一、平面向量的正交分解
（1）把一個向量分解為兩個互相垂直的向量,叫做把向量作正交分解.
（2）在不共線的兩個向量中,垂直是一種特殊的情形,向量的正交分解是向量分解常用且重要的一種分解.在平面上,如果選取互相垂直的向量作為基底,會給問題的研究帶來方便.
二、平面向量的坐標(biāo)表示
（1）向量的坐標(biāo)表示
在直角坐標(biāo)系中，分別取與軸、軸方向相同的兩個不共線單位向量、作為基底，
對于平面內(nèi)的一個向量，由平面向量基本定理知，有且只有一對實(shí)數(shù)，使得，則把有序數(shù)對，叫做向量的坐標(biāo)．記作，此式叫做向量的坐標(biāo)表示，其中叫做在軸上的坐標(biāo)，叫做在軸上的坐標(biāo)，
注意：①對于，有且僅有一對實(shí)數(shù)與之對應(yīng)
②兩向量相等時，坐標(biāo)一樣
③，，
④從原點(diǎn)引出的向量的坐標(biāo)就是點(diǎn)的坐標(biāo)
（2）點(diǎn)的坐標(biāo)與向量的坐標(biāo)的關(guān)系
區(qū)別：①表示形式不同向量中間用等號連接，而點(diǎn)中間沒有等號
②意義不同點(diǎn)的坐標(biāo)表示點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系中的位置，的坐標(biāo)既表示向量的大小，也表示向量的方向.另外既可以表示點(diǎn)，也可以表示向量，敘述時應(yīng)指明點(diǎn)或向量.
聯(lián)系：當(dāng)平面向量的起點(diǎn)在原點(diǎn)時，平面向量的坐標(biāo)與向量終點(diǎn)的坐標(biāo)相同.
三、平面向量的坐標(biāo)表示
（1）兩個向量和（差）的坐標(biāo)表示
兩個向量和（差）的坐標(biāo)分別等于這兩個向量相應(yīng)坐標(biāo)的和（差）.
坐標(biāo)表示：，則：
；
（2）任一向量的坐標(biāo)
一個向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo)
，，則.
（3）向量數(shù)乘的坐標(biāo)表示
實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個實(shí)數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標(biāo).
坐標(biāo)表示:,則.
四、平面向量共線的坐標(biāo)表示
設(shè),,其中,則當(dāng)且僅當(dāng)存在唯一實(shí)數(shù),使得；
用坐標(biāo)表示,可寫為,即：
消去得到：.
這就是說,向量()共線的充要條件是.
題型一：平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示
策略方法
求點(diǎn)和向量坐標(biāo)的常用方法
(1)求一個點(diǎn)的坐標(biāo),可以轉(zhuǎn)化為求該點(diǎn)相對于坐標(biāo)原點(diǎn)的位置的坐標(biāo).
(2)求一個向量的坐標(biāo)時,可以首先求出這個向量的始點(diǎn)坐標(biāo)和終點(diǎn)坐標(biāo),再運(yùn)用終點(diǎn)坐標(biāo)減去始點(diǎn)坐標(biāo)得到該向量的坐標(biāo).
【例1】若，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用向量的坐標(biāo)計(jì)算公式可求點(diǎn)的坐標(biāo).
【詳解】設(shè)，故，而，故，故，故，故選：A.
【變式1-1】若向量，，，則可用向量，表示為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)向量基本定理，設(shè)，代入計(jì)算得到方程組，解出即可.
【詳解】設(shè)，即，
則有，解得，則.故選：A.
【變式1-2】如果用分別表示x軸和y軸正方向上的單位向量，且，則可以表示為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根據(jù)向量的坐標(biāo)表示求出，再根據(jù)正交分解即可得解.
【詳解】因?yàn)?，所以，所?故選：C.
【變式1-3】已知，，點(diǎn)P是線段MN上的點(diǎn)，且，則P點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算結(jié)合相等向量，列式計(jì)算作答.
【詳解】設(shè)，則，，因，
從而有，解得，所以P點(diǎn)的坐標(biāo)為.故選：A
【變式1-4】向量在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若，則 .

【答案】4
【分析】首先以向量和的交點(diǎn)為原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)每個小正方形的邊長為1，再利用平面向量坐標(biāo)運(yùn)算求解即可.
【詳解】以向量和的交點(diǎn)為原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系(設(shè)每個小正方形的邊長為1)，

則，所以.
因?yàn)?，所?
所以.所以.故答案為：4
【變式1-5】已知和是兩個正交單位向量，，且，則（ ）
A．2或3 B．2或4 C．3或5 D．3或4
【答案】B
【分析】根據(jù)題意得到，，求得，集合向量模的計(jì)算公式，列出方程，即可求解.
【詳解】因?yàn)楹褪钦粏挝幌蛄浚?，，可得，所以，解得?故選：B．
題型二：平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算
策略方法
平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的技巧
(1)若已知向量的坐標(biāo),則直接應(yīng)用兩個向量和、差及向量數(shù)乘的運(yùn)算法則進(jìn)行.
(2)若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo),則可先求出向量的坐標(biāo),然后再進(jìn)行向量的坐標(biāo)運(yùn)算.
(3)向量的線性坐標(biāo)運(yùn)算可完全類比數(shù)的運(yùn)算進(jìn)行.
【例2】已知向量，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用向量加法的坐標(biāo)表示，求出的坐標(biāo)
【詳解】.故選：B.
【變式2-1】已知P，Q分別為的邊，的中點(diǎn)，若，，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由向量求出的坐標(biāo)，進(jìn)而求出點(diǎn)C的坐標(biāo).
【詳解】由P，Q分別為的邊，的中點(diǎn)，，得，
點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，因此，所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為.故選：A
【變式2-2】（多選）已知，，下列選項(xiàng)中關(guān)于，的坐標(biāo)運(yùn)算正確的是（ ）
A． B．
C．若且，則 D．
【答案】BD
【分析】利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，逐項(xiàng)計(jì)算判斷即得.
【詳解】向量，，則，A錯誤；，B正確；
令為坐標(biāo)原點(diǎn)，則，點(diǎn)，C錯誤；，D正確.故選：BD
【變式2-3】已知向量，，，則 ．
【答案】
【分析】由向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出，再用坐標(biāo)表示向量的模=5即可得出的值.
【詳解】由題意得，所以，解得．故答案為：
【變式2-4】我國東漢末數(shù)學(xué)家趙爽在《周髀算經(jīng)》中利用一幅“弦圖”給出了勾股定理的證明，后人稱其為“趙爽弦圖”，它是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形，若E為AF的中點(diǎn)，，則（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】構(gòu)建以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，建立如圖直角坐標(biāo)系，設(shè)，標(biāo)注相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可得坐標(biāo)，結(jié)合，應(yīng)用向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示列方程求出即可.
【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，建立如圖直角坐標(biāo)系，設(shè)，又為的中點(diǎn)，

∴，則，
由，得：，∴，解得，則
題型三：向量共線的判定及其應(yīng)用
策略方法 平面向量共線的坐標(biāo)表示問題的解題策略
(1)如果已知兩向量共線，求某些參數(shù)的取值時，利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件是x1y2＝x2y1”．
(2)在求與一個已知向量a共線的向量時，可設(shè)所求向量為λa(λ∈R)．
【例3】設(shè)向量，若，則（ ）
A． B． C．4 D．2
【答案】B
【分析】根據(jù)，可得，再根據(jù)共線向量的坐標(biāo)公式即可得解.
【詳解】因?yàn)橄蛄?，，所以，所以，解?故選：B.
【變式3-1】已知向量，若，則實(shí)數(shù)（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】C
【分析】應(yīng)用向量加減數(shù)乘的坐標(biāo)運(yùn)算及平行的坐標(biāo)表示列方程求參數(shù)即可.
【詳解】由題設(shè)，又，所以，可得.
故選：C
【變式3-2】已知，，若，則=（ ）
A．20 B．15 C．10 D．5
【答案】C
【分析】根據(jù)向量平行，求出的值，再結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算求模.
【詳解】因?yàn)?，所以?所以：
所以：.故選：C
【變式3-3】已知向量不共線，且，若與共線，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A．1或 B． C． D．或
【答案】A
【分析】根據(jù)題意，由平面向量共線定理，列出方程，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.
【詳解】因?yàn)橄蛄坎还簿€，且，若與共線，則存在實(shí)數(shù)，使得，
即，則可得，解得或.故選：A
【變式3-4】已知點(diǎn)，向量，，點(diǎn)是線段的三等分點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)是（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解，注意三等分點(diǎn)有兩種可能.
【詳解】因?yàn)?，，可得?br>又因?yàn)辄c(diǎn)是線段的三等分點(diǎn)，則或，所以或，即點(diǎn)的坐標(biāo)為或.故選：C.
【變式3-5】已知，設(shè)..
(1)求的值；
(2)求滿足的實(shí)數(shù)的值；
(3)若線段AB的中點(diǎn)為M，線段BC的三等分點(diǎn)為N（點(diǎn)N靠近點(diǎn)B），求.
【答案】(1)；(2)；(3)
【分析】（1）根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算與表示，即可求解；
（2）根據(jù)題意求得，結(jié)合，列出方程組，即可求解；
（3）根據(jù)題意，得到，設(shè)，列出方程組，即可求解.
【詳解】（1）解：因?yàn)?，且?br>所以，所以.
（2）解：由，因?yàn)椋傻?，解?
（3）解：因?yàn)榫€段的中點(diǎn)為，線段的三等分點(diǎn)為（點(diǎn)靠近點(diǎn)）
所以，
設(shè)，即，
所以，且，解得，，
即的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以.
題型四：向量坐標(biāo)的線性運(yùn)算解決幾何問題
【例4】已知向量在邊長為1的正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，用基底表示，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】建立直角坐標(biāo)系，得到的坐標(biāo)，設(shè)，聯(lián)立解方程組，求出得出結(jié)論.
【詳解】建立如圖直角坐標(biāo)系，則，，
設(shè)，則 所以解得：，故，故選：D.
【變式4-1】如圖，在矩形中，為上一點(diǎn)，，若，則的值為（ ）
A． B． C． D．1
【答案】D
【分析】借助于矩形建立直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法求解.
【詳解】
建立如圖示坐標(biāo)系，由則有：
因?yàn)镋為上一點(diǎn)，可設(shè)所以.
因?yàn)?，所以，即，解得：，所?
由得：，解得：，所以.故選：D
【變式4-2】如圖，，，是圓上的三個不同點(diǎn)，且，，則（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】如圖，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)圓的半徑為1，則可求出的坐標(biāo)，即可得到向量的坐標(biāo)，由于不共線，所以利用平面向量基本定理進(jìn)行求解即可
【詳解】解：如圖，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)圓的半徑為1，因?yàn)?，?br>所以,所以,
因?yàn)椴还簿€，所以由平面向量基本定理可知存在一對有序?qū)崝?shù)，使，
所以，所以，解得，所以，
故選：D
【變式4-3】已知直角梯形中，，，，，是腰上的動點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A．-4 B．5 C．-5 D．4
【答案】B
【解析】以為軸的正方向建立直角坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)表示求模長的最小值.
【詳解】
由題：以為軸的正方向建立直角坐標(biāo)系，如圖所示：
設(shè)，則
，當(dāng)取得最小值5.故選：B
【變式4-4】在矩形ABCD中，，，動點(diǎn)P在以點(diǎn)A為圓心的單位圓上．若，則的最大值為（ ）
A．3B．C．D．2
【答案】C
【詳解】構(gòu)建如下直角坐標(biāo)系：，令，，
由可得：，則且，
所以當(dāng)時，的最大值為.故選：C.
平面向量的坐標(biāo)表示 隨堂檢測
1.已知，，平面向量的坐標(biāo)是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解．
【詳解】由已知，故選：D．
2．如圖所示，為單位正交基，則向量，的坐標(biāo)分別是（ ）

A．， B．， C．， D．，
【答案】C
【分析】由平面向量基本定理得到，，從而求出兩向量的坐標(biāo).
【詳解】根據(jù)平面直角坐標(biāo)系，可知，，∴，.故選：C.
3．已知向量，，則（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】根據(jù)向量減法的坐標(biāo)化運(yùn)算和向量模的坐標(biāo)運(yùn)算即可得到答案.
【詳解】，所以，故選：D.
4．已知向量，，若與共線，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】計(jì)算出與后，結(jié)合向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算即可得.
【詳解】由，，則，，
由與共線，則有，化簡得，即.故選：A.
5．若平面向量與向量平行，且，則（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】C
【解析】求得后根據(jù)平行向量滿足求解即可.
【詳解】由題.又且平面向量與向量平行.故,即或.
故選：C
6．已知點(diǎn)，若點(diǎn)是線段中點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為 .
【答案】
【分析】根據(jù)題意，得到，結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算與表示，即可求解.
【詳解】由題意知，點(diǎn)，且，因?yàn)辄c(diǎn)是線段中點(diǎn)，可得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.故答案為：.
7．已知平面內(nèi)三個向量，，，若，則k= .
【答案】
【分析】先表示出，再由平行向量的坐標(biāo)表示求解即可.
【詳解】因?yàn)?，，，?br>，因?yàn)?，所以?br>所以，解得：.故答案為：
8.向量在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若，則 .

【答案】4
【分析】首先以向量和的交點(diǎn)為原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)每個小正方形的邊長為1，再利用平面向量坐標(biāo)運(yùn)算求解即可.
【詳解】以向量和的交點(diǎn)為原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系(設(shè)每個小正方形的邊長為1)，

則，所以.
因?yàn)?，所?所以.
所以.故答案為：4
9．在中，頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，邊的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的重心坐標(biāo)為 ．
【答案】
【分析】設(shè)的重心為，則，即可得到方程組，解得即可.
【詳解】解：設(shè)的重心為，則，因?yàn)?，?br>所以，即，解得，即，即的重心坐標(biāo)為.
故答案為：
10．設(shè)向量.
(1)求；
(2)若，，求的值；
【答案】(1)1；(2)2
【分析】（1）先求得，然后求得.（2）根據(jù)列方程組，化簡求得，進(jìn)而求得.
【詳解】（1），；
（2），所以，解得：，所以.
11．如圖，AB是圓O的直徑，C，D是圓O上的點(diǎn)，∠CBA＝60°，∠ABD＝45°，＝x＋y，求x＋y的值．
【答案】.
【分析】建立坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示出和x＋y，即可建立方程組求出.
【詳解】不妨設(shè)⊙O的半徑為1，以圓心O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)B，OD為x，y軸的正方向，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，
則A(－1，0)，B(1，0)，D(0，1)，，所以，.
又＝x＋y，所以，
所以，解得， 所以.
①平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示
②平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算
③向量共線的判定及其應(yīng)用
④向量坐標(biāo)的線性運(yùn)算解決幾何問題

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