（寒假）2024-2025年高二數(shù)學寒假鞏固講義+隨堂檢測第06課空間角與距離的計算（2份，原卷版+教師版）-試卷下載-教習網(wǎng)

1. 直線的方向向量和平面的法向量
(1)直線的方向向量：如果表示非零向量a的有向線段所在直線與直線l平行或重合，則稱此向量a為直線l的方向向量．
(2)平面的法向量：直線l⊥α，取直線l的方向向量a，則向量a叫做平面α的法向量．
2. 空間位置關系的向量表示
直線l的方向向量為n，平面α的法向量為m,
l∥α,n⊥m?n·m＝0
l⊥α,n∥m?n＝λm
平面α，β的法向量分別為n，m,
α∥β,n∥m?n＝λm
α⊥β,n⊥m?n·m＝03. 異面直線所成的角
3.設a，b分別是兩異面直線l1，l2的方向向量，則
4. 求直線與平面所成的角
設直線l的方向向量為a，平面α的法向量為n，直線l與平面α所成的角為θ，則sinθ＝|cs〈a，n〉|＝eq \f(|a·n|,|a||n|).
5. 求二面角的大小
(1)如圖①，AB，CD是二面角α－l－β的兩個面內(nèi)與棱l垂直的直線，則二面角的大小θ＝〈eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))〉
① ② ③
(2)如圖②③，n1，n2 分別是二面角α－l－β的兩個半平面α，β的法向量，則二面角的大小θ滿足
|cs θ|＝|cs〈n1，n2〉|，二面角的平面角大小是向量n1與n2的夾角(或其補角)．
考向一運用向量研究異面直線所成的角
【例1】如圖，在正方體中，點在線段上運動，則（）
A．直線平面
B．三棱錐的體積為定值
C．異面直線與所成角的取值范圍是
D．直線與平面所成角的正弦值的最大值為
【變式1-1】如圖，在空間直角坐標系中有直三棱柱ABC-A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，則直線BC1與直線AB1所成角的余弦值為________．
方法總結：利用向量法求異面直線所成角的方法：
(1)選擇三條兩兩垂直的直線建立空間直角坐標系；
(2)確定異面直線上兩個點的坐標，從而確定異面直線的方向向量；
(3)利用向量的夾角公式求出向量夾角的余弦值；
(4)兩異面直線所成角的余弦值等于兩向量夾角余弦值的絕對值．
考向二運用向量研究直線與平面所成的角
【例2】如圖，在多面體中，四邊形是菱形，，，，平面，，，是的中點．
（1）求證：平面平面；
（2）求直線與平面所成的角的正弦值．
【變式2-1】如圖，在直棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AC⊥BD，BC＝1，AD＝AA1＝3.
(1) 求證：AC⊥B1D；
(2) 求直線B1C1與平面ACD1所成角的正弦值．
方法總結：利用向量法求線面角的方法：
(1)分別求出斜線和它在平面內(nèi)的射影直線的方向向量，轉化為求兩個方向向量的夾角(或其補角)；
(2)通過平面的法向量來求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角，取其余角就是斜線和平面所成的角．
考向三運用向量研究二面角
【例3】如圖，在四棱錐中，底面四邊形為菱形，點為棱的中點，為邊的中點.（1）求證：平面；
（2）若側面底面，且，，求平面與平面的夾角的余弦值.
【變式3-1】如圖，在棱長均為的三棱柱中，平面平面，，為與的交點．（1）求證：；
（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值．
方法總結：利用向量法計算二面角大小的常用方法：
(1)找法向量法：分別求出二面角的兩個半平面所在平面的法向量，然后通過兩個平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結合實際圖形判斷所求角的大?。?br>(2)找與棱垂直的方向向量法：分別在二面角的兩個半平面內(nèi)找到與棱垂直且以垂足為起點的兩個向量，則這兩個向量的夾角的大小就是二面角的大小．
考向四利用空間向量解決探索性問題
【例4】如圖，P為圓錐的頂點，O為圓錐底面的圓心，圓錐的底面直徑AB＝4，母線PH＝2 eq \r(2)，M是PB的中點，四邊形OBCH為正方形．
(1) 設平面POH∩平面PBC＝l，求證：l∥BC；
(2) 設D為OH的中點，N是線段CD上的一個點，當MN與平面PAB所成的角最大時，求MN的長．
【變式4-1】四棱錐中，底面是邊長為的正方形，，點P在底面的射影為點O，且，點M是的中點．
(1)求證：；
(2)在線段上，是否存在點N，使二面角的余弦值為？若存在，請確定點N的位置，若不存在，請說明理由．
【變式4-2】如圖，在四棱錐中，已知四邊形是邊長為的正方形，點在底面上的射影為底面的中心，點在棱上，且的面積為1.
（1）若點是的中點，證明：平面平面；
（2）在棱上是否存在一點，使得直線與平面所成的角的正弦值為？若存在，求出點的位置；若不存在，說明理由.
空間角與距離的計算隨堂檢測
1.已知A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，則下列向量是平面ABC法向量的是( )
A．(－1，1，1) B．(1，－1，1)
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),3)，－\f(\r(3),3)，－\f(\r(3),3))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)，－\f(\r(3),3)))
2.若直線l的方向向量為a＝(1，0，2)，平面α的法向量為n＝(－2，1，1)，則( )
A．l∥α B．l⊥α C．l?α或l∥α D．l與α斜交
3.已知兩平面的法向量分別為m＝(0，1，0)，n＝(0，1，1)，則兩平面所成的二面角為( )
A．45° B．135° C．45°或135° D．90°
4.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分別是A1B1，A1C1的中點，BC＝CA＝CC1，則BM與AN所成角的余弦值為( )
A.eq \f(1,10) B.eq \f(2,5) C.eq \f(\r(30),10) D.eq \f(\r(2),2)
5.在四棱錐P?ABCD中，PD⊥底面ABCD,CD∥AB,AD=DC=CB=1,AB=2,DP=3．
(1)證明：BD⊥PA；
(2)求PD與平面PAB所成的角的正弦值．
6.如圖，四面體ABCD中，AD⊥CD,AD=CD,∠ADB=∠BDC，E為AC的中點．
(1)證明：平面BED⊥平面ACD；
(2)設AB=BD=2,∠ACB=60°，點F在BD上，當△AFC的面積最小時，求CF與平面ABD所成的角的正弦值．
位置關系
向量表示
直線l1，l2的方向向量分別為n1，n2
l1∥l2
n1∥n2?n1＝λn2
l1⊥l2
n1⊥n2?n1·n2＝0
a與b的夾角β
l1與l2所成的角θ
范圍
(0，π)
eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))
a與b的夾角β
l1與l2所成的角θ
求法
csβ＝eq \f(a·b,|a||b|)
csθ＝|cs β|＝eq \f(|a·b|,|a||b|)