空間角的概念及范圍
一．異面直線所成的角
1.幾何法:平移法求異面直線所成的角
(1)作：根據(jù)定義作平行線，作出異面直線所成的角；
（2）證：證明作出的角是異面直線所成的角；
（3）求：解三角形，求出所作的角．如果求出的角是銳角或直角，則它就是要求的角；如果求出的角是鈍角，則它的補(bǔ)角才是要求的角．
2.向量法
(1)建立空間直角坐標(biāo)系；
(2)用坐標(biāo)表示兩異面直線的方向向量；
(3)利用向量的夾角公式求出向量夾角的余弦值；
(4)注意兩異面直線所成角的范圍是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，即兩異面直線所成角的余弦值等于兩向量夾角的余弦值的絕對(duì)值.
二．直線與平面所成角
1.幾何法
一作(找)角，二證明，三計(jì)算，其中作(找)角是關(guān)鍵，先找出斜線在平面上的射影，關(guān)鍵是作垂線，找垂足，然后把線面角轉(zhuǎn)化到三角形中求解.
2.向量法
（1）斜線的方向向量
（2）平面的法向量
（3）斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角（或鈍角的補(bǔ)角），取其余角就是斜線和平面所成的角.
三．二面角
1.幾何法
方法一：定義法：找出二面角的平面角
方法二：垂面法，即在一個(gè)半平面內(nèi)找一點(diǎn)作另一個(gè)半平面的垂線，再過垂足作二面角的棱的垂線，兩條垂線確定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角.
2.向量法
（1）找法向量：分別求出二面角的兩個(gè)半平面所在平面的法向量，然后通過兩個(gè)平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角的大小；
（2）找與棱垂直的方向向量：分別在二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)找到與棱垂直且以垂足為起點(diǎn)的兩個(gè)向量，則這兩個(gè)向量的夾角的大小就是二面角的大小.
空間距離
一．點(diǎn)到線的距離
1.概念：過一點(diǎn)作垂直于已知平面的直線，則該點(diǎn)與垂足間的線段，叫做這個(gè)點(diǎn)到該平面的垂線段，垂線段的長(zhǎng)度叫做這個(gè)點(diǎn)到該平面的距離；
設(shè)AP＝，直線l的一個(gè)單位方向向量為，則向量AP在直線l上的投影向量AQ＝，在Rt△APQ中，由勾股定理，得PQ＝ |AP|2-|AQ|2＝
二．兩異面直線間的距離：即兩條異面直線公垂線段的長(zhǎng)度.
三．點(diǎn)到平面的距離：已知平面α的法向量為，A是平面α內(nèi)的定點(diǎn)，P是平面α外一點(diǎn).過點(diǎn)P作平面α的垂線l，交平面α于點(diǎn)Q，則是直線l的方向向量，且點(diǎn)P到平面α的距離就是AP在直線l上的投影向量QP的長(zhǎng)度.因此
四．直線到平面的距離：一條直線與一個(gè)平面平行時(shí)，這條直線上任意一點(diǎn)到這個(gè)平面的距離，叫做這條直線到這個(gè)平面的距離；
五．兩個(gè)平面間的距離：如果兩個(gè)平面平行，那么其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離都相等，我們把它叫做這兩個(gè)平行平面間的距離.
一．求點(diǎn)面距常見方法
方法一：作點(diǎn)到面的垂線，點(diǎn)到垂足的距離即為點(diǎn)到平面的距離
方法二：等體積法
方法三：向量法
二.向量法求兩異面直線的距離
分別以這兩條異面直線上任意兩點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)的向量為，與這兩條異面直線都垂直的法向量為，則兩條異面直線間的距離就是在方向上的正射影向量的模，設(shè)為d，從而由公式求解.
考法一 線線角
【例1-1】如圖四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，且各棱長(zhǎng)均相等，E是PB的中點(diǎn)，則異面直線AE與PC所成角的余弦值為（ ）

A．B．C．D．
【一隅三反】
1．在長(zhǎng)方體中，，，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）
A．B．C．D．
考法二 線面角
【例2-1】如圖，在底面為菱形的四棱錐中，，．

(1)求證：平面平面ABCD；
(2)已知，求直線BN與平面ACN所成角的正弦值．
【一隅三反】
1．如圖，在三棱柱中，底面，，，分別為，的中點(diǎn)．

(1)求證：平面；
(2)求直線與平面所成角的正弦值．
2．如圖，為圓錐的頂點(diǎn)，A，為底面圓上兩點(diǎn)，，為中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且.

(1)證明：平面平面；
(2)若，求直線與平面所成角的正弦值.
考法三 二面角
【例3-1】如圖，在多面體ABCDE中，平面BCD，平面平面BCD，其中是邊長(zhǎng)為2的正三角形，是以為直角的等腰三角形，.

(1)證明：平面BCD.
(2)求平面ACE與平面BDE的夾角的余弦值.
【一隅三反】
1．在直三棱柱中，側(cè)面為正方形，，E，F(xiàn)分別為AC和的中點(diǎn)，.

(1)證明：.
(2)求二面角的余弦值.

3．如圖，在三棱柱中，已知平面，且.

(1)求的長(zhǎng)；
(2)若為線段的中點(diǎn)，求二面角的余弦值.
考法四 動(dòng)點(diǎn)問題求角
【例4】如圖，已知直角梯形與，，，，AD⊥AB，，G是線段上一點(diǎn).
(1)平面⊥平面ABF
(2)若平面⊥平面，設(shè)平面與平面所成角為，是否存在點(diǎn)G，使得，若存在確定G點(diǎn)位置；若不存在，請(qǐng)說明理由.
【一隅三反】
1．已知四棱錐，底面為菱形平面，為上一點(diǎn).
(1)平面平面，證明：；
(2)當(dāng)二面角的余弦值為時(shí)，試確定點(diǎn)的位置.
2．如圖1，在平面圖形中，，，，，沿將折起，使點(diǎn)到的位置，且，，如圖2.

(1)求證：平面平面.
(2)線段上是否存在點(diǎn)，使得平面與平面所成角的余弦值為?若存在，求出的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由.
考法五 點(diǎn)線距
【例1】在空間直角坐標(biāo)系中，直線的方程為，空間一點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離為（ ）
A．B．1C．D．
【一隅三反】
1．菱形的邊長(zhǎng)為4，，E為AB的中點(diǎn)（如圖1），將沿直線DE翻折至處（如圖2），連接，，若四棱錐的體積為，點(diǎn)F為的中點(diǎn)，則F到直線BC的距離為（ ）

A． B．C．D．
考點(diǎn)六 線線距
【例1】長(zhǎng)方體中，，，為的中點(diǎn)，則異面直線與之間的距離是（ ）
A．B．C．D．
【一隅三反】
1．定義：兩條異面直線之間的距離是指其中一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線距離的最小值.在長(zhǎng)方體中，，，，則異面直線與之間的距離是（ ）
A．B．C．D．
考點(diǎn)七 點(diǎn)面距
【例1】如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，側(cè)面是邊長(zhǎng)為的正三角形，平面平面，．

(1)求證：平行四邊形為矩形；
(2)若為側(cè)棱的中點(diǎn)，且平面與平面所成角的余弦值為，求點(diǎn)到平面的距離．
【一隅三反】
1.在如圖所示的圓錐中，已知為圓錐的頂點(diǎn)，為底面的圓心，其母線長(zhǎng)為6，邊長(zhǎng)為的等邊內(nèi)接于圓錐底面，且.

(1)證明：平面平面；
(2)若為中點(diǎn)，射線與底面圓周交于點(diǎn)，當(dāng)二面角的余弦值為時(shí)，求點(diǎn)到平面的距離.
考點(diǎn)八 面面距
【例1】如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為的正方形，底面，，、、分別是、、的中點(diǎn)．求：
(1)直線與平面的距離；
(2)平面與平面的距離．
【一隅三反】
1.如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為2，E，F(xiàn)，G分別為AB，BC，的中點(diǎn)．
(1)求證：平面平面EFG；
(2)求平面與平面EFG間的距離．
空間向量 課后練習(xí)
1.已知直平行六面體中，，，則直線與所成角的余弦值為（ ）
A．B．C．D．0
2.如圖，已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)P為線段BC1上的動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線AC的距離的最小值為（ ）

A．1B．C．D．
3．如圖，在三棱柱中，側(cè)面底面，側(cè)面是菱形，，，.
(1)若為的中點(diǎn)，求證：；
(2)求二面角的正弦值.
4.如圖所示，在四棱錐中，平面平面，，且，設(shè)平面與平面的交線為．
(1)作出交線（寫出作圖步驟），并證明平面；
(2)記與平面的交點(diǎn)為，點(diǎn)S在交線上，且，當(dāng)二面角的余弦值為，求的值．
5．如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，，為等邊三角形，為線段的中點(diǎn)，且平面平面，是線段上的點(diǎn).
(1)求證：；
(2)若直線與平面的夾角的正弦值為，求四棱錐的體積.
空間向量 隨堂檢測(cè)
1.如圖所示，在正方體中，，分別是，的中點(diǎn)，則異面直線與所成的角的大小為（ ）

A．B．C．D．
2.如圖，是棱長(zhǎng)為的正方體，若在正方體內(nèi)部且滿足，則到的距離為（ ）
A． B． C． D．
3.在長(zhǎng)方體中，，，，則異面直線與之間的距離是（ ）
A．B．C．D．
4.在棱長(zhǎng)為的正方體中，則平面與平面之間的距離為
A． B． C． D．
5.在正方體中，E、F分別是棱AB、CD的中點(diǎn).
(1)求證：面；
(2)求二面角的大小.
6.如圖，四棱錐中，底面ABCD為正方形，為等邊三角形，面底面ABCD，E為AD的中點(diǎn).

(1)求證：；
(2)在線段BD上存在一點(diǎn)F，使直線AP與平面PEF所成角的正弦值為.
①確定點(diǎn)F的位置；
②求點(diǎn)C到平面PEF的距離.
空間角
解題思路
夾角范圍
線線角
設(shè)兩異面直線 l1，l2 所成的角為θ，其方向向量分別為
則
線面角
l為平面α的斜線，為l的方向向量，為平面α的法向量，
φ為l與α所成的角，則
eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))
二面角
平面α的法向量為，平面β的法向量為，〈，〉＝θ，
設(shè)二面角大小為φ，則

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