在本講中，我們主要鞏固初中所學(xué)的知識(shí)，在鞏固的基礎(chǔ)上進(jìn)行初高中銜接.在初中，立方差與立方和公式是作為拓展內(nèi)容的,學(xué)生可以選擇性學(xué)習(xí)，也可以不學(xué).但在高中，對(duì)立方差與立方和公式有著廣泛的應(yīng)用，高中學(xué)生必須掌握，在本講的代數(shù)式部分著重補(bǔ)充了這幾個(gè)公式。
注:
立方和：；
立方差：；
【知識(shí)回顧與銜接】
實(shí)數(shù)
1、實(shí)數(shù)的分類
2、絕對(duì)值
3、數(shù)的開(kāi)方
4、指數(shù)是正整數(shù)，）；
二、乘法公式與因式分解
1、乘法公式:
2、因式分解
（1）步驟：
1°提取公因式
2°套公式
3°十字相乘法
4°分組分解
5°查是否分解徹底
（2）因式分解中常見(jiàn)的七個(gè)公式:
①平方差：；
②立方和：；
③立方差：；
④完全平方：；
⑤三數(shù)和的平方：；
⑥和立方：；
⑦差立方：．
以上公式必須熟記，牢牢掌握他們的特點(diǎn)，七個(gè)公式中公式①（即平方差公式）初高中應(yīng)用的最多。
3、十字相乘法
定義及應(yīng)用舉例
十字相乘法的三個(gè)步驟：
1°豎分二次項(xiàng)與常數(shù)項(xiàng)
2°交叉相乘，積相加
3°檢驗(yàn)確定，橫寫(xiě)因式
三、分式、根式和指數(shù)
1、分式的基本性質(zhì)：
2、二次根式的性質(zhì)：
①叫做二次根式
②
③
④；
⑤．
⑥分母有理化：．
⑦分子有理化：
3、整數(shù)指數(shù)冪
（?。┱麛?shù)指數(shù)冪；（ⅱ）零指數(shù)冪；
（ⅲ）負(fù)整數(shù)指數(shù)冪是正整數(shù)）．
4、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪
（?。┱?jǐn)?shù)指數(shù)冪是正整數(shù)，）；
（ⅱ）負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪是正整數(shù)，）．
5、整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)
（?。┦钦麛?shù)）；（ⅱ）是整數(shù)）；
（ⅲ）是整數(shù)）； （ⅳ）是整數(shù)）；
6、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)
（?。┦怯欣頂?shù)）；（ⅱ）是有理數(shù)）；
（ⅲ）是有理數(shù)）；
【例題精講】
1、若，則的值為（ ）
A．13B．26C．28D．37
【答案】A
【分析】由條件可得，然后可得答案.
【詳解】依題意得，則，
故選：A
2、當(dāng)時(shí)，計(jì)算______.
【答案】
【分析】利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)，再利用絕對(duì)值的代數(shù)意義計(jì)算即可．
【詳解】解：，所以，，
，
故答案為：
3、用十字相乘法分解因式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．
【分析】由十字相乘法即得.
【詳解】（1）=；
（2）=；
（3）=；
（4）=．
4、若，那么的值是_________．
【答案】
【分析】先求出，的值，再代入所求式子，將式子進(jìn)行裂項(xiàng)，再相加求解即可.
【詳解】因?yàn)?，所以，，即，?br>所以
.
故答案為：.
5、閱讀下列材料：我們知道，因此將的分子分母同時(shí)乘以“”，分母就變成了4，即，從而可以達(dá)到對(duì)根式化簡(jiǎn)的目的．根據(jù)上述閱讀材料解決問(wèn)題：若，則代數(shù)式的值是__________．
【答案】2023
【分析】根據(jù)分母有理化化簡(jiǎn)，再由等式的恒等變形即可求解.
【詳解】，
∴原式
故答案為：2023．
6、求值：為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】每個(gè)因式用平方差公式分解,重新組合后累乘可得.
【詳解】


故選:A
【點(diǎn)睛】本題需要分析數(shù)字特征，找出它們之間得內(nèi)在聯(lián)系，屬于中檔題.
7、我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家秦九韶曾提出利用三角形的三邊求其面積的秦九韶公式，其中為三角形的三條邊，為最長(zhǎng)邊．若一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為2，3，4，則此三角形面積為_(kāi)_____．
【答案】
【分析】將2，3，4代入題目所給公式即可，其中.
【詳解】因?yàn)檫@個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為2，3，4，其中最長(zhǎng)邊為4，
所以將此三角形三邊長(zhǎng)度代入公式
得：
故答案為：．
8、因式分解
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
【分析】由十字相乘法、提公因式法和公式法依次因式分解即可.
【詳解】（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）.
9、回答下列問(wèn)題.
（1）正數(shù)，滿足，求的值.
（2）若，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）由題意解得，的關(guān)系，代入所求式子即可得結(jié)果.
（2）利用偶次根式性質(zhì)先化簡(jiǎn)所求的根式，再將代入計(jì)算.
【詳解】（1）由可得，
即，則或，
由，為正數(shù)，可得，則.
（2）
.
10、（1）證明：（其中n是正整數(shù)）；
（2）證明：對(duì)任意大于1的正整數(shù)n， 有．
【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析
【分析】(1)根據(jù)分式的運(yùn)算性質(zhì)證明；(2)由(1)的結(jié)論對(duì)不等式的左側(cè)化簡(jiǎn)變形，即可證明.
【詳解】（1）證明：
∴（其中n是正整數(shù)）成立．
（2）證明：
＝
＝，
又n ≥1，且n是正整數(shù)，∵，
∴．
11、因式分解
【答案】
【分析】首先先分組，再進(jìn)行因式分解.
【詳解】

【鞏固練習(xí)】
1、若，則的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先根據(jù)已知條件求得，從而求得.
【詳解】依題意可知，
所以.
故選：D
2、多項(xiàng)式因式分解的結(jié)果是（ ）.
A． B．
C．D．
【答案】D
【分析】提公因式再利用平方差公式即可得到答案.
【詳解】

故選：D.
3、若是一個(gè)完全平方式，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由完全平方式的定義求解
【詳解】因?yàn)闉橥耆椒绞剑?br>所以，得，
故選：D
4、已知， ，那么的值為 _________
【答案】60
【分析】直接由完全平方公式求解即可.
【詳解】由可得，又，則.
故答案為：60.
5、__________.
【答案】/
【分析】利用指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)可得結(jié)果.
【詳解】原式

.
故答案為：.
6、分解因式
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）.
【分析】（1）~（6）、（8）運(yùn)用十字相乘法進(jìn)行因式分解；
（7）運(yùn)用提公因式法和十字相乘法進(jìn)行因式分解；
（9）運(yùn)用換元法、十字相乘法、公式法進(jìn)行因式分解.
【詳解】（1）；
（2）；
（3）
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）；
（9）令，所以有
【點(diǎn)睛】本題考查了用十字相乘法、換元法、公式法、提公因式法進(jìn)行因式分解，考查了代數(shù)式恒等變形能力.
7、已知.
(1)求的值；
(2)化簡(jiǎn)并求值：.
【答案】(1)3
(2)，3
【分析】（1）利用分母有理化化簡(jiǎn)，再根據(jù)完全平方公式計(jì)算可得；
（2）根據(jù)二次根式的性質(zhì)及分式的性質(zhì)化簡(jiǎn)，再代入計(jì)算可得；
(1)解：，
，
將代入得；
(2)解：
，
，
，
原式.
8、=___________
【答案】/0.9
【分析】觀察每個(gè)分式可以發(fā)現(xiàn)每個(gè)分式可以寫(xiě)出兩個(gè)分?jǐn)?shù)相減的形式，從而可得出答案.
【詳解】解：＝
故答案為：.
9、我國(guó)古代偉大的數(shù)學(xué)家劉徽將勾股形（古人稱直角三角形為勾股形）分割成一個(gè)正方形和兩對(duì)全等的直角三角形，得到一個(gè)恒等式，后人借助這種分割方法所得的圖形證明了勾股定理.如圖所示的矩形由兩個(gè)這樣的圖形拼成，若，則該矩形的面積為_(kāi)__________．
【答案】12
【解析】設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為，在中由勾股定理得，則可求出面積.
【詳解】設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為，
，，
在中，，
即，即，
則該矩形的面積為.
故答案為：12.
10、（1）試證：(其中是正整數(shù))；
（2）計(jì)算：；
（3）證明：對(duì)任意大于的正整數(shù)， 有.
【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2） （3）證明見(jiàn)解析
【分析】（1）右式通分，化簡(jiǎn)即可得證；
（2）根據(jù)（1）將每個(gè)分式拆成兩個(gè)分式相減的形式，從而可得出答案‘
（3）根據(jù)（1）將每個(gè)分式拆成兩個(gè)分式相減的形式，化簡(jiǎn)，結(jié)合，且是正整數(shù)，即可得證.
【詳解】（1）證明：，
(其中是正整數(shù))成立．
（2）解：由（1）可知
；
（3）證明：
，
又，且是正整數(shù)，一定為正數(shù)，
∴，
.知識(shí)點(diǎn)
初中
高中
數(shù)的擴(kuò)充
由整數(shù)到有理數(shù)、實(shí)數(shù)的擴(kuò)展思想；掌握有理數(shù)的運(yùn)算法則和運(yùn)算性質(zhì)，懂得實(shí)數(shù)的基本運(yùn)算和順序關(guān)系;初步形成數(shù)量觀念
由實(shí)數(shù)擴(kuò)充到復(fù)數(shù)的擴(kuò)展思想；掌握復(fù)數(shù)的有關(guān)概念和用代數(shù)形式表示的復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算
代數(shù)式
掌握:(1)整式與多項(xiàng)式的因式分解；
(2)分式，根式和指數(shù)的基本運(yùn)算和變形
在初中代數(shù)式基礎(chǔ)上，掌握集合區(qū)間的基本知識(shí)，掌握數(shù)列、數(shù)學(xué)歸納法的基本知識(shí)

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