1.掌握角的定義及其表示及角的分類；
2.掌握角的單位轉(zhuǎn)化及計(jì)算；
3.掌握鐘面角與方位角的計(jì)算.
4.掌握角的大小比較的方法；
5.掌握角平分線的定義及相關(guān)計(jì)算；
6.掌握角的n等分的相關(guān)計(jì)算；
知識(shí)點(diǎn)01 角的概念
定義1：有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角，這個(gè)公共端點(diǎn)是角的頂點(diǎn)，這兩條射線是角的兩條邊．
定義2：一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而形成的圖形，射線旋轉(zhuǎn)時(shí)經(jīng)過的平面部分是角的內(nèi)部．
知識(shí)點(diǎn)02 角的表示方法
知識(shí)點(diǎn)03 鐘表上有關(guān)夾角問題
鐘表中共有12個(gè)大格，把周角12等分、每個(gè)大格對(duì)應(yīng)30°的角，分針1分鐘轉(zhuǎn)6°，時(shí)針每小時(shí)轉(zhuǎn)30°，時(shí)針1分鐘轉(zhuǎn)0.5°，利用這些關(guān)系，可幫助我們解決鐘表中角度的計(jì)算問題．
知識(shí)點(diǎn)04 角的大小比較
方法1：度量比較法．先用量角器量出角的度數(shù)，然后比較它們的大?。?br>方法2：疊合比較法．把其中的一個(gè)角移到另一個(gè)角上作比較．
如比較∠AOB和∠A′O′B′的大小： 如下圖，由圖（1）可得∠AOB∠A′O′B′．
知識(shí)點(diǎn)05 角的和、差關(guān)系
如圖所示，∠AOB是∠1與∠2的和，記作：∠AOB=∠1+∠2；∠1是∠AOB與∠2的差，記作：∠1=∠AOB-∠2．
【說明】（1）用量角器量角和畫角的一般步驟：①對(duì)中(角的頂點(diǎn)與量角器的中心對(duì)齊)；②重合(一邊與刻度尺上的零度線重合)；③讀數(shù)(讀出另一邊所在線的度數(shù))．
（2）利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根據(jù)角的和、差關(guān)系，還可以畫出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角．
知識(shí)點(diǎn)06 角平分線
從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成相等的兩個(gè)角的射線，叫做這個(gè)角的平分線．如圖所示，OC是∠AOB的角平分線，∠AOB=2∠AOC=2∠BOC，∠AOC=∠BOC =∠AOB．
題型01 角的概念及表示方法
【典例1】（2023春·河北承德·七年級(jí)?？奸_學(xué)考試）下列說法中，正確的是（ ）
A．一個(gè)周角就是一條射線B．平角是一條直線
C．角的兩邊越長，角就越大D．也可以表示為
【答案】D
【分析】根據(jù)平角，周角的概念，角的大小及表示分別判斷即可．
【詳解】解：A、周角的兩邊在同一射線上，不是一條射線，故錯(cuò)誤，不合題意；
B、平角的兩邊在同一直線上，平角有頂點(diǎn)，而直線沒有，故錯(cuò)誤，不合題意；
C、角的大小和兩邊的長度沒有關(guān)系，故錯(cuò)誤，不合題意；
D、也可以表示為，故正確，符合題意；
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了平角，周角的概念，角的大小及表示，屬于幾何基礎(chǔ)知識(shí)，要熟練掌握，比較簡單．
【變式1】（2023秋·全國·七年級(jí)課堂例題）如圖所示，回答下列問題：
(1)寫出能用一個(gè)字母表示的角：________________；
(2)寫出以點(diǎn)B為頂點(diǎn)的角________________；
(3)圖中共有______________個(gè)小于平角的角．
【答案】(1)
(2)
(3)7
【分析】（1）確定以這個(gè)字母為頂點(diǎn)的角只有1個(gè)，從而可得答案；
（2）根據(jù)角的定義分別確定以B為頂點(diǎn)的角即可；
（3）分別確定以A，B，C，E為頂點(diǎn)的小于平角的角即可．
【詳解】（1）解：能用一個(gè)字母表示的角有：，．
故答案為：，．
（2）以為頂點(diǎn)的角有：，，．
故答案為：，，．
（3）圖中共有7個(gè)小于平角的角，分別是：
，，，，，，．
故答案為：7．
【點(diǎn)睛】本題考查的是角的表示方法，熟記角的含義與角的表示方法是解本題的關(guān)鍵．
【變式2】（2023秋·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）根據(jù)給出的圖回答下列問題：

(1)表示成，這樣的表示方法是否正確？如果不正確，應(yīng)該怎樣改正？
(2)圖中哪個(gè)角可以用一個(gè)字母來表示？
(3)以為頂點(diǎn)的角有幾個(gè)？請(qǐng)表示出來．
(4)與是同一個(gè)角嗎？請(qǐng)說明理由．
(5)圖中共有幾個(gè)小于平角的角？
【答案】(1)不正確，可表示為
(2)
(3)3個(gè)，見解析
(4)見解析
(5)11個(gè)
【分析】（1）、（2）根據(jù)角的表示方法求解即可；（3）、（4）、（5）根據(jù)角的定義和表示方法回答即可．
【詳解】（1）不正確，因?yàn)橐詾轫旤c(diǎn)的角不止一個(gè)，所以這樣的表示方法不正確，可表示為；
（2）圖中可以用一個(gè)字母表示；
（3）以A為頂點(diǎn)的角有3個(gè)，分別是、、；
（4）因?yàn)檫@兩個(gè)角的頂點(diǎn)不同，所以不是同一個(gè)角．
（5）圖中小于平角的角有：，，，，，，，，，，，共有11個(gè)小于平角的角．
【點(diǎn)睛】本題考查的是角的定義和角的表示方法，掌握角的定義和角的表示方法是解題的關(guān)鍵．
題型02 鐘面角
【典例2】（2023春·陜西西安·七年級(jí)?？奸_學(xué)考試）8點(diǎn)30分時(shí)刻，鐘表上時(shí)針與分針?biāo)M成的角為 度．
【答案】
【分析】根據(jù)鐘表上的刻度是把一個(gè)圓平均分成了12等份，每一份是，鐘面上8點(diǎn)30分時(shí)，時(shí)針和分針之間相差個(gè)大格，用，即可得出答案．
【詳解】解：鐘表上的刻度是把一個(gè)圓平均分成了12等份，則每一份是，
∴8點(diǎn)30分時(shí)，時(shí)針和分針?biāo)鶌A的角是．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了鐘面上角的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握鐘表上一個(gè)大格之間的夾角為．
【變式1】（2023秋·湖南衡陽·七年級(jí)?？奸_學(xué)考試）李老師從家出發(fā)去單位上班，到單位的時(shí)間是，那么這段時(shí)間，分針走了 °，時(shí)針走了 °．
【答案】 210 17.5
【分析】先求出分針1分鐘走，時(shí)針1分鐘走，然后再根據(jù)時(shí)間求出分針和時(shí)針走的角度即可．
【詳解】解：∵分針1小時(shí)走，時(shí)針1小時(shí)走，
∴分針1分鐘走，時(shí)針1分鐘走，
∴李老師從家出發(fā)去單位上班，到單位的時(shí)間是，那么這段時(shí)間，分針走了，時(shí)針走了．
故答案為：210；17.5．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了鐘表上的角度問題，解題的關(guān)鍵是求出分針1分鐘走，時(shí)針1分鐘走．
【變式2】（2023春·山西太原·七年級(jí)校考階段練習(xí)）我校下午到校時(shí)間為14時(shí)10分，則此時(shí)刻鐘表上的時(shí)針與分針的夾角為 度．
【答案】
【分析】鐘表里，每一大格所對(duì)的圓心角是，每一小格所對(duì)的圓心角是，根據(jù)這個(gè)關(guān)系，求解即可．
【詳解】解：時(shí)鐘指示14時(shí)10分時(shí)，分針指到2，時(shí)針指到2與3之間，
時(shí)針從2到這個(gè)位置經(jīng)過了10分鐘，時(shí)針每分鐘轉(zhuǎn)，因而轉(zhuǎn)過，
時(shí)針和分針?biāo)傻匿J角是．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查鐘面角，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)表面上每一格，每一小格所對(duì)的圓心角是的規(guī)律，計(jì)算出分針與時(shí)針的夾角的度數(shù)．
題型03 與方向角有關(guān)的計(jì)算題
【典例3】（2023春·湖北十堰·七年級(jí)?？奸_學(xué)考試）如圖，在燈塔處觀測(cè)到輪船位于北偏西的方向，同時(shí)輪船在南偏東的方向，那么的大小為（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用方向角的定義，求出即可求解．
【詳解】解：如圖，
，
．
又，
．
故選：．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了方向角，解題的關(guān)鍵是正確理解方向角的定義，得出角的度數(shù)．
【變式1】（2023秋·河北張家口·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，甲從點(diǎn)A出發(fā)向北偏東方向走到點(diǎn)，乙從點(diǎn)A出發(fā)走到點(diǎn)，若，則乙從點(diǎn)A出發(fā)沿（ ）方向走到點(diǎn)

A．南偏西B．西偏南C．南偏西D．西偏南
【答案】C
【分析】先求得與正東方向的夾角的度數(shù)，即可求解．
【詳解】解：由題意得：與正東方向的夾角為，
∵，
∴與正南方向的夾角為，
即乙從點(diǎn)A出發(fā)沿南偏西方向走到點(diǎn)，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了方向角，正確理解方向角的定義是關(guān)鍵．
【變式2】（2023秋·全國·七年級(jí)課堂例題）小麗、小影、小華三人每天相約在如圖所示的早餐店碰面，小麗家在早餐店南偏西方向上，小影家在點(diǎn)處，小華家在早餐店東南方向上，，且早餐店到小華家與小麗家的距離相等．

(1)在圖中畫出小華家的位置；
(2)求的度數(shù)；
(3)若，請(qǐng)說出小影家相對(duì)于早餐店的位置．
【答案】(1)見解析圖；
(2)；
(3)小影家在早餐店的位置北偏西的位置上．
【分析】（）根據(jù)要求畫出圖形即可；
（）得與正東方向的夾角，從而求得的度數(shù)；
（）求出與正北方向的夾角，根據(jù)方向角的定義判斷即可．
【詳解】（1）如圖，點(diǎn)即為所求；

（2）∵，
∴與正東方向的夾角為，
；
（3）由（）得與正東方向的夾角為，
∵，
∴與正東方向的夾角為：，
∵正東和正北的夾角為，
∴與正北方向的夾角為：，
∴小影家在早餐店的位置北偏西的位置上．
【點(diǎn)睛】此題考查了作圖-應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，方向角等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．
題型04 角的單位與角度制
【典例4】（2023秋·全國·七年級(jí)課堂例題）計(jì)算：
（1） ′；
（2） ；
（3） ．
【答案】
【分析】（1）把轉(zhuǎn)化成即可得到答案；
（2）轉(zhuǎn)化成即可得到答案；
（3）按照秒、分的順序分別求和，滿60進(jìn)一，即可得到答案．
【詳解】解：（1），
故答案為：，
（2），
故答案為：
（3），
故答案為：
【點(diǎn)睛】此題考查了度分秒之間的轉(zhuǎn)換和角度的運(yùn)算，熟練掌握度分秒之間的換算關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
【變式1】（2023秋·全國·七年級(jí)課堂例題）（1）1周角 平角 直角；
（2） ′= ″；
（3） ′， ．
【答案】 2 4 60 3600 75 1.5
【分析】根據(jù)度、分、秒之間的關(guān)系直接換算即可．
【詳解】解：（1）1周角平角直角；
（2）；
（3），．
故答案為：2；4；60；3600；75；1.5．
【點(diǎn)睛】本題考查周角、平角、直角，度、分、秒的換算，解題的關(guān)鍵是掌握．
【變式2】（2023秋·全國·七年級(jí)課堂例題）計(jì)算：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ．
【答案】
【分析】根據(jù)度、分、秒的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可．
【詳解】（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
故答案為：，，，．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了度、分、秒的運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則，是解題的關(guān)鍵．
題型05 角的比較
【典例5】（2023秋·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，，則與的大小關(guān)系是（ ）

A．B．
C．D．與無法比較大小
【答案】C
【分析】先根據(jù)得出，故可得出結(jié)論．
【詳解】解：，
，即．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查的是角的大小比較，熟知角比較大小的法則是解答此題的關(guān)鍵．
【變式1】（2023秋·湖南郴州·七年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，若 ，則 與 的大小關(guān)系是（ ）．
A．B．
C．D．不能確定
【答案】C
【分析】列出不等式，等量代換，即可求得結(jié)果．
【詳解】解：，，
且，
．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了比較角的大小，解題關(guān)鍵是列出不等式進(jìn)行等量代換．
【變式2】（2023秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）在圖中所示的4×4的網(wǎng)格中，記，，，則，，從小到大的排列順序是 ．

【答案】
【分析】利用網(wǎng)格圖的特征，注意角的運(yùn)用．
【詳解】解：由圖知，,
∴．
∴．
∵，
∴．
∴
故答案為：

【點(diǎn)睛】本題考查網(wǎng)格圖中角的計(jì)算，理解網(wǎng)格圖的特征，運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．
題型06 三角板中角度計(jì)算問題
【典例6】（2023春·山東淄博·六年級(jí)?？茧A段練習(xí)）將一副直角三角尺如圖放置，若，則等于 ．

【答案】/20度
【分析】根據(jù)求解即可．
【詳解】解：∵，
∴，
∴．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查的是角的和差計(jì)算，明確圖形中相關(guān)角之間的和差關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
【變式1】（2023秋·江西九江·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，直角三角板的直角頂點(diǎn)O在直線上，線段，是三角板的兩條直角邊，射線是的平分線．

(1)當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)；
(2)當(dāng)時(shí)， _________（用含α的式子表示）．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用已知求得，利用角平分線的性質(zhì)得到，再利用平角的定義，可求；
（2）利用（1）中方法可求．
【詳解】（1）解：，，
．
∵平分，
，
，
；
（2）解：，，
，
∵平分，
，，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了角的計(jì)算，角平分線的性質(zhì)，平角的定義，正確使用角平分線的性質(zhì)和平角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【變式2】（2023春·山東煙臺(tái)·六年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖所示，以直線上的一點(diǎn)O為端點(diǎn)，在直線的上方作射線，使．將一塊直角三角尺的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處，且直角三角尺（）在直線的上方．設(shè)．

(1)當(dāng)時(shí)，求的大??；
(2)若時(shí)，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)角的和差運(yùn)算求解即可；
（2）首先根據(jù)題意表示出，，然后作差求解即可．
【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，，
∵，
∴．
∵，
∴．
（2）解：當(dāng)時(shí)，
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
【點(diǎn)睛】本題主要考查角的加減運(yùn)算，能夠熟練根據(jù)要求列角的等量關(guān)系是解題關(guān)鍵．
題型07 角平分線的有關(guān)計(jì)算
【典例7】（2023秋·河南南陽·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知O為直線上一點(diǎn)，是直角，平分．

(1)如圖①，若，則__________；若，則__________；與的數(shù)量關(guān)系為__________；
(2)當(dāng)射線繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到圖②的位置時(shí)，（1）中與的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？請(qǐng)說明理由．
【答案】(1)（1）；；
(2)仍然成立，理由見解析
【分析】（1）先求得，再根據(jù)角平分線的定義求得，再根據(jù)平角定義求解即可；
（2）設(shè)，仿照（1）中方法，先求得，再根據(jù)角平分線的定義求得，再根據(jù)平角定義求解即可．
【詳解】（1）解：∵是直角，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
則，
若，則，
故答案為：；；．
（2）解：仍然成立，理由為：
如圖2，設(shè)，
∵是直角，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
則．
【點(diǎn)睛】本題考查直角、平角定義、角平分線的定義，根據(jù)相關(guān)定義求解是解答的關(guān)鍵．
【變式1】（2023秋·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖所示，是平角，分別是的平分線．

(1)當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)；
(2)當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)平角，角平分線的意義，即可求出答案；
（2）根據(jù)由（1）的方法得，，把代入即可求解．
【詳解】（1）解：因?yàn)榉謩e是的平分線，
所以，．
因?yàn)椋?br>所以．
所以．
（2）解：由（1）的方法得，
．
∴當(dāng)度時(shí)，則．
【點(diǎn)睛】考查角平分線的意義、互為補(bǔ)角的意義，通過圖形直觀得出各個(gè)角之間的和差關(guān)系，是解決問題的關(guān)鍵，等量代換是常用的方法．
【變式2】（2023秋·江蘇徐州·七年級(jí)校考階段練習(xí)）（1）如圖1所示，已知，平分，、分別平分、，求的度數(shù)；
（2）如圖2，在（1）中把“平分”改為“是內(nèi)任意一條射線”，其他任何條件都不變，試求的度數(shù)；
（3）如圖3，在（1）中把“平分”改為“是外的一條射線且點(diǎn)C與點(diǎn)B在直線的同側(cè)”，其他任何條件都不變，請(qǐng)你直接寫出的度數(shù)
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）根據(jù)角平分線定義求出和度數(shù)，即可得出答案；
（2）根據(jù)角平分線定義得出，，求出，代入求出即可；
（3）根據(jù)角平分線定義得出，，求出，代入求出即可．
【詳解】解：（1）∵，平分，
∴，
∵、分別平分、，
∴，，
∴；
（2）∵、分別平分、，
∴，，
∴
；
（3）∵、分別平分、，
∴，，
∴
．
【點(diǎn)睛】本題考查的是角平分線的定義，熟知從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成相等的兩個(gè)角的射線叫做這個(gè)角的平分線是解答此題的關(guān)鍵．
題型08 角n等分線的有關(guān)計(jì)算
【典例8】（2023秋·山西大同·七年級(jí)統(tǒng)考期末）在的內(nèi)部作射線，射線把分成兩個(gè)角，分別為和，若或，則稱射線為的三等分線．若，射線為的三等分線，則的度數(shù)為（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】C
【分析】根據(jù)題意得出或，再根據(jù)角之間的數(shù)量關(guān)系，得出，綜合即可得出答案．
【詳解】解：∵，射線為的三等分線．
∴或，
∴，
∴的度數(shù)為或．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了角度的計(jì)算，理解題意，分類討論是解本題的關(guān)鍵．
【變式1】（2023秋·浙江湖州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）定義：從的頂點(diǎn)出發(fā)，在角的內(nèi)部引一條射線，把分成的兩部分，射線叫做的三等分線．若在中，射線是的三等分線，射線是的三等分線，設(shè)，則用含x的代數(shù)式表示為（ ）
A．或或B．或或C．或或D．或或
【答案】C
【分析】分四種情況，分別計(jì)算，即可求解．
【詳解】解：如圖：射線是的三等分線，射線是的三等分線，
則，，
；
如圖：射線是的三等分線，射線是的三等分線，
則，，
；
如圖：射線是的三等分線，射線是的三等分線，
則，，
；
如圖：射線是的三等分線，射線是的三等分線，
則，，
；
綜上，為或或，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了角的有關(guān)計(jì)算，畫出圖形，采用分類討論的思想是解決本題的關(guān)鍵．
【變式2】（2023秋·福建龍巖·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知，以射線為起始邊，按順時(shí)針方向依次作射線、，使得，設(shè)，.
(1)如圖1，當(dāng)時(shí)，若，求的度數(shù)；
(2)備用圖①，當(dāng)時(shí)，試探索與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
(3)備用圖②，當(dāng)時(shí)，分別在內(nèi)部和內(nèi)部作射線，，使，，求的度數(shù).
【答案】(1)；
(2)；理由見解析；
(3)
【分析】（1）根據(jù)圖形可知，繼而根據(jù)，即可求解；
（2）根據(jù)圖形得出，計(jì)算，即可得出結(jié)論；
（3）分兩種情況討論，①當(dāng)時(shí)，射線與重合，射線與互為反向延長線，②當(dāng)時(shí)，如圖4，射線、在的外部，結(jié)合圖形分析即可求解．
【詳解】（1）如圖1，，
在內(nèi)部，
，，
，
，
；
（2）；理由如下：如圖2，
，
射線、分別在內(nèi)、外部，
，
，
，
；
（3）①當(dāng)時(shí)，射線與重合，射線與互為反向延長線，
則，，如圖3，
，，
，
，
；
②當(dāng)時(shí)，如圖4，射線、在的外部，如圖4，
則，
，
，，
，
，
，
.
綜合①②得．
【點(diǎn)睛】本題考查了結(jié)合圖形中角度的計(jì)算，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．
一、單選題
1．（2023秋·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，下列表示角的方法，錯(cuò)誤的是（ ）

A．與表示同一個(gè)角 B．也可用來表示
C．圖中共有三個(gè)角：，， D．表示的是
【答案】B
【分析】直接利用角的概念以及角的表示方法，進(jìn)而分別分析得出即可；
【詳解】解：A、和表示同一個(gè)角，故本選項(xiàng)不符合題意；
B、不可以用表示，故本選項(xiàng)符合題意；
C、圖是共有三個(gè)角：，，，故本選項(xiàng)不符合題意；
D、表示的是，故本選項(xiàng)不符合題意；
故選：B．
【點(diǎn)睛】此題考查了角的表示方法，根據(jù)圖形特點(diǎn)將每個(gè)角用合適的方法表示出來是解題的關(guān)鍵．
2．（2023秋·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）若，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】將統(tǒng)一化成“度、分、秒”的形式，即可比較大小．
【詳解】
∵．
∴
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了角度的比較大小，解題的關(guān)鍵是將角度的度量單位化成統(tǒng)一的形式．
3．（2023秋·山西忻州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）下列運(yùn)算正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)，進(jìn)行計(jì)算即可．
【詳解】解：、，原計(jì)算錯(cuò)誤，故此選項(xiàng)不符合題意；
、，原計(jì)算正確，故此選項(xiàng)符合題意；
、，原計(jì)算錯(cuò)誤，故此選項(xiàng)不符合題意；
、，原計(jì)算錯(cuò)誤，故此選項(xiàng)不符合題意；
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了度分秒的換算，掌握，是解題的關(guān)鍵．
4．（2023春·山東菏澤·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）在同一平面內(nèi)，，過點(diǎn) 作射線 ，使得，則 為 ( )
A．B．C．或 D．或
【答案】D
【分析】分射線在內(nèi)部，和外部兩種情況討論計(jì)算即可．
【詳解】當(dāng)射線在內(nèi)部時(shí)，如圖：

，
當(dāng)射線在內(nèi)部時(shí)，如圖：

，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了角的和差計(jì)算，解題關(guān)鍵是分射線在內(nèi)部，和外部兩種情況討論．
5．（2023春·河南信陽·七年級(jí)?？奸_學(xué)考試）如圖，點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，平分，則以下結(jié)論：①與互為余角；②；③；④若，則．其中正確的是（ ）

A．只有①④B．只有①③④
C．只有③④D．①②③④
【答案】B
【分析】根據(jù)補(bǔ)角以及角平分線的定義解決此題．
【詳解】解：∵，
∴，
∴與互為余角，
故①正確．
∵平分，
∴，
∴無法推斷得到，
故②錯(cuò)誤．
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
故③正確．
∵，
∴．
∵平分，
∴
故④正確．
綜上：正確的有①③④．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查角平分線、補(bǔ)角，熟練掌握角平分線的定義以及補(bǔ)角的定義是解決本題的關(guān)鍵．
二、填空題
6．（2023春·山東泰安·六年級(jí)?？计谥校┯?jì)算： ．
【答案】
【分析】根據(jù)，，計(jì)算求值；
【詳解】解：，
故答案為：；
【點(diǎn)睛】本題考查以度、分、秒為單位的角的度量；掌握度、分、秒是60進(jìn)制是解題關(guān)鍵．
7．（2023春·廣東河源·七年級(jí)?？奸_學(xué)考試）如圖，，平分，，則 度．

【答案】
【分析】根據(jù)角平分線的定義得到，進(jìn)而根據(jù)，即可求解．
【詳解】解：∵平分，，
∴，
∵，
∴，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的定義，幾何圖形中角度的計(jì)算，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．
8．（2023秋·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·七年級(jí)?？计谀┤鐖D所示，兩個(gè)直角三角形的直角頂點(diǎn)重合，如果，那么

【答案】/度
【分析】根據(jù)題意得到，再計(jì)算，然后根據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可．
【詳解】解：，
而，
，
．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了角的計(jì)算，關(guān)鍵是熟記：直角，平角．
9．（2023秋·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）小明利用星期天搞社會(huì)調(diào)查活動(dòng)，早晨8：00出發(fā)，中午12：30到家，小明到家時(shí)時(shí)針和分針夾角的度數(shù)是 ．

【答案】/165度
【分析】時(shí)針在鐘面上每分鐘轉(zhuǎn)，分針每分鐘轉(zhuǎn)，鐘表上12：30時(shí)，時(shí)針與分針的夾角可以看成時(shí)針轉(zhuǎn)過12時(shí)，分針在數(shù)字6上，由此進(jìn)行計(jì)算即可得到答案．
【詳解】解：時(shí)針在鐘面上每分鐘轉(zhuǎn)，分針每分鐘轉(zhuǎn)，
鐘表上12：30時(shí)，時(shí)針與分針的夾角可以看成時(shí)針轉(zhuǎn)過12時(shí)，分針在數(shù)字6上，
鐘表12個(gè)數(shù)字，每相鄰兩個(gè)數(shù)字之間的夾角為，
12：30時(shí)針與分針的夾角為：，
小明到家時(shí)時(shí)針和分針夾角的度數(shù)是，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查的是鐘表表盤與角度相關(guān)的特征，用到的知識(shí)點(diǎn)為：鐘表上12個(gè)數(shù)字，每相鄰兩個(gè)數(shù)字之間的夾角為，在鐘表問題中，常利用時(shí)針與分針轉(zhuǎn)動(dòng)的度數(shù)關(guān)系：分針每轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，并且利用起點(diǎn)時(shí)針和分針的位置關(guān)系建立角的圖形．
10．（2023春·河南南陽·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知，射線 繞點(diǎn) 從位置開始，以每秒的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)； 同時(shí)，射線 繞點(diǎn)從位置開始，以每秒的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，并且當(dāng) 與成角時(shí)，與同時(shí)停止旋轉(zhuǎn)．則在旋轉(zhuǎn)的過程中，經(jīng)過 秒，與的夾角是．

【答案】或
【分析】設(shè)轉(zhuǎn)動(dòng)秒，與的夾角是，進(jìn)行分情況畫圖 ，列方程即可得到結(jié)論．
【詳解】設(shè)秒后，與的夾角是，
如圖，
，
∴，，
∵，
∴，即有，
解得：，
如圖，

∴，，
∵，
∴，即有，
解得：，
綜上可知：或，與的夾角是，
故答案為：或．
【點(diǎn)睛】此題考查了一元一次方程的應(yīng)用，角的有關(guān)計(jì)算，解題的關(guān)鍵是確定已知量和未知量，找出它們之間的等量關(guān)系．
三、解答題
11．（2023秋·河南漯河·七年級(jí)?？计谀┤鐖D，為直線上一點(diǎn)，，平分，．
(1)填空：___________；
(2)求的度數(shù)；
(3)試判斷是否平分，并說明理由．
【答案】(1)70
(2)
(3)平分，理由見解析
【分析】（1）利用角平分線定義計(jì)算；
（2）首先求出，再利用平角的定義求出；
（3）根據(jù)與的度數(shù)，判斷是否相等．
【詳解】（1）解：，平分，
，
故答案為：70；
（2），由（1）得，
，
；
（3）平分，理由如下：
，
平分．
【點(diǎn)睛】本題考查了角的計(jì)算和角平分線，解題的關(guān)鍵是掌握角的和差，角平分線的定義．
12．（2023秋·吉林松原·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖①，貨輪?？吭邳c(diǎn)，發(fā)現(xiàn)燈塔在它的東北（東偏北或北偏東）方向上．貨輪在碼頭的西北方向上．

(1)仿照表示燈塔方位的方法，畫出表示貨輪方向的射線；
(2)如圖②，兩艘貨輪從碼頭出發(fā)，貨輪向東偏北的的方向行駛，貨輪向北偏西的方向航行，求的度數(shù)．
【答案】(1)詳見解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)方向角的定義，結(jié)合題意畫出方向角即可；（2）根據(jù)角的和差關(guān)系可得：．
【詳解】（1）如圖所示，射線的方向就是西北方向，即貨輪所在的方向．

（2）依題意可得，，，
∴
【點(diǎn)睛】本題考核知識(shí)點(diǎn)是方向角．理解方向角的定義和角的和差關(guān)系是關(guān)鍵．
13．（2023春·山東青島·六年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知，平分，平分．

(1)求的度數(shù)；
(2)如果，那么是多少度？
(3)如果，那么是多少度？是多少度？用含的式子表示)
【答案】(1)
(2)
(3)；
【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義結(jié)合圖形，可得，進(jìn)而即可求解；
（2）根據(jù)題意可得，進(jìn)而根據(jù)角平分線的定義即可求解；
（3）同（2）的方法，即可求解．
【詳解】（1）解：，平分，平分，
；
（2），
，
平分，
；
（3），
，
平分，
，
．
【點(diǎn)睛】本題考查了幾何圖形的角度計(jì)算，角平分線的定義，數(shù)形結(jié)合，熟練掌握角平分線的定義是解題的關(guān)鍵．
14．（2023秋·廣西桂林·七年級(jí)統(tǒng)考期末）將直角三角板的直角頂點(diǎn)O放在直線上，過點(diǎn)O作射線，使．

(1)如圖1，當(dāng)三角板的一邊與射線重合時(shí)，直接寫出的度數(shù)；
(2)將三角板繞點(diǎn)O逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，
①如圖2，當(dāng)平分時(shí)，求的度數(shù)；
②如圖3，當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)．
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】（1）根據(jù)和的度數(shù)可以得到的度數(shù)；
（2）①根據(jù)是的角平分線，可以求得的度數(shù)，由，可得的度數(shù)；②根據(jù)平角的定義求出，再根據(jù)角的倍數(shù)關(guān)系即可得解．
【詳解】（1）解：，，
；
（2）①，是的角平分線，
，
；
②，，，
，
，
．
【點(diǎn)睛】本題考查了角的計(jì)算，角平分線的定義，三角板的知識(shí)，熟記概念并準(zhǔn)確識(shí)圖理清圖中各角度之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
15．（2023·全國·七年級(jí)專題練習(xí)）已知和是直角．

(1)如圖，當(dāng)射線在內(nèi)部時(shí)，請(qǐng)?zhí)骄亢椭g的關(guān)系；
(2)如圖，當(dāng)射線，射線都在外部時(shí)，過點(diǎn)作線，射線，滿足，∠DOF＝，求的度數(shù)；
(3)如圖，在(2)的條件下，在平面內(nèi)是否存在射線，使得，若存在，請(qǐng)求出的度數(shù)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】(1)；
(2)；
(3)存在，的度數(shù)是或．
【分析】（1）根據(jù)已知條件，和是直角，可得出和與的關(guān)系式，再根據(jù)與和列出等量關(guān)系，即可得出答案；
（2）根據(jù)已知條件，可設(shè)，則，再根據(jù)周角的關(guān)系可得到的等量關(guān)系，再根據(jù)，可得到的等量關(guān)系式，由、和可列出等量關(guān)系，即可得到答案；
（3）分兩種情況，當(dāng)射線在內(nèi)部時(shí)，由，可得出結(jié)果，當(dāng)射線在外部時(shí)，由，可得出結(jié)果．
【詳解】（1），理由如下：
∵和是直角，
∴，
∵，
∴，
同理：，
∴，
∴；
（2）設(shè)，則，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
（3）存在，
當(dāng)射線在內(nèi)部時(shí)，
∵，
∴，
當(dāng)射線在外部時(shí)，
∵，
∴，
綜上所述，的度數(shù)是或．
【點(diǎn)睛】此題考查了角的計(jì)算，根據(jù)題意列出相應(yīng)的等量關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．
表示方法
圖例
記法
適用范圍
用三個(gè)大寫字母表示
O
A
B
?AOB
或?BOA
任何情況下都適應(yīng).表示端點(diǎn)的字母必須寫在中間
用一個(gè)大寫字母表示
A
?A
以這個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的角只有一個(gè)
用數(shù)字表示
1
?1
任何情況下都適用.但必須在靠近頂點(diǎn)處加上弧線表示角的范圍，并注上數(shù)字或希臘字母
用希臘字母表示
?
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