題型一：集合的含義
題型二：元素與集合關(guān)系的判斷
題型三：集合的確定性、互異性、無(wú)序性
題型四：集合的表示：描述法
題型五：集合的表示：列舉法
題型六：集合的綜合問(wèn)題
【知識(shí)點(diǎn)梳理】
知識(shí)點(diǎn)一：集合的概念
(1)元素與集合：我們把研究對(duì)象稱為元素，把一些元素組成的總體叫集合.集合通常用大寫字母表示.集合的元素通常用小寫字母表示.
知識(shí)點(diǎn)二：集合與元素的關(guān)系
如果a是集合A的元素，記作，讀作“a屬于A”；如果a不是集合A的元素，記作，讀作“a不屬于A”.
知識(shí)點(diǎn)三：集合中元素的特點(diǎn)
(1)確定性：集合的元素必須是確定的.
(2)互異性：對(duì)于一個(gè)給定的集合，集合中的元素一定是不相同的.
(3)無(wú)序性：集合中的元素可以任意排列.
知識(shí)點(diǎn)四：常用數(shù)集及其記法
所有非負(fù)整數(shù)組成的集合稱為非負(fù)整數(shù)集（或自然數(shù)集），記作N;
所有正整數(shù)組成的集合稱為正整數(shù)集，記作N+或N*；
所有整數(shù)組成的集合稱為整數(shù)集，記作Z；
所有有理數(shù)組成的集合稱為有理數(shù)集，記作Q；
所有實(shí)數(shù)組成的集合稱為實(shí)數(shù)集，記作R.
知識(shí)點(diǎn)五：集合的表示
(1)列舉法：把集合中的元素一一列舉出來(lái)（相鄰元素之間用逗號(hào)分隔），放在大括號(hào)內(nèi)，依此表示集合的方法稱為列舉法，如，等.
使用說(shuō)明
①用列舉法表示集合時(shí)，一般不考慮元素的順序.
②如果一個(gè)集合的元素較多，且能夠按照一定的規(guī)律排列，那么在不致于發(fā)生誤解的情況下，可按照規(guī)律列出幾個(gè)元素作為代表，其他元素用省略號(hào)表示.
③無(wú)限集有時(shí)也可用列舉法表示.
(2)描述法：一般地，如果屬于集合A的任意一個(gè)元素x都具有性質(zhì)，而不屬于集合A的元素都不具有這個(gè)性質(zhì)，則性質(zhì)為集合 A的一個(gè)特征性質(zhì)，此時(shí)集合A可以表示為，這種表示集合的方法稱為特征性質(zhì)描述法，簡(jiǎn)稱描述法.
使用說(shuō)明
①有些情況下，描述法中豎線“|”及其左邊元素的形式均可省略，如{x|x是三角形}，也可表示為{三角形}.
②集合中所有在另一集合I中的元素組成的集合，可以表示為{x∈I|p(x)}.
知識(shí)點(diǎn)六：集合的分類
一般地，含有有限個(gè)元素的集合稱為有限集，含有無(wú)限個(gè)元素的集合稱為無(wú)限集.我們把不含任何元素的集合稱為空集，記作.例如，集合就是空集.
【典例例題】
題型一：集合的含義
例1．（2023·河南濮陽(yáng)·高一?？茧A段練習(xí)）下列敘述能夠組成集合的是（ ）
A．我校所有體質(zhì)好的同學(xué)B．我校所有800米達(dá)標(biāo)的女生
C．全國(guó)所有優(yōu)秀的運(yùn)動(dòng)員D．全國(guó)所有環(huán)境優(yōu)美的城市
【答案】B
【解析】A中，我校所有體質(zhì)好的同學(xué)不具有確定性，不能組成集合；
B中，我校所有800米達(dá)標(biāo)的女生具有確定性，能組成集合；
C中，全國(guó)所有優(yōu)秀的運(yùn)動(dòng)員不具有確定性，不能組成集合；
D中，全國(guó)所有環(huán)境優(yōu)美的城市不具有確定性，不能組成集合，
故選：B．
例2．（2023·吉林松原·高一校考階段練習(xí)）下列各組對(duì)象不能構(gòu)成集合的是（ ）
A．跑步速度快的人B．乾安七中2021級(jí)高一年級(jí)全體學(xué)生
C．小于5的實(shí)數(shù)D．直線y＝2x＋1上所有的點(diǎn)
【答案】A
【解析】由于集合中的元素滿足確定性，選項(xiàng)中的對(duì)象均滿足確定性，而選項(xiàng)中的對(duì)象不滿足確定性，
故選項(xiàng)中的對(duì)象不能構(gòu)成集合.
故選：A
例3．（2023·安徽六安·高一?？计谥校┫铝兴慕M對(duì)象能構(gòu)成集合的是（ ）
A．高一年級(jí)跑步很快的同學(xué)B．曉天中學(xué)足球隊(duì)的同學(xué)
C．曉天鎮(zhèn)的大河D．著名的數(shù)學(xué)家
【答案】B
【解析】集合元素具有確定性，
高一年級(jí)跑步很快的同學(xué)、曉天鎮(zhèn)的大河、著名的數(shù)學(xué)家，這三組對(duì)象不確定，不能構(gòu)成集合.
“曉天中學(xué)足球隊(duì)的同學(xué)”滿足集合元素的：確定性、互異性、無(wú)序性，
所以“曉天中學(xué)足球隊(duì)的同學(xué)”能夠構(gòu)成集合.
故選：B
變式1．（2023·高一單元測(cè)試）下列語(yǔ)言敘述中，能表示集合的是（ ）
A．?dāng)?shù)軸上離原點(diǎn)距離很近的所有點(diǎn)
B．德育中學(xué)的全體高一學(xué)生
C．某高一年級(jí)全體視力差的學(xué)生
D．與大小相仿的所有三角形
【答案】B
【解析】對(duì)A，數(shù)軸上離原點(diǎn)距離很近的所有點(diǎn)不滿足集合中元素的確定性，故A錯(cuò)誤；
對(duì)B，德育中學(xué)的全體高一學(xué)生滿足集合中元素的確定性，故B正確；
對(duì)C，某高一年級(jí)全體視力差的學(xué)生不滿足集合中元素的確定性，故C錯(cuò)誤；
對(duì)D，與大小相仿的所有三角形不滿足集合中元素的確定性，故D錯(cuò)誤
故選：B
題型二：元素與集合關(guān)系的判斷
例4．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)集合，則下列元素屬于A的是（ ）
A．B．C．D．0
【答案】C
【解析】，故，所以ABD錯(cuò)誤，C正確，
故選：C
例5．（2023·貴州黔東南·凱里一中?？既＃┮阎舷铝嘘P(guān)系正確的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因?yàn)椋?br>所以A、C錯(cuò)誤，
因?yàn)?，所以，所以B錯(cuò)誤，
又，所以，所以D正確，
故選:D．
例6．（2023·四川綿陽(yáng)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知集合，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】∵，即集合B的可能元素，則有：
由，則，可得；
由，且，可得，且；
由，且，可得，且；
由，且，可得；
綜上所述：.
故選：D.
變式2．（2023·河南洛陽(yáng)·高一?？茧A段練習(xí)）下列說(shuō)法正確的有（ ）
①；②；③；④；⑤
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【答案】B
【解析】1是自然數(shù)，故，故①正確；
不是正整數(shù)，故，故②錯(cuò)誤；
是有理數(shù)，故，故③正確；
是實(shí)數(shù)，故，故④錯(cuò)誤；
是無(wú)理數(shù)，故，故⑤錯(cuò)誤.
故說(shuō)法正確的有2個(gè).
故選:B.
題型三：集合的確定性、互異性、無(wú)序性
例7．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）若集合，則N中元素的個(gè)數(shù)為（ ）
A．3B．6C．9D．10
【答案】C
【解析】由可知集合,故共有9個(gè)元素，
故選：C
例8．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）以方程和的解為元素的集合含有的元素個(gè)數(shù)是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】解方程，得，解方程，得，
所以以兩個(gè)方程的解為元素的集合含有的元素個(gè)數(shù)是3，C正確.
故選：C
例9．（2023·黑龍江哈爾濱·高一哈爾濱工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校校考階段練習(xí)）已知集合 ，，則（ ）
A．-1B．-3或-1C．3D．-3
【答案】D
【解析】由題意， 或 ，
由①得， ，或 ，由② ；
當(dāng) 時(shí)， ，不符合集合描述規(guī)則，舍去，
；
故選：D.
變式3．（2023·江蘇南京·高一校考期中）已知集合，若，則實(shí)數(shù)的值為（ ）．
A．B．C．或D．或
【答案】B
【解析】，且，或
⑴、當(dāng)即或，
①、當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)，不滿足集合元素的互異性，故舍去；
②、當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)，符合題意；
⑵、當(dāng)即時(shí)，此時(shí)，不滿足集合元素的互異性，故舍去；
綜上所述：實(shí)數(shù)的值為1.
故選：B
變式4．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知，，若集合，則的（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】易知，∵，
∴，即，
∴.
∴，解得或.
當(dāng)時(shí)，集合為，不符合集合中元素的互異性，故舍去；
當(dāng)時(shí)，集合為}.
∴，.
∴.
故選：C
變式5．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）設(shè)集合，則（ ）
A．2B．3C．5D．6
【答案】C
【解析】①當(dāng)時(shí), ,
則或，
當(dāng)時(shí)，該方程組無(wú)解，當(dāng)時(shí)，解得
②當(dāng)時(shí)，，則或.
當(dāng)時(shí)，該方程組無(wú)解，當(dāng)時(shí)，解得
③當(dāng)，即時(shí)，顯然，則，此時(shí)，
當(dāng)時(shí)，該方程組無(wú)解，當(dāng)時(shí)，該方程組無(wú)解.
綜上所述，，或，，故
故選：C
題型四：集合的表示：描述法
例10．（2023·上海浦東新·高一?？茧A段練習(xí)）用描述法表示直角坐標(biāo)系中第二象限的所有點(diǎn)組成的集合__________.
【答案】且
【解析】平面直角坐標(biāo)系中第二象限的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)都,小于0，縱坐標(biāo)都大于0，
平面直角坐標(biāo)系中第二象限的所有點(diǎn)組成的集合為且，
故答案為：且.
例11．（2023·上海長(zhǎng)寧·高一上海市延安中學(xué)校考期中）所有正奇數(shù)組成的集合用描述當(dāng)表示為_(kāi)________．
【答案】
【解析】因?yàn)檎鏀?shù)除以，余數(shù)為，
所以所有正奇數(shù)組成的集合用描述當(dāng)表示為，
故答案為：
例12．（2023·河南周口·高一周口恒大中學(xué)校考階段練習(xí)）用描述法表示下列集合：
(1)所有被3整除的整數(shù)組成的集合；
(2)不等式的解集；
(3)方程的所有實(shí)數(shù)解組成的集合；
(4)拋物線上所有點(diǎn)組成的集合；
(5)集合.
【解析】（1）所有被3整除的整數(shù)組成的集合，用描述法可表示為：
（2）不等式的解集，用描述法可表示為：.
（3）方程的所有實(shí)數(shù)解組成的集合，
用描述法可表示為：.
（4）拋物線上所有點(diǎn)組成的集合，
用描述法可表示為：.
（5）集合，用描述法可表示為：且.
變式6．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）用描述法表示下列集合：
(1)偶數(shù)組成的集合；
(2)正奇數(shù)組成的集合；
(3)不等式－x2≥0的解集；
(4)平面直角坐標(biāo)系中第四象限內(nèi)的點(diǎn)組成的集合；
(5)集合.
【解析】（1）由偶數(shù)可以表示成整數(shù)的兩倍，
故偶數(shù)組成的集合可表示為{x|x＝2n, n∈Z}或{x|x為偶數(shù)}
（2）由奇數(shù)可以表示成整數(shù)的兩倍加1，
故正奇數(shù)組成的集合可表示為{x|x＝2n＋1, n∈N}或{x|x為正奇數(shù)}
（3）不等式－x2≥0的解集可表示為{x|－x2≥0}
（4）由第四象限的點(diǎn)橫坐標(biāo)為正，縱坐標(biāo)為負(fù)
故平面直角坐標(biāo)系中第四象限內(nèi)的點(diǎn)組成的集合可表示為：{(x, y)|x>0,y

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