（暑假班）蘇教版新高一數(shù)學(xué)暑假講義專題11 對數(shù)（九大題型）（2份，原卷版+解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

題型一：對數(shù)的定義
題型二：指數(shù)式與對數(shù)式互化及其應(yīng)用
題型三：利用對數(shù)恒等式化簡求值
題型四：積、商、冪的對數(shù)
題型五：一類與對數(shù)有關(guān)方程的求解問題
題型六：對數(shù)運算法則的應(yīng)用
題型七：換底公式的運用
題型八：由已知對數(shù)求解未知對數(shù)式
題型九：證明常見的對數(shù)恒等式
【知識點梳理】
知識點一、對數(shù)概念
1、對數(shù)的概念
如果，那么數(shù)b叫做以a為底N的對數(shù)，記作：．其中叫做對數(shù)的底數(shù)，叫做真數(shù)．
知識點詮釋：
對數(shù)式中各字母的取值范圍是：且，，．
2、對數(shù)（且）具有下列性質(zhì)：
（1）0和負(fù)數(shù)沒有對數(shù)，即；
（2）1的對數(shù)為0，即；
（3）底的對數(shù)等于1，即．
3、兩種特殊的對數(shù)
通常將以10為底的對數(shù)叫做常用對數(shù)，．以e（e是一個無理數(shù)，）為底的對數(shù)叫做自然對數(shù)，簡記為．
4、對數(shù)式與指數(shù)式的關(guān)系
由定義可知：對數(shù)就是指數(shù)變換而來的，因此對數(shù)式與指數(shù)式聯(lián)系密切，且可以互相轉(zhuǎn)化．它們的關(guān)系可由下圖表示．
由此可見a，b，N三個字母在不同的式子中名稱可能發(fā)生變化．
知識點二、對數(shù)的運算法則
已知，（且，、）
（1）正因數(shù)的積的對數(shù)等于同一底數(shù)各個因數(shù)的對數(shù)的和；
推廣：
（2）兩個正數(shù)的商的對數(shù)等于被除數(shù)的對數(shù)減去除數(shù)的對數(shù)；
（3）正數(shù)的冪的對數(shù)等于冪的底數(shù)的對數(shù)乘以冪指數(shù)；
知識點詮釋：
（1）利用對數(shù)的運算法則時，要注意各個字母的取值范圍，即等式左右兩邊的對數(shù)都存在時等式才能成立．
（2）不能將和、差、積、商、冪的對數(shù)與對數(shù)的和、差、積、商、冪混淆起來，即下面的等式是錯誤的：
，
，
．
知識點三、對數(shù)公式
1、對數(shù)恒等式：
2、換底公式
同底對數(shù)才能運算，底數(shù)不同時可考慮進(jìn)行換底，在a>0，a≠1，M>0的前提下有：
（1）
令，則有，，即，即，即：．
（2），令，則有，則有
即，即，即
當(dāng)然，細(xì)心一些的同學(xué)會發(fā)現(xiàn)（1）可由（2）推出，但在解決某些問題（1）又有它的靈活性．而且由（2）還可以得到一個重要的結(jié)論：．
【典例例題】
題型一：對數(shù)的定義
例1．（2023·高一課時練習(xí)）有下列說法：
①以10為底的對數(shù)叫作常用對數(shù)；
②任何一個指數(shù)式都可以化成對數(shù)式；
③以e為底的對數(shù)叫作自然對數(shù)；
④零和負(fù)數(shù)沒有對數(shù).
其中正確的個數(shù)為（）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】根據(jù)常用對數(shù)以及自然對數(shù)的概念可知①③正確，根據(jù)對數(shù)的性質(zhì)可知④正確，
只有當(dāng)且時，指數(shù)式才可以化成對數(shù)式，②錯誤，
故選：C
例2．（2023·高一課時練習(xí)）給出下列說法:
①零和負(fù)數(shù)沒有對數(shù);
②任何一個指數(shù)式都可以化成對數(shù)式;
③以10為底的對數(shù)叫作常用對數(shù);
④以為底的對數(shù)叫作自然對數(shù).
其中正確的個數(shù)為（）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】零和負(fù)數(shù)沒有對數(shù)，命題①正確；
，不能寫成對數(shù)式，命題②錯誤，；
以10為底的對數(shù)叫做常用對數(shù)，命題③正確；
以為底的對數(shù)叫作自然對數(shù)，命題④正確；
故正確命題是①③④，
故選：C.
例3．（2023·湖南長沙·高一長沙市明德中學(xué)?？计谥校┮阎?，則x的值為（）
A．2B．4C．6D．8
【答案】D
【解析】∵，則.
故選：D.
變式1．（2023·高一單元測試）已知對數(shù)式有意義，則a的取值范圍為（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由有意義可知，解得且，
所以a的取值范圍為.
故選：B
題型二：指數(shù)式與對數(shù)式互化及其應(yīng)用
例4．（2023·高一課時練習(xí)）下列指數(shù)式與對數(shù)式互化不正確的一組是（）
A．與B．與
C．與D．與
【答案】C
【解析】根據(jù)指數(shù)式與對數(shù)式互化可知：
對于選項A：等價于，故A正確；
對于選項B：等價于，故B正確；
對于選項C：等價于，故C錯誤；
對于選項D：等價于，故D正確；
故選：C.
例5．（2023·全國·高一專題練習(xí)）下列對數(shù)式中，與指數(shù)式等價的是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】對于A，等價于，A錯誤；
對于B，等價于，B錯誤；
對于C，等價于，C正確；
對于D，等價于，D錯誤.
故選：C.
例6．（2023·高一課時練習(xí)）將下列指數(shù)式與對數(shù)式互化：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．
【解析】（1）因為，所以有：.
（2）因為，所以有：.
（3）因為，所以有：.
（4）因為，所以有：.
（5）因為，所以有：.
（6）因為，所以有：.
變式2．（2023·高一課前預(yù)習(xí)）將下列指數(shù)式與對數(shù)式互化：
(1);
(2)；
(3);
(4)（且，）．
【解析】(1)由已知等式，兩邊取對得：，即.
(2)由已知等式，兩邊取對得：，即.
(3)由已知等式，可得：，即32＝9.
(4)由已知等式，可得：，即.
變式3．（2023·高一課時練習(xí)）將下列指數(shù)式與對數(shù)式互化：
(1);
(2)；
(3);
(4).
【解析】（1）由已知等式，可得：，即.
（2）由已知等式，可得：，即.
（3）由已知等式，兩邊取對：，可得.
（4）由已知等式，兩邊取對：，可得.
變式4．（2023·全國·高一專題練習(xí)）利用指數(shù)式、對數(shù)式的互化求下列各式中x的值．
（1）；
（2）；
（3）．
【解析】（1）由，得，∴；
（2）由，得，且；
（3）由，得，∴，.∵，∴或．
題型三：利用對數(shù)恒等式化簡求值
例7．（2022·上海市楊浦高級中學(xué)高一期中）化簡的結(jié)果為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】，
故選：C
例8．（2022·全國·高一專題練習(xí)）計算
(1)
(2)
【解析】（1）;
（2）.
例9．（2022·新疆維吾爾自治區(qū)喀什第二中學(xué)高三階段練習(xí)）化簡：＝________．
【答案】2
【解析】.
故答案為：2．
變式5．（2022·貴州·遵義四中高一期末）______．
【答案】
【解析】.
故答案為：.
題型四：積、商、冪的對數(shù)
例10．（2023·高一課時練習(xí)）計算：lg43×=____．
【答案】/
【解析】原式.
故答案為：
例11．（2023·高一課時練習(xí)）計算：____．
【答案】/
【解析】原式
.
故答案為：.
例12．（2023·遼寧大連·高一階段練習(xí)）計算：______．
【答案】9
【解析】原式.
故答案為：9
變式6．（2023·湖北十堰·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）__________．
【答案】6
【解析】.
故答案為：6.
變式7．（2023·安徽馬鞍山·高一馬鞍山二中?？奸_學(xué)考試）計算結(jié)果是_．
【答案】4
【解析】因為，，，
，
所以．
故答案為：.
題型五：一類與對數(shù)有關(guān)方程的求解問題
例13．（2023·上海楊浦·高一復(fù)旦附中校考期末）方程的解為___________.
【答案】或
【解析】令，
則方程化為，
解得或，
即或，
故答案為：或.
例14．（2023·上海虹口·高一上外附中?？计谥校┰O(shè)、是關(guān)于x的方程的兩個實數(shù)根,則_______．
【答案】
【解析】解:由題知的兩個實數(shù)根是、,
根據(jù)韋達(dá)定理有,
即,
即,
.
故答案為:
例15．（2023·廣東惠州·高一惠州一中?？计谥校┯洠瑒t關(guān)于的方程的解集為_________.
【答案】
【解析】因為
，
所以方程可化為，
令，則可化為，解得或（舍去），
所以，故，
所以方程的解集為.
故答案為：.
變式8．（2023·上海徐匯·高一上海市南洋模范中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知是方程的兩個根，則的值是__________．
【答案】2
【解析】因為是方程的兩個根，根據(jù)韋達(dá)定理得所以代入得=2
故答案為：2.
變式9．（2023·云南紅河·高一統(tǒng)考期末）方程的解是_________．
【答案】
【解析】由對數(shù)的運算性質(zhì)，可得，可得，解得．
故答案為：.
變式10．（2023·上?！じ咭粚ｎ}練習(xí)）方程的解為 __________ .
【答案】
【解析】由，得，所以，又因為且，所以；
故答案為：.
題型六：對數(shù)運算法則的應(yīng)用
例16．（2022·全國·高一專題練習(xí)）______．（用數(shù)字作答）
【答案】1
【解析】
.
故答案為：1
例17．（2022·全國·高一課時練習(xí)）計算：
(1)；
(2)；
(3)．
【解析】（1）方法一：（直接運算）原式．
方法二：（拆項后運算）原式
．
（2）原式
．
（3）原式
．
例18．（2022·全國·高一課時練習(xí)）(1)；
(2)．
【解析】解:(1)原式
．
(2)原式
．
變式11．（2022·全國·高一專題練習(xí)）求值
【解析】原式
.
變式12．（2022·廣西·興安縣第二中學(xué)高一期中）計算下列各式的值：
(1)
(2)
【解析】（1）;
（2）.
題型七：換底公式的運用
例19．（2023·高一課時練習(xí)）若，，則____．
【答案】2
【解析】由可得，
由可得，即，
故，
故答案為：2
例20．（2023·河北衡水·高一?？奸_學(xué)考試）已知，則__________.
【答案】2
【解析】由題意：，
；
故答案為：2.
例21．（2023·上海徐匯·高一統(tǒng)考期末）已知（a為常數(shù)，且，），則________．（用a表示）
【答案】
【解析】因為，
所以，
則，
所以，
故答案為：
變式13．（2023·陜西渭南·高一統(tǒng)考期末）=______.
【答案】7
【解析】
.
故答案為：7
變式14．（2023·河北唐山·高一?？茧A段練習(xí)）________．
【答案】1
【解析】由題得.
故答案為：1
變式15．（2023·山東淄博·高一山東省淄博實驗中學(xué)校考期末）若，則的值為___________.
【答案】/
【解析】因為，所以，
所以.
故答案為：.
變式16．（2023·廣西桂林·高一統(tǒng)考期末）_________.
【答案】
【解析】.
故答案為：.
題型八：由已知對數(shù)求解未知對數(shù)式
例22．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知，，那么用含a、b的代數(shù)式表示為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由換底公式，.
故選：B.
例23．（2023·高一單元測試）已知，，則（用，表示）等于（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】，，，
則
故選：D
例24．（2023·高一課時練習(xí)）已知，，則（）（結(jié)果用，表示）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
將已知代入得：．
故選：A．
變式17．（2023·上?！じ咭粚ｎ}練習(xí)）設(shè)，則用表示（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由，所以
故選：B
變式18．（2023·高一課時練習(xí)）若lg5＝a，lg7＝b，用a，b表示lg75等于（）
A．a(chǎn)＋bB．a(chǎn)－bC． D．
【答案】D
【解析】由換底公式得lg75＝.
故選：D
變式19．（2023·上海·高一專題練習(xí)）已知，，則可以用、表示為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】，
∴．
故選：B．
變式20．（2023·高一課時練習(xí)）已知，則可表示為
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因為，
所以.
所以，故選C.
題型九：證明常見的對數(shù)恒等式
例25．（2023·廣西崇左·高一校考階段練習(xí)）求滿足下列條件的各式的值
(1)若，求的值；
(2)設(shè)，求證：.
【解析】（1），
，
，
（2）證明：設(shè)，
則，，.
所以，，.
所以，
所以.
例26．（2023·高一課時練習(xí)）已知，求證：.
【解析】設(shè)()，
則，，，
故.
例27．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）設(shè)a，b均為不等于1的正數(shù)，利用對數(shù)的換底公式，證明：
（1）；
（2）（，，）.
【解析】證明：（1）因為a，b均為不等于1的正數(shù)，
所以左邊右邊，
所以，
（2）因為a，b均為不等于1的正數(shù)，，，
所以左邊右邊，
所以（，，）
變式21．（2023·高一課時練習(xí)）已知a，b，c均為正數(shù)，且，求證：；
【解析】設(shè)，則.
∴，
∴，
而，
∴，得證.
變式22．（2023·江蘇蘇州·高一吳縣中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知a，b，c滿足.
（1）當(dāng)時，試討論a?b?c三個數(shù)的大小關(guān)系；
（2）當(dāng)a，b，c均為正數(shù)，求證：.
【解析】（1）設(shè)，可得，其中，
在同一坐標(biāo)系中，分別作出和的圖象，
當(dāng)時，如圖圖（1）所示，可得；
當(dāng)時，如圖圖（2）所示，可得；
當(dāng)時，如圖圖（3）所示，可得.
（2）設(shè)，可得，其中，
可得，，
所以.
變式23．（2023·高一單元測試）設(shè)，且，求證：
【解析】設(shè)，，則，，.
因為，所以，
即.
所以，即.
【過關(guān)測試】
一、單選題
1．（2023·江西九江·高一校考階段練習(xí)）已知且，下列式子中，錯誤的是（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】若且，
對A、C、D：根據(jù)指數(shù)的運算可得：，，，A錯誤，C、D正確；
對B：根據(jù)對數(shù)的定義可得：，B正確.
故選：A．
2．（2023·陜西榆林·高一陜西省神木中學(xué)校考階段練習(xí)）燕子每年秋天都要從北方飛到南方去過冬，研究燕子的科學(xué)家發(fā)現(xiàn)，成年燕子的飛行速度（單位：）可以表示為函數(shù)，其中表示燕子的耗氧量.當(dāng)一只成年燕子的飛行速度時，它的耗氧量為（）
A．30B．60C．80D．100
【答案】C
【解析】因為，將代入，則，
則，所以，所以，
故選：.
3．（2023·湖南衡陽·高一統(tǒng)考期末）的值為（）
A．10B．C．1D．不能確定
【答案】A
【解析】令，兩邊取常用對數(shù)，得，解得，
故選：A.
4．（2023·上海徐匯·高一上海市南洋模范中學(xué)校考期中）設(shè)都是正數(shù)，且，則下列等式正確的是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因為都是正數(shù)，設(shè)，則，
即有，顯然，
所以，即，A正確；
，B不正確；
，C不正確；
，D不正確.
故選：A
5．（2023·天津河西·高一?？计谀┤簦瑒t（）
A．B．C．1D．
【答案】A
【解析】因為，則，，同理，
所以.
故選：A
6．（2023·全國·高一假期作業(yè)）已知且，則的值為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】設(shè)，則，
又
所以，則.
故選：A.
7．（2023·河北邢臺·高一邢臺一中?？茧A段練習(xí)）已知，則（）
A．B．2C．D．
【答案】A
【解析】因為，所以，
故.
故選：A
8．（2023·高一課時練習(xí)）設(shè)，那么m等于（）
A．B．9C．18D．27
【答案】B
【解析】,
，，
故選：B.
二、多選題
9．（2023·江蘇揚州·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）下列運算正確的是（）
A．B．
C．若，則D．若，則
【答案】BCD
【解析】對于A，，A錯誤；
對于B，，B正確；
對于C，若，則，
故，C正確；
對于D，若，則，
則，D正確，
故選：BCD
10．（2023·山東青島·高一統(tǒng)考開學(xué)考試）已知，，則（）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【解析】對A：，A正確；
對B：，B錯誤；
對C：，C正確；
對D：，D正確.
故選：ACD.
11．（2023·高一單元測試）若，則下列各式中，一定成立的是（）
A．B．
C．D．
【答案】CD
【解析】對于A：當(dāng)，時，等式右邊無意義，A錯；
對于B：當(dāng)，時，等式右邊無意義，B錯；
對于C：，C正確；
對于D：，D正確.
故選：CD．
12．（2023·江西上饒·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知正實數(shù)a，b滿足，且，則的值可以為（）
A．2B．3C．4D．5
【答案】CD
【解析】因為，所以，
故，
設(shè)，則，
故，解得：或2，
當(dāng)時，，故，，故；
當(dāng)時，，故，，故
故選：CD
三、填空題
13．（2023·浙江·高一校聯(lián)考期中）計算：______.
【答案】5
【解析】.
故答案為：5.
14．（2023·上海金山·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）已知，用m表示為__________．
【答案】/
【解析】∵，則，
∴.
故答案為：.
15．（2023·山東臨沂·高一統(tǒng)考期末）已知，則___________.（用表示）
【答案】/
【解析】因為，所以，
故，
故答案為：
16．（2023·遼寧沈陽·高一統(tǒng)考期末）若，是方程的兩個根，則______．
【答案】
【解析】由是方程的根，則，
所以，即，
又由，是方程的兩個根，
所以，即，所以，
所以．
故答案為：
四、解答題
17．（2023·遼寧丹東·高一統(tǒng)考期末）已知實數(shù)，滿足，．
(1)用表示；
(2)計算的值．
【解析】（1）由題意可知，
所以．
（2）因為，
所以．
18．（2023·高一單元測試）求下列各式的值．
(1) ．
(2)已知，，求的值．
【解析】（1）
；
（2） ..
19．（2023·廣東茂名·高一校聯(lián)考期末）（1）求值：；
（2）若，求的值；
（3）已知，用表示.
【解析】（1）；
（2），，
；
（3），
.
20．（2023·湖北十堰·高一?？茧A段練習(xí)）化簡與求值：
(1)；
(2)．
【解析】（1）原式；
（2）
．
21．（2023·高一課時練習(xí)）（1）．
（2）已知，，計算的值．
【解析】（1）原式．
（2）由得：，而，
所以，.
22．（2023·高一課時練習(xí)）已知a>0且a≠1，M>0，N>0.
(1)舉出一個反例說明不成立；
(2)證明：.
【解析】（1）假設(shè)，
則，，
.
因為，
所以當(dāng)時不成立.（反例不唯一，計算正確即可）
（2）令，則
，，
所以.

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