專(zhuān)題01 數(shù)與式的運(yùn)算-暑假初三升高一數(shù)學(xué)銜接知識(shí)自學(xué)講義（人教A版2019）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

專(zhuān)題01數(shù)與式的運(yùn)算【知識(shí)點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)1：絕對(duì)值絕對(duì)值的代數(shù)意義：正數(shù)的絕對(duì)值是它的本身，負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)，零的絕對(duì)值仍是零．即：絕對(duì)值的幾何意義：一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值，是數(shù)軸上表示它的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離．兩個(gè)數(shù)的差的絕對(duì)值的幾何意義：表示在數(shù)軸上，數(shù)和數(shù)之間的距離．知識(shí)點(diǎn)2：乘法公式我們?cè)诔踔幸呀?jīng)學(xué)習(xí)過(guò)了下列一些乘法公式：（1）平方差公式；（2）完全平方公式．我們還可以通過(guò)證明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式；（2）立方差公式；（3）三數(shù)和平方公式；（4）兩數(shù)和立方公式；（5）兩數(shù)差立方公式．知識(shí)點(diǎn)3：二次根式一般地，形如的代數(shù)式叫做二次根式．根號(hào)下含有字母、且不能夠開(kāi)得盡方的式子稱(chēng)為無(wú)理式.例如，等是無(wú)理式，而，，等是有理式．（1）分母（子）有理化把分母（子）中的根號(hào)化去，叫做分母（子）有理化．為了進(jìn)行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念．兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有二次根式，我們就說(shuō)這兩個(gè)代數(shù)式互為有理化因式，例如與，與，與，與，等等．一般地，與，與，與互為有理化因式．分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根號(hào)的過(guò)程；而分子有理化則是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根號(hào)的過(guò)程在二次根式的化簡(jiǎn)與運(yùn)算過(guò)程中，二次根式的乘法可參照多項(xiàng)式乘法進(jìn)行，運(yùn)算中要運(yùn)用公式；而對(duì)于二次根式的除法，通常先寫(xiě)成分式的形式，然后通過(guò)分母有理化進(jìn)行運(yùn)算；二次根式的加減法與多項(xiàng)式的加減法類(lèi)似，應(yīng)在化簡(jiǎn)的基礎(chǔ)上去括號(hào)與合并同類(lèi)二次根式．（2）二次根式的意義知識(shí)點(diǎn)4：分式（1）分式的意義形如的式子，若B中含有字母，且，則稱(chēng)為分式．當(dāng)M≠0時(shí)，分式具有下列性質(zhì)：；．上述性質(zhì)被稱(chēng)為分式的基本性質(zhì)．（2）繁分式像，這樣，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式．【題型歸納目錄】題型1：絕對(duì)值題型2：乘法公式題型3：二次根式題型4：分式           【典例例題】題型1：絕對(duì)值例1．已知實(shí)數(shù)x，y滿足，則以x，y的值為兩邊長(zhǎng)的等腰三角形的周長(zhǎng)是（）A．20 B．25 C．20或25 D．以上答案均不對(duì)例2．已知x，y滿足，則的平方根為（     ）A．2 B．±2 C．4 D．±4例3．如圖，數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)為a，化簡(jiǎn)|a﹣3|﹣＝_____．例4．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)于點(diǎn)和，給出如下的定義：點(diǎn)的橫坐標(biāo)差的絕對(duì)值和它們的縱坐標(biāo)差的絕對(duì)值中較小的一個(gè)（若它們相等，則取其中任意一個(gè)）稱(chēng)為P，Q兩點(diǎn)的“近距”，記為．即：若，則；若，則(1)請(qǐng)你直接寫(xiě)出的“近距”______﹔(2)在條件（1）下，將線段AB向右平移4個(gè)單位至線段CD，其中點(diǎn)A，B分別對(duì)應(yīng)點(diǎn)C，D．若在坐標(biāo)軸上存在點(diǎn)E，使，請(qǐng)求出點(diǎn)E的坐標(biāo)：例5．計(jì)算：．     題型2：乘法公式例1．對(duì)于二次三項(xiàng)式（m、n為常數(shù)），下列結(jié)論：①若，且，則；②若，則無(wú)論x為何值時(shí)，都是正數(shù)；③若，則：④若，且，其中a、b為整數(shù)，則m可能取值有10個(gè)．其中正確的有______．（請(qǐng)?zhí)顚?xiě)序號(hào)）例2．先閱讀后解題：若，求m和n的值．解：等式可變形為：即，因?yàn)?/span>，，所以，即，．像這樣將代數(shù)式進(jìn)行恒等變形，使代數(shù)式中出現(xiàn)完全平方式的方法叫做“配方法”．請(qǐng)利用配方法，解決下列問(wèn)題：(1)已知的三邊長(zhǎng)a，b，c都是正整數(shù)，且滿足，則的周長(zhǎng)是______；(2)求代數(shù)式的最小值是多少？并求出此時(shí)a，b滿足的數(shù)量關(guān)系；(3)請(qǐng)比較多項(xiàng)式與的大小，并說(shuō)明理由．例3．材料一：有這樣一類(lèi)題目：將化簡(jiǎn)，如果你能找到兩個(gè)數(shù)m、n，使m2+n2＝a且mm＝，則將a±2將變成m2+n2±2n，即變成（m±n）2開(kāi)方，從而使得化簡(jiǎn)．例如，5±2＝3+2±2＝（）2+（）2±2×＝（ ±）2，所以＝＝ ±：材料二：在進(jìn)行二次根式的化簡(jiǎn)時(shí)，我們有時(shí)會(huì)碰到如，，．這樣的式子＝＝（一）；＝＝（二）；＝＝＝﹣1（三）以上這種化簡(jiǎn)的步驟叫做分母有理化．還可以用以下方法化簡(jiǎn)：＝＝＝＝﹣1（四）；請(qǐng)根據(jù)材料解答下列問(wèn)題：(1)=         ；=           ．(2)化簡(jiǎn)： ++…+．例4．方法探究：已知二次多項(xiàng)式，我們把代入多項(xiàng)式，發(fā)現(xiàn)，由此可以推斷多項(xiàng)式中有因式（x＋3）．設(shè)另一個(gè)因式為（x＋k），多項(xiàng)式可以表示成，則有，因?yàn)閷?duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)是對(duì)應(yīng)相等的，即，解得，因此多項(xiàng)式分解因式得：．我們把以上分解因式的方法叫“試根法”．問(wèn)題解決：(1)對(duì)于二次多項(xiàng)式，我們把x＝        代入該式，會(huì)發(fā)現(xiàn)成立；(2)對(duì)于三次多項(xiàng)式，我們把x＝1代入多項(xiàng)式，發(fā)現(xiàn)，由此可以推斷多項(xiàng)式中有因式（），設(shè)另一個(gè)因式為（），多項(xiàng)式可以表示成，試求出題目中a，b的值；(3)對(duì)于多項(xiàng)式，用“試根法”分解因式．   例5．先化簡(jiǎn)，后求值：，其中x，y滿足．   例6．【知識(shí)介紹】換元法是數(shù)學(xué)中重要的解題方法，通常把未知數(shù)或變數(shù)稱(chēng)為元，所謂換元法，就是在一個(gè)比較復(fù)雜的數(shù)學(xué)式子中，用新的變?cè)ゴ嬖降囊粋€(gè)部分或改造原來(lái)的式子，使它簡(jiǎn)化，使問(wèn)題易于解決．換元的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元．均值換元法是換元法主要形式之一．【典例分析】已知實(shí)數(shù)x，y滿足x+y＝4，試求代數(shù)式x2+y2的最小值．【分析】均值換元法：由x+y＝4，得x與y的均值為2，所以可以設(shè)x＝2+t，再代入代數(shù)式換元求解．【解法】∵x+y＝4，∴設(shè)x＝2+t，y＝2﹣t，∴x2+y2＝（2+t）2+（2﹣t）2＝2t2+8≥8，∴x2+y2的最小值是8．【理解應(yīng)用】根據(jù)以上知識(shí)背景，回答下列問(wèn)題：(1)若實(shí)數(shù)a，b滿足a+b＝2，求代數(shù)式a2+b2+2的最小值；(2)已知△ABC的三邊長(zhǎng)a，b，c，滿足b+c＝8，bc＝a2﹣8a+32，請(qǐng)判斷△ABC的形狀，并求△ABC的周長(zhǎng)．(3)若實(shí)數(shù)a，b，c滿足a+b+2c＝6，ab＝2c2﹣4c+10，求a，b，c的值．    題型3：二次根式例1．若式子不論取任何數(shù)總有意義，則的取值范圍是（       ）A． B． C．且 D．例2．已知，求的值．例3．（1）計(jì)算：_____________________（2）由以上計(jì)算結(jié)果：可知的倒數(shù)是_______．（3）比較與的大?。?/span>例4．計(jì)算：(1)(2)(3)  例5．一只蟲(chóng)子在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)爬行，從P點(diǎn)出發(fā)向右爬行3個(gè)單位，再向上爬行5個(gè)單位到達(dá)點(diǎn)Q，點(diǎn)P坐標(biāo)為(，n)，設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(m，+1)．　(1)求m和n的值．(2)已知，求x，y，及代數(shù)式的值．題型4：分式例1．計(jì)算的結(jié)果是________．例2．計(jì)算：______．例3．計(jì)算：__________．例4．化簡(jiǎn)：．例5．先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．    【過(guò)關(guān)測(cè)試】一、選擇題1.如圖，點(diǎn)、、在數(shù)軸上表示的數(shù)分別為、、，且，則下列結(jié)論中：；；；其中正確的個(gè)數(shù)有A. 個(gè) B. 個(gè) C. 個(gè) D. 個(gè)2.已知，，且，則的值為 A. 或 B. 或 C. 或 D. 或  3.實(shí)數(shù)，，，在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，則下列結(jié)論正確的是
A. 表示的數(shù)可以是 B.
C. D. 4.實(shí)數(shù)，在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，下列結(jié)論中正確的是    A. B. C. D. 5.已知，為不同的兩個(gè)實(shí)數(shù)，且滿足，，當(dāng)為整數(shù)時(shí)，的值為    A. 或 B. 或 C. 或 D. 或6.若，則為 A. B. C. D. 7.如果，，那么代數(shù)式的值是A. B. C. D. 8.若，則的值是A. B. C. D. 9.已知，，則代數(shù)式的值為 A. B. C. D. 10.若能用完全平方公式因式分解，則的值為A. B. C. 或 D. 或11.已知、、為的三邊，且滿足，則的形狀是    A. 等腰三角形 B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形12.對(duì)于任何整數(shù)，多項(xiàng)式都能A. 被整除 B. 被整除
C. 被整除 D. 被整除13.已知實(shí)數(shù)，在數(shù)軸上的位置如圖所示，則化簡(jiǎn)的結(jié)果為（）A. B. C. D. 14.下列等式成立的是A. B. C. D. 15.把代數(shù)式中的移到根號(hào)內(nèi)，那么這個(gè)代數(shù)式等于 A. B. C. D. 二、填空題（本大題共10小題，共30.0分）16.如果代數(shù)式有意義，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是______．17.在數(shù)軸上表示實(shí)數(shù)的點(diǎn)如圖所示，化簡(jiǎn)的結(jié)果為          ．18.若實(shí)數(shù)、滿足等式，且、恰好是等腰三角形的邊長(zhǎng)，則這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)是_____________．19.已知，則______．20.計(jì)算的結(jié)果是______．21.已知，則代數(shù)式的值為_________．22.如果分式的值為零，那么則的值是__________．23.若，則的值為   ．24.已知、、是三角形的三邊，化簡(jiǎn)____．25.如果一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別是，，，則化簡(jiǎn)的結(jié)果是______．三、解答題（本大題共8小題，共64.0分）26.已知，滿足方程組且．試用含的式子表示方程組的解求實(shí)數(shù)的取值范圍化簡(jiǎn)．27.已知實(shí)數(shù)，，，，，，且，互為倒數(shù)，，互為相反數(shù)，的絕對(duì)值為，的算術(shù)平方根是，求的值．28.下面是某同學(xué)對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解的過(guò)程．解：設(shè)，則原式第一步第二步第三步第四步．回答下列問(wèn)題：該同學(xué)第二步到第三步運(yùn)用了因式分解的 A.提取公因式B.平方差公式C.兩數(shù)和的完全平方公式D.兩數(shù)差的完全平方公式該同學(xué)因式分解的結(jié)果   填“徹底”或“不徹底”，若不徹底，請(qǐng)直接寫(xiě)出因式分解的最后結(jié)果：   ．請(qǐng)你模仿以上方法嘗試對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行分解．29.閱讀下列材料：在因式分解中，把多項(xiàng)式中某些部分看作一個(gè)整體，用一個(gè)新的字母代替即換元，不僅可以簡(jiǎn)化要分解的多項(xiàng)式的結(jié)構(gòu)，而且能使式子的特點(diǎn)更加明顯，便于觀察如何進(jìn)行因式分解，我們把這種因式分解的方法稱(chēng)為“換元法”．下面是小涵同學(xué)用換元法對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解的過(guò)程．解：設(shè)原式第一步第二步第三步第四步請(qǐng)根據(jù)上述材料回答下列問(wèn)題：小涵同學(xué)的解法中，第二步到第三步運(yùn)用了因式分解的____；A.提取公因式法        平方差公式法        完全平方公式法老師說(shuō)，小涵同學(xué)因式分解的結(jié)果不徹底，請(qǐng)你寫(xiě)出該因式分解的最后結(jié)果：____；請(qǐng)你用換元法對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解．30.先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．31.化簡(jiǎn)：，并求當(dāng)時(shí)的值．32.化簡(jiǎn)再求值：，其中，．33.已知．
求的值；
化簡(jiǎn)并求值：．

相關(guān)試卷

相關(guān)試卷更多

相關(guān)試卷

相關(guān)試卷 更多

相關(guān)試卷更多