第8講 外接球與內(nèi)切球   一．外接球8大模型秒殺公式推導(dǎo)1.墻角模型(1)    使用范圍：3組或3條棱兩兩垂直；或可在長(zhǎng)方體中畫出該圖且各頂點(diǎn)與長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)重合（2）推導(dǎo)過(guò)程：長(zhǎng)方體的體對(duì)角線就是外接球的直徑(2)    秒殺公式：（4）圖示過(guò)程  (3)    秒殺公式：   2.漢堡模型（1）使用范圍：有一條側(cè)棱垂直與底面的柱體或椎體（2）推導(dǎo)過(guò)程第一步：取底面的外心O1,，過(guò)外心做高的的平行且長(zhǎng)度相等，在該線上中點(diǎn)為球心的位置第二步：根據(jù)勾股定理可得（3）秒殺公式：（4）圖示過(guò)程  3.斗笠模型（1）使用范圍：正棱錐或頂點(diǎn)的投影在底面的外心上（2）推導(dǎo)過(guò)程第一步：取底面的外心O1,，連接頂點(diǎn)與外心，該線為空間幾何體的高h(yuǎn)第二步：在h上取一點(diǎn)作為球心O第三步：根據(jù)勾股定理（3）秒殺公式：（4）圖示過(guò)程  4.折疊模型（1）使用范圍：兩個(gè)全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折疊（2）推導(dǎo)過(guò)程第一步：過(guò)兩個(gè)平面取其外心H1、H2，分別過(guò)兩個(gè)外心做這兩個(gè)面的垂線且垂線相交于球心O第二步：計(jì)算第三步：（3）秒殺技巧：（4）圖示過(guò)程 5.切瓜模型（1）使用范圍：有兩個(gè)平面互相垂直的棱錐（2）推導(dǎo)過(guò)程：第一步：分別在兩個(gè)互相垂直的平面上取外心F、N，過(guò)兩個(gè)外心做兩個(gè)垂面的垂線，兩條垂線的交點(diǎn)即為球心O，取BC的中點(diǎn)為M，連接FM、MN、OF、ON第二步：（3）秒殺公式：（4）圖示過(guò)程6.麻花模型（1）使用范圍：對(duì)棱相等的三棱錐（2）推導(dǎo)過(guò)程：設(shè)3組對(duì)棱的長(zhǎng)度分別為x、y、z,長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高分別為a、b、c（3）秒殺公式：（4）圖示過(guò)程 7.矩形模型（1）使用范圍：棱錐有兩個(gè)平面為直角三角形且斜邊為同一邊（2）推導(dǎo)過(guò)程：根據(jù)球的定義可知一個(gè)點(diǎn)到各個(gè)頂點(diǎn)的距離相等該點(diǎn)為球心可得，斜邊為球的直徑（3）秒殺公式：（4）圖示過(guò)程 鱷魚模型（1）使用范圍：適用所有的棱錐（2）推導(dǎo)過(guò)程：（3）秒殺公式：（4）圖示過(guò)程二．內(nèi)切球的半徑---等體積法 推導(dǎo)過(guò)程  秒殺公式： 圖示過(guò)程特別說(shuō)明：下面例題或練習(xí)都是常規(guī)方法解題，大家可以利用模型的秒殺公式技巧1 外接球之墻角模型【例1】（2020·河南高三月考）已知長(zhǎng)方體中，，，與平面所成角的正弦值為，則該長(zhǎng)方體的外接球的表面積為（    ）A． B． C． D．【舉一反三】1．（2020·全國(guó)高三專題練習(xí)）棱長(zhǎng)為的正方體的外接球的表面積為（    ）A． B． C． D．2．（2019·綏德中學(xué)）球面上有四個(gè)點(diǎn)，若兩兩垂直，且，則該球的表面積為（   ）A． B． C． D． 技巧2 外接球之漢堡模型【例2】（2020·四川瀘州市·高三）已知四棱錐中，四邊形是邊長(zhǎng)為2的正方形，且平面，則該四棱錐外接球的表面積為（    ）A． B． C． D．【舉一反三】1．（2020·廣州市廣外）各頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上的正四棱柱（底面是正方形，側(cè)棱垂直于底面）高為2，體積為8，則這個(gè)球的表面積是（    ）A． B． C． D．2．（2020·遼寧省高三）如圖，在三棱錐A﹣BCD中，BD⊥平面ADC，BD＝1，AB＝2，BC＝3，AC＝，則三棱錐A﹣BCD外接球的體積為（    ）A．4π B．3π C．2π D．4π3．（2020·廣東廣州市·高三月考）在長(zhǎng)方體中，，，點(diǎn)在正方形內(nèi)，平面，則三棱錐的外接球表面積為（    ）A． B． C． D．4．（2020·全國(guó)高三月考（文））三棱柱中，平面，，，，，則該三棱柱的外接球的體積為（    ）A． B． C． D．技巧3 外接球之斗笠模型【例3】（2020·江蘇南通市·高三期中）正三棱錐中，，，則該棱錐外接球的表面積為（    ）A． B． C． D． 【舉一反三】1．（2020·秦皇島市撫寧區(qū)第一中學(xué)）已知正三棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為，底面邊長(zhǎng)為6，則該正三棱錐外接球的表面積是________.2．正四棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面上，若該棱錐的高為4，底面邊長(zhǎng)為2，則該球的表面積為（ ）A． B． C． D． 技巧4 外接球之折疊模型【例4】（2020·廣東省高三）在三棱錐A﹣BCD中，△ABD與△CBD均為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，且二面角的平面角為120°，則該三棱錐的外接球的表面積為（　?。?/span>A．7π B．8π C． D．【舉一反三】1．（2020·山東棗莊市·高三期中）已知二面角的大小為120°，且，，.若點(diǎn)P、A、B、C都在同一個(gè)球面上，則該球的表面積的最小值為______.2．（2020·南昌市八一中學(xué)）如圖所示，三棱錐S一ABC中，△ABC與△SBC都是邊長(zhǎng)為1的正三角形，二面角A﹣BC﹣S的大小為，若S，A，B，C四點(diǎn)都在球O的表面上，則球O的表面積為（    ）A．π B．π C．π D．3π技巧5 外接球之切瓜模型【例5】（2020·內(nèi)蒙古赤峰市·高三月考）已知三棱錐中，，，，，面面，則此三棱錐的外接球的表面積為（    ）A． B． C． D．  【舉一反三】1．（2020·四川瀘州市·高三一模）已知三棱錐中，平面平面，且和都是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，則該三棱錐的外接球表面積為（    ）A． B． C． D． 技巧6 外接球之麻花模型【例6】（2020·四川省眉山市彭山區(qū)第二中學(xué)）在四面體中，若，，，則四面體的外接球的表面積為（    ）A． B． C． D．技巧7 外接球之矩形模型【例7】（2020·新疆維吾爾自治區(qū)）在四面體中，，，則四面體的外接球的表面積為(    )A． B． C． D．【舉一反三】1．（2020·黑龍江省哈爾濱三中）四面體中，，平面，，，，則該四面體外接球的表面積為（    ）A． B． C． D．2．（2020·重慶一中高三）已知四面體滿足：，，則四面體外接球的表面積為_______. 技巧8 內(nèi)切球半徑【例8】（2020·全國(guó)）正四面體的外接球與內(nèi)切球的表面積比為（    ）A． B． C． D．不確定【舉一反三】1．（2020·北京）如圖所示，球內(nèi)切于正方體．如果該正方體的棱長(zhǎng)為a，那么球的體積為（    ）A． B． C． D．2．（2020·山西大同一中）已知直三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC為等邊三角形，若該棱柱存在外接球與內(nèi)切球，則其外接球與內(nèi)切球表面積之比為（  ）A．25︰1 B．1︰25 C．1︰5 D．5︰13．（2020·江蘇無(wú)錫市第六高級(jí)中學(xué)）正三棱柱有一個(gè)半徑為的內(nèi)切球，則此棱柱的體積是（    ）.A． B． C． D．1．（2020·江蘇鎮(zhèn)江市·高三期中）直三棱柱的所有頂點(diǎn)都在同一球面上，且，，，則該球的表面積為（    ）A． B． C． D．2．（2020·江西高三其他模擬）在三棱錐中，，，，，則該三棱錐的外接球的表面積為（    ）A． B． C． D．3．（2020·四川瀘州市·高三）已知四棱錐中，平面，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，且，則該四棱錐外接球的表面積為（    ）A． B． C． D．4．（2020·四川宜賓市·高三）已知點(diǎn)P，A，B，C在同一個(gè)球的球表面上，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PB=，BC=，PC=，則該球的表面積為（    ）A．6π B．8π C．12π D．16π5．（2020·江西贛州市·高三）四面體中，底面，，，則四面體的外接球表面積為（    ）A． B． C． D．6．（2020·全國(guó)高三專題練習(xí)））平行四邊形中，，且，沿將四邊形折起成平面平面，則三棱錐外接球的表面積為（    ）A． B． C． D．7．（2020·湖北省鄂州高中高三月考）張衡(78年~139年)是中國(guó)東漢時(shí)期偉大的天文學(xué)家?文學(xué)家?數(shù)學(xué)家.他的數(shù)學(xué)著作有《算罔論》，他曾經(jīng)得出結(jié)論：圓周率的平方除以十六等于八分之五.已知正方體的外接球與內(nèi)切球上各有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，，若線段的最小值為，利用張衡的結(jié)論可得該正方體的外接球的表面積為（    ）A．30 B． C． D．368．（2020·江蘇南京市第二十九中學(xué)高三期中）已知直三棱柱的頂點(diǎn)都在球上，且，，，則此直三棱柱的外接球的表面積是（    ）A． B． C． D．9．（2020·全國(guó)高三專題練習(xí)）已知三棱柱(側(cè)棱底面，底面是正三角形)內(nèi)接于球O，與底面所成的角是45°.若正三棱柱的體積是，則球O的表面積是（    ）A． B． C． D．10．（2020·甘肅省民樂(lè)縣第一中學(xué)高三）在四棱錐中，，，，，，，則三棱錐外接球的表面積為（    ）A． B． C． D．11．（2020·天津紅橋區(qū)·高三期中）已知各頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上的正四棱柱高為4，體積為16，則這個(gè)球的表面積是（    ）A．10 B．20 C．24 D．3212．（2020·河南洛陽(yáng)市·高三月考）我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，將底面是直角三角形的直三棱柱（側(cè)棱垂直于底面的三棱柱）稱之為“塹堵”．如圖，三棱柱為一個(gè)“塹堵”，底面是以為斜邊的直角三角形且，，點(diǎn)在棱上，且，當(dāng)的面積取最小值時(shí)，三棱錐的外接球表面積為（    ）A． B． C． D．13．（2020·山西高三月考）已知正三棱柱的體積為54，，記三棱柱的外接球?yàn)榍?/span>，則外接球的表面積是__________．14．（2020·濟(jì)南市·山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三月考）在三棱錐中，側(cè)棱底面且則該三棱錐的外接球的體積為__________．15．（2020·湖南懷化市·高三期中）如圖所示，在三棱錐中，，，，則三棱錐的外接球的表面積為______.16．（2020·廣東肇慶市·高三月考）鱉臑（biē nào）出自《九章算術(shù)·商功》：“斜解立方，得兩重堵．斜解壍堵，其一為陽(yáng)馬，一為鱉臑．”鱉臑是我國(guó)對(duì)四個(gè)面均為直角三角形的三棱錐的古稱．如圖，三棱錐是一個(gè)鱉臑，其中，，，且，過(guò)點(diǎn)B向AC引垂線，垂足為E，過(guò)E作CD的平行線，交AD于點(diǎn)F，連接BF．設(shè)三棱錐的外接球的表面積為，三棱錐的外接球的表面積為，則________．17．（2020·上海市松江二中高三期中）若體積為8的正方體的各個(gè)頂點(diǎn)均在一球面上，則該球的體積為______.18．（2020·江蘇南通市·高三期中）在我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，把兩底面為直角三角形的直棱柱稱為“塹堵”，已知三棱柱是一個(gè)“塹堵”，其中，，，則這個(gè)“塹堵”的外接球的表面積為________.19．（2020·合肥市第六中學(xué)高三期中）在長(zhǎng)方體中，，，點(diǎn)在正方形內(nèi)，平面，則三棱錐的外接球表面積為______.20．（2020·湖南高三開學(xué)考試）在四面體中，平面，，，，則該四面體的外接球的表面積為________.21．（2020·全國(guó)高三月考）我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中將正四棱錐稱為方錐.已知某方錐各棱長(zhǎng)均為2，則其內(nèi)切球的體積為______.22．（2020·江西南昌市·南昌十中）已知在三棱錐中，，，，則當(dāng)點(diǎn)到平面的距離最大時(shí)，三棱錐外接球的表面積為_____．23．（2021·福建省福州第一中學(xué)高三期中）三棱錐中，，，面的面積為，則此三棱錐外接球的表面積為___．24．（2020·福建福州市·高三期中）在三棱錐中，平面垂直平面，，，則三棱錐外接球的表面積為_________.25．（2020·全國(guó)高三其他模擬）在三棱錐中，平面，，，，若三棱錐的體積為，則此三棱錐的外接球的表面積為______26．（2020·全國(guó)高三專題練習(xí)）設(shè)，，，為球的球面上的四個(gè)點(diǎn)，滿足，.若四面體的表面積為，則球的表面積為______.

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