專(zhuān)題14 函數(shù)的值域（原卷版+解析版）-【初升高銜接】2023年新高一數(shù)學(xué)暑假銜接講義（通用版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

一、常見(jiàn)函數(shù)直接求解法
一次函數(shù)的值域?yàn)?
二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)的值域?yàn)?；時(shí)的值域?yàn)?
反比例函數(shù)的值域?yàn)?
二、分離常數(shù)法
函數(shù)是對(duì)稱(chēng)的分式函數(shù).
先利用分式的除法將分式分離成一個(gè)常數(shù)和一個(gè)分式函數(shù)，再求函數(shù)的值域.
三、均值不等式法
主要是指運(yùn)用均值不等式及其變形公式來(lái)解決函數(shù)最值問(wèn)題的一種方法．
四、換元法
通過(guò)簡(jiǎn)單的換元把一個(gè)函數(shù)變?yōu)楹?jiǎn)單函數(shù)，其題型特征是函數(shù)解析式含有根式或三角函數(shù)公式模型。換元法是數(shù)學(xué)方法中幾種最主要方法之一，在求函數(shù)的值域中同樣發(fā)揮作用。
五、抽象函數(shù)/復(fù)合函數(shù)求值域
六、高斯函數(shù)
七、分段函數(shù)求值域
【考向精析】
考向一：常見(jiàn)的函數(shù)值域
1．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則其值域?yàn)椋? ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)定義域，代入解析式，求出值域.
【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
故值域?yàn)?
故選：A
2．函數(shù)，的值域?yàn)開(kāi)_______.
【答案】
【分析】依次求出各自變量對(duì)應(yīng)函數(shù)值，即得值域.
【詳解】因?yàn)椋?br>，
，
所以f(x)的值域?yàn)椋?br>故答案為：.
3．已知，函數(shù)的值域?yàn)開(kāi)_____________
【答案】
【分析】由，可得的取值范圍，再利用二次函數(shù)的單調(diào)性與對(duì)稱(chēng)軸求出給定區(qū)間的函數(shù)值域.
【詳解】因?yàn)?，所以?br>又，
所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，，
所以函數(shù)的值域?yàn)?
故答案為：
4．若函數(shù)的定義域和值域均為，則的值為_(kāi)_________.
【答案】
【分析】由二次函數(shù)的解析式，可知二次函數(shù)關(guān)于成軸對(duì)稱(chēng)，即可得到，從而得到方程組，解得即可.
【詳解】解：因?yàn)?，?duì)稱(chēng)軸為，開(kāi)口向上，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，
又因?yàn)槎x域和值域均為，
所以，即，解得（舍去）或，
所以.
故答案為：
考向二：復(fù)雜的函數(shù)值域
5．設(shè)集合，則（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】先分別求出集合，再根據(jù)交集的定義即可得解.
【詳解】或，
，
所以.
故選：B.
6．已知函數(shù)，則（）．
A．的值域是B．的定義域?yàn)?br>C．D．
【答案】ACD
【分析】由分式性質(zhì)求定義域，分離常量法確定值域，進(jìn)而得到的對(duì)稱(chēng)中心，即可判斷C、D正誤.
【詳解】由，則定義域?yàn)?，值域?yàn)椋?br>所以是的對(duì)稱(chēng)中心，則，
綜上，A、C、D正確，B錯(cuò)誤.
故選：ACD
7．已知集合，，則______.
【答案】
【分析】先求函數(shù)的值域，即可化簡(jiǎn)集合，再求函數(shù)的定義域，即可化簡(jiǎn)集合，最后由集合的交集運(yùn)算即可得到答案.
【詳解】因?yàn)椋詾楹瘮?shù)的值域，
因?yàn)椋?br>所以.
因?yàn)椋詾楹瘮?shù)的定義域，
由得，即，
所以，
所以.
故答案為：
8．函數(shù)的值域?yàn)開(kāi)_____.
【答案】
【分析】根據(jù)函數(shù)解析式直接求值域.
【詳解】因?yàn)?，所以?br>所以函數(shù)的值域?yàn)椋?br>故答案為: .
9．函數(shù)的值域是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】將化為，利用基本不等式即可求得答案.
【詳解】由可得，
當(dāng)時(shí)，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
而恒成立，故，
故的值域?yàn)椋?br>故選：C
考向三：根據(jù)函數(shù)的值域求參數(shù)的值或范圍
10．已知函數(shù)的定義域，值域，則（）．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)函數(shù)的定義域和值域分析列式求解，進(jìn)而可得集合，再根據(jù)交集運(yùn)算求解.
【詳解】∵，由題意可得，解得，
可得，
故.
故選：B.
11．（多選）若函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)?，則的值可能為（）
A．2B．3C．4D．5
【答案】ABC
【分析】先得到函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合，，數(shù)形結(jié)合得到的取值范圍，求出答案.
【詳解】，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
且，，
因?yàn)橹涤驗(yàn)?，故?br>所以的值可能是2,3,4.
故選：ABC
12．若函數(shù)的值域?yàn)椋瑒t函數(shù)的值域?yàn)開(kāi)___________．
【答案】
【分析】依題意可得，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.
【詳解】解：依題意要使的值域?yàn)椋赜校谑牵?br>所以，則的值域?yàn)椋?br>故答案為：
考向四：求抽象函數(shù)的值域
13．若函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)?，則函數(shù)的圖像可能是（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】通過(guò)函數(shù)的定義域和值域，分析四個(gè)選項(xiàng)的定義域和值域，即可得出正確圖像.
【詳解】由題意，
在中，定義域?yàn)?，值域?yàn)椋?br>選項(xiàng)A，定義域?yàn)?，值域?yàn)?，滿足題意，A正確.
選項(xiàng)B，定義域，值域?yàn)椋粷M足定義域和值域，B錯(cuò)誤.
選項(xiàng)C，定義域?yàn)?，值域?yàn)?，不滿足定義域，故C錯(cuò)誤.
選項(xiàng)D，根據(jù)函數(shù)定義知，對(duì)于每一個(gè)都有唯一確定的對(duì)應(yīng)，所以故D中圖象不是函數(shù)的圖像，D錯(cuò)誤.
故選：A.
14．函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)?，那么函?shù)的定義域和值域分別是（）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)的定義域和值域求解即可.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)椋?br>所以，即，即函數(shù)的定義域.
因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)椋郑?br>所以函數(shù)的值域?yàn)?
故選：C
15．已知函數(shù)可表示為
則下列結(jié)論正確的是（）
A．B．的值域是
C．的值域是D．在區(qū)間上單調(diào)遞增
【答案】B
【解析】，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤；由表得的值域是，所以選項(xiàng)B正確C不正確；在區(qū)間上不是單調(diào)遞增，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤.
【詳解】A. ，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B. 由表得的值域是，所以該選項(xiàng)正確；
C. 由表得的值域是，不是，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D. 在區(qū)間上不是單調(diào)遞增，如：，但是，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選：B
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：判斷函數(shù)的性質(zhì)命題的真假，一般要認(rèn)真理解函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性等的定義，再根據(jù)定義分析判斷.
16．（多選）在一個(gè)展現(xiàn)人腦智力的綜藝節(jié)目中，一位參加節(jié)目的少年能將圓周率準(zhǔn)確地記憶到小數(shù)點(diǎn)后面200位，更神奇的是，當(dāng)主持人說(shuō)出小數(shù)點(diǎn)后面的位數(shù)時(shí)，這位少年都能準(zhǔn)確地說(shuō)出該數(shù)位上的數(shù)字.如果記圓周率（=3.14159265358979323846264338327950288…）小數(shù)點(diǎn)后第位上的數(shù)字為，則是關(guān)于的函數(shù)，記為.設(shè)此函數(shù)定義域?yàn)锳，值域?yàn)?則關(guān)于此函數(shù)，下列說(shuō)法正確的有（）
A．B．
C．D．值域
【答案】ACD
【分析】根據(jù)題意即可求得函數(shù)的定義域和值域，即可得出答案.
【詳解】根據(jù)題意可得函數(shù)的定義域，則，故A正確；
函數(shù)的值域，故B錯(cuò)誤，D正確；
，故C正確.
故選：ACD.
考向五：求復(fù)合函數(shù)的值域
17．函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t函數(shù)的值域?yàn)椋? ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】先根據(jù)的定義域求出的定義域，再換元利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出.
【詳解】的定義域?yàn)椋?br>中，，解得，
即的定義域?yàn)?，令，則
則，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
的值域?yàn)?
故選：B.
18．求解下列問(wèn)題
(1)已知是二次函數(shù),且滿足,求.
(2)求函數(shù)的值域
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)根據(jù)是二次函數(shù),設(shè)出解析式,將條件代入,用待定系數(shù)法求解即可;
(2) 對(duì)進(jìn)行換元,令,即求的值域,根據(jù)定義域判斷單調(diào)性,求出值域即可.
【詳解】（1）解:由題知是二次函數(shù),
不妨設(shè),
因?yàn)?
所以,
即,
故有,
解得:,
故;
（2）由題知,
設(shè),
則,
則,,
所以在上單調(diào)遞增,上單調(diào)遞減,
故,
綜上: 的值域?yàn)?
19．已知，則的單調(diào)增區(qū)間為_(kāi)_____，值域?yàn)開(kāi)_____.
【答案】
【分析】先求解函數(shù)的定義域，令，利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得解第一空，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)可得，即，可得解第二空.
【詳解】由題意，令
故函數(shù)的定義域?yàn)?br>令
由于在單調(diào)遞增，為開(kāi)口向下的二次函數(shù)，對(duì)稱(chēng)軸為，故在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減
由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減；
當(dāng)，，故，故，因此函數(shù)的值域?yàn)?br>故答案為：，
20．函數(shù)的最大值為_(kāi)_____.
【答案】
【分析】令，先利用二次函數(shù)性質(zhì)得到，再由反比例函數(shù)性質(zhì)得到，即得解
【詳解】由題意，令
故
由反比例函數(shù)性質(zhì)，
故函數(shù)的最大值為
故答案為：
考向六：根據(jù)函數(shù)的值域求定義域
21．若函數(shù)的值域是，則此函數(shù)的定義域?yàn)椋? ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】分類(lèi)討論解不等式即可.
【詳解】由函數(shù)的值域是，
所以當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，
即，解得，
所以函數(shù)的定義域?yàn)椋海?br>故選：D
22．若函數(shù)在區(qū)間上的值域是，則點(diǎn)位于圖中的（）
A．線段或線段上
B．線段或線段上
C．線段或線段上
D．線段或線段上
【答案】A
【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象，結(jié)合值域分析定義域區(qū)間端點(diǎn)滿足的特征，即可得解.
【詳解】作出函數(shù)的圖象，由題在區(qū)間上的值域是，
所以或，
即點(diǎn)位于圖中的線段或線段上.
故選：A
【點(diǎn)睛】此題考查根據(jù)函數(shù)值域判斷定義域特征，并用平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)表示滿足條件的有序數(shù)對(duì)，其關(guān)鍵在于熟練掌握二次函數(shù)的圖像和性質(zhì).
23．（多選）已知函數(shù)的值域是，則其定義域可能是（）
A．B．C．D．
【答案】AD
【分析】分別令，，解方程解得，設(shè)定義域?yàn)?，根?jù)圖象得到或，然后判斷即可.
【詳解】令，解得，令，解得或-2，
可作出函數(shù)圖象如圖：
設(shè)定義域?yàn)?，所以或，故AD正確，BC錯(cuò).
故選：AD.
24．定義，若函數(shù)，且在區(qū)間上的值域?yàn)?，則區(qū)間長(zhǎng)度可能為（）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】作出函數(shù)的圖象，求出的最大值和最小值，即可得解.
【詳解】，
當(dāng)時(shí)，若，即，解得或；
當(dāng)時(shí)，若，即，解得或，此時(shí).
所以，，作出函數(shù)的圖象如下圖所示：
因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?，則當(dāng)時(shí)，區(qū)間的長(zhǎng)度取最小值；
當(dāng)時(shí)，區(qū)間的長(zhǎng)度取最大值.
所以，區(qū)間的長(zhǎng)度的取值范圍是.
故選：BC.
【鞏固檢測(cè)】
1.已知函數(shù)，，，則函數(shù)的值域?yàn)? ．
【解析】解：函數(shù)，
故函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為，，
所以函數(shù)的最大值為（3），
的最小值為（1），
所以函數(shù)的值域?yàn)?，?br>故答案為：，．
2.函數(shù)的值域?yàn)? ．
【解析】因?yàn)椋?
3.函數(shù)的值域是
A．B．
C．，，D．
【解析】故，故值域?yàn)?，，，選C
4.函數(shù)的值域
A．B．
C．D．
【解析】
解：函數(shù)，
由于，故函數(shù)的值域?yàn)椋?br>故選：．
5.設(shè)函數(shù)在區(qū)間，上的最大值和最小值分別為，，則
A．4B．6C．10D．24
【解析】解：因?yàn)椋?br>所以在，上是減函數(shù)．
所以（4），（3）．
所以．
故選：．
6.（多選）下面關(guān)于函數(shù)的性質(zhì)，說(shuō)法正確的是
A．的定義域?yàn)椋?br>B．的值域?yàn)?br>C．在定義域上單調(diào)遞減
D．點(diǎn)是圖象的對(duì)稱(chēng)中心
【解析】
解：對(duì)于，函數(shù)的定義域?yàn)?，，，故正確；
對(duì)于，由函數(shù)，得，
互換，，得，，
的值域?yàn)椋?，，故錯(cuò)誤；
對(duì)于，函數(shù)，在定義域上不是單調(diào)遞減函數(shù)，故錯(cuò)誤；
對(duì)于，設(shè)函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)中心是，
則與是同一個(gè)函數(shù)，
解得，，
點(diǎn)是圖象的對(duì)稱(chēng)中心，故正確．
故選：．
7.已知函數(shù)，．求函數(shù)的值域．
【解析】，，值域?yàn)?br>，，值域?yàn)?br>綜上，值域?yàn)?br>8.函數(shù)的值域?yàn)? ．
【解析】
解：因?yàn)椋?br>所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
所以函數(shù)的值域?yàn)?，?br>故答案為：，．
9.函數(shù)的值域?yàn)?
A．，B．C．，D．
【解析】
解：時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，此時(shí)函數(shù)取得最小值2，
所以函數(shù)的值域?yàn)?，?br>故選：．
10.函數(shù)的值域?yàn)?
A．，B．，C．，D．，
【解析】解：設(shè)，則，則，
則函數(shù)等價(jià)為，
對(duì)稱(chēng)軸為，
則當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，
即，即函數(shù)的值域?yàn)?，?br>故選：．
11. 的值域是
A．B．C．D．
【解析】解：由得，
則為減函數(shù)，為增函數(shù)，為增函數(shù)，
，
即函數(shù)的值域?yàn)?，?br>故選：．
12.下列函數(shù)中，最小值為2的函數(shù)是
A．B．
C．D．
【解析】解：對(duì)于，當(dāng)時(shí)，，故錯(cuò)誤；
對(duì)于，的最小值為，故錯(cuò)誤；
對(duì)于，是關(guān)于的二次函數(shù)，在，上為增函數(shù)，
則其最小值為3，故錯(cuò)誤；
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故正確．
故選：．
13.函數(shù)的值域是，，則函數(shù)的值域?yàn)?
【解析】解：由函數(shù)的值域是，，
得，
則，
函數(shù)的值域?yàn)?，?br>故答案為：，．
14.函數(shù)的定義域是，值域是．
【解析】解：要使函數(shù)有意義，則，
解得，
函數(shù)的定義域?yàn)?，?br>，，
函數(shù)的值域?yàn)椋?br>故答案為：，；，．
15.函數(shù)的值域?yàn)? ．
【解析】解：函數(shù)，
令
，那么，則，
得原函數(shù)的值域?yàn)?，?br>故答案為：，．
16.高斯是德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱(chēng)號(hào)，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)，用表示不超過(guò)的最大整數(shù)，則稱(chēng)為高斯函數(shù)，例如：，．已知函數(shù)，則函數(shù)的值域?yàn)?
A．B．，2，C．，1，2，D．，1，
【解析】解：．
對(duì)稱(chēng)軸．
函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
，又，所以．
，所以
故選：．
17.定義：表示不超過(guò)的最大整數(shù)，如，則函數(shù)的值域?yàn)? ．
【解析】解：當(dāng)，時(shí)，，；
當(dāng)，時(shí)，，；
當(dāng)，時(shí)，．
取并集得：函數(shù)的值域?yàn)椋?br>18.設(shè)，用表示不超過(guò)的最大整數(shù)．則稱(chēng)為高斯函數(shù)．例如：，，已知函數(shù)，則的值域?yàn)? ．
【解析】解：當(dāng)為整數(shù)時(shí)，，
當(dāng)不是整數(shù)且時(shí)，，，
當(dāng)不是整數(shù)且時(shí)，，，
故函數(shù)的值域?yàn)椋?br>故答案為：，．
19.函數(shù)的值域?yàn)? ．
【解析】解：因?yàn)椋?br>所以．
故答案為：．
20.若函數(shù)，則的值域?yàn)?
A．B．C．D．
【解析】
解：當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增，此時(shí)值域?yàn)椋?br>當(dāng)時(shí)，在上遞增，在上遞減，此時(shí)值域?yàn)椋?br>故所求函數(shù)的值域?yàn)椋?br>故選：．
21.函數(shù)的定義域?yàn)?，，則函數(shù)的值域?yàn)?
A．B．C．D．
【解析】解：的定義域?yàn)椋?，中，，解得?br>即的定義域?yàn)?，，令，則，，
則，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
的值域?yàn)椋?br>故選：．1
2
3
4

相關(guān)試卷

相關(guān)試卷更多

相關(guān)試卷

相關(guān)試卷 更多

相關(guān)試卷更多