初中數(shù)學(xué)人教版（2024）九年級上冊24.1.1 圓同步測試題-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

考試范圍：第二十四章；考試時間：120分鐘；總分：120分
一、選擇題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）
1．（2021·浙江·杭州市建蘭中學(xué)九年級期中）已知的半徑為3cm，點A到圓心O的距離為2cm，那么點A與的位置關(guān)系是（）
A．點A在內(nèi)B．點A在上C．點A在外D．不能確定
【答案】A
【分析】根據(jù)點到圓心的距離d與圓的半徑r之間的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：由題意得：，故：，
∴點A在內(nèi)，
故選A．
【點睛】本題考查點與圓的位置關(guān)系：點到圓心的距離大于圓的半徑時，點在圓外，點到圓心的距離等于圓的半徑時，點在圓上，點到圓心的距離小于圓的半徑時，點在圓內(nèi)．
2．（2022·福建省福州延安中學(xué)九年級階段練習(xí)）下列四個命題中，真命題是( )
A．如果兩條弦相等，那么它們所對的圓心角相等
B．圓是軸對稱圖形，任何一條直徑都是圓的對稱軸
C．平分弦的直徑一定垂直于這條弦
D．等弧所對的圓周角相等
【答案】D
【分析】根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系對A進(jìn)行判斷，根據(jù)對稱軸的定義對B進(jìn)行判斷，根據(jù)垂徑定理的推論對C進(jìn)行判斷，根據(jù)圓周角定理的推論對D進(jìn)行判斷．
【詳解】解：A、在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么它們所對的圓心角相等，故此選項錯誤，不符合題意；
B、圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在的直線都是圓的對稱軸，故此選項錯誤，不符合題意；
C、平分弦（非直徑）的直徑一定垂直于這條弦，故此選項錯誤，不符合題意；
D、等弧所對的圓周角相等正確，故此選項正確，符合題意，
故選：D．
【點睛】本題考查了命題與定理的知識，解題的關(guān)鍵是掌握圓心角、弧、弦的關(guān)系，圓的對稱性，垂徑定理及圓周角定理的推論．
3．（2022·湖北孝感·九年級期末）點P到⊙O的最近點的距離為2cm，最遠(yuǎn)點的距離為7cm，則⊙O的半徑是（）
A．5cm或9cmB．2.5cm
C．4.5cmD．2.5cm或4.5cm
【答案】D
【分析】根據(jù)已知條件能求出圓的直徑，即可求出半徑，此題點的位置不確定所以要分類討論．
【詳解】解：①當(dāng)點在圓外時，
∵圓外一點和圓周的最短距離為2cm，最長距離為7cm，
∴圓的直徑為7﹣2＝5（cm），
∴該圓的半徑是2.5cm；
②當(dāng)點在圓內(nèi)時，
∵點到圓周的最短距離為2cm，最長距離為7cm，
∴圓的直徑＝7+2＝9（cm），
∴圓的半徑為4.5cm，
故選：D．
【點睛】本題考查了點和圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，能根據(jù)已知條件求出圓的直徑是解此題的關(guān)鍵．
4．（2022·北京·人大附中九年級階段練習(xí)）如圖，為的直徑，點C，D在上，若，則的度數(shù)為（）
A．25°B．30°C．40°D．50°
【答案】C
【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對角互補求得，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角可得，根據(jù)直角三角形的兩個銳角互余即可求解．
【詳解】解：∵為的直徑，
∴，
∵四邊形是圓內(nèi)接四邊形，，
∴，
∴．
故選：C．
【點睛】本題考查了圓內(nèi)接四邊形對角互補，直徑所對的圓周角是直角，直角三角形兩個銳角互余，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．
5．（2022·全國·九年級單元測試）在圓內(nèi)接正六邊形ABCDEF中，正六邊形的邊長為2，則這個正六邊形的中心角和邊心距分別是（）
A．30°，1B．45°，2C．60°，D．120°，4
【答案】C
【分析】根據(jù)中心角的定義可得這個正六邊形的中心角，如圖（見解析），過圓心作于點，先根據(jù)等邊三角形的判定可得是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，再利用勾股定理即可得．
【詳解】解：這個正六邊形的中心角為，
如圖，過圓心作于點，
，
是等邊三角形，
，
，
即這個正六邊形的邊心距為，
故選：C．
【點睛】本題考查了正多邊形的中心角和邊心距、等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理，熟練掌握正多邊形的中心角和邊心距的概念是解題關(guān)鍵．
6．（2022·全國·九年級單元測試）如圖，AB過半⊙O的圓心O，過點B作半⊙O的切線BC，切點為點C，連接AC，若∠A＝25°，則∠B的度數(shù)是（）
A．65°B．50°C．40°D．25°
【答案】C
【分析】連接OC，根據(jù)切線的性質(zhì)，得出∠OCB＝90°，再利用圓的半徑相等，結(jié)合等邊對等角，得出∠A＝∠OCA，然后再利用三角形的外角和定理，得出∠BOC的度數(shù)，再利用直角三角形兩銳角互余，即可得出∠B的度數(shù)．
【詳解】解：連接OC，
∵BC與半⊙O相切于點C，
∴∠OCB＝90°，
∵∠A＝25°，
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠OCA，
∴∠BOC＝2∠A＝50°，
∴∠B＝90°﹣∠BOC＝40°．
故選：C
【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)、等邊對等角、三角形外角和定理、直角三角形兩銳角互余，解本題的關(guān)鍵在熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)、定理．
二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）
7．（2022·北京市朝陽區(qū)人大附中朝陽分校九年級階段練習(xí)）如圖，點A、B、C在⊙O上，∠C＝45°，半徑OB的長為3，則AB的長為_____．
【答案】
【分析】首先根據(jù)圓周角定理求出∠AOB的度數(shù)，然后解直角三角形求出AB的長．
【詳解】根據(jù)題意可知，
，
∠AOB=2∠ACB=，
又知OA=OB=3，

故答案為: ．
【點睛】本題考查圓周角定理以及勾股定理，熟練掌握同弧所對圓周角是圓心角的一半是解題的關(guān)鍵.
8．（2022·湖南·長沙市中雅培粹學(xué)校九年級階段練習(xí)）如圖，用直角曲尺檢查半圓形的工件，其中合格的是圖____________ （填“甲”、“乙”或“丙”）．
【答案】乙
【分析】根據(jù)90°圓周角所對的弦是直徑即可判斷．
【詳解】解：∵90°的圓周角所對的弦是直徑，
∴乙合格．
故答案為乙．
【點睛】本題考查圓周角定理、解題的關(guān)鍵是靈活運用圓周角定理解決問題，屬于中考常考題型．
9．（2021·云南·富源縣第七中學(xué)九年級期中）如圖，EB，EC是⊙O的兩條切線，B，C是切點，A，D是⊙O上兩點，如果∠E＝50°，∠DCF＝35°，那么∠A＝________．
【答案】100°##100度
【分析】根據(jù)EB、EC是⊙O的兩條切線，∠E=50°計算出∠BOC=130°，再根據(jù)計算出∠BAC，最終計算出∠A．
【詳解】解：如圖，連接OB，OC，AC，OD，BD,
∵EB、EC是⊙O的兩條切線，∠E=50°，∠DCF=35°，
∴，
∵∠DCF=35°，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在四邊形BECO中，，
∴，
∴，
∴∠BAD=35°+65°=100°，
故答案為100°．
【點睛】本題考查圓、切線和四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握圓周角定理和切線的性質(zhì)定理．
10．（2022·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，點O為正六邊形ABCDEF的中心，連接AC，若正六邊形的邊長為2，則點O到AC的距離OG的長為 __．
【答案】1
【分析】連接OA、OC、OD，證△OCD是等邊三角形，得OC＝CD＝2，∠OCD＝60°，再證∠OCG＝30°，然后由含30°角的直角三角形的性質(zhì)求解即可．
【詳解】解：連接OA、OC、OD，如圖所示：
∵點O為正六邊形ABCDEF的中心，邊長為2，
∴∠B＝∠BCD＝（6﹣2）×180°÷6＝120°，OC＝OD，∠COD60°，AB＝BC＝CD＝2，
∴∠BCA＝∠BAC＝30°，△OCD是等邊三角形，
∴OC＝CD＝2，∠OCD＝60°，
∴∠OCG＝120°﹣30°﹣60°＝30°，
∵OG⊥AC，
∴OGOC＝1，
即點O到AC的距離OG的長為1，
故答案為：1．
【點睛】本題考查了正多邊形和圓、等邊三角形的判定與性質(zhì)以及含30°角的直角三角形的性質(zhì)等知識，熟練掌握正六邊形的性質(zhì)，證明△OCD為等邊三角形是解題的關(guān)鍵．
11．（2021·浙江·溫州市實驗中學(xué)九年級期中）如圖1，哥特式尖拱是由兩段不同圓心的圓弧組成的軸對稱圖形，叫做兩心尖拱．如圖2，已知P，Q分別是和所在圓的圓心，且均在AB上，若PQ＝2m，AB＝6m，則拱高CD的長為 _____m．
【答案】
【分析】如圖，連接CQ，然后求出PD、PC的長，最后利用勾股定理求解即可．
【詳解】解：如圖，連接CQ．
由題意CQ＝CP，CD⊥PQ，
∴DQ＝DP＝PQ＝1（m），
∵PA＝QB，
∴AQ＝PB＝（AB﹣PQ）＝2（m），
∴PC＝PA＝2+2＝4（m），
∴CD＝＝＝（m），
故答案為：．
【點睛】本題主要考查了勾股定理、垂徑定理等知識點，掌握垂直于弦的直徑平分這條弦是解答本題的關(guān)鍵．
12．（2022·江蘇·九年級課時練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸、軸分別交于點、，半徑為的的圓心從點（點在直線上）出發(fā)以每秒個單位長度的速度沿射線運動，設(shè)點運動的時間為秒，則當(dāng)______時，與坐標(biāo)軸相切．
【答案】1或3或5
【分析】設(shè)與坐標(biāo)軸的切點為，根據(jù)已知條件得到，，，求得，，，證明出是等腰直角三角形，，然后分三種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)與軸相切時，②如圖，與軸和軸都相切時，③當(dāng)點只與軸相切時．
【詳解】解：設(shè)與坐標(biāo)軸的切點為，
直線與軸、軸分別交于點、，點，
時，，
時，，
時，，
，，，
根據(jù)勾股定理：，，，
是等腰直角三角形，，
①當(dāng)與軸相切時，
點是切點，的半徑是1，
軸，，
是等腰直角三角形，
，，
，
點的速度為每秒個單位長度，
；
②如圖，與軸和軸都相切時，
，
，
點的速度為每秒個單位長度，
；
③當(dāng)點只與軸相切時，
，
，
點的速度為每秒個單位長度，
．
綜上所述，則當(dāng)或3或5秒時，與坐標(biāo)軸相切，
故答案為：1或3或5．
【點睛】本題考查了切線的判定，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理，解題的關(guān)鍵是掌握切線的判定及性質(zhì)，利用分類討論的思想求解．
三、（本大題共5小題，每小題6分，共30分）
13．（2022·江蘇·沭陽縣潼陽中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（0，4）、B（4，4）、C（6，2）．設(shè)經(jīng)過A、B、C三點的圓弧所在的圓的圓心為點M，
(1)點M的坐標(biāo)為；
(2)點D（5，﹣2）在⊙M （填“內(nèi)”、“外”、“上”）．
【答案】(1)（2，0）
(2)內(nèi)
【分析】（1）由網(wǎng)絡(luò)可得出線段AB和BC的垂直平分線的交點，這個交點即為圓心M，進(jìn)而可得點M的坐標(biāo)；
（2）利用勾股定理求出AM和MD的長，根據(jù)點與圓的位置關(guān)系即可作出結(jié)論．
（1）
解：如圖，作線段AB和BC的垂直平分線，它們的交點為圓心M，則點M坐標(biāo)為（2，0），
故答案為：（2，0）；
（2）
解：由圖知，圓的半徑，，
∵，
∴點D在圓M內(nèi)，
故答案為：內(nèi)．
【點睛】本題考查了垂徑定理、勾股定理、點與圓的位置關(guān)系以及坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是利用網(wǎng)格結(jié)構(gòu)得出圓心M的位置，并熟知點與圓的位置關(guān)系：設(shè)圓半徑為r，點與圓心的距離為d，當(dāng)d＜r時，點在圓內(nèi)；當(dāng)d=r時，點在圓上；當(dāng)d＞r時，點在圓外．
14．（2022·河北邢臺·九年級期末）已知正六邊形ABCDEF的中心為O，半徑OA＝6．
(1)求正六邊形的邊長；
(2)以A為圓心，AF為半徑畫弧BF，求．
【答案】(1)6
(2)4π
【分析】（1）根據(jù)正六邊形的邊長與半徑相等即可解決問題；
（2）由正六邊形的性質(zhì)和弧長公式即可得出結(jié)果．
（1）解：∵六邊形ABCDEF是正六邊形，∴正六邊形的邊長＝半徑OA＝6；
（2）∵六邊形ABCDEF是正六邊形，∴∠BCF＝120°，∴弧BF的長為．
【點睛】本題考查了正多邊形和圓、弧長公式；熟練掌握正六邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
15．（2022·湖南邵陽·中考真題）如圖，已知是的直徑，點為延長線上一點，是的切線，點為切點，且．
(1)求的度數(shù)；
(2)若的半徑為3，求圓弧的長．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）證明是等邊三角形，得到，從而計算出的度數(shù)；
（2）計算出圓弧的圓心角，根據(jù)圓弧弧長公式計算出最終的答案．
（1）
如下圖，連接AO
∵是的切線
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∴是等邊三角形
∴
∵
∴
（2）
∵
∴
圓弧的長為：
∴圓弧的長為．
【點睛】本題考查全等三角形、等腰三角形、等邊三角形和圓的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形、等腰三角形、等邊三角形和圓的相關(guān)知識．
16．（2022·全國·九年級課時練習(xí)）如圖，為正五邊形的外接圓，已知，請用無刻度直尺完成下列作圖，保留必要的畫圖痕跡．
(1)在圖1中的邊上求作點，使；
(2)在圖2中的邊上求作點，使．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】（1）連接AO并延長與CD相交，連接EF交AO延長線于M，連接BM與DE的交點即為所求作；
（2）在（1）的基礎(chǔ)上，連接BO并延長與DE相交，連接AG交BO延長線于N，連接CN并延長即可．
（1）
連接AO并延長與CD相交，連接EF交AO延長線于M，連接BM交DE于點G，則點G為所求作，如圖1所示；
理由：
∵⊙O為正五邊形的外接圓，
∴直線AO是正五邊形ABCDE的一條對稱軸，點B與點E、點C與點D分別是一對對稱點．
∵點M在直線AO上，
∴射線BM與射線EF關(guān)于直線AO對稱，從而點F與點G關(guān)于直線AO對稱，
∴CF與DG關(guān)于直線AO對稱．
∴DG=CF．
（2）
在（1）的基礎(chǔ)上，連接BO并延長與DE相交，連接AG交BO延長線于N，連接CN，如圖2所示；
【點睛】本題考查了作圖：無刻度直尺作圖，考查了正五邊形的對稱性質(zhì)，掌握正五邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
17．（2022·湖南·長沙麓山國際實驗學(xué)校九年級階段練習(xí)）如圖，AB是⊙O的弦，P是⊙O上一個動點（不與A，B重合），過O作OC⊥AP于點C，OD⊥BP于點D．
(1)試判斷CD與AB的數(shù)量和位置關(guān)系？并說明理由；
(2)若，AP=4，則⊙O的半徑為________．（直接寫出答案）
【答案】(1)，，理由見解析
(2)
【分析】（1）先根據(jù)垂徑定理得到，然后根據(jù)三角形中位線定理判斷與的關(guān)系；
（2）連接，根據(jù)圓周角定理可得，勾股定理即可求解．
（1）
解：，．
理由：∵于點，于點，
∴，，
∴為的中位線，
∴，．
（2）
解：如圖，連接，
∵，
∴，
在中，AP=4，
∴，
解得（負(fù)值舍去）．
∴的半徑為．
【點睛】本題考查了垂徑定理，中位線的性質(zhì)，勾股定理，圓周角定理，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．
四、（本大題共3小題，每小題8分，共24分）
18．（2021·江蘇·阜寧縣實驗初級中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖，⊙O的弦AB、DC的延長線相交于點E．
(1)如圖1，若為120°，為50°，求∠E的度數(shù)；
(2)如圖2，若AE＝DE，求證：AB＝CD．
【答案】(1)∠E＝35°
(2)見解析
【分析】（1）先求出∠ACD，∠BAC的度數(shù)，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得出答案；
（2）先根據(jù)“ASA”證明△ACE≌△DBE，得出BE=CE，再結(jié)合已知條件得出答案即可.
（1）
連接AC，
∵為120°，為50°，
∴，，
∴∠E＝∠ACD-∠BAC＝60°-25°＝35°；
（2）
證明：連接AC、BD，
∵，
∴∠A＝∠D，
在△ACE和△DBE中，
，
∴△ACE≌△DBE（ASA），
∴BE＝CE，
∵AE＝DE，
∴AE-BE＝DE-CE，
即AB＝CD．
【點睛】本題考查了圓的相關(guān)計算與證明，三角形全等的判定和性質(zhì)，正確理解圓心角、弧與弦的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
19．（2021·廣東惠州·九年級期末）如圖在中，∠C=90o，以AC為直徑作⊙O，交AB于D，過O作OEAB，交BC于E．
(1)求證：DE是⊙O的切線；
(2)如果⊙O的半徑為3，DE=4，求AB的長；
(3)在（2）的條件下，求△ADO的面積．
【答案】(1)證明見解析
(2)
(3)
【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)，得出，再根據(jù)等邊對等角，得出，再根據(jù)等量代換，得出，再利用，得出，進(jìn)而得出，進(jìn)而得出，即可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)（1），得出是直角三角形，根據(jù)勾股定理，得出，再根據(jù)三角形的中位線定理，即可得出AB的長；
（3）連接CD，根據(jù)圓周角定理，得出，再根據(jù)等面積法，得出的長，然后根據(jù)勾股定理，得出的長，再根據(jù)三角形的面積公式，得出的面積，再根據(jù)三角形中線平分三角形的面積，即可得出的面積．
（1）
證明：如圖，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∴DE是⊙O的切線．
（2）
解：由（1），可得：三角形是直角三角形，
在中，
∵，
∴，
又∵O、E分別是AC、BC的中點，
∴；
（3）
解：如圖，連接CD，
∵是直徑，
∴，
在中，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∵O是AC中點，即OD是的中線，
∴．
【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)、等邊對等角、全等三角形的性質(zhì)與判定、切線判定定理、勾股定理、三角形的中位線定理、圓周角定理、三角形中線的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵在熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)定理．
20．（2022·江蘇·泰州市姜堰區(qū)南苑學(xué)校九年級）如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，O是BA上一點，以O(shè)為圓心，OB為半徑的圓與AB交于點P，與AC相切于點D，已知AB=8，⊙O的半徑為r．
(1)如圖1，若AP=DP，則⊙O的半徑r值為_______；
(2)求BC=6，求⊙O的半徑r長；
(3)若AD的垂直平分線和⊙O有公共點，求半徑r的取值范圍．
【答案】(1)
(2)3
(3)
【分析】（1）連接OD，由切線的性質(zhì)可得∠ADO=90°，由AP=DP，得∠PDA=∠A，再由等角的余角相等證明∠PDO=∠POD，則AP=OP=OB=r，列方程可求出r的值；
（2）連接OC、OD，由勾股定理求出AC的長，再根據(jù)面積等式列方程即可求出r的值；
（3）設(shè)AD的垂直平分線交AD于點F，與的一個交點為點E，當(dāng)EF與相切時r的值最小，可求出r的最小值；再由OB+OD

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