知識(shí)點(diǎn)1：絕對(duì)值
絕對(duì)值的代數(shù)意義：正數(shù)的絕對(duì)值是它的本身，負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)，零的絕對(duì)值仍是零．即：
絕對(duì)值的幾何意義：一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值，是數(shù)軸上表示它的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離．
兩個(gè)數(shù)的差的絕對(duì)值的幾何意義：表示在數(shù)軸上，數(shù)和數(shù)之間的距離．
知識(shí)點(diǎn)2：乘法公式
我們?cè)诔踔幸呀?jīng)學(xué)習(xí)過(guò)了下列一些乘法公式：
(1)平方差公式；
(2)完全平方公式．
我們還可以通過(guò)證明得到下列一些乘法公式：
(1)立方和公式；
(2)立方差公式；
(3)三數(shù)和平方公式；
(4)兩數(shù)和立方公式；
(5)兩數(shù)差立方公式．
知識(shí)點(diǎn)3：二次根式
一般地，形如的代數(shù)式叫做二次根式．根號(hào)下含有字母、且不能夠開(kāi)得盡方的式子稱為無(wú)理式.例如，等是無(wú)理式，而，，等是有理式．
(1)分母(子)有理化
把分母(子)中的根號(hào)化去，叫做分母(子)有理化．為了進(jìn)行分母(子)有理化，需要引入
有理化因式的概念．兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有二次根式，我們就說(shuō)這兩個(gè)代數(shù)式互為有理化因式，例如與，與，與，與，等等．一般地，與，與，與互為有理化因式．
分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根號(hào)的過(guò)程；而分子有理化則是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根號(hào)的過(guò)程
在二次根式的化簡(jiǎn)與運(yùn)算過(guò)程中，二次根式的乘法可參照多項(xiàng)式乘法進(jìn)行，運(yùn)算中要運(yùn)用公式；而對(duì)于二次根式的除法，通常先寫成分式的形式，然后通過(guò)分母有理化進(jìn)行運(yùn)算；二次根式的加減法與多項(xiàng)式的加減法類似，應(yīng)在化簡(jiǎn)的基礎(chǔ)上去括號(hào)與合并同類二次根式．
(2)二次根式的意義
知識(shí)點(diǎn)4：分式
(1)分式的意義
形如的式子，若B中含有字母，且，則稱為分式．當(dāng)M≠0時(shí)，分式具有下列性質(zhì)：
；
．
上述性質(zhì)被稱為分式的基本性質(zhì)．
(2)繁分式
像，這樣，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式．
【題型歸納目錄】
題型一：絕對(duì)值
題型二：乘法公式
題型三：二次根式
題型四：分式
【典例例題】
題型一：絕對(duì)值
例1．(2023·黑龍江哈爾濱·七年級(jí)哈爾濱市中實(shí)學(xué)校?？计谥?如果，那么_______
【答案】
【解析】∵
∴，，
解得:，，
∴，
故答案為: ．
例2．(2023·福建龍巖·八年級(jí)統(tǒng)考期中)若，則___________．
【答案】
【解析】∵
∴，
∴，
∴．
故答案為：．
例3．(2023·上海靜安·六年級(jí)上海市回民中學(xué)?？计谥?比較大?。篲__________．
【答案】
【解析】，，
，
，
故答案為：．
變式1．(2023·天津東麗·八年級(jí)校聯(lián)考期中)已知實(shí)數(shù)、滿足，則的值為_(kāi)_____ ．
【答案】
【解析】∵有理數(shù)x、y滿足，
∴，，解得，，
∴．
故答案為：．
變式2．(2023·四川南充·七年級(jí)四川省南充高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知：實(shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡(jiǎn)：_____．
【答案】/
【解析】由題意得，，
∴，，
∴
．
故答案為：．
變式3．(2023·黑龍江哈爾濱·六年級(jí)哈爾濱市第十七中學(xué)校校考期中)已知在數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)分別表示的數(shù)是a和b，，，，點(diǎn)Р在數(shù)軸上且與點(diǎn)A、點(diǎn)B的距離相等，則點(diǎn)Р表示的數(shù)是_________．
【答案】或
【解析】∵，，
∴，．
又∵，
∴，
∴．
∴，或，．
當(dāng)，時(shí)，
∵點(diǎn)Р在數(shù)軸上且與點(diǎn)A、點(diǎn)B的距離相等，
∴點(diǎn)P表示的數(shù)為；
當(dāng)，時(shí)，
∵點(diǎn)Р在數(shù)軸上且與點(diǎn)A、點(diǎn)B的距離相等，
∴點(diǎn)P表示的數(shù)為；
∴點(diǎn)P表示的數(shù)為或．
故答案為：或．
題型二：乘法公式
例4．(2023·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考三模)下列運(yùn)算正確的是( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】A、，故A不正確，不符合題意；
B、，故B不正確，不符合題意；
C、，故C正確，符合題意；
D、，故D不正確，不符合題意．
故選：C．
例5．(2023·北京海淀·八年級(jí)首都師范大學(xué)附屬中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試)多項(xiàng)式A與的乘積含有項(xiàng)，那么A可能是( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】A．∵，
∴多項(xiàng)式與的乘積不含項(xiàng)，故A不符合題意；
B．∵，
∴多項(xiàng)式與的乘積不含項(xiàng)，故B不符合題意；
C．∵，
∴多項(xiàng)式與的乘積含有項(xiàng)，故C符合題意；
D．∵，
∴多項(xiàng)式與的乘積不含有項(xiàng)，故D不符合題意．
故選：C．
例6．(2023·北京西城·八年級(jí)北京市第一六一中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試)下列因式分解結(jié)果正確的是( )
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】A、，故本選項(xiàng)因式分解結(jié)果正確；
B、，故本選項(xiàng)因式分解結(jié)果錯(cuò)誤；
C、，故本選項(xiàng)因式分解結(jié)果錯(cuò)誤；
D、不能分解因式，故本選項(xiàng)結(jié)果錯(cuò)誤；
故選：A.
變式4．(2023·江蘇泰州·統(tǒng)考二模)、為正整數(shù)，，則的值為( )
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【解析】∵
∴
∵，，又、為正整數(shù)，
∴，或，，
∴或，
∴，
故選：B．
變式5．(2023·四川內(nèi)江·威遠(yuǎn)中學(xué)校?？级?下列運(yùn)算正確的是( )
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】A. ，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
B. ，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
C. ，故此選項(xiàng)正確，符合題意；
D. ，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
故選：C．
變式6．(2023·安徽合肥·統(tǒng)考三模)下列運(yùn)算正確的是( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】A、，計(jì)算錯(cuò)誤，故此選項(xiàng)不符合題意；
B、，計(jì)算錯(cuò)誤，故此選項(xiàng)不符合題意；
C、，計(jì)算錯(cuò)誤，故此選項(xiàng)不符合題意；
D、，計(jì)算正確，故此選項(xiàng)符合題意；
故選：D．
變式7．(2023·山東東營(yíng)·統(tǒng)考二模)下列運(yùn)算結(jié)果正確的是( )
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】．不能合并了，故原選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；
B．，故原選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；
C．，故原選項(xiàng)計(jì)算正確，符合題意；
D．，故原選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；
故選：．
題型三：二次根式
例7．(2023·湖北武漢·八年級(jí)校聯(lián)考期中)計(jì)算：
(1)；
(2)．
【解析】(1)
(2)
例8．(2023·北京海淀·八年級(jí)首都師范大學(xué)附屬中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試)先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．
【解析】
，
把代入得：原式．
例9．(2023·北京海淀·八年級(jí)首都師范大學(xué)附屬中學(xué)校考開(kāi)學(xué)考試)計(jì)算：
【解析】
．
變式8．(2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí))先化簡(jiǎn)，再求值：，其中
【解析】原式
，
當(dāng)時(shí)，原式．
變式9．(2023·北京·八年級(jí)統(tǒng)考期中)計(jì)算：．
【解析】原式
．
變式10．(2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第四十七中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè))先化簡(jiǎn)，再求值，其中
【解析】原式
，
∵，
∴，
∴原式．
變式11．(2023·福建龍巖·八年級(jí)統(tǒng)考期中)一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為，，．
(1)求它的周長(zhǎng)(用含的式子表示)；
(2)請(qǐng)你給一個(gè)適當(dāng)?shù)闹?，使該三角形的周長(zhǎng)為整數(shù)，并利用海倫公式求出此三角形的面積．(海倫公式：，其中，，分別是三角形的三邊長(zhǎng)，記)
【解析】(1)∵一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為，，
∴它的周長(zhǎng)
；
(2)由題意得要是整數(shù)，
當(dāng)時(shí)， ，符合題意，
∴此時(shí)三邊長(zhǎng)分別為，，，
∴，
∴
．
題型四：分式
例10．(2023·廣東佛山·八年級(jí)佛山市惠景中學(xué)?？计谥?分式與的最簡(jiǎn)公分母是______．
【答案】
【解析】∵，
∴分式與的最簡(jiǎn)公分母是．
故答案是．
例11．(2023·內(nèi)蒙古包頭·二模)化簡(jiǎn)：________．
【答案】/
【解析】，
，
，
，
，
故答案為：．
例12．(2023·河北邯鄲·八年級(jí)統(tǒng)考期中)在函數(shù)中，自變量x的取值范圍是_________________．
【答案】且
【解析】由題意得，，
解得，且
故答案為：且．
變式12．(2023·江蘇蘇州·七年級(jí)蘇州市立達(dá)中學(xué)校校考期中)已知，則______．
【答案】47
【解析】，
，
，
，
，
，
，
即，
故答案為：47．
變式13．(2023·廣東佛山·校聯(lián)考二模)若式子在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是________．
【答案】
【解析】由題意，得
，
∴．
故答案為：．
變式14．(2023·河北滄州·統(tǒng)考二模)已知，求下列各式的值．
(1)_____________；
(2)___________．
【答案】 1 3
【解析】(1)，
∵，
∴；
(2)；
故答案為：1；3．
【過(guò)關(guān)測(cè)試】
一、單選題
1．(2023·遼寧葫蘆島·統(tǒng)考二模)數(shù)1，0，，中最小的是( )
A．B．0C．D．1
【答案】A
【解析】∵
∴
∴在1，0，，中最小的數(shù)是，
故選：A．
2．(2023·北京海淀·七年級(jí)101中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試)下列代數(shù)式中中，單項(xiàng)式( )
A．1個(gè)B．2C．3個(gè)D．4個(gè)
【答案】D
【解析】中，是單項(xiàng)式，共4個(gè)，
故選：D．
3．(2023·八年級(jí)單元測(cè)試)直線l：(m、n為常數(shù))的圖象如圖，化簡(jiǎn)：得( )

A．B．5C．-1D．
【答案】D
【解析】由直線(m，n為常數(shù))的圖象可知，，，
∴，，
．
故選：D．
4．(2023·湖北武漢·八年級(jí)校聯(lián)考期中)下列計(jì)算正確的有( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因?yàn)楹筒皇峭惗胃?，不能合并，所以A不正確；
因?yàn)?，所以B不正確；
因?yàn)?，所以C不正確；
因?yàn)?，所以D正確．
故選：D．
5．(2023·湖北武漢·八年級(jí)校聯(lián)考期中)下列二次根式中，最簡(jiǎn)二次根式是( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】A、的被開(kāi)方數(shù)12中含有能開(kāi)得盡方的因數(shù)4，則不是最簡(jiǎn)二次根式，故本選項(xiàng)不符合題意；
B、的被開(kāi)方數(shù)是分?jǐn)?shù)，不是整數(shù)，則不是最簡(jiǎn)二次根式，故本選項(xiàng)不符合題意；
C、是最簡(jiǎn)二次根式，故本選項(xiàng)符合題意；
D、的被開(kāi)方數(shù)是小數(shù)，不是整數(shù)，則不是最簡(jiǎn)二次根式，故本選項(xiàng)不符合題意；
故選：C．
6．(2023·陜西西安·校考三模)在下列計(jì)算中，正確的是( )
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】A、原式，不符合題意；
B、原式，符合題意；
C、原式，不符合題意；
D、原式，不符合題意．
故選：B．
7．(2023·黑龍江哈爾濱·七年級(jí)哈爾濱市中實(shí)學(xué)校校考期中)有理數(shù)m、n在數(shù)軸上的位置如圖，則下列關(guān)系式正確的個(gè)數(shù)有( )
①；②；③；④；⑤

A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【答案】D
【解析】根據(jù)數(shù)軸可得且，
∴，，即①正確，②錯(cuò)誤；
∵，
∴，
∴，即③正確；
∵且，
∴
∴，即④正確；
∵
∴，即⑤正確；
∴①③④⑤正確，正確的個(gè)數(shù)為4個(gè)，
故選：D．
8．(2023·內(nèi)蒙古包頭·二模)已知，是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則代數(shù)式的值等于( )
A．4B．5C．6D．7
【答案】B
【解析】，是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
，，
，
故選：B．
9．(2023·陜西榆林·?？寄M預(yù)測(cè))若實(shí)數(shù)、在數(shù)軸上的位置如圖所示，則下列結(jié)論中正確的是( )

A．B．C．D．
【答案】B
【解析】A、∵，∴，錯(cuò)誤，不符合題意；
B、∵，，正確，符合題意；
C、∵，∴，錯(cuò)誤，不符合題意；
D、∵，∴錯(cuò)誤，不符合題意；
故選B．
10．(2023·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))同學(xué)們都熟悉“幻方”游戲，現(xiàn)將“幻方”游戲稍作改進(jìn)變成“幻圓”游戲．將，2，，，，，，分別填入圖中的圓圈內(nèi)，使橫、豎以及內(nèi)外兩圈上的4個(gè)數(shù)字之和都相等，則的值為( )

A．1或B．或C．或D．1或
【答案】C
【解析】設(shè)小圈上的數(shù)為c，大圈上的數(shù)為d，
又，
∵橫、豎以及內(nèi)外兩圈上的4個(gè)數(shù)字之和都相等，
∴兩個(gè)圈的和是2，橫、豎的和也是2，

則，得，
，得，
，
∵當(dāng)時(shí)，，則，
當(dāng)時(shí)，，則，
故選：C．
二、填空題
11．(2023·遼寧葫蘆島·統(tǒng)考二模)分解因式： _________________．
【答案】
【解析】
故答案為：．
12．(2023·廣西南寧·?？级?若式子在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則的取值范圍________．
【答案】
【解析】∵在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，
，
，
故答案為：．
13．(2023·廣東佛山·八年級(jí)佛山市惠景中學(xué)校考期中)化簡(jiǎn)：______．
【答案】
【解析】，
故答案是．
14．(2023·云南曲靖·統(tǒng)考二模)分解因式：_____________．
【答案】
【解析】．
故答案為．
15．(2023·陜西榆林·七年級(jí)綏德中學(xué)校考階段練習(xí))課堂上老師布置了四道運(yùn)算題目，小剛做的結(jié)果為：①；②；③；④，他做對(duì)的有______．(填序號(hào))
【答案】①④/④①
【解析】，故①正確；
，故②錯(cuò)誤；
，故③錯(cuò)誤；
，故④正確，
故答案為：①④．
三、解答題
16．(2023·浙江溫州·?？级?(1)計(jì)算： ．
(2)解不等式組，并把解表示在數(shù)軸上．

【解析】(1)
；
(2)
解不等式①得，；
解不等式②得，；
所以，不等式組的解集為：，
在數(shù)軸上表示為：

17．(2023·浙江·校聯(lián)考三模)化簡(jiǎn)與計(jì)算：
(1)化簡(jiǎn)：；
(2)計(jì)算：．
【解析】(1)
；
(2)
．
18．(2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考二模)計(jì)算：．
【解析】
．
19．(2023·河北滄州·?？寄M預(yù)測(cè))如圖，數(shù)軸上點(diǎn)O為原點(diǎn)，點(diǎn)A，B，C表示的數(shù)分別是，，．

(1)______(用含m的代數(shù)式表示)；
(2)求當(dāng)與的差不小于時(shí)m的最小值．
【解析】(1)．
(2)∵與的差不小于，
∴，
∵，，
∴，
∴，m最小?。?br>20．(2023·河南南陽(yáng)·統(tǒng)考三模)化簡(jiǎn)求值：，其中x是不等式組的整數(shù)解．
【解析】
．
解，
①可化簡(jiǎn)為：，，
∴；
②可化簡(jiǎn)為，
∴，
∴不等式的解集為，
∴ 不等式的整數(shù)解是，
又∵，∴，
∴或，
當(dāng)時(shí)，原式，
當(dāng)時(shí)，原式．
21．(2023·湖南長(zhǎng)沙·九年級(jí)校聯(lián)考期中)先化簡(jiǎn)，再求值：，其中a滿足．
【解析】，
，
，
，
；
∵，
∴．
22．(2023·上海靜安·六年級(jí)上海市回民中學(xué)?？计谥?若方程的解是關(guān)于的方程的解，求 的值．
【解析】，
，解得，
，即，解得，
將代入得．
23．(2023·黑龍江哈爾濱·六年級(jí)哈爾濱市第十七中學(xué)校?？计谥?如圖，數(shù)軸上點(diǎn)A、B分別在原點(diǎn)左側(cè)和右側(cè)，點(diǎn)C在點(diǎn)B右側(cè)，點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的數(shù)是點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的數(shù)m倍，點(diǎn)A到點(diǎn)B的距離是點(diǎn)B到點(diǎn)C距離的n倍，且．
(1)求m和n的值；
(2)若點(diǎn)B在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)是2，若P從A點(diǎn)出發(fā)，沿?cái)?shù)軸以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)右運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從B出發(fā)，沿?cái)?shù)軸以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度與Р點(diǎn)同向運(yùn)動(dòng)，求點(diǎn)Р運(yùn)動(dòng)時(shí)間為多少秒時(shí)點(diǎn)Р和點(diǎn)Q到點(diǎn)C的距離相等；
(3)若P從A點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度在數(shù)軸上向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)R從點(diǎn)C出發(fā)，沿?cái)?shù)軸以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度與Р點(diǎn)同向運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為a秒，數(shù)軸上點(diǎn)D到點(diǎn)P、C的距離相等，點(diǎn)F到點(diǎn)D、R的距離相等，點(diǎn)E在點(diǎn)Р右側(cè)，點(diǎn)E到點(diǎn)C的距離是點(diǎn)Р到點(diǎn)E距離的4倍，在P、R兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，若點(diǎn)E和點(diǎn)F的距離為5個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)F和點(diǎn)C的距離是1個(gè)單位長(zhǎng)度，求a值．
【解析】(1)∵，
∴，
∴，
∴，；
(2)∵點(diǎn)B在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)是2，
∴點(diǎn)C在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)是6，
∴，
∴，
∴點(diǎn)A表示的數(shù)為；
設(shè)點(diǎn)Р運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，則運(yùn)動(dòng)t秒后點(diǎn)P表示的數(shù)為，點(diǎn)Q表示的數(shù)為，
∵點(diǎn)Р和點(diǎn)Q到點(diǎn)C的距離相等，
∴，
∴，
∴或，
解得或，
∴點(diǎn)Р運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒或秒時(shí)點(diǎn)Р和點(diǎn)Q到點(diǎn)C的距離相等；
(3)設(shè)點(diǎn)B表示的數(shù)為，則點(diǎn)C表示的數(shù)為，
∴點(diǎn)A表示的數(shù)為，
∴運(yùn)動(dòng)a秒后點(diǎn)P表示的數(shù)為，點(diǎn)R對(duì)應(yīng)的數(shù)為，
∴，
∵點(diǎn)D到點(diǎn)P、C的距離相等，
∴點(diǎn)D表示的數(shù)為，
∵點(diǎn)F到點(diǎn)D、R的距離相等，
∴點(diǎn)F表示的數(shù)為，
∵點(diǎn)E在點(diǎn)Р右側(cè)，點(diǎn)E到點(diǎn)C的距離是點(diǎn)Р到點(diǎn)E距離的4倍，
∴
設(shè)點(diǎn)E表示的數(shù)為e，
∴，
∴，
∴點(diǎn)E表示的數(shù)為，
∵點(diǎn)E和點(diǎn)F的距離為5個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)F和點(diǎn)C的距離是1個(gè)單位長(zhǎng)度，
∴，
∴，
解得(負(fù)值舍去)，
∴，
∴，即，
解得或．

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