第十章　二元一次方程組 10．1　二元一次方程組的概念 1．認識二元一次方程和二元一次方程組； 2．了解二元一次方程和二元一次方程組的解，會求二元一次方程的正整數(shù)解． 重點 理解二元一次方程組的解的意義． 難點 求二元一次方程的正整數(shù)解． 一、導入新課 新疆是我國棉花的主要產地之一．近年來，機械化采棉已經成為新疆棉采摘的主要方式．某種棉大戶租用6臺大、小兩種型號的采棉機，1 h就完成了8 hm2棉田的采摘．如果大型采棉機1 h完成2 hm2棉田的采摘，小型采棉機1 h完成1 hm2棉田的采摘，那么這個種棉大戶租用了大、小型采棉機各多少臺？ 二、探究新知 探究一：二元一次方程、二元一次方程組的概念． 思考：列方程要先找到相等關系，本章引言中的問題包含了哪些必須同時滿足的相等關系？若設這個種棉大戶租用了x臺大型采棉機，y臺小型采棉機，你能用方程把這些相等關系表示出來嗎？ 容易發(fā)現(xiàn)，問題包含兩個必須同時滿足的相等關系： 大型采棉機臺數(shù)＋小型采棉機臺數(shù)＝總臺數(shù)， 大型采棉機1 h采摘面積＋小型采棉機1 h采摘面積＝1 h采摘總面積 這兩個相等關系可以分別用方程x＋y＝6和2x＋y＝8表示． 根據上面列出的這兩個方程，提出如下問題： (1)上面兩個方程有什么特點？他們與一元一次方程有什么不同？ (2)你能給這兩個方程起個名字嗎？ 歸納：含有兩個未知數(shù)，并且未知數(shù)的指數(shù)都是1的方程，叫做二元一次方程． 在上面的問題中，包含兩個必須同時滿足的相等關系，也就是未知數(shù)x，y必須同時滿足方程x＋y＝6和2x＋y＝8，把這兩個方程合在一起，寫成 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝6，,2x＋y＝8.))  歸納：把具有相同未知數(shù)的兩個二元一次方程合在一起，就組成了一個二元一次方程組． 探究二：二元一次方程、二元一次方程組的解的概念 探究活動：滿足x＋y＝6，且符合問題的實際意義的值有哪些？請?zhí)钊氡碇校?教師啟發(fā)： (1)若不考慮此方程與上面實際問題的聯(lián)系，還可以取哪些值？ (2)你能模仿一元一次方程的解給二元一次方程的解下定義嗎？ (3)它與一元一次方程的解有什么區(qū)別？ 歸納：使二元一次方程兩邊相等的兩個未知數(shù)的值，叫作二元一次方程的解． 二元一次方程組的兩個方程的公共解叫做二元一次方程組的解． 注意： 二元一次方程組的解是成對出現(xiàn)的，用大括號來連接，記為 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝a，,y＝b.))  三、課堂練習 1．若mx＋y＝1是關于x，y的二元一次方程，那么(　　) A．m≠0　　　　　　B．m＝0 C．m是正有理數(shù) D．m是負有理數(shù) 2．下列各對數(shù)值中不是二元一次方程x＋2y＝2的解的是(　　) A． eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝0))  B． eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝2))  C． eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝1))  D． eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝0))  3．方程x＋2y＝7在自然數(shù)范圍內的解(　　) A．有無數(shù)組 B．有一組 C．有兩組 D．有四組 4．某校計劃安裝一批由太陽能電池板和路燈柱組成的智慧路燈，已知1個路燈柱配2個太陽能電池板，現(xiàn)有太陽能電池板和路燈柱共36個，問該校一共安裝多少個智慧路燈設太陽能電池板共安裝多少個智慧路燈？設太能電池板x個，路燈柱y個，則可列方程組為( A ) A． eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝36，,x＝2y)) 　　B． eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝36，,y＝2x))  C． eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y＝36，,x＝2y))  D． eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y＝36，,y＝2x))  5．若 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝1)) 是方程組 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋（m－1）y＝2，,nx＋＝1)) 的解，則m＋n＝________. 6．某校打算對新建成的多功能體育館中總共500平方米的籃球館和乒乓球館進行室內裝修，已知籃球館鋪設木地板，成本300元/平方米，乒乓球館鋪設運動塑膠，成本100元/平方米，設籃球館總面積為x平方米，乒乓球館總面積為y平方米，鋪設地面共花費69 000元，則根據題意可列關于x，y的方程為____________. 四、課堂小結 本節(jié)課學習了哪些內容？你有哪些收獲？(什么叫二元一次方程？什么叫二元一次方程組？什么叫二元一次方程組的解？) 五、課后作業(yè) 完成本節(jié)課對應練習． 本節(jié)課通過實例引出二元一次方程、二元一次方程組及它們的解的概念，在探究活動中，通過教師的引導，充分地調動學生學習的積極性、主動性，收到了較好的教學效果． 10．2　消元——解二元一次方程組 10．2.1　代入消元法 第1課時　用代入消元法解簡單的二元一次方程組 1．會用代入法解二元一次方程組； 2．了解解二元一次方程組時的“消元”思想和“化未知為已知”的化歸思想． 重點 用代入法解二元一次方程組． 難點 探索如何用代入法將“二元”轉化為“一元”的消元過程． 一、導入新課 在上一節(jié)中，我們已經看到，直接設兩個未知數(shù)：租用大型采棉機x臺，小型采棉機y臺，可以列方程組 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝6，,2x＋y＝8，)) 表示本章引言中問題包含的相等關系，如果只設一個未知數(shù)：設租用大型采棉機x臺，那么這個問題也可以用一元一次方程2x＋(6－x)＝8. 在上述問題中，我們也可以設出兩個未知數(shù)，列出二元一次方程組，那么怎樣解二元一次方程組呢？ 二、探究新知 教師引導： 思考：對于本章引言中的問題，采用不同的設未知數(shù)的方法，由問題中的相等關系，可以分別列出二元一次方程組和一元一次方程，你能由所列出的二元一次方程組得到所列的一元一次方程嗎？ 我們發(fā)現(xiàn)，二元一次方程組中第一個方程x＋y＝6可以寫為y＝6－x.由于兩個方程中的y都表示租用小型采棉機的臺數(shù)，所以可以通過等量代換，把第二個方程2x＋y＝8中的y換為6－x，這個方程就化為一元一次方程2x＋(6－x)＝8.解這個一元一次方程，得x＝2，將x＝2代入y＝6－x，得y＝4，從而得到這個方程組的解． 歸納：二元一次方程組中有兩個未知數(shù)，如果消去其中一個未知數(shù)，那么就可以把二元一次方程組轉化為我們熟悉的一元一次方程，我們可以先求出一個未知數(shù)，然后再求另一個未知數(shù)．這種將未知數(shù)的個數(shù)由多化少、逐一解決的思想．叫作消元思想． 上面的解法，是把二元一次方程組中一個方程的一個未知數(shù)用含另一個未知數(shù)的式子表示出來，再代入另一個方程，實現(xiàn)消元，進而求得這個二元一次方程組的解．這種解二元一次方程組的方法叫作代入消元法，簡稱代入法． 【例1】用代入法解方程組 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y＝3，①,3x－8y＝14.②))  分析：方程①中x的系數(shù)是1，用含y的式子表示x，比較簡便． 解：由①，得x＝y(tǒng)＋3.③ 把③代入②，得3(y＋3)－8y＝14. 解這個方程，得y＝－1. 把y＝－1代入③，得x＝2. 所以這個方程組的解是 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝－1.))  【例2】用代入法解方程組 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x－5y＝3，,2x－y＝16.))  三、課堂練習 1．二元一次方程組 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y＝－3，,2x＋y＝0)) 的解是(　　) A． eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝2))  B． eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝－2))  C． eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝－2))  D． eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝1))  2．方程組 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋3y＝4，,2x－3y＝－1)) 的解是(　　) A． eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝－1))  B． eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1))  C． eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝2))  D． eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝－1))  3．用代入法解二元一次方程組： (1) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝x－4，,x＋y＝6；)) 　　(2) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x－y＝－4，,x－2y＝－3.))  四、課堂小結 本節(jié)課你有什么收獲？與同伴進行交流． 五、課后作業(yè) 完成本節(jié)課對應練習． 通過創(chuàng)設教學情境，調動學生自覺參與學習活動的積極性，使知識的發(fā)現(xiàn)融于有趣的活動之中．由設未知數(shù)列一元一次方程的求解過程與二元一次方程組進行比較，輕松得到二元一次方程組的代入法的解法，這種比較可使學生在復習舊知識的同時，促使他們更好地對新知識的理解和掌握． 第2課時　用代入消元法解較復雜的二元一次方程組 1．會用代入法解較復雜的二元一次方程組； 2．會列二元一次方程組解決實際問題． 重點 用代入法解較復雜二元一次方程組． 難點 會列二元一次方程組解決實際問題． 一、導入新課 上面要解的二元一次方程組的兩個方程中都有一個未知數(shù)的系數(shù)為1或一1，下面再來看另外一些例子． 二、探究新知 【例1】用代入法解方程組．  eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－5y＝－11，①,9x＋7y＝39.②))  分析：這個方程組中x或者y的系數(shù)的絕對值都不是1，這個時候選未知數(shù)系數(shù)的絕對值較小的進行變形． 解：由①，得x＝ eq \f(5,2) y－ eq \f(11,2) ③ 把③代入②，得9( eq \f(5,2) y－ eq \f(11,2) )＋7y＝39 解這個方程，得y＝3 把y＝3代入③，得x＝2 所以這個方程組的解是 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝3))  【例2】快遞員把貨物送到客戶手中稱為送件，幫客戶寄出貨物稱為攬件．某快遞員星期一的送件數(shù)和攬件數(shù)分別為120件和45件，報酬為270元；他星期二的送件數(shù)和攬件數(shù)分別為90件和25件，報酬為185元，如果這名快遞員每送一件和每攬一件貨物的報酬分別相同，他每送一件和每攬一件的報酬各是多少元？ 分析：由題意可知， 送120件的報酬＋攬45件的報酬＝270， 送90件的報酬＋攬25件的報酬＝185. 由此可以列出方程組，通過解方程組解決問題． 解：設這名快遞員每送一件的報酬是x元，每攬一件的報酬是y元． 根據這名快遞員星期一和星期二取得的報酬滿足的相等關系，列得方程組 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(120x＋45y＝270，,90x＋25y＝185，))  這個方程組的解是 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1.5，,y＝2，))  答：這名快遞員每送一件的報酬是1.5元，每攬一件的報酬是2元． (1)列二元一次方程組解應用題的關鍵是：找出兩個等量關系． (2)列二元一次方程組解應用題的一般步驟分為：審、設、列、解、驗、答． 三、課堂練習 1．解方程組 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x,3)＋1＝y(tǒng)，①,2（x＋1）－y＝6.②))  2．根據市場調查，某種消毒液的大瓶裝(500 g)和小瓶裝(250 g)兩種產品的銷售數(shù)量(按瓶計算)比為2∶5.某廠每天生產這種消毒液22.5 t，這些消毒液應該分裝大、小瓶兩種產品各多少瓶？ 四、課堂小結 你從本節(jié)課的學習中體會到代入法的基本思路是什么？主要步驟有哪些？ 五、課后作業(yè) 完成本節(jié)課對應練習． 本節(jié)課涉及到兩個內容：一是用代入法解較復雜的方程組，二是列二元一次方程組解決實際問題．前者我們通過昨天的學習，已有一定的基礎，但要提醒學生計算要細心，后者重在引學生找等量關系列方程組． 10．2.2　加減消元法 第1課時　用加減法解簡單的二元一次方程組 1．掌握用加減法解二元一次方程組； 2．使學生理解加減消元法所體現(xiàn)的“化未知為已知”的化歸思想方法． 重點 用加減法解二元一次方程組． 難點 如何運用加減法進行消元． 一、導入新課 思考：前面我們用代入法求出了方程組 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝6①,2x＋y＝8②)) 的解，這個方程組的兩個方程中，y的系數(shù)有什么關系？利用這種關系，你能發(fā)現(xiàn)新的消元方法嗎？ 這兩個方程中未知數(shù)y的系數(shù)相等，②－①可以消去未知數(shù)y，得x＝2. 把x＝2代入①，得y＝4. 所以這個方程組的解是 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝4.))  二、探究新知 思考：聯(lián)系上面的解法，想一想怎樣解方程組  eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(3x＋10y＝2.8，①,15x－10y＝8.②)))  從上面兩個方程組的解法可以看出，當二元一次方程組的兩個方程中同一未知數(shù)的系數(shù)互為相反數(shù)或相等時，把這兩個方程的兩邊分別相加或相減，就能消去這個未知數(shù)，得到一個一元一次方程，進而求得二元一次方程組的解， 【例】用加減法解方程組  eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(3x＋\f(y,2)＝0，①,2x－\f(y,2)＝15.②)))  解：①＋②得：5x＝15， 所以x＝3. 把x＝3代入①，得y＝－18. 所以原方程組的解為 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝－18.))  歸納：用加減法解二元一次方程組的一般步驟： 第一步：如果某個未知數(shù)的系數(shù)互為相反數(shù)，可以把這兩個方程的兩邊分別相加，消去這個未知數(shù)求出另一個未知數(shù)的值；如果未知數(shù)的系數(shù)相等，可以直接把兩個方程的兩邊相減，消去這個未知數(shù)，求出未知數(shù)的值． 第二步：把所求得未知數(shù)的值代入計算量較小的方程中，求出另一個未知數(shù)的值． 第三步：寫出原方程組的解． 三、課堂練習 用加減法解下列方程組： (1) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y＝2，,2x＋y＝7；)) 　　　(2) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2y＝4，,x＋3y＝5；))  (3) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋3y＝1，,4x＋3y＝－2；))  (4) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2x＋3y＝－1，,2x－5y＝7.))  四、課堂小結 本節(jié)課你有什么收獲？與同伴交流． 五、課后作業(yè) 完成本節(jié)課對應練習． 前面我們學習了用代入法解方程組，今天學習的是用加減法解方程組．教師應告訴學生“代入法”和“加減法”是解二元一次方程組的基本方法，根據方程組的特點，哪種方法簡單我們就采用哪種方法．第2課時　用加減法解復雜的二元一次方程組 1．掌握用加減法解較復雜的二元一次方程組； 2．會列二元一次方程組解決實際問題． 重點 用加減法解較復雜的二元一次方程組． 難點 會列二元一次方程組解決實際問題． 一、導入新課 當二元一次方程組的兩個方程中同一個未知數(shù)的系數(shù)既不相等也不互為相反數(shù)時，能用加減法解方程組嗎？看下面的例子． 【例1】用加減法解方程組 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x－2y＝4，?、?7x＋4y＝18.　②))  二、探究新知 分析：這兩個方程中同一個未知數(shù)的系數(shù)既不相等也不互為相反數(shù)，直接把這兩個方程進行加減不能消元，觀察這兩個方程中未知數(shù)y的系數(shù)之間的關系，將①×2可以使兩個方程中y的系數(shù)互為相反數(shù)，就可以用加減法求解了． 解：①×2，得6x－4y＝8.③ ②＋③，得 13x＝26. x＝2. 把x＝2代入①，得 3×2－2y＝4. y＝1. 所以這個方程組的解是 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝1.))  歸納：用加減法解同一個未知數(shù)的系數(shù)絕對值不相等且不成整數(shù)倍的二元一次方程組時，把一個(或兩個)方程的兩邊乘以適當?shù)臄?shù)，使兩個方程中某一未知數(shù)的系數(shù)絕對值相等，從而化為第一類型的方程組求解． 【例2】我國古代數(shù)學著作《九章算術》中記載了這樣一道題： 今有牛五、羊二，直金十兩；牛二、羊五，直金八兩．問牛、羊各直金幾何？ 意思是：假設5頭牛、2只羊，共值金10兩；2頭牛、5只羊，共值金8兩．那么每頭牛、每只羊分別值金多少兩？你能解這個問題嗎？ 分析：由于每頭牛和每只羊的價格分別相等，所以根據“5頭牛、2只羊，共值金10兩；2頭牛、5只羊，共值金8兩”可列得方程組． 解：設每頭牛和每只羊分別值金x兩和y兩． 根據問題中的相等關系，列得方程組 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(5x＋2y＝10，①,2x＋5y＝8.②))  解這個方程組，得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(34,21)，,y＝\f(20,21)．))  答：每頭牛和每只羊分別值金 eq \f(34,21) 兩和 eq \f(20,21) 兩． 歸納解方程組方法： (一)用加減消元法解二元一次方程組的基本思路仍然是“消元”． (二)如果方程組中不存在某個未知數(shù)的系數(shù)絕對值相等，那么應選出一組系數(shù)(選最小公倍數(shù)較小的一組系數(shù))，求出它們的最小公倍數(shù)，然后將原方程組變形，使新方程組的這組系數(shù)的絕對值相等，再加減消元． (三)對于較復雜的二元一次方程組，應先化簡，再作如上加減消元的考慮． 三、課堂練習 1．解方程組： eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4x＋3y＝1，①,2x－5y＝7.②))  2．解方程組： eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2x＋3y＝－1，①,3x－5y＝7.②))  3. 2臺大收割機和5臺小收割機同時工作2 h共收割小麥3.6 hm2，3臺大收割機和2臺小收割機同時工作5 h共收割小麥8 hm2，1臺大收割機和1臺小收割機每小時各收割小麥多少公頃？ 四、課堂小結 請同學們回憶：加減消元法解二元一次方程組的基本思想是什么？用加減消元法解二元一次方程組的主要步驟有哪些？ 五、課后作業(yè) 1．用加減法解下列方程組時，你認為先消去哪個未知數(shù)較簡單，填寫消元的方法． (1) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x－2y＝15，①,5x－4y＝23.②)) 消元方法：________. (2) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(7m－3n＝1，①,2n＋3m＝－2.②)) 消元方法：________. 2．用加減法解下列方程組： (1) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4x＋y＝2，,4x－3y＝－6；)) 　　(2) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x＋2y＝－1，,x＋4y＝－7；))  (3) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x－2y＝5，,4x＋3y＝1；))  (4) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋4y＝9，,x－4y＝10.))  本節(jié)課的內容涉及到兩個方面：一是用加減法解較復雜的二元一次方程組，二是列二元一次方程組解決實際問題．前者教師應引導學生如何將不能直接用“加減法”消元的方程組轉化為可用“加減法”消元．后者重在引導學生尋找等量關系列方程組． 10．3　實際問題與二元一次方程組 第1課時　和差倍分與經濟生活問題 1．使學生會借助列二元一次方程組解決和差倍分和經濟生活中的實際問題，讓學生再次體會二元一次方程組與現(xiàn)實生活的聯(lián)系和作用； 2．通過應用題教學，學生進一步使用代數(shù)中的方程去反映現(xiàn)實世界中的等量關系，體會代數(shù)方法的優(yōu)越性． 重點 能根據題意找出等量關系，并能根據題意列二元一次方程組． 難點 正確找出問題中的兩個等量關系． 一、導入新課 復習提問： 列方程解應用題的步驟是什么？ 學生回答： 審題、設未知數(shù)、列方程、解方程、檢驗并作答． 教師講述： 前面我們結合實際問題，討論了用方程組表示問題中的條件以及如何解方程組．本節(jié)我們繼續(xù)探究如何用方程組解決實際問題． 教師出示問題： 【例1】養(yǎng)牛場原有30頭大牛和15頭小牛，一天約需用飼料675 kg；一周后又購進12頭大牛和5頭小牛，這時一天約需用飼料940 kg.飼養(yǎng)員李大叔估計平均每頭大牛1天約需用飼料18 kg～20 kg，每頭小牛1天約需用飼料7 kg～8 kg.你能否通過計算檢驗他的估計是否正確嗎？ 二、探究新知 根據問題中給定的數(shù)量關系如何計算平均每頭大牛和每頭小牛1天各約需用的飼料量？ 主要思路：  eq \x(實際問題)  eq \o(――→,\s\up7(設未知數(shù)),\s\do5(列方程組))  eq \x(\a\al(　　數(shù)學問題,（二元一次方程組）))  學生先獨立思考，然后師生共同討論解題過程. 問題： 1．題中有哪些已知量？哪些未知量． 2．題中的等量關系有哪些？ 3．如何解這個應用題？ 解：設平均每頭大牛和每頭小牛1天各約需用飼料x kg和y kg. 找出相等關系列方程組： eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(30x＋15y＝675，,42x＋20y＝940.))  解這個方程組，得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝20，,y＝5.))  這就是說，平均每頭大牛和每頭小牛1天各約需用飼料20 kg和5 kg.飼養(yǎng)員李大叔對大牛的食量估計正確，對小牛的食量估計不正確． 教師請同學們好好思考：以上問題還能列出不同的方程組嗎？結果是否一致？ (個別學生可能會列出如下方程組： eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(30x＋15y＝675，,12x＋5y＝265.)) 但結果一致．) 【例2】某商場購進甲、乙兩種服裝后，都加價40%再標價出售，春節(jié)期間商場搞優(yōu)惠促銷，決定將甲、乙兩種服裝分別按標價的八折和九折出售，某顧客購買甲、乙兩種服裝共付款182元，兩種服裝標價之和為210元，這兩種服裝的進價和標價各是多少元？ 分析：購買甲服裝的費用＋購買乙服裝的費用＝182元，甲服裝的標價＋乙服裝的標價＝210元． 解：設甲的進價為x元，乙的進價為y元，依 題意得： eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0.8×1.4x＋0.9×1.4y＝182，,1.4x＋1.4y＝210，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝50，,y＝100.)) 1.4×50＝70，1.4×100＝140.答：甲、乙進價分別為50元、100元，標價分別為70元、140元 三、課堂練習 1．某商場購進甲、乙兩種服裝后，都加價40%再標價出售，春節(jié)期間商場搞優(yōu)惠促銷，決定將甲、乙兩種服裝分別按標價的八折和九折出售，某顧客購買甲、乙兩種服裝共付款182元，兩種服裝標價之和為210元，這兩種服裝的進價和標價各是多少元？ 2．某所中學現(xiàn)在有學生4200人，計劃一年后初中在校生增加8%，高中在校生增加11%，這樣全校生將增加10%，這所學?，F(xiàn)在的初中在校生和高中在校生人數(shù)各是多少？ 3．有大、小兩種貨車，2輛大車與3輛小車一次可以運貨15.50噸，5輛大車與6輛小車一次可以運貨35噸，求3輛大車與5輛小車一次可以運貨多少噸？ 四、課堂小結 通過這節(jié)課的學習，你知道用方程組解決實際問題有哪些步驟嗎？ 五、課后作業(yè) 完成本節(jié)課對應練習． 本節(jié)課從實際問題出發(fā)，通過分析實際問題中的數(shù)量關系，列出二元一次方程組，通過對方程組解的檢驗，讓學生認識到檢驗不僅要檢查求得的解是否符合方程組中的每一個方程，而且還要考查所得的解答是否符合實際問題的要求，從而使學生初步體驗用方程組解決實際問題的全過程． 第2課時　幾何圖形與工程問題 1．經歷用方程組解決幾何圖形和工程問題的過程，體會方程組是刻畫現(xiàn)實世界的有效數(shù)學模型； 2．能夠找出實際問題中的已知數(shù)和未知數(shù)，分析它們之間的數(shù)量關系，列出方程組． 重點 分析已知數(shù)和未知數(shù)之間的關系． 難點 尋找等量關系． 一、導入新課 前面我們初步體驗了用方程組解決實際問題的全過程，其實生產、生活中還有許多問題也能用方程組解決． 教師出示問題： 【例1】據以往的統(tǒng)計資料，甲、乙兩種作物單位面積的產量比是1∶2.現(xiàn)要在一塊長200 m、寬100 m的長方形土地上種植這兩種作物，怎樣把這塊地劃分為兩塊長方形土地，使甲、乙兩種作物的總產量比是3∶4. 二、探究新知 探究一：幾何圖形問題 問題： 1．“甲、乙兩種作物單位面積的產量比是1∶2”是什么意思？ 2．“甲、乙兩種作物的總產量比為3∶4”是什么意思？ 3．本題中有哪些等量關系？ 提示：若甲種作物單位產量是a，那么乙種作物的單位產量是多少？ 1．先確定有兩種方法分割長方形，再分別求出兩個小長方形的面積，最后計算分割線的位置． 2．先求兩個小長方形的面積比，再計算分割線的位置． 3．設未知數(shù)，列方程組求解． 如圖，一種種植方案為：甲、乙兩種作物的種植區(qū)域分別為長方形AEFD和BCFE.設AE＝x m，BE＝y(tǒng) m，根據問題中涉及長度、產量的數(shù)量關系，列方程組得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝200，,100x∶\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×100y))＝3∶4，))  解這個方程組，得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝120，,y＝80，))  過長方形土地的長邊上離一端120 m處，作這條邊的垂線，把這塊土地分為兩塊長方形土地．較大一塊土地種植甲種作物．較小一塊土地種植種乙作物． 教師提問： 你還能設計別的種植方案嗎？ (用類似的方法，可沿平行于線段AB的方向分割長方形．) 教師巡視、指導，師生共同講評． 探究二：工程問題 【例2】某地為打造運河風光帶，雇用A，B兩個工程隊共同完成一段長為180 m的河道的清理任務．已知A工程隊每天清理12 m，B工程隊每天清理8 m，兩個工程隊工作天數(shù)之和為20天，A，B工程隊分別清理了多長的河道？ 分析：A工程隊清理河道的長度＋B工程隊清理河道的長度＝180 m，A工程隊所用的天數(shù)＋B工程隊所用的天數(shù)＝20天． 解：設A工程隊清理了x m的河道，B工程隊清理了y m的河道，由題意，得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝180，,\f(x,12)＋\f(y,8)＝20，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝60，,y＝120.))  答：A工程隊清理了60 m的河道，B工程隊清理了120 m的河道． 三、課堂練習 1．如圖，在長為10米，寬為8米的長方形空地上，沿平行于長方形邊的方向分割出三個形狀、大小完全一樣的小長方形花圃(陰影部分)，求其中一個長方形的長和寬． 2．在某地“鄉(xiāng)村振興”工作中，甲、乙兩個工程隊先后接力為某村莊修建條335米長的公路，甲隊每天修建20米，乙隊每天修建25米，一共用15天完成． (1)小紅同學根據題意，列出了一個方程組 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝15，,20x＋25y＝335，)) 請寫出小紅所列方程組中未知數(shù)x，y表示的意義：x表示________________，y表示________________； (2)小芳同學的思路是設甲工程隊一共修建了x米公路，乙工程隊一共修建了y米公路．請你按照小芳的思路列出方程組，并求出甲、乙隊各修建了多少米？ 四、課堂小結 通過本節(jié)課的學習，你對用列方程組解決實際問題的方法又有何新的認識？ 五、課后作業(yè) 完成本節(jié)課對應練習． 本課時例1有一定的難度，在教師的引導下，通過合作探究分析其數(shù)量關系，列出方程組，在完成解答后，教師提出“你還能設計別的種植方案嗎？”激發(fā)了同學們的學習興趣，拓展了學生的思維．在解決工程問題應用題，關鍵是要讓同學們掌握工作時間、工作效率、工作總量之間的關系，再結合題目中的數(shù)量關系列出方程組．第3課時　圖表信息與行程問題 1．進一步經歷列方程組解決圖表信息和行程問題應用題，體會方程組是刻畫現(xiàn)實世界的有效數(shù)學模型； 2．會用列表、畫圖的方式分析問題中所蘊涵的數(shù)量關系，列出二元一次方程組． 重點 用列表、畫圖的方法分析題意． 難點 借助列表、畫圖尋找等量關系． 一、導入新課 教師出示例題： 【例1】如圖，絲路紡織工廠與A，B兩地有公路、鐵路相連．這家工廠從A地購進一批長絨棉運回工廠，制成紡織面料運到B地．已知長絨棉的進價為3.08萬元/t，紡織面料出廠價為4.25萬元/t，公路運價為0.5元/(t·km)，鐵路運價為0.2元/(t·km)，這兩次運輸共支出公路運費5200元，鐵路運費16640元．這批紡織面料的銷售款比原料費與運輸費的和多多少元？ 二、探究新知 探究一：圖表信息 設問1：如何設未知數(shù)？ 銷售款與產品數(shù)量有關，原料費與原料數(shù)量有關，而公路運費和鐵路運費與產品數(shù)量和原料數(shù)量都有關．因此設購買x t長絨棉，制成y t紡織面料. 設問2：如何確定題中的數(shù)量關系？ 列表分析： 由上表可列方程組  eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0.5×（10x＋20y）＝5200，,0.2×（120x＋110y）＝16640，))  解這個方程組，得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝400，,y＝320，))  因為毛利潤＝銷售款－原料費－運輸費，所以這批產品的銷售款比原料費與運輸費的和多1258160元． 教師引導學生討論以上列方程組解決實際問題的思路： 合理設定未知數(shù)，找出相等關系． 探究二：行程問題 【例2】甲地到乙地由一段上坡路與一段平路組成，一位自行車越野賽運動員在兩地之間進行騎行訓練，如果他保持上坡的速度為30 km/h，平路的速度為40 km/h，下坡的速度為50 km/h，那么他從甲地騎到乙地需54 min，從乙地騎到甲地需42 min，甲地到乙地全程是多少千米？ 分析：從甲地到乙地分為兩段路程，即平路路程＋坡路路程，則從甲地到乙地的時間：上坡時間＋平路時間＝ eq \f(54,60)  h，從乙地到甲地的時間：平路時間＋下坡時間＝ eq \f(42,60)  h. 解：設平路路程為x km，坡路路程為y km，由題意，得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x,30)＋\f(y,40)＝\f(54,60)，,\f(y,40)＋\f(x,50)＝\f(42,60)，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝15，,y＝16.))  ∴全程：平路＋坡路＝31 km. 答：甲地到乙地全程是31 km. 三、課堂練習 1．甲，乙兩人相距42千米，兩人同時出發(fā)相向而行，兩小時后相遇；同時出發(fā)同向而行，甲14小時可追上乙，求甲，乙兩人的速度． 2．科技館門票價格規(guī)定如下表： 　　某學校七(1)班、七(2)班共103人去科技館，其中七(1)班有40多人，不足50人，經計算，如果兩個班都以班為單位購票，則一共應付1 686元． (1)七(2)班學生有多少人？ (2)如果兩個班聯(lián)合起來，作為一個團體購票，可以省________元． 四、課堂小結 1．在用二元一次方程組解決實際問題時，你會怎樣設定未知數(shù)，可借助哪些方式輔助分析問題中的相等關系？ 2．小組討論，試用框圖概括“用二元一次方程組分析和解決實際問題”的基本過程． 學生思考、討論、整理． 五、課后作業(yè) 完成本節(jié)課對應練習． 本課探究的問題信息量大、數(shù)量關系復雜、未知數(shù)不容易設定，對學生來說是一種挑戰(zhàn)，因此安排學生合作學習．學生先獨立思考、自主探索，然后在小組討論中合理設定未知數(shù)，借助表格分析題中的數(shù)量關系，列出方程組求得問題的解．在本節(jié)的小結中，讓學生結合自己的解題過程概括整理實際問題與二元一次方程組的關系，并比較完整地用框圖反映，培養(yǎng)了學生的模型化思想． *10.4　三元一次方程組的解法 第1課時　三元一次方程組及其解法 1．會解三元一次方程組； 2．感受“三元”化歸到“二元”，再由“二元”化歸到“一元”的數(shù)學思想． 重點 掌握三元一次方程組的解法． 難點 三元一次方程組如何化歸到二元一次方程組． 一、導入新課 問題：在一次足球聯(lián)賽中，一支球隊共參加了22場比賽．積47分，且勝的場數(shù)比負的場數(shù)的4倍多2.按照足球聯(lián)賽的積分規(guī)則．勝一場得3分，平一場得1分，負一場得0分，那么這支球隊勝、平、負各多少場？ 解決這個問題的一個自然的想法是，設這個球隊勝、平、負的場數(shù)分別為x，y，z.根據題意，可以得到下面三個方程： x＋y＋z＝22， 3x＋y＝47， x＝4z＋2. 二、探究新知 這個問題的解必須同時滿足上面三個條件，因此，我們把這三個方程合在一起．寫成  eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＋z＝22，,3x＋y＝47，,x＝4z＋2.))  歸納：這個方程組含有三個未知數(shù)，且含有未知數(shù)的式子都是整式，含有未知數(shù)的項的次數(shù)都是1，一共有三個方程，像這樣的方程組叫作三元一次方程組． 怎樣解三元一次方程組呢？我們知道，二元一次方程組可以利用代入法或加減法消去一個未知數(shù)，化成一元一次方程求解，那么，能不能按照同樣的思路，用代入法或加減法消去三元一次方程組的一個未知數(shù)，把它化成二元一次方程組呢？  eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＋z＝22，①,3x＋y＝47，②,x＝4z＋2.③))  仿照前面學過的代入法，可以把③分別代人①②并化簡，得到兩個只含y，z的方程y＋5z＝20和y＋12z＝41，它們組成方程組  eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＋5z＝20，,y＋12z＝41.))  解這個二元一次方程組，可以求出y和z，進而可以求出x  eq \x(三元一次方程組)  eq \o(――→,\s\up7(消元))  eq \x(二元一次方程組)  eq \o(――→,\s\up7(消元))  eq \x(一元一次方程)  【例】解三元一次方程組：  eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x＋4z＝7，,2x＋3y＋z＝9，,5x－9y＋7z＝8.))  三、課堂練習 解方程組： (1) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x＋2y＋z＝13，,x＋y＋2z＝7，,2x＋3y－z＝12；)) 　(2) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝27，,y＋z＝33，,z＋x＝30；))  (3) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x∶y＝3∶2，,y∶z＝5∶4，,x＋y＋z＝66.))  四、課堂小結 總結三元一次方程組的解法． 五、課后作業(yè) 完成本節(jié)課對應練習． 本節(jié)課學生在學習了二元一次方程組解法的基礎上學會了解簡單的三元一次方程組，并了解了感受解三元一次方程組的基本思想是：“三元”化歸到“二元”，再由“二元”化歸到“一元”的數(shù)學思想． 第2課時　三元一次方程組的簡單應用 1．會根據實際問題列出三元一次方程組，能熟練地運用代入法、加減法解三元一次方程組； 2．通過問題探究、合作交流，培養(yǎng)學生的分析問題和解決實際問題的能力． 重點 根據實際問題列出三元一次方程組． 難點 根據實際問題列出三元一次方程組，并靈活運用消元法求解． 一、導入新課 已知小樂、小王、小李三個同學年齡之和為26歲，小樂年齡的2倍與小王的年齡之和比小李大18歲，小樂比小李大1歲，求三個同學的年齡． 解決這個問題可設小樂x歲，小王y歲，小李z歲，依題意可列出三個方程：x＋y＋z＝26，x－1＝z，2x＋y＝z＋18 二、探究新知 因三個同學的年齡必須同時滿足上述三個方程，故將三個方程聯(lián)立在一起．  eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＋z＝26，,x－1＝z，,2x＋y＝z＋18.))  解三元一次方程的基本思路：  eq \x(\a\al(三元一次,方程組))  eq \o(――→,\s\up7(消元))  eq \x(\a\al(二元一次,方程組))  eq \o(――→,\s\up7(消元))  eq \x(\a\al(一元一次,方程))  【例1】在等式y(tǒng)＝ax2＋bx＋c中，當x＝－1時，y＝0；當x＝2時，y＝3；當x＝5時，y＝60.求a，b，c的值． 師生活動：教師引導學生分析解題思路，將a，b，c看作未知數(shù)，將x，y代入原式；可以得到一個三元一次方程組．  eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－b＋c＝0，①,4a＋2b＋c＝3，②,25a＋5b＋c＝60.③))  ②－①，得a＋b＝1.④ ③－①，得4a＋b＝10.⑤ ④與⑤組成二元一次方程組 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋b＝1，,4a＋6＝10.))  解這個方程組，得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝3，,b＝－2.))  把a＝3，b＝－2代入①，得c＝－5. 因此a，b，c的值分別為3，－2，－5. 【例2】一個三位數(shù)，各數(shù)位上的數(shù)的和為14，百位上的數(shù)的2倍減去十位上的數(shù)的差是個位上的數(shù)的 eq \f(1,3) ，如果把這個三位數(shù)個位上的數(shù)與百位上的數(shù)交換位置，那么所得的新數(shù)比原數(shù)小99，求這個三位數(shù)． 分析：把這個三位數(shù)各位上的數(shù)看成三個未知數(shù)，則根據題目中的三個相等關系，可以列三元一次方程組． 解：設這個三位數(shù)百位上的數(shù)為x，十位上的數(shù)為y，個位上的數(shù)為z.根據題意，列得三元一次方程組 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＋z＝14，,2x－y＝\f(1,3)z，,100z＋10y＋x＋99＝100x＋10y＋z，))  解這個方程組，得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝7，,z＝3.)) 因此這個三位數(shù)是473. 三、課堂練習 1．今年小新一家三口的歲數(shù)總和是80歲，爸爸比媽媽大3歲，媽媽的歲數(shù)恰好是小新歲數(shù)的5倍．問：今年爸爸、媽媽和小新分別多少歲？ 2．一個三位數(shù)，十位上的數(shù)字是個位上的數(shù)字的 eq \f(3,4) ，百位上的數(shù)字與十位上的數(shù)字之和比個位上的數(shù)字大1.將百位與個位上的數(shù)字對調后得到的新三位數(shù)比原三位數(shù)大495，求原三位數(shù)． 3．某農場300名職工耕種51公頃土地，計劃種植水稻、棉花和蔬菜，已知種植物每公頃所需的勞動力人數(shù)及投入的資金如下表： 已知該農場計劃投入67萬元，應該怎樣安排這三種作物的種植面積，才能使所有職工都有工作，而且投入的資金正好夠用？ 四、課堂小結 本節(jié)課你有什么收獲？和同伴交流一下． 五、課后作業(yè) 完成本節(jié)課對應練習． 在教學過程中，首先引導學生回顧二元一次方程組的實際應用方法，類比遷移到列三元一次方程組的學習中．強調了方程組的解與實際問題的解之間的對應關系，讓學生清晰地認識到如何通過設未知數(shù)構建起三元一次方程組是解決問題的關鍵．例題由易到難，有利于學生更好地理解和掌握新知識. x…y…長絨棉x t紡織面料y t合計公路運費(元)鐵路運費(元)價值(元)購票張數(shù)(張)1～5051～100100以上每張票價(元)181510農作物品種每公頃需勞動力每公頃需投入資金水稻4人1萬元棉花8人1萬元蔬菜5人2萬元

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