章末復(fù)習(xí) 一、空間向量的概念及運(yùn)算 1．空間向量可以看作是平面向量的推廣，有許多概念和運(yùn)算與平面向量是相同的，如模、零向量、單位向量、相等向量、相反向量等概念，加減法的三角形法則和平行四邊形法則，數(shù)乘運(yùn)算與向量共線的判斷、數(shù)量積運(yùn)算、夾角公式、求模公式等等；向量的基底表示和坐標(biāo)表示是向量運(yùn)算的基礎(chǔ)． 2．向量的運(yùn)算過程較為繁雜， 要注意培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力． 例1　(1)已知正方體ABCD－A1B1C1D1中，eq \o(A1E,\s\up6(—→))＝eq \f(1,4)eq \o(A1C1,\s\up6(—→))，若eq \o(AE,\s\up6(→))＝xeq \o(AA1,\s\up6(—→))＋y(eq \o(AB,\s\up6(→))＋eq \o(AD,\s\up6(→)))，則x＝_____，y＝_____. (2)(多選)如圖，在四棱錐S－ABCD中，底面ABCD是邊長為1的正方形，S到A，B，C，D的距離都等于2.下列選項(xiàng)中，正確的是(　　) A.eq \o(SA,\s\up6(→))＋eq \o(SB,\s\up6(→))＋eq \o(SC,\s\up6(→))＋eq \o(SD,\s\up6(→))＝0 B.eq \o(SA,\s\up6(→))＋eq \o(SB,\s\up6(→))－eq \o(SC,\s\up6(→))－eq \o(SD,\s\up6(→))＝0 C.eq \o(SA,\s\up6(→))－eq \o(SB,\s\up6(→))＋eq \o(SC,\s\up6(→))－eq \o(SD,\s\up6(→))＝0 D.eq \o(SA,\s\up6(→))·eq \o(SB,\s\up6(→))＝eq \o(SC,\s\up6(→))·eq \o(SD,\s\up6(→)) 反思感悟　空間向量的數(shù)乘運(yùn)算及向量共面的充要條件 (1)空間向量的數(shù)乘運(yùn)算、共線向量的概念、向量共線的充要條件與平面向量的性質(zhì)是一致的． (2)利用向量共面的充要條件可以判斷第三個(gè)向量是否與已知的兩個(gè)不共線的向量共面，特別地，空間一點(diǎn)P位于平面ABC內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使eq \o(AP,\s\up6(→))＝xeq \o(AB,\s\up6(→))＋yeq \o(AC,\s\up6(→)). 跟蹤訓(xùn)練1　(1)在空間直角坐標(biāo)系中，已知A(1，－2,1)，B(2,2,2)，點(diǎn)P在z軸上，且滿足|eq \o(PA,\s\up6(→))|＝|eq \o(PB,\s\up6(→))|，則P點(diǎn)坐標(biāo)為(　　) A．(3,0,0) B．(0,3,0) C．(0,0,3) D．(0,0，－3) (2)如圖所示，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長度都為1，且兩兩夾角為60°. ①求eq \o(AC1,\s\up6(—→))的長； ②求eq \o(BD1,\s\up6(—→))與eq \o(AC,\s\up6(→))夾角的余弦值． 二、利用空間向量證明位置關(guān)系 1．用空間向量判斷空間中位置關(guān)系的類型有：線線平行、線線垂直、線面平行、線面垂直、面面平行、面面垂直；判斷證明的基本思想是轉(zhuǎn)化為線線關(guān)系或者利用平面的法向量，利用向量的共線和垂直進(jìn)行證明． 2．將立體幾何的線面關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量間的關(guān)系，可以培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力． 例2　在四棱錐P－ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，PA⊥底面ABCD，PA＝AD＝CD＝2AB＝2，M為PC的中點(diǎn)． (1)求證：BM∥平面PAD； (2)平面PAD內(nèi)是否存在一點(diǎn)N，使MN⊥平面PBD？若存在，確定N的位置；若不存在，說明理由． 反思感悟　利用空間向量證明或求解立體幾何問題時(shí)，首先要選擇基底或建立空間直角坐標(biāo)系轉(zhuǎn)化為其坐標(biāo)運(yùn)算，再借助于向量的有關(guān)性質(zhì)求解(證)． 跟蹤訓(xùn)練2　在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4. (1)求證：AC⊥BC1； (2)請說明在AB上是否存在點(diǎn)E，使得AC1∥平面CEB1. 三、利用空間向量計(jì)算距離 1．空間距離的計(jì)算思路 (1)點(diǎn)P到直線l的距離：已知直線l的單位方向向量為u，A是直線l上的定點(diǎn)，P是直線l外一點(diǎn)，設(shè)向量eq \o(AP,\s\up6(→))在直線l上的投影向量為eq \o(AQ,\s\up6(→))＝a，則點(diǎn)P到直線l的距離為 eq \r(a2 －?a·u?2) (如圖)． (2)設(shè)平面α的法向量為n，A是平面α內(nèi)的定點(diǎn)，P是平面α外一點(diǎn)，則點(diǎn)P到平面α的距離為eq \f(|\o(AP,\s\up6(→))·n|,|n|)(如圖)． 2．通過利用向量計(jì)算空間的角，可以培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力． 例3　在三棱錐B－ACD中，平面ABD⊥平面ACD，若棱長AC＝CD＝AD＝AB＝1，且∠BAD＝30°，求點(diǎn)D到平面ABC的距離． 反思感悟　利用向量法求點(diǎn)面距，只需求出平面的一個(gè)法向量和該點(diǎn)與平面內(nèi)任一點(diǎn)連線表示的向量，代入公式求解即可． 跟蹤訓(xùn)練3　已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，若點(diǎn)P滿足eq \o(AP,\s\up6(→))＝eq \f(3,5)eq \o(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \o(AD,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \o(AA1,\s\up6(—→))，則點(diǎn)P到直線AB的距離為(　　) A.eq \f(25,144) B.eq \f(5,12) C.eq \f(13,20) D.eq \f(\r(105),15) 四、利用空間向量求空間角 1．空間向量與空間角的關(guān)系 (1)設(shè)異面直線l1，l2的方向向量分別為m1，m2，則l1與l2的夾角θ滿足cos θ＝|cos〈m1，m2〉|. (2)設(shè)直線l的方向向量和平面α的法向量分別為m，n，則直線l與平面α的夾角θ滿足sin θ＝|cos〈m，n〉|. (3)設(shè)n1，n2分別是兩個(gè)平面α，β的法向量，則兩平面α，β夾角θ滿足cos θ＝|cos〈m，n〉|. 2．通過利用向量計(jì)算空間的角，可以培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力． 例4　如圖，在長方體AC1中，AB＝BC＝2，AA1＝eq \r(2)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是平面A1B1C1D1，平面BCC1B1的中心．以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系．試用向量方法解決下列問題： (1)求異面直線AF和BE所成的角； (2)求直線AF和平面BEC所成角的正弦值． 反思感悟　(1)在建立空間直角坐標(biāo)系的過程中，一定要依據(jù)題目所給幾何圖形的特征，建立合理的空間直角坐標(biāo)系，這樣才會容易求得解題時(shí)需要的坐標(biāo)． (2)直線和平面所成的角、兩個(gè)平面的夾角類問題有兩種思路：轉(zhuǎn)化為兩條直線所成的角、利用平面的法向量． 跟蹤訓(xùn)練4　如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為正方形，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD＝eq \r(6)，AB＝4. (1)求平面BDP與平面PAD的夾角的大?。?(2)若M是PB的中點(diǎn)，求直線MC與平面BDP所成角的正弦值． 1.(2019·全國Ⅱ改編)如圖，長方體ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，點(diǎn)E是棱AA1的中點(diǎn)，BE⊥EC1，求平面BEC和平面ECC1夾角的余弦值． 2．(2019·天津改編)如圖，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AD∥BC ，AD⊥AB，AB＝AD＝1，AE＝BC＝2. (1)求證：BF∥平面 ADE； (2)求直線CE與平面BDE所成角的正弦值． 章末檢測試卷(一) (時(shí)間：120分鐘　滿分：150分) 一、單項(xiàng)選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分) 1．在長方體ABCD－A1B1C1D1中，eq \o(AB,\s\up6(→))＋eq \o(BC,\s\up6(→))＋eq \o(CC1,\s\up6(—→))－eq \o(D1C1,\s\up6(—→))等于(　　) A.eq \o(AD1,\s\up6(—→)) B.eq \o(AC1,\s\up6(—→)) C.eq \o(AD,\s\up6(→)) D.eq \o(AB,\s\up6(→)) 2．若直線l的方向向量為a，平面α的法向量為μ，則能使l∥α的是(　　) A．a(chǎn)＝(1,0,0)，μ＝(－2,0,0) B．a(chǎn)＝(1,3,5)，μ＝(1,0,1) C．a(chǎn)＝(0,2,1)，μ＝(－1,0,1) D．a(chǎn)＝(1，－1,3)，μ＝(0,3,1) 3．已知棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1的上底面A1B1C1D1的中心為O1，則eq \o(AO1,\s\up6(—→))·eq \o(AC,\s\up6(→))的值為(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 4．已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)為A(3,3,2)，B(4，－3,7)，C(0,5,1)，則BC邊上的中線長為(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 5．若向量a＝(x，4,5)，b＝(1，－2,2)，且a與b的夾角的余弦值為eq \f(\r(2),6)，則x等于(　　) A．3 B．－3 C．－11 D．3或－11 6．平面α的法向量u＝(x，1，－2)，平面β的法向量ν＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，y，\f(1,2)))，已知α∥β，則x＋y等于(　　) A.eq \f(15,4) B.eq \f(17,4) C．3 D.eq \f(5,2) 7．已知平面α內(nèi)兩向量a＝(1,1,1)，b＝(0,2，－1)且c＝ma＋nb＋(4，－4,1)．若c為平面α的法向量，則m，n的值分別為(　　) A．－1,2 B．1，－2 C．1,2 D．－1，－2 8.如圖，四棱錐P－ABCD中，PB⊥平面ABCD，底面ABCD為直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝AD＝PB＝3，點(diǎn)E在棱PA上，且PE＝2EA，則平面ABE與平面BED的夾角的余弦值為(　　) A.eq \f(\r(2),3) B.eq \f(\r(6),6) C.eq \f(\r(3),3) D.eq \f(\r(6),3) 二、多項(xiàng)選擇題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯(cuò)的得0分) 9．已知空間三點(diǎn)A(1,0,3)，B(－1,1,4)，C(2，－1,3)．若eq \o(AP,\s\up6(→))∥eq \o(BC,\s\up6(→))，且|eq \o(AP,\s\up6(→))|＝eq \r(14)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(　　) A．(4，－2,2) B．(－2,2,4) C．(－4,2，－2) D．(2，－2,4) 10．在三棱錐A－BCD中，DA，DB，DC兩兩垂直，且DB＝DC，E為BC的中點(diǎn)，則直線AE和BC(　　) A．垂直 B. 相交 C．共面 D．異面 11．若直線l的方向向量為a＝(1,0,2)，平面α的法向量為n＝(－2,0，－4)，則(　　) A．l∥α B．l⊥α C．l?α D．l與α相交 12．已知直線l過點(diǎn)P(1,0，－1)且平行于向量a＝(2,1,1)，平面α過直線l與點(diǎn)M(1,2,3)，則平面α的法向量可能是(　　) A．(1，－4,2) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，－1，\f(1,2))) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，1，－\f(1,2))) D．(0，－1,1) 三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分) 13．已知正方體ABCD－A1B1C1D1中，若點(diǎn)F是側(cè)面CD1的中心，且eq \o(AF,\s\up6(→))＝eq \o(AD,\s\up6(→))＋meq \o(AB,\s\up6(→))－neq \o(AA1,\s\up6(→))，則m＝________. 14．設(shè)平面α的法向量為m＝(1,2，－2)，平面β的法向量為n＝(－2，－4，k)，若α∥β，則k＝________. 15．在空間直角坐標(biāo)系中有直三棱柱ABC－A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，則直線BC1與直線AB1所成角的余弦值為________． 16．在棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為CC1的中點(diǎn)，P，Q是正方體表面上相異兩點(diǎn)，滿足BP⊥A1E，BQ⊥A1E.(1)若P，Q均在平面A1B1C1D1內(nèi)，則PQ與BD的位置關(guān)系是________；(2)|A1P|的最小值為________．(本題第一空2分，第二空3分) 四．解答題(本大題共6小題，共70分) 17．(10分)已知a＝(x，4,1)，b＝(－2，y，－1)，c＝(3，－2，z)，a∥b，b⊥c，求： (1)a，b，c； (2)a＋c與b＋c夾角的余弦值． 18．(12分)如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四邊形ABCD中，CD∥AB，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝4，CD＝1，點(diǎn)M在PB上，且PB＝4PM，∠PBC＝30°，求證：CM∥平面PAD. 19.(12分)如圖，正方形ADEF與梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB＝AD＝2，CD＝4，M為CE的中點(diǎn)． (1)求證：BM∥平面ADEF； (2)求證：BC⊥平面BDE. 20．(12分)在三棱柱ABC－A1B1C1中，底面ABC為正三角形，且側(cè)棱AA1⊥底面ABC，且底面邊長與側(cè)棱長都等于2，O，O1分別為AC，A1C1的中點(diǎn)，求平面AB1O1與平面BC1O間的距離． 21．(12分)如圖，在空間直角坐標(biāo)系Dxyz中，四棱柱ABCD －A1B1C1D1為長方體，AA1＝AB＝2AD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為C1D1，A1B的中點(diǎn)，求平面B1A1B與平面A1BE夾角的余弦值． 22．(12分)如圖所示， 已知幾何體EFG－ABCD，其中四邊形ABCD，CDGF，ADGE均為正方形，且邊長為1，點(diǎn)M在邊DG上． (1)求證：BM⊥EF； (2)是否存在點(diǎn)M，使得直線MB與平面BEF所成的角為45°？若存在，確定點(diǎn)M的位置；若不存在，請說明理由．

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