題型一：由根式的意義求范圍
題型二：利用根式的性質(zhì)化簡或求值
題型三：有限制條件的根式的化簡
題型四：根式與指數(shù)冪的互化
題型五：利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)化簡求值
題型六：整體代換法求分?jǐn)?shù)指數(shù)冪
【知識點梳理】
知識點一、整數(shù)指數(shù)冪的概念及運算性質(zhì)
1、整數(shù)指數(shù)冪的概念
2、運算法則
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
知識點二、根式的概念和運算法則
1、次方根的定義：
若，則稱為的次方根．
為奇數(shù)時，正數(shù)的奇次方根有一個，是正數(shù)，記為；負(fù)數(shù)的奇次方根有一個，是負(fù)數(shù)，記為；露的奇次方根為零，記為．
為偶數(shù)時，正數(shù)的偶次方根有兩個，記為；負(fù)數(shù)沒有偶次方根；零的偶次方根為零，記為．
2、兩個等式
（1）當(dāng)且時，；
（2）
知識點詮釋：
①要注意上述等式在形式上的聯(lián)系與區(qū)別；
②計算根式的結(jié)果關(guān)鍵取決于根指數(shù)的取值，尤其當(dāng)根指數(shù)取偶數(shù)時，開方后的結(jié)果必為非負(fù)數(shù)，可先寫成的形式，這樣能避免出現(xiàn)錯誤．
知識點三、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念和運算法則
為避免討論，我們約定，，，且為既約分?jǐn)?shù)，分?jǐn)?shù)指數(shù)冪可如下定義：
知識點四、有理數(shù)指數(shù)冪的運算
1、有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)
（1）
（2）
（3）
當(dāng)，為無理數(shù)時，是一個確定的實數(shù)，上述有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)仍適用．
知識點詮釋：
（1）根式問題常利用指數(shù)冪的意義與運算性質(zhì)，將根式轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪運算；
（2）根式運算中常出現(xiàn)乘方與開方并存，要注意兩者的順序何時可以交換、何時不能交換．如；
（3）冪指數(shù)不能隨便約分．如．
2、指數(shù)冪的一般運算步驟
有括號先算括號里的；無括號先做指數(shù)運算．負(fù)指數(shù)冪化為正指數(shù)冪的倒數(shù)．底數(shù)是負(fù)數(shù)，先確定符號，底數(shù)是小數(shù)，先要化成分?jǐn)?shù)，底數(shù)是帶分?jǐn)?shù)，先要化成假分?jǐn)?shù)，然后要盡可能用冪的形式表示，便于用指數(shù)運算性質(zhì)．在化簡運算中，也要注意公式：，，，，的運用，能夠簡化運算．
【典例例題】
題型一：由根式的意義求范圍
例1．（2023·高一單元測試）若，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因，則有，即，解得，
所以實數(shù)的取值范圍是.
故選：D
例2．（2023·全國·高一專題練習(xí)）若有意義，則的取值范圍是（ ）
A．B．∪
C．D．
【答案】D
【解析】因為，則，解得.
故選：D.
例3．（2023·高一課時練習(xí)）若，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由，
可得，即．實數(shù)的取值范圍是．
故選：．
變式1．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）若有意義，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義可知，，
所以，即，因此的取值范圍是．
故選：C.
變式2．（2023·高一課時練習(xí)）若有意義，則a的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由題意可知，且，∴a的取值范圍是且．
故選：B．
題型二：利用根式的性質(zhì)化簡或求值
例4．（2023·高一課時練習(xí)）（ ）
A．B．
C．D．當(dāng)為奇數(shù)時，；當(dāng)為偶數(shù)時，
【答案】D
【解析】當(dāng)為奇數(shù)時，；
當(dāng)為偶數(shù)時，.
故選：D
例5．（2023·高一課時練習(xí)）給出下列4個等式：①；②；③若a∈R，則；④設(shè)n∈N*，則，其中正確的個數(shù)是（ ）
A．0B．1
C．2D．3
【答案】B
【解析】①中，所以①錯誤；
②錯誤；
③因為恒成立，所以有意義且恒等于1，所以③正確；
④若n為奇數(shù)，則，若n為偶數(shù)，則，
所以當(dāng)n為偶數(shù)時，時不成立，所以④錯誤．
故選：B．
例6．（2023·高一課時練習(xí)）化簡的結(jié)果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由題意得，，即，
所以.
故選：B
變式3．（2023·高一課時練習(xí)）將根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪是.
故選：A
變式4．（2023·吉林·高一吉林省實驗?？计谥校┗啠海? ）
A．0B．C．或0D．
【答案】A
【解析】因為 所以，
故，
故選：A
變式5．（2023·高一課時練習(xí)）化簡（其中）的結(jié)果是
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】=,選C.
題型三：有限制條件的根式的化簡
例7．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知實數(shù)滿足，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】設(shè)，，
，，
，
.
.
又，，
，.
故選：D
例8．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）把代數(shù)式中的移到根號內(nèi)，那么這個代數(shù)式等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】 ，即 ， ，
.
故選：A .
例9．（2023·高一課時練習(xí)）若，則等式成立的條件是
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【解析】，，．由 ，得 .
故選C.
變式6．（2023·高一單元測試）等式成立的條件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】等式成立的條件是，即.
故選：D
變式7．（2023·高一課時練習(xí)）若，，則的值為（ ）
A．1B．5C．D．
【答案】A
【解析】依題意，，，
則，
所以的值為1.
故選：A
變式8．（2023·青海西寧·高一統(tǒng)考期末）若，，則等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因為，，
所以.
故選：D
題型四：根式與指數(shù)冪的互化
例10．（2023·高一課時練習(xí)）化簡：= ______．（用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪表示）.
【答案】
【解析】因為
.
故答案為：.
例11．（2023·上海金山·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）將化為有理數(shù)指數(shù)冪的形式為__________．
【答案】
【解析】由題意可得：.
故答案為：.
例12．（2023·山東濟(jì)南·高一?？计谥校┯嬎悖篲____（寫成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式）
【答案】
【解析】.
故答案為：.
變式9．（2023·湖南益陽·高一統(tǒng)考期末）計算：__________.
【答案】
【解析】由題知.
故答案為:
變式10．（2023·上海長寧·高一上海市延安中學(xué)?？计谀┯糜欣頂?shù)指數(shù)冪的形式表示__________．
【答案】
【解析】，
故答案為：.
變式11．（2023·上海浦東新·高一統(tǒng)考期末）用有理數(shù)指數(shù)冪的形式表示（其中）____________.
【答案】
【解析】，
故答案為：
題型五：利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)化簡求值
例13．（2023·高一課時練習(xí)）___________.
【答案】3
【解析】.
故答案為：3.
例14．（2023·安徽馬鞍山·高一安徽工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)?？计谥校_____.
【答案】
【解析】原式.
故答案為：.
例15．（2023·安徽安慶·高一統(tǒng)考期末）已知，則________．
【答案】/
【解析】由已知得．
故答案為：．
變式12．（2023·上海靜安·高一?？计谥校┗啠ㄆ渲衉_．
【答案】/
【解析】原式．
故答案為：.
變式13．（2023·高一課時練習(xí)）計算的值為__________．
【答案】
【解析】.
故答案為:110.
題型六：整體代換法求分?jǐn)?shù)指數(shù)冪
例16．（多選題）（2023·陜西西安·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）已知，則等于（ ）
A．B．C．1D．
【答案】AB
【解析】令
故選：AB
例17．（多選題）（2023·湖北·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，則下列選項中正確的有（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【解析】，，因此A正確；
，因此B不正確；
，，解得，因此C正確；
，因此D正確．
故選：ACD．
例18．（多選題）（2023·河南濮陽·高一濮陽一高?？计谥校┮阎瑒t下列選項中正確的有（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【解析】，
；
，
；
故A正確，B錯誤；
；
，
，
故C正確，D錯誤．
故選：AC．
變式14．（多選題）（2023·高一單元測試）已知實數(shù)滿足，下列選項中正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【解析】，故選項A正確；
，故選項B錯誤；
，故選項C正確；
,,故選項D錯誤．
故選：AC．
變式15．（多選題）（2023·高一課時練習(xí)）已知，則下列選項中正確的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【解析】，
，因此A正確；
，因此B不正確；
，，解得，因此C不正確；
，因此D正確．
故選：AD．
變式16．（2023·高一課時練習(xí)）已知，則的值為________.
【答案】23
【解析】因為，
所以，
即，
所以.
故答案為：
【過關(guān)測試】
一、單選題
1．（2023·高一課時練習(xí)）下列各式計算正確的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】對于A，，A對；
對于B，，B錯；
對于C，，C錯；
對于D，，D錯.
故選：A
2．（2023·高一課時練習(xí)）化簡的結(jié)果為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】
=
=
=
=
=
=
=
故選：B
3．（2023·黑龍江大慶·高一大慶中學(xué)?？计谥校┫铝懈脚c分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】對于A選項：，，故A錯誤；
對于B選項：，故B錯誤；
對于C選項：，故C正確；
對于D選項：當(dāng)時，，而當(dāng)時，沒有意義，故D錯誤.
故選：C
4．（2023·高一單元測試）計算的結(jié)果為（ ）
A．B．1C．2D．
【答案】A
【解析】
,
故選：A
5．（2023·北京海淀·高一人大附中?？茧A段練習(xí)）的值是（ ）
A．105B．33C．D．
【答案】B
【解析】由題意得：
.
故選：B.
6．（2023·天津河西·高一天津市新華中學(xué)?？计谀┰O(shè)，則下列運算正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】對于A，令，則，，顯然A錯誤；
對于B，，故B錯誤；
對于C，，故C錯誤；
對于D，，故D正確.
故選：D.
7．（2023·廣東廣州·高一廣州市第九十七中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知正數(shù)，滿足，則的最小值為（ ）
A．10B．12C．18D．24
【答案】D
【解析】，所以，
因為a，b為正數(shù)，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時，即，時，等號成立，
所以的最小值為.
故選：D.
8．（2023·河南鄭州·高一鄭州市第七中學(xué)?？计谀┮阎铝懈魇街姓_的個數(shù)是（ ）
①；②；③；④；
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】①,正確；
②，正確；
③因為可知，，，
所以，故錯誤；
④，正確.
故選：C
二、多選題
9．（2023·吉林白山·高一校考階段練習(xí)）已知xy≠0，且，則以下結(jié)論錯誤的是（ ）
A．xy0
C．x>0，y>0D．x

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