題型一：三角形的“四心”
題型二：幾種特殊的三角形
題型三：直線與圓的位置關系
題型四：點的軌跡
【知識點梳理】
知識點1：三角形的“四心”
三角形是最重要的基本平面圖形，很多較復雜的圖形問題可以化歸為三角形的問題.
如圖3.2-1 ，在三角形中，有三條邊，三個角，三個頂點，在三角形中，角平分線、中線、高（如圖3.2-2）是三角形中的三種重要線段.
三角形的三條中線相交于一點，這個交點稱為三角形的重心.三角形的重心在三角形的內部，恰好是每條中線的三等分點.
三角形的三條角平分線相交于一點，是三角形的內心. 三角形的內心在三角形的內部，它到三角形的三邊的距離相等.
三角形的三條高所在直線相交于一點，該點稱為三角形的垂心.銳角三角形的垂心一定在三角形的內部，直角三角形的垂心為他的直角頂點，鈍角三角形的垂心在三角形的外部.
過不共線的三點A、B、C有且只有一個圓，該圓是三角形ABC的外接圓，圓心O為三角形的外心.三角形的外心到三個頂點的距離相等，是各邊的垂直平分線的交點.
知識點2：幾種特殊的三角形
結論一：等腰三角形底邊上三線（角平分線、中線、高線）合一.因而在等腰三角形ABC中，三角形的內心I、重心G、垂心H必然在一條直線上.
結論二：正三角形三條邊長相等，三個角相等，且四心（內心、重心、垂心、外心）合一，該點稱為正三角形的中心.
知識點3：直線與圓的位置關系
設有直線和圓心為且半徑為的圓，怎樣判斷直線和圓的位置關系？
圖1
觀察圖1，不難發(fā)現(xiàn)直線與圓的位置關系為：當圓心到直線的距離時，直線和圓相離，如圓與直線；當圓心到直線的距離時，直線和圓相切，如圓與直線；當圓心到直線的距離時，直線和圓相交，如圓與直線.
圖2
在直線與圓相交時，設兩個交點分別為A、B.若直線經過圓心，則AB為直徑；若直線不經過圓心，如圖2，連結圓心和弦的中點的線段垂直于這條弦.且在中，為圓的半徑，為圓心到直線的距離，為弦長的一半，根據勾股定理，有.
圖3
當直線與圓相切時，如圖3，為圓的切線，可得，，且在中，.
圖4
如圖4，為圓的切線，為圓的割線，我們可以證得，因而.
知識點4：點的軌跡
在幾何中，點的軌跡就是點按照某個條件運動形成的圖形，它是符合某個條件的所有點組成的.例如，把長度為的線段的一個端點固定，另一個端點繞這個定點旋轉一周就得到一個圓，這個圓上的每一個點到定點的距離都等于；同時，到定點的距離等于的所有點都在這個圓上.這個圓就叫做到定點的距離等于定長的點的軌跡.
我們把符合某一條件的所有的點組成的圖形，叫做符合這個條件的點的軌跡.這里含有兩層意思：（1）圖形是由符合條件的那些點組成的，就是說，圖形上的任何一點都滿足條件；（2）圖形包含了符合條件的所有的點，就是說，符合條件的任何一點都在圖形上.
下面，我們討論一些常見的平面內的點的軌跡.
從上面對圓的討論，可以得出：
到定點的距離等于定長的點的軌跡是以定點為圓心，定長為半徑的圓.
我們學過，線段垂直平分線上的每一點，和線段兩個端點的距離相等；反過來，和線段兩個端點的距離相等的點，都在這條線段的垂直平分線上.所以有下面的軌跡：
和已知線段兩個端點的距離相等的點的軌跡，是這條線段的垂直平分線.
由角平分線性質定理和它的逆定理，同樣可以得到另一個軌跡：
到已知角的兩邊距離相等的點的軌跡，是這個角的平分線.
【題型歸納目錄】
題型一：三角形的“四心”
題型二：幾種特殊的三角形
題型三：直線與圓的位置關系
題型四：點的軌跡
【典例例題】
題型一：三角形的“四心”
例1．（2023·湖北武漢·?？家荒＃┤鐖D，已知，M為邊上一動點，，D為邊上一動點，，交于點N．
(1)【問題提出】三角形的三條中線會相交于一點，這一點就叫做三角形的重心，重心有很多美妙的性質，請大家探究以下問題
若，則______（直接寫出結果）
(2)【問題探究】若，猜想與n存在怎樣的數(shù)量關系？并證明你的結論
(3)【問題拓展】若，，則______（直接寫出結果）
例2．（2023·江蘇常州·常州市第二十四中學?？寄M預測）如圖，在矩形中，，，連接，將繞點D順時針旋轉，記旋轉后的三角形為，旋轉角為且.
(1)在旋轉過程中，當落在線段上時，求的長；
(2)連接、，當時，求；
(3)在旋轉過程中，若的重心為G，則的最小值=________.
例3．（2023·上海楊浦·統(tǒng)考一模）如圖，已知中，點D、E分別在邊和上，，且DE經過的重心G．
(1)設，___________（用向量表示）
(2)如果，，求邊的長．
例4．（2022·吉林長春·?？寄M預測）如圖，在中，，，，點從點出發(fā)，以每秒個單位長度的速度沿向點運動，過點作交邊或邊于點，點是射線上的一點，且，以、為鄰邊作矩形．設矩形與重疊部分圖形的面積為，點的運動時間為（秒）．
(1)用含的代數(shù)式表示線段的長．
(2)當點落在上時，求的值．
(3)當矩形與重疊部分圖形為四邊形時，求與之間的函數(shù)關系式．
(4)若重心為，矩形中心為，當點與點到直線距離相同時，請直接寫出的值．
例5．（2023·陜西西安·西安市鐵一中學?？寄M預測）問題提出

（1）如圖1，已知點為線段上一動點，分別過點作，，連接. 若，，，則的最小值為 ；
問題解決
（2）如圖2，某公園規(guī)劃修建一塊形如四邊形的牡丹園，其中，，，，，的內心處修建一個圓形噴水池，公園的入口是的中點，是一條觀賞小道，其余部分種植牡丹，現(xiàn)需要在邊上取點，上找點，修建道路 為了節(jié)省成本，需要使修建的道路最短，即的值最小，是否存在這樣的點，使得的值最小？ 若存在，請求出其最小值；若不存在，請說明理由.
例6．（2023·安徽六安·?？寄M預測）我們知道，三角形三個內角平分線的交點叫做三角形的內心，已知點I為的內心．

(1)如圖1，連接并延長交于點D，若，求的長；
(2)如圖2，過點I作直線交于點M，交于點N．
①若，求證：；
②如圖3，交于點D，若，，求的值．
例7．（2023·福建泉州·統(tǒng)考二模）如圖，在中，點I是的內心．

(1)求作過點I且平行于的直線，與分別相交于點D，E（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；
(2)若，，，求的長．
例8．（2023·浙江寧波·統(tǒng)考二模）在的正方形網格中，每個小正方形的頂點稱為格點，分別按要求畫出圖形（僅用無刻度直尺，并保留畫圖痕跡）．
(1)在圖1中，已知線段的端點均在格點上，畫出一個以為腰的等腰，且C在格點上．
(2)在圖2中，已知為格點三角形，作出的內心點Ⅰ．
例9．（2023·湖北武漢·校聯(lián)考二模）
【問題背景】
（1）如圖1，點B，C，D在同一直線上，，求證：；
【問題探究】
（2）在（1）條件下，若點C為的中點，求證：；
【拓展運用】
（3）如圖2，在中，，點O是的內心，若，，則的長為______．
例10．（2021·山西呂梁·統(tǒng)考二模）閱讀下列材料，并完成相應的學習任務：
我們知道三角形外接圓的圓心叫做三角形的外心，三角形內切圓的圓心叫做三角形的內心．由于三角形的三條高（或高所在的直線）相交于一點，因此我們把三角形三條高的交點叫做三角形的垂心．下面我們以銳角三角形為例，證明三角形的三條高相交于一點．
如圖，在△ABC中，AD，BE分別是BC，AC邊上的高，且AD與BE相交于點P．連接CP并延長，交AB于點F．
求證：CF⊥AB．
證明：分別過點A，B，C作它們所對邊的平行線，三條平行線兩兩相交于點M，N，Q．分別連接PM，PN，PQ．
∵MNBC，MQAB，NQAC，
∴四邊形MABC，四邊形ANBC，四邊形ABQC都是平行四邊形．
∴BC=AM=AN，AC=BN=BQ，AB=MC=CQ．
∵AD⊥BC，
∴∠MAD=∠ADB=90°，即AD⊥MN．
∴PM=PN．
…
學習任務：
（1）請將上面剩余的證明過程補充完整；
（2）點P是△MNQ的 ．（填出字母代號即可）
A．內心 B．外心 C．垂心 D．重心
（3）若∠CAB=40°，則∠MPN= °．
例11．（2022秋·江蘇·九年級專題練習）在學習三角形高線時，發(fā)現(xiàn)三角形三條高線交于一點，我們把這個交點叫做三角形的垂心．課后小明同學繼續(xù)探究，上網搜索得到了三角形重心的一條性質，制作了如下表格進行探究．
(1)表格中①處應填： ．
(2)小明先選擇了直角三角形來探究重心的性質，寫出了已知求證，請完成證明．
已知：如圖1，⊙O是的外接圓，，H是的垂心，，垂足為E．
求證：．
(3)如圖2，⊙O是銳角三角形ABC的外接圓，高線AF與高線CG交于點H，于點E，為了證明．小明想把銳角三角形的問題轉化為直角三角形，為此他過點B作了⊙O的直徑BD，請繼續(xù)小明的思路證明．
例12．（2017秋·湖北武漢·九年級階段練習）如圖①，小聰在學習圓的性質時發(fā)現(xiàn)一個結論，△ABC內接于⊙O，AD⊥BC，則∠BAD=∠OAC．
(1)請你幫小聰證明這個結論；
(2)運用以上結論解決問題：如圖②，H為△ABC的垂心，若∠ABC的平分線BE⊥HO，⊙O的半徑為10，求弦AC的長．
例13．（2023·遼寧沈陽·沈陽市第一三四中學校考三模）如圖，在平面直角坐標系中，直線與x軸、y軸分別交于點M、N，點N坐標為，，一個高為3的等邊，邊在x軸上，將此三角形沿著x軸平移，在平移過程中，得到．
(1)求直線l的表達式；
(2)當?shù)耐庑腜恰好落在直線l上時；求P點的坐標；
(3)當點在第一象限時，若為等腰三角形，請直接寫出點的坐標．
例14．（2023·湖北襄陽·統(tǒng)考模擬預測）已知菱形的邊長為4．，等邊兩邊分別交邊于點E，F(xiàn)．

(1)特殊發(fā)現(xiàn)：如圖1，若點E，F(xiàn)分別是邊的中點．求證：菱形對角線的交點O即為等邊的外心；
(2)若點E，F(xiàn)始終分別在邊上移動，等邊的外心為點P．
①猜想驗證：如圖2．猜想的外心P落在哪條直線上，并加以證明；
②學以致用：如圖3，當?shù)拿娣e最小時，過點P任作一直線分別交邊于點M，交邊的延長線于點N，求的值．
題型二：幾種特殊的三角形
例15．（2023·安徽蚌埠·統(tǒng)考三模）如圖，直線與反比例函數(shù)在第一條限內交于，兩點，軸上的點滿足．

(1)若點坐標為，求點的坐標；
(2)若的面積為，求實數(shù)的值；
(3)設點，的坐標分別為，，求的值．
例16．（2023·安徽蚌埠·統(tǒng)考三模）如圖，為正方形的邊上一點，為等腰直角三角形，其中．

(1)如圖1，連接，求的大??；
(2)設交對角線于點，斜邊交對角線于點，交邊于點．
①如圖2，若，求的長；
②如圖3，若為中點，求的值．
例17．（2023·四川達州·統(tǒng)考中考真題）（1）如圖①，在矩形的邊上取一點，將沿翻折，使點落在上處，若，求的值；

（2）如圖②，在矩形的邊上取一點，將四邊形沿翻折，使點落在的延長線上處，若，求的值；
（3）如圖③，在中，，垂足為點，過點作交于點，連接，且滿足，直接寫出的值．
例18．（2023·新疆·統(tǒng)考中考真題）如圖，和相交于點，，．點、分別是、的中點．

(1)求證：；
(2)當時，求證：四邊形是矩形．
例19．（2023·廣東深圳·校聯(lián)考模擬預測）如圖，是邊長為的等邊三角形，是上一動點，連接，以為邊向的右側作等邊，連接.

(1)【嘗試初探】
如圖1，當點在線段上運動時，與相交于點，在運動過程中發(fā)現(xiàn)有兩個三角形始終保持全等，請你找出這對全等三角形，并說明理由.
(2)【深入探究】
如圖2，當點在線段上運動時，延長ED，交CB的延長線于點H，隨著D點位置的變化，H點的位置隨之發(fā)生變化，當時，求的值.
(3)【拓展延伸】
如圖3，當點在的延長線上運動時，、相交于點，設的面積為，的面積為，當時，求的長.
例20．（2023·江蘇揚州·統(tǒng)考二模）如圖，D為等邊三角形的邊延長線上一點，以為邊作等邊三角形，連接交于點F．

(1)求證：；
(2)若，且，求的長．
題型三：直線與圓的位置關系
例21．（2023·浙江溫州·溫州市第二十三中學?？既＃┤鐖D，已知等腰，．動點P從點A出發(fā)，沿方向運動，到B點結束．點E為上的一個固定點，過B，P，E三點的交線段于點F，連結．記，當點P運動到時，此時．

(1)求的值；
(2)點P運動到中點時，求的面積和的半徑．
(3)在整個運動過程中，
①當四邊形中有兩條邊相等時，求x的值；
②連結，當時，則與的比是 ______．（直接寫出答案）
例22．（2023·河南新鄉(xiāng)·統(tǒng)考三模）閱讀下列材料，并完成相應學習任務：
我們知道，圓內接四邊形的對角互補，那么過對角互補的四邊形的四個頂點能作一個圓嗎？學習小組經過探究發(fā)現(xiàn)：過對角互補的四邊形的四個頂點能作一個圓．下面是學習小組的證明過程：
已知：在四邊形中，
求證：過點、、、可作一個圓．
證明：假設過點、、、四點不能作一個圓，設過點、、三點作出的圓為．分兩種情況討論．
①如圖（），若點在內．延長交于點，連接．
是的外角，
．
，，
，與矛盾，
②如圖（），若點在外．設交于點，連接．
是的外角，
．
，，
，與矛盾．
綜上可知，假設不成立，故過點、、、可作一個圓．
學習任務：
(1)在以上應用反證法的證明過程中主要體現(xiàn)的數(shù)學思想是______．
(2)應用上述結論，解決以下問題：
如圖（3），在四邊形中，，對角線，交于點．
①若，求的度數(shù)；
②若，，求的長．
例23．（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考中考真題）已知，是半徑為1的的弦，的另一條弦滿足，且于點H（其中點H在圓內，且）．

(1)在圖1中用尺規(guī)作出弦與點H（不寫作法，保留作圖痕跡）．
(2)連結，猜想，當弦的長度發(fā)生變化時，線段的長度是否變化？若發(fā)生變化，說明理由：若不變，求出的長度；
(3)如圖2，延長至點F，使得，連結，的平分線交的延長線于點P，點M為的中點，連結，若．求證：．
例24．（2023·四川達州·統(tǒng)考中考真題）如圖，內接于是延長線上的一點，，相交于點．

(1)求證：是的切線；
(2)若，，求的長．
例25．（2023·浙江紹興·校聯(lián)考三模）如圖，已知，在中，，以為直徑作，交邊的中點．于點，連結．

(1)求證：是的切線．
(2)請你給添加一個條件，并求弧的長．
例26．（2023·福建福州·?？既＃┤鐖D，已知的半徑為2，是的直徑，點是延長線上一點．以為邊作，使得，，與的交點為，連接，．

(1)判斷直線和位置關系；
(2)若的長為，，延長交于點，求證：．
例27．（2023·河北滄州·模擬預測）如圖是少年宮科技發(fā)明小組制作的一個鐘表，鐘面的大小會隨時間的變化而發(fā)生改變.鐘表底座為兩根金屬滑槽和，且于點，鐘面由若干個形如菱形的可活動木條組成，指針繞點轉動，菱形的頂點與點用連桿連接.將其抽象為圖，為點的運動軌跡，與交于點，連接，與相切，且點，，恰好在同一條直線上.
請根據圖解答下列問題：

(1)求證：；
(2)若，，求的長.
題型四：點的軌跡
例28．（2023·河南鄭州·河南省實驗中學校考三模）綜合與實踐課上，老師讓同學們以“矩形與垂直”為主題開展數(shù)學活動．

(1)操作判斷
如圖1，正方形紙片，在邊上任意取一點，連接，過點作于點，與邊交于點．
根據以上操作，請直接寫出圖1中與的數(shù)量關系：______．
(2)遷移探究
小華將正方形紙片換成矩形紙片，繼續(xù)探究，過程如下：
如圖2，在矩形紙片中，，在邊上任意取一點，連接，過點作于點，與邊交于點，請求出的值，并說明理由；
(3)拓展應用
如圖3，已知正方形紙片的邊長為，動點由點向終點做勻速運動，動點由點向終點做勻速運動，動點、同時開始運動，且速度相同，連接、，交于點，連接，則線段長度的最小值為______，點的運動軌跡的長為______．（直接寫出答案不必說明理由）
例29．（2023·河南·河南省實驗中學?？既＃┚C合與實踐課上，老師讓同學們以“矩形與垂直”為主題開展數(shù)學活動．
（1）操作判斷
如圖1，正方形紙片，在邊上任意取一點，連接，過點作于點，與邊交于點．根據以上操作，請直接寫出圖1中與的數(shù)量關系：______．

（2）遷移探究
小華將正方形紙片換成矩形紙片，繼續(xù)探究，過程如下：
如圖2，在矩形紙片中，，在邊上任意取一點，連接，過點作于點，與邊交于點，請求出的值，并說明理由．

（3）拓展應用
如圖3，已知正方形紙片的邊長為2，動點由點向終點做勻速運動，動點由點向終點做勻速運動，動點、同時開始運動，且速度相同，連接、，交于點，連接，則線段長度的最小值為______，點的運動軌跡的長為______．（直接寫出答案不必說明理由）

例30．（2023秋·廣東廣州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，拋物線的圖象與x軸交于點、與y軸交于點C，頂點為D．以為直徑在x軸上方畫半圓交y軸于點E，圓心為I，P是半圓上一動點，連接，點Q為的中點．
(1)試用含a的代數(shù)式表示c；
(2)若恒成立，求出此時該拋物線解析式；
(3)在（2）的條件下，當點Р沿半圓從點B運動至點A時，點Q的運動軌跡是什么，試求出它的路徑長．
【過關測試】
一、單選題
1．（2023·廣東汕頭·校考一模）如圖中，平分，則的面積為（ ）

A．2B．3C．4D．6
2．（2023·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考三模）如圖，中，，將線段繞點逆時針旋轉得到線段，過作于，若，則長為（ ）

A．B．C．D．2
3．（2023·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考三模）如圖，為的直徑，為的切線，連接交于點，連接，若，則的度數(shù)為（ ）

A．B．C．D．
4．（2023·吉林長春·統(tǒng)考三模）如圖，在中，，按下列方式作圖：①以點為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交于點；②分別以點為圓心，大于的長度為半徑畫弧，兩弧交于點；③作射線交于點，若．則的面積為（ ）

A．7B．8C．14D．16
5．（2023·浙江麗水·統(tǒng)考一模）如圖，在菱形中，，，垂足分別為E，F(xiàn)，連接，則下列結論錯誤的是（ ）

A．B．C．D．
6．（2023·內蒙古包頭·統(tǒng)考一模）如圖，將四個邊長為1的小正方形拼成一個大正方形，A，B，C，D，O在小正方形的頂點上，的半徑為1，E是劣弧的中點，則的度數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
7．（2023·浙江杭州·杭州市十三中教育集團（總校）校考三模）如圖，點A、B、C在圓O上，若，則的度數(shù)為（ ）

A．B．C．D．
8．（2023·江蘇南京·南師附中樹人學校?？既＃┤鐖D，在半圓中，，將半圓沿弦所在的直線折疊，若弧恰好過圓心，則弧的長是（ ）

A．B．C．D．
9．（2023·吉林長春·東北師大附中?？既＃┤鐖D，四邊形內接于，是等邊三角形，四邊形是平行四邊形，則的度數(shù)是（ ）

A．B．C．D．
10．（2023·浙江溫州·?？既＃┰趲缀螌W發(fā)展的歷史長河中，人們發(fā)現(xiàn)了許多經久不衰的平面幾何定理，蘇格蘭數(shù)學家羅伯特·西姆森發(fā)現(xiàn)從三角形外接圓上任意一點向三邊（或其延長線）所作垂線的垂足共線，這三個垂足的連線后來被稱為著名的“西姆森線”．如圖，半徑為4的為的外接圓，過圓心O，那么過圓上一點P作三邊的垂線，垂足E、F、D所在直線即為西姆森線，若，，則的值為（ ）

A．B．C．D．
二、填空題
11．（2023·江蘇南京·南師附中樹人學校?？既＃┤鐖D，、是的切線，A、為切點，點、在上．若，則的度數(shù)是________．

12．（2023·廣東深圳·?？既＃┤鐖D，四邊形內接于，是的直徑，連接，若，則的度數(shù)是________．

13．（2023·安徽安慶·校考三模）如圖，已知，在中，，是優(yōu)弧上一點，、是劣弧上不同的兩點（不與、兩點重合），則的度數(shù)為_____°．

14．（2023·河南新鄉(xiāng)·統(tǒng)考三模）如圖，在中，，，，點D在AC邊上，，點為斜邊上一動點，連接PD，PC，則周長的最小值為______．

15．（2023·遼寧沈陽·沈陽市第一二六中學校考三模）如圖，和均為等邊三角形，邊長分別為12和8，點D在直線上運動，C、E在直線上方，分別連接，它們相交于點F，連接，則的長為______．

16．（2023·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考三模）如圖，已知的半徑為7，是的弦，點在弦上．若，則的長為______________．

三、解答題
17．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考二模）如圖，在中，．

(1)若，求的度數(shù)．
(2)畫的平分線交于點D，過點D作于點E．若，求的長．（畫圖工具不限）
18．（2023·安徽蚌埠·統(tǒng)考三模）如圖，是的直徑，將弦繞點順時針旋轉得到，此時點的對應點落在上，延長，交于點．

(1)證明：；
(2)若，求圖中陰影部分的面積．
19．（2023·廣東肇慶·統(tǒng)考一模）如圖，點，分別在的邊，上，，連接，．若，

(1)證明：．
(2)證明：為菱形．
20．（2023·江蘇無錫·統(tǒng)考二模）如圖，和均為等腰三角形，，，，點D在線段上（與A，B不重合），連接．

(1)證明：．
(2)若，，求的長．
21．（2023·福建福州·福建省福州延安中學校考三模）如圖，在中，為的直徑，為弦、，．

(1)求的度數(shù)；
(2)在圖（1）中，P為直徑的延長線上一點，且，求證：為的切線．
22．（2023·北京順義·統(tǒng)考二模）如圖，，分別與相切于，兩點，是的直徑．

(1)求證：
(2)連接交于點，若，，求的長．
23．（2023·黑龍江綏化·?？寄M預測）如圖，為銳角三角形．

(1)實踐與操作：以為直徑作，分別交于點（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法，標明字母）．
(2)猜想與證明：在（1）的條件下，若，試猜想與之間的數(shù)量關系，并說明理由．
24．（2023·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考三模）在正方形中，點分別在邊和上，連接平分．

(1)如圖1，求證：平分；
(2)如圖2，連接分別交于，連接，在不添加任何輔助線的情況下，直接寫出圖2中所有的直角三角形（等腰直角三角形除外）．三角形關型
直角三角形
銳角三角形
鈍角三角形
垂心的位置
直角頂點
①
在三角形外部
垂心的性質
三角形任意頂點到垂心的距離等于外心到對邊的距離的兩倍．
圖形
圖1
圖2

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