題型一：絕對值
題型二：乘法公式
題型三：二次根式
題型四：分式
題型五：十字相乘法
題型六：提取公因式法與分組分解法
題型七：關(guān)于x的二次三項(xiàng)式的因式分解
【知識點(diǎn)梳理】
知識點(diǎn)1：絕對值
絕對值的代數(shù)意義：正數(shù)的絕對值是它的本身，負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，零的絕對值仍是零．即：
絕對值的幾何意義：一個數(shù)的絕對值，是數(shù)軸上表示它的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離．
兩個數(shù)的差的絕對值的幾何意義：表示在數(shù)軸上，數(shù)和數(shù)之間的距離．
知識點(diǎn)2：乘法公式
我們在初中已經(jīng)學(xué)習(xí)過了下列一些乘法公式：
（1）平方差公式；
（2）完全平方公式．
我們還可以通過證明得到下列一些乘法公式：
（1）立方和公式；
（2）立方差公式；
（3）三數(shù)和平方公式；
（4）兩數(shù)和立方公式；
（5）兩數(shù)差立方公式．
知識點(diǎn)3：二次根式
一般地，形如的代數(shù)式叫做二次根式．根號下含有字母、且不能夠開得盡方的式子稱為無理式.例如，等是無理式，而，，等是有理式．
（1）分母（子）有理化
把分母（子）中的根號化去，叫做分母（子）有理化．為了進(jìn)行分母（子）有理化，需要引入
有理化因式的概念．兩個含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有二次根式，我們就說這兩個代數(shù)式互為有理化因式，例如與，與，與，與，等等．一般地，與，與，與互為有理化因式．
分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根號的過程；而分子有理化則是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根號的過程
在二次根式的化簡與運(yùn)算過程中，二次根式的乘法可參照多項(xiàng)式乘法進(jìn)行，運(yùn)算中要運(yùn)用公式；而對于二次根式的除法，通常先寫成分式的形式，然后通過分母有理化進(jìn)行運(yùn)算；二次根式的加減法與多項(xiàng)式的加減法類似，應(yīng)在化簡的基礎(chǔ)上去括號與合并同類二次根式．
（2）二次根式的意義
知識點(diǎn)4：分式
（1）分式的意義
形如的式子，若B中含有字母，且，則稱為分式．當(dāng)M≠0時，分式具有下列性質(zhì)：
；
．
上述性質(zhì)被稱為分式的基本性質(zhì)．
（2）繁分式
像，這樣，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式．
知識點(diǎn)5：十字相乘法
利用十字交叉線來分解系數(shù)，把二次三項(xiàng)式分解因式的方法叫做十字相乘法.對于二次三項(xiàng)式，若存在 ，則.
要點(diǎn)詮釋：（1）在對分解因式時，要先從常數(shù)項(xiàng)的正、負(fù)入手，若，
則、同號(若，則、異號)，然后依據(jù)一次項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)再確定、的符號；
（2）若中的為整數(shù)時，要先將分解成兩個整數(shù)的積(要考慮到分解的各種可能)，然后看這兩個整數(shù)之和能否等于，直到湊對為止.
知識點(diǎn)6：首項(xiàng)系數(shù)不為1的十字相乘法
在二次三項(xiàng)式(≠0)中，如果二次項(xiàng)系數(shù)可以分解成兩個因數(shù)之積，即
，常數(shù)項(xiàng)可以分解成兩個因數(shù)之積，即，把排列如下：
按斜線交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三項(xiàng)式的一次項(xiàng)系數(shù)，即，那么二次三項(xiàng)式就可以分解為兩個因式與之積，即.
要點(diǎn)詮釋：（1）分解思路為“看兩端，湊中間”
（2）二次項(xiàng)系數(shù)一般都化為正數(shù)，如果是負(fù)數(shù)，則提出負(fù)號，分解括號
里面的二次三項(xiàng)式，最后結(jié)果不要忘記把提出的負(fù)號添上.
知識點(diǎn)7：提取公因式法與分組分解法
1、提取公因式法：如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)含有公因式，那么就可以把這個公因式提到括號外面，把多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化成公因式與另一個多項(xiàng)式的積的形，這種因式分解的方法叫做提公因式法。
2、符號語言：
3、提公因式的步驟：
（1）確定公因式 （2）提出公因式并確定另一個因式（依據(jù)多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式）
4、注意事項(xiàng)：因式分解一定要徹底
知識點(diǎn)8：關(guān)于x的二次三項(xiàng)式ax2+bx+c(a≠0)的因式分解
若關(guān)于x的方程的兩個實(shí)數(shù)根是、，則二次三項(xiàng)式就可分解為.
【典例例題】
題型一：絕對值
例1．（2023·吉林長春·東北師大附中?？既＃┫铝懈鹘M數(shù)中互為相反數(shù)的是（ ）
A．3和B．和C．和D．和
例2．（2023·福建福州·福建省福州延安中學(xué)校考三模）如圖所示，數(shù)軸上有O、A、B、C四點(diǎn)位置與各點(diǎn)所表示的數(shù)，若數(shù)軸上有一點(diǎn)D，D點(diǎn)所表示的數(shù)為d，，則D點(diǎn)的位置（ ）

A．在A的左邊B．在A、C之間C．在C、O之間D．在O、B之間
例3．（2023·廣東佛山·統(tǒng)考三模）若，則（ ）
A．B．C．2D．
例4．（2023·浙江杭州·杭州市十三中教育集團(tuán)（總校）?？既＃┮阎魏瘮?shù)和，令，則下列說法正確的是（ ）
A．若，則B．若，則
C．若，則D．若，則
例5．（2023·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考三模）的倒數(shù)是（ ）
A．B．2023C．D．
題型二：乘法公式
例6．（2023·河南新鄉(xiāng)·統(tǒng)考三模）下列運(yùn)算正確的是（ ）
A．B．
C．D．
例7．（2023·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考三模）下列運(yùn)算一定正確的是（ ）
A．B．C．D．
例8．（2023·廣東茂名·統(tǒng)考一模）下列運(yùn)算正確的是（ ）
A．B．
C．D．
例9．（2022·廣東湛江·一模）下列運(yùn)算正確的是( )
A． B．
C．D．
例10．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考一模）下列運(yùn)算正確的是（ ）
A．B．
C．D．
題型三：二次根式
例11．（2023·河南新鄉(xiāng)·統(tǒng)考三模）代數(shù)式有意義的條件為______．
例12．（2023·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考三模）計(jì)算____________．
例13．（2023·安徽蚌埠·統(tǒng)考三模）已知一組數(shù)，，3，，，，，，…，排列方式如下：，，3，；，，，；…．若3的位置記為，的位置記為，則的位置記為__________．
例14．（2023·安徽蚌埠·統(tǒng)考三模）計(jì)算：__________．
例15．（2023·湖北黃岡·統(tǒng)考模擬預(yù)測）若在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍為 ___________．
例16．（2023·江蘇南京·南師附中樹人學(xué)校校考三模）計(jì)算的結(jié)果是________．
題型四：分式
例17．（2023·廣東汕頭·校聯(lián)考一模）化簡分式：__________；
例18．（2023·湖南長沙·?？既＃┤羰阶釉趯?shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則的取值范圍是______．
例19．（2023·內(nèi)蒙古包頭·統(tǒng)考一模）計(jì)算：_______．
例20．（2023·浙江溫州·溫州市第八中學(xué)?？既＃┯?jì)算：______．
例21．（2023·遼寧沈陽·沈陽市第一二六中學(xué)?？既＃┯?jì)算：______．
題型五：十字相乘法
例22．（2023·山東淄博·統(tǒng)考二模）分解因式______．
例23．（2023·四川巴中·校考二模）因式分_____________．
例24．（2023·四川涼山·統(tǒng)考一模）因式分___________．
例25．（2023·山東煙臺·模擬預(yù)測）因式分___________．
題型六：提取公因式法與分組分解法
例26．（2023·廣東佛山·模擬預(yù)測）因式分______．
例27．（2023·山東德州·模擬預(yù)測）分解因式：______．
例28．（2023·江西吉安·統(tǒng)考三模）分解因式：= ___________．
例29．（2021·安徽宣城·?？家荒＃┮蚴椒謝3﹣6x2+11x﹣6＝_____．
例30．（2022·甘肅武威·統(tǒng)考模擬預(yù)測）因式分______．
例31．（2023·江蘇無錫·一模）分解因式：_________________
例32．（2021·新疆烏魯木齊·校考三模）分解因式：a2-b2+a-b=______________．
題型七：關(guān)于x的二次三項(xiàng)式的因式分解
例33．（2023·四川內(nèi)江·統(tǒng)考二模）八年級課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：
將因式分解．
【觀察】經(jīng)過小組合作交流，小明得到了如下的解決方法：
解法一：原式
解法二：原式
【感悟】對項(xiàng)數(shù)較多的多項(xiàng)式無法直接進(jìn)行因式分解時，我們可以將多項(xiàng)式分為若干組，再利用提公因式法、公式法達(dá)到因式分解的目的，這就是因式分解的分組分解法．分組分解法在代數(shù)式的化簡、求值及方程、函數(shù)等學(xué)習(xí)中起著重要的作用．（溫馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解為止）
【類比】
(1)請用分組分解法將因式分解；
【挑戰(zhàn)】
(2)請用分組分解法將因式分解；
【應(yīng)用】
(3)“趙爽弦圖”是我國古代數(shù)學(xué)的驕傲，我們利用它驗(yàn)證了勾股定理．如圖，“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形圍成的一個大正方形，中間是一個小正方形．若直角三角形的兩條直角邊長分別是a和，斜邊長是3，小正方形的面積是1．根據(jù)以上信息，先將因式分解，再求值．
例34．（2019·重慶·統(tǒng)考二模）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有一部分多項(xiàng)式只單純用上述方法就無法分解，如x2﹣2xy+y2﹣16，我們細(xì)心觀察這個式子，會發(fā)現(xiàn)，前三項(xiàng)符合完全平方公式，進(jìn)行變形后可以與第四項(xiàng)結(jié)合，再應(yīng)用平方差公式進(jìn)行分解．過程如下：x2﹣2xy+y2﹣16＝（x﹣y）2一16＝（x﹣y+4）（x﹣y﹣4）
這種分解因式的方法叫分組分解法．利用這種分組的思想方法解決下列問題：
（1）9a2+4b2﹣25m2﹣n2+12ab+10mn；
（2）已知a、b、c分別是△ABC三邊的長且2a2+b2+c2﹣2a（b+c）＝0，請判斷△ABC的形狀，并說明理由．
例35．（2019·廣東湛江·?？家荒＃┓纸庖蚴剑?br>（1）；
（2）．
例36．（2023秋·山西呂梁·九年級?？茧A段練習(xí)）閱讀與思考
請使用分組分解法解決以下問題：
(1)分解因式：．
(2)已知三邊滿足，請判斷的形狀并說明理由．
例37．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）（1）分解因式：
（2）分解因式：
例38．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）因式分解∶
【過關(guān)測試】
一、單選題
1．（2023·安徽蚌埠·統(tǒng)考三模）據(jù)安徽統(tǒng)計(jì)局公布，年月份，全省進(jìn)出口總額億元，用科學(xué)記數(shù)法表示億，正確的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·廣西南寧·統(tǒng)考二模）下列運(yùn)算中，結(jié)果正確的是（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·河北保定·統(tǒng)考二模）下列各式中，運(yùn)算結(jié)果為六次單項(xiàng)式的是（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·江蘇蘇州·蘇州市第十六中學(xué)?？级＃┫铝羞\(yùn)算正確的是（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·湖北武漢·武漢市第一初級中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知，是一元二次方程的兩根，則的值是（ ）
A．B．3C．D．
6．（2023·北京·校聯(lián)考模擬預(yù)測）實(shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，下列結(jié)論正確的是（ ）

A．B．C．D．
7．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考三模）已知方程的兩根分別為，，則的值是（ ）
A．1B．C．D．
8．（2023·湖北武漢·武漢市第一初級中學(xué)?？寄M預(yù)測）我國南宋著名數(shù)學(xué)家楊輝精研數(shù)學(xué)，著有《詳解九章算法》，對數(shù)和式的運(yùn)算進(jìn)行了深入研究與總結(jié)，運(yùn)用其中的思想方法，可以解決很多數(shù)與式的計(jì)算問題.已知，為實(shí)數(shù)，且，，計(jì)算可得:，，，……由此求得（ ）
A．B．C．D．
9．（2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測）不能被下列數(shù)整除的是（ ）
A．B．C．D．
10．（2023·河北衡水·校聯(lián)考二模）數(shù)學(xué)課上進(jìn)行小組合作式學(xué)習(xí)，老師讓小組成員的2號同學(xué)寫出5個常錯的式子，4號同學(xué)進(jìn)行判斷，則判斷正確的個數(shù)是（ ）
A．5個B．4個C．3個D．2個
二、填空題
11．（2023·吉林長春·東北師大附中校考三模）如圖，在長為10，寬為6的草坪中間修建寬度均為的兩條道路，那么剩下的草坪面積是______．（用含的代數(shù)式表示）

12．（2023·江蘇宿遷·統(tǒng)考三模）對于任意一個四位數(shù)m，若千位上的數(shù)字與個位上的數(shù)字之和是百位上的數(shù)字與十位上的數(shù)字之和的2倍，則稱這個四位數(shù)m為“共生數(shù)”．例如：，因?yàn)椋?136是“共生數(shù)”；，因?yàn)?，所?479不是“共生數(shù)”．若“共生數(shù)”中，十位數(shù)上的數(shù)字是千位上的數(shù)字的3倍，百位上的數(shù)字與個位上的數(shù)字之和能被8整除，則滿足條件的“共生數(shù)”為______．
13．（2023·安徽合肥·合肥市第四十五中學(xué)?？寄M預(yù)測）分解因式：______．
14．（2023·四川南充·四川省南充高級中學(xué)?？既＃┮阎欠匠痰膬蓚€實(shí)數(shù)根，則的值是 _____．
15．（2023·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考三模）在函數(shù)中，自變量的取值范圍是__________．
16．（2023·河北衡水·校聯(lián)考二模）把1，3，5，7，9…這一組數(shù)按如下規(guī)律排列放在表格1中，任意選定如圖所示方框中的4個數(shù)，進(jìn)行交叉相乘再相減的運(yùn)算，即．例如：．

（1）______；
（2）______；
（3）如表2，把1，3，5，7，9…這一組數(shù)重新排放在有n列的表格中，則______．（用含n的式子表示）
三、解答題
17．（2023·河南新鄉(xiāng)·統(tǒng)考三模）（1）計(jì)算：；
（2）解方程：．
18．（2023·江蘇泰州·統(tǒng)考三模）（1）計(jì)算：；
（2）解方程組．
19．（2023·河北保定·統(tǒng)考二模）如圖，數(shù)軸上點(diǎn)M對應(yīng)的數(shù)為，點(diǎn)N在點(diǎn)M右側(cè)，對應(yīng)的數(shù)為a，矩形的邊在數(shù)軸上．矩形從點(diǎn)A與M重合開始勻速向正方向運(yùn)動，到點(diǎn)D與點(diǎn)N重合時停止運(yùn)動．同時一動點(diǎn)P以每秒2個單位長度的速度，從點(diǎn)A出發(fā)沿折線繞矩形勻速運(yùn)動一周，且點(diǎn)P與矩形同時到達(dá)各自終點(diǎn)．已知，，設(shè)運(yùn)動時間為t秒，過點(diǎn)Р作垂直于數(shù)軸的直線，將垂足對應(yīng)的數(shù)稱為點(diǎn)Р對應(yīng)的數(shù)．

(1)若矩形運(yùn)動速度為每秒1個單位長度，則點(diǎn)A對應(yīng)數(shù)軸上的數(shù)為________；（用含t的代數(shù)式表示，不必寫范圍）．
(2)若，當(dāng)，即點(diǎn)Р在邊上時，點(diǎn)Р對應(yīng)數(shù)軸上的數(shù)為________；（用含t的代數(shù)式表示）
(3)若運(yùn)動過程中有一段時間，點(diǎn)Р對應(yīng)數(shù)軸上的數(shù)不變，則________．
20．（2018·河北·模擬預(yù)測）已知，．
(1)若，求的值．
(2)若的值與的值無關(guān)，求的值．
21．（2023·河北邯鄲·二模）一道求值題不小心弄污損了，嘉嘉隱約辨識：化簡，其中．系數(shù)“”看不清楚了．
(1)如果嘉嘉把“”中的數(shù)值看成2，求上述代數(shù)式的值；
(2)若無論m取任意的一個數(shù)，這個代數(shù)式的值都是，請通過計(jì)算幫助嘉嘉確定“”中的數(shù)值．
22．（2023·安徽六安·?？既＃┨羁眨海?br>；
；
……
(1)__________；
(2)猜想：__________；（其中為正整數(shù)，且）
(3)利用（2）中的猜想的結(jié)論計(jì)算：．我們熟知的因式分解的方法有提取公因式法、公式法和十字相乘法．但有時遇到
了四項(xiàng)及以上的多項(xiàng)式要進(jìn)行因式分解時．就往往不知從何下手了．因此，針對四項(xiàng)
及以上的多項(xiàng)式因式分解．我們通常使用的方法是分組分解法：將多項(xiàng)式分成多個小
組，每個小組單獨(dú)進(jìn)行因式分解．再利用提取公因式法或者公式法對整體進(jìn)行因式分
解．請觀察以下使用分組分解法進(jìn)行因式分解的過程：
．
（1）（×）
（2）（×）
（3）（×）
（4）（√）
（5）（×）

相關(guān)試卷

（人教A版）新高一數(shù)學(xué)暑假預(yù)習(xí)練習(xí)1.4交集的運(yùn)算（2份，原卷版+解析版）：

這是一份（人教A版）新高一數(shù)學(xué)暑假預(yù)習(xí)練習(xí)1.4交集的運(yùn)算（2份，原卷版+解析版），文件包含人教A版新高一數(shù)學(xué)暑假預(yù)習(xí)練習(xí)14交集的運(yùn)算原卷版doc、人教A版新高一數(shù)學(xué)暑假預(yù)習(xí)練習(xí)14交集的運(yùn)算解析版doc等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共10頁， 歡迎下載使用。

專題14 函數(shù)的值域（原卷版+解析版）-【初升高銜接】2023年新高一數(shù)學(xué)暑假銜接講義（通用版）：

這是一份專題14 函數(shù)的值域（原卷版+解析版）-【初升高銜接】2023年新高一數(shù)學(xué)暑假銜接講義（通用版），文件包含專題14函數(shù)的值域原卷版docx、專題14函數(shù)的值域解析版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共27頁， 歡迎下載使用。

專題07 集合的交并補(bǔ)運(yùn)算（原卷版+解析版）-【初升高銜接】2023年新高一數(shù)學(xué)暑假銜接講義（通用版）：

這是一份專題07 集合的交并補(bǔ)運(yùn)算（原卷版+解析版）-【初升高銜接】2023年新高一數(shù)學(xué)暑假銜接講義（通用版），文件包含專題07集合的交并補(bǔ)運(yùn)算原卷版docx、專題07集合的交并補(bǔ)運(yùn)算解析版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共20頁， 歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

專題02 方程（原卷版+解析版）-【初升高銜接】2023年新高一數(shù)學(xué)暑假銜接講義（通用版）

專題02 方程（原卷版+解析版）-【初升高銜接】2023年新高一數(shù)學(xué)暑假銜接講義（通用版）
專題01 數(shù)與式（原卷版+解析版）-【初升高銜接】2023年新高一數(shù)學(xué)暑假銜接講義（通用版）

專題01 數(shù)與式（原卷版+解析版）-【初升高銜接】2023年新高一數(shù)學(xué)暑假銜接講義（通用版）
專題01 數(shù)與式的運(yùn)算-2024年新高一（初升高）數(shù)學(xué)暑期銜接講義

專題01 數(shù)與式的運(yùn)算-2024年新高一（初升高）數(shù)學(xué)暑期銜接講義
專題01 數(shù)與式的運(yùn)算-暑假初三升高一數(shù)學(xué)銜接知識自學(xué)講義（人教A版2019）

專題01 數(shù)與式的運(yùn)算-暑假初三升高一數(shù)學(xué)銜接知識自學(xué)講義（人教A版2019）
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
暑假專區(qū)
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機(jī)號注冊
手機(jī)號碼

手機(jī)號格式錯誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機(jī)號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部