1．了解向量的概念。
2．掌握向量的運算。
3.掌握向量基本定理及坐標表示。
4.能利用向量解決相關應用問題。
【基礎知識】
一．位移與向量
1.位移被“方向”和“距離”唯一確定，其中“距離”也被稱為位移的大小.一般的，像位移這樣既有大小又有方向的量稱為向量（也稱為矢量），向量的大小也稱為向量的模；只有大小的量稱為標量，長度、面積等都是標量。
2.我們用有向線段來直觀的表示向量，通常有向線段不帶箭頭的端點被稱為向量的始點（或起點），帶箭頭的端點被稱為向量的終點.始點為A終點為B的有向線段所表示的向量，可以用符號簡記為，此時，向量的模用表示.
3.始點和終點相同的向量稱為零向量，表示為：，
4.模長等于1的向量稱為單位向量，表示為：，
二．向量的相等與平行
1.一般的，把大小相等、方向相同的向量稱為相等的向量，向量等于向量，記作，
2.如果兩個非零向量的方向相同或相反，則稱這兩個向量平行，向量與向量平行，記作，，兩個向量平行也稱為兩個向量共線。
注意：
零向量的方向是任意方向，所以規(guī)定零向量與任何向量都平行。
三．向量加法的三角形法則
1.向量加法的定義
一般地，平面上任意給定兩個向量,在該平面內任取一點A,作，，作出向量,則向量稱為向量與的和（也稱為向量與的和向量）。
向量與的和向量記作,因此,
2.三角形法則
一般的，當與不共線時，求它們的和可用下圖所示．因為此時,正好能構成一個三角形，因此上述求兩向量和的作圖方法也常稱為向量加法的三角形法則。
3.對任意向量，有
4. 向量的模與向量的模之間滿足不等式
四．向量加法的平行四邊形法則
1.一般地，當兩個向量不共線時，可以通過作平行四邊形的方法來得到它們的和：如圖所示，平面上任意給定兩個不共線向量,在該平面內任取一點A,作，，以，為鄰邊作一個平行四邊形,作出向量,因為,因此.
上述求兩向量和的作圖方法也常稱為向量加法的平行四邊形法則.
2.交換律：對任意向量，都有
五．多個向量相加
1. 結合律：對任意向量，都有
2.因為向量的運算滿足交換律和結合律，所有有限個向量相加的結果是唯一的，可以調換其中向量的位置，也可以決定相加的順序。為了得到有限個向量的和，只需將這些向量收尾相接，那么第一個向量的始點為始點，最后一個向量的終點為終點的向量，就是這些向量的和。
六．向量的減法的三角形法則
1.向量加法的定義
一般地，平面上任意給定兩個向量,在該平面內任取一點O,作，，作出向量,則向量稱為向量與的差（也稱為向量與的差向量）。
向量與的差向量記作,因此,
2.三角形法則
一般的，當與不共線時，求它們的差可用下圖所示．因為此時,正好能構成一個三角形，因此上述求兩向量差的作圖方法也常稱為向量差法的三角形法則。
3.相反向量
給定一個向量，把與這個向量方向相反大小相等的向量稱為相反向量。向量的相反向量記作
4.對任意向量，有
5.向量的減法可看做向量加法的逆運算，即
6.對任意向量，滿足不等式
七．數(shù)乘向量
1. 數(shù)乘向量的定義
一般地，給定一個實數(shù)與任意一個向量,規(guī)定它們的乘積是一個向量，記作,其中：
（1)當且時，的模為,而且的方向如下：
①當時，與的方向相同；
②當時，與的方向相反．
（2)當或時，.
上述實數(shù)與向量相乘的運算簡稱為數(shù)乘向量。
由定義不難看出，數(shù)乘向量的結果是一個向量，而且這個向量與原來的向量共線（平行），即；數(shù)乘向量的幾何意義是，把向量沿著它的方向或反方向放大或縮小。特別地，一個向量的相反向量可以看成－1與這個向量的乘積，即.
當和都是實數(shù)，且是向量時：是向量，也是向量；是實數(shù)，但是向量?？梢钥闯?
2.向量平行
如果存在實數(shù)，使得，則。
3.三點共線
一般地，如果存在實數(shù)，使得，則與平行且有公共點A，所以，三點共線。
八．向量的加法與數(shù)乘向量的混合運算
1.一般地，對于實數(shù)和，以及向量，有.
2.一般地，對于實數(shù)，以及向量與向量，有.
九.向量的線性運算
向量的加法、減法、數(shù)乘向量以及他們的混合運算，統(tǒng)稱為向量的線性運算。
九．共線向量基本定理數(shù)乘向量
一般地，有如下共線向量基本定理：
如果且,則存在唯一的實數(shù)入，使得.
在共線向量基本定理中：
（1) 時，通常稱為能用表示。
（2)其中的“唯一”指的是，如果還有,則有.
這是因為：由可知,如果,則,與已知矛盾，所以
,即.
十．平面向量基本定理
一般地，有如下平面向量基本定理：
如果平面內兩個向量與不共線，則對該平面內任意一個向量,存在唯一的實數(shù)對,使得
.
平面向量基本定理中，當與不共線時，“唯一的實數(shù)對”指的是用表示時，表達式唯一，即如果
,那么.
基底：平面向量基本定理是說，在給定的平面內，當向量與不共線時，任意一個向量,都可以寫成與的線性運算（簡稱為用與表示向量),而且表達式唯一，因此，平面內不共線的兩個向量與組成的集合,常稱為該平面上向量的一組基底，此時如果,則稱為在基底下的分解式。
十一．平面向量的坐標
如果平面向量的基底中，，就稱這組基底為正交基底；在正交基底下向量的分解稱為向量的正交分解。
一般地，給定平面內兩個互相垂直的單位向量，對于平面內的向量，如果，則稱
為向量的坐標，記作
十二．平面上向量的運算與坐標的關系
假設平面上兩個向量，滿足，則
（1）；
（2）；
（3），；
（4），；
十三．平面直角坐標系內兩點間距離公式與中點坐標公式
設為平面直角坐標系中的兩點，其中點為M,則
（1）
（2）
十四．平面向量平行的坐標表示
；
【考點剖析】
考點一：向量的概念與表示
例1．下列物理量：①質量；②路程；③位移；④重力；⑤加速度.其中，不能稱為向量的個數(shù)是（ ）
A．0B．1C．2D．3

變1．以下選項中，都是向量的是（ ）
A．正弦線、海拔B．質量、摩擦力
C．△ABC的三邊、體積D．余弦線、速度

考點二：向量的模、零向量與單位向量
例2．下列說法：
①零向量是沒有方向的向量；
②零向量的方向是任意的；
③零向量與任意一個向量共線.
其中，正確說法的個數(shù)是（ ）
A．0B．1C．2D．3

變2．下列說法正確的是（ ）
A．向量與向量的長度相等
B．兩個有共同起點，且長度相等的向量，它們的終點相同
C．零向量沒有方向
D．向量的模是一個正實數(shù)

考點三：向量相等與向量平行（共線）
例3．下列說法正確的是（ ）
A．向量與共線，與共線，則與也共線
B．任意兩個相等的非零向量的始點與終點是一個平行四邊形的四個頂點
C．向量與不共線，則與都是非零向量
D．有相同起點的兩個非零向量不平行

變3．已知向量，且，則向量的方向（ ）
A．與向量的方向相同B．與向量的方向相反
C．與向量的方向相同D．不確定

考點四：向量加法的三角形法則
例4．如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，則（ ）
A．B．C．D．

變4．在平行四邊形中， ，，則等于（ ）
A．B．
C．D．

考點五：向量加法的平行四邊形法則
例5．已知點O是的兩條對角線的交點，則下面結論中正確的是（ ）．
A．B．
C．D．

變5．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝，AC＝2AB，∠BAC的平分線交△ABC的外接圓于點D.設，，則向量＝（ ）
A．B．
C．D．

考點六：向量加法的運算律
例6．化簡：（ ）
A．B．C．D．

變6．向量化簡后等于（ ）
A．B．C．D．

考點七：向量減法的法則
例7．如下圖，是線段的中點，設向量，，那么能夠表示為（ ）
A．B．
C．D．

變7．在中，，分別是，的中點，若，，則等于（ ）
A．B．C．D．

考點八：相反向量
例8．若非零向量和互為相反向量，則下列說法中錯誤的是（ ）．
A．B．C．D．

變8．向量，互為相反向量，已知，則下列結論正確的是（ ）
A．B．為實數(shù)0C．與方向相同D．

考點九：向量減法的運算律
例9．化簡（ ）
A．B．C．D．

變9．化簡：（ ）
A．B．C．D．

考點十：向量數(shù)乘有關的計算
例10．設是非零向量，，是非零實數(shù)，則下列結論中正確的是
A．與的方向相同B．與的方向相反
C．與的方向相同D．

變10．設是非零向量,是非零實數(shù),下列結論中正確的是（ ）
A．與的方向相反B．與的方向相同
C．D．

考點十一：向量數(shù)乘幾何應用
例11．若，則下列各式中不正確的是（ ）．
A．B．C．D．

變11．已知，設，則（ ）．
A．B．C．D．

考點十二：平面向量的線性運算
例12．等于（ ）
A． B．C．D．0

變12．在中，D是AB邊上的一點，且，則（ ）
A．B．C．D．

考點十三：基底的概念及辨析
例13．若是平面內的一組基底，則下列四組向量能作為平面的一組基底的是（ ）
A．B．
C．D．

變13．設，是平面內不共線的兩個向量，則以下各組向量中不能作為基底的是（ ）
A．與B．與
C．與D．與

考點十四：利用平面向量基本定理求參數(shù)
例14．如圖所示，矩形的對角線相交于點，為的中點，若，則等于（ ）．
A．B．C．1D．

變14．如圖，在中，，，若，則值為（ ）
A．B．C．D．

考點十五：用坐標表示平面向量
例15．如圖，向量，，的坐標分別是________，___________，_____________．

變15．在平面直角坐標系中，若，，則________．

考點十六：平面向量線性運算的坐標表示
例16．已知＝(2，1)，＝(－3，4)，求的坐標．


變16．已知向量，，則（ ）
A．B．5C．7D．25

考點十七：直角坐標系內兩點間距離公式和中點坐標公式
例17．求線段的中點坐標：
（1）；（2）；（3）．

變17．已知，，且C與A關于點B對稱，求C的坐標.

考點十八：由向量平行（共線）求參數(shù)
例18．已知向量，，且，則（ ）
A．B．C．4D．8

變18．若向量，，，則（ ）
A．B．C．D．

考點十九：由坐標解決三點共線問題
例19．若點，，三點共線，則（ ）
A．2B．4C．3D．5


變19．若，，三點共線，則實數(shù)的值是（ ）
A．6B．C．D．2

考點二十：向量在平面幾何中的應用
例20．如圖所示，分別在平行四邊形的對角線的延長線和反向延長線上取點和點，使.試用向量方法證明：四邊形是平行四邊形.

變20．設P，Q分別是梯形ABCD的對角線AC與BD的中點
（1）試用向量證明：PQAB；
（2）若AB=3CD，求PQ：AB的值.

考點二十一：向量在平面幾何中的應用-力的合成
例21．如圖所示，把一個物體放在傾斜角為的斜面上，物體處于平衡狀態(tài)，且受到三個力的作用，即重力，沿著斜面向上的摩擦力，垂直于斜面向上的彈力．已知，求和的大?。?br>
變21．如圖，一個三角形角鐵支架ABC安裝在墻壁上，AB∶AC∶BC=3∶4∶5，在B處掛一個6kg的物體，求角鐵AB與BC所受力的大?。ㄈ。?br>
【真題演練】
1.（2020·山東·高考真題）已知平行四邊形，點，分別是，的中點（如圖所示），設，，則等于（ ）
A．B．C．D．

2．（2021·山東·高考真題）如下圖，是線段的中點，設向量，，那么能夠表示為（ ）
A．B．
C．D．

3.（2021·全國·高考真題）已知向量，，，_______．

4．（2021·全國·高考真題（文））若向量滿足，則_________.

5．（2021·全國·高考真題（理））已知向量，若，則__________．

6. （2021·天津·高考真題）在邊長為1的等邊三角形ABC中，D為線段BC上的動點，且交AB于點E．且交AC于點F,則的值為____________；的最小值為____________．

【過關檢測】
1．（2021·湖南·長郡中學高二階段練習）若向量與的夾角為銳角，則t的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．

2．（2021·福建省漳州第一中學高三階段練習）如圖所示，已知點G是△ABC的重心，過點G作直線分別交AB，AC兩邊于與M，N（三角形頂點不重合）兩點，且，，則2x+y的最小值為（ ）
A．B．C．D．

3．（2022·北京朝陽·高三期末）已知平面向量，滿足，與的夾角為120°，記，的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．

4．（2022·廣東清遠·高三期末）已知P是邊長為4的正三角形所在平面內一點，且，則的最小值為（ ）
A．16B．12C．5D．4

5．（2022·寧夏·吳忠中學高一期末）在中，，．若邊上一點滿足，則（ ）
A．B．C．D．

6．（2021·貴州金沙·高二階段練習）如圖，在平行四邊形中，，，，，，是平行四邊形所在平面內一點，且．若，則的最小值為（ ）
A．B．C．0D．2

二、多選題
7．（2021·湖北·公安縣教學研究中心高三階段練習）已知平面向量，且，則（ ）
A．B．向量與的夾角為
C．D．

三、填空題
8．（2022·寧夏·吳忠中學高一期末）下列命題中，正確命題的序號為______．
①單位向量都相等；②若向量，滿足，則；
③向量就是有向線段；④模為的向量叫零向量；
⑤向量，共線與向量意義是相同的．

9．（2021·湖北·公安縣教學研究中心高三階段練習）如圖，在矩形中，為邊的中點，若為折線段上的動點，則的最小值為___________.

10.（2022·北京海淀·高三期末）若，且，則______________，的最大值為______________.

四、解答題
11．（2022·北京昌平·高一期末）設向量，，.
（1）求；
（2）若，，求的值；
（3）若，，，求證：A，，三點共線.

12．（2021·廣東·深圳市龍崗區(qū)德琳學校高一階段練習）已知，，的夾角是60°，計算
（1）計算，；
（2）求和的夾角的余弦值.

第05講 平面向量
【學習目標】
1．了解向量的概念。
2．掌握向量的運算。
3.掌握向量基本定理及坐標表示。
4.能利用向量解決相關應用問題。
【基礎知識】
一．位移與向量
1.位移被“方向”和“距離”唯一確定，其中“距離”也被稱為位移的大小.一般的，像位移這樣既有大小又有方向的量稱為向量（也稱為矢量），向量的大小也稱為向量的模；只有大小的量稱為標量，長度、面積等都是標量。
2.我們用有向線段來直觀的表示向量，通常有向線段不帶箭頭的端點被稱為向量的始點（或起點），帶箭頭的端點被稱為向量的終點.始點為A終點為B的有向線段所表示的向量，可以用符號簡記為，此時，向量的模用表示.
3.始點和終點相同的向量稱為零向量，表示為：，
4.模長等于1的向量稱為單位向量，表示為：，
二．向量的相等與平行
1.一般的，把大小相等、方向相同的向量稱為相等的向量，向量等于向量，記作，
2.如果兩個非零向量的方向相同或相反，則稱這兩個向量平行，向量與向量平行，記作，，兩個向量平行也稱為兩個向量共線。
注意：
零向量的方向是任意方向，所以規(guī)定零向量與任何向量都平行。
三．向量加法的三角形法則
1.向量加法的定義
一般地，平面上任意給定兩個向量,在該平面內任取一點A,作，，作出向量,則向量稱為向量與的和（也稱為向量與的和向量）。
向量與的和向量記作,因此,
2.三角形法則
一般的，當與不共線時，求它們的和可用下圖所示．因為此時,正好能構成一個三角形，因此上述求兩向量和的作圖方法也常稱為向量加法的三角形法則。
3.對任意向量，有
4. 向量的模與向量的模之間滿足不等式
四．向量加法的平行四邊形法則
1.一般地，當兩個向量不共線時，可以通過作平行四邊形的方法來得到它們的和：如圖所示，平面上任意給定兩個不共線向量,在該平面內任取一點A,作，，以，為鄰邊作一個平行四邊形,作出向量,因為,因此.
上述求兩向量和的作圖方法也常稱為向量加法的平行四邊形法則.
2.交換律：對任意向量，都有
五．多個向量相加
1. 結合律：對任意向量，都有
2.因為向量的運算滿足交換律和結合律，所有有限個向量相加的結果是唯一的，可以調換其中向量的位置，也可以決定相加的順序。為了得到有限個向量的和，只需將這些向量收尾相接，那么第一個向量的始點為始點，最后一個向量的終點為終點的向量，就是這些向量的和。
六．向量的減法的三角形法則
1.向量加法的定義
一般地，平面上任意給定兩個向量,在該平面內任取一點O,作，，作出向量,則向量稱為向量與的差（也稱為向量與的差向量）。
向量與的差向量記作,因此,
2.三角形法則
一般的，當與不共線時，求它們的差可用下圖所示．因為此時,正好能構成一個三角形，因此上述求兩向量差的作圖方法也常稱為向量差法的三角形法則。
3.相反向量
給定一個向量，把與這個向量方向相反大小相等的向量稱為相反向量。向量的相反向量記作
4.對任意向量，有
5.向量的減法可看做向量加法的逆運算，即
6.對任意向量，滿足不等式
七．數(shù)乘向量
1. 數(shù)乘向量的定義
一般地，給定一個實數(shù)與任意一個向量,規(guī)定它們的乘積是一個向量，記作,其中：
（1)當且時，的模為,而且的方向如下：
①當時，與的方向相同；
②當時，與的方向相反．
（2)當或時，.
上述實數(shù)與向量相乘的運算簡稱為數(shù)乘向量。
由定義不難看出，數(shù)乘向量的結果是一個向量，而且這個向量與原來的向量共線（平行），即；數(shù)乘向量的幾何意義是，把向量沿著它的方向或反方向放大或縮小。特別地，一個向量的相反向量可以看成－1與這個向量的乘積，即.
當和都是實數(shù)，且是向量時：是向量，也是向量；是實數(shù)，但是向量。可以看出.
2.向量平行
如果存在實數(shù)，使得，則。
3.三點共線
一般地，如果存在實數(shù)，使得，則與平行且有公共點A，所以，三點共線。
八．向量的加法與數(shù)乘向量的混合運算
1.一般地，對于實數(shù)和，以及向量，有.
2.一般地，對于實數(shù)，以及向量與向量，有.
九.向量的線性運算
向量的加法、減法、數(shù)乘向量以及他們的混合運算，統(tǒng)稱為向量的線性運算。
九．共線向量基本定理數(shù)乘向量
一般地，有如下共線向量基本定理：
如果且,則存在唯一的實數(shù)入，使得.
在共線向量基本定理中：
（1) 時，通常稱為能用表示。
（2)其中的“唯一”指的是，如果還有,則有.
這是因為：由可知,如果,則,與已知矛盾，所以
,即.
十．平面向量基本定理
一般地，有如下平面向量基本定理：
如果平面內兩個向量與不共線，則對該平面內任意一個向量,存在唯一的實數(shù)對,使得
.
平面向量基本定理中，當與不共線時，“唯一的實數(shù)對”指的是用表示時，表達式唯一，即如果
,那么.
基底：平面向量基本定理是說，在給定的平面內，當向量與不共線時，任意一個向量,都可以寫成與的線性運算（簡稱為用與表示向量),而且表達式唯一，因此，平面內不共線的兩個向量與組成的集合,常稱為該平面上向量的一組基底，此時如果,則稱為在基底下的分解式。
十一．平面向量的坐標
如果平面向量的基底中，，就稱這組基底為正交基底；在正交基底下向量的分解稱為向量的正交分解。
一般地，給定平面內兩個互相垂直的單位向量，對于平面內的向量，如果，則稱
為向量的坐標，記作
十二．平面上向量的運算與坐標的關系
假設平面上兩個向量，滿足，則
（1）；
（2）；
（3），；
（4），；
十三．平面直角坐標系內兩點間距離公式與中點坐標公式
設為平面直角坐標系中的兩點，其中點為M,則
（1）
（2）
十四．平面向量平行的坐標表示
；
【考點剖析】
考點一：向量的概念與表示
例1．下列物理量：①質量；②路程；③位移；④重力；⑤加速度.其中，不能稱為向量的個數(shù)是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【分析】
根據(jù)物理量的定義及性質判斷是否為向量即可.
【詳解】
根據(jù)物理量的定義、性質知：質量、路程是標量，位移、重力、加速度為矢量即向量，
∴③④⑤是向量，①②是標量.
故選：C
變1．以下選項中，都是向量的是（ ）
A．正弦線、海拔B．質量、摩擦力
C．△ABC的三邊、體積D．余弦線、速度
【答案】D
【分析】
根據(jù)向量的定義判斷．
【詳解】
表示三角函數(shù)值的正切線、余弦線、正弦線既有大小，又有方向，都是向量．海拔、質量、△ABC的三邊和體積均只有大小，沒有方向，不是向量．速度既有大小又有方向，是向量，
故選：D．
考點二：向量的模、零向量與單位向量
例2．下列說法：
①零向量是沒有方向的向量；
②零向量的方向是任意的；
③零向量與任意一個向量共線.
其中，正確說法的個數(shù)是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【分析】
根據(jù)零向量的定義、性質判斷各項的正誤即可.
【詳解】
由零向量定義及性質知：其方向任意，且與任意向量共線，故①錯誤，②③正確；
故選：C
變2．下列說法正確的是（ ）
A．向量與向量的長度相等
B．兩個有共同起點，且長度相等的向量，它們的終點相同
C．零向量沒有方向
D．向量的模是一個正實數(shù)
【答案】A
【分析】
根據(jù)向量的概念、零向量的定義及向量模的性質，即可判斷各選項的正誤.
【詳解】
A：與的長度相等，方向相反，正確；
B：兩個有共同起點且長度相等的向量，若方向也相同，則它們的終點相同，故錯誤；
C：零向量的方向任意，故錯誤；
D：向量的模是一個非負實數(shù)，故錯誤.
故選：A
考點三：向量相等與向量平行（共線）
例3．下列說法正確的是（ ）
A．向量與共線，與共線，則與也共線
B．任意兩個相等的非零向量的始點與終點是一個平行四邊形的四個頂點
C．向量與不共線，則與都是非零向量
D．有相同起點的兩個非零向量不平行
【答案】C
【分析】
根據(jù)共線向量（即平行向量）的定義即可求解.
【詳解】
解：對于A： 可能是零向量，故選項A錯誤；
對于B：兩個向量可能在同一條直線上，故選項B錯誤；
對于C：因為與任何向量都是共線向量，所以選項C正確；
對于D：平行向量可能在同一條直線上，故選項D錯誤．
故選：C.
變3．已知向量，且，則向量的方向（ ）
A．與向量的方向相同B．與向量的方向相反
C．與向量的方向相同D．不確定
【答案】A
【分析】
分別在和方向相同和相反兩種情況下，結合模長大小關系可得結論.
【詳解】
若和方向相同，則它們的和的方向應該與的方向相同；
若和方向相反，而的模大于的模，則它們的和的方向與的方向相同.
綜上所述：向量的方向與向量的方向相同.
故選：A.
考點四：向量加法的三角形法則
例4．如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
根據(jù)向量加法的三角形法則計算可得；
【詳解】
解：
故選：A
變4．在平行四邊形中， ，，則等于（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】
根據(jù)向量的運算法則，得到，即可求得.
【詳解】
根據(jù)向量的運算法則，可得
故選：C.
考點五：向量加法的平行四邊形法則
例5．已知點O是的兩條對角線的交點，則下面結論中正確的是（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】
根據(jù)平面向量線性運算法則計算可得；
【詳解】
對于A：，故A錯誤；
對于B：，故B正確；
對于C：，故C錯誤；
對于D：，故D錯誤；
故選：B
變5．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝，AC＝2AB，∠BAC的平分線交△ABC的外接圓于點D.設，，則向量＝（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】
設△ABC的外接圓圓心為O，如圖，連接OD，BD，由題意可得AC為△ABC的外接圓的直徑，從而可得AB＝OA＝OD，結合已知條件可得四邊形ABDO是平行四邊形，再利用向量的加法法則可得結論
【詳解】
由題意知，AC為△ABC的外接圓的直徑．
設△ABC的外接圓圓心為O，如圖，連接OD，BD，則AB＝OA＝OD.
所以,
因為，
所以
所以AB∥OD，
因為AB＝OD.
所以四邊形ABDO是平行四邊形，
所以
故選：C.
考點六：向量加法的運算律
例6．化簡：（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
根據(jù)向量的加法法則，計算即可得答案.
【詳解】
.
故選：B
變6．向量化簡后等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
根據(jù)向量的加法運算即可得到結果.
【詳解】
故選：D
考點七：向量減法的法則
例7．如下圖，是線段的中點，設向量，，那么能夠表示為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】
由向量的線性運算，可得解
【詳解】
由題意，．
故選：B
變7．在中，，分別是，的中點，若，，則等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
根據(jù)向量減法的三角形法則，得到，即可求解.
【詳解】
在中，，分別是，的中點，若，，
可得.
故選：C.
考點八：相反向量
例8．若非零向量和互為相反向量，則下列說法中錯誤的是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
根據(jù)相反向量的定義逐項判斷即可．
【詳解】
解：由平行向量的定義可知項正確；
因為和的方向相反，所以，故項正確；
由相反向量的定義可知，故選項正確；
由相反向量的定義知，故項錯誤；
故選：C．
變8．向量，互為相反向量，已知，則下列結論正確的是（ ）
A．B．為實數(shù)0C．與方向相同D．
【答案】D
【分析】
根據(jù)相反向量的定義，即可判斷選項.
【詳解】
向量，互為相反向量，則，模相等、方向相反，所以，故A錯誤；
，故B錯誤，方向相反，故C錯誤；，故D正確.
故選：D.
考點九：向量減法的運算律
例9．化簡（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
根據(jù)平面向量加減法的運算法則和運算律即可得到答案.
【詳解】
故選：D.
變9．化簡：（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
根據(jù)向量加減法公式直接結算結果.
【詳解】

.
故選：C
考點十：向量數(shù)乘有關的計算
例10．設是非零向量，，是非零實數(shù)，則下列結論中正確的是
A．與的方向相同B．與的方向相反
C．與的方向相同D．
【答案】C
【分析】
根據(jù)向量的數(shù)乘運算，可直接得出結果.
【詳解】
只有當時，才有與的方向相同，與的方向相反，且.因為，所以與的方向相同.
故選C
【點睛】
本題主要考查向量的數(shù)乘，熟記概念即可，屬于基礎題型.
變10．設是非零向量,是非零實數(shù),下列結論中正確的是（ ）
A．與的方向相反B．與的方向相同
C．D．
【答案】B
【分析】
根據(jù)向量共線的概念以及向量的模長公式，對題目中的選項進行判斷即可．
【詳解】
解：是非零向量，是非零實數(shù)，
與的方向相反或相同，與的方向相同，故錯誤，正確；
當時，則，故錯誤；
為一個實數(shù)，為與向量共線的向量，兩者無法比較，故錯誤；
故選：．
【點睛】
本題考查了平面向量的共線概念與向量模長的應用問題，屬于基礎題．
考點十一：向量數(shù)乘幾何應用
例11．若，則下列各式中不正確的是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
根據(jù)向量的數(shù)乘的定義判斷．
【詳解】
如圖，由知在延長線上，且，
因此由向量數(shù)乘定義知ABC三個選項均正確，D錯誤．
故選：D．
變11．已知，設，則（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
根據(jù)向量的數(shù)乘定義求解．
【詳解】
由得是線段上的點，且，如圖，
因此，，．
故選：D．
考點十二：平面向量的線性運算
例12．等于（ ）
A． B．C．D．0
【答案】C
【解析】
故選C
變12．在中，D是AB邊上的一點，且，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
利用圖形中線段的關系，結合平面向量的線性運算即可求出結果.
【詳解】
故選：D.
考點十三：基底的概念及辨析
例13．若是平面內的一組基底，則下列四組向量能作為平面的一組基底的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】
根據(jù)平面中基底是兩個不共線向量，逐個分析判斷即可得解.
【詳解】
由是平面內的一組基底，則非零不共線，
由一組基底必不共線，可得：
對A，，故共線，不符題意；
對B，不能互相線性表示，故不共線，滿足題意；
對C，，故共線，不滿足題意；
對D，，故共線，不滿足題意.
故選：B
變13．設，是平面內不共線的兩個向量，則以下各組向量中不能作為基底的是（ ）
A．與B．與
C．與D．與
【答案】C
【分析】
根據(jù)基底不共線即可判斷.
【詳解】
解：，是平面內不共線的兩個向量，
對A，與不共線，故可以作為基底，故A錯誤；
對B，與不共線，故可以作為基底，故B錯誤；
對C，，故與共線，
不可以作為基底，故C正確；
對D，與不共線，故可以作為基底，故D錯誤；
故選：C.
考點十四：利用平面向量基本定理求參數(shù)
例14．如圖所示，矩形的對角線相交于點，為的中點，若，則等于（ ）．
A．B．C．1D．
【答案】A
【分析】
利用向量的線性運算結合平面向量基本定理可求的值.
【詳解】
由平面向量基本定理，
化簡
，
所以，即，
故選：A．
變14．如圖，在中，，，若，則值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
求出，得λ＝，μ＝，即得解.
【詳解】
因為＋μ，
所以λ＝，μ＝，
則λ＋μ＝＋＝.
故選：B
考點十五：用坐標表示平面向量
例15．如圖，向量，，的坐標分別是________，___________，_____________．
【答案】
【分析】
將向量，，分別向基底，所在的直線分解，由平面向量的坐標表示即可求解.
【詳解】
將向量，，分別向基底，所在的直線分解，
則，，，
所以，，，
故答案為：；；.
變15．在平面直角坐標系中，若，，則________．
【答案】
【分析】
根據(jù)向量坐標和點坐標的關系，即得解
【詳解】
由題意，根據(jù)向量坐標和點坐標的關系
故答案為：
考點十六：平面向量線性運算的坐標表示
例16．已知＝(2，1)，＝(－3，4)，求的坐標．
【答案】．
【分析】
根據(jù)向量線性運算的坐標表示即可直接求出答案.
【詳解】
因為＝(2，1)，＝(－3，4)，
所以＝(2，1)＋(－3，4)＝(－1，5)，＝(2，1)－(－3，4)＝(5，－3)，
＝3(2，1)＋4(－3，4)＝(6，3)＋(－12，16)＝(－6，19)．

變16．已知向量，，則（ ）
A．B．5C．7D．25
【答案】B
【分析】
根據(jù)向量的坐標運算求解模長即可.
【詳解】
根據(jù)題意，向量，，
則，故.
故選：B．
考點十七：直角坐標系內兩點間距離公式和中點坐標公式
例17．求線段的中點坐標：
（1）；（2）；（3）．
【答案】（1） （2） （3）
【分析】
根據(jù)中點坐標公式，若、，則的中點坐標為，計算可得
【詳解】
解：（1）
，，∴的中點坐標為；
（2）
，，∴的中點坐標為；
（3）
，，∴的中點坐標為．
【點睛】
本題考查中點坐標公式的應用，屬于基礎題.

變17．已知，，且C與A關于點B對稱，求C的坐標.
【答案】
【分析】
利用中點坐標公式計算可得.
【詳解】
解：∵C與A關于點、B對稱，
∴點B是線段的中點.
設C點坐標為，
則，，
解得，.即點的坐標為.
【點睛】
本題考查中點坐標公式的應用，屬于基礎題.
考點十八：由向量平行（共線）求參數(shù)
例18．已知向量，，且，則（ ）
A．B．C．4D．8
【答案】A
【分析】
利用向量平行的條件列方程即可求解.
【詳解】
向量，，且，
所以，解得：.
故選：A
變18．若向量，，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
由向量平行的坐標表示可構造方程求得.
【詳解】
，，解得：.
故選：B.
考點十九：由坐標解決三點共線問題
例19．若點，，三點共線，則（ ）
A．2B．4C．3D．5
【答案】D
【分析】
三點共線，即，利用平面向量共線的坐標表示列方程解出．
【詳解】
點，，三點共線，則
，，解得
故選：D

變19．若，，三點共線，則實數(shù)的值是（ ）
A．6B．C．D．2
【答案】B
【分析】
由，，三點共線，則和共線，進而利用坐標運算即可.
【詳解】
因為三點，，共線，
所以 ,
若，，三點共線，則和共線
可得：，
解得；
故選：B
考點二十：向量在平面幾何中的應用
例20．如圖所示，分別在平行四邊形的對角線的延長線和反向延長線上取點和點，使.試用向量方法證明：四邊形是平行四邊形.
【答案】證明見解析
【分析】
由題知，，進而根據(jù)題意得，再根據(jù)向量共線即可證明.
【詳解】
證明：因為四邊形是平行四邊形，
所以，，
因為，，
所以，即，且，
所以四邊形是平行四邊形.
變20．設P，Q分別是梯形ABCD的對角線AC與BD的中點
（1）試用向量證明：PQAB；
（2）若AB=3CD，求PQ：AB的值.
【答案】（1）證明見解析；（2）.
【分析】
（1）用向量表示，得出向量與、的關系，再根據(jù)向量與共線，得出向量與共線即可；
（2）根據(jù)向量與反向，且||=3||得出向量與的數(shù)量關系，即得PQ：AB的值.
【詳解】
（1）∵Q為BD中點，∴，
又P為AC中點，∴；
∴2()，
又向量與共線，
設向量，
則2(1+λ)，
∴①，
又梯形ABCD中||≠||，∴λ≠﹣1，
∴，即PQAB；
（2）∵向量與反向，且||=3||；
所以，即λ代入①式，
得，
∴PQ：AB.
【點睛】
關鍵點點睛：熟練掌握平面向量的線性運算是解題關鍵.
考點二十一：向量在平面幾何中的應用-力的合成
例21．如圖所示，把一個物體放在傾斜角為的斜面上，物體處于平衡狀態(tài)，且受到三個力的作用，即重力，沿著斜面向上的摩擦力，垂直于斜面向上的彈力．已知，求和的大?。?br>【答案】，.
【分析】
把物體受到的重力在斜面和垂直于斜面方向上分解，依據(jù)物體處于平衡狀態(tài)物體所受合力為零即可得解.
【詳解】
如圖，由向量加法的平行四邊形法則知，，，計算可得，．
變21．如圖，一個三角形角鐵支架ABC安裝在墻壁上，AB∶AC∶BC=3∶4∶5，在B處掛一個6kg的物體，求角鐵AB與BC所受力的大?。ㄈ。?br>【答案】；.
【分析】
根據(jù)的合成與分解原理，利用向量的加法運算的平行四邊形法則，進行受力分析，然后計算.
【詳解】
解：如圖所示進行受力分析，,
，
∵AB∶AC∶BC=3∶4∶5，
∴，∴；.
;
,
所以角鐵AB與BC所受力的大小、.
【真題演練】
1.（2020·山東·高考真題）已知平行四邊形，點，分別是，的中點（如圖所示），設，，則等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
利用向量的線性運算，即可得到答案；
【詳解】
連結，則為的中位線，
，
故選：A
2．（2021·山東·高考真題）如下圖，是線段的中點，設向量，，那么能夠表示為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】
由向量的線性運算，可得解
【詳解】
由題意，．
故選：B
3.（2021·全國·高考真題）已知向量，，，_______．
【答案】
【分析】
由已知可得，展開化簡后可得結果.
【詳解】
由已知可得，
因此，.
故答案為：.
4．（2021·全國·高考真題（文））若向量滿足，則_________.
【答案】
【分析】
根據(jù)題目條件，利用模的平方可以得出答案
【詳解】
∵
∴
∴.
故答案為：.
5．（2021·全國·高考真題（理））已知向量，若，則__________．
【答案】
【分析】
根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標表示以及向量的線性運算列出方程，即可解出．
【詳解】
因為，所以由可得，
，解得．
故答案為：．
【點睛】
本題解題關鍵是熟記平面向量數(shù)量積的坐標表示，設，
，注意與平面向量平行的坐標表示區(qū)分．
6. （2021·天津·高考真題）在邊長為1的等邊三角形ABC中，D為線段BC上的動點，且交AB于點E．且交AC于點F,則的值為____________；的最小值為____________．
【答案】1
【分析】
設，由可求出；將化為關于的關系式即可求出最值.
【詳解】
設，，為邊長為1的等邊三角形，，
，
，為邊長為的等邊三角形，，
，
，
，
所以當時，的最小值為.
故答案為：1；.
【過關檢測】
1．（2021·湖南·長郡中學高二階段練習）若向量與的夾角為銳角，則t的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】
且與不同向，進而求解即可得答案.
【詳解】
解：與夾角為銳角，則且與不同向，即，即，
由，共線得，得，
故.
故選:D.
2．（2021·福建省漳州第一中學高三階段練習）如圖所示，已知點G是△ABC的重心，過點G作直線分別交AB，AC兩邊于與M，N（三角形頂點不重合）兩點，且，，則2x+y的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
由三點共線得出滿足的關系，然后由基本不等式得出結論．
【詳解】
因為是△ABC的重心，所以，
又，，所以，
因為三點共線，所以，即，
顯然，，
所以，
當且僅當，即，時，等號成立．
所以的最小值是．
故選：A．
3．（2022·北京朝陽·高三期末）已知平面向量，滿足，與的夾角為120°，記，的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
設，根據(jù)與的夾角為120°，得到，再根據(jù)，得到的終點在直線AB上求解.
【詳解】
設，如圖所示：
則，
因為與的夾角為120°，
所以，
因為，且的起點相同，
所以其終點共線，即在直線AB上，
所以當時，最小，最小值為，無最大值，
所以的取值范圍為，
故選；A
4．（2022·廣東清遠·高三期末）已知P是邊長為4的正三角形所在平面內一點，且，則的最小值為（ ）
A．16B．12C．5D．4
【答案】C
【分析】
延長到D，使得，可得點P在直線上，化簡可得，求出最小值即可.
【詳解】
如圖，延長到D，使得．
因為，所以點P在直線上．
取線段的中點O，連接，
則．
顯然當時，取得最小值，
因為，則，所以，
所以的最小值為．
故選：C.
5．（2022·寧夏·吳忠中學高一期末）在中，，．若邊上一點滿足，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
根據(jù)向量的線性運算法則，結合題意，即可求解.
【詳解】
由中，，且邊上一點滿足，如圖所示，
根據(jù)向量的線性運算法則，可得：
.
故選：A.
6．（2021·貴州金沙·高二階段練習）如圖，在平行四邊形中，，，，，，是平行四邊形所在平面內一點，且．若，則的最小值為（ ）
A．B．C．0D．2
【答案】B
【分析】
根據(jù)平面向量基本定理，結合向量數(shù)量積的定義和運算法則，即可求解.
【詳解】
如圖，取的中點，則．
因為，所以，，三點共線．
連接并取的中點，連接，則．
因為，，，，所以．
又，所以，．
當時，最小，且最小值為，所以的最小值為．
故選：B.
二、多選題
7．（2021·湖北·公安縣教學研究中心高三階段練習）已知平面向量，且，則（ ）
A．B．向量與的夾角為
C．D．
【答案】BD
【分析】
由條件可得，，然后根據(jù)向量的運算逐一判斷即可.
【詳解】
由得，
由得，
，選項A錯誤.
向量與的夾角為，選項B正確；
，
而，
，選項C錯誤；
，選項D正確.
故選：BD.
三、填空題
8．（2022·寧夏·吳忠中學高一期末）下列命題中，正確命題的序號為______．
①單位向量都相等；②若向量，滿足，則；
③向量就是有向線段；④模為的向量叫零向量；
⑤向量，共線與向量意義是相同的．
【答案】④⑤
【分析】
由向量中單位向量，向量相等、零向量和共線向量的定義進行判斷，即可得出答案 .
【詳解】
對于①. 單位向量方向不同時，不相等，故不正確.
對于②. 向量，滿足時，若方向不同時，不相等，故不正確.
對于③. 有向線段是有方向的線段，向量是既有大小、又有方向的量.
向量可以用有向線段來表示，二者不等同，故不正確,
對于④.根據(jù)零向量的定義，正確.
對于⑤. 根據(jù)共線向量是方向相同或相反的向量，也叫平行向量，故正確.
故答案為：④⑤
9．（2021·湖北·公安縣教學研究中心高三階段練習）如圖，在矩形中，為邊的中點，若為折線段上的動點，則的最小值為___________.
【答案】
【分析】
如圖，以點為坐標系原點，所在直線為軸，DA所在直線為軸，建立平面直角坐標系，根據(jù)對稱性，只需求解點在線段上運動時的最小值即可.
【詳解】
以點為坐標系原點，所在直線為軸，DA所在直線為軸，建立平面直角坐標系，如圖所示，
設，
則，
所以
因為，所以，所以的最小值為.
故答案為：
10.（2022·北京海淀·高三期末）若，且，則______________，的最大值為______________.
【答案】2
【分析】
由即可求，結合已知條件可得在過點垂直于的直線上，而在以為圓心，1為半徑的圓周上，應用數(shù)形結合法判斷的最大時的位置，即可確定最大值.
【詳解】
由，可得，
由題設，在過點垂直于的直線上，而在以為圓心，1為半徑的圓周上，若，如下圖示，

∴，要使的最大，只需共線，在上的投影最短，
由圖知：共線時，的最大為.
故答案為：2，.
【點睛】
關鍵點點睛：由已知條件將向量轉化為圖形形式，數(shù)形結合法分析的最大時動點的位置，即可求最大值.
四、解答題
11．（2022·北京昌平·高一期末）設向量，，.
（1）求；
（2）若，，求的值；
（3）若，，，求證：A，，三點共線.
【答案】（1）1（2）2（3）證明見解析
【分析】
（1）先求，進而求；（2）列出方程組，求出，進而求出；（3）求出，從而得到，得到結果.
（1）
，；
（2）
，所以，解得：，所以；
（3）
因為，所以，所以A，，三點共線.
12．（2021·廣東·深圳市龍崗區(qū)德琳學校高一階段練習）已知，，的夾角是60°，計算
（1）計算，；
（2）求和的夾角的余弦值.
【答案】
（1），
（2）
【分析】
（1）利用數(shù)量積的定義可求出，先求出，即可得出；
（2）先求出，根據(jù)向量夾角關系即可求出.
（1）
由題可得，
，所以；
（2）
，
設和的夾角為，
所以.

相關試卷

(蘇教版2019必修第二冊)高一數(shù)學寒假精品課第04講三角函數(shù)(原卷版+解析)：

這是一份(蘇教版2019必修第二冊)高一數(shù)學寒假精品課第04講三角函數(shù)(原卷版+解析)，共33頁。

(蘇教版2019必修第二冊)高一數(shù)學寒假精品課第02講函數(shù)概念與性質(原卷版+解析)：

這是一份(蘇教版2019必修第二冊)高一數(shù)學寒假精品課第02講函數(shù)概念與性質(原卷版+解析)，共22頁。

(蘇教版2019必修第二冊)高一數(shù)學寒假精品課第13講概率(原卷版+解析)：

這是一份(蘇教版2019必修第二冊)高一數(shù)學寒假精品課第13講概率(原卷版+解析)，共39頁。

英語朗讀寶

相關試卷 更多

(蘇教版2019必修第二冊)高一數(shù)學寒假精品課第12講統(tǒng)計(原卷版+解析)

(蘇教版2019必修第二冊)高一數(shù)學寒假精品課第12講統(tǒng)計(原卷版+解析)
(蘇教版2019必修第二冊)高一數(shù)學寒假精品課第11講直線與平面、平面與平面的位置關系(原卷版+解析)

(蘇教版2019必修第二冊)高一數(shù)學寒假精品課第11講直線與平面、平面與平面的位置關系(原卷版+解析)
(蘇教版2019必修第二冊)高一數(shù)學寒假精品課第08講復數(shù)(原卷版+解析)

(蘇教版2019必修第二冊)高一數(shù)學寒假精品課第08講復數(shù)(原卷版+解析)
(蘇教版2019必修第二冊)高一數(shù)學寒假精品課第06講三角恒等變換(原卷版+解析)

(蘇教版2019必修第二冊)高一數(shù)學寒假精品課第06講三角恒等變換(原卷版+解析)
資料下載及使用幫助
版權申訴
版權申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認為該資料內容侵犯了您的知識產(chǎn)權，請掃碼添加我們的相關工作人員，我們盡可能的保護您的合法權益。
入駐教習網(wǎng)，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權申訴二維碼
寒假專區(qū)
歡迎來到教習網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機號注冊
手機號碼

手機號格式錯誤

手機驗證碼 獲取驗證碼

手機驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內有效

設置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部