初中北師大版（2024）2 圖形的旋轉(zhuǎn)課后復(fù)習(xí)題-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

2．掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，應(yīng)用概念及性質(zhì)解決一些實際問題；(重點，難點)
3．能夠根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)進(jìn)行簡單的旋轉(zhuǎn)作圖．
知識點01 旋轉(zhuǎn)的概念
（1）旋轉(zhuǎn)的概念：把一個平面圖形繞著平面內(nèi)某一點O轉(zhuǎn)動一定角度的變換.
點O叫作旋轉(zhuǎn)中心；轉(zhuǎn)動的角度叫作旋轉(zhuǎn)角；
圖形上點P旋轉(zhuǎn)后得到點P’，這兩個點叫作對應(yīng)點.
（2）旋轉(zhuǎn)三要素： = 1 \* GB3 ①旋轉(zhuǎn)方向； = 2 \* GB3 ②旋轉(zhuǎn)中心； = 3 \* GB3 ③旋轉(zhuǎn)角度
注：旋轉(zhuǎn)中心可在任意位置.即可在旋轉(zhuǎn)圖形上，也可不在旋轉(zhuǎn)圖形上.
知識點02 旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)
旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：一個圖形和它經(jīng)過旋轉(zhuǎn)所得到的圖形中，對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；兩組對應(yīng)點分別與旋轉(zhuǎn)中心連線所成的角相等.
知識點03 確定旋轉(zhuǎn)中心
確定旋轉(zhuǎn)中心：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，所以旋轉(zhuǎn)中心位于對應(yīng)點連線的垂直平分線上，即旋轉(zhuǎn)中心是兩對對應(yīng)點所連線段的垂直平分線的交點.
知識點04 旋轉(zhuǎn)作圖
旋轉(zhuǎn)作圖：在畫旋轉(zhuǎn)圖形時，首先確定旋轉(zhuǎn)中心，其次確定圖形的關(guān)鍵點，再將這些關(guān)鍵點沿指定的方向旋轉(zhuǎn)指定的角度，然后連接對應(yīng)的部分，形成相應(yīng)的圖形.
作圖的步驟：（1）連接圖形中的每一個關(guān)鍵點與旋轉(zhuǎn)中心；
（2）把連線按要求（順時針或逆時針）繞旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)一定的角度（旋轉(zhuǎn)角）；
（3）在角的一邊上截取關(guān)鍵點到旋轉(zhuǎn)中心的距離，得到各點的對應(yīng)點；
（4）連接所得到的各對應(yīng)點.
題型01 判斷生活中的旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象
【例題】（2023上·內(nèi)蒙古呼和浩特·九年級校考期中）下列運動形式屬于旋轉(zhuǎn)的是（）
A．足球在地上的滾動B．電梯的運行C．熱氣球點火升空D．鐘擺的擺動
【答案】D
【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的定義，根據(jù)“在平面內(nèi)，將一個圖形繞一點按某個方向轉(zhuǎn)動一個角度，這樣的運動叫做圖形的旋轉(zhuǎn)”即可解答．
【詳解】解：A、足球在地上的滾動是旋轉(zhuǎn)加上平移，不符合題意；
B、電梯的運行是平移，不符合題意；
C、熱氣球點火升空是平移，不符合題意；
D、鐘擺的擺動是旋轉(zhuǎn)，符合題意；
故選：D．
【變式訓(xùn)練】
1．（2023上·廣西玉林·九年級統(tǒng)考期中）下列現(xiàn)象屬于旋轉(zhuǎn)的是（）
A．電梯的上下移動B．飛機起飛后沖向空中的過程
C．幸運大轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)動的過程D．筆直的鐵軌上飛馳而過的火車
【答案】C
【分析】本題主要考查旋轉(zhuǎn)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的定義是解題的關(guān)鍵；因此此題可根據(jù)旋轉(zhuǎn)的定義“把一個平面圖形繞著平面內(nèi)某一點轉(zhuǎn)動一個角度”進(jìn)行求解即可．
【詳解】解：A、B、D選項都不符合旋轉(zhuǎn)的定義，而C選項符合旋轉(zhuǎn)的定義，故C選項屬于旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象；
故選C．
2．（2023上·福建福州·九年級?？茧A段練習(xí)）下列生活中的實例是旋轉(zhuǎn)的是（）
A．鐘表的指針的轉(zhuǎn)動B．汽車在筆直的公路上行駛
C．傳送帶上，瓶裝飲料的移動D．足球飛入球網(wǎng)中
【答案】A
【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換和平移變換的定義逐項判斷即可得到答案．
【詳解】解：A、鐘表的指針的轉(zhuǎn)動，屬于旋轉(zhuǎn)變換，故此選項符合題意；
B、汽車在筆直的公路上行駛，屬于平移變換，故此選項不符合題意；
C、傳送帶上，瓶裝飲料的移動，屬于平移變換，故此選項不符合題意；
D、足球飛入球網(wǎng)中，屬于平移變換，故此選項不符合題意；
故選：A．
【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)和平移的概念，把一個圖形繞著某個點旋轉(zhuǎn)一定的角度，得到另一個圖形，即為旋轉(zhuǎn)變換；把一個圖形沿著一定的方向移動一定的距離，即為平移變換；熟練掌握此定義是解題的關(guān)鍵．
題型02 找旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)角、對應(yīng)點
【例題】（2023上·天津東麗·九年級校聯(lián)考期中）如圖，P為正方形內(nèi)一點，，將繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)得到，
(1)旋轉(zhuǎn)中心是______．旋轉(zhuǎn)角為______度．
(2)求的長度．
【答案】(1)C；90
(2)
【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)中心和旋轉(zhuǎn)角的概念求解即可；
（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得是等腰直角三角形，然后利用勾股定理即可求出．
【詳解】（1）解：∵將繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)得到，
∴旋轉(zhuǎn)中心是C，旋轉(zhuǎn)角是和，
∵在正方形中，
∴旋轉(zhuǎn)角為90度，
故答案為：C，90；
（2）解：由（1）知，旋轉(zhuǎn)角是，
∴，
又∵，
∴是等腰直角三角形，
∴．
【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)圖形的概念和性質(zhì)，勾股定理，準(zhǔn)確識別旋轉(zhuǎn)角是解題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練】
1．（2023上·遼寧大連·九年級統(tǒng)考期中）如圖，四邊形是正方形，E是上的一點，是的旋轉(zhuǎn)圖形．

(1)由順時針旋轉(zhuǎn)到，旋轉(zhuǎn)中心是________，旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)是________；
(2)連接，判斷并說明的形狀．
【答案】(1)點；
(2)是等腰直角三角形，理由見解析
【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的判定，正方形的性質(zhì)，熟練利用旋轉(zhuǎn)性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
（1）利用旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得出旋轉(zhuǎn)中心，利用旋轉(zhuǎn)位置得出旋轉(zhuǎn)角即可；
（2）利用旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得到，得到，，根據(jù)正方形性質(zhì)求出，即可判定出是等腰直角三角形．
【詳解】（1）解：由圖可知，順時針旋轉(zhuǎn)到，旋轉(zhuǎn)中心是點，旋轉(zhuǎn)角是，
故答案為：點；；
（2）如圖：連接，

是等腰直角三角形，理由如下：
旋轉(zhuǎn)得到，
，
，，
四邊形是正方形，
，
，
，
即，
是等腰直角三角形．
2．（2023上·湖南永州·八年級?？奸_學(xué)考試）如圖，在中，，，，逆時針旋轉(zhuǎn)一定角度后與重合，且點C恰好成為的中點．

(1)旋轉(zhuǎn)中心為點，并求出旋轉(zhuǎn)角= 度；
(2)求出的度數(shù)和的長．
【答案】(1)A；130
(2)，
【分析】（1）由“逆時針旋轉(zhuǎn)一定角度后與重合”可得旋轉(zhuǎn)中心點，求出即可得旋轉(zhuǎn)角；
（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可求解．
【詳解】（1）解：，
即，
逆時針旋轉(zhuǎn)一定角度后與重合，
∴旋轉(zhuǎn)中心為點A，旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為130；
故答案為：A；130
（2）解：逆時針旋轉(zhuǎn)一定角度后與重合，
，，，
，
∵點C恰好成為AD的中點，
，
．
【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的相關(guān)知識點．熟記相關(guān)結(jié)論進(jìn)行幾何推理是解題關(guān)鍵．
題型03 根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求解
【例題】（2023上·廣東廣州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在Rt△ABC中，，，將△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得到，則．
【答案】
【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟練掌握圖形旋轉(zhuǎn)不變性的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出的長，再由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出，，根據(jù)勾股定理即可得出結(jié)論.
【詳解】在Rt△ABC中，，，
，
將△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得到，
，，
故答案為：
【變式訓(xùn)練】
1．（2023上·浙江·九年級專題練習(xí)）如圖，將繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到，連接，若，則的度數(shù)為．
【答案】15
【分析】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊對等角，三角形內(nèi)角和定理，平行線的性質(zhì)，先由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，進(jìn)而得到，再由平行線的性質(zhì)得到，即可得到答案．
【詳解】解：∵將繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，得到
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案為：15．
2．（2024上·廣東肇慶·九年級統(tǒng)考期末）如圖，將繞點A旋轉(zhuǎn)到的位置，點E在邊上，與交于點G．若，，則．
【答案】/65度
【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，再利用三角形外角的性質(zhì)求得，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求得，再根據(jù)對頂角相等求解即可．
【詳解】解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案為：．
【點睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、三角形外角的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
題型04 求繞原點旋轉(zhuǎn)90°點的坐標(biāo)
【例題】（2023上·江蘇蘇州·八年級校考階段練習(xí)）已知點，將點繞原點逆時針方向旋轉(zhuǎn)得點，則點的坐標(biāo)為．
【答案】
【分析】本題考查了坐標(biāo)與圖形變化-旋轉(zhuǎn)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，作出圖形更形象直觀．作出圖形，連接，過點A作軸于H，過點B作軸于，連接，然后根據(jù)點A的坐標(biāo)求出，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求出，然后寫出點的坐標(biāo)即可．
【詳解】解：如圖，連接，過點A作軸于H，過點B作軸于，連接，
∵，
，
∵將點繞原點逆時針方向旋轉(zhuǎn)得點，
，
∴點．
故答案為：．
【變式訓(xùn)練】
1．（2023上·北京西城·九年級?？计谥校┤鐖D，將含有角的直角三角板放置在平面直角坐標(biāo)索中在x軸上，若，將三角板繞原點O旋轉(zhuǎn)得到，則點A的對應(yīng)點的坐標(biāo)為．
【答案】
【分析】本題考查坐標(biāo)與圖形的變化—旋轉(zhuǎn)，含角的直角三角形的性質(zhì)和勾股定理．過點A作軸于點C，求出，的長度是解題關(guān)鍵．
【詳解】解：過點A作軸于點C，
則，，
∴，
即，
∴，
∴，
∴點的坐標(biāo)為，
故答案為：．
2．（2023下·江蘇泰州·八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，B點在第一象限，A點在x軸正半軸上，，點B到x軸的距離是8，將繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)，點B對應(yīng)點的坐標(biāo)是．

【答案】
【分析】過B作于，過作軸于，構(gòu)建，利用勾股定理得到，即可得出答案．
【詳解】過B作于，過作軸于，

∴，
∴，
由旋轉(zhuǎn)可知，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案為：．
【點睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形變化?旋轉(zhuǎn)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識，掌握這幾個知識點的綜合應(yīng)用，其中作出輔助線證明三角形全等是解題關(guān)鍵．
題型05 求繞某點（非原點）旋轉(zhuǎn)90°點的坐標(biāo)
【例題】（2023上·全國·九年級期末）平面直角坐標(biāo)系中，，，A為x軸上一動點，連接，將繞A點順時針旋轉(zhuǎn)得到，當(dāng)點A在x軸上運動，取最小值時，點B的坐標(biāo)為．
【答案】
【分析】分三種情況：當(dāng)點在軸正半軸時；當(dāng)點在原點時；當(dāng)點在軸負(fù)半軸時，利用三角形全等的判定與性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、兩點間的距離公式，分別進(jìn)行求解即可得到答案．
【詳解】解：當(dāng)點在軸正半軸時，如圖，作軸于，設(shè)，則，，

，，
，，
將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，，
，，
，
，
，
，
在和，
，
，
，，
，
，
，
，
，
當(dāng)點在原點時，如圖所示，

，，
，，
將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，
，
；
當(dāng)點在軸負(fù)半軸時，如圖，作軸于，設(shè)，則，，

，，
，，
將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，，
，，
，，
，
在和，
，
，
，，
，
點在第四象限，
，
，
，
，
綜上所述：當(dāng)時，取到最小值，為，此時，
故答案為：．
【點睛】本題考查坐標(biāo)與圖形的變化—旋轉(zhuǎn)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，兩點間的距離等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)，采用分類討論的思想解題．
【變式訓(xùn)練】
1．（2023上·山東東營·八年級?？茧A段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，將其繞點P順時針旋轉(zhuǎn)得到，則點P的坐標(biāo)是．
【答案】
【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)；根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，對應(yīng)點的連線的垂直平分線的交點即為旋轉(zhuǎn)中心，據(jù)此可求解．
【詳解】解：點P位置如圖所示，則點P的坐標(biāo)是，
故答案為：．
2．（2023·湖北宜昌·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，點A的坐標(biāo)為，點是軸正半軸上的一點，將線段繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到線段若點的坐標(biāo)為，則點的坐標(biāo)為．

【答案】
【分析】過作軸于點，通過證得，得出，，可得點的坐標(biāo)，
【詳解】解：過作軸于點，如圖：

，
，
，
，
，，
，
，，
點A的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為，
，，
，
，
故答案為：．
【點睛】本題考查坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．
題型06 平面直角坐標(biāo)系中旋轉(zhuǎn)作圖
【例題】（2024上·吉林松原·九年級校聯(lián)考期中）如圖，方格紙中每個小正方形的邊長都是1個單位長度，在方格紙中建立如圖所示的平而直角坐標(biāo)系，的頂點都在格點上，已知點，．
(1)將向右平移個單位長度得到，請畫出；
(2)將繞點順時針旋轉(zhuǎn)，畫出所得的．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】本題考查了平移作圖，旋轉(zhuǎn)作圖；
（1）根據(jù)題意將向右平移個單位長度得到；
（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)畫出．
【詳解】（1）如圖，即為所求．
（2）如圖，即為所求．
【變式訓(xùn)練】
1．（2023上·四川自貢·九年級校考期中）如圖，正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是一個單位長度，在平面直角坐標(biāo)系中，的三個頂點，，均在格點上，
(1)畫出將向下平移4個單位長度得到的；
(2)畫出繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)后得到的，并寫出點的坐標(biāo)；
【答案】(1)畫圖見解析
(2)畫圖見解析，點的坐標(biāo)
【分析】本題主要考查了作圖平移變換，旋轉(zhuǎn)變換等知識，熟練掌握平移和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)平移的性質(zhì)即可畫出圖形；
（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可畫出圖形，從而得出點的坐標(biāo)；
【詳解】（1）解：如圖，即為所求；
（2）解：如圖，即為所求；
∴點的坐標(biāo)．
2．（2024上·陜西延安·九年級統(tǒng)考期末）如圖，網(wǎng)格中每個小正方形的邊長都是單位1，是格點三角形．
(1)畫出將向右平移2個單位得到的；
(2)畫出將繞點O順時針方向旋轉(zhuǎn)得到的，并寫出點的坐標(biāo)．
【答案】(1)詳見解析
(2)詳見解析，
【分析】（1）分別找到點向右平移2個單位得到的對應(yīng)點，順次連接即可；
（2）分別找到點繞點O順時針方向旋轉(zhuǎn)得到的對應(yīng)點，順次連接即可得到所求的，再寫出點的坐標(biāo)即可；
此題考查了平移和旋轉(zhuǎn)的作圖，熟練掌握作圖方法是解題的關(guān)鍵．
【詳解】（1）解：如解圖，即為所求；
（2）如圖，即為所求，點的坐標(biāo)為．
題型07 坐標(biāo)與旋轉(zhuǎn)規(guī)律問題
【例題】（2023上·山東淄博·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在直角坐標(biāo)系中，已知點，，對連續(xù)作旋轉(zhuǎn)變換，依次得到三角形（1），（2），（3），（4）…，則三角形（2019）的直角頂點的坐標(biāo)為．
【答案】
【分析】本題考查了坐標(biāo)與圖形變換—旋轉(zhuǎn)規(guī)律型問題，解決本題的關(guān)鍵是找到循環(huán)節(jié)，確定循環(huán)的次數(shù)．
先用勾股定理求出的長，從而得到的周長為12，根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換可得的旋轉(zhuǎn)變換為每3次一個循環(huán)，由于，由此可判斷三角形（2019）與三角形（3）的狀態(tài)一樣，然后計算即可得到三角形（2019）的直角頂點坐標(biāo)．
【詳解】∵，，
，
，
的周長，
觀察發(fā)現(xiàn)每連續(xù)3次旋轉(zhuǎn)后與原來狀態(tài)一樣，
，
∴三角形（2019）與三角形（3）的狀態(tài)一樣，
∴三角形（2019）的直角頂點的橫坐標(biāo)為，
∴三角形（2019）的直角頂點的坐標(biāo)為，
故答案為：．
【變式訓(xùn)練】
1．（2023上·遼寧鞍山·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)到的位置，點、分別落在點、處，點在軸上，再將繞點順時針旋轉(zhuǎn)到的位置，點在軸上，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)到的位置，點在軸上，依次進(jìn)行下去…，若點、，則點的橫坐標(biāo)為．

【答案】
【分析】可求，，，，可得當(dāng)為偶數(shù)時，，當(dāng)為奇數(shù)時，，即可求解．
【詳解】解：由題意得
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
當(dāng)為偶數(shù)時，
，
當(dāng)為奇數(shù)時，
當(dāng)時，
，
，
故答案∶
【點睛】本題考查了動點坐標(biāo)規(guī)律，找出規(guī)律是解題的關(guān)鍵你．
2．（2023下·廣西·七年級廣西大學(xué)附屬中學(xué)?？计谥校┤鐖D，已知點，將長方形ABOC沿x軸正方向連續(xù)翻轉(zhuǎn)241次，點A依次落在點，，，…，的位置，則的坐標(biāo)是．
【答案】
【分析】先求出，，，，，找到規(guī)律求解．
【詳解】解：由題意得：從A開始翻轉(zhuǎn)，當(dāng)旋轉(zhuǎn)到時，A回到矩形的起始位置，所以為一個循環(huán)，故坐標(biāo)變換規(guī)律為次一循環(huán)．
，，，，
，，，，
，，，，
，
，，，，
當(dāng)時，即，解得，
橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為，
則的坐標(biāo)，
故答案為：．
【點睛】本題主要考查圖形的旋轉(zhuǎn)變換，解題關(guān)鍵是找到圖形在旋轉(zhuǎn)的過程中，點坐標(biāo)變化規(guī)律進(jìn)而求解．
題型08 旋轉(zhuǎn)綜合題——幾何變換
【例題】（2023上·北京朝陽·九年級?？计谥校┤鐖D，在中，，點為邊上一點（不與點重合），連接，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到．

(1)若，寫出旋轉(zhuǎn)角及其度數(shù)；
(2)當(dāng)度數(shù)變化時，與之間存在某種不變的數(shù)量關(guān)系．請你寫出結(jié)論并證明．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出旋轉(zhuǎn)角為；
（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和得出，，即可求解；
【詳解】（1）當(dāng)時，
，
∵旋轉(zhuǎn)得到，其中旋轉(zhuǎn)到.
∴旋轉(zhuǎn)角為；
（2）∵，
，
∵旋轉(zhuǎn)得到，
，
，
即，
，
即，
；
【點睛】該題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)，解答該題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．
【變式訓(xùn)練】
1．（2023上·河南濮陽·八年級統(tǒng)考期中）已知：如圖 1，中，，D、E分別是、上的點，不難發(fā)現(xiàn)、的關(guān)系．
(1)將繞A 點旋轉(zhuǎn)到圖2 位置時，寫出、的數(shù)量關(guān)系；
(2)當(dāng) 時，將繞 A 點旋轉(zhuǎn)到圖3 位置．
①猜想與有什么數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系?請就圖3 的情形進(jìn)行證明；
②當(dāng)點 C、D、E 在同一直線上時，直接寫出的度數(shù) ．
【答案】(1)
(2)①，，證明見解析，②或
【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)．
（1）證明，即可作答；
（2）①同理先證明，即有，，在和中，根據(jù)，，即有，則有，問題得解；②分兩種情況：第一種：當(dāng)點 C、D、E 在同一直線上，且點D在線段上時，第二種：當(dāng)點 C、D、E 在同一直線上，且點E在線段上時，畫出圖形，結(jié)合在等腰中，，以及，即可作答．
【詳解】（1）∵，
即，
在和中，，，，
∴
∴；
（2）①，，
證明：如圖，交于點F，交于點M，
∵，
∴，
即，
在和中，，，，
∴
∴，，
在和中，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
因此，；
②如圖，
當(dāng)點 C、D、E 在同一直線上，且點D在線段上時，如圖I所示，
在等腰中，，
∵，
∴，
∴；
當(dāng)點 C、D、E 在同一直線上，且點E在線段上時，如圖II所示，
在等腰中，，
∵，
∴，
∴；
故的度數(shù)為：或．
2．（2023上·湖北黃岡·九年級統(tǒng)考期中）如圖，和都是等腰直角三角形，．
(1)【猜想】如圖1，點在上，點在上，線段與的數(shù)量關(guān)系是______，位置關(guān)系是______；
(2)【探究】：把繞點旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置，連接，，（1）中的結(jié)論還成立嗎？說明理由；
(3)【拓展】：把繞點在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若，，當(dāng)A，，三點在同一直線上時，直接寫出的長．
【答案】(1)，
(2)（1）中的結(jié)論成立，理由見解析
(3)或
【分析】（1）利用等腰直角三角形的性質(zhì)得出，得出，再用，即可得出結(jié)論；
（2）先由旋轉(zhuǎn)得出，進(jìn)而判斷出，得出，進(jìn)而得出，即可得出結(jié)論；
（3）分兩種情況，①當(dāng)點E在線段上時，過點C作于M，求出，再用勾股定理求出，即可得出結(jié)論；
②當(dāng)點E在線段的延長線上時，過點C作于N，求出，再由勾股定理求出根據(jù)勾股定理得，即可得出結(jié)論．
【詳解】（1）解：∵和都是等腰直角三角形，，
∴，，
，
，
∵，
，
故答案為：；
（2）解：（1）中結(jié)論仍然成立，
理由：
由旋轉(zhuǎn)知，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：①當(dāng)點E在線段上時，如圖3，過點C作于M，
∵是等腰直角三角形，且，
∴，
，
，
在中，，
，
，
在中，，
，
在中，
；
②當(dāng)點D在線段上時，如圖4，過點C作于N，
∵是等腰直角三角形，且，
∴，
，
，
在中，，
，
，
在中，，
，
在中，
；
綜上，的長為或．
【點睛】此題是幾何變換綜合題，主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，作出輔助線構(gòu)造出直角三角形是解本題的關(guān)鍵．
一、單選題
1．（2024上·安徽合肥·九年級統(tǒng)考期末）垃圾分類是對垃圾收集處置傳統(tǒng)方式的改革，是對垃圾進(jìn)行有效處置的一種科學(xué)管理方法.你認(rèn)識垃圾分類的圖標(biāo)嗎？請選出其中的旋轉(zhuǎn)對稱圖形（）
A．可回收物 B．有害垃圾
C．廚余垃圾 D．其他垃圾
【答案】A
【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)對稱圖形，正確記憶相關(guān)概念是解題關(guān)鍵．如果某一個圖形圍繞某一點旋轉(zhuǎn)一定的角度（小于）后能與原圖形重合，那么這個圖形就叫做旋轉(zhuǎn)對稱圖形，由此即可判斷．
【詳解】解：選項A能找到這樣的一個點，使圖形繞這個點旋轉(zhuǎn)一定的角度（小于）后能與原圖形重合，所以都是旋轉(zhuǎn)對稱圖形；
選項B、C、D不能找到這樣的一個點，使圖形繞這個點旋轉(zhuǎn)一定的角度（小于）后能與原圖形重合，所以不是旋轉(zhuǎn)對稱圖形．
故選：A．
2．（2024上·河北唐山·七年級統(tǒng)考期末）如圖，繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)，得到，若，則等于（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，確定旋轉(zhuǎn)角以及旋轉(zhuǎn)前后對應(yīng)角相等是解題關(guān)鍵．
【詳解】解：由題意得：，，
∴，
故選：C
3．（2024上·江西上饒·九年級統(tǒng)考期末）如圖，將一塊含有的直角三角板（假定，）繞頂點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到，則等于（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意得到，得到，即可得到答案．
【詳解】解：依題意得，
，，
，
．
故選B．
4．（2024上·廣東肇慶·九年級統(tǒng)考期末）如圖，將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)，得到線段，那么的對應(yīng)點的坐標(biāo)是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形變化—旋轉(zhuǎn)，全等三角形的性質(zhì)與判定，由線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到線段可以得出，，作軸于，軸于，就可以得出，就可以得出，，由的坐標(biāo)就可以求出結(jié)論．
【詳解】解：線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，

，．
作軸于，軸于，
．
，
，
．
在和△中，
，
，
∴，．
∵，
，，
，，
．
故選：C．
【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)的運用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運用，點的坐標(biāo)的運用，正確作出輔助線并證得是解決問題的關(guān)鍵．
5．（2024上·山東煙臺·八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知中，，，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，以下結(jié)論：①，②，③，④，正確的有（）
A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④
【答案】D
【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)性質(zhì)的應(yīng)用，三角形內(nèi)角和定理和等邊對等角，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，，，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為，然后利用三角形內(nèi)角和定理和等邊對等角逐項求解判斷即可．
【詳解】①繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，
，故①正確；
②繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，
．
，
．
，
．
∴，故②正確；
③在中，
，，
．
．
與不垂直，故③不正確；
④在中，
，，
．
，故④正確．
①②④這三個結(jié)論正確．
故選：D．
二、填空題
6．（2023上·山西呂梁·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，以點A為旋轉(zhuǎn)中心，將逆時針旋轉(zhuǎn)，得到，若點D在線段的延長線上，則的大小為．
【答案】/39度
【分析】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)；掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得到，，利用等邊對等角，進(jìn)行計算即可．
【詳解】解：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可得：
，，
故答案為：．
7．（2023上·安徽淮南·九年級統(tǒng)考期末）如圖將繞點旋轉(zhuǎn)得到，設(shè)點的坐標(biāo)為，則A的坐標(biāo)為．
【答案】
【分析】本題考查了利用旋轉(zhuǎn)進(jìn)行坐標(biāo)與圖形的變化，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出點、關(guān)于點成中心對稱是解題的關(guān)鍵，還需注意中點公式的利用，也是容易出錯的地方．設(shè)點的坐標(biāo)是，根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的對應(yīng)點關(guān)于旋轉(zhuǎn)中心對稱，再根據(jù)中點公式列式求解即可．
【詳解】解：根據(jù)題意，點、關(guān)于點對稱，
設(shè)點的坐標(biāo)是，
則，，
解得，，
點的坐標(biāo)是．
故答案為：．
8．（2024上·遼寧大連·九年級統(tǒng)考期末）如圖，將繞點A順時針旋轉(zhuǎn)一定的角度得到，此時點恰在邊上，若，，則的長為．
【答案】3
【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，即可求解．
【詳解】解：∵將繞點A順時針旋轉(zhuǎn)一定的角度得到，
，，
，，
，
故答案為：3．
9．（2024上·天津?qū)幒印ぞ拍昙壗y(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，點，點，把繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，得，點旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點為，．如圖，當(dāng)點落在邊上時，旋轉(zhuǎn)角的大小為，點的坐標(biāo)為．
【答案】 /45度
【分析】本題考查了坐標(biāo)與圖形、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、勾股定理、等腰直角三角形的性質(zhì)，由點，點得出，從而得出是等腰直角三角形，由勾股定理可得，當(dāng)點落在邊上時，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：，，求出即可得出答案，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關(guān)鍵．
【詳解】解：點，點，
，
是等腰直角三角形，
，，
當(dāng)點落在邊上時，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：，，
旋轉(zhuǎn)角的大小為，，
點的坐標(biāo)為，
故答案為：，．
10．（2024上·遼寧盤錦·九年級校考期末）如圖，，，，，點D為的中點，點E在的延長線上，將繞點D順時針旋轉(zhuǎn)度得到，當(dāng)是直角三角形時，的長為．
【答案】10或
【分析】本題考查了勾股定理，全等三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．根據(jù)勾股定理可求出，先根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得到，從而得到．再分情況討論：①當(dāng)時；②當(dāng)時，利用勾股定理分別求解，即可得到答案．利用分類討論的思想解決問題是解題關(guān)鍵．
【詳解】解：，，，
由勾股定理得：，
，
，
繞點D順時針旋轉(zhuǎn)得到，
，
點D為的中點，
，
①當(dāng)時，

，
，
；
②當(dāng)時，

在中，，
在中，，
綜上可知，的長為10或．
故答案為：10或．
三、解答題
11．（2023上·重慶忠縣·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點，，．
(1)將繞坐標(biāo)原點O順時針旋轉(zhuǎn)為，寫出點、、的坐標(biāo)，并在圖中作出；
(2)求的面積．
【答案】(1)圖見解析，，，，
(2)
【分析】本題考查作圖旋轉(zhuǎn)變換，在網(wǎng)格圖中求三角形的面積，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得點、、的坐標(biāo)，畫圖即可．
（2）利用割補法求三角形的面積即可．
【詳解】（1）解：如圖，即為所求．點、、．
（2）解：的面積為．
12．（2024上·湖北武漢·九年級統(tǒng)考期末）如圖，點E是正方形內(nèi)一點，連接，將繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°到的位置（），連接．
(1)判斷的形狀為；
(2)若，，，求的度數(shù)．
【答案】(1)等腰直角三角形
(2)
【分析】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理逆定理．
（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得到，即可得出結(jié)論；
（2）勾股定理求出，再利用勾股定理逆定理得到，即可得出結(jié)論．
掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．
【詳解】（1）解：∵將繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°到的位置，
∴，
∴為等腰直角三角形，
故答案為：等腰直角三角形；
（2）∵旋轉(zhuǎn)，
∴，
∴，
∵為等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴．
13．（2024上·湖北武漢·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，將繞點C順時針旋轉(zhuǎn)得到，延長交于點F．
(1)直接寫出的度數(shù)；
(2)若，求證：．
【答案】(1)
(2)見解析
【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)前后對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等，正確畫出輔助線，構(gòu)造等腰三角形是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出，結(jié)合得出，即可得出結(jié)論；
（2）連接，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出，，則，進(jìn)而得出，則，根據(jù)三線合一得出，即可求證．
【詳解】（1）解：∵繞點C順時針旋轉(zhuǎn)得到，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）證明：連接，
∵繞點C順時針旋轉(zhuǎn)得到，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
14．（2023上·陜西渭南·九年級統(tǒng)考期末）如圖，將一個鈍角（其中）繞點順時針旋轉(zhuǎn)得，使得點落在的延長線上的點處，連接．
(1)求證：；
(2)若，求的度數(shù)．
【答案】(1)見詳解
(2)
【分析】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、等邊三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關(guān)鍵．
（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，從而得出，為等邊三角形，由等邊三角形的性質(zhì)可得，即可推出；
（2）由平行線的性質(zhì)結(jié)合旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，再由三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行計算即可．
【詳解】（1）證明：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，
∴，
∴為等邊三角形，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∴．
15．（2024上·甘肅武威·九年級校聯(lián)考期末）如圖，在中，點在邊上，，將線段繞點旋轉(zhuǎn)到的位置，使得，連接、與交于點．
(1)求證：；
(2)若，，求的度數(shù)．
【答案】(1)證明見解析；
(2)．
【分析】（）證明即可求證；
（）由，得到，再根據(jù)得到，由三角形的外角性質(zhì)即可求出的度數(shù)；
本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理及外角性質(zhì)，掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【詳解】（1）證明：∵，
∴，
∵將線段繞點旋轉(zhuǎn)到的位置，
∴，
在與中，
，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
16．（2024上·浙江臺州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，將繞點C順時針旋轉(zhuǎn)得到，旋轉(zhuǎn)角為，，分別交于點F，G，連接．

(1)求證：；
(2)若，，．
①求的長；
②連接，，，求四邊形的面積．
【答案】(1)見解析
(2)①；②5
【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理可證得結(jié)論；
（2）①利用平行線的性質(zhì)和含30度角的直角三角形的性質(zhì)求得，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得到，然后利用勾股定理求解即可；
②過E作交延長線于M，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)求得，根據(jù)勾股定理求得，，由求解即可．
【詳解】（1）證明：由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，得，，
∵，，，
∴，即；
（2）解：①由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得，，，
∵，，
∴，，
∴，
∴；
②如圖，過E作交延長線于M，

則，，
∴，
∴，，
∵，
∴
．
【點睛】本題考查旋轉(zhuǎn)性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、含30度角的直角三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理、勾股定理等知識，熟練掌握相關(guān)知識的聯(lián)系與運用是解答的關(guān)鍵．
17．（2024上·陜西西安·七年級?？计谀┤鐖D，已知中，，將沿著射線方向平移得到，其中點A、點B、點C的對應(yīng)點分別是點D、點E、點F，且．
(1)如圖①，如果，，那么平移的距離等于______；（請直接寫出答案）
(2)如圖②，將繞著點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，如果，，求的面積；
(3)如圖③，在（2）題的條件下，分別以，為邊向外作正方形，正方形的面積分別記為，，且滿足，如果平移的距離等于，求出的面積．
【答案】(1)
(2)的面積為
(3)的面積為
【分析】本題主要考查圖形的變換，理解圖形的平移，圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，掌握梯形，三角形面積的計算方法是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)圖形平移，線段的關(guān)系即可求解；
（2）根據(jù)圖形的旋轉(zhuǎn)，圖形之間線段的關(guān)系，結(jié)合梯形，三角形面積的計算方法即可求解；
（3）根據(jù)正方形的面積的計算方法可得，再根據(jù)可算出，結(jié)合（2）中計算的面積的方法即可求解．
【詳解】（1）解：根據(jù)題意，，
∴平移的距離為，
故答案為：；
（2）解：根據(jù)題意，如圖所示，
∴，，，
根據(jù)題意，，
∴四邊形是直角梯形，
∴，，
∴
，
∴的面積為；
（3）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴由（2）可知的面積為，
∴當(dāng)平移的距離等于時，，，
∴，
∴的面積為．
18．（2024上·廣東清遠(yuǎn)·七年級統(tǒng)考期末）三角形和三角形的頂點互相重合，，，，．
(1)如圖1，當(dāng)與重合，時，；
(2)如圖2，三角形固定不動，將三角形繞點旋轉(zhuǎn)，使點落到的延長線上，當(dāng)，且射線平分時，求的度數(shù)；
(3)三角形固定不動，將三角形繞點旋轉(zhuǎn)，當(dāng)且射線平分時，求．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）根據(jù)已知條件，結(jié)合角度之間的關(guān)系計算即可；
（2）連接，利用三角形的內(nèi)角和定理得出，再由角平分線定理得出，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出，由平角為得出，最后再利用三角形的內(nèi)角和定理求出即可；
（3）分兩種情況，當(dāng)點E在線段上面時，根據(jù)題意得，由，即可求得；當(dāng)點E在線段下面時，可得，由即可求得．
【詳解】（1）解：∵當(dāng)與重合，，，
∴，
故答案為∶．
（2）連接，如下圖：
∵，，
∴，
∴平分，
∴，
∵，，
∴，
∵點落到的延長線上，
∴，
∴；
（3）①當(dāng)點E在線段上面時，如圖，
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
則；
②當(dāng)點E在線段下面時，如圖，
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
則；
故為或．
【點睛】本題主要考查角平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)三角形內(nèi)角和定理和旋轉(zhuǎn)所成角度，解題的關(guān)鍵是分類討論思想的應(yīng)用和應(yīng)用角平分性質(zhì)．

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