在本專題中，我們主要鞏固初中所學(xué)的知識，在鞏固的基礎(chǔ)上進行初高中銜接.在初中,一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系(即韋達定理)雖然已經(jīng)學(xué)習(xí)過了，但是學(xué)生探究得不夠深刻，但在高中，韋達定理有著非常廣泛的應(yīng)用，是高中學(xué)生必須掌握的內(nèi)容,在本講中著重練習(xí)了這個知識點。
【知識回顧與銜接】
一元一次方程
只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的次數(shù)是一次的整式方程叫做一元一次方程，一般式為
二、一元二次方程
只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的次數(shù)是二次的整式方程叫做一元二次方程，一般式為
1、求根公式
一元二次方程的兩個根為：
2、判別式
①當時，方程有兩個不相等的實數(shù)根。
②當時，方程有兩個相等的實數(shù)根。
③當時，方程無實數(shù)根。
3、韋達定理（根與系數(shù)的關(guān)系）：
如果一元二次方程的兩個根為，那么：
①推導(dǎo)過程：一元二次方程的兩個根為：
所以：，

②一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系由十六世紀的法國數(shù)學(xué)家韋達發(fā)現(xiàn)，所以通常把此定理稱為”韋達定理”．
③一元二次方程的兩根之差的絕對值是一個重要的量，今后我們經(jīng)常會遇到求這一個量的問題，為了解題簡便，我們可以探討出其一般規(guī)律：
設(shè)和分別是一元二次方程，則
∴

于是有下面的結(jié)論：
若和分別是一元二次方程，則
(其中)
④用兩根和與兩根積來表示：
利用韋達定理,我們可以不直接求方程的根，而知其根的正、負性。當且時，方程的兩根必一正一負;當且時時，方的兩根同正或同負.
三、有理方程
整式方程與分式方程統(tǒng)稱為有理方程，有理方程和無理方程統(tǒng)稱為初等代數(shù)方程，簡稱代數(shù)方程。
一元整式方程:如果方程中只有一個未知數(shù)且兩邊都是關(guān)于未知數(shù)的整式,那么這個方程叫做一元整式方程。
分式方程:如果方程中只含有分式和整式，且分母中含有未知數(shù)，那么這個方程是分式方程。
比如：
解分式方程的一般步驟，可用流程圖表述為
四、無理方程
方程中含有根式，且被開方數(shù)是含有未知數(shù)的代數(shù)式，這樣的方程稱為無理方程。
比如等
解簡單的無理方程，可以通過去根號化為有理方程來解，解簡單無理方程的一般步驟用流程圖表述為
【例題精講】
1、設(shè)拋物線與軸的兩個交點的坐標為和，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】依題意、為方程的兩根，即可得到，，，再代入計算可得.
【詳解】依題意、為方程的兩根，
所以，，，
所以，，
所以
.
故選：A
2、設(shè)關(guān)于x的方程的兩根為.
(1)若，求實數(shù)m的值；
(2)若，求實數(shù)m的值.
【答案】(1)3或
(2)1或5
【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用韋達定理列式，再配方代入計算作答.
（2）借助韋達定理探討兩根的符號，再分條件去絕對值符號求解作答.
【詳解】（1）依題意，，則，
由，得，即，解得或，
所以實數(shù)m的值為3或.
（2）由（1）知，，顯然不可能同號，
當時，由，得，即，解得，
當時，由，得，即，解得，
所以實數(shù)m的值為1或5.
3、已知實數(shù)且滿足，則______．
【答案】
【分析】由題意可得是方程的兩個實數(shù)根，由利用韋達定理可得答案.
【詳解】因為實數(shù)且滿足，
所以是方程即的兩個實數(shù)根，
可得，，所以， ，
所以，
故答案為：.
4、已知，則（ ）
A．-22B．-1C．7D．11
【答案】B
【分析】解方程求，由此可求.
【詳解】因為，
所以，又，
所以，
所以或，
當時，，故，
當時，，故，
故選：B.
5、某區(qū)為殘疾人辦實事，在一道路改造工程中，為盲人修建一條長3000米的盲道，在實際施工中，由于增加了施工人員，每天可以比原計劃多修建250米，結(jié)果提前2天完成工程，設(shè)實際每天修建盲道米，根據(jù)題意可得方程（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】直接利用每天修建的盲道比原來多250米，提前2天完成，得出方程即可.
【詳解】設(shè)實際每天修建盲道米，根據(jù)題意可得：
，
故選：D
6、關(guān)于的一元二次方程的兩個正實數(shù)根分別為，且，則的值是__________.
【答案】
【分析】由題得到韋達定理，結(jié)合已知得，解方程，再檢驗即得解.
【詳解】由題得，（）
所以，且，
所以.
所以，
整理得，
當時，不滿足，所以舍去.
當時，. 滿足（）.
故答案為：5
7、的解集為_________
【答案】
【分析】令，解關(guān)于的一元二次方程，再根據(jù)的值求解關(guān)于的一元二次方程.
【詳解】令，則，解得：，，
由得：，方程無解；
由得：，解得：，，
解集為.
8、如果是一元二次方程的兩個根，則的值是______
【答案】
【分析】根據(jù)題意結(jié)合韋達定理可得，兩式相減即可得解.
【詳解】因為是一元二次方程的兩個根，
所以，
兩式相減得，
因為.
故答案為：.
9、（1）已知關(guān)于x的方程在上有解，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）已知關(guān)于x的不等式在上有解，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）已知關(guān)于x的不等式在上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）將方程變形為，要求a的取值范圍，就是求的取值范圍，然后運用二次函數(shù)的知識求出答案即可；
（2）不等式在上有解，等價于，由（1）知答案；
（3）不等式在上恒成立，等價于，由（1）知答案.
【詳解】（1）將方程變形為，要求a的取值范圍，就是求的取值范圍，
即y＝(x＋)2－，0≤x≤1，所以當x＝0時，y取得最小值為－1；當x＝1時，y取得最大值為1，
所以y的取值范圍是－1≤y≤1，即實數(shù)a的取值范圍是
（2）不等式在上有解，等價于
由（1）知
（3）不等式在上恒成立，等價于
由（1）知
【點睛】本題考查的是方程有解及不等式恒成立問題和存在性問題，考查了學(xué)生對基礎(chǔ)知識的掌握情況，較簡單.
10、已知關(guān)于的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根
(1)求實數(shù)的取值范圍；
(2)用含有的代數(shù)式表示
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)即可得解；
（2）利用韋達定理求解即可.
【詳解】（1）因為關(guān)于的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，
所以，解得或，
所以實數(shù)的取值范圍為；
（2）因為關(guān)于的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，
所以，
則.
11、在①，②，③這三個條件中選一個合適的條件，補充在下面問題中，并解答.問題：若滿足，且_________，求出下列各式的值.
(1)；
(2).
【答案】(1)答案見解析
(2)答案見解析
【分析】解方程可求得兩根，并確定兩根的范圍；將符合條件的根代入所求式子即可求得結(jié)果.
【詳解】（1）由得：或；
若選條件①，沒有滿足，故無法求出；
若選條件②，則，；
若選條件③，則，.
（2）若選條件①，沒有滿足，故無法求出；
若選條件②，則，，
；
若選條件③，則，，
.
12、若是方程的兩根，則_____________
【答案】
【分析】根據(jù)題意結(jié)合韋達定理可得，兩式相減即可得解.
【詳解】因為是方程的兩根，
所以，
兩式相加得，
所以.
故答案為：.
13、表示不超過的最大整數(shù)，例如，.則方程的實數(shù)解的個數(shù)為（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】A
【分析】根據(jù)已知條件列不等式，對進行分類討論，由此求得方程的解，進而求得正確答案.
【詳解】因為，方程變形為，
則，解得，
①當時，，
原方程化為，解得（不符合，舍去）.
②當時，，
原方程化為，無解.
③當時，，
原方程化為，無解.
④當時，，
原方程化為，解得（不符合，舍去）.
⑤當時，，
原方程化為，解得（不符合，舍去）.
綜上所述，方程的實數(shù)解為，共個.
故選：A
【鞏固練習(xí)】
1、．設(shè)方程的兩根為，則方程的根為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】將代入方程，可以得到與的關(guān)系，即可求得
的根.
【詳解】方程，即
，又因為方程的兩根為，
即，又因為方程可以化簡為
，代入即，
即，所以方程的根為.
故答案為：B
2、（1）已知是關(guān)于的方程的兩個實數(shù)根，且滿足，求實數(shù)的值.
（2）解方程：
【答案】（1）；（2）或.
【分析】（1）根據(jù)韋達定理即可求解；（2）配方，解方程即可求解.
【詳解】（1）由根與系數(shù)的關(guān)系可得：,
又，

,解得：或
當時，方程中，此時方程沒有實數(shù)根，應(yīng)舍去.
實數(shù)的值為.
（2）原方程可變形為：
或或,
經(jīng)檢驗，它們均為原方程的根.
3、設(shè)自然數(shù)，且，則________．
【答案】16
【分析】依題意可得，即可得到，從而得解.
【詳解】因為，即，
即，所以，
即，所以關(guān)于的方程有正整數(shù)解，
所以，
其中，解得，
所以，
又，因為、為自然數(shù)且，
所以，解得，經(jīng)檢驗符合題意，
所以.
故答案為：
4、方程的解是（ ）
A．1B．C．D．方程無解
【答案】A
【分析】去分母解方程，并檢驗即可得答案.
【詳解】解：因為，
所以，，
整理得：，解得，
因為且，
所以，，即方程的解是
故選：A
5、已知，，則__________．
【答案】/1.6
【分析】由題意可知、是方程的兩根，直接由韋達定理可得兩根之積，從而可得的值.
【詳解】由方程的結(jié)構(gòu)可知、是方程的兩根，
由韋達定理可得
故答案為：.
6、已知，則_________
【答案】23
【分析】將看成一個整體，然后利用完全平方公式化簡即可.
【詳解】，
，
故答案為：23
7、、是方程的兩個根，則____________
【答案】/
【分析】利用韋達定理可得出、的值，可求得、的值，再利用立方差公式計算可得結(jié)果.
【詳解】因為、是方程的兩個根，由韋達定理可得，，
所以，，則，
，
因此，.
故答案為：.
8、在中，如果，滿足，那么_____
【答案】.
【分析】根據(jù)已知條件及銳角三角函數(shù)的特殊值對應(yīng)特殊角，結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理即可求解.
【詳解】因為，
所以,解得，
在中，，所以 ，
在中，，所以 ，
所以.
故答案為：.
9、已知二元一次方程組，則_____，_____.
【答案】
【分析】將方程組中的兩個等式別相加、相減可得結(jié)果.
【詳解】將方程組中的兩個等式相減可得，
將方程組中的兩個等式相加可得，可得.
故答案為：；.
10、已知關(guān)于的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．
C．且D．且
【答案】C
【分析】根據(jù)一元二次方程根的個數(shù)的判斷方法可直接構(gòu)造不等式組求得結(jié)果.
【詳解】由題意得：，解得：且.
故選：C.
11、關(guān)于的一元二次方程有兩個不等實根．
(1)求實數(shù)的取值范圍；
(2)證明：對于任意，為定值．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）一元二次方程有兩個不等實根，滿足△即可；
（2）利用韋達定理求得，，代入，化簡即可．
【詳解】（1）方程有2個不相等的實根，
，
解得：，
，．
（2）由韋達定理得，，
，
對于任意，為定值．
12、（1）已知是方程的一根，求的值；
（2）解關(guān)于的方程．
【答案】（1） ；（2） ．
【分析】（1）由條件可得，即，可化為，
代入條件可得其值；
（2）變形可得，再分別在，條件下解方程.
【詳解】（1）由于，則，
所以，
所以．
（2）由知可得且，
原方程可變形為
當時，
所以
故方程無解
當時，方程可變形為，
則，即，
所以，
解得，由于，所以，
綜上方程的解為知識點
初中
高中
一元一次方程
一元一次方程、二元一次方程組、三元一次方程組及其解法
通過對含字母系數(shù)的、形式意義上的一元一次、二次方程進行分類和求解的討論，體會分類討論的思想和周密思考問題的過程
一元二次方程
一元二次方程及其解法；
一元二次方程的求根公式
研究一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系,即韋達定理，掌握韋達定理的證明以及它的基本運用
簡單的代數(shù)方程
整式方程、分式方程、無理方程、二元二次方程組；高次方程是初中九年級拓展內(nèi)容,屬于選修內(nèi)容
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