第18章單元復(fù)盤提升平行四邊形 思維導(dǎo)圖思考：把一塊矩形紙板放在陽光下，它的影子可能是哪些圖形？邊、角、對角線的特征下定義→探性 質(zhì)→研判定 觀察、猜想、證明；把四邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題；從性質(zhì)定理的逆命題討論中研究判定定理邊、角、對角線的特征下定義→探性 質(zhì)→研判定 一般到特殊的方法， 類比平行四邊形邊、角、對角線的特征下定義→探性 質(zhì)→研判定一般到特殊的方法，類 比平行四邊形和矩形邊、角、對角線的特征下定義→探性 質(zhì)→研判定 一般到特殊的方法， 類比矩形和菱形探究思維一、幾種特殊四邊形的性質(zhì)對邊平行且相等對邊平行且相等對邊平行且四邊相等對邊平行且四邊相等對角相等四個角都是直角對角相等四個角都是直角互相平分互相平分且相等互相垂直平分且相等，每一條對角線平分一組對角軸對稱圖形軸對稱圖形軸對稱圖形互相垂直且平分，每一條對角線平分一組對角 知識串講二、幾種特殊四邊形的常用判定方法：1.定義：兩組對邊分別平行 2.兩組對邊分別相等 3.兩組對角分別相等 4.對角線互相平分5.一組對邊平行且相等 1.定義：有一個角是直角的平行四邊形 2.對角線相等的平行四邊形3.有三個角是直角的四邊形1.定義：一組鄰邊相等的平行四邊形 ;2.對角線互相垂直的平行四邊形,3.四條邊都相等的四邊形1.定義：一組鄰邊相等且有一個角是直角的平行四邊形2.有一組鄰邊相等的矩形 3.有一個角是直角的菱形四、其他重要概念及性質(zhì)1.兩條平行線之間的距離：2.三角形的中位線定理：兩條平行線中，一條直線上任意一點到另一條直線的距離叫做兩條平行線之間的距離.三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半.3.直角三角形斜邊上的中線：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.例1如圖,在□ABCD中,DE平分∠ADC交AB于點G,交CB的延長線于點E,BF平分∠ABC交AD的延長線于點F.(1)若AD=5,AB=8,求GB的長；(2)求證:∠E=∠F.(1)解:∵DE平分∠ADC， ∴∠1=∠2. ∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴ AB∥DC， ∴∠2=∠AGD， ∴∠1=∠AGD， ∴AD=AG=5， ∵AB=8，∴BG=8－5=3. 考點一：平行四邊形的性質(zhì)和判定考點梳理例1(2)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴∠ADC=∠ABC，DC∥AB，AD∥BC. ∵ DE平分∠ADC， BF平分∠ABC， ∴ ∠2= ∠4. ∵ DC∥AB， ∴ ∠2=∠AGD， ∴ ∠4=∠AGD， ∴ DE∥FB. ∵AF∥CE， ∴ 四邊形BFDE是平行四邊形, ∴ ∠E=∠F.如圖,在□ABCD中,DE平分∠ADC交AB于點G,交CB的延長線于點E,BF平分∠ABC交AD的延長線于點F.(1)若AD=5,AB=8,求GB的長；(2)求證:∠E=∠F.練1如圖，E是□ABCD邊BC上的一點，且AB=BE,連接AE,并延長AE與DC的延長線交于點F,若∠F=70o,則∠D的度數(shù)是( ). A. 30o B. 40o C. 50o D. 70oB如圖，在□ABCD中，AD=2AB,CE平分∠BCD 交AD于點E,且AE=3,則AB的長為( ). A. 2 B. C. 3 D. 4C練2刻意練習(xí)練3如圖,在□ABCD中,點E,F分別在AD,BC上，且AE=CF,EF,BD相交于點O,求證:OE=OF.證明：連接BE、DF. ∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AD∥BC，AD=BC， ∵AE=CF， ∴DE=BF， ∴四邊形BEDF是平行四邊形， ∴OF=OE． 考點二：三角形的中位線例2如圖，在△ABC中，∠CAB=90°，DE、DF是△ABC的中位線，連接EF、AD，求證：EF=AD．證明：∵DE，DF是△ABC的中位線，∴DE∥AB，DF∥AC，∴四邊形AEDF是平行四邊形，又∵∠BAC=90°，∴平行四邊形AEDF是矩形，∴EF=AD．考點梳理例3如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點D，E分別是邊AB，AC的中點，延長BC到點F，使CF= BC． 若AB=12，求EF的長．解：連接CD，∵點D，E分別是邊AB，AC的中點，∴DE∥BC，DE= BC，DC= AB.∵CF= BC，∴DE ∥FC，DE =FC，∴四邊形DEFC是平行四邊形，∴DC=EF，∴EF= AB=6．練4如圖，在△ABC中，AB=6，AC=10，點D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，AC的中點，則四邊形ADEF的周長為（　?。? A.8 B.10 C.12 D.16 D如圖，在?ABCD中，AD=8，點E，F(xiàn)分別是BD，CD的中點，則EF等于 （　?。〢.2 B.3 C.4 D.5 C練5刻意練習(xí)練6如圖，在△ABC中，點D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，CA的中點，AH是邊BC上的高．（1）求證：四邊形ADEF是平行四邊形；（2）求證：∠DHF=∠DEF．證明：（1）∵點D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，CA的中點，∴DE、EF都是△ABC的中位線，∴EF∥AB，DE∥AC，∴四邊形ADEF是平行四邊形.練6（2）∵四邊形ADEF是平行四邊形，∴∠DEF=∠BAC，∵D，F(xiàn)分別是AB，CA的中點， AH是邊BC上的高，∴DH=AD，F(xiàn)H=AF，∴∠DAH=∠DHA，∠FAH=∠FHA，∵∠DAH+∠FAH=∠BAC， ∠DHA+∠FHA=∠DHF，∴∠DHF=∠BAC，∴∠DHF=∠DEF．考點三：特殊平行四邊形的性質(zhì)與判定例4如圖,在□ABCD中,對角線AC與BD相交于點O , △ABO是等邊三角形, AB=4,求□ABCD的面積.解：∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴OA= OC,OB = OD.又∵△ABO是等邊三角形,∴OA= OB=AB= 4,∠BAC=60°.∴AC= BD= 2OA = 2×4 = 8.考點梳理例4如圖,在□ABCD中,對角線AC與BD相交于點O , △ABO是等邊三角形, AB=4,求□ABCD的面積.例5如圖，在菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，∠BAD=60°，BD =6，求菱形的邊長AB和對角線AC的長.解：∵四邊形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD(菱形的對角線互相垂直) OB=OD= BD = ×6=3(菱形的對角線互相平分)在等腰三角形ABC中，∵∠BAD=60°，∴△ABD是等邊三角形.∴AB = BD = 6. ∴AC=例6如圖，已知在四邊形ABFC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分線EF交BC于點D，交AB于點E，且CF＝AE；(1)試判斷四邊形BECF是什么四邊形？并說明理由；(2)當(dāng)∠A的大小滿足什么條件時，四邊形BECF是正方形？請回答并證明你的結(jié)論．解：(1)四邊形BECF是菱形．理由如下：∵EF垂直平分BC，∴BF＝FC，BE＝EC，∴∠3＝∠1.∵∠ACB＝90°，∴∠3＋∠4＝90°，∠1＋∠2＝90°,∴∠2＝∠4，例6如圖，已知在四邊形ABFC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分線EF交BC于點D，交AB于點E，且CF＝AE；(1)試判斷四邊形BECF是什么四邊形？并說明理由；(2)當(dāng)∠A的大小滿足什么條件時，四邊形BECF是正方形？請回答并證明你的結(jié)論．∴EC＝AE，∴BE＝AE.∵CF＝AE，∴BE＝EC＝CF＝BF，∴四邊形BECF是菱形；(2)當(dāng)∠A＝45°時，菱形BECF是正方形．證明如下：∵∠A＝45°，∠ACB＝90°，∴∠CBA＝45°，∴∠EBF＝2∠CBA＝90°，∴菱形BECF是正方形．練7證明：在△AOB中. ∵AB= , OA=2,OB=1. ∴AB2=AO2+OB2. ∴ △AOB是直角三角形, ∠AOB是直角. ∴AC⊥BD. ∴ □ABCD是菱形 (對角線垂直的平行四邊形是菱形).已知：如右圖,在□ABCD中,對角線AC與BD相交于點O, AB= ,OA=2,OB=1. 求證： □ABCD是菱形.刻意練習(xí)練8如圖，O是菱形ABCD對角線的交點，作BE∥AC，CE∥BD，BE、CE交于點E，四邊形CEBO是矩形嗎？說出你的理由.解：四邊形CEBO是矩形.理由如下：已知四邊形ABCD是菱形. ∴AC⊥BD. ∴∠BOC=90°. ∵DE∥AC,CE∥BD， ∴四邊形CEBO是平行四邊形. ∴四邊形CEBO是矩形（有一個角是直角的平行四邊形是矩形）.練9如圖，矩形ABCD的對角線AC和BD相交于點O，過點O的直線分別交AD和BC于點E、F，AB=2，BC=4，則圖中陰影部分的面積為 .如圖，過正方形ABCD的頂點B作直線 l，過A、C作l的垂線， 垂足分別為E,F.若AE=1，CF=3，則AB的長度為 ．A4練10練11如圖，△ABC中，點O是AC上的一動點，過點O作直線MN∥BC，設(shè)MN交∠BCA的平分線于點E，交∠BCA的外角∠ACG的平分線于點F，連接AE、AF.(1)求證：∠ECF＝90°；(2)當(dāng)點O運動到何處時，四邊形AECF是矩形？請說明理由；(1)證明：∵CE平分∠BCO，CF平分∠GCO，∴∠OCE＝∠BCE，∠OCF＝∠GCF，∴∠ECF＝ ×180°＝90°.練11(2)解：當(dāng)點O運動到AC的中點時，四邊形AECF是矩形．理由如下：∵M(jìn)N∥BC，∴∠OEC＝∠BCE，∠OFC＝∠GCF.又∵CE平分∠BCO，CF平分∠GCO，∴∠OCE＝∠BCE，∠OCF＝∠GCF，∴∠OCE＝∠OEC，∠OCF＝∠OFC，∴EO＝CO，F(xiàn)O＝CO，∴OE＝OF.又∵當(dāng)點O運動到AC的中點時，AO＝CO，∴四邊形AECF是平行四邊形.∵∠ECF＝90°，∴四邊形AECF是矩形.(2)當(dāng)點O運動到何處時，四邊形AECF是矩形？請說明理由；練11解：當(dāng)點O運動到AC的中點時，且滿足∠ACB為直角時，四邊形AECF是正方形．∵由(2)知當(dāng)點O運動到AC的中點時，四邊形AECF 是矩形，已知MN∥BC，當(dāng)∠ACB＝90°，則∠AOF＝∠COE＝∠COF＝∠AOE＝90°，即AC⊥EF，∴四邊形AECF是正方形．(3)在(2)的條件下，△ABC應(yīng)該滿足什么條件時， 四邊形AECF為正 方形．練12如圖，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，點G是BC延長線上一點，連接AG，點E、F分別在AG上，連接BE、DF，∠1＝∠2，∠3＝∠4.(1)證明：△ABE≌△DAF；(2)若∠AGB＝30°，求EF的長． (1)證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD.在△ABE和△DAF中， ∴△ABE≌△DAF.考點梳理練12 (2) 解：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠1＋∠4＝90°.∵∠3＝∠4，∴∠1＋∠3＝90°，∴∠AFD＝90°.在正方形ABCD中， AD∥BC，∴∠1＝∠AGB＝30°.在Rt△ADF中，∠AFD＝90°，AD＝2，∴AF＝ ，DF＝1.由(1)得△ABE≌△DAF，∴AE＝DF＝1，∴EF＝AF－AE＝ －1.課程小結(jié)課程結(jié)束

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