探索并證明正方形的判定.
了解平行四邊形、矩形、菱形之間的聯(lián)系和區(qū)別.
會(huì)運(yùn)用正方形的判定條件進(jìn)行有關(guān)的論證和計(jì)算 .
正方形：有一組鄰邊相等，并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形.正方形性質(zhì)：①四個(gè)角都是直角; ②四條邊都相等; ③對角線相等且互相垂直平分.
思考 怎樣判定一個(gè)四邊形是正方形呢？
活動(dòng)1 準(zhǔn)備一張矩形的紙片，按照下圖折疊,然后展開，折疊部分得到一個(gè)正方形，可量一量驗(yàn)證驗(yàn)證.
猜想 滿足怎樣條件的矩形是正方形？
已知：如圖,在矩形ABCD中,AC , DB是它的兩條對角線, AC⊥DB.求證：四邊形ABCD是正方形.證明：∵四邊形ABCD是矩形, ∴ AO=CO=BO=DO ，∠ADC=90°. ∵AC⊥DB, ∴ AD=AB=BC=CD, ∴四邊形ABCD是正方形.
對角線互相垂直的矩形是正方形.
活動(dòng)2 把可以活動(dòng)的菱形框架的一個(gè)角變?yōu)橹苯?，觀察這時(shí)菱形框架的形狀.量量看是不是正方形.
猜想 滿足怎樣條件的菱形是正方形？
已知：如圖,在菱形ABCD中,AC , DB是它的兩條對角線, AC=DB.求證：四邊形ABCD是正方形.
對角線相等的菱形是正方形.
證明：∵四邊形ABCD是菱形,∴AB=BC=CD=AD,AC⊥DB.∵AC=DB,∴ AO=BO=CO=DO,∴△AOD,△AOB,△COD,△BOC是等腰直角三角形，∴∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°, ∴四邊形ABCD是正方形.
正方形判定的幾條途徑：
例1 在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F、M、N分別在各邊上，且AE=BF=CM=DN．四邊形EFMN是正方形嗎?為什么?
證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=DA，∠A=∠B=∠C=∠D=90°.∵AE=BF=CM=DN，∴AN=BE=CF=DM.
分析：由已知可證△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM，得四邊形EFMN是菱形，再證有一個(gè)角是直角即可.
在△AEN、△BFE、△CMF、△DNM中， AE=BF=CM=DN, ∠A=∠B=∠C=∠D, AN=BE=CF=DM,∴△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM,∴EN=FE=MF=NM，∠ANE=∠BEF,∴四邊形EFMN是菱形， ∠NEF=180°－（∠AEN+∠BEF） =180°－（∠AEN+∠ANE） =180°－90°=90°.∴四邊形EFMN是正方形 .
證明：∵ DE⊥AC，DF⊥AB ，∴∠DEC= ∠DFC=90°.又∵ ∠C=90 °，∴四邊形EDFC是矩形.過點(diǎn)D作DG⊥AB，垂足為G.∵AD是∠CAB的平分線，DE⊥AC，DG⊥AB，∴ DE=DG.同理得DG=DF，∴ED=DF，∴四邊形EDFC是正方形.
例2 如圖，在直角三角形中，∠C=90°，∠A、∠B的平分線交于點(diǎn)D.DE⊥AC，DF⊥AB.求證:四邊形CEDF為正方形.
例3 如圖，EG,FH過正方形ABCD的對角線的交點(diǎn)O,且EG⊥FH.求證：四邊形EFGH是正方形.證明：∵四邊形ABCD為正方形,∴OB=OC,∠ABO=∠BCO =45°,∠BOC=90°=∠COH+∠BOH.∵EG⊥FH,∴∠BOE+∠BOH=90°,∴∠COH=∠BOE,∴△CHO ≌△BEO,∴OE=OH.同理可證：OE=OF=OG,
∴OE=OF=OG=OH.又∵EG⊥FH,∴四邊形EFGH為菱形.∵EO+GO=FO+HO ,即EG=HF,∴四邊形EFGH為正方形.
例4 如圖，正方形ABCD中，動(dòng)點(diǎn)E在AC上，AF⊥AC，垂足為A，AF=AE．（1）求證：BF=DE；（2）當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到AC中點(diǎn)時(shí)(其他條件都保持不變)， 問四邊形AFBE是什么特殊四邊形？說明理由．
（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAD=90°，∵AF⊥AC，∴∠EAF=90°，∴∠BAF=∠EAD，在△ADE和△ABF中，AD＝AB ，∠DAE＝∠BAF ，AE＝AF ,∴△ADE≌△ABF（SAS），∴BF=DE.
（2）解：當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí)，四邊形AFBE是正方形，理由：∵點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)，AB=BC，∴BE⊥AC，BE=AE= AC，∵AF=AE，∴BE=AF=AE.又∵BE⊥AC，∠FAE=∠BEC=90°，∴BE∥AF，∵BE=AF，∴四邊形AFBE是平行四邊形，∵∠FAE=90°，AF=AE，∴四邊形AFBE是正方形．
思考 前面學(xué)菱形時(shí)我們探究了順次連接任意四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形是平行四邊形.順次連接矩形各邊中點(diǎn)能得到菱形，那么順次連接正方形各邊中點(diǎn)能得到怎樣的特殊平行四邊形？
1.在四邊形ABCD中，O是對角線的交點(diǎn)，能判定這個(gè)四邊形是正方形的是 （ ）
A．AC=BD，AB∥CD，AB=CDB．AD∥BC，∠A=∠CC．AO=BO=CO=DO，AC⊥BDD．AO=CO，BO=DO，AB=BC
2.下列命題正確的是 （ ） A.四個(gè)角都相等的四邊形是正方形 B.四條邊都相等的四邊形是正方形 C.對角線相等的平行四邊形是正方形 D.對角線互相垂直的矩形是正方形
3.如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，下列結(jié)論中不正確的是 （　?。〢．當(dāng)AB=BC時(shí)，四邊形ABCD是菱形 B．當(dāng)AC⊥BD時(shí)，四邊形ABCD是菱形 C．當(dāng)∠ABC=90°時(shí)，四邊形ABCD是矩形 D．當(dāng)AC=BD時(shí)，四邊形ABCD是正方形
4.如圖，四邊形ABCD中，∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°，請?zhí)砑右粋€(gè)條件____________________，可得出該四邊形是正方形．
AB=BC(答案不唯一)
5.已知四邊形ABCD是平行四邊形，再從①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四個(gè)條件中，選兩個(gè)作為補(bǔ)充條件后，使得四邊形ABCD是正方形，其中錯(cuò)誤的是_________________（只填寫序號）．
6.如圖，在四邊形ABCD中, AB=BC ,對角線BD平分?ABC , P是BD上一點(diǎn),過點(diǎn)P作PM?AD , PN?CD ,垂足分別為M、N. (1) 求證：?ADB=?CDB; (2) 若?ADC=90?,求證：四邊形MPND是正方形.
證明：（1）∵BD平分∠ABC. ∴∠1=∠2. 又∵AB = BC, ∴△ABD≌△CBD (SAS). ∴∠ADB=∠CDB.
1.通過探究，本節(jié)課你得到了哪些結(jié)論？2.在探究正方形的判定過程中，你有哪些認(rèn)識？3.在運(yùn)用正方形的判定解題時(shí)，你獲得了什么思想和方法？

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18.2.3 正方形

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