6.3.2 平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示
6.3.3 平面向量加、減運(yùn)算的坐標(biāo)表示
知識(shí)點(diǎn)一 平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示
(1)平面向量的正交分解
eq \(□,\s\up4(01))把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解．
(2)平面向量的坐標(biāo)表示
知識(shí)點(diǎn)二 平面向量加、減運(yùn)算的坐標(biāo)運(yùn)算
1．在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量eq \(OA,\s\up16(→))＝a，點(diǎn)A的位置被向量a唯一確定，此時(shí)點(diǎn)A的坐標(biāo)與向量a的坐標(biāo)統(tǒng)一為(x，y)．
2．平面向量的坐標(biāo)與該向量的起點(diǎn)、終點(diǎn)坐標(biāo)有關(guān)；應(yīng)把向量的坐標(biāo)與點(diǎn)的坐標(biāo)區(qū)別開來，只有起點(diǎn)在原點(diǎn)時(shí)，向量的坐標(biāo)才與終點(diǎn)的坐標(biāo)相等．
3．符號(hào)(x，y)在直角坐標(biāo)系中有兩重意義，它既可以表示一個(gè)固定的點(diǎn)，又可以表示一個(gè)向量．為了加以區(qū)分，在敘述中，就常說點(diǎn)(x，y)或向量(x，y)．
特別注意：向量a＝(x，y)中間用等號(hào)連接，而點(diǎn)的坐標(biāo)A(x，y)中間沒有等號(hào)．
4．(1)平面向量的正交分解實(shí)質(zhì)上是平面向量基本定理的一種應(yīng)用形式，只是兩個(gè)基向量e1和e2互相垂直．
(2)由向量坐標(biāo)的定義，知兩向量相等的充要條件是它們的橫、縱坐標(biāo)對(duì)應(yīng)相等，即a＝b?x1＝x2且y1＝y(tǒng)2，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．
(3)向量的坐標(biāo)只與起點(diǎn)、終點(diǎn)的相對(duì)位置有關(guān)，而與它們的具體位置無關(guān)．
(4)當(dāng)向量確定以后，向量的坐標(biāo)就是唯一確定的，因此向量在平移前后，其坐標(biāo)不變．
1．判一判(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)
(1)與x軸平行的向量的縱坐標(biāo)為0；與y軸平行的向量的橫坐標(biāo)為0.( )
(2)兩個(gè)向量的終點(diǎn)不同，則這兩個(gè)向量的坐標(biāo)一定不同．( )
(3)當(dāng)向量的始點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，向量的坐標(biāo)就是向量終點(diǎn)的坐標(biāo)．( )
(4)向量可以平移，平移前后它的坐標(biāo)發(fā)生變化．( )
答案 (1)√ (2)× (3)√ (4)×
2．做一做
(1)已知eq \(AB,\s\up16(→))＝(－2,4)，則下列說法正確的是( )
A．A點(diǎn)的坐標(biāo)是(－2,4)
B．B點(diǎn)的坐標(biāo)是(－2,4)
C．當(dāng)B是原點(diǎn)時(shí)，A點(diǎn)的坐標(biāo)是(－2,4)
D．當(dāng)A是原點(diǎn)時(shí)，B點(diǎn)的坐標(biāo)是(－2,4)
(2)已知eq \(AB,\s\up16(→))＝(1,3)，且點(diǎn)A(－2,5)，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為( )
A．(1,8) B．(－1,8)
C．(3，－2) D．(－3,2)
(3)若a＝(2,1)，b＝(1,0)，則a＋b的坐標(biāo)是( )
A．(1,1) B．(－3，－1)
C．(3,1) D．(2,0)
(4)若點(diǎn)M(3,5)，點(diǎn)N(2,1)，用坐標(biāo)表示向量eq \(MN,\s\up16(→))＝________.
答案 (1)D (2)B (3)C (4)(－1，－4)
題型一 平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示
例1 (1)已知向量i＝(1,0)，j＝(0,1)，對(duì)坐標(biāo)平面內(nèi)的任一向量a，給出下列四個(gè)結(jié)論：
①存在唯一的一對(duì)實(shí)數(shù)x，y，使得a＝(x，y)；
②若x1，x2，y1，y2∈R，a＝(x1，y1)≠(x2，y2)，則x1≠x2，且y1≠y2；
③若x，y∈R，a＝(x，y)，且a≠0，則a的始點(diǎn)是原點(diǎn)O；
④若x，y∈R，a≠0，且a的終點(diǎn)坐標(biāo)是(x，y)，則a＝(x，y)．
其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
(2)如圖所示，在邊長為1的正方形ABCD中，AB與x軸正半軸成30°角．求點(diǎn)B和點(diǎn)D的坐標(biāo)以及eq \(AB,\s\up16(→))與eq \(AD,\s\up16(→))的坐標(biāo)．
[解析] (1)由平面向量基本定理，知①正確；例如，a＝(1,0)≠(1,3)，但1＝1，故②錯(cuò)誤；因?yàn)橄蛄靠梢云揭?，所以a＝(x，y)與a的始點(diǎn)是不是原點(diǎn)無關(guān)，故③錯(cuò)誤；當(dāng)a的終點(diǎn)坐標(biāo)是(x，y)時(shí)，a＝(x，y)是以a的起點(diǎn)是原點(diǎn)為前提的，故④錯(cuò)誤．
(2)由題知B，D分別是30°，120°角的終邊與單位圓的交點(diǎn)．
設(shè)B(x1，y1)，D(x2，y2)．由三角函數(shù)的定義，得
x1＝cs30°＝eq \f(\r(3),2)，y1＝sin30°＝eq \f(1,2)，∴Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，\f(1,2))).
x2＝cs120°＝－eq \f(1,2)，y2＝sin120°＝eq \f(\r(3),2)，
∴Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2))).
∴eq \(AB,\s\up16(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，\f(1,2)))，eq \(AD,\s\up16(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2))).
[答案] (1)A (2)見解析
求點(diǎn)和向量坐標(biāo)的常用方法
(1)求一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，可以轉(zhuǎn)化為求該點(diǎn)相對(duì)于坐標(biāo)原點(diǎn)的位置向量的坐標(biāo)．
(2)在求一個(gè)向量時(shí)，可以首先求出這個(gè)向量的起點(diǎn)坐標(biāo)和終點(diǎn)坐標(biāo)，再運(yùn)用終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo)得到該向量的坐標(biāo)．
(1)如圖，{e1，e2}是一個(gè)正交基底，且e1＝(1,0)，e2＝(0,1)，則向量a的坐標(biāo)為( )
A．(1,3) B．(3,1)
C．(－1，－3) D．(－3，－1)
(2)已知O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在第一象限，|eq \(OA,\s\up16(→))|＝4eq \r(3)，∠xOA＝60°，
①求向量eq \(OA,\s\up16(→))的坐標(biāo)；
②若B(eq \r(3)，－1)，求eq \(BA,\s\up16(→))的坐標(biāo)．
答案 (1)A (2)見解析
解析 (1)由圖可知a＝e1＋3e2，又e1＝(1,0)，e2＝(0,1)，
則a＝(1,3)．故選A.
(2)①設(shè)點(diǎn)A(x，y)，則x＝4eq \r(3)cs60°＝2eq \r(3)，
y＝4eq \r(3)sin60°＝6，即A(2eq \r(3)，6)，故eq \(OA,\s\up16(→))＝(2eq \r(3)，6)．
②eq \(BA,\s\up16(→))＝(2eq \r(3)，6)－(eq \r(3)，－1)＝(eq \r(3)，7).
題型二 平面向量加、減運(yùn)算的坐標(biāo)表示
例2 (1)已知三點(diǎn)A(2，－1)，B(3,4)，C(－2,0)，則向量eq \(AB,\s\up16(→))＋eq \(CA,\s\up16(→))＝________，eq \(BC,\s\up16(→))－eq \(AB,\s\up16(→))＝________；
(2)已知向量a，b的坐標(biāo)分別是(－1,2)，(3，－5)，求a＋b，a－b的坐標(biāo)．
[解析] (1)∵A(2，－1)，B(3,4)，C(－2,0)，
∴eq \(AB,\s\up16(→))＝(1,5)，eq \(CA,\s\up16(→))＝(4，－1)，eq \(BC,\s\up16(→))＝(－5，－4)．
∴eq \(AB,\s\up16(→))＋eq \(CA,\s\up16(→))＝(1,5)＋(4，－1)＝(1＋4,5－1)＝(5,4)．
eq \(BC,\s\up16(→))－eq \(AB,\s\up16(→))＝(－5，－4)－(1,5)＝(－5－1，－4－5)＝(－6，－9)．
(2)a＋b＝(－1,2)＋(3，－5)＝(2，－3)，
a－b＝(－1,2)－(3，－5)＝(－4,7)．
[答案] (1)(5,4) (－6，－9) (2)見解析
平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的技巧
(1)若已知向量的坐標(biāo)，則直接應(yīng)用兩個(gè)向量和、差的運(yùn)算法則進(jìn)行．
(2)若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則可先求出向量的坐標(biāo)，然后再進(jìn)行向量的坐標(biāo)運(yùn)算．
(3)向量加、減的坐標(biāo)運(yùn)算可完全類比數(shù)的運(yùn)算進(jìn)行．
(1)已知a＝(1,2)，b＝(－3,4)，求向量a＋b，a－b的坐標(biāo)；
(2)已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，且eq \(CM,\s\up16(→))＝eq \(CA,\s\up16(→))，eq \(CN,\s\up16(→))＝eq \(CB,\s\up16(→))，求M，N及eq \(MN,\s\up16(→))的坐標(biāo)．
解 (1)a＋b＝(1,2)＋(－3,4)＝(－2,6)，
a－b＝(1,2)－(－3,4)＝(4，－2)．
(2)由A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，
可得eq \(CA,\s\up16(→))＝(－2,4)－(－3，－4)＝(1,8)，
eq \(CB,\s\up16(→))＝(3，－1)－(－3，－4)＝(6,3)，
設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，
則eq \(CM,\s\up16(→))＝(x1＋3，y1＋4)＝(1,8)，x1＝－2，y1＝4；
eq \(CN,\s\up16(→))＝(x2＋3，y2＋4)＝(6,3)，x2＝3，y2＝－1，
所以M(－2,4)，N(3，－1)，
eq \(MN,\s\up16(→))＝(3，－1)－(－2,4)＝(5，－5).
題型三 平面向量加、減坐標(biāo)運(yùn)算的應(yīng)用
例3 如圖所示，已知直角梯形ABCD，AD⊥AB，AB＝2AD＝2CD，過點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E，用向量的方法證明：DE∥BC.
[證明] 如圖，以E為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，EC所在直線為y軸建立直角坐標(biāo)系，
設(shè)|eq \(AD,\s\up16(→))|＝1，則|eq \(DC,\s\up16(→))|＝1，|eq \(AB,\s\up16(→))|＝2.
∵CE⊥AB，而AD＝DC，
∴四邊形AECD為正方形，
∴可求得各點(diǎn)坐標(biāo)分別為E(0,0)，B(1,0)，C(0,1)，D(－1,1)．
∵eq \(ED,\s\up16(→))＝(－1,1)－(0,0)＝(－1,1)，
eq \(BC,\s\up16(→))＝(0,1)－(1,0)＝(－1,1)，
∴eq \(ED,\s\up16(→))＝eq \(BC,\s\up16(→))，∴eq \(ED,\s\up16(→))∥eq \(BC,\s\up16(→))，即DE∥BC.
通過建立平面直角坐標(biāo)系，可以將平面內(nèi)的任一向量用一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)來表示；反過來，任一有序?qū)崝?shù)對(duì)都表示一個(gè)向量．因此向量的坐標(biāo)表示實(shí)質(zhì)上是向量的代數(shù)表示，引入向量的坐標(biāo)后，可使向量運(yùn)算代數(shù)化，將數(shù)和形結(jié)合起來，從而將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題來解決．
已知平行四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)A，B，C，D的坐標(biāo)依次為(3，－1)，(1,2)，(m,1)，(3，n)．
求msinα＋ncsα的最大值．
解 ∵四邊形ABCD為平行四邊形，則eq \(AD,\s\up16(→))＝eq \(BC,\s\up16(→))，
即(3－3，n＋1)＝(m－1,1－2)，即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m－1＝0，,n＋1＝－1，))得m＝1，n＝－2，得msinα＋ncsα＝sinα－2csα＝eq \r(5)sin(α＋φ)，其中tanφ＝－2，
故msinα＋ncsα的最大值為eq \r(5).
1．設(shè)平面向量a＝(3,5)，b＝(－2,1)，則a＋b＝( )
A．(1,6) B．(5,4)
C．(1，－6) D．(－6,5)
答案 A
解析 a＋b＝(3,5)＋(－2,1)＝(3－2,5＋1)＝(1,6)．
2．已知向量eq \(OA,\s\up16(→))＝(1，－2)，eq \(OB,\s\up16(→))＝(－3,4)，則eq \(AB,\s\up16(→))＝( )
A．(－4,6) B．(2，－3)
C．(2,3) D．(6,4)
答案 A
解析 eq \(AB,\s\up16(→))＝eq \(OB,\s\up16(→))－eq \(OA,\s\up16(→))＝(－3,4)－(1，－2)＝(－4,6)．
3．如圖，向量a，b，c的坐標(biāo)分別是________，________，________.
答案 (－4,0) (0,6) (－2，－5)
解析 將各向量分別向基底i，j所在直線分解，則a＝－4i＋0·j，∴a＝(－4,0)；b＝0·i＋6j，∴b＝(0,6)；c＝－2i－5j，∴c＝(－2，－5)．
4．在平面直角坐標(biāo)系中，|a|＝2eq \r(2)，a的方向相對(duì)于x軸正方向的逆時(shí)針轉(zhuǎn)角為135°，則a的坐標(biāo)為________．
答案 (－2,2)
解析 因?yàn)閨a|cs135°＝2eq \r(2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)))＝－2，|a|·sin135°＝2eq \r(2)×eq \f(\r(2),2)＝2，所以a的坐標(biāo)為(－2,2)．
5．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，向量a，b的位置如圖所示，已知|a|＝4，|b|＝3，且∠AOx＝45°，∠OAB＝105°，分別求向量a，b的坐標(biāo)．
解 設(shè)a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，由于∠AOx＝45°，
所以a1＝|a|cs45°＝4×eq \f(\r(2),2)＝2eq \r(2)，
a2＝|a|sin45°＝4×eq \f(\r(2),2)＝2eq \r(2).
由已知可以求得向量b的方向相對(duì)于x軸正方向的逆時(shí)針轉(zhuǎn)角為120°，
所以b1＝|b|cs120°＝3×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝－eq \f(3,2)，
b2＝|b|sin120°＝3×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(3\r(3),2).
故a＝(2eq \r(2)，2eq \r(2))，b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，\f(3\r(3),2))).

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6.3 平面向量基本定理及坐標(biāo)表示

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