題型一：已知函數(shù)類(lèi)型求解析式
題型二：已知求解析式
題型三：求抽象函數(shù)的解析式
題型四：求解析式中的參數(shù)值
題型五：函數(shù)方程組法求解析式
題型六：求分段函數(shù)的值或者解析式
題型七：分段函數(shù)性質(zhì)及應(yīng)用
題型八：解分段函數(shù)不等式
題型九：已知分段函數(shù)的值求參數(shù)或自變量
【知識(shí)點(diǎn)梳理】
知識(shí)點(diǎn)一：函數(shù)的表示法
1、函數(shù)的三種表示方法：
解析法：用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系．優(yōu)點(diǎn)：簡(jiǎn)明，給自變量求函數(shù)值．
圖象法：用圖象表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系． 優(yōu)點(diǎn)：直觀形象，反應(yīng)變化趨勢(shì)．
列表法：列出表格來(lái)表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系． 優(yōu)點(diǎn)：不需計(jì)算就可看出函數(shù)值．
2、分段函數(shù)：
分段函數(shù)的解析式不能寫(xiě)成幾個(gè)不同的方程，而應(yīng)寫(xiě)函數(shù)幾種不同的表達(dá)式并用個(gè)左大括號(hào)括起來(lái)，并分別注明各部分的自變量的取值情況．
【方法技巧與總結(jié)】
函數(shù)解析式的求解策略有：
（1）直接法：已知的解析式，求的解析式類(lèi)型，直接將整體代入中的；
（2）待定系數(shù)法：即由已知函數(shù)類(lèi)型設(shè)出函數(shù)解析式（通常是一次函數(shù)和二次函數(shù)類(lèi)型），再根據(jù)條件列方程（或方程組），通過(guò)解方程（或方程組）求出待定系數(shù)，進(jìn)而得出函數(shù)的解析式；
（3）換元法（或者叫配湊法）：已知抽象函數(shù)的解析式求的解析式，這個(gè)方法可以看成代入法的逆向思維，即令，反解出，然后代入中得到，進(jìn)而得到的解析式；
（4）解方程組法：該方法是針對(duì)含有關(guān)于兩個(gè)不同變量的函數(shù)，而這兩種變量存在某種特定的關(guān)系，在中學(xué)階段這種關(guān)系通常是互為相反數(shù)或者互為倒數(shù)，然后“互換”兩個(gè)變量建立一個(gè)新的關(guān)于這兩個(gè)變量的關(guān)系，通過(guò)解方程組消去一個(gè)變量，從而得到只含一個(gè)的解析式，最后可以得到的解析式；
（5）賦值法：賦值法是很常用的處理抽象函數(shù)之間的一種方法，對(duì)涉及任意量詞（含，）題目，要特別注意可以通過(guò)賦特殊的值，求出特殊的值對(duì)應(yīng)函數(shù)值，進(jìn)而求出函數(shù)的解析式．
【典例例題】
題型一：已知函數(shù)類(lèi)型求解析式
例1．（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）已知一次函數(shù)滿足，則（ ）
A．12B．13C．14D．15
【答案】B
【解析】設(shè)，則,
因?yàn)椋?br>所以，解得，
所以，.
故選：B.
例2．（2023·吉林·高一吉林毓文中學(xué)校考期中）一次函數(shù)滿足，且，則的解析式為（ ）
A．B．C． D．
【答案】A
【解析】由題意，設(shè).
∵，
即，
可得：.
又∵
即
∴，
∴的解析式為．
故選：A．
例3．（2023·貴州黔東南·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）一次函數(shù)滿足：，則( )
A．1B．2C．3D．5
【答案】C
【解析】設(shè)，
，
∴，解得，∴，∴．
故選：C．
變式1．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知是反比例函數(shù)，且，則的解析式為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】設(shè)，
∵，，
∴.
故選：B.
變式2．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知二次函數(shù)滿足，則（ ）
A．1B．7C．8D．16
【答案】B
【解析】設(shè)，
因?yàn)椋?br>所以，
化簡(jiǎn)可得：，
所以，所以，所以，
所以，所以，
故選：B.
變式3．（2023·江蘇·高一專(zhuān)題練習(xí)）已知是一次函數(shù)，，則（ ）
A．B．C．D．或
【答案】D
【解析】由題意設(shè)，則，
∴，解得或，
∴或．
故選：D.
題型二：已知求解析式
例4．（2023·陜西寶雞·高一統(tǒng)考期末）已知，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由題意，
故，
故選：D
例5．（2023·重慶·高一校聯(lián)考期中）已知，則函數(shù)的解析式為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】因?yàn)?，?br>令，則，，
所以，，
故，，
故選：C
例6．（2023·江蘇常州·高一?？计谀┮阎瘮?shù)滿足，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】因?yàn)?，?br>令，則，，
所以，
故.
故選：C.
變式4．（2023·廣西桂林·高一校考期中）若，且，則（ ）
A．3B．C．D．
【答案】C
【解析】因?yàn)?,則
設(shè)即
則,即
所以
故選:.
變式5．（2023·安徽合肥·高一合肥市第六中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若函數(shù)，且，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A．或B．或3C．D．3
【答案】B
【解析】令，則，
可得：，即，
∵，
∴.
故選：B.
變式6．（2023·吉林·高一吉林省實(shí)驗(yàn)?？计谥校┤簦瑒t的解析式為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】已知，
令，則 ，，
，
.
故選：B.
變式7．（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）已知，則的解析式為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】令，即，則，由，則，
故的解析式為.
故選：C.
變式8．（2023·四川眉山·高一仁壽一中?？计谀┮阎瑒t函數(shù)的解析式是（ ）
A．B．（且）
C．D．
【答案】B
【解析】由題知且，令，則（且），
∴（且），
∴（且）．
故選：B．
題型三：求抽象函數(shù)的解析式
例7．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）若函數(shù)滿足，寫(xiě)出一個(gè)符合要求的解析式_________．
【答案】x(答案不唯一)
【解析】因?yàn)楹瘮?shù)滿足，
所以x，
故答案為：x,答案不唯一
例8．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）是R上的函數(shù)，且滿足，并且對(duì)任意的實(shí)數(shù)都有，則的解析式_______
【答案】
【解析】令，代入得，
又，則，
∴，
故答案為：．
例9．（2023·廣東深圳·高三深圳外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）寫(xiě)出一個(gè)滿足：的函數(shù)解析式為_(kāi)_____.
【答案】
【解析】中，令，解得，
令得，故，
不妨設(shè)，滿足要求.
故答案為：
變式9．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)，，且，，，…，，，則滿足條件的函數(shù)的一個(gè)解析式為_(kāi)_______.
【答案】
【解析】由已知得，，
，
，又，
故答案為：
變式10．（2023·安徽滁州·高三?？茧A段練習(xí)）已知定義在上的函數(shù)滿足：對(duì)于任意的實(shí)數(shù)，，都有，且，則函數(shù)的解析式為_(kāi)____．
【答案】
【解析】令，則，然后結(jié)合條件可得到答案.令，則
所以由可得
因?yàn)?，所?br>故答案為：
變式11．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知，對(duì)于任意實(shí)數(shù)、，恒成立，則的解析式為_(kāi)________.
【答案】
【解析】令，則有，再令，則.
故答案為：.
題型四：求解析式中的參數(shù)值
例10．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知：，且，，則_____.
【答案】2
【解析】因?yàn)椋?，?br>所以且，
所以，
所以，
所以，
故答案為：2.
例11．（2023·四川涼山·高一統(tǒng)考期末）若，且，則______．
【答案】1
【解析】設(shè)，，
所以，即，
，得.
故答案為：1
例12．（2023·福建廈門(mén)·高一統(tǒng)考期末）已知，則______________.
【答案】
【解析】因?yàn)?，所以，則.
故答案為：.
變式12．（2023·海南省直轄縣級(jí)單位·高一海南二中?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知，則的值為_(kāi)_______
【答案】
【解析】，，.
故答案為：.
變式13．（2023·廣東梅州·高一大埔縣虎山中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若函數(shù)，則__________．
【答案】
【解析】，
令，則，
，
即，
.
故答案為：.
變式14．（2023·福建三明·高一校聯(lián)考期中）若函數(shù)滿足，則__________.
【答案】/0.5
【解析】令，則，
所以，即，
所以.
故答案為：.
變式15．（2023·河北石家莊·高一石家莊精英中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知定義在上的函數(shù)滿足，則___________.
【答案】
【解析】令，則；令，則；
由得：.
故答案為：.
題型五：函數(shù)方程組法求解析式
例13．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知，則______．
【答案】.
【解析】因?yàn)? ①，
把換成有：
②，
聯(lián)立①②式有：，
解得.
故答案為：.
例14．（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）若，則______．
【答案】
【解析】由①，
將用代替得②，
由①②得.
故答案為：.
例15．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)函數(shù)是→的函數(shù)，滿足對(duì)一切，都有，則的解析式為_(kāi)_____．
【答案】
【解析】由，得，
將和看成兩個(gè)未知數(shù)，可解得，
當(dāng)時(shí)，，解得，
綜上，
故答案為：.
變式16．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)對(duì)的一切實(shí)數(shù)都有，則______．
【答案】/
【解析】，
，
，
，
故答案為：.
變式17．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）若，則______．
【答案】
【解析】由題意，可知．
解得．
故答案為：
變式18．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且，則________．
【答案】
【解析】在中，將x換成，則換成x，
∴，
將該方程代入已知方程消去，得．
故答案為：．
變式19．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)滿足，則__________.
【答案】
【解析】∵，
∴，
聯(lián)立方程組，可得.
故答案為：
題型六：求分段函數(shù)的值或者解析式
例16．（多選題）（2023·貴州遵義·高一統(tǒng)考期末）函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，則f(x)的解析式是 （ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【解析】結(jié)合圖象可知，當(dāng)x≤0時(shí)，設(shè)，將代入函數(shù)，
得，，同理，當(dāng)x>0時(shí)，，
所以，即.
故選：AC
例17．（多選題）（2023·山東泰安·高一?？计谀┮阎瘮?shù)，關(guān)于函數(shù)的結(jié)論正確的是（ ）
A．B．的值域?yàn)?br>C．的解集為D．若，則的值是
【答案】BD
【解析】對(duì)于A，，A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
的值域?yàn)?，B正確；
對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，解得：；
當(dāng)時(shí)，，解得：；
的解集為，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，解得：（舍）；
當(dāng)時(shí)，，解得：（舍）或；
的解為，D正確.
故選：BD.
例18．（多選題）（2023·廣西·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）(多選)已知函數(shù) 則下列關(guān)于函數(shù)的結(jié)論正確的是（ ）
A．的值域?yàn)?br>B．
C．若，則的值是
D．的解集為
【答案】AC
【解析】當(dāng)時(shí)，的取值范圍是，當(dāng)時(shí)，的取值范圍是，因此的值域?yàn)?，故A正確；
當(dāng)時(shí)，，故B錯(cuò)誤；
當(dāng)時(shí)，由，解得(舍去)，當(dāng)時(shí)，由，解得或(舍去)，故C正確；
當(dāng)時(shí)，由，解得，當(dāng)時(shí)，由，解得，因此的解集為，故D錯(cuò)誤.
故選：AC.
變式20．（多選題）（2023·湖南衡陽(yáng)·高一衡陽(yáng)市田家炳實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù)，關(guān)于函數(shù)的結(jié)論正確的是（ ）
A．的值域?yàn)锽．
C．若，則x的值為D．的解集為
【答案】ABC
【解析】，B正確；
時(shí)，，時(shí)，，，
所以，即值域?yàn)?，A正確；
時(shí)，，不合題意，舍去，時(shí)，，（舍去），所以，C正確 ；
當(dāng)時(shí)，，，所以，
時(shí)，，，
綜上，的解集為或，D錯(cuò)．
故選：ABC．
變式21．（多選題）（2023·寧夏中衛(wèi)·高一中寧一中?？茧A段練習(xí)）如圖是函數(shù)的圖像，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．B．的定義域?yàn)?br>C．的值域?yàn)镈．若，則或2
【答案】CD
【解析】由圖像值，故A錯(cuò)誤；
函數(shù)的定義域?yàn)?，，故B錯(cuò)誤；
函數(shù)的值域?yàn)?，，故C正確；
若，則或2，故正確
故選：．
題型七：分段函數(shù)性質(zhì)及應(yīng)用
例19．（2023·江蘇蘇州·高一南京航空航天大學(xué)蘇州附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)則方程的解集為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】當(dāng)時(shí)，，故，解得或（舍去）；
當(dāng)時(shí)，，故，解得或（舍去）.
綜上所述：或.
故選：B
例20．（2023·江西贛州·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）對(duì)，，記，則函數(shù)（ ）
A．有最大值，無(wú)最小值B．有最大值，無(wú)最小值
C．有最小值，無(wú)最大值D．有最小值，無(wú)最大值
【答案】C
【解析】函數(shù)是
函數(shù)與函數(shù)同一個(gè)取得的兩個(gè)函數(shù)值的較大的值；
作函數(shù)與函數(shù)的圖象如下，
，
由圖象可知，令得，或；
故當(dāng)時(shí)，的最小值為；
故有最小值，但沒(méi)有最大值．
故選：C
例21．（2023·四川內(nèi)江·高一校考期中）若，是，這兩個(gè)函數(shù)中的較小者，則（ ）
A．最大值為2B．最大值為C．最小值為D．無(wú)最小值
【答案】BD
【解析】如圖，作出函數(shù)和函數(shù)的圖象，聯(lián)立易得，，
根據(jù)圖象易知，所以函數(shù)在處取得最大值，無(wú)最小值.
故選：BD.
變式22．（2023·江西吉安·高一階段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)，函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的值為
A．8B．C． 或8D．8或
【答案】C
【解析】當(dāng)時(shí)，，所以，，由得；當(dāng)時(shí)，，所以，，由得，故選C.
考點(diǎn)：分段函數(shù)的表示.
題型八：解分段函數(shù)不等式
例22．（2023·河南南陽(yáng)·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）設(shè)函數(shù),則滿足的的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】當(dāng)時(shí)，，解得或，
所以或；
當(dāng)時(shí)，，解得，
所以；
綜上，滿足的的取值范圍是.
故選：D.
例23．（2023·天津?yàn)I海新·高一?？计谥校┮阎瘮?shù)，若，則的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】當(dāng)時(shí)，，解得；
當(dāng)時(shí)，，解得．
綜上所述，的取值范圍是，，．
故選：D．
例24．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)，則的解集為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】當(dāng)時(shí)，，則可化為，解得，又，所以．
當(dāng)時(shí)，，則可化為，解得，又，所以．綜上，．
故選B．
變式23．（2023·天津和平·高一耀華中學(xué)?？计谥校┰O(shè)函數(shù)，則不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】當(dāng)時(shí)，，即，解得，
故；
當(dāng)時(shí)，，即，解得，故.
綜上所述：.
故選：B.
變式24．（2023·吉林長(zhǎng)春·高一?？计谥校┮阎瘮?shù)，則不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】時(shí)，由解得，
時(shí)，由解得，
綜上不等式的解為或．
所以
故選：A．
變式25．（2023·高一單元測(cè)試）設(shè)函數(shù)若，則的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】當(dāng)時(shí)，，解得：或（舍）
當(dāng)時(shí)，，解得：，
綜上所述：的取值范圍是，
故選：A.
變式26．（2023·江蘇淮安·高一江蘇省洪澤中學(xué)校聯(lián)考期中）已知，則關(guān)于的不等式的解集為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】因?yàn)椋?br>當(dāng)時(shí)，，
故由得，解得，故；
當(dāng)時(shí)，，
故由得，
整理得，解得，故；
當(dāng)時(shí)，，
故由得，解得，故；
綜上：，即的解集為.
故選：B.
變式27．（2023·河北石家莊·高一正定中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，若，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，不等式化為：恒成立，則，
當(dāng)時(shí)，，不等式化為：恒成立，則，
當(dāng)時(shí)，，不等式化為：，解得，則，
所以的取值范圍是.
故選：C
變式28．（2023·福建泉州·高一校聯(lián)考期中）已知函數(shù)，則滿足的的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】如圖所示，在上單調(diào)遞增，不等式有意義則,解得,
當(dāng)，，
解得，又因?yàn)樗?
故選：B
變式29．（2023·北京·高一清華附中朝陽(yáng)學(xué)校?？计谥校┮阎瘮?shù)，則不等式的解集為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】原不等式等價(jià)于或，解得，
故選：C
題型九：已知分段函數(shù)的值求參數(shù)或自變量
例25．（2023·江蘇蘇州·高一統(tǒng)考期中）已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的值是（ ）
A．或5B．3或C．5D．3或或5
【答案】A
【解析】若，則，∴（舍去），
若，則，∴，
綜上可得，或.
故選：A．
例26．（2023·新疆·高一烏魯木齊市第70中?？计谥校┮阎瘮?shù)，若，則值為（ ）
A．或B．或C．或D．或
【答案】C
【解析】因?yàn)?
當(dāng)時(shí)，，解，可得或（舍去；
當(dāng)時(shí)，，解，可得.
綜上所述，或.
故選：C．
例27．（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】C
【解析】由題可知：
①，則
②
所以
故選：C
變式30．（2023·江西贛州·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A．B．C．0D．1
【答案】B
【解析】當(dāng)時(shí)，，則，
當(dāng)時(shí)，，解得，
綜上.
故選：B.
變式31．（2023·四川宜賓·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）已知，若，則的值是（ ）
A．0B．1C．2D．0或2
【答案】D
【解析】當(dāng)時(shí)，由，解得；
當(dāng)時(shí)，由，解得；
則的值是或0.
故選：D.
變式32．（2023·廣東廣州·高一校考期末）已知函數(shù)且，則x的值是（ ）
A．1B．C．1或D．2或1
【答案】C
【解析】當(dāng)時(shí)，，解得；
當(dāng)時(shí)，，解得；
所以x的值是1或，
故選：C.
變式33．（2023·湖北恩施·高一恩施市第一中學(xué)校考階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A．B．1C．D．或1
【答案】C
【解析】由題意知，；
當(dāng)時(shí)，有，解得（舍去）；
當(dāng)時(shí)，有，解得（舍去）或.
所以實(shí)數(shù)的值是：.
故選：C.
變式34．（2023·甘肅蘭州·高一西北師大附中校考期中）設(shè)函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A．B．或4C．D．或4
【答案】B
【解析】當(dāng)時(shí)，由，
解得（舍）或；
當(dāng)時(shí)，由，
解得．
則實(shí)數(shù)的值為或4
故選：B
【過(guò)關(guān)測(cè)試】
一、單選題
1．（2023·天津和平·高一耀華中學(xué)校考期中）設(shè)函數(shù)，的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】函數(shù)，
，
．
故選：．
2．（2023·安徽黃山·高一屯溪一中?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD中，E為CD的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在正方形ABCD邊上沿運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)經(jīng)過(guò)的路程為．的面積為．則與的函數(shù)圖象大致為圖中的（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在正方形ABCD邊上沿運(yùn)動(dòng)時(shí)，
則的面積為；
當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在正方形ABCD邊上沿運(yùn)動(dòng)時(shí)，
則的面積為；
當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在正方形ABCD邊上沿運(yùn)動(dòng)時(shí)，
則的面積為；
綜上所述：，可知B、C、D錯(cuò)誤，A正確.
故選：A.
3．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知是邊長(zhǎng)為1的正三角形，點(diǎn)P在AC邊上運(yùn)動(dòng)，記，則的面積可表示為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】是邊長(zhǎng)為1的正三角形，記，則，
過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，所以，
則的面積.
故選：B.

4．（2023·高一單元測(cè)試）若，則函數(shù)的圖象不經(jīng)過(guò)（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
【答案】B
【解析】對(duì)于函數(shù)，因?yàn)?，?br>則對(duì)稱(chēng)軸為，，且，
所以函數(shù)開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸在軸右側(cè)，與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，且交軸負(fù)半軸，
故函數(shù)經(jīng)過(guò)一、三、四象限，不經(jīng)過(guò)第二象限.
故選：B
5．（2023·高一單元測(cè)試）已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，對(duì)任意均滿足：則函數(shù)解析式為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由，可得①，
又②，①＋②得：，解得，
故選：A．
6．（2023·江蘇蘇州·高一統(tǒng)考期中）已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的值是（ ）
A．或5B．3或C．5D．3或或5
【答案】A
【解析】若，則，∴（舍去），
若，則，∴，
綜上可得，或.
故選：A．
7．（2023·天津和平·高一耀華中學(xué)?？计谥校┰O(shè)函數(shù)，則的值域是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】當(dāng),即，時(shí),或,
,
因?yàn)椋裕?br>因此這個(gè)區(qū)間的值域?yàn)?
當(dāng)時(shí),即，得,
其最小值為，
其最大值為，
因此這區(qū)間的值域?yàn)?
綜上，函數(shù)值域?yàn)?.
故選：D
8．（2023·廣西柳州·高一統(tǒng)考期中）已知，則函數(shù)的解析式是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】令由于，則，
所以，，得；
所以，函數(shù)的解析式為；
故選：B.
二、多選題
9．（2023·湖南郴州·高一校考階段練習(xí)）下列函數(shù)中，滿足的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【解析】對(duì)選項(xiàng)A：，正確；
對(duì)選項(xiàng)B：，錯(cuò)誤；
對(duì)選項(xiàng)C：，正確；
對(duì)選項(xiàng)D：，正確.
故選：ACD
10．（2023·湖北十堰·高一鄖陽(yáng)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，則能使不等式成立的實(shí)數(shù)的值可能是（ ）
A．B．4C．6D．9
【答案】CD
【解析】
根據(jù)已知，可得的圖像，所以，單調(diào)遞減，則，可得，解得
故選：CD
11．（2023·浙江寧波·高一效實(shí)中學(xué)?？计谥校┰O(shè)，則下列選項(xiàng)中正確的有（ ）
A．與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，則
B．與的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，則
C．的解集是
D．的解集是
【答案】ABC
【解析】函數(shù)圖象圖所示：
由圖可知，若與有兩個(gè)交點(diǎn)，則，故A正確；
若與有三個(gè)交點(diǎn)，則，故B正確；
若，則，故C正確；
若，則，
則，故D錯(cuò)誤.
故選:ABC.
12．（2023·吉林松原·高一?？计谀┮阎瘮?shù)，若，則實(shí)數(shù)a的值為（ ）
A．B．C．2D．8
【答案】AC
【解析】函數(shù)，而，
當(dāng)時(shí)，，解得，滿足條件，即有，
當(dāng)時(shí)，，解得，顯然不滿足條件，則有，
所以實(shí)數(shù)a的值為或2.
故選：AC
三、填空題
13．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)，則__________．
【答案】4
【解析】因?yàn)椋?br>所以，
故答案為：4．
14．（2023·安徽蕪湖·高一?？茧A段練習(xí)）函數(shù)滿足，則_________.
【答案】
【解析】由題意，建立，消去可得：，
整理可得，則.
故答案為：.
15．（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)的值域?yàn)?，則常數(shù)______．
【答案】7或
【解析】因?yàn)椋裕?br>，即，
因?yàn)楹瘮?shù)的值域?yàn)椋?br>所以是方程的兩個(gè)根，
所以，，
解得或，所以7或.
故答案為：7或.
16．（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)，若，則________.
【答案】/
【解析】當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，由于函數(shù)在上單調(diào)遞減，則；
當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，
由可得，整理可得，解得或（舍）；
當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，則.
綜上所述，.
故答案為：.
四、解答題
17．（2023·高一單元測(cè)試）用分段函數(shù)表示，并作出其圖象，指出函數(shù)的定義域與值域．
【解析】，圖象如圖所示，

函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)椋?br>18．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)，其中[x]表示不超過(guò)的最大整數(shù)，例如
(1)將的解析式寫(xiě)成分段函數(shù)的形式;
(2)請(qǐng)?jiān)谌鐖D所示的平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)的圖象;
(3)根據(jù)圖象寫(xiě)出函數(shù)的值域.
【解析】（1）當(dāng)時(shí)，所以
當(dāng)時(shí)，，所以
當(dāng)時(shí)，，所以.
綜上，
（2）函數(shù)的圖象如圖所示.
（3）由圖象，得函數(shù)的值域?yàn)?
19．（2023·山東青島·高一?？茧A段練習(xí)）（1）已知是一次函數(shù)，且滿足，求的解析式．
（2）若對(duì)任意實(shí)數(shù)x，均有，求的解析式．
【解析】（1）因?yàn)槭且淮魏瘮?shù)，所以設(shè)，，
又因?yàn)椋?br>所以，整理得，
故，解得，
所以.
（2）因?yàn)棰伲?br>所以②，
由①②得：，
解得：.
20．（2023·湖南郴州·高一?？茧A段練習(xí)）求下列函數(shù)的解析式
(1)若，求的表達(dá)式．
(2)已知，求的表達(dá)式．
【解析】（1）令，當(dāng)時(shí)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
所以，或，
且，所以，，其中或，
因此，（或）.
（2）由已知條件可得，解得.
21．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù),（）.
(1)分別計(jì)算， 的值.
(2)由（1）你發(fā)現(xiàn)了什么結(jié)論?并加以證明.
(3)利用（2）中的結(jié)論計(jì)算的值.
【解析】（1）由題意得，
.
（2）由（1），得結(jié)論.
證明如下:
.
（3）由，可得，
故
.
22．（2023·寧夏吳忠·高一統(tǒng)考期中）已知和是定義域?yàn)榈亩魏瘮?shù)，函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)，，且，，
(1)求的解析式
(2)，用表示中較大者，記為，
①求
②寫(xiě)出的函數(shù)解析式，并指出的最小值（不用寫(xiě)理由）
【解析】（1）設(shè)，
因?yàn)楹瘮?shù)圖象過(guò)點(diǎn)，，
，，
可知對(duì)稱(chēng)軸為，則，
解得，所以.
（2）①由（1）可知，
當(dāng)時(shí)，即，解得或；
當(dāng)時(shí)，即，解得；
所以，
所以.
②由①可得，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；
綜上所述：的最小值是.

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