題型一：正方體、長方體模型
題型二： 正四面體模型
題型三：對棱相等模型
題型四：直棱柱模型
題型五：直棱錐模型
題型六：正棱錐與側(cè)棱相等模型
題型七：側(cè)棱為外接球直徑模型
題型八：共斜邊拼接模型
題型九：垂面模型
題型十：最值模型
題型十一：二面角模型
題型十二：圓錐圓柱圓臺模型
題型十三：錐體內(nèi)切球
題型十四：棱切球
【方法技巧與總結(jié)】
技巧總結(jié)一：正方體、長方體外接球
1、正方體的外接球的球心為其體對角線的中點，半徑為體對角線長的一半．
2、長方體的外接球的球心為其體對角線的中點，半徑為體對角線長的一半．
3、補成長方體
（1）若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩互相垂直，則可將其放入某個長方體內(nèi)，如圖1所示．
（2）若三棱錐的四個面均是直角三角形，則此時可構(gòu)造長方體，如圖2所示．
（3）正四面體可以補形為正方體且正方體的棱長，如圖3所示．
（4）若三棱錐的對棱兩兩相等，則可將其放入某個長方體內(nèi)，如圖4所示
圖1 圖2 圖3 圖4
技巧總結(jié)二：正四面體外接球
如圖，設(shè)正四面體的的棱長為，將其放入正方體中，則正方體的棱長為，顯然正四面體和正方體有相同的外接球．正方體外接球半徑為，即正四面體外接球半徑為．
技巧總結(jié)三：對棱相等的三棱錐外接球
四面體中，，，，這種四面體叫做對棱相等四面體，可以通過構(gòu)造長方體來解決這類問題．
如圖，設(shè)長方體的長、寬、高分別為，則，三式相加可得而顯然四面體和長方體有相同的外接球，設(shè)外接球半徑為，則，所以．
技巧總結(jié)四：直棱柱外接球
如圖1，圖2，圖3，直三棱柱內(nèi)接于球（同時直棱柱也內(nèi)接于圓柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）

圖1 圖2 圖3
第一步：確定球心的位置，是的外心，則平面；
第二步：算出小圓的半徑，（也是圓柱的高）；
第三步：勾股定理：，解出
技巧總結(jié)五：直棱錐外接球
如圖，平面，求外接球半徑．
解題步驟：
第一步：將畫在小圓面上，為小圓直徑的一個端點，作小圓的直徑，連接，則必過球心；
第二步：為的外心，所以平面，算出小圓的半徑(三角形的外接圓直徑算法：利用正弦定理，得)，；
第三步：利用勾股定理求三棱錐的外接球半徑： = 1 \* GB3 ①；
= 2 \* GB3 ②．
技巧總結(jié)六：正棱錐與側(cè)棱相等模型
1、正棱錐外接球半徑： ．
2、側(cè)棱相等模型：
如圖，的射影是的外心
三棱錐的三條側(cè)棱相等
三棱錐的底面在圓錐的底上，頂點點也是圓錐的頂點．

解題步驟：
第一步：確定球心的位置，取的外心，則三點共線；
第二步：先算出小圓的半徑，再算出棱錐的高（也是圓錐的高）；
第三步：勾股定理：，解出．
技巧總結(jié)七：側(cè)棱為外接球直徑模型
方法：找球心，然后作底面的垂線，構(gòu)造直角三角形．
技巧總結(jié)八：共斜邊拼接模型
如圖，在四面體中，，，此四面體可以看成是由兩個共斜邊的直角三角形拼接而形成的，為公共的斜邊，故以“共斜邊拼接模型”命名之．設(shè)點為公共斜邊的中點，根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半的結(jié)論可知，，即點到，，，四點的距離相等，故點就是四面體外接球的球心，公共的斜邊就是外接球的一條直徑．
技巧總結(jié)九：垂面模型
如圖1所示為四面體，已知平面平面，其外接球問題的步驟如下：
（1）找出和的外接圓圓心，分別記為和．
（2）分別過和作平面和平面的垂線，其交點為球心，記為．
（3）過作的垂線，垂足記為，連接，則．
（4）在四棱錐中，垂直于平面，如圖2所示，底面四邊形的四個頂點共圓且為該圓的直徑．

圖1 圖2
技巧總結(jié)十：最值模型
這類問題是綜合性問題，方法較多，常見方法有：導(dǎo)數(shù)法，基本不等式法，觀察法等
技巧總結(jié)十一：二面角模型
如圖1所示為四面體，已知二面角大小為，其外接球問題的步驟如下：
（1）找出和的外接圓圓心，分別記為和．
（2）分別過和作平面和平面的垂線，其交點為球心，記為．
（3）過作的垂線，垂足記為，連接，則．
（4）在四棱錐中，垂直于平面，如圖2所示，底面四邊形的四個頂點共圓且為該圓的直徑．

技巧總結(jié)十二：圓錐圓柱圓臺模型
1、球內(nèi)接圓錐
如圖，設(shè)圓錐的高為，底面圓半徑為，球的半徑為．通常在中，由勾股定理建立方程來計算．如圖，當(dāng)時，球心在圓錐內(nèi)部；如圖，當(dāng)時，球心在圓錐外部．和本專題前面的內(nèi)接正四棱錐問題情形相同，圖2和圖3兩種情況建立的方程是一樣的，故無需提前判斷．
由圖、圖可知，或，故，所以．
2、球內(nèi)接圓柱
如圖，圓柱的底面圓半徑為，高為，其外接球的半徑為，三者之間滿足．
3、球內(nèi)接圓臺
，其中分別為圓臺的上底面、下底面、高．
技巧總結(jié)十三：錐體內(nèi)切球
方法：等體積法，即
技巧總結(jié)十四：棱切球
方法：找切點，找球心，構(gòu)造直角三角形
【典型例題】
題型一：正方體、長方體模型
【典例1-1】（2024·黑龍江·勃利縣高級中學(xué)高一期中）據(jù)《九章算術(shù)》記載，“鱉臑”為四個面都是直角三角形的三棱錐．如圖所示，現(xiàn)有一個“鱉臑”，底面，，且，三棱錐外接球表面積為（ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】（2024·河北·高一期中）《九章算術(shù)》中將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱為“陽馬”．現(xiàn)有一“陽馬”，平面，，的面積為4，則該“陽馬”外接球的表面積的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【變式1-1】（2024·河南·模擬預(yù)測）在三棱錐中，已知平面，，且，，，則該三棱錐外接球的表面積為（ ）
A．B．C．D．
題型二： 正四面體模型
【典例2-1】（2024·福建龍巖·模擬預(yù)測）在正四面體PABC中，點D，E分別在線段PC，PB上，，若的最小值為，則該正四面體外接球的表面積為（ ）
A．27πB．54πC．D．
【典例2-2】（2024·貴州·凱里一中高二期末）我們將四個面均為正三角形的四面體稱為“正四面體”，在正四面體中，分別為棱的中點，當(dāng)時，四面體的外接球的表面積為
A．B．C．D．
【變式2-1】（2024·全國·高三專題練習(xí)）金剛石是碳原子的一種結(jié)構(gòu)晶體，屬于面心立方晶胞（晶胞是構(gòu)成晶體的最基本的幾何單元），即碳原子處在立方體的個頂點，個面的中心，此外在立方體的對角線的處也有個碳原子，如圖所示（綠色球），碳原子都以共價鍵結(jié)合，原子排列的基本規(guī)律是每一個碳原子的周圍都有個按照正四面體分布的碳原子．設(shè)金剛石晶胞的棱長為，則正四面體的棱長為__________；正四面體的外接球的體積是__________．
題型三：對棱相等模型
【典例3-1】在三棱錐中，，，，則三棱錐的外接球的表面積為
A．B．C．D．
【典例3-2】（2024?讓胡路區(qū)校級模擬）在四面體中，若，，，則四面體的外接球的表面積為
A．B．C．D．
【變式3-1】已知四面體中，，，，若該四面體的各個頂點都在同一球面上，則此球的表面積為
A．B．C．D．
題型四：直棱柱模型
【典例4-1】（2024·全國·高二課時練習(xí)）表面積為81π的球，其內(nèi)接正四棱柱（底面是正方形的直棱柱）的高是7，則這個正四棱柱的底面邊長為______．
【典例4-2】（2024·河南·高三階段練習(xí)）已知正三棱柱的外接球表面積為，則正三棱柱的所有棱長之和的最大值為______．
【變式4-1】（2024·浙江·高二期中）在直三棱柱中，且，已知該三棱柱的體積為2，則此三棱柱外接球表面積的最小值為______．
題型五：直棱錐模型
【典例5-1】（2024·全國·高一階段練習(xí)）已知三棱錐中，，底面，，，則該三棱錐的外接球的體積為（ ）
A．B．C．D．
【典例5-2】（2024·河北滄州·高一期末）已知在三棱錐中，平面，，則三棱錐外接球的表面積為（ ）
A．B．C．D．
【變式5-1】（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知三棱錐中，底面BCD是邊長為的正三角形，底面BCD，且，則該幾何體的外接球的表面積為（ ）
A．B．C．D．
題型六：正棱錐與側(cè)棱相等模型
【典例6-1】（2024·重慶·高二期末）如圖，在三棱錐中，，二面角的余弦值為，若三棱錐的體積為，則三棱錐外接球的表面積為______．
【典例6-2】（2024·全國·高一期末）在正三棱錐中，，正三棱錐的體積是，則正三棱錐外接球的表面積是（ ）
A．B．C．D．
【變式6-1】（2024·天津·高三專題練習(xí)）蹴鞠，又名蹴球，踢圓等，蹴有用腳蹴、踢、蹋的含義，鞠最早系外包皮革、內(nèi)實米糠的球．因而蹴鞠就是指古人以腳蹴，蹋、踢皮球的活動，類似今日的足球．2006年5月20日，蹴鞠已作為非物質(zhì)文化遺產(chǎn)經(jīng)國務(wù)院批準(zhǔn)列入第一批國家非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄．已知某鞠的表面上有五個點、、、、恰好構(gòu)成一正四棱錐，若該棱錐的高為8，底面邊長為，則該鞠的表面積為（ ）
A．B．C．D．
【變式6-2】（2024·江蘇徐州·高二期中）在正六棱錐中，，，則此正六棱錐的側(cè)面積為___________；該正六棱錐的外接球的表面積為___________．
【變式6-3】（2024·重慶市實驗中學(xué)高一階段練習(xí)）三棱錐體積為，且，則三棱錐外接球的表面積為____________．
題型七：側(cè)棱為外接球直徑模型
【典例7-1】（2024?迎澤區(qū)校級月考）已知球的直徑，、是該球面上的兩點，且，，，則三棱錐的體積為
A．B．C．D．
【典例7-2】已知為球的直徑，，是球面上兩點，且，，，若球的體積為，則棱錐的體積為
A．B．C．D．
【變式7-1】（2024?道里區(qū)校級四模）已知為球的直徑，，是球面上兩點，且，，若球的體積為，則棱錐的體積為
A．B．C．D．
題型八：共斜邊拼接模型
【典例8-1】（2024·安徽·蕪湖一中高二期中）已知三棱錐中，，，，，，則此三棱錐的外接球的表面積為（ ）
A．B．C．D．
【典例8-2】（2024·江西贛州·高二期中）在三棱錐中，若該三棱錐的體積為，則三棱錐外球的體積為（ ）
A．B．C．D．
【變式8-1】（2024·全國·高三專題練習(xí)）三棱錐D-ABC中，AB=DC=3，AC=DB=2，AC⊥CD， AB⊥DB．則三棱錐D-ABC外接球的表面積是（ ）．
A．B．C．D．
題型九：垂面模型
【典例9-1】（2024·江西撫州·高三階段練習(xí)）在三棱錐中，，若平面平面，則三棱錐外接球的表面積為_______．
【典例9-2】（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知四棱錐的五個頂點在球的球面上，平面與平面都與底面垂直，且，，則球的體積為________．
【變式9-1】（2024·四川省資陽中學(xué)高二期中）已知四棱錐的頂點都在球上,底面是矩形,平面平面,為正三角形,,則球的表面積為______．
題型十：最值模型
【典例10-1】（2024·陜西榆林·三模）陽馬，中國古代算數(shù)中的一種幾何體，它是底面為長方形，兩個三角面與底面垂直的四棱錐.已知在陽馬中，平面，且陽馬的體積為9，則陽馬外接球表面積的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【典例10-2】（2024·安徽阜陽·高三期末）直四棱柱的每個頂點都在球的球面上，底面為平行四邊形．若，側(cè)面的面積為，則球表面積的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【變式10-1】（2024·湖北·高三開學(xué)考試）在三棱錐中，底面，，，為的中點，球為三棱錐的外接球，是球上任一點，若三棱錐體積的最大值是，則球的體積為___________.
題型十一：二面角模型
【典例11-1】（2024·安徽·模擬預(yù)測）梯形中，，，，點在線段上，且，以為折痕將折起，使點到達點的位置，且二面角等于，當(dāng)時，四棱錐外接球的表面積為___________.
【典例11-2】（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在三棱錐中，，二面角的余弦值為，若三棱錐的體積為，則三棱錐外接球的表面積為______．
【變式11-1】（2024·安徽省太和中學(xué)高三階段練習(xí)）如圖，在三棱錐中，，，二面角的大小為，則三棱錐的外接球的表面積為（ ）
A．B．C．D．
題型十二：圓錐圓柱圓臺模型
【典例12-1】（2024·遼寧·高三開學(xué)考試）已知圓臺上底面的半徑為3，下底面的半徑為4，高為7，圓臺上、下底面的圓周都在同一個球面上，則該球的體積是____.
【典例12-2】（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知圓錐的頂點和底面圓周均在球的球面上.若該圓錐的底面半徑為，高為6，則球的表面積為（ ）
A．B．C．D．
【變式12-1】（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知一個圓柱的高是底面半徑的2倍，且其上?下底面的圓周均在球面上，若球的體積為，則圓柱的體積為（ ）
A．B．C．D．
題型十三：錐體內(nèi)切球
【典例13-1】（2024·全國·高三專題練習(xí)）一個圓錐的側(cè)面展開圖是一個半圓，則該圓錐的內(nèi)切球的表面積和圓錐的側(cè)面積的比為（ ）
A．B．C．D．
【典例13-2】（2024·浙江省富陽中學(xué)高三階段練習(xí)）正三棱錐的底面是面積為的正三角形，高為，則其內(nèi)切球的表面積為（ ）
A．B．C．D．
【變式13-1】（2024·全國·高三專題練習(xí)）在直角中，．以AB為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周得到一個幾何體，則該幾何體的內(nèi)切球的體積為（ ）
A．B．C．D．
題型十四：棱切球
【典例14-1】（2024·全國·高三專題練習(xí)）正三棱錐的底面邊長為，側(cè)棱長為，若球H與正三棱錐所有的棱都相切，則這個球的表面積為（ ）
A．B．C．D．
【典例14-2】（2024·山西運城·一模）一個正四棱錐形骨架的底邊邊長為，高為，有一個球的表面與這個正四棱錐的每個邊都相切，則該球的表面積為（ ）
A．B．C．D．
【變式14-1】（2024·云南省文山壯族苗族自治州第一中學(xué)高一期末）已知一個表面積為24的正方體，假設(shè)有一個與該正方體每條棱都相切的球，則此球的體積為
A．B．C．D．
【過關(guān)測試】
1．（2024·貴州貴陽·模擬預(yù)測）在三棱錐中，已知，且平面平面ABC，則三棱錐的外接球表面積為（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·河南·模擬預(yù)測）點是棱長為2的正方體外接球球面上的任意一點，則四棱錐的體積的最大值為（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·貴州·模擬預(yù)測）已知正三棱錐中，，，該三棱錐的外接球球心到側(cè)面距離為，到底面距離為，則（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·高三·江西萍鄉(xiāng)·期末）三棱錐A-BCD中，平面BCD，，，則該三棱錐的外接球表面積為（ ）
A．B．C．D．
5．（2024·陜西漢中·一模）據(jù)《九章算術(shù)》中記載，“陽馬”是以矩形為底面，一棱與底面垂直的四棱錐.現(xiàn)有一個“陽馬”，底面ABCD，底面ABCD是矩形，且，則這個“陽馬”的外接球表面積為（ ）
A．B．C．D．
6．（多選題）（2024·河南信陽·一模）六氟化硫，化學(xué)式為，在常壓下是一種無色、無臭、無毒、不燃的穩(wěn)定氣體，有良好的絕緣性，在電器工業(yè)方面具有廣泛用途．六氟化硫結(jié)構(gòu)為正八面體結(jié)構(gòu)，如圖所示，硫原子位于正八面體的中心，6個氟原子分別位于正八面體的6個頂點，若相鄰兩個氟原子之間的距離為m，則（ ）

A．該正八面體結(jié)構(gòu)的表面積為B．該正八面體結(jié)構(gòu)的體積為
C．該正八面體結(jié)構(gòu)的外接球表面積為D．該正八面體結(jié)構(gòu)的內(nèi)切球表面積為
7．（多選題）（2024·高三·山東濰坊·階段練習(xí)）截角四面體是一種半正八面體，可由四面體經(jīng)過適當(dāng)?shù)慕亟牵唇厝ニ拿骟w的四個頂點處的小棱錐所得的多面體，如圖所示，將棱長為的正四面體沿棱的三等分點作平行于底面的截面，得到所有棱長均為的截角四面體，則下列說法正確的是（ ）
A．該截角四面體的內(nèi)切球體積B．該截角四面體的體積為
C．該截角四面體的外接球表面積為D．外接圓的面積為
8．（2024·高二·上海寶山·階段練習(xí)）若一個圓柱的底面半徑為1，側(cè)面積為，球是該圓柱的外接球，則球的表面積為 ．
9．（2024·高一·山西朔州·階段練習(xí)）正四面體的內(nèi)切球、棱切球(與各條棱均相切的球)及外接球的半徑之比為 ．

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