（暑假班）蘇教版新高一數(shù)學暑假講義專題08 基本不等式（六大題型）（2份，原卷版+解析版）-試卷下載-教習網(wǎng)

題型一：對基本不等式的理解及簡單應(yīng)用
題型二：利用基本不等式比較大小
題型三：利用基本不等式證明不等式
題型四：利用基本不等式求最值
（1）直接法求最值
（2）常規(guī)湊配法求最值
（3）消參法求最值
（4）換元求最值
（5）“1”的代換求最值
（6）條件等式求最值
題型五：利用基本不等式求解恒成立問題
題型六：基本不等式在實際問題中的應(yīng)用
【知識點梳理】
知識點一：基本不等式
1、對公式及的理解．
（1）成立的條件是不同的：前者只要求都是實數(shù)，而后者要求都是正數(shù)；
（2）取等號“=” 的條件在形式上是相同的，都是“當且僅當時取等號”．
2、由公式和可以引申出常用的常用結(jié)論
①（同號）；
②（異號）；
③或
知識點詮釋：可以變形為：，可以變形為：．
知識點二：基本不等式的證明
方法一：幾何面積法
如圖，在正方形中有四個全等的直角三角形．
設(shè)直角三角形的兩條直角邊長為、，那么正方形的邊長為．這樣，4個直角三角形的面積的和是，正方形的面積為．由于4個直角三角形的面積小于正方形的面積，所以：．當直角三角形變?yōu)榈妊苯侨切?，即時，正方形縮為一個點，這時有．
得到結(jié)論：如果，那么（當且僅當時取等號“=”）
特別的，如果，，我們用、分別代替、，可得：
如果，，則，（當且僅當時取等號“=”）．
通常我們把上式寫作：如果，，，（當且僅當時取等號“=”）
方法二：代數(shù)法
∵，
當時，；
當時，．
所以，（當且僅當時取等號“=”）．
知識點詮釋：
特別的，如果，，我們用、分別代替、，可得：
如果，，則，（當且僅當時取等號“=”）．
通常我們把上式寫作：
如果，，，（當且僅當時取等號“=”）．
知識點三：基本不等式的幾何意義
如圖，是圓的直徑，點是上的一點，，，過點作交圓于點D，連接、．
易證，那么，即．
這個圓的半徑為，它大于或等于，即，其中當且僅當點與圓心重合，即時，等號成立．
知識點詮釋：
1、在數(shù)學中，我們稱為的算術(shù)平均數(shù)，稱為的幾何平均數(shù)．因此基本不等式可敘述為：兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)．
2、如果把看作是正數(shù)的等差中項，看作是正數(shù)的等比中項，那么基本不等式可以敘述為：兩個正數(shù)的等差中項不小于它們的等比中項．
知識點四：用基本不等式求最大（小）值
在用基本不等式求函數(shù)的最值時，應(yīng)具備三個條件：一正二定三取等．
① 一正：函數(shù)的解析式中，各項均為正數(shù)；
② 二定：函數(shù)的解析式中，含變數(shù)的各項的和或積必須有一個為定值；
③ 三取等：函數(shù)的解析式中，含變數(shù)的各項均相等，取得最值．
知識點詮釋：
1、兩個不等式：與成立的條件是不同的，前者要求a，b都是實數(shù)，后者要求a，b都是正數(shù)．
2、兩個不等式：與都是帶有等號的不等式，對于“當且僅當……時，取“=”號這句話的含義要有正確的理解．
3、基本不等式的功能在于“和積互化”．若所證不等式可整理成一邊是和，另一邊是積的形式，則考慮使用平均不等式；若對于所給的“和式”中的各項的“積”為定值，則“和”有最小值，對于給出的“積式”中的各項的“和”為定值，則“積”有最大值．
4、利用兩個數(shù)的基本不等式求函數(shù)的最值必須具備三個條件：
①各項都是正數(shù)；
②和（或積）為定值；
③各項能取得相等的值．
5、基本不等式在解決實際問題中有廣泛的應(yīng)用，在應(yīng)用時一般按以下步驟進行：
①先理解題意，設(shè)變量，設(shè)變量時一般把要求最大值或最小值的變量定為函數(shù)；
②建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，把實際問題抽象為函數(shù)的最大值或最小值問題；
③在定義域內(nèi)，求出函數(shù)的最大或最小值；
④寫出正確答案．
【典例例題】
題型一：對基本不等式的理解及簡單應(yīng)用
例1．（2023·福建寧德·高一福建省寧德第一中學?？茧A段練習）《幾何原本》卷2的幾何代數(shù)法（幾何方法研究代數(shù)問題）成了后世西方數(shù)學家處理問題的重要依據(jù).通過這一原理，很多的代數(shù)的公理或定理都能夠通過圖形實現(xiàn)證明，也稱之為無字證明；如圖所示圖形，點、在圓上，點在直徑上，且，，于點，設(shè)，，該圖形完成的無字證明.則圖中表示，的調(diào)和平均數(shù)、平方平均數(shù)的線段分別是（）
A．，B．，C．，D．，
【答案】C
【解析】由圖形可知：，，
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得，
因為，
所以，
則，即，
所以圖中表示，的調(diào)和平均數(shù)、平方平均數(shù)的線段分別是，，
故選：C
例2．（2023·上海靜安·高一校考期中）給出下列命題中，真命題的個數(shù)為（）
①已知，則成立；
②已知且，則成立；
③已知，則的最小值為2；
④已知，，則成立．
A．1個B．2個C．3個D．4個
【答案】B
【解析】當時，①中的不等式是錯誤的，①錯；
因為與同號，所以是正確的，且，即時等號成立，所以②中的基本不等式計算是正確的，②對；
（當時，無解，等號不成立），故③錯；
因為，所以且，且，即時等號成立，所以④中的基本不等式運算是正確的，④對．
故選: B．
例3．（2023·上海普陀·高一?？计谥校┫铝胁坏仁街械忍柨梢匀〉降氖牵? ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】對于A，因為，所以，當且僅當，即，故等號不成立，故A不符合；
對于B，因為，所以，當且僅當，即，故等號不成立，故B不符合；
對于C，因為，所以，當且僅當，即時取等號，故C符合；
對于D，因為，所以，當且僅當，即，故等號不成立，故D不符合.
故選：C.
變式1．（2023·北京豐臺·高一北京市第十二中學?？计谥校┫铝薪Y(jié)論正確的是（）
A．當時，B．當時，的最小值是
C．當時，D．當時，的最小值為1
【答案】C
【解析】對于A，當時，，故A錯誤，
對于B，當時，，當且僅當時等號成立，故B錯誤，
對于C，當時，，當且僅當即時等號成立，故C正確，
對于D，當時，，當且僅當即時等號成立，故D錯誤，
故選：C
題型二：利用基本不等式比較大小
例4．（2023·重慶沙坪壩·高一重慶市第七中學校校考階段練習）若實數(shù)滿足，則稱x比y遠離m．
(1)解不等式
(2)若比遠離，求實數(shù)x的取值范圍；
(3)若，，試問：與哪一個更遠離，并說明理由．
【解析】（1）令，即有，所以x比3遠離0，
從數(shù)軸上可得x的取值范圍是；
（2）由x比遠離1，則，即，
∴或，解得或，
∴的取值范圍是；
（3）因為，有，
因為，所以，
從而，
①當時，
，即；
②當時，
，
又，則，
∴，即，
綜上，，即比x更遠離m．
例5．（2023·全國·高一專題練習）若，且，試找出2，2ab中的最大者．
【解析】∵ ，且，
∴ , ，
∴四個數(shù)中最大者應(yīng)從中選擇．
而，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即最大.
例6．（2023·高一課時練習）某種產(chǎn)品的兩種原料相繼提價，產(chǎn)品生產(chǎn)者決定根據(jù)這兩種原料提價的百分比，對產(chǎn)品分兩次提價，現(xiàn)在有三種提價方案：
方案甲：第一次提價，第二次提價；
方案乙：第一次提價，第二次提價；
方案丙：第一次提價，第二次提價.
其中，比較上述三種方案，哪一種提價少？哪一種提價多？
【解析】不妨設(shè)提價前的價格為1，則
方案甲：兩次提價后的價格為：
方案乙：兩次提價后的價格為：
方案丙：
由于，由均值不等式，當且僅當時等號成立
故，且，故等號不成立，即
因此方案丙提價最多，方案甲、乙少，且提價一樣
變式2．（2023·湖南長沙·高一長沙一中校考階段練習）（1），比較與的大??；
（2）已知，求代數(shù)式的最小值及取最小值時的值.
【解析】（1），，
，當且僅當，即時，等號成立.
所以.
（2）由（1）知，
，當且僅當時取等號，
顯然要使成立，需滿足，解得
綜上可知，當，代數(shù)式取得最小值20.
變式3．（2023·高一課時練習）已知a>b>c，你能比較出4與(a-c)的大小嗎？
【解析】(a-c)≥4，理由如下：
因為a-c=(a-b)+(b-c)，
所以[(a-b)+(b-c)]
=2++，
又a>b>c，所以+≥2，
故(a-c)≥4，
當且僅當=時，取等號.
題型三：利用基本不等式證明不等式
例7．（2023·高一課時練習）證明：
（1）；
（2）.
【解析】（1），
當且僅當時，即時，等號成立.
（2），
當且僅當時取等號，此時，
顯然的值不存在，所以等號不成立，
所以.
例8．（2023·全國·高一假期作業(yè)）已知，求證.
【解析】∵，①
，②
，③
①+②+③得；.
∴(當且僅當?shù)忍柍闪?.
例9．（2023·全國·高一專題練習）利用基本不等式證明：已知都是正數(shù)，求證：
【解析】都是正數(shù)，（當且僅當時取等號）；（當且僅當時取等號）；（當且僅當時取等號）；
（當且僅當時取等號），
即.
變式4．（2023·高一單元測試）若，則下列不等式哪些是成立的？若成立，給予證明；若不成立，請舉出反例.
（1）；
（2）；
（3）.
【解析】（1）正確
（2）正確
（3）正確
題型四：利用基本不等式求最值
（1）直接法求最值
例10．（2023·新疆省直轄縣級單位·高一?？奸_學考試）若，，且，則的最大值為（）
A．5B．6C．8D．9
【答案】D
【解析】因為，，且，
所以，當且僅當時等號成立，
所以的最大值為9.
故選:D.
例11．（2023·新疆昌吉·高一?？计谀┮阎遥瑒t的最大值為（）
A．B．25C．36D．49
【答案】C
【解析】因為，，即，當且僅當時取到等號，故的最大值為36.
故選：C
例12．（2023·云南·高一統(tǒng)考期末）已知，則的最小值為（）
A．B．C．4D．5
【答案】D
【解析】由可知，利用基本不等式可得，
當且僅當時，等號成立，
即的最小值為5.
故選：D
變式5．（2023·江蘇連云港·高一期末）設(shè)，，且，求的最小值是（）
A．1B．2C．D．
【答案】A
【解析】因為，，且，
所以，，
，當且僅當，即時取等號，
故選：A.
變式6．（2023·廣西桂林·高一統(tǒng)考期末）設(shè)x，，且，則的最小值為（）
A．10B．C．D．18
【答案】D
【解析】，當且僅當時，等號成立.
故選：D.
（2）常規(guī)湊配法求最值
變式7．（2023·全國·高一專題練習）函數(shù) 的最小值是（）
A．B．3C．6D．12
【答案】A
【解析】
因為所以， (當且僅當即時，等號成立
故最小值為，
故選：A
變式8．（2023·黑龍江哈爾濱·高一?？茧A段練習）若，則有（）
A．最大值B．最小值C．最大值D．最小值
【答案】A
【解析】因，則，
于是得，當且僅當，即時取“=”，
所以當時，有最大值.
故選：A
變式9．（2023·天津薊州·高一?？茧A段練習）函數(shù)的最小值是（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由，利用基本不等式求最小值即可.因為，所以，當且僅當，即時等號成立.
所以函數(shù)的最小值是.
故選：D.
變式10．（2023·高一課時練習）若，則的最值情況是（）
A．有最大值B．有最小值6C．有最大值D．有最小值2
【答案】B
【解析】若，則，
當且僅當即等號成立，
所以若時，有最小值為6，無最大值.
故選：B.
（3）消參法求最值
變式11．（2023·安徽·涇縣中學高一階段練習）設(shè)正實數(shù)、、滿足，則的最大值為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因為正實數(shù)、、滿足，則，
則，當且僅當時取等號.
故的最大值為.
故選：C.
變式12．（2023·貴州遵義·高一期末）負實數(shù)、滿足，則的最小值為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因為負實數(shù)、滿足，則，可得，
由基本不等式可得，
當且僅當時，即當時，等號成立.
故的最小值為.
故選：A.
變式13．（2023·全國·高一課時練習）已知正實數(shù)a，b滿足，則的最小值是（）
A．B．3C．D．
【答案】A
【解析】因為，所以，所以，
所以，
令，則，且，
所以，當且僅當，即，時，取等號，
所以的最小值是.
故選：A.
（4）換元求最值
變式14．（2023·全國·高三專題練習）求下列函數(shù)的最小值
（1）；
（2）.
【解析】（1）
∵（當且僅當，即x=1時取等號）
的最小值為3；
（2）令，則，

當且僅當即t=3時取等號
y的最小值為10
變式15．（2023·上海·高一專題練習）求下列函數(shù)的最小值
（1）；
（2）；
（3）.
【解析】（1）
∵（當且僅當，即x=1時取“=”）
即的最小值為3；
（2）令，則在是單增，
∴當t=2時，y取最小值；
即y的最小值為
（3）令，則可化為：
當且僅當t=3時取“=”
即y的最小值為10
變式16．（2023·全國·高一單元測試）若正數(shù)a，b滿足，則的最小值是__．
【答案】
【解析】設(shè)，則，可得，
所以
，
當且僅當時，等號成立，取得最小值．
故答案為：．
（5）“1”的代換求最值
變式17．（2023·高一?？颊n時練習）已知，，，則的最小值是（）
A．B．4C．D．5
【答案】C
【解析】，
，
（當且僅當時等號成立），
故選：C
變式18．（2023·河南·高一校聯(lián)考期中）已知正實數(shù)，滿足，則的最小值為（）
A．3B．1C．9D．
【答案】B
【解析】因為，變形得.
由題意，當且僅當，即時，等號成立．
故選：B.
變式19．（2023·吉林延邊·高一統(tǒng)考期末）已知，，且，則的最小值是（）
A．23B．26C．22D．25
【答案】D
【解析】由題意得，，，
故，
當且僅當，結(jié)合，即時取等號，
故的最小值是25，
故選：D
變式20．（2023·湖南衡陽·高一衡陽市一中?？计谥校┤粽龜?shù)，b滿足，則的最小值為（）
A．4B．6C．8D．10
【答案】C
【解析】正數(shù)，b滿足，
則，
當且僅當，即時取等號，
所以的最小值為8.
故選：C
變式21．（2023·河南安陽·高一統(tǒng)考期末）若，，且，則的最小值為（）
A．B．1C．2D．4
【答案】B
【解析】因為，
所以，
當且僅當，時，等號成立，故的最小值為1．
故選：B．
變式22．（2023·河南洛陽·高一?？茧A段練習）正實數(shù)，滿足，則的最小值是（）
A．B．C．5D．
【答案】B
【解析】因為正實數(shù)，滿足，
所以
，
當且僅當，即時等號成立.
故的最小值是.
故選:B.
變式23．（2023·青海玉樹·高一校聯(lián)考期末）若實數(shù)，滿足，則的最小值為（）．
A．4B．3C．2D．1
【答案】A
【解析】由題設(shè)，且，，故，
所以，
當且僅當，即時等號成立，
所以目標式的最小值為4.
故選：A
變式24．（2023·江西吉安·高一永新中學?？计谥校┤?，則的最小值為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因為正數(shù)、滿足，所以，，
當且僅當時，即當時，等號成立，
故的最小值為.
故選：D.
變式25．（2023·全國·高一專題練習）已知，則的最小值為（）
A．20B．32C．D．
【答案】D
【解析】因為，所以，
則
，因為，，
所以
，
當且僅當，即（舍）或時取等，
故的最小值為.
故選：D
變式26．（2023·江蘇揚州·高一統(tǒng)考階段練習）已知，若，則的最小值是（）
A．7B．9C．D．
【答案】D
【解析】因為，，則，
所以
，
當且僅當，即時取等號，
所以的最小值是.
故選：D.
變式27．（2023·四川南充·高一四川省南充市白塔中學?？计谥校┮阎龜?shù)滿足，則的最小值為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】，則，
.
當，即，時等號成立.
故選：C
（6）條件等式求最值
變式28．（2023·山東濰坊·二模）已知正實數(shù)a，b滿足，則的最大值為（）
A．B．C．D．2
【答案】B
【解析】
因為，
所以，當且僅當時等號成立，因為，
所以，即，所以，
即，因為為正實數(shù)，所以，因此，故的最大值為，此時，
故選：B.
題型五：利用基本不等式求解恒成立問題
例13．（2023·北京豐臺·高一北京市第十二中學?？计谥校┮阎遥艉愠闪?，則實數(shù)m的取值范圍是______________．
【答案】
【解析】因為，
所以
，
當且僅當，即時，等號成立，
所以的最小值為9，
因此，
故答案為：.
例14．（2023·廣東深圳·高一深圳市寶安中學（集團）?？计谥校┎坏仁?，（）對恒成立，實數(shù)的取值范圍是__________．
【答案】
【解析】由題意得對恒成立，
只需即可，
因為，，當且僅當即時等號成立，
所以，即，解得.
故答案為：.
例15．（2023·福建泉州·高一福建省德化第一中學校考階段練習）已知，，若不等式恒成立，則的最大值為__________．
【答案】
【解析】，，，恒成立，
（當且僅當，即時取等號），
，解得：，則的最大值為.
故答案為：.
變式29．（2023·貴州遵義·高一遵義四中?？茧A段練習）若正實數(shù)，滿足，且不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為______．
【答案】
【解析】兩個正實數(shù)，滿足，，
，
當且僅當，即，時等號成立，，
若不等式恒成立，則應(yīng)，解得，，
故答案為：．
變式30．（2023·上海閔行·高一上海市七寶中學?？茧A段練習）若不等式對于任意正數(shù)成立，則實數(shù)的最大值為___________.
【答案】
【解析】因為不等式對任意正數(shù)恒成立，
所以對任意正數(shù)恒成立，
因為，當且僅當時取等號，
所以，，即實數(shù)的最大值為.
故答案為：.
變式31．（2023·遼寧·高一校聯(lián)考階段練習）若，則a的取值范圍為___________.
【答案】
【解析】，
當且僅當，即時，等號成立，
所以，故.
故答案為：
變式32．（2023·江蘇泰州·高一校考階段練習），，且恒成立，則的最大值為__．
【答案】4
【解析】由于恒成立，且
即恒成立
只要的最小值即可
，，故，因此
故答案為：4．
變式33．（2023·江蘇蘇州·高一常熟中學校考期中）若實數(shù)滿足，且不等式恒成立，則c的取值范圍是________.
【答案】
【解析】，
，當且僅當時“”成立，
又不等式恒成立，
，
的取值范圍是．
故答案為：．
題型六：基本不等式在實際問題中的應(yīng)用
例16．（2023·江蘇揚州·高一?？茧A段練習）已知、、、為正實數(shù)，利用平均不等式證明（1）（2）并指出等號成立條件，然后解（3）中的實際問題．
(1)請根據(jù)基本不等式，證明：；
(2)請利用（1）的結(jié)論，證明：；
(3)如圖，將邊長為米的正方形硬紙板，在它的四個角各減去一個小正方形后，折成一個無蓋紙盒．如果要使制作的盒子容積最大，那么剪去的小正方形的邊長應(yīng)為多少米?
【解析】（1）證明：因為，，當且僅當，時等號成立,
所以當且僅當，時等號成立.
所以，當且僅當時等號成立，
所以，當且僅當時等號成立.
（2）由于，當且僅當時等號成立，
令, 得，
即，故.
所以，當且僅當時等號成立.
（3）做成的長方體的底面是一個邊長為的正方形，高為.
所以.
由（2）中已證的不等式，可知，
當且僅當時等號成立，當且僅當時等號成立.
所以，因此，
綜上所述，當米，長方體盒子的容積取到最大值立方米.
例17．（2023·江蘇揚州·高一統(tǒng)考階段練習）近日，隨著新冠肺炎疫情在多地零星散發(fā)，為最大程度減少人員流動，減少疫情發(fā)生的可能性，高郵政府積極制定政策，決定政企聯(lián)動，鼓勵企業(yè)在國慶期間留住員工在本市過節(jié)并加班追產(chǎn)，為此，高郵政府決定為波司登制衣有限公司在國慶期間加班追產(chǎn)提供（萬元）的專項補貼．波司登制衣有限公司在收到高郵政府（萬元）補貼后，產(chǎn)量將增加到（萬件）．同時波司登制衣有限公司生產(chǎn)（萬件）產(chǎn)品需要投入成本為（萬元），并以每件元的價格將其生產(chǎn)的產(chǎn)品全部售出．注：收益=銷售金額政府專項補貼成本．
(1)求波司登制衣有限公司國慶期間，加班追產(chǎn)所獲收益（萬元）關(guān)于政府補貼（萬元）的表達式；
(2)高郵政府的專項補貼為多少萬元時，波司登制衣有限公司國慶期間加班追產(chǎn)所獲收益（萬元）最大？
【解析】（1）．
因為，所以
（2）因為．
又因為，所以，
所以（當且僅當時取“”）
所以
即當萬元時，取最大值30萬元．
例18．（2023·全國·高一專題練習）為迎接四川省第十六屆少數(shù)民族傳統(tǒng)運動會，州民族體育場進行了改造翻新，在改造州民族體育場時需更新所有座椅，并要求座椅的使用年限為15年，已知每千套座椅建造成本是8萬元，設(shè)每年的管理費用為萬元與總座椅數(shù)千套，兩者滿足關(guān)系式：．15年的總維修費用為80萬元，記為15年的總費用．（總費用=建造成本費用+使用管理費用+總維修費用）．請問當設(shè)置多少套座椅時，15年的總費用最小，并求出最小值．
【解析】由題意得：建造成本費用為，
使用管理費：，所以，
，
當且僅當時，即千套時，取得最小值為180萬元．
變式34．（2023·內(nèi)蒙古呼和浩特·高一統(tǒng)考階段練習）已知某公司計劃生產(chǎn)一批產(chǎn)品總共萬件（），其成本為（萬元/萬件），其廣告宣傳總費用為萬元，若將其銷售價格定為萬元/萬件．
(1)將該批產(chǎn)品的利潤（萬元）表示為的函數(shù)；
(2)當廣告宣傳總費用為多少萬元時，該公司的利潤最大?最大利潤為多少萬元?
【解析】（1），；
（2），
，
，
當即宣傳費用為萬元時，利潤最大為萬元．
變式35．（2023·安徽蕪湖·高一?？茧A段練習）某造紙廠擬建一座平面圖形為矩形且面積為200平方米的二級污水處理池，池的深度一定，池的外圈周壁建造單價為每米400元，中間一條隔壁建造單價為每米100元，池底建造單價每平方米60元（池壁忽略不計）.問：污水處理池的長設(shè)計為多少米時可使總價最低.
【解析】設(shè)污水處理池的長為x米，則寬為米.
總造價
（元）
當且僅當（），
即時等號成立．
【過關(guān)測試】
一、單選題
1．（2023·高一課時練習）已知，則的最大值為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因為，可得，則，
當且僅當時，即時，等號成立，
即的最大值為.
故選：C.
2．（2023·河南信陽·高一校聯(lián)考期中）設(shè)，，則的最小值為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】，
因為，所以，
則，
當且僅當，即時取等號，所以的最小值為．
故選：B.
3．（2023·廣東佛山·高一佛山市榮山中學校考期中）若命題“對任意的，恒成立”為真命題，則m的取值范圍為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由題意可知，對任意的，恒成立，即，
當時，，當，即時，等號成立，
所以.
故選：D
4．（2023·湖南·高一桃江縣第一中學校聯(lián)考期中）若正實數(shù)、滿足，則當取最大值時，的值是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因為正實數(shù)、滿足，則，可得，
當且僅當時，即當時，等號成立.
故選：A.
5．（2023·河南·高一校聯(lián)考期中）已知正實數(shù)，滿足，則的最小值為（）
A．3B．1C．9D．
【答案】B
【解析】因為，變形得.
由題意，當且僅當，即時，等號成立．
故選：B.
6．（2023·江蘇南京·高一南京市第二十九中學校考期中）實數(shù)滿足，則的最小值為（）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】，所以，當且僅當取等號；
故選：C.
7．（2023·黑龍江大慶·高一大慶實驗中學?？茧A段練習）某工廠過去的年產(chǎn)量為，技術(shù)革新后，第一年的年產(chǎn)量增長率為，第二年的年產(chǎn)量增長率為，這兩年的年產(chǎn)量平均增長率為，則（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由題意可知：，即，
因為，當且僅當時取等號，
所以，即，
故選：B.
8．（2023·高一課時練習）若不等式對任意正數(shù)恒成立，則實數(shù)x的最大值為（）
A．B．2C．D．1
【答案】C
【解析】由題意不等式對任意正數(shù)恒成立，
即恒成立，
又，當且僅當時，等號成立，
則，
當且僅當時，等號成立，
故，即實數(shù)x的最大值為，
故選：C
二、多選題
9．（2023·安徽·高一校聯(lián)考期中）已知正實數(shù)、滿足，則下列結(jié)論正確的是（）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【解析】因為正實數(shù)、滿足，
對于A選項，，當且僅當時，等號成立，A對；
對于B選項，因為，則，
當且僅當時，等號成立，B錯；
對于C選項，當，時，，C錯；
對于D選項，，
當且僅當時，等號成立，D對.
故選：AD.
10．（2023·全國·高一專題練習）已知.若，則（）
A．的最小值為10B．的最小值為9
C．的最大值為D．的最小值為
【答案】BC
【解析】對選項A，B，因為已知，
所以，
當且僅當，即，取等號，故A錯誤，B正確.
對選項C，D，
，即，當且僅當，時等號成立，
故C正確，D錯誤.
故選：BC
11．（2023·全國·高一專題練習）已知正數(shù)x，y滿足，則下列說法錯誤的是（）
A．的最大值為1B．的最大值為2
C．的最小值為2D．的最大值為1
【答案】BCD
【解析】因為，，，所以，故，當且僅當時，取得等號，所以的最大值為1，故A正確；
當，時，，故B錯誤；
因為，所以，當且僅當時，取得等號，即有最大值為2，故C錯誤；
當時，故D錯誤.
故選：BCD．
12．（2023·湖南株洲·高一統(tǒng)考階段練習）設(shè)a，b均為正數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）
A．若則有最大值B．若則有最大值8
C．若則D．若則
【答案】AD
【解析】因為所以，
又因為，當且僅當時取得等號，
所以，
則有，A正確；
由可得，所以，則，
當且僅當時取得等號，
又由可得
又因為，
因為，所以當時，有最小值8，B錯誤；
因為所以，所以，C錯誤；
等價于，等價于，也等價于成立，
所以成立，D正確，
故選:AD.
三、填空題
13．（2023·天津和平·高一耀華中學?？计谥校┮阎龑崝?shù)a，b滿足則ab的最大值為__________.
【答案】5
【解析】因為正實數(shù)，滿足，當且僅當，即，時取等號，
解得，
則的最大值5．
故答案為：5．
14．（2023·江蘇揚州·高一統(tǒng)考期中）如圖，一份印刷品的排版面積（矩形）為，它的兩邊都留有寬為的空白，頂部和底部都留有寬為的空白，若，則紙張的用紙面積最少為__________cm2．

【答案】
【解析】由題意，設(shè)排版矩形的長和寬分別為且，且
則紙張的面積為
當且僅當時，即，即時，等號成立，
所以紙張的用紙面積最少為.
.

15．（2023·高一課時練習）當時，不等式恒成立，則a的取值范圍是__________．
【答案】
【解析】由可得，
因為，
當且僅當，即時取等號，
因為恒成立，所以.
故答案為：.
16．（2023·高一課時練習）已知正實數(shù)x，y滿足，則的最大值是______.
【答案】/
【解析】由可得：，
則.
當且僅當，即時取等.
故答案為：.
四、解答題
17．（2023·高一課時練習）判斷下列說法的正誤，并說明理由：
(1)的最小值是12；
(2)當時，，等號成立當且僅當，即時，取到最小值.
【解析】（1）錯誤，理由如下，
由得，
當時，，當且僅當即等號成立；
當時，，當且僅當即等號成立；
故錯誤；
（2）錯誤，理由如下，
當時，，當且僅當即等號成立，故錯誤.
18．（2023·全國·高一專題練習）如圖所示，有一批材料長為24 m，如果用材料在一邊靠墻（墻足夠長）的地方圍成一塊矩形場地，中間用同樣的材料隔成兩個面積相等的矩形，那么圍成的矩形場地的最大面積是多少？
【解析】由題意所示，，
∵，∴ ，
∴ ，
函數(shù)的對稱軸為，
∴當時，面積取得最大值，為，
（或者：由于，所以，當且僅當，即時取等號.）
∴矩形面積最大為48平方米．
19．（2023·云南昆明·高一?？计谥校?）已知，求的最小值；
（2）已知x，y是正實數(shù)，且，求的最小值.
【解析】（1）因為，
所以，
當且僅當時，即當時，等號成立，
因此，函數(shù)（）的最小值為；
（2）因為、是正實數(shù)，且，所以，
則，
當且僅當且時取等號，此時取得最小值.
20．（2023·陜西榆林·高一統(tǒng)考期末）已知，.
(1)若，求的最大值；
(2)若，證明：.
【解析】（1）因為，所以.
，
當且僅當，，時，等號成立，
故的最大值為9.
（2）證明：因為，
所以，又，
解得，
當且僅當時，等號成立.
故.
21．（2023·天津和平·高一耀華中學?？计谥校┮阎?
(1)若不等式恒成立，求的最大值；
(2)若，求的最小值.
【解析】（1）因為，，則，
而，當且僅當，即時取等號，
依題意，不等式恒成立，于是
所以m的最大值為12.
（2）若，，，則，
當且僅當，即，時取等號，
于是，而，解得，
所以的最小值為4.
22．（2023·高一課時練習）（1）已知，且滿足.求的最小值；
（2）當時，不等式恒成立，求實數(shù)的最大值；
（3）已知，求的最大值.
【解析】（1）由，可得
；
當且僅當，即時，等號成立，
所以，的最小值為
（2）不等式恒成立化為恒成立，
又因為，所以，因此
當且僅當，即時，等號成立，
所以，
即實數(shù)的最大值為9．
（3）令，，
可得，
所以，；
當且僅當時，上式取得等號，
可得的最大值為．

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