【知識梳理】
知識點1 拋物線的定義
平面內與一個定點F和一條定直線l(l不經過點F)距離相等的點的軌跡叫做拋物線．點F叫做拋物線的焦點，直線l叫做拋物線的準線．
注：①在拋物線定義中，若去掉條件“l(fā)不經過點F”，點的軌跡還是拋物線嗎？
不一定是，若點F在直線l上，點的軌跡是過點F且垂直于直線l的直線．
②定義的實質可歸納為“一動三定”
一個動點M；一個定點F(拋物線的焦點)；一條定直線(拋物線的準線)；一個定值(點M到點F的距離與它到定直線l的距離之比等于1)．
知識點2 拋物線的標準方程和幾何性質
焦點在x軸上時，方程的右端為±2px，左端為y2；焦點在y軸上時，方程的右端為±2py，左端為x2．
p的幾何意義：焦點F到準線l的距離．
知識點3 直線與拋物線的位置關系
設直線l：y＝kx＋m，拋物線：y2＝2px(p>0)，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立整理成關于x的方程k2x2＋2(km－p)x＋m2＝0.
(1)若k≠0，當Δ>0時，直線與拋物線相交，有兩個交點；
當Δ＝0時，直線與拋物線相切，有一個交點；
當Δ0)的焦點的直線交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，那么線段AB叫做焦點弦，
如圖：設AB是過拋物線y2＝2px(p>0)焦點F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|＝x1＋x2＋p.
注：(1)x1·x2＝eq \f(p2,4).
(2)y1·y2＝－p2.
(3)|AB|＝x1＋x2＋p＝eq \f(2p,sin2α) (α是直線AB的傾斜角)．
(4)eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(2,p)為定值(F是拋物線的焦點)．
（5）求弦長問題的方法
①一般弦長：|AB|＝eq \r(1＋k2)|x1－x2|，或|AB|＝eq \r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|.
②焦點弦長：設過焦點的弦的端點為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|＝x1＋x2＋p.
【考點剖析】
考點一 拋物線的標準方程
求拋物線的標準方程
1．（2023春·北京海淀·高二?？茧A段練習）拋物線的焦點在軸正半軸上，且準線與焦點軸間的距離為3，則此拋物線的標準方程為（ ）
A．B．C．D．
2．（2023春·遼寧本溪·高二?？茧A段練習）以坐標軸為對稱軸，焦點在直線上的拋物線的標準方程為（ ）
A．或B．或
C．或D．或
3．（2023秋·上海黃浦·高二上海市向明中學?？计谀┻^點，且焦點在y軸上的拋物線的標準方程是（ ）
A．B．C．D．
（二）拋物線的幾何性質的應用
4．（2023·全國·高二假期作業(yè)）拋物線的準線方程為（ ）
A．B．
C．D．
5．（2023春·山東臨沂·高二臨沂第四中學?？茧A段練習）若拋物線的焦點與雙曲線的右焦點重合，則（ ）
A．2B．4C．D．
6．（2023春·黑龍江哈爾濱·高二哈九中?？茧A段練習）已知圓與拋物線的準線相切，則（ ）
A．B．C．8D．2
7．（2023·全國·高二假期作業(yè)）已知拋物線，則拋物線的焦點坐標為（ ）
A．B．C．D．
8．（2023春·江蘇泰州·高二統(tǒng)考期中）若拋物線上一點到其焦點的距離等于4，則（ ）
A．B．C．D．
9．（2023秋·湖北咸寧·高二統(tǒng)考期末）已知O是坐標原點，F(xiàn)是拋物線C：的焦點，是C上一點，且，則的面積為（ ）
A．8B．6C．4D．2
考點二 拋物線定義的應用
（一）利用拋物線的定義求距離或點的坐標
10．（2023秋·新疆烏魯木齊·高二烏市八中?？计谀佄锞€上一點到其焦點的距離為，則點到坐標原點的距離為（ ）
A．B．C．D．2
11．（2023·高二單元測試）已知曲線C上任意一點P到定點的距離比點P到直線的距離小1，M，N是曲線C上不同的兩點，若，則線段MN的中點Q到y(tǒng)軸的距離為（ ）
A．3B．4C．5D．6
12．（2023·高二課時練習）若是拋物線上一點，為拋物線的焦點，則（ ）．
A．B．C．D．
13．（2023·高二課時練習）已知拋物線C：的焦點為F，是C上一點，，則（ ）
A．1B．2C．4D．5
14．（2023秋·新疆喀什·高二新疆維吾爾自治區(qū)喀什第二中學校考期中）已知A，F(xiàn)為拋物線的焦點，點M在拋物線上移動，當取最小值時，點的坐標為（ ）
A．B．C．D．
15．（2023春·湖北武漢·高二華中師大一附中階段練習）已知拋物線的焦點為F，點M在拋物線C的準線l上，線段與y軸交于點A，與拋物線C交于點B，若，則（ ）
A．1B．2C．3D．4
16．（2023春·福建·高二福建師大附中?？计谀┤鐖D，過拋物線的焦點F的直線l交拋物線于點A，B，交其準線于點C，準線與對稱軸交于點M，若，且，則p為（ ）
A．1B．2C．3D．4
（二）與拋物線定義有關的最大(小)值問題
17．（2023·高二單元測試）已知圓C經過點，且與直線相切，則其圓心到直線距離的最小值為（ ）
A．3B．2C．D．
18．（2023春·四川瀘州·高二四川省瀘縣第一中學?？计谀┮阎獟佄锞€：的焦點為，拋物線上有一動點，，則的最小值為（ ）
A．5B．6C．7D．8
19．（2023秋·江西贛州·高二校聯(lián)考期中）已知拋物線的焦點為F，P點在拋物線上，Q點在圓上，則的最小值為（ ）
A．4B．6C．8D．10
20．（2023春·黑龍江哈爾濱·高二哈爾濱三中?？计谥校┰O點P是拋物線:上的動點,點M是圓:上的動點,d是點P到直線的距離,則的最小值是（ ）
A．B．C．D．
21．（2023春·北京·高二人大附中校考期末）已知直線和直線，則拋物線上一動點到直線和直線的距離之和的最小值是（ ）
A．B．C．2D．
考點三 拋物線的軌跡問題
22．（2023·高二課時練習）已知點，直線，若動點到的距離等于，則點的軌跡是（ ）
A．橢圓B．雙曲線
C．拋物線D．直線
23．（2023春·四川成都·高二成都七中?？茧A段練習）已知圓，點，動圓經過點A且與圓O相切，記動圓圓心M的軌跡為E，有下列幾個命題：
①，則軌跡E表示圓，②，則軌跡E表示橢圓，③，則軌跡E表示拋物線，④，則軌跡E表示雙曲線，其中，真命題的個數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
24．（2023秋·福建福州·高二統(tǒng)考期中）在平面直角坐標系xOy中，動點到直線的距離比它到定點的距離小1，則P的軌跡方程為（ ）
A．B．
C．D．
25．（2023春·廣東江門·高二新會陳經綸中學?？茧A段練習）已知點，過直線上一動點P作與y軸垂直的直線，與線段的中垂線交于點Q，則Q點的軌跡方程為（ ）
A．B．C．D．
26．（2023秋·山東青島·高二青島二中?？茧A段練習）已知動圓M與直線y=2相切，且與定圓 外切，則動圓圓心M的軌跡方程為（ ）
A． B．C． D．
27．（2023·高二課時練習）若動點滿足，則點M的軌跡是（ ）
A．圓B．橢圓C．雙曲線D．拋物線
考點四 直線與拋物線的位置關系
直線與拋物線位置關系的判斷及應用
28．（2023春·上海浦東新·高二上海市建平中學?？茧A段練習）過定點且與拋物線有且僅有一個公共點的直線有（ ）
A．1條B．2條C．3條D．4條
29．（2023·高二課時練習）直線與拋物線的位置關系為（ ）
A．相交B．相切C．相離D．不能確定
30．（2023春·江蘇連云港·高二期末）已知直線l過點且與拋物線只有一個公共點，則直線l的方程是（ ）
A．B．
C．D．或
31．（2023春·江蘇南京·高二校聯(lián)考階段練習）過拋物線的焦點作直線交拋物線于兩點，且點在第一象限，則當時，直線的斜率為（ ）
A．B．C．D．
32．（2023春·江蘇連云港·高二校考期中）過拋物線上定點作圓的兩條切線，分別交拋物線于另外兩點、，則直線的方程為（ ）
A．B．
C．D．
33．（2023秋·安徽·高二校聯(lián)考期末）已知拋物線的焦點為，其準線與軸的交點為，點為拋物線上一動點，當取得最大值時，直線的傾斜角為（ ）
A．B．C．或D．或
弦長問題
34．（2023春·四川成都·高二樹德中學校考階段練習）已知拋物線的焦點為，過點且傾斜角為的直線與拋物線交于，兩點，則（ ）．
A．8B．C．16D．32
35．（2023春·湖北·高二校聯(lián)考階段練習）根據(jù)拋物線的光學性質，從拋物線的焦點發(fā)出的光，經拋物線反射后光線都平行于拋物線的軸，已知拋物線，若從點發(fā)射平行于軸的光射向拋物線的A點，經A點反射后交拋物線于點，則（ ）
A．B．C．D．
36．（2023春·山東濟南·高二山東省濟南市萊蕪第一中學?？茧A段練習）已知橢圓的右焦點是拋物線的焦點，則過作傾斜角為45°的直線分別交拋物線于，（在軸上方）兩點，則的值為（ ）
A．B．C．3D．4
37．（2023·山東青島·高二山東省萊西市第一中學學業(yè)考試）設F為拋物線的焦點，過F且傾斜角為30°的直線交拋物線C于A，B兩點，O為坐標原點，則的面積為（ ）
A．B．C．D．
38．（2023春·河南·高二校聯(lián)考期中）已知拋物線的焦點為為上一點，且在第一象限，直線與的準線交于點，過點且與軸平行的直線與交于點，若，則的面積為（ ）
A．8B．12C．D．
39．（2023秋·河南許昌·高二統(tǒng)考期末）已知直線l過點，且垂直于x軸．若l被拋物線截得的線段長為，則拋物線的焦點坐標為（ ）
A．B．C．D．
40．（2023秋·河南·高二校聯(lián)考開學考試）已知A，B為拋物線，上的兩點，且，則AB的中點橫坐標的最小值為（ ）．
A．B．C．D．1
41．（2023秋·廣東深圳·高二深圳市羅湖外語學校?？茧A段練習）已知圓與拋物線相交于M，N，且，則（ ）
A．B．2C．D．4
焦點弦問題
42．（2023春·湖南長沙·高二湘府中學?？茧A段練習）設F為拋物線的焦點，點M在C上，點N在準線l上，滿足，，則（ ）
A．B．C．2D．
43．（2023·全國·高二假期作業(yè)）已知拋物線的焦點為F，N為C上一點，且N在第一象限，直線與C的準線交于點M，過點M且與x軸平行的直線與C交于點P，若，則直線的斜率為（ ）
A．1B．2C．D．
44．（2023春·四川綿陽·高二四川省綿陽南山中學?？计谥校┮阎本€過拋物線的焦點F，且與拋物線交于A，B兩點，與拋物線的準線交于C點，若，則等于（ ）
A．2B．3C．D．
45．（2023春·浙江金華·高二浙江金華第一中學?？茧A段練習）設傾斜角為α的直線l經過拋物線C：的焦點F，與拋物線C交于A、B兩點，設A在x軸上方，點B在x軸下方．若，則的值為（ ）
A．B．C．D．
（四）中點弦問題
46．（2023春·湖北省直轄縣級單位·高二?？计谥校┤魭佄锞€的弦AB中點坐標為，則直線AB的斜率為（ ）
A．－4B．4C．－2D．2
47．（2023春·江西·高二校聯(lián)考期中）已知拋物線，過點的直線與拋物線交于兩點.若，則直線的斜率是（ ）
A．3B．C．D．
48．（2023·高二單元測試）在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線的焦點為F，若A、B為拋物線上兩點，且線段AB的垂直平分線交x軸于點M．當，時，拋物線的方程為（ ）．
A．B．C．D．
49．（2023春·四川成都·高二?？茧A段練習）已知拋物線，過其焦點且斜率為1的直線交拋物線于A，B兩點，若線段AB的中點的橫坐標為3，則該拋物線的準線方程為（ ）
A．B．C．D．
考點五 拋物線中的參數(shù)范圍及最值問題
50．（2023春·安徽宿州·高二校聯(lián)考期末）拋物線上一點到直線距離的最小值為（ ）
A．B．C．D．
51．（2023·高二單元測試）已知點P在拋物線上，點Q在圓上，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
52．（2023·高二單元測試）已知點（x，y）在拋物線y2=4x上，則的最小值是（ ）
A．2B．3C．4D．0
53．（2023·高二單元測試）已知過點的直線與拋物線相交于，兩點，點，若直線，的斜率分別為，，則的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
考點六 拋物線的定值、定點問題
54．（2023春·陜西渭南·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線的焦點為，點在拋物線上，且．
(1)求拋物線的方程；
(2)過點且斜率存在的直線交拋物線于不同的兩點，設為坐標原點，直線的斜率分別為，求證：為定值．
55．（2023·全國·高二假期作業(yè)）已知點在拋物線上，且到的焦點的距離與到軸的距離之差為.
(1)求的方程；
(2)當時，是上不同于點的兩個動點，且直線的斜率之積為為垂足.證明：存在定點，使得為定值.
56．（2023春·黑龍江·高二黑龍江實驗中學校考期中）已知拋物線：上一點到焦點的距離為，
(1)求拋物線的方程；
(2)若在第一象限，不過的直線與拋物線相交于，兩點，且直線，的斜率之積為，證明：直線過定點．
57．（2023·全國·高二假期作業(yè)）已知拋物線的焦點到準線的距離為1．
(1)求拋物線的標準方程；
(2)設點是該拋物線上一定點，過點作圓（其中）的兩條切線分別交拋物線于點，連接．探究：直線是否過一定點，若過，求出該定點坐標；若不經過定點，請說明理由．
考點七 拋物線的綜合問題
58．【多選】（2023春·江西上饒·高二校聯(lián)考階段練習）已知拋物線C:的焦點，過的直線交拋物線于A，B兩點，O為坐標原點，則以下說法正確的是（ ）
A．為定值B．AB中點的軌跡方程為
C．最小值為16D．O在以AB為直徑的圓外
59．【多選】（2023·全國·高二假期作業(yè)）已知拋物線：的焦點為F，準線為，過點F的直線與拋物線交于，兩點，點在上的射影為，則下列說法正確的是（ ）
A．若，則
B．以為直徑的圓與準線相切
C．設，則
D．過點與拋物線C有且僅有一個公共點的直線至多有2條
60．【多選】（2023春·浙江·高二慈溪中學校聯(lián)考階段練習）已知為坐標原點，過拋物線的焦點的直線交于兩點，則下列說法正確的是（ ）
A．的坐標是
B．若點，則周長的最小值是11
C．可能為銳角
D．的最小值是9
61．【多選】（2023春·山東菏澤·高二?？计谀┻^拋物線上一點A(1，-4)作兩條相互垂直的直線，與C的另外兩個交點分別為M，N，則（ ）
A．C的準線方程是
B．過C的焦點的最短弦長為8
C．直線MN過定點(0，4)
D．當點A到直線MN的距離最大時，直線MN的方程為
【過關檢測】
一、單選題
1．（2023春·北京·高二人大附中?？计谀┦菕佄锞€上一點，是拋物線的焦點，則（ ）
A．B．3C．D．4
2．（2023秋·陜西安康·高二校聯(lián)考期末）已知拋物線與圓交于A，B兩點，則（ ）
A．2B．C．4D．
3．（2023春·江蘇連云港·高二?？计谀┮阎獟佄锞€C的焦點是直線與坐標軸的一個交點，則拋物線C的標準方程是（ ）
A．B．C．D．
4．（2023春·安徽宿州·高二校聯(lián)考期末）已知函數(shù)拋物線的焦點為，準線為，點在拋物線上，直線交軸于點，若 ，則點到焦點的距離為（ ）
A．5B．3C．4D．6
5．（2023春·山東·高二沂水縣第一中學期末）圖1為一種衛(wèi)星接收天線，其曲面與軸截面的交線為拋物線的一部分，已知該衛(wèi)星接收天線的口徑，深度，信號處理中心位于焦點處，以頂點為坐標原點，建立如圖2所示的平面直角坐標系，若是該拋物線上一點，點，則的最小值為（ ）
A．4B．3C．2D．1
二、多選題
6．（2023春·浙江金華·高二浙江金華第一中學校考期末）直線l經過拋物線的焦點F，且與拋物線相交于A，B兩點，連接點A和坐標原點O的直線交拋物線準線于點D，則（ ）．
A．F坐標為B．最小值為4
C．一定平行于x軸D．可能為直角三角形
7．（2023春·福建福州·高二福建省福州屏東中學?？计谀┮阎獟佄锞€的焦點為，，是拋物線上兩點，則下列結論正確的是（ ）
A．點的坐標為
B．若直線過點，則
C．若，則的最小值為
D．若，則線段的中點到軸的距離為
三、填空題
8．（2023秋·上海閔行·高二?？计谀┻^拋物線的焦點且斜率為2的直線與拋物線交于兩點，則線段長為___．
9．（2023春·湖北隨州·高二隨州市曾都區(qū)第一中學期末）拋物線的焦點為，為拋物線上一動點，定點，則的最小值為___________.
10．（2023春·安徽蚌埠·高二統(tǒng)考期末）拋物線的準線方程是，則實數(shù)___________.
11．（2023春·陜西渭南·高二期末）已知拋物線的準線經過橢圓的焦點，則____________．
四、解答題
12．（2023春·江蘇蘇州·高二蘇州中學校考期末）已知拋物線的焦點為F，點在拋物線C上.
(1)求點F的坐標和拋物線C的準線方程；
(2)過點F的直線l交拋物線C于A、兩點，且線段AB的中點為，求直線l的方程及.
13．（2023春·山東·高二沂水縣第一中學期末）已知F是拋物線C：的焦點，點M在拋物線C上，且M到F的距離是M到y(tǒng)軸距離的3倍.
(1)求M的坐標；
(2)求直線MF被拋物線C所截線段的長度.
14．（2023春·陜西渭南·高二統(tǒng)考期末）設拋物線的焦點為，過點的直線交拋物線于兩點，且，線段的中點到軸的距離為3.
(1)求拋物線的方程；
(2)若直線與圓和拋物線均相切，求實數(shù)的值.
15．（2023春·福建·高二福建師大附中?？计谀┮阎獟佄锞€，點在拋物線上.
(1)求拋物線的方程；
(2)不過原點的直線與拋物線交于不同兩點，若以線段為直徑的圓過原點，求的值.
16．（2023春·四川瀘州·高二四川省瀘縣第一中學校考期末）已知拋物線上一點到焦點的距離為4.
(1)求拋物線的標準方程；
(2)過焦點的直線與拋物線交于不同的兩點,,為坐標原點，設直線，的斜率分別為，，求證：為定值.
標準方程
y2＝2px(p＞0)
y2＝－2px(p＞0)
x2＝2py(p＞0)
x2＝－2py(p＞0)
圖形
頂點
O(0,0)
對稱軸
x軸
y軸
焦點
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)，0))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2)))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(p,2)))
離心率
e＝1
準線方程
x＝－eq \f(p,2)
x＝eq \f(p,2)
y＝－eq \f(p,2)
y＝eq \f(p,2)
范圍
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
開口方向
向右
向左
向上
向下
焦半徑(其中P(x0，y0))
|PF|＝x0＋eq \f(p,2)
|PF|＝－x0＋eq \f(p,2)
|PF|＝y(tǒng)0＋eq \f(p,2)
|PF|＝－y0＋eq \f(p,2)

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