題型一：用不等式（組）表示不等關(guān)系
題型二：作差法比較兩數(shù)（式）的大小
題型三：利用不等式的性質(zhì)判斷命題真假
題型四：利用不等式的性質(zhì)證明不等式
題型五：利用不等式的性質(zhì)比較大小
題型六：利用不等式的基本性質(zhì)求代數(shù)式的取值范圍
【知識點梳理】
知識點一、符號法則與比較大小
實數(shù)的符號：
任意，則（為正數(shù)）、或（為負(fù)數(shù)）三種情況有且只有一種成立．
兩實數(shù)的加、乘運算結(jié)果的符號具有以下符號性質(zhì)：
①兩個同號實數(shù)相加，和的符號不變
符號語言：；
②兩個同號實數(shù)相乘，積是正數(shù)
符號語言：；
③兩個異號實數(shù)相乘，積是負(fù)數(shù)
符號語言：
④任何實數(shù)的平方為非負(fù)數(shù)，0的平方為0
符號語言：，．
比較兩個實數(shù)大小的法則：
對任意兩個實數(shù)、
①；
②；
③．
對于任意實數(shù)、，，，三種關(guān)系有且只有一種成立．
知識點詮釋：這三個式子實質(zhì)是運用實數(shù)運算來比較兩個實數(shù)的大小關(guān)系．它是本章的基礎(chǔ)，也是證明不等式與解不等式的主要依據(jù)．
知識點二、不等式的性質(zhì)
不等式的性質(zhì)可分為基本性質(zhì)和運算性質(zhì)兩部分
基本性質(zhì)有：
（1）對稱性：
（2）傳遞性：
（3）可加性：（c∈R）
（4）可乘性：a>b，
運算性質(zhì)有：
（1）可加法則：
（2）可乘法則：
知識點詮釋：不等式的性質(zhì)是不等式同解變形的依據(jù)．
知識點三、比較兩代數(shù)式大小的方法
作差法：
任意兩個代數(shù)式、，可以作差后比較與0的關(guān)系，進一步比較與的大小．
①；
②；
③．
作商法：
任意兩個值為正的代數(shù)式、，可以作商后比較與1的關(guān)系，進一步比較與的大?。?br>①；
②；
③．
中間量法：
若且，則（實質(zhì)是不等式的傳遞性）．一般選擇0或1為中間量．
【典例例題】
題型一：用不等式（組）表示不等關(guān)系
例1．（2023·甘肅酒泉·高一統(tǒng)考期末）鐵路總公司關(guān)于乘車行李規(guī)定如下：乘坐動車組列車攜帶品的外部尺寸長、寬、高之和不超過130cm，且體積不超過，設(shè)攜帶品外部尺寸長、寬、高分別記為a，b，c（單位：cm），這個規(guī)定用數(shù)學(xué)關(guān)系式可表示為（ ）
A．且B．且
C．且D．且
【答案】C
【解析】由長、寬、高之和不超過130cm得，由體積不超過得.
故選：C.
例2．（2023·甘肅慶陽·高一?？茧A段練習(xí)）在開山工程爆破時，已知導(dǎo)火索燃燒的速度是每秒0.5厘米，人跑開的速度為每秒4米，距離爆破點150米以外（含150米）為安全區(qū)．為了使導(dǎo)火索燃盡時人能夠跑到安全區(qū)，導(dǎo)火索的長度（單位：厘米）應(yīng)滿足的不等式為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由題意知導(dǎo)火索的長度（單位：厘米），故導(dǎo)火索燃燒的時間為秒，
人在此時間內(nèi)跑的路程為米，由題意可得.
故選：B.
例3．（2023·全國·高一專題練習(xí)）鐵路乘車行李規(guī)定如下：乘動車組列車攜帶品的外部尺寸長、寬、高之和不超過Mcm.設(shè)攜帶品外部尺寸長、寬、高分別為a、b、c（單位：cm），這個規(guī)定用數(shù)學(xué)關(guān)系式可表示為（ ）
A．a(chǎn) + b + c ≤MB．a(chǎn) +b +c >MC．a(chǎn) + b + c ≥MD．a(chǎn) + b+ c bc2，則a>bB．若a2>b2，則a>b
C．若a>b>0，則D．若，則a>b
【答案】AC
【解析】對于A，若ac2>bc2，又c2>0，則a>b，故選項A正確；
對于B，若，滿足a2>b2，但是ab>0，則，所以，即，故選項C正確；
對于D，若，滿足，但是a”或“”）.
【答案】
【解析】因為，則，
根據(jù)不等式的性質(zhì)可得，.
故答案為：.
15．（2023·上海虹口·高一上外附中校考階段練習(xí)）已知命題：①若，則；②若，則；③若且，則.其中真命題的序號是__．
【答案】①②③
【解析】①若 , 則，則，則 , 因此①正確;
②若 , 則 ,則, 因此②正確;
③, 又 , 因此③正確.
故答案為: ①②③
16．（2023·浙江杭州·高一校聯(lián)考期中）實數(shù)x，y滿足，，那么的取值范圍是__________
【答案】
【解析】令，，則，，
由已知可得，，
則，，，
故答案為：.
四、解答題
17．（2023·廣東佛山·高一佛山市南海區(qū)南海執(zhí)信中學(xué)?？茧A段練習(xí)）（1）已知 ，求證：.
（2）已知，求代數(shù)式和的取值范圍．
【解析】（1）
（當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柍闪ⅲ?br>（2）
∴．
由，得①．
由，得②．
18．（2023·黑龍江哈爾濱·高一哈爾濱市第一二二中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）比較下列各組中與的大小，并給出證明.
(1)與，其中；
(2)與；
(3)與.
【解析】（1），故.
（2），
當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故.
（3）.
當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，.
19．（2023·上海靜安·高一上海市回民中學(xué)?？计谥校┮阎?，比較與的大小.
【解析】
當(dāng)時，，，則；
當(dāng)時，，則
當(dāng)時，，，則.
綜上所述，當(dāng)時，；
當(dāng)時，；
當(dāng)時，.
20．（2023·全國·高一專題練習(xí)）現(xiàn)有，，，四個長方體容器，，的底面積均為，高分別為，；，的底面積均為，高分別為，（其中．現(xiàn)規(guī)定一種兩人的游戲規(guī)則：每人從四種容器中取兩個盛水，盛水多者為勝．問先取者在未能確定與大小的情況下有沒有必勝的方案？若有的話，有幾種？
【解析】設(shè)，，，的體積分別為，，，，
①當(dāng)時，則，即，
在此種條件下取，能夠穩(wěn)操勝券．
②當(dāng)時，則，即，
在此種條件下取，能夠穩(wěn)操勝券．
若甲先取、，.
若甲先取、，
因為，的大小關(guān)系不確定，故最終不能確定能否取勝；
若甲先取、，，
因為，的大小關(guān)系不確定，故最終不能確定能否取勝；
在不知道，的大小的情況下，取，能夠穩(wěn)操勝券，其他的都沒有必勝的把握．
故可能有種，就是取，．
21．（2023·四川眉山·高一?？茧A段練習(xí)）（1）已知，求的取值范圍；
（2）已知，求證：.
【解析】（1）.
且，
.
∴的取值范圍為.
（2）因為，
所以，
因為，所以，
所以，
所以，
所以
22．（2023·高一單元測試）解答下列問題
(1)設(shè)，，，比較與的大??；
(2)已知，，求的取值范圍.
【解析】（1）因為-（）==，
所以；
（2），，
令，
所以，解得，
所以，，
所以，
即.
比賽項目
足球
籃球
乒乓球
門票價格（元）
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80
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