第七章　相交線與平行線 7．1　相交線 7．1.1　兩條直線相交 1．理解并掌握鄰補(bǔ)角、對(duì)頂角的概念和性質(zhì)，能辨認(rèn)鄰補(bǔ)角和對(duì)頂角； 2．經(jīng)歷觀察、操作、推理、交流等過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生的抽象能力，初步感悟數(shù)學(xué)論證的邏輯，體會(huì)數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性； 3．體會(huì)數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，培養(yǎng)對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的好奇心和求知欲． 重點(diǎn) 鄰補(bǔ)角、對(duì)頂角的概念，對(duì)頂角的性質(zhì)與應(yīng)用． 難點(diǎn) 理解對(duì)頂角相等的性質(zhì)的探索． 一、導(dǎo)入新課 我們生活的世界中，蘊(yùn)含著大量的相交線和平行線． 本章要研究相交線所成的角和它的特征，相交線的一種特殊形式即垂直，垂線的性質(zhì)，研究平行線的性質(zhì)和平行線的判定以及圖形的平移 教師提問(wèn)：我們可以把剪刀抽象成什么簡(jiǎn)單的圖形？ 學(xué)生回答：畫成兩條相交的直線，學(xué)生畫直線AB、CD相交于點(diǎn)O，并說(shuō)出圖中4個(gè)角． 教師提問(wèn)：兩兩相配共能組成幾對(duì)角？各對(duì)角的位置關(guān)系如何？根據(jù)不同的位置怎么將它們分類？ 二、探究新知 探究一：∠1與∠2，∠1與∠3的位置關(guān)系(如圖①)  eq \o(\s\up7(),\s\do5(圖①))  畫出直線AB，CD相交于點(diǎn)O，用不同的顏色勾勒出∠1和∠2的兩條邊，設(shè)問(wèn)：“∠1和∠2有怎樣的位置關(guān)系？ 歸納：∠1和∠2有公共頂點(diǎn)O，有一條公共邊OC，∠1的另一條邊OA和∠2的另一邊OB互為反向延長(zhǎng)線(∠1與∠2互補(bǔ))，具有這種關(guān)系的兩個(gè)角，互為鄰補(bǔ)角． 總結(jié)：有一條公共邊，而且另一邊互為反向延長(zhǎng)線的兩個(gè)角叫做鄰補(bǔ)角． 用不同的顏色勾勒出“∠1和∠3的兩條邊”，設(shè)問(wèn)：“∠1和∠3呢？”學(xué)生小組討論探究． 歸納：∠1和∠3有公共頂點(diǎn)O，沒(méi)有公共邊，“∠1的邊OA與∠3的邊OB互為反向延長(zhǎng)線． 總結(jié)：如果兩個(gè)角有一個(gè)公共頂點(diǎn)，而且一個(gè)角的兩邊分別是另一個(gè)角的兩邊的反向延長(zhǎng)線，那么這兩個(gè)角叫做對(duì)頂角． 探究二：∠1與∠2，∠1與∠3的數(shù)量關(guān)系(如圖①) 在圖①中，因?yàn)椤?與∠2互為鄰補(bǔ)角，所以∠1＋∠2＝180°，因?yàn)椤?的鄰補(bǔ)角是∠1和∠3，所以∠1與∠2互補(bǔ)，∠3與∠2互補(bǔ)，根據(jù)“同角的補(bǔ)角相等”，可得∠1＝∠3，類似地有∠2＝∠4. 歸納：對(duì)頂角相等． 強(qiáng)調(diào)對(duì)頂角的概念與對(duì)頂角的性質(zhì)不能混淆： 對(duì)頂角的概念是確定兩角的位置關(guān)系，對(duì)頂角的性質(zhì)是確定互為對(duì)頂角的兩角的數(shù)量關(guān)系． 三、課堂練習(xí) 1．如圖，直線a，b相交，∠1＝40°，求∠2，∠3，∠4的度數(shù)． 2．下列各圖中，∠1和∠2是不是對(duì)頂角？ 3．按要求完成下列各題． (1)兩條直線相交，構(gòu)成哪兩種特殊位置關(guān)系的角？指出下圖中具有這兩種位置關(guān)系的角． (2)如圖，若∠AOD＝90°，那么直線AB與CD的位置關(guān)系如何？ 四、課堂小結(jié) 通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，大部分學(xué)生能積極主動(dòng)地參與到學(xué)習(xí)活動(dòng)中來(lái)，并能積極主動(dòng)地提出各類問(wèn)題并解決問(wèn)題，達(dá)到了基本的教學(xué)效果．但是由于對(duì)新概念的理解不是很深刻，所以在應(yīng)用方面存在不足，針對(duì)這一情況，教師應(yīng)選擇典型的例題，詳細(xì)講解，指導(dǎo)學(xué)生探求解題的思路和方法，加深對(duì)概念的理解，做到熟練的應(yīng)用． 7．1.2　兩條直線垂直 1．了解垂線的概念和垂線段最短的性質(zhì)，體會(huì)點(diǎn)到直線距離的意義； 2．知道過(guò)一點(diǎn)有且僅有一條直線垂直于已知直線，并會(huì)用三角尺或量角器過(guò)一點(diǎn)畫一條直線的垂線； 3．經(jīng)歷操作、探索、歸納、總結(jié)的過(guò)程，初步形成幾何概念的認(rèn)識(shí)方式和幾何結(jié)論的歸納方法． 重點(diǎn) 探索并理解垂線的定義及性質(zhì)． 難點(diǎn) 垂線的畫法及歸納垂線的性質(zhì)． 一、導(dǎo)入新課 教室里的課桌面、黑板面相鄰的兩條邊，方格紙的橫線和豎線……這些給大家留下什么印象？在小組內(nèi)進(jìn)行討論． 二、探究新知 探究一：垂直的定義 教師出示相交線的模型，演示模型，并能引導(dǎo)學(xué)生觀察思考有關(guān)的問(wèn)題： 固定木條a，轉(zhuǎn)動(dòng)木條b，當(dāng)b的位置變化時(shí)，a、b所成的角α是如何變化的？其中會(huì)有特殊情況出現(xiàn)嗎？當(dāng)這種情況出現(xiàn)時(shí)，a、b所成的四個(gè)角有什么特殊關(guān)系？ 當(dāng)角α是直角時(shí)，它的鄰補(bǔ)角、對(duì)頂角都是直角，即a、b所成的四個(gè)角都是直角． 垂直的概念：兩條直線相交所成的四個(gè)角中，有一個(gè)角是直角時(shí)，叫做這兩條直線互相垂直，其中的一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點(diǎn)叫做垂足．記法：如圖，AB⊥CD，垂足為O. (2)符號(hào)語(yǔ)言：因?yàn)椤螦OD＝90° 所以AB⊥CD 探究二：垂線的性質(zhì) 用三角尺或量角器畫已知直線l的垂線． (1)經(jīng)過(guò)直線l上一點(diǎn)A畫l的垂線，這樣的垂線能畫出幾條？ (2)經(jīng)過(guò)直線l外一點(diǎn)B畫l的垂線，這樣的垂線能畫出幾條？ 垂線性質(zhì)1：在同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直。 【例】如圖，過(guò)點(diǎn)P畫出射線AB或線段AB的垂線． 思考：如圖，在灌溉時(shí)，要把河中的水引到農(nóng)田，如何挖渠能使渠道最短？ 探究：直線l外的一點(diǎn)P與直線上各點(diǎn)所連的線段中，哪條線段最短？ (1)畫出直線l及l(fā)外的一點(diǎn)P； (2)過(guò)P點(diǎn)作PO⊥l，垂足為O； (3)點(diǎn)A1、A2、A3……在l上，連接PA1、PA2、PA3…… (4)用疊合法或度量法比較PO、PA1、PA2、PA3……的長(zhǎng)短． 垂線性質(zhì)2：連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短． 簡(jiǎn)單說(shuō)成：垂線段最短． 點(diǎn)到直線的距離：直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度，叫做點(diǎn)到直線的距離． 三、課堂練習(xí) 1．過(guò)點(diǎn)P畫射線AM的垂線，Q為垂足． 2．過(guò)點(diǎn)P畫射線BN的垂線，交射線BN的反向延長(zhǎng)線于Q點(diǎn)． 3．過(guò)點(diǎn)P畫線段AB的垂線，交線段AB的延長(zhǎng)線于Q點(diǎn)． 4．判斷以下兩條直線是否互相垂直： 兩條直線相交所成的四個(gè)角中有一個(gè)是直角； 兩條直線相交所成的四個(gè)角相等； 兩條直線相交，有一組鄰補(bǔ)角相等； 兩條直線相交，對(duì)頂角互補(bǔ)． 5．判斷下列說(shuō)法是否正確，如果正確，請(qǐng)說(shuō)明理由；如果錯(cuò)誤，請(qǐng)訂正． (1)直線外一點(diǎn)與直線上一點(diǎn)間的線段的長(zhǎng)度是這一點(diǎn)到這條直線的距離； (2)如圖，線段AE的長(zhǎng)是點(diǎn)A到直線BC的距離； (3)如圖，線段CD是點(diǎn)C到直線AB的距離． 四、課堂小結(jié) 教師與學(xué)生一起回顧本節(jié)課所學(xué)知識(shí)，并請(qǐng)學(xué)生回答以下問(wèn)題： (1)你學(xué)到了哪些知識(shí)？ (2)你學(xué)會(huì)了哪些方法？ (3)你認(rèn)為應(yīng)注意哪些問(wèn)題？ (4)你還有哪些困惑？ 通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，指導(dǎo)探求解題的思路和方法，加深對(duì)概念的理解，做到熟練的應(yīng)用．通過(guò)經(jīng)歷觀察、操作、想象、歸納、交流等活動(dòng)，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的空間觀念，培養(yǎng)用幾何語(yǔ)言準(zhǔn)確表達(dá)的能力．在整個(gè)課堂中，同學(xué)們積極參與，大膽發(fā)言，達(dá)到了預(yù)期的效果．但有的同學(xué)仍然存在對(duì)概念理解不夠深刻，教師應(yīng)提醒他們?cè)谡n后需要加強(qiáng)針對(duì)練習(xí)． 7．1.3　兩條直線被第三條直線所截 1．理解同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的概念； 2．能結(jié)合圖形識(shí)別同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角； 3．激發(fā)求知欲，培養(yǎng)良好的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣、勤于動(dòng)腦的學(xué)習(xí)習(xí)慣． 重點(diǎn) 理解同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的概念． 難點(diǎn) 在復(fù)雜圖形中辨認(rèn)同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角． 一、導(dǎo)入新課 上一節(jié)課中我們主要學(xué)習(xí)兩條直線相交的情況，兩條直線相交時(shí)，可以形成哪幾種角？如果兩條直線被第三條直線所截時(shí)，還能形成以上的角嗎？是否還有其它類型的角呢？你能說(shuō)出它們的名字嗎？ 二、探究新知 教師組織學(xué)生討論：兩條直線和第三條直線相交的關(guān)系． 如圖：直線a1、a2被直線a3所截，構(gòu)成了八個(gè)角． 學(xué)生在教師的組織下完成以下活動(dòng)： 觀察∠1與∠5的位置：它們都在第三條直線a3的同側(cè)，并且分別位于直線a1、a2的同一側(cè)，具有這種位置關(guān)系的一對(duì)角叫作“同位角”． 觀察∠3與∠5的位置：它們分別在第三條直線a3的兩側(cè)，并且都位于兩條直線a1、a2之間，具有這種位置關(guān)系的一對(duì)角叫做“內(nèi)錯(cuò)角”． 觀察∠2與∠5的位置：它們都在第三條直線a3的同一旁，并且都位于兩條直線a1、a2之間，具有這種位置關(guān)系的一對(duì)角叫做“同旁內(nèi)角”． 學(xué)生通過(guò)小組合作交流，討論以下各對(duì)角的關(guān)系： ∠1與∠5；∠2與∠6；∠2與∠5；∠2與∠8； ∠3與∠5；∠3與∠7；∠3與∠8；∠4與∠8. 教師總結(jié)： 同位角：∠1和∠5，∠2和∠6，∠3和∠7，∠4和∠8. 內(nèi)錯(cuò)角：∠2和∠8，∠3和∠5. 同旁內(nèi)角：∠2和∠5，∠3和∠8. 【例】如圖，直線DE，BC被直線AB所截， (1)∠1與∠2、∠1與∠3、∠1與∠4各是什么角？為什么？ (2)如果∠1＝∠4，那么∠1與∠2相等嗎？∠1與∠3互補(bǔ)嗎？為什么？ 三、課堂練習(xí) 找出∠1、∠2、∠3中哪兩個(gè)是同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角． 四、課堂小結(jié) 本節(jié)課的內(nèi)容你都掌握了嗎？ 如何確定“三線”構(gòu)成的“八角”(注意“一個(gè)前提”)？如何根據(jù)“關(guān)系角”確定“三線”(注意找“前提”)? 五、課后作業(yè) 完成本課時(shí)對(duì)應(yīng)練習(xí)． 通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，大部分學(xué)生能明確構(gòu)成同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的條件，并能在各類圖形中找出各類角．但少數(shù)同學(xué)對(duì)各類角的識(shí)別還存在一定的困難，需提醒這些同學(xué)通過(guò)不斷練習(xí)來(lái)促使對(duì)知識(shí)的掌握． 7．2　平行線 7．2.1　平行線的概念 1．了解兩條直線的平行關(guān)系，理解平行線的定義及表示方法，掌握平行公理及其推論，提高識(shí)別平行線的能力； 2．通過(guò)用三角尺、量角器、方格紙畫平行線，積累操作活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)動(dòng)手操作能力和空間想象能力； 3．感受數(shù)學(xué)語(yǔ)言的整潔美，激發(fā)學(xué)生探索知識(shí)的熱情，把學(xué)到的知識(shí)應(yīng)用到生活中去，進(jìn)一步提高學(xué)生的參與意識(shí)和合作精神． 重點(diǎn) 探索和掌握平行公理及其推論． 難點(diǎn) 對(duì)平行線本質(zhì)屬性的理解，用幾何語(yǔ)言進(jìn)行推理． 一、導(dǎo)入新課 教師提問(wèn)：兩條直線相交有幾個(gè)交點(diǎn)？相交的兩條直線有什么特殊的位置關(guān)系？ 學(xué)生回答：兩條直線相交有且僅有一個(gè)交點(diǎn)． 教師提問(wèn)：在平面內(nèi)，兩條直線除了相交外，有其他的位置關(guān)系嗎？ 學(xué)生思考回答：不相交的情況． 二、探究新知 探究一：平行線的定義 如圖，將兩根木條a，b分別與木條c釘在一起，并把它們想象成在同一平面內(nèi)向兩端無(wú)限延伸的三條直線，固定木條b和c，轉(zhuǎn)動(dòng)木條a，直線a從在c的左側(cè)與直線b相交逐步變?yōu)樵赾的右側(cè)與直線b相交，想象一下，在這個(gè)過(guò)程中，有沒(méi)有直線a與直線b不相交的位置呢？ 可以發(fā)現(xiàn)，在木條a轉(zhuǎn)動(dòng)的過(guò)程中，存在直線a與b不相交的位置．在同一平面內(nèi)，當(dāng)直線a，b不相交時(shí)，我們說(shuō)直線a與b互相平行．記作“a∥b”．在同一平面內(nèi)，不重合的兩條直線只有兩種位置關(guān)系：相交與平行． 平行線定義的本質(zhì)屬性： 第一，同一平面內(nèi)的兩條直線； 第二，沒(méi)有交點(diǎn)的兩條直線． 可以借助直尺和三角尺畫平行線，如圖．保持直尺不動(dòng)，沿直尺推動(dòng)三角尺，分別畫直線a、b.則a∥b. 探究二：平行線的基本事實(shí)： 思考：在探究一轉(zhuǎn)動(dòng)木條a的過(guò)程中，有幾個(gè)位置使得直線a與b平行？ 如圖，過(guò)點(diǎn)B畫直線a的平行線，能畫出幾條？過(guò)點(diǎn)C呢？ 歸納總結(jié)： 平行公理：經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與已知直線平行． 由以上基本事實(shí)，可以進(jìn)一步得到如下結(jié)論： 如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線互相平行． 也就是說(shuō)：如果b∥a，c∥a，那么b∥c. 三、課堂練習(xí) 1．下列說(shuō)法正確的是(　　) A．在同一平面內(nèi)，不相交的兩條射線是平行線 B．在同一平面內(nèi)，不相交的兩條線段是平行線 C．在同一平面內(nèi)，兩條不重合的直線的位置關(guān)系不是相交就是平行 D．不相交的兩條直線是平行線 2．下列推理正確的是(　　) A．因?yàn)閍∥d，b∥c，所以c∥d B．因?yàn)閍∥c，b∥d，所以c∥d C．因?yàn)閍∥b，a∥c，所以b∥c D．因?yàn)閍∥b，c∥d，所以a∥c 3．完成下列推理，并在括號(hào)內(nèi)注明理由． (1)如圖，因?yàn)锳B∥DE，BC∥DE(已知)，所以A，B，C三點(diǎn)________(________________________________________________)； (2)如圖，因?yàn)锳B∥CD，CD∥EF(已知)，所以________∥________(________________________________________________). 四、課堂小結(jié) 本節(jié)課主要學(xué)習(xí)了平行線的概念及其表示方法，并學(xué)習(xí)了用直尺和三角尺畫平行線，通過(guò)具體的操作活動(dòng)，加深了學(xué)生對(duì)本節(jié)內(nèi)容的理解，并能靈活運(yùn)用． 五、課后作業(yè) 完成教材P12練習(xí)題． 通過(guò)本節(jié)課的教學(xué)，學(xué)生了解了平行線的概念、平面內(nèi)兩條直線的相交和平行的兩種位置關(guān)系，知道平行公理以及平行公理的推論，能在實(shí)際問(wèn)題中正確地進(jìn)行運(yùn)用． 7．2.2　平行線的判定 探索并掌握兩直線平行的判定條件，能根據(jù)平行線的判定解決有關(guān)問(wèn)題． 重點(diǎn) 探索并掌握直線平行的條件． 難點(diǎn) 能靈活運(yùn)用平行線的判定方法解決有關(guān)問(wèn)題． 一、導(dǎo)入新課 根據(jù)平行線的定義，如果平面內(nèi)的兩條直線不相交，就可以判斷這兩條直線平行． 但是，由于直線無(wú)限延伸，檢驗(yàn)它們是否相交有困難，所以難以直接根據(jù)定義來(lái)判斷兩條直線是否平行． 那么，有沒(méi)有其他判定方法呢？這是本課要研究的內(nèi)容之一． 二、探究新知 探究一：利用同位角判定兩直線平行 我們以前已學(xué)習(xí)過(guò)用三角尺和直尺畫平行線．在這一過(guò)程中，三角尺起著怎樣的作用？ 提問(wèn)：1.在畫圖過(guò)程中有沒(méi)有始終相等的兩個(gè)角？ 2．在畫圖過(guò)程中，三角尺起著什么作用？ 3．∠1和∠2的位置關(guān)系？ 可以看出，畫直線AB的平行線CD，實(shí)際上就是畫與∠2相等的∠1，而∠2和∠1正是直線AB，CD被直線EF截得的同位角．這說(shuō)明，如果同位角相等，那么AB∥CD. 判定方法1：兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行． 簡(jiǎn)單說(shuō)成：同位角相等，兩直線平行． 符號(hào)語(yǔ)言：∵∠1＝∠2(已知)， ∴AB∥CD(同位角相等，兩直線平行). 探究二：利用內(nèi)錯(cuò)角判定兩直線平行 如圖．直線a，b被直線c所截．內(nèi)錯(cuò)角∠1與∠2滿足什么條件時(shí)，能得出a∥b? 如果∠1＝∠2，由判定方法1，能得到a∥b. 理由如下：因?yàn)椤?＝∠2，而∠2＝∠4(對(duì)頂角相等)，所以∠1＝∠4.即同位角相等，從而a∥b. 判定方法2：兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯(cuò)角相等，那么這兩條直線平行． 簡(jiǎn)單說(shuō)成：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行． 符號(hào)語(yǔ)言：∵∠1＝∠3(已知)， ∴AB∥CD(內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行). 探究三：利用同旁內(nèi)角判定兩直線平行 直線a，b被直線c所截，讓同學(xué)們交流時(shí)討論得出結(jié)論． 同旁內(nèi)角∠1與∠3滿足什么條件的能得出a∥b? 判定方法3：兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補(bǔ)，那么這兩條直線平行． 簡(jiǎn)單說(shuō)成：同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行． 符號(hào)語(yǔ)言：∵∠1＋∠4＝180°(已知)， ∴AB∥CD(同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行). 【例】在同一平面內(nèi)，如果兩條直線都重直于同一條直線，那么這兩條直線平行嗎？為什么？ 如圖． 因?yàn)閎⊥a，c⊥a， 所以∠1＝∠2＝90°， 從而b∥c.(同位角相等，兩直線平行) 三、課堂練習(xí) 1．已知直線a，b被直線c所截，且∠1＋∠2＝180°，試判斷直線a，b的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由． 2．如圖，如果∠1＝∠2，那么________，其依據(jù)可以簡(jiǎn)單說(shuō)成(　　) A．AF∥CD；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行 B．AB∥CD；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行 C．AF∥CD；同位角相等，兩直線平行 D．AB∥CD；同位角相等，兩直線平行 3．如圖，下列條件中不能判定AB∥CD的是(　　) A.∠1＝∠2 B．∠3＝∠4 C．∠3＋∠5＝180° D．∠2＝∠3 四、課堂小結(jié) 通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你學(xué)到了哪些知識(shí)？你還有哪些困惑？ 五、課后作業(yè) 完成本節(jié)課對(duì)應(yīng)練習(xí)． 通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生理解并掌握了平行線的三種判定方法，在教學(xué)過(guò)程中運(yùn)用實(shí)例引導(dǎo)及提問(wèn)思考的教學(xué)方式，調(diào)動(dòng)學(xué)生的活動(dòng)積極性，使學(xué)生能夠更深入理解并運(yùn)用新知識(shí)． 7．2.3　平行線的性質(zhì) 第1課時(shí)　平行線的性質(zhì) 掌握平行線的三個(gè)性質(zhì)，并能用它們進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理和計(jì)算． 重點(diǎn) 探索并掌握平行線的性質(zhì)，能用平行線的性質(zhì)進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理和計(jì)算． 難點(diǎn) 能區(qū)分平行線的性質(zhì)和判定方法，平行線的性質(zhì)與判定的綜合應(yīng)用． 一、導(dǎo)入新課 現(xiàn)在同學(xué)們已經(jīng)掌握了利用同位角相等、內(nèi)錯(cuò)角相等或者同旁內(nèi)角互補(bǔ)判定兩條直線平行的三種方法．在這一節(jié)課里：大家把思維的指向反過(guò)來(lái)：如果兩條直線平行，那么同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的數(shù)量關(guān)系又如何表達(dá)？ 二、探究新知 教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行畫圖活動(dòng)： 用直尺和三角尺畫出兩條平行線a∥b，再畫一條截線c與直線a、b相交，標(biāo)出所形成的八個(gè)角(如圖所示). 學(xué)生測(cè)量這些角的度數(shù)，把結(jié)果填入表內(nèi)． 圖中哪些角是同位角？它們具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？ 再任意畫一條截線d，同樣度量并比較各對(duì)同位角的度數(shù)，上面的猜想還成立嗎？ 學(xué)生根據(jù)測(cè)量所得的數(shù)據(jù)作出猜想． 歸納：一般地，平行線具有性質(zhì)： 性質(zhì)1：兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等． 簡(jiǎn)單說(shuō)成：兩直線平行，同位角相等． 符號(hào)語(yǔ)言： ∵a∥b， ∴∠1＝∠2.(兩直線平行，同位角相等) 2．思考：你能由性質(zhì)1，推出兩條平行線被第三條直線截得的內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角各自的數(shù)量關(guān)系嗎？ 符號(hào)語(yǔ)言： ∵a∥b， ∴∠1＝∠2. 又∵∠2＝∠3， ∴∠1＝∠3. 性質(zhì)2：兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角相等 簡(jiǎn)單說(shuō)成：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等． 符號(hào)語(yǔ)言： ∵a∥b， ∴∠1＝∠2. ∵∠2＋∠4＝180°， ∴∠1＋∠4＝180°. 性質(zhì)3：兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ)． 簡(jiǎn)單說(shuō)成：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)． 【例】如圖，是一塊梯形鐵片的殘余部分，量得∠A＝100°，∠B＝115°，梯形的另外兩個(gè)角分別是多少度？ 三、課堂練習(xí) 1．如圖，平行線AB，CD被直線AE所截． (1)從∠1＝110°可以知道∠2是多少度？ (2)從∠1＝110°可以知道∠3是多少度？ (3)從∠1＝110°可以知道∠4是多少度？ 2．一輛汽車在筆直的公路上行駛，在兩次轉(zhuǎn)彎后，仍在原來(lái)的方向上平行前進(jìn)，那么這兩次轉(zhuǎn)彎的角度可以是(　　) A．先右轉(zhuǎn)80°，再左轉(zhuǎn)100° B．先左轉(zhuǎn)80°，再右轉(zhuǎn)80° C．先左轉(zhuǎn)80°，再左轉(zhuǎn)100° D．先右轉(zhuǎn)80°，再右轉(zhuǎn)80° 3．如圖，直線a∥b，∠1＝54°，那么∠2、∠3、∠4各多少度？ 四、課堂小結(jié) 1．平行線的性質(zhì)； 2．平行線的性質(zhì)與判定的區(qū)別． 五、課后作業(yè) 完成本節(jié)課對(duì)應(yīng)練習(xí)． 通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，同學(xué)們能掌握平行線的三條性質(zhì)并能利用這三條性質(zhì)進(jìn)行推理與論證，他們?cè)诮虒W(xué)活動(dòng)中積極地參與，并能及時(shí)地提出有關(guān)問(wèn)題和解決問(wèn)題的方法，達(dá)到了預(yù)期的教學(xué)目的． 第2課時(shí)　平行線的判定與性質(zhì)的綜合運(yùn)用 能夠綜合運(yùn)用平行線的性質(zhì)和判定方法解決有關(guān)問(wèn)題． 重點(diǎn) 平行線的性質(zhì)和判定方法的綜合運(yùn)用． 難點(diǎn) 能熟練地運(yùn)用平行線的性質(zhì)和判定方法解決相關(guān)問(wèn)題． 一、導(dǎo)入新課 已知：如圖，點(diǎn)E在AB的延長(zhǎng)線上，若AD∥BC，∠D＝100°，則∠C＝________；若∠DAE＝80°，∠CBE＝________，AD∥BC. 二、探究新知 探究一：平行線的性質(zhì)和判定的綜合運(yùn)用 【例1】如圖，已知直線a∥b，∠1＝∠3.那么直線c與d平行嗎？為什么？ 【例2】如圖，∠1＝∠2，∠3＝50°，∠ABC等于多少度？ 探究二：平行線拐點(diǎn)問(wèn)題 1．下列各圖中，已知AB∥EF，點(diǎn)C任意選取(在AB，EF之間，又在BF的左側(cè)).請(qǐng)測(cè)量各圖中∠B，∠C，∠F的度數(shù)并填入表格． 通過(guò)上述實(shí)踐，試猜想∠B，∠F，∠C之間的關(guān)系．寫出這種關(guān)系，試加以說(shuō)明． 依據(jù)題意，畫出類似圖(1)、圖(2)的圖形，測(cè)量并填表，并猜想：∠B＋∠F＝∠C. 教師分析后，學(xué)生先推理說(shuō)明，師生交流，教師給出說(shuō)理過(guò)程． 過(guò)點(diǎn)C作CD∥AB，因?yàn)锳B∥EF，CD∥AB，所以CD∥EF(兩條直線都與第三條直線平行，這兩條直線也互相平行)， 所以∠F＝∠FCD(兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等). 因?yàn)镃D∥AB， 所以∠B＝∠BCD(兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等). 所以∠B＋∠F＝∠BCF. 三、課堂練習(xí) 1．如圖，CF∥BG，∠C＝50°，當(dāng)∠B＝________時(shí)，CE∥AB. 2．如圖，在三角形ABC中，EF⊥AB，CD⊥AB，點(diǎn)G在AC上，∠1＝∠2.試說(shuō)明：∠DGC＋∠GCB＝180°. 四、課堂小結(jié) 平行線的性質(zhì)與判定方法在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用. 五、課后作業(yè) 完成本節(jié)課對(duì)應(yīng)練習(xí)． 通過(guò)本節(jié)課的教學(xué)，學(xué)生能理解并能夠綜合運(yùn)用平行線的性質(zhì)和判定方法解決有關(guān)問(wèn)題，學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性較高，能及時(shí)地提出問(wèn)題并能主動(dòng)地在小組內(nèi)解決問(wèn)題，但有條理地?cái)⑹鲞€存在一些問(wèn)題，今后教學(xué)中要不斷地補(bǔ)齊這個(gè)短板． 7．3　定義、命題、定理 1．了解命題的概念，能區(qū)分命題的條件和結(jié)論； 2．理解定義和定理的概念，知道定義是對(duì)概念的明確規(guī)定，定理是經(jīng)過(guò)證明的真命題； 3．會(huì)判斷一個(gè)語(yǔ)句是否為命題，能將命題改寫為“如果……那么……”的形式． 重點(diǎn) 理解命題的概念和區(qū)分命題的題設(shè)與結(jié)論． 難點(diǎn) 將命題改寫為“如果……那么……”的形式，并判斷其真假． 一、導(dǎo)入新課 教師出示下列問(wèn)題： 1．內(nèi)錯(cuò)角相等嗎？ 2．對(duì)頂角相等嗎？ 二、探究新知 (一)定義 對(duì)一些新的數(shù)學(xué)對(duì)象進(jìn)行清晰、明確的描述，例如： (1)規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和單位長(zhǎng)度的直線叫作數(shù)軸； (2)使方程左、右兩邊的值相等的未知數(shù)的值，叫作方程的解； (3)從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成兩個(gè)相等的角的射線，叫作這個(gè)角的平分線； (4)直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度，叫作點(diǎn)到直線的距離． 這樣的描述稱為數(shù)學(xué)對(duì)象的定義．一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的定義揭示了它的本質(zhì)特征．能夠幫助我們準(zhǔn)確的理解它，并作出準(zhǔn)確的判斷，例如“數(shù)軸”指的是一條直線，而且這條直線上有規(guī)定的原點(diǎn)、正方向和單位長(zhǎng)度；根據(jù)方程的解的定義，可以判斷x＝ eq \f(3,2) 是方程2x＝3的解． (二)命題 我們?cè)賮?lái)看一些可以判斷正確與否的陳述語(yǔ)句，例如： (1)等式兩邊加同一個(gè)數(shù)，結(jié)果仍相等； (2)對(duì)頂角相等： (3)如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行； (4)兩條平行直線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ)； (5)如果一個(gè)數(shù)能被2整除，那么它也能被4整除． 容易判斷，前4個(gè)語(yǔ)句都是正確的．第5個(gè)語(yǔ)句是錯(cuò)誤的．像這樣可以判斷為正確(或真)或錯(cuò)誤(或假)的陳述語(yǔ)句，叫作命題，被判斷為正確(或真)的命題叫作真命題，被判斷為錯(cuò)誤(或假)的命題叫作假命題． 命題的組成： 命題由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成，題設(shè)是已知事項(xiàng)，結(jié)論是由已知事項(xiàng)推出的事項(xiàng)． 命題通常寫成“如果……那么……”的形式，“如果”后接的部分是題設(shè)，“那么”后接的部分是結(jié)論． 有的命題沒(méi)有寫成“如果……那么……”的形式，題設(shè)與結(jié)論不明顯，這時(shí)要分清命題判斷了什么事情，有什么已知事項(xiàng)，再改寫成“如果……那么……”的形式． 教師出示問(wèn)題： 1．如果兩個(gè)角相等，那么它們是對(duì)頂角． 2．如果a>b，b>c，那么a>c. 3．如果兩個(gè)角互補(bǔ)，那么它們是鄰補(bǔ)角． 你認(rèn)為這幾句話對(duì)嗎？ 它們是不是命題？ 教師定義： 真命題：如果題設(shè)成立，那么結(jié)論一定成立的命題，叫做真命題．假命題：如果題設(shè)成立，不能保證結(jié)論一定成立的命題，叫做假命題． (3)定理 我們學(xué)過(guò)一些圖形的性質(zhì)，它們都是真命題，其中有些命題是基本事實(shí)，如“兩點(diǎn)確定一條直線”“過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與這條直線平行”等．還有一些命題，如“對(duì)頂角相等”“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”它們的正確性是經(jīng)過(guò)推理證實(shí)的，這樣的真命題叫作定理，定理也可以作為繼續(xù)推理的依據(jù)，在很多情況下，一個(gè)命題的正確性需要經(jīng)過(guò)推理才能作出判斷，這個(gè)推理過(guò)程叫作證明，下面以證明命題“在同一平面內(nèi)，如果一條直線垂直于兩條平行線中的一條，那么它也垂直于另一條”為例，來(lái)說(shuō)明什么是證明． 【例】如圖，已知直線b∥c，a⊥b.求證a⊥c. 證明：∵a⊥b(已知)， ∴∠1＝90°(垂直的定義). 又b∥c(已知)， ∴∠1＝∠2(兩直線平行，同位角相等)， ∴∠2＝∠1＝90°(等量代換)， ∴a⊥c(垂直的定義). 判斷一個(gè)命題是錯(cuò)誤的，只要舉出一個(gè)例子(反例)，它符合命題的題設(shè)，但不滿足結(jié)論就可以了． 例如，要判斷命題“相等的角是對(duì)頂角”是錯(cuò)誤的．可以舉出如下反例：如圖，OC是∠AOB的平分線，∠1＝∠2，但它們不是對(duì)頂角． 三、課堂練習(xí) 1．“等式兩邊乘同一個(gè)數(shù)，結(jié)果仍是等式”是命題嗎？它的題設(shè)和結(jié)論分別是什么？ 2．命題“兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角相等”正確嗎？命題“如果兩個(gè)角互補(bǔ)，那么它們是鄰補(bǔ)角”正確嗎？再舉出一些命題的例子，判斷它們是否正確． 解答：1.是命題，題設(shè)是“等式兩邊乘同一個(gè)數(shù)”，結(jié)論是“結(jié)果仍是等式”． 2．第一個(gè)命題正確，第二個(gè)命題錯(cuò)誤，舉例可以舉出如下反例：兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)． 3．完成第25頁(yè)第3題． 四、課堂小結(jié) 教師引導(dǎo)學(xué)生將本節(jié)課所學(xué)的知識(shí)形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)． 五、課后作業(yè) 完成本節(jié)課對(duì)應(yīng)練習(xí)． 本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容較簡(jiǎn)單，通過(guò)本節(jié)課的教學(xué)，學(xué)生能在了解命題的概念和區(qū)分命題的題設(shè)和結(jié)論的基礎(chǔ)上知道命題有真假之分，其中的真命題又叫做定理，對(duì)于假命題只要舉出反例加以說(shuō)明即可，其中的推理過(guò)程叫做證明． 7．4　平移 通過(guò)實(shí)例認(rèn)識(shí)平移，理解平移的含義，通過(guò)探究理解并掌握平移的性質(zhì)． 重點(diǎn) 探索并理解平移的性質(zhì)． 難點(diǎn) 對(duì)平移的認(rèn)識(shí)和平移的性質(zhì)的探索． 一、導(dǎo)入新課 教師出示課本如圖的圖案并引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行認(rèn)真的觀察： 分析出這些美麗的圖案是由若干個(gè)相同的圖案組合而成的． (1)它們有什么共同的特點(diǎn)？ (2)能否根據(jù)其中的一部分繪制出整個(gè)圖案？ 根據(jù)上述的特點(diǎn)，這五幅美麗的圖案可以根據(jù)上述分析的“基本圖形”按照一定的要求繪制出整個(gè)圖案． 二、探究新知 探究一：平移的概念 仔細(xì)觀察下面的圖案，它們有什么共同特征？能否根據(jù)其中的一部分繪制出整個(gè)圖案？ 可以發(fā)現(xiàn)，圖中的每個(gè)圖案都是由一些相同的圖形組成的，將其中的一個(gè)圖形平行移動(dòng)．就可以得到整個(gè)圖案． 一般地，在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形按某一方向移動(dòng)一定的距離．這樣的圖形運(yùn)動(dòng)叫作平移，圖形平移的方向不限于水平或垂直方向．圖形可以沿平面內(nèi)任何方向平移． 探究二：平移的性質(zhì) 如圖(1)，把一張半透明的紙蓋在一個(gè)四邊形上，在紙上描出四邊形．然后將這張紙沿著某一方向移動(dòng)一定距離，這兩個(gè)四邊形的形狀、大小有什么關(guān)系？ 如圖(2).在這兩個(gè)四邊形中．找出兩組對(duì)應(yīng)點(diǎn)A與A′，B與B′，連接它們得到線段AA′，BB′，AA′和BB′有什么位置關(guān)系？測(cè)量它們的長(zhǎng)度，它們的長(zhǎng)度有什么關(guān)系？ 歸納：把一個(gè)圖形平移，得到的新圖形具有下列特點(diǎn)： 1．新圖形與原圖形的形狀和大小完全相同． 2．新圖形中的每一點(diǎn)．都是由原圖形中的某一點(diǎn)移動(dòng)后得到的．這兩個(gè)點(diǎn)是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，連接各組對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線段平行(或在同一條直線上)且相等． 探究三：畫平移圖形 【例】如圖(1)，平移△ABC，使點(diǎn)A移動(dòng)到點(diǎn)A′.畫出平移后的三角形A′B′C′. 學(xué)生能由教師的引導(dǎo)完成解答過(guò)程： 解：如圖(2)，連接AA′，分別過(guò)B，C作AA′的平行線l，l′，在l上截取BB′＝AA′，在l′上截取CC′＝AA′，連接A′C′，A′B′，B′C′，則△A′B′C′為所求作的三角形． 教師引導(dǎo)學(xué)生舉出生活中利用平移的例子，如人在電梯上兩個(gè)不同時(shí)刻的位置關(guān)系及坐登山纜車時(shí)人在吊箱里兩個(gè)不同時(shí)刻的位置關(guān)系都是平移；黑板報(bào)中花邊設(shè)計(jì)利用了平移，奧運(yùn)會(huì)五環(huán)旗圖案五環(huán)之間通過(guò)平移得到…… 三、課堂練習(xí) 1．圖形經(jīng)過(guò)平移后，________圖形的位置，________圖形的形狀，________圖形的大?。?填“改變”或“不改變”) 2．經(jīng)過(guò)平移，每一組對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連成的線段________. 3．線段AB是線段CD平移后得到的圖形，點(diǎn)A為點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，在下圖中作出點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D的位置． 四、課堂小結(jié) 本節(jié)課你學(xué)會(huì)了哪些知識(shí)？還有哪些困惑？ 五、課后作業(yè) 完成本節(jié)課對(duì)應(yīng)練習(xí)． 本節(jié)課中，學(xué)生通過(guò)實(shí)例認(rèn)識(shí)平移，理解平移的含義，在老師的引導(dǎo)下，探究性質(zhì)個(gè)個(gè)參與，畫平移圖形人人動(dòng)手，教學(xué)效果很好．對(duì)平移的性質(zhì)2中括號(hào)里的內(nèi)容同學(xué)們往往被忽視，教師應(yīng)加以強(qiáng)調(diào). 角的名稱特征性質(zhì)相同點(diǎn)不同點(diǎn)鄰補(bǔ)角①兩條直線相交形成的角；②有公共頂點(diǎn)；③有一條公共邊．鄰補(bǔ)角互補(bǔ)對(duì)頂角①兩條直線相交形成的角；②有公共頂點(diǎn)；③沒(méi)有公共邊．對(duì)頂角相等①都是兩條直線相交形成的角；②都有一個(gè)公共頂點(diǎn)；③都是成對(duì)出現(xiàn)的．①鄰補(bǔ)角有公共邊，對(duì)頂角沒(méi)有公共邊；②兩條直線相交時(shí)，對(duì)頂角有兩對(duì)，鄰補(bǔ)角有四對(duì)．角∠1∠2∠3∠4度數(shù)角∠5∠6∠7∠8度數(shù)∠B∠C∠F∠B與∠F度數(shù)之和圖(1)圖(2)

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