目錄
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc15341" 【考點(diǎn)一 利用整體法提公因式因式分解】 PAGEREF _Tc15341 \h 1
\l "_Tc27334" 【考點(diǎn)二 因式分解要徹底分解】 PAGEREF _Tc27334 \h 3
\l "_Tc10963" 【考點(diǎn)三 十字相乘法因式分解】 PAGEREF _Tc10963 \h 6
\l "_Tc20497" 【考點(diǎn)四 分組分解法因式分解】 PAGEREF _Tc20497 \h 12
\l "_Tc3736" 【考點(diǎn)五 因式分解的應(yīng)用】 PAGEREF _Tc3736 \h 15
【考點(diǎn)一 利用整體法提公因式因式分解】
例題：（2024上·四川眉山·八年級(jí)統(tǒng)考期末）分解因式： ．
【變式訓(xùn)練】
1．（2023上·湖南衡陽(yáng)·八年級(jí)?？计谀┌咽阶臃纸庖蚴?，結(jié)果是
2．（2023下·全國(guó)·八年級(jí)假期作業(yè)）因式分解： ．
3．（2023上·陜西延安·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）因式分解：．
4．（2023上·上海青浦·七年級(jí)?？计谥校┮蚴椒纸猓?br>5．（2023上·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）分解因式：
(1)．
(2)．
【考點(diǎn)二 因式分解要徹底分解】
例題：（2023秋·遼寧沈陽(yáng)·八年級(jí)?？计谀┮蚴椒纸?br>(1) (2)
【變式訓(xùn)練】
1．（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）因式分解：．
2．（2023秋·吉林長(zhǎng)春·八年級(jí)統(tǒng)考期末）因式分解
(1) (2)
3．（2023春·四川成都·八年級(jí)成都市第二十中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）分解因式：
(1)； (2)．
4．（2023秋·湖南永州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）因式分解
(1) (2)
5．（2023秋·上海靜安·七年級(jí)新中初級(jí)中學(xué)?？计谀┮蚴椒纸猓?br>(1)； (2)
6．（2023秋·山東濱州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）分解因式．
(1)； (2)．
【考點(diǎn)三 十字相乘法因式分解】
例題：（2024上·北京東城·八年級(jí)統(tǒng)考期末）利用整式的乘法運(yùn)算法則推導(dǎo)得出：．我們知道因式分解是與整式乘法方向相反的變形，利用這種關(guān)系可得．通過觀察可把看作以x為未知數(shù)，a、b、c、d為常數(shù)的二次三項(xiàng)式，此種因式分解是把二次三項(xiàng)式的二項(xiàng)式系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)分別進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆纸鈦?lái)湊一次項(xiàng)的系數(shù)，分解過程可形象地表述為“豎乘得首、尾，叉乘湊中項(xiàng)”，如圖1，這種分解的方法稱為十字相乘法．例如，將二次三項(xiàng)式的二項(xiàng)式系數(shù)2與常數(shù)項(xiàng)12分別進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆纸猓鐖D2，則．
根據(jù)閱讀材料解決下列問題：
(1)用十字相乘法分解因式：；
(2)用十字相乘法分解因式：；
(3)結(jié)合本題知識(shí)，分解因式：．
【變式訓(xùn)練】
1．（2023上·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）十字相乘法分解因式：
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
2．（2023下·廣西北海·七年級(jí)統(tǒng)考期中）閱讀理解：用“十字相乘法”因式分解
例如：求：
(1)
(2)
3．（2022上·湖北恩施·八年級(jí)?？计谥校╅喿x與思考：我們知道，整式乘法計(jì)算：，反過來(lái)，即為因式分解．通過觀察發(fā)現(xiàn)：這個(gè)等式可以寫成，一般地，可以歸納為：，例如，分解因式：，
請(qǐng)仔細(xì)閱讀以上內(nèi)容并完成下面練習(xí)：分解因式：
(1)
(2)
(3)
4．（2023下·湖南岳陽(yáng)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）閱讀理解：用“十字相乘法”分解因式的方法（如圖）．
第一步：二次項(xiàng)；
第二步：常數(shù)項(xiàng)，畫“十字圖”驗(yàn)算“交叉相乘之和”；

第三步：發(fā)現(xiàn)第③個(gè)“交叉相乘之和”的結(jié)果等于一次項(xiàng)．
即．
像這樣，通過畫“十字圖”，把二次三項(xiàng)式分解因式的方法，叫做“十字相乘法”．
運(yùn)用結(jié)論：
(1)將多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解，可以表示為_______________；
(2)若可分解為兩個(gè)一次因式的積，請(qǐng)畫好“十字圖”，并求整數(shù)的所有可能值．
【考點(diǎn)四 分組分解法因式分解】
例題：（2023上·遼寧鞍山·八年級(jí)統(tǒng)考期中）閱讀下列材料：數(shù)學(xué)研究發(fā)現(xiàn)常用的因式分解的方法有提取公因式法、公式法，但還有很多的多項(xiàng)式只用上述方法無(wú)法分解，如：“”，細(xì)心觀察這個(gè)式子就會(huì)發(fā)現(xiàn)，前兩項(xiàng)可以提取公因式，后兩項(xiàng)也可提取公因式，前后兩部分分別因式分解后產(chǎn)生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整個(gè)式子的因式分解了，過程為．此種因式分解的方法叫做“分組分解法”，請(qǐng)?jiān)谶@種方法的啟發(fā)下，解決以下問題：
(1)因式分解：；
(2)已知，求的值．
【變式訓(xùn)練】
1．（2024上·山西長(zhǎng)治·八年級(jí)統(tǒng)考期末）閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù).
任務(wù)：
(1)因式分解：
(2)已知，，求的值.
2．（2023上·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）閱讀下列文字與例題：
將一個(gè)多項(xiàng)式分組后，可提公因式或運(yùn)用公式繼續(xù)分解的方法稱作分組分解．
例如：以下兩個(gè)式子的分解因式的方法就稱為分組分解法．
①；
②
試用上述方法分解因式：
(1)；
(2)．
3．（2023上·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）八年級(jí)課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問題：將因式分解．經(jīng)過小組合作交流，得到了如下的解決方法：
解法一：原式
解法二：原式
小明由此體會(huì)到，對(duì)項(xiàng)數(shù)較多的多項(xiàng)式無(wú)法直接進(jìn)行因式分解時(shí)，我們可以將多項(xiàng)式分為若干組，再利用提公因式法、公式法等方法達(dá)到因式分解的目的．這種方法可以稱為分組分解法．(溫馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解為止)
請(qǐng)你也試一試?yán)梅纸M分解法進(jìn)行因式分解：
(1)因式分解：；
(2)因式分解：．
【考點(diǎn)五 因式分解的應(yīng)用】
例題：（2023下·四川達(dá)州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）我們已經(jīng)學(xué)過將一個(gè)多項(xiàng)式分解因式的方法有提公因式法和運(yùn)用公式法，其實(shí)分解因式的方法還有分組分解法、添項(xiàng)拆項(xiàng)法、十字相乘法等等．
①分組分解法：將一個(gè)多項(xiàng)式適當(dāng)分組后，可提公因式或運(yùn)用公式繼續(xù)分解的方法叫作分組分解法．
例如：
②十字相乘法：十字相乘法能用于二次三項(xiàng)式的分解因式．
分解步驟：
1．分解二次項(xiàng)，所得結(jié)果分別寫在十字交叉線的左上角和左下角；
2．分解常數(shù)項(xiàng)，所得結(jié)果分別寫在十字交叉線的右上角和右下角；
3．交叉相乘，求代數(shù)和，使其等于一次項(xiàng)；
4．觀察得出原二次三項(xiàng)式的兩個(gè)因式，并表示出分解結(jié)果．這種分解方法叫作十字相乘法．
例如： 分析：

觀察得出：兩個(gè)因式分別為與
解：原式
③添項(xiàng)拆項(xiàng)法：將一個(gè)多項(xiàng)式的某一項(xiàng)拆成兩項(xiàng)后，可提公因式或運(yùn)用公式繼續(xù)分解的方法叫作拆項(xiàng)法．
例如：．
(1)仿照以上方法，按照要求分解因式：
①（分組分解法）______；
②（十字相乘法）______；
(2)已知：a、b、c為的三條邊，，判斷的形狀．
【變式訓(xùn)練】
1．（2024上·山東東營(yíng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）小強(qiáng)是一位密碼編譯愛好者，在他的密碼手冊(cè)中，有這樣一條信息：，，2，，，，分別對(duì)應(yīng)下列六個(gè)字：華、我、愛、美、游、中，現(xiàn)將因式分解，結(jié)果呈現(xiàn)的密碼信息可能是（ ）
A．愛我中華B．我游中華C．中華美D．我愛美
2．（2024·全國(guó)·八年級(jí)競(jìng)賽）已知，則的值（ ）．
A．一定是負(fù)數(shù)B．一定是正數(shù)C．一定不是正數(shù)D．不能確定
3．（2024上·湖北恩施·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在日常生活中如取款、上網(wǎng)等都需要密碼，有一種用“因式分解”法產(chǎn)生的密碼記憶方便．原理是：如對(duì)于多項(xiàng)式，因式分解的結(jié)果是，若取，，則各個(gè)因式的值是：，，，于是就可以把“018162”作為一個(gè)六位數(shù)的密碼．對(duì)于多項(xiàng)式，取，，用上述方法產(chǎn)生的密碼不可能是（ ）
A．528024B．522824C．248052D．522480
4．（2024上·河南商丘·八年級(jí)統(tǒng)考期末）［閱讀材料］
將四項(xiàng)及四項(xiàng)以上的多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解，我們一般使用分組分解法．分組分解法有兩種分法：一是“”分組．二是“”分組．兩種分組的主要區(qū)別就在于多項(xiàng)式中是否存在三項(xiàng)可以構(gòu)成完全平方，若可以構(gòu)成完全平方，則采用“”分組；若無(wú)法構(gòu)成，則采用“”分組．
例如：；
．
［應(yīng)用知識(shí)］
（1）因式分解：．
（2）因式分解：．
［拓展應(yīng)用］
（3）已知一三角形的三邊長(zhǎng)分別是，且滿足：．試判斷這個(gè)三角形的形狀，并說明理由．
5．（2024上·廣東汕頭·八年級(jí)校聯(lián)考期末）閱讀材料：利用公式法，可以將一些形如的多項(xiàng)式變形為的形式，我們把這樣的變形方法叫做配方法，運(yùn)用配方法及平方差公式能對(duì)一些多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解．
例如：．
即：．
根據(jù)以上材料，解答下列問題：
(1)因式分解：；
(2)已知，，是的三邊長(zhǎng)，且滿足，求的最長(zhǎng)邊的取值范圍；
(3)已知，，是的三邊長(zhǎng)，且滿足，求的周長(zhǎng)．
數(shù)學(xué)研究發(fā)現(xiàn)常用的因式分解的方法有提取公因式法、公式法，但還有很多的多項(xiàng)式只用上述方法無(wú)法分解，如“”，細(xì)心觀察這個(gè)式子就會(huì)發(fā)現(xiàn)，前兩項(xiàng)可以提取公因式，后兩項(xiàng)也可以提取公因式，前后兩部分分別因式分解后產(chǎn)生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整個(gè)式子的因式分解了，其過程如下：.
此種因式分解的方法叫做“分組分解法”.

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初中數(shù)學(xué)北師大版（2024）八年級(jí)下冊(cè)電子課本

1 因式分解

版本： 北師大版（2024）

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