數(shù)學(xué) 九年級(jí)上冊(cè) BS版
每到節(jié)日，各種促銷迎面而來(lái)，如果你是商場(chǎng)經(jīng)理，該如何定制營(yíng)銷方案呢？
利用一元二次方程解決營(yíng)銷問(wèn)題
例1 某商場(chǎng)銷售某種冰箱，每臺(tái)進(jìn)價(jià)為 2500 元.市場(chǎng)調(diào)研表明：當(dāng)銷售價(jià)為 2900 元時(shí)，平均每天能售出 8臺(tái)；而當(dāng)銷價(jià)每降低 50 元時(shí)，平均每天能多售 4 臺(tái).商場(chǎng)要想使這種冰箱的銷售利潤(rùn)平均每天達(dá)到 5000 元，每臺(tái)冰箱的定價(jià)應(yīng)為多少元?
分析：本題的主要等量關(guān)系是：每臺(tái)的銷售利潤(rùn)×平均每天銷售的數(shù)量 = 5000元.
解：設(shè)每臺(tái)冰箱降價(jià) x 元，根據(jù)題意，得 整理得：x2 - 300x + 22500 = 0. 解方程得： x1 = x2 = 150. ∴ 2900 - x = 2900 - 150 = 2750. 答：每臺(tái)冰箱的定價(jià)應(yīng)為 2750 元.
例2 某超市將進(jìn)貨單價(jià)為 40 元的商品按 50 元出售時(shí)，能賣 500 個(gè)，已知該商品漲價(jià) 1 元，其銷售量就減少 10 個(gè)，為了賺 8000 元利潤(rùn)，售價(jià)應(yīng)定為多少，這時(shí)應(yīng)進(jìn)貨多少個(gè)？
分析：設(shè)商品單價(jià)為 (50 + x) 元，則每個(gè)商品得利潤(rùn)[(50 + x) - 40] 元，因?yàn)槊繚q價(jià) 1 元，其銷售會(huì)減少 10個(gè)，設(shè)每個(gè)漲價(jià) x 元，其銷售量會(huì)減少 10x 個(gè)，故銷售量為 (500 - 10x) 個(gè)，根據(jù)每件商品的利潤(rùn)×件數(shù) = 8000，則 (500 - 10x)· [(50 + x) - 40] = 8000.
解：設(shè)每個(gè)商品漲價(jià) x 元，則銷售價(jià)為 (50 + x) 元，銷售量為 (500 - 10x) 個(gè)，則(500 - 10x)· [(50 + x) - 40]=8000，即 x2 - 40x + 300 = 0.解得 x1 = 10，x2 = 30 都符合題意.當(dāng) x = 10 時(shí)，50 + x = 60，500 - 10x = 400；當(dāng) x = 30 時(shí)，50 + x = 80，500 - 10x = 200.答：要想賺 8000 元，售價(jià)為 60 元或 80 元；若售價(jià)為60 元，則進(jìn)貸量應(yīng)為 400；若售價(jià)為 80 元，則進(jìn)貸量應(yīng)為 200 個(gè).
“低碳生活，綠色出行”，自行車正逐漸成為人們喜愛(ài)的交通工具.某商城的自行車銷售量自2021年起逐月增加.據(jù)統(tǒng)計(jì)，該商城9月份銷售自行車64輛，11月份銷售了100輛.求該商城這兩個(gè)月自行車銷售量的月平均增長(zhǎng)率.
【思路導(dǎo)航】設(shè)該商城這兩個(gè)月自行車銷售量的月平均增長(zhǎng)率為 x .根據(jù)9月份銷售量，用含 x 的代數(shù)式表示出11月份銷售量，再結(jié)合已知的11月份銷售量列方程，最后解方程即可.
解：設(shè)該商城這兩個(gè)月自行車銷售量的月平均增長(zhǎng)率為 x .由題意，得64（1＋ x ）2＝100.解得 x1＝－2.25（不合題意，舍去）， x2＝0.25＝25％.∴該商城這兩個(gè)月自行車銷售量的月平均增長(zhǎng)率為25％.
【點(diǎn)撥】關(guān)于平均增長(zhǎng)率問(wèn)題，可設(shè)變化前的量為 a ，變化后的量為 b ，平均變化率為 x ，則經(jīng)過(guò)兩次變化后的數(shù)量關(guān)系為 a （1＋ x ）2＝ b .
（2023·大連）為了讓學(xué)生養(yǎng)成熱愛(ài)讀書(shū)的習(xí)慣，某學(xué)校抽出一部分資金用于購(gòu)買書(shū)籍.已知2020年該學(xué)校用于購(gòu)買圖書(shū)的費(fèi)用為5 000元，2022年用于購(gòu)買圖書(shū)的費(fèi)用為7 200元，求2020－2022年買書(shū)資金的年平均增長(zhǎng)率.
解：設(shè)2020－2022年買書(shū)資金的年平均增長(zhǎng)率為 x .由題意，得5 000（1＋ x ）2＝7 200.解得 x1＝0.2＝20％， x2＝－2.2（不合題意，舍去）.∴2020－2022年買書(shū)資金的年平均增長(zhǎng)率為20％.
某商場(chǎng)將進(jìn)價(jià)為40元的襯衫按50元售出時(shí)，每月能賣出500件.經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查，這種襯衫每件漲價(jià)4元，其銷售量就減少40件.如果商場(chǎng)計(jì)劃每月賺得8 000元利潤(rùn)，那么售價(jià)應(yīng)定為多少元？這時(shí)每月應(yīng)進(jìn)多少件襯衫？【思路導(dǎo)航】設(shè)每件漲價(jià)4 x 元，可用含 x 的代數(shù)式表示出銷售量和每件利潤(rùn)，再由每月賺8 000元利潤(rùn)可得方程，最后解方程即可.
【點(diǎn)撥】利用一元二次方程求解銷售利潤(rùn)問(wèn)題的關(guān)鍵：一是用售價(jià)表示銷售量，二是挖掘題中的隱含條件進(jìn)行取舍.題目給出銷售量有兩種主要形式：（1）根據(jù)調(diào)節(jié)售價(jià)改變的銷售量； （2）通過(guò)售價(jià)和銷售量之間的函數(shù)關(guān)系給出銷售量.
某藥店新進(jìn)一批桶裝消毒液，每桶進(jìn)價(jià)35元，原計(jì)劃以每桶55元的價(jià)格銷售.現(xiàn)因市場(chǎng)變化，藥店決定降價(jià)銷售.已知這種消毒液銷售量 y （桶）與每桶降價(jià) x （元）（0＜ x ＜20）之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，其圖象如圖所示.
（1）求 y 與 x 之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）若該藥店僅獲利1 760元，則這種消毒液每桶實(shí)際售價(jià)為 多少元？
解：（2）由題意，得（10 x ＋100）（55－ x －35）＝1 760.整理，得 x2－10 x －24＝0.解得 x1＝12， x2＝－2（舍去）.∴實(shí)際售價(jià)為 55－12＝43（元）.∴這種消毒液每桶實(shí)際售價(jià)為43元.
隨著農(nóng)業(yè)技術(shù)的現(xiàn)代化，節(jié)水型灌溉得到逐步推廣.噴灌和滴灌是比漫灌更節(jié)水的灌溉方式，噴灌和滴灌時(shí)每公頃用水量分別是漫灌時(shí)的30％和20％.去年，新豐收公司用各100公頃的三塊試驗(yàn)田分別采用噴灌、滴灌和漫灌的灌溉方式，共用水15 000 t .
（3）節(jié)水不僅為了環(huán)保，也與經(jīng)濟(jì)收益有關(guān)系.今年，該公司全部試驗(yàn)田在灌溉輸水管道維修方面每公頃投入30元，在新增的噴灌、滴灌試驗(yàn)田添加設(shè)備所投入經(jīng)費(fèi)為每公頃100元.在（2）的情況下，若每噸水費(fèi)為2.5元，請(qǐng)判斷，相比去年因用 水量減少所節(jié)省的水費(fèi)是否大于今年的以上兩項(xiàng)投入之和？
解：（1）設(shè)漫灌方式每公頃用水 x t ，則100 x ＋100×30％ x ＋100×20％ x ＝15 000.
解得 x ＝100.則漫灌用水為100×100＝10 000（ t ），噴灌用水為10 000×30％＝3 000（ t ），滴灌用水為10 000×20％＝2 000（ t ）.∴漫灌方式每公頃用水100 t ；去年漫灌試驗(yàn)田用水10 000 t ，噴 灌試驗(yàn)田用水3 000 t ，滴灌試驗(yàn)田用水2 000 t .
解得 m1＝0（不符合題意，舍去）， m2＝20.∴ m ＝20.
【點(diǎn)撥】當(dāng)題目給出的條件較復(fù)雜時(shí)，首先分析每一句話的內(nèi)容，理清題目中的邏輯關(guān)系，找到等量關(guān)系，再去設(shè)未知數(shù)解應(yīng)用題.
某工廠有甲、乙兩個(gè)車間，甲車間生產(chǎn) A 產(chǎn)品，乙車間生產(chǎn) B 產(chǎn)品，去年兩個(gè)車間生產(chǎn)產(chǎn)品的數(shù)量相同且全部售出.已知 A 產(chǎn)品的銷售單價(jià)比 B 產(chǎn)品的銷售單價(jià)高100元，1件 A 產(chǎn)品與1件 B 產(chǎn)品售價(jià)和為500元.
（1） A ， B 兩種產(chǎn)品的銷售單價(jià)分別是多少元？
解：（1）設(shè) B 產(chǎn)品的銷售單價(jià)為 x 元，則 A 產(chǎn)品的銷售單價(jià)為（ x ＋100）元.由題意，得 x ＋100＋ x ＝500.解得 x ＝200.∴ A 產(chǎn)品的銷售單價(jià)為200＋100＝300（元）.故 A 產(chǎn)品的銷售單價(jià)為300元， B 產(chǎn)品的銷售單價(jià)為200元.

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6 應(yīng)用一元二次方程

版本： 北師大版

年級(jí)： 九年級(jí)上冊(cè)

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