識點一：直線的傾斜角
平面直角坐標系中，對于一條與軸相交的直線，如果把軸繞著交點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到和直線重合時所轉(zhuǎn)的最小正角記為，則叫做直線的傾斜角．
規(guī)定：當直線和軸平行或重合時，直線傾斜角為，所以，傾斜角的范圍是．
知識點詮釋：
1、要清楚定義中含有的三個條件
①直線向上方向；
②軸正向；
③小于的角．
2、從運動變化觀點來看，直線的傾斜角是由軸按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到與直線重合時所成的角．
3、傾斜角的范圍是．當時，直線與x軸平行或與x軸重合．
4、直線的傾斜角描述了直線的傾斜程度，每一條直線都有唯一的傾斜角和它對應．
5、已知直線的傾斜角不能確定直線的位置，但是，直線上的一點和這條直線的傾斜角可以唯一確定直線的位置．
知識點二：直線的斜率
1、定義：
傾斜角不是的直線，它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率，常用表示，即．
知識點詮釋：
（1）當直線與x軸平行或重合時，，；
（2）直線與x軸垂直時，，k不存在．
由此可知，一條直線的傾斜角一定存在，但是斜率k不一定存在．
2、直線的傾斜角與斜率之間的關系
由斜率的定義可知，當在范圍內(nèi)時，直線的斜率大于零；當在范圍內(nèi)時，直線的斜率小于零；當時，直線的斜率為零；當時，直線的斜率不存在．直線的斜率與直線的傾斜角（除外）為一一對應關系，且在和范圍內(nèi)分別與傾斜角的變化方向一致，即傾斜角越大則斜率越大，反之亦然．因此若需在或范圍內(nèi)比較傾斜角的大小只需比較斜率的大小即可，反之亦然．
知識點三：斜率公式
已知點、，且與軸不垂直，過兩點、的直線的斜率公式．
知識點詮釋：
1、對于上面的斜率公式要注意下面五點：
（1）當時，公式右邊無意義，直線的斜率不存在，傾斜角，直線與軸垂直；
（2）與、的順序無關，即，和，在公式中的前后次序可以同時交換，但分子與分母不能交換；
（3）斜率可以不通過傾斜角而直接由直線上兩點的坐標求得；
（4）當時，斜率，直線的傾斜角，直線與軸平行或重合；
（5）求直線的傾斜角可以由直線上兩點的坐標先求斜率而得到．
2、斜率公式的用途：由公式可解決下列類型的問題：
（1）由、點的坐標求的值；
（2）已知及中的三個量可求第四個量；
（3）已知及、的橫坐標（或縱坐標）可求；
（4）證明三點共線．
【典例例題】
題型一：直線的傾斜角與斜率定義
【例1】（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）如圖，直線l的傾斜角為（）

A．60°B．120°
C．30°D．150°
【答案】D
【解析】由題圖易知l的傾斜角為45°＋105°＝150°．
故選：D
【對點訓練1】（2023·高二課時練習）對于下列命題：①若是直線l的傾斜角，則；②若直線傾斜角為，則它斜率；③任一直線都有傾斜角，但不一定有斜率；④任一直線都有斜率，但不一定有傾斜角．其中正確命題的個數(shù)為（）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】對于①：若是直線的傾斜角，則；滿足直線傾斜角的定義，則①正確；
對于②：直線傾斜角為且，它的斜率；傾斜角為時沒有斜率，所以②錯誤；
對于③和④：可知直線都有傾斜角，但不一定有斜率；因為傾斜角為時沒有斜率，所以③正確；④錯誤；
其中正確說法的個數(shù)為2.
故選：B.
【對點訓練2】（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）已知一直線經(jīng)過兩，，且傾斜角為，則的值為（）
A．－6B．－4
C．0D．6
【答案】C
【解析】直線經(jīng)過兩，，．
又直線的傾斜角為，斜率一定存在，
則直線的斜率為
，即．
故選：C．
題型二：斜率與傾斜角的變化關系
【例2】（2023·高二課時練習）若如圖中的直線的斜率為，則（）

A．B．C．D．
【答案】C
【解析】設直線的傾斜角分別為，顯然，且，
所以，
又在上單調(diào)遞增，故，
所以.
故選：C
【對點訓練3】（2023·福建寧德·高二統(tǒng)考期中）已知直線過，兩點，且傾斜角為，則（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因為直線過，兩點，且傾斜角為，
所以，解得，
故選：C.
題型三：已知兩點求斜率、已知斜率求參數(shù)
【例3】（2023·山西晉中·高二統(tǒng)考期末）經(jīng)過點的直線的斜率為（）
A．B．C．D．2
【答案】D
【解析】由斜率公式可得：，
則經(jīng)過點的直線的斜率為2
故選：D
【對點訓練4】（2023·浙江杭州·高二浙江省杭州第二中學?？计谀┮阎本€斜率等于，則該直線的傾斜角為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】設該直線的傾斜角為，則
由，得，又，所以.
故選：D.
【對點訓練5】（2023·浙江·高二校聯(lián)考期中）已知，，三點共線，則實數(shù)（）
A．10B．4C．－4D．－10
【答案】A
【解析】由題可得：，
故選：A
題型四：直線與線段相交關系求斜率范圍
【例4】（2023·廣東梅州·高二校聯(lián)考階段練習）已知點，直線過點且與線段相交，則直線的斜率的取值范圍是（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】直線的斜率分別為,
結(jié)合圖形可知：直線過點且與線段相交時，，
故選：B
【對點訓練6】（2023·廣東深圳·高二統(tǒng)考期末）已知、，若直線經(jīng)過點，且與線段有交點，則的斜率的取值范圍為（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】過點作，垂足為點，如圖所示：
設直線交線段于點，設直線的斜率為，且，，
當點在從點運動到點（不包括點）時，直線的傾斜角逐漸增大，
此時；
當點在從點運動到點時，直線的傾斜角逐漸增大，此時.
綜上所述，直線的斜率的取值范圍是.
故選：D.
【對點訓練7】（2023·廣東肇慶·高二?？计谥校┮阎獌牲c，過點的直線與線段有交點，則直線的傾斜角的取值范圍為（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由題意：如下圖所示：
所以，，則，
若直線的傾斜角，則，所以，
故選：.
【真題演練】
1．（1995·全國·高考真題）圖中的直線的斜率分別為，則有（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由圖象可得，，
故選：C
2．（2004·浙江·高考真題）直線與直線的夾角是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】直線的傾斜角為，直線的斜率為，傾斜角為，
兩條直線的夾角為，
故選：A
3．（2006·北京·高考真題）若三點，，，（）共線，則的值等于___________.
【答案】/0.5
【解析】由題知，直線的斜率存在，由三點共線可知.
由得：，即，又，
∴.
故答案為：
【過關測試】
一、單選題
1．（2023·高二課時練習）直線的傾斜角是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由題意，直線的斜率為，設直線的傾斜角為，即.
故選：D.
2．（2023·全國·高二專題練習）如圖，已知直線的斜率分別為，則（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】設直線的傾斜角分別為，
由題圖知，直線的傾斜角為鈍角，.
又直線的傾斜角均為銳角，且，
，
.
故選：D.
3．（2023·吉林白城·高二統(tǒng)考期末）已知直線經(jīng)過，兩點，則的傾斜角為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】設直線的傾斜角為，則，又，所以．
故選：C．
4．（2023·湖南湘潭·高二校聯(lián)考期末）若直線的斜率為，且，則直線的傾斜角為（）
A．或B．或C．或D．或
【答案】C
【解析】設直線的傾斜角為，
因為，所以，
當時，即，則；
當時，即，則，
所以直線的傾斜角為或.
故選：C.
5．（2023·山東臨沂·高二統(tǒng)考期末）設直線的方程為，則的傾斜角的取值范圍是（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】直線的斜率，
所以直線的傾斜角的取值范圍是.
故選：A
6．（2023·北京·高二北師大實驗中學校考期中）已知直線的斜率為，直線的傾斜角為直線的傾斜角的一半，則直線的斜率為（）
A．B．C．D．不存在
【答案】C
【解析】由直線的斜率為，設其傾斜角為，則，
由直線的傾斜角為直線的傾斜角的一半，設直線的傾斜角為，則，
，，解得或，由傾斜角的取值范圍為，則，
故直線的斜率為.
故選：C.
7．（2023·安徽黃山·高二屯溪一中統(tǒng)考期末）設直線的斜率為，且，則直線的傾斜角的取值范圍為（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】設直線的傾斜角為，則
當斜率時，由斜率的定義及正切函數(shù)的圖像和性質(zhì)可知：
直線的傾斜角的取值范圍為.
故選：D
8．（2023·湖南懷化·高二?？茧A段練習）已知、，直線過點，且與線段相交，則直線的斜率取值范圍是（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】設直線交線段于點，記點，如下圖所示：
當直線從點運動到點（不包括點）時，直線的傾斜角逐漸減小，且為鈍角，
此時直線的斜率；
當直線從點運動到點（不包括點）時直線的傾斜角逐漸增大，且為銳角，
此時直線的斜率.
綜上所述，直線的斜率的取值范圍是.
故選：C.
二、多選題
9．（2023·福建泉州·高二校考階段練習）若直線l經(jīng)過點，在x軸上的截距的取值范圍是，則直線l斜率的取值可能是（）
A．B．C．1D．
【答案】BC
【解析】令點，依題意，直線l與x軸的交點在線段上（不含端點B，C），如圖，
直線斜率，直線斜率，
因此直線l的斜率或，
所以直線l斜率的取值可能是或1.
故選：BC
10．（2023·湖南郴州·高二?？计谥校┰谙铝兴膫€命題中，錯誤的有（）
A．坐標平面內(nèi)的任何一條直線均有傾斜角和斜率
B．直線的傾斜角的取值范圍是
C．若一條直線的斜率為1，則此直線的傾斜角為
D．若一條直線的傾斜角為α，則此直線的斜率為
【答案】ACD
【解析】對于A，傾斜角為的直線斜率不存在,所以A錯誤;
對于B,直線的傾斜角的取值范圍為,所以B正確;
對于C,因為且，所以,所以C錯誤;
對于D,傾斜角為的直線斜率不存在,所以D錯誤.
故選：ACD
11．（2023·江蘇蘇州·高二江蘇省蘇州實驗中學?？茧A段練習）在中，若直線的斜率為，則角大小為（）
A．B．C．D．
【答案】BC
【解析】由題可知直線的斜率為，設直線的傾斜角為，直線的傾斜角為，則，，則，所以或
故選：BC
12．（2023·高二課時練習）直線l過點且斜率為k，若直線l與線段AB有公共點，，，則k可以?。? ）
A．－8B．－5C．3D．4
【答案】AD
【解析】由于直線l過點且斜率為k，與連接兩點，的線段有公共點，則，，由圖可知，
時，直線與線段有交點，根據(jù)選項，可知AD符合．
故選：AD．
三、填空題
13．（2023·上海普陀·高二上海市宜川中學?？计谀┮阎本€l經(jīng)過點．直線l的傾斜角是___________．
【答案】/
【解析】因為過兩點的直線的斜率為：，
因為，是直線的傾斜角，且
所以直線的傾斜角為：．
故答案為：.
14．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）直線（為常數(shù)）的傾斜角的取值范圍是______．
【答案】
【解析】因為直線（為常數(shù)）的斜率為，
所以直線的傾斜角滿足，
因為，所以或，
即直線的傾斜角的取值范圍是.
故答案為：
15．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）過不重合的兩點的直線的傾斜角為，則的取值為________．
【答案】
【解析】由題意知，
所以，即，
化簡得，解得或
當時，重合，不符合題意舍去，
當時，，符合題意，
所以，
故答案為：
16．（2023·高二課時練習）如圖，已知兩點，過點的直線l與線段AB始終有公共點，求直線l的斜率k的取值范圍．

【答案】
【解析】根據(jù)圖形，∵直線的斜率是，
直線的斜率是，
∴過點的直線與線段有公共點時，
直線的斜率的取值范圍是．
故答案為：．
四、解答題
17．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）已知．
(1)求直線AB和AC的斜率；
(2)若點D在線段BC（包括端點）上移動時，求直線AD的斜率的變化范圍．
【解析】（1）由斜率公式可得直線AB的斜率，
直線AC的斜率，
故直線AB的斜率為，直線AC的斜率為.
（2）如圖所示，當D由B運動到C時，直線AD的傾斜角增大且為銳角，
直線AD的斜率由增大到，
所以直線AD的斜率的變化范圍是．

18．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）已知兩點，過點的直線與線段有公共點．
(1)求直線的斜率的取值范圍；
(2)求直線的傾斜角的取值范圍．
【解析】（1）因為，，
所以
因為直線與線段有公共點，
所以由圖可知直線的斜率滿足或，
所以直線的斜率的取值范圍是．

（2）由題意可知直線l的傾斜角介于直線與的傾斜角之間，
因為直線的傾斜角是，直線的傾斜角是，
所以的取值范圍是．
19．（2023·廣東佛山·高二佛山市南海區(qū)桂城中學校考階段練習）已知坐標平面內(nèi)三點A(-1，1)，B(1，1)，．
(1)求直線BC，AC的斜率和傾斜角；
(2)若D為的邊AB上一動點，求直線CD的斜率和傾斜角α的取值范圍．
【解析】（1）由斜率公式得：，
因為斜率等于傾斜角的正切值，且傾斜角的范圍是，
∴直線BC的傾斜角為，直線AC的傾斜角為；
（2）如圖，當直線CD由CA逆時針旋轉(zhuǎn)到CB時，
直線CD與線段AB恒有交點，即D在線段AB上，此時k由增大到，
∴k的取值范圍為，傾斜角α的取值范圍為．
20．（2023·河南·高二校聯(lián)考階段練習）判斷下列三點是否在同一條直線上：
(1)；
(2).
【解析】（1）因為，，
所以，
所以A，B，C三點不在同一條直線上.
（2）因為，，
所以.
又直線DE與直線DF有公共點D，
所以D，E，F(xiàn)三點在同一條直線上.
21．（2023·河南·高二校聯(lián)考階段練習）已知，，三點.
(1)若直線的傾斜角為135°，求的值.
(2)是否存在，使得三點共線？若存在，求的值；若不存在，說明理由.
【解析】（1）因為，，直線的傾斜角為135°
所以，，解得
故的值為
（2）因為，，三點.
所以，當三點共線時，，即，解得
所以，存在，使得三點共線，
22．（2023·高二單元測試）已知點.
(1)求直線的傾斜角
(2)過點的直線與過兩點的線段有公共點，求直線斜率的取值范圍.
【解析】（1）由已知得：直線的斜率
又
（2）直線的斜率
直線的斜率
過點直線與過兩點的線段有公共點，
直線斜率的取值范圍為

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