問題1 什么是正方形？正方形有哪些性質(zhì)？
正方形：有一組鄰邊相等，并且有一個角是直角的平行四邊形.正方形性質(zhì)：①四個角都是直角; ②四條邊都相等; ③對角線相等且互相垂直平分.
問題2 你是如何判斷是矩形、菱形？
思考 怎樣判定一個四邊形是正方形呢？
活動1 準備一張矩形的紙片，按照下圖折疊,然后展開，折疊部分得到一個正方形，可量一量驗證驗證.
猜想 滿足怎樣條件的矩形是正方形？
已知：如圖,在矩形ABCD中,AC , DB是它的兩條對角線, AC⊥DB.求證：四邊形ABCD是正方形.證明：∵四邊形ABCD是矩形, ∴ AO=CO=BO=DO ，∠ADC=90°. ∵AC⊥DB, ∴ AD=AB=BC=CD, ∴四邊形ABCD是正方形.
對角線互相垂直的矩形是正方形.
活動2 把可以活動的菱形框架的一個角變?yōu)橹苯?，觀察這時菱形框架的形狀.量量看是不是正方形.
猜想 滿足怎樣條件的菱形是正方形？
已知：如圖,在菱形ABCD中,AC , DB是它的兩條對角線, AC=DB.求證：四邊形ABCD是正方形.證明：∵四邊形ABCD是菱形,∴AB=BC=CD=AD,AC⊥DB.∵AC=DB,∴ AO=BO=CO=DO,∴△AOD,△AOB,△COD,△BOC是等腰直角三角形，∴∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°, ∴四邊形ABCD是正方形.
對角線相等的菱形是正方形.
正方形判定的幾條途徑：
在四邊形ABCD中，O是對角線的交點，能判定這個四邊形是正方形的是（ ）
A．AC=BD，AB∥CD，AB=CDB．AD∥BC，∠A=∠CC．AO=BO=CO=DO，AC⊥BDD．AO=CO，BO=DO，AB=BC
例1 在正方形ABCD中，點E、F、M、N分別在各邊上，且AE=BF=CM=DN．四邊形EFMN是正方形嗎?為什么?
證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=DA，∠A=∠B=∠C=∠D=90°.∵AE=BF=CM=DN，∴AN=BE=CF=DM.
分析：由已知可證△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM，得四邊形EFMN是菱形，再證有一個角是直角即可.
在△AEN、△BFE、△CMF、△DNM中， AE=BF=CM=DN, ∠A=∠B=∠C=∠D, AN=BE=CF=DM,∴△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM,∴EN=FE=MF=NM，∠ANE=∠BEF,∴四邊形EFMN是菱形， ∠NEF=180°－（∠AEN+∠BEF） =180°－（∠AEN+∠ANE） =180°－90°=90°.∴四邊形EFMN是正方形 .
證明：∵ DE⊥AC，DF⊥AB ，∴∠DEC= ∠DFC=90°.又∵ ∠C=90 °，∴四邊形ADFC是矩形.過點D作DG⊥AB，垂足為G.∵AD是∠CAB的平分線DE⊥AC，DG⊥AB，∴ DE=DG.同理得DG=DF，∴ED=DF，∴四邊形ADFC是正方形.
例2 如圖，在直角三角形中，∠C=90°，∠A、∠B的平分線交于點D.DE⊥AC，DF⊥AB.求證:四邊形CEDF為正方形.
例3 如圖，EG,FH過正方形ABCD的對角線的交點O,且EG⊥FH.求證：四邊形EFGH是正方形.證明：∵四邊形ABCD為正方形,∴OB=OC,∠ABO=∠BCO =45°,∠BOC=90°=∠COH+∠BOH.∵EG⊥FH,∴∠BOE+∠BOH=90°,∴∠COH=∠BOE,∴△CHO ≌△BEO,∴OE=OH.同理可證：OE=OF=OG,
∴OE=OF=OG=OH.又∵EG⊥FH,∴四邊形EFGH為菱形.∵EO+GO=FO+HO ,即EG=HF,∴四邊形EFGH為正方形.
例4 如圖，正方形ABCD，動點E在AC上，AF⊥AC，垂足為A，AF=AE．（1）求證：BF=DE；（2）當點E運動到AC中點時(其他條件都保持不變)， 問四邊形AFBE是什么特殊四邊形？說明理由．
（1）證明：∵正方形ABCD，∴AB=AD，∠BAD=90°，∵AF⊥AC，∴∠EAF=90°，∴∠BAF=∠EAD，在△ADE和△ABF中，AD＝AB ，∠DAE＝∠BAF ，AE＝AF ,∴△ADE≌△ABF（SAS），∴BF=DE；
（2）解：當點E運動到AC的中點時四邊形AFBE是正方形，理由：∵點E運動到AC的中點，AB=BC，∴BE⊥AC，BE=AE= AC，∵AF=AE，∴BE=AF=AE.又∵BE⊥AC，∠FAE=∠BEC=90°，∴BE∥AF，∵BE=AF，∴得平行四邊形AFBE，∵∠FAE=90°，AF=AE，∴四邊形AFBE是正方形．
思考 前面學菱形時我們探究了順次連接任意四邊形各邊中點所得的四邊形是平行四邊形.順次連接矩形各邊中點能得到菱形，那么順次連接正方形各邊中點能得到怎樣的特殊平行四邊形？
1.下列命題正確的是（ ） A.四個角都相等的四邊形是正方形 B.四條邊都相等的四邊形是正方形 C.對角線相等的平行四邊形是正方形 D.對角線互相垂直的矩形是正方形
2.如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，下列結(jié)論中不正確的是（　　）A．當AB=BC時，四邊形ABCD是菱形 B．當AC⊥BD時，四邊形ABCD是菱形 C．當∠ABC=90°時，四邊形ABCD是矩形 D．當AC=BD時，四邊形ABCD是正方形
3.如圖，四邊形ABCD中，∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°，請?zhí)砑右粋€條件____________________，可得出該四邊形是正方形．
AB=BC(答案不唯一)
4.已知四邊形ABCD是平行四邊形，再從①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四個條件中，選兩個作為補充條件后，使得四邊形ABCD是正方形，其中錯誤的是_________________（只填寫序號）．
5.如圖，在四邊形ABCD中, AB=BC ,對角線BD平分?ABC , P是BD上一點,過點P作PM?AD , PN?CD ,垂足分別為M、N. (1) 求證：?ADB=?CDB; (2) 若?ADC=90?,求證：四邊形MPND是正方形.
證明：（1）∵AB = BC,BD平分∠ABC. ∴∠1=∠2. ∴△ABD≌△CBD (SAS). ∴∠ADB=∠CDB.
（2）∵∠ADC=90°; 又∵PM⊥AD,PN⊥CD; ∴∠PMD=∠PND=90°. ∴四邊形NPMD是矩形. ∵∠ADB=∠CDB; ∴∠ADB=∠CDB=45°. ∴∠MPD=∠NPD=45°. ∴DM=PM,DN=PN. ∴四邊形NPMD是正方形.
6.如圖，△ABC中，D是BC上任意一點，DE∥AC，DF∥AB．（1）試說明四邊形AEDF的形狀，并說明理由．（2）連接AD，當AD滿足什么條件時，四邊形AEDF為菱形，為什么？
解：（1）∵DE∥AC，DF∥AB，∴四邊形AEDF為平行四邊形.（2）∵四邊形AEDF為菱形，∴AD平分∠BAC，則AD平分∠BAC時，四邊形AEDF為菱形.
（3）在（2）的條件下，當△ABC滿足什么條件時，四邊形AEDF為正方形，不說明理由．
解：由四邊形AEDF為正方形∴∠BAC=90°，∴△ABC是以BC為斜邊的直角三角形即可．

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18.2.3 正方形

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