【題型目錄】
題型一、將已知圖形分割成幾個(gè)全等圖形
題型二、結(jié)合尺規(guī)作圖的全等問題
題型三、倍長(zhǎng)中線模型
題型四、旋轉(zhuǎn)模型
題型五、垂線模型
題型六、其他模型
題型七、全等三角形中的動(dòng)點(diǎn)問題
題型八、全等三角形幾何綜合
【題型一 將已知圖形分割成幾個(gè)全等圖形】
【例題1】下圖所示的圖形分割成兩個(gè)全等的圖形，正確的是（ ）
A．B．C．D．
【變式1-1】在如圖所示的網(wǎng)格圖中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1．沿著圖中的虛線，可以將該圖形分割成2個(gè)全等的圖形．在所有的分割方案中，最長(zhǎng)分割線的長(zhǎng)度等于______．
【變式1-2】．如圖，已知正方形中陰影部分的面積為3，則正方形的面積為________．
【變式1-3】沿著圖中的虛線（小正方形虛線邊），用四種不同的方法（構(gòu)成4種不同圖形）將下面的圖形分成兩個(gè)全等的圖形．
【題型二 結(jié)合尺規(guī)作圖的全等問題】
【例題2】已知銳角，如圖，（1）在射線上取點(diǎn)，，分別以點(diǎn)為圓心，，長(zhǎng)為半徑作弧，交射線于點(diǎn)，；（2）連接，交于點(diǎn)．根據(jù)以上作圖過程及所作圖形，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）
A．B．
C．若，則D．點(diǎn)在的平分線上
【變式2-1】如圖，點(diǎn)B在直線l上，分別以線段BA的端點(diǎn)為圓心，以BC（小于線段BA）長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交直線l，線段BA于點(diǎn)C，D，E，再以點(diǎn)E為圓心，以CD長(zhǎng)為半徑畫弧交前面的弧于點(diǎn)F，畫射線AF．若∠BAF的平分線AH交直線l于點(diǎn)H，∠ABC=70°，則∠AHB的度數(shù)為_______．
【變式2-2】李老師制作了如圖1所示的學(xué)具，用來探究“邊邊角條件是否可確定三角形的形狀”問題．操作學(xué)具時(shí)，點(diǎn)Q在軌道槽AM上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P既能在以A為圓心、以8為半徑的半圓軌道槽上運(yùn)動(dòng)，也能在軌道槽QN上運(yùn)動(dòng)．圖2是操作學(xué)具時(shí)，所對(duì)應(yīng)某個(gè)位置的圖形的示意圖．
有以下結(jié)論：
①當(dāng)，時(shí)，可得到形狀唯一確定的
②當(dāng)，時(shí)，可得到形狀唯一確定的
③當(dāng)，時(shí)，可得到形狀唯一確定的
其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是______________．
【變式2-3】嘉淇同學(xué)要證，她先用下列尺規(guī)作圖步驟作圖：①；②以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧，與射線相交于點(diǎn)，連接；③過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)．并寫出了如下不完整的已知和求證．
（1）在方框中填空，以補(bǔ)全已知和求證；
（2）按嘉淇的想法寫出證明過程．
【題型三 倍長(zhǎng)中線模型】
【例題3】如圖，是的邊上的中線，，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【變式3-1】如圖，在ABC中，CD是AB邊上的中線，設(shè)BC＝a，AC＝b，若a，b滿足a2﹣10a+b2﹣18b+106＝0，則CD的取值范圍是 _____．
【變式3-2】中，，， 則第三邊邊上的中線的取值范圍是______．
【變式3-3】【閱讀理解】
課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問題：
如圖，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC邊上的中線AD的取值范圍．
小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：如圖，延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E，使DE＝AD，連結(jié)BE．請(qǐng)根據(jù)小明的方法思考：
(1)由已知和作圖能得到的理由是（ ）．
A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA
(2)AD的取值范圍是（ ）．
A． B． C． D．
(3)【感悟】解題時(shí)，條件中若出現(xiàn)“中點(diǎn)”、“中線”字樣，可以考慮延長(zhǎng)中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論轉(zhuǎn)化到同一個(gè)三角形中．
【問題解決】如圖，AD是△ABC的中線，BE交AC于點(diǎn)E，交AD于F，且AE＝EF．求證：AC＝BF．
【題型四 旋轉(zhuǎn)模型】
【例題4】如圖，在中，，，D、E是斜邊上兩點(diǎn)，且，若，，，則與的面積之和為（ ）
A．36B．21C．30D．22
【變式4-1】如圖，正三角形和，A，C，E在同一直線上，AD與BE交于點(diǎn)O，AD與BC交于點(diǎn)P，BE與CD交于點(diǎn)Q，連接PQ．①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°．成立的結(jié)論有______________．并寫出3對(duì)全等三角形___________________________．
【變式4-2】如圖，P是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且PA＝6，PC＝8，PB＝10，若△APB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°后，得到△AP′C，則∠APC＝_____°．
【變式4-3】（1）如圖①，在正方形中，、分別是、上的點(diǎn)，且，連接，探究、、之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
（2）如圖②，在四邊形中，，，、分別是、上的點(diǎn)，且，此時(shí)（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)說明理由．
【題型五 垂線模型】
【例題5】如圖，，，于點(diǎn)E，于點(diǎn)D，，，則的長(zhǎng)是（ ）
A．8B．4C．3D．2
【變式5-1】如圖，在中，，過點(diǎn)作，且，連接，若，則的長(zhǎng)為________．
【變式5-2】如圖，線段AB=8cm，射線AN⊥AB，垂足為點(diǎn)A，點(diǎn)C是射線上一動(dòng)點(diǎn)，分別以AC，BC為直角邊作等腰直角三角形，得△ACD與△BCE，連接DE交射線AN于點(diǎn)M，則CM的長(zhǎng)為__________．
【變式5-3】在中，，，直線MN經(jīng)過點(diǎn)C，且于D點(diǎn)，于E點(diǎn)．
（1）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖①的位置時(shí)，求證：；
（2）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖②、圖③的位置時(shí)，試問DE、AD、BE具有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)直接寫出這個(gè)等量關(guān)系．

【題型六 其他模型】
【例題6】如圖：，，，，連接與交于，則：①；②；③；正確的有（ ）個(gè)
A．0B．1C．2D．3
【變式6-1】如圖，已知中，，D為上一點(diǎn)，且，則的度數(shù)是_________．
【變式6-2】如圖，的面積是10，垂直的平分線于點(diǎn)，則的面積是__________．
【變式6-3】已知：和都是等腰直角三角形，，連接、交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)．
（1）如圖1，求證：；
（2）如圖2，若，在不添加任何輔助線的情況下，請(qǐng)直接寫出圖2中四對(duì)全等的直角三角形．
【題型七 全等三角形中的動(dòng)點(diǎn)問題】
【例題7】如圖，在長(zhǎng)方形的中，已知，，點(diǎn)以4cm/s的速度由點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)以的速度由點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，若以A，，為頂點(diǎn)的三角形和以，，為頂點(diǎn)的三角形全等，則的值為（ ）
A．4B．6C．4或D．4或
【變式7-1】如圖，△ABC中，∠ACB=90°，AC=12，BC=16．點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)沿A—C—B路徑向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，終點(diǎn)為B點(diǎn)；點(diǎn)Q從B點(diǎn)出發(fā)沿B—C—A路徑向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，終點(diǎn)為A點(diǎn)．點(diǎn)P和Q分別以2和6的運(yùn)動(dòng)速度同時(shí)開始運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)都要到相應(yīng)的終點(diǎn)時(shí)才能停止運(yùn)動(dòng)，在某時(shí)刻，分別過P和Q作PE⊥l于E，QF⊥l于F．若要△PEC與△QFC全等，則點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為_______．
【變式7-2】如圖，在△ABC中，，AC＝8cm，BC＝10cm．點(diǎn)C在直線l上，動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)沿A→C的路徑向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)Q從B點(diǎn)出發(fā)沿B→C→A路徑向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)P和點(diǎn)Q分別以每秒1cm和2cm的運(yùn)動(dòng)速度同時(shí)開始運(yùn)動(dòng)，其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)，分別過點(diǎn)P和Q作PM⊥直線l于M，QN⊥直線l于N．則點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為____秒時(shí)，△PMC與△QNC全等．
【變式7-3】如圖，在中，，，，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿線段以3cm/s的速度連續(xù)做往返運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿線段以2cm/s的速度向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)，、兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，與交于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（秒）．
(1)分別寫出當(dāng)和時(shí)線段的長(zhǎng)度（用含的代數(shù)式表示）．
(2)當(dāng)時(shí)，求的值．
(3)若，求所有滿足條件的值．
【題型八 全等三角形的幾何綜合】
【例題8】如圖，，，，，垂足分別是點(diǎn)，，若，，則的長(zhǎng)是（ ）
A．B．2C．3D．4
【變式8-1】如圖，已知四邊形ABCD中，，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)．如果點(diǎn)P在線段BC上以的速度沿運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段CD上由C點(diǎn)向D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為_________時(shí)，能夠使與全等．
【變式8-2】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，△ABC的角平分線AD，BE相交于點(diǎn)P，過P作PF⊥AD，交BC延長(zhǎng)線于F，交AC于H，則下列結(jié)論：①∠APB=135°；②BF=BA；③=HC；④PH=PD；其中正確的有____________________．
【變式8-3】如圖1，的角平分線，相交于點(diǎn)，
(1)發(fā)現(xiàn)：的度數(shù)為________；
(2)①猜想：與的數(shù)量關(guān)系為________；
②愛思考的小江對(duì)上述猜想進(jìn)行了合理的推理，淘氣的弟弟把他的稿紙撕了，僅剩如圖2所示的部分過程，請(qǐng)把其余過程補(bǔ)充完整；
(3)拓展：如圖3過點(diǎn)作的高記為，過點(diǎn)作的高記為；過點(diǎn)作的高記為，請(qǐng)寫出，，之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由．
【亮點(diǎn)訓(xùn)練】
1．如圖，把沿線段折疊，使點(diǎn)落在點(diǎn)處；若，，，則的度數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
2．如圖，AB＝AD，AC＝AE，∠DAB＝∠CAE＝50°，以下四個(gè)結(jié)論：①△ADC≌△ABE；②CD＝BE；③∠DOB＝50°；④CD平分∠ACB．其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（ ）
A．1B．2C．3D．4
3．如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AE是經(jīng)過點(diǎn)A的一條線段，且B，C在AE的兩側(cè)，BD⊥AE于點(diǎn)D，CE⊥AE于點(diǎn)E，若CE＝3，BD＝AE＝9，則DE的長(zhǎng)是（ ）
A．5B．5.5C．6D．7
4．將斜邊相等的兩塊三角形如圖放置，其中含45°角的三角板ABC的斜邊與含30°的三角板ADC的斜邊重合，B、D位于AC的兩側(cè)，若S四邊形ABCD＝8，連接BD．則BD的長(zhǎng)為（ ）
A．2B．4C．8D．16
5．如圖，AB，CD相交于點(diǎn)E，且AB=CD，試添加一個(gè)條件使得△ADE≌△CBE．現(xiàn)給出如下五個(gè)條件：①∠A=∠C;②∠B=∠D;③AE=CE;④BE=DE;⑤AD=CB．其中符合要求有( )
A．2個(gè)B．3個(gè)C．4個(gè)D．5個(gè)
6．如圖，△ABC中，BD平分∠ABC，AD垂直于BD，△BCD的面積為58，△ADC的面積為30，則△ABD的面積等于______．
7．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于點(diǎn)E，AD⊥CE于點(diǎn)D，已知DE＝4，AD＝6，則BE的長(zhǎng)為___．
8．如圖，在四邊形ABCD中，∠DAB＝∠ABC，AB＝5cm，AD＝BC＝3cm，點(diǎn)E在線段AB上以1cm/s的速度由點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)F在線段BC上由點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），當(dāng)△ADE與以B，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的三角形全等時(shí)，則點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)速度為 ___cm/s．
9．如圖，中，，，，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿路徑向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，終點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿路徑向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，終點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)和分別以每秒和的運(yùn)動(dòng)速度同時(shí)開始運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)都要到達(dá)相應(yīng)的終點(diǎn)時(shí)才能停止運(yùn)動(dòng)，分別過和作于，于.設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，要使以點(diǎn)，，為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)，，為頂點(diǎn)的三角形全等，則的值為______.
10．如圖，△ABC中，AC＝BC＝5，∠ACB＝80°，O為△ABC中一點(diǎn)，∠OAB＝10°，∠OBA＝30°，則線段AO的長(zhǎng)是_____．
11．（1）閱讀理解：?jiǎn)栴}：如圖1，在四邊形中，對(duì)角線平分，．求證：．
思考：“角平分線+對(duì)角互補(bǔ)”可以通過“截長(zhǎng)、補(bǔ)短”等構(gòu)造全等去解決問題．
方法1：在上截取，連接，得到全等三角形，進(jìn)而解決問題；
方法2：延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得，連接，得到全等三角形，進(jìn)而解決問題．
結(jié)合圖1，在方法1和方法2中任選一種，添加輔助線并完成證明．
（2）問題解決：如圖2，在（1）的條件下，連接，當(dāng)時(shí)，探究線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
（3）問題拓展：如圖3，在四邊形中，，，過點(diǎn)D作，垂足為點(diǎn)E，請(qǐng)直接寫出線段、、之間的數(shù)量關(guān)系．
12．在邊長(zhǎng)為10厘米的等邊三角形△ABC中，如果點(diǎn)M，N都以3厘米/秒的速度勻速同時(shí)出發(fā)．
（1）若點(diǎn)M在線段AC上由A向C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N在線段BC上由C向B運(yùn)動(dòng)．
①如圖①，當(dāng)BD＝6，且點(diǎn)M，N在線段上移動(dòng)了2s，此時(shí)△AMD和△BND是否全等，請(qǐng)說明理由．
②求兩點(diǎn)從開始運(yùn)動(dòng)經(jīng)過幾秒后，△CMN是直角三角形．
（2）若點(diǎn)M在線段AC上由A向點(diǎn)C方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N在線段CB上由C向點(diǎn)B方向運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)的過程中，連接直線AN，BM，交點(diǎn)為E，探究所成夾角∠BEN的變化情況，結(jié)合計(jì)算加以說明．
《講亮點(diǎn)》2022-2023學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)教材同步配套講練《蘇科版》
專題復(fù)習(xí) 全等三角形常見重難點(diǎn)考查題型
【題型目錄】
題型一、將已知圖形分割成幾個(gè)全等圖形
題型二、結(jié)合尺規(guī)作圖的全等問題
題型三、倍長(zhǎng)中線模型
題型四、旋轉(zhuǎn)模型
題型五、垂線模型
題型六、其他模型
題型七、全等三角形中的動(dòng)點(diǎn)問題
題型八、全等三角形幾何綜合
【題型一 將已知圖形分割成幾個(gè)全等圖形】
【例題1】下圖所示的圖形分割成兩個(gè)全等的圖形，正確的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
直接利用全等圖形的概念進(jìn)而得出答案．
【詳解】
解：圖形分割成兩個(gè)全等的圖形，如圖所示：
故選B．
【點(diǎn)睛】
此題主要考查全等圖形的識(shí)別，解題的關(guān)鍵是熟知全等的性質(zhì).
【變式1-1】在如圖所示的網(wǎng)格圖中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1．沿著圖中的虛線，可以將該圖形分割成2個(gè)全等的圖形．在所有的分割方案中，最長(zhǎng)分割線的長(zhǎng)度等于______．
【答案】7
【解析】
【分析】
沿著圖中的虛線，可以將該圖形分割成2個(gè)全等的圖形，畫出所有的分割方案，即可得到最長(zhǎng)分割線的長(zhǎng)度．
【詳解】
解：分割方案如圖所示：
由圖可得，最長(zhǎng)分割線的長(zhǎng)度等于7．
故答案為：7．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查全等形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是要熟練掌握全等形的性質(zhì).
【變式1-2】．如圖，已知正方形中陰影部分的面積為3，則正方形的面積為________．
【答案】6
【解析】
【分析】
利用割補(bǔ)法，把陰影部分移動(dòng)到一邊.
【詳解】
把陰影部分移動(dòng)到正方形的一邊，恰好是正方形的一半，故正方形面積是6.
【點(diǎn)睛】
割補(bǔ)法，等面積轉(zhuǎn)換,可以簡(jiǎn)便運(yùn)算，化復(fù)雜為簡(jiǎn)單.
【變式1-3】沿著圖中的虛線（小正方形虛線邊），用四種不同的方法（構(gòu)成4種不同圖形）將下面的圖形分成兩個(gè)全等的圖形．
【答案】見解析
【解析】
【分析】
根據(jù)全等圖形的定義：能夠完全重合的兩個(gè)圖形叫做全等圖形進(jìn)行求解即可．
【詳解】
解：如圖所示，即為所求；
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了考查了全等圖形的概念，熟知相關(guān)概念是解題的關(guān)鍵．
【題型二 結(jié)合尺規(guī)作圖的全等問題】
【例題2】已知銳角，如圖，（1）在射線上取點(diǎn)，，分別以點(diǎn)為圓心，，長(zhǎng)為半徑作弧，交射線于點(diǎn)，；（2）連接，交于點(diǎn)．根據(jù)以上作圖過程及所作圖形，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）
A．B．
C．若，則D．點(diǎn)在的平分線上
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)題意可知，即可推斷結(jié)論A；先證明，再證明即可證明結(jié)論B；連接OP，可證明可證明結(jié)論D；由此可知答案．
【詳解】
解：由題意可知，
，
，
故選項(xiàng)A正確，不符合題意；
在和中，
，
，
在和中，
，
，
，
故選項(xiàng)B正確，不符合題意；
連接OP，
，
，
在和中，
，
，
，
點(diǎn)在的平分線上，
故選項(xiàng)D正確，不符合題意；
若，，
則，
而根據(jù)題意不能證明，
故不能證明，
故選項(xiàng)C錯(cuò)誤，符合題意；
故選：C．
【點(diǎn)睛】
本題考查角平分線的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，明確以某一半徑畫弧時(shí)，準(zhǔn)確找到相等的線段是解題的關(guān)鍵．
【變式2-1】如圖，點(diǎn)B在直線l上，分別以線段BA的端點(diǎn)為圓心，以BC（小于線段BA）長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交直線l，線段BA于點(diǎn)C，D，E，再以點(diǎn)E為圓心，以CD長(zhǎng)為半徑畫弧交前面的弧于點(diǎn)F，畫射線AF．若∠BAF的平分線AH交直線l于點(diǎn)H，∠ABC=70°，則∠AHB的度數(shù)為_______．
【答案】35°##35度
【解析】
【分析】
連接CD，EF．由題目中尺規(guī)作圖可知：，．可證，所以，可得．所以．由于AH平分，所以．即：．
【詳解】
解：連接CD，EF
由題目中尺規(guī)作圖可知：，
在和中
AH平分
故答案為：．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查知識(shí)點(diǎn)為，全等三角形的性質(zhì)及判定、定點(diǎn)為圓心定長(zhǎng)為半徑的性質(zhì)、平行線的判定及性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)．能看懂尺規(guī)作圖，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)及判定、平行線的性質(zhì)及判定，角平分線的性質(zhì)，是解決本題的關(guān)鍵．
【變式2-2】李老師制作了如圖1所示的學(xué)具，用來探究“邊邊角條件是否可確定三角形的形狀”問題．操作學(xué)具時(shí)，點(diǎn)Q在軌道槽AM上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P既能在以A為圓心、以8為半徑的半圓軌道槽上運(yùn)動(dòng)，也能在軌道槽QN上運(yùn)動(dòng)．圖2是操作學(xué)具時(shí)，所對(duì)應(yīng)某個(gè)位置的圖形的示意圖．
有以下結(jié)論：
①當(dāng)，時(shí)，可得到形狀唯一確定的
②當(dāng)，時(shí)，可得到形狀唯一確定的
③當(dāng)，時(shí)，可得到形狀唯一確定的
其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是______________．
【答案】②③##③②
【解析】
【分析】
分別在以上三種情況下以P為圓心，PQ的長(zhǎng)度為半徑畫弧，觀察弧與直線AM的交點(diǎn)即為Q點(diǎn)，作出后可得答案．
【詳解】
如下圖，當(dāng)∠PAQ=30°，PQ=6時(shí)，以P為圓心，PQ的長(zhǎng)度為半徑畫弧，弧與直線AM有兩個(gè)交點(diǎn)，作出，發(fā)現(xiàn)兩個(gè)位置的Q都符合題意，所以不唯一，所以①錯(cuò)誤．
如下圖，當(dāng)∠PAQ=90°，PQ=10時(shí)，以P為圓心，PQ的長(zhǎng)度為半徑畫弧，弧與直線AM有兩個(gè)交點(diǎn)，作出，發(fā)現(xiàn)兩個(gè)位置的Q都符合題意，但是此時(shí)兩個(gè)三角形全等，所以形狀相同，所以唯一，所以②正確．
如下圖，當(dāng)∠PAQ=150°，PQ=12時(shí)，以P為圓心，PQ的長(zhǎng)度為半徑畫弧，弧與直線AM有兩個(gè)交點(diǎn)，作出，發(fā)現(xiàn)左邊位置的Q不符合題意，所以唯一，所以③正確．
綜上：②③正確．
故答案為：②③
【點(diǎn)睛】
本題考查的是三角形形狀問題，為三角形全等來探索判定方法，也考查三角形的作圖，利用對(duì)稱關(guān)系作出另一個(gè)Q是關(guān)鍵．
【變式2-3】嘉淇同學(xué)要證，她先用下列尺規(guī)作圖步驟作圖：①；②以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧，與射線相交于點(diǎn)，連接；③過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)．并寫出了如下不完整的已知和求證．
（1）在方框中填空，以補(bǔ)全已知和求證；
（2）按嘉淇的想法寫出證明過程．
【答案】（1）BE；BF；（2）見解析
【解析】
【分析】
（1）以點(diǎn) B 為圓心， BC 長(zhǎng)為半徑畫弧得到BC=BE，根據(jù)題目第一句話得AE=BF；
（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠AEB=∠FBC，然后根據(jù)AAS證明△ABE≌△FCB，然后利用全等三角形的性質(zhì)即可證明．
【詳解】
（1）∵以點(diǎn)B為圓心，BC長(zhǎng)為半徑畫弧
∴BC=BE
根據(jù)已知條件第一句話，得到AE=BF
故答案為：BE；BF；
（2）證明：∵CF⊥BE，
∴∠BFC=90°，
又∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠FBC．
∵以點(diǎn)B為圓心，BC長(zhǎng)為半徑畫弧，
∴BE=BC，
在△ABE與△FCB中，
∴△ABE≌△FCB，
∴AE=BF
【點(diǎn)睛】
本題考查了尺規(guī)作圖，和三角形全等的判定及性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定條件，和性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．
【題型三 倍長(zhǎng)中線模型】
【例題3】如圖，是的邊上的中線，，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
延長(zhǎng)至點(diǎn)E，使，連接，證明，可得，然后運(yùn)用三角形三邊關(guān)系可得結(jié)果．
【詳解】
如圖，延長(zhǎng)至點(diǎn)E，使，連接．
∵為的邊上的中線，
∴，
在和中，
∴，
∴．
在中，，
即，
∴，
故選：C．
【點(diǎn)睛】
本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，根據(jù)中點(diǎn)倍長(zhǎng)法構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．
【變式3-1】如圖，在ABC中，CD是AB邊上的中線，設(shè)BC＝a，AC＝b，若a，b滿足a2﹣10a+b2﹣18b+106＝0，則CD的取值范圍是 _____．
【答案】2＜CD＜7
【解析】
【分析】
已知等式變形后，利用完全平方公式配方，再利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出a與b的值，即可求出CD的取值范圍．
【詳解】
解：已知等式整理得：（a2?10a＋25）＋（b2?18b＋81）＝0，
即（a?5）2＋（b?9）2＝0，
∵（a?5）2≥0，（b?9）2≥0，
∴a?5＝0，b?9＝0，
解得：a＝5，b＝9，
∴BC＝5，AC＝9，
延長(zhǎng)CD到E，使DE＝CD，連接AE，
∵CD為AB邊上的中線，
∴BD＝AD，
在△BCD和△AED中，
，
∴△BCD≌△AED（SAS），
∴AE＝BC＝a，
在△ACE中，AC?AE＜CE＜AC＋AE，
∴AC?BC＜2CD＜AC＋AE，即b?a＜2CD＜a＋b，
∴＜CD＜，
則2＜CD＜7．
故答案為：2＜CD＜7．
【點(diǎn)睛】
此題考查了配方法的應(yīng)用，三角形三邊關(guān)系，全等三角形的判定與性質(zhì)，以及非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．
【變式3-2】中，，， 則第三邊邊上的中線的取值范圍是______．
【答案】
【解析】
【分析】
如圖延長(zhǎng)AD至點(diǎn)E，使得DE=AD，可證△ABD≌△CDE，可得AB=CE，AD=DE，在△ACE中，根據(jù)三角形三邊關(guān)系即可求得AE的取值范圍，即可解題．
【詳解】
解：延長(zhǎng)AD至點(diǎn)E，使得DE=AD，
∵點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，
∴BD=CD
在△ABD和△CDE中，
，
∴△ABD≌△CDE（SAS），
∴AB=CE，
∵△ACE中，AC-CE＜AE＜AC+CE，即：AC-AB＜AE＜AC+AB，
∴2＜AE＜10，
∴1＜AD＜5．
故答案為：1＜AD＜5．
【點(diǎn)睛】
本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等的性質(zhì)，本題中求證△ABD≌△CDE是解題的關(guān)鍵．
【變式3-3】【閱讀理解】
課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問題：
如圖，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC邊上的中線AD的取值范圍．
小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：如圖，延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E，使DE＝AD，連結(jié)BE．請(qǐng)根據(jù)小明的方法思考：
(1)由已知和作圖能得到的理由是（ ）．
A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA
(2)AD的取值范圍是（ ）．
A． B． C． D．
(3)【感悟】解題時(shí)，條件中若出現(xiàn)“中點(diǎn)”、“中線”字樣，可以考慮延長(zhǎng)中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論轉(zhuǎn)化到同一個(gè)三角形中．
【問題解決】如圖，AD是△ABC的中線，BE交AC于點(diǎn)E，交AD于F，且AE＝EF．求證：AC＝BF．
【答案】(1)B
(2)C
(3)見解析
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)AD=DE，∠ADC=∠BDE，BD=DC推出△ADC和△EDB全等即可；
（2）根據(jù)全等得出BE=AC=6，AE=2AD，由三角形三邊關(guān)系定理得出8-6＜2AD＜8+6，求出即可；
（3）延長(zhǎng)AD到M，使AD=DM，連接BM，根據(jù)SAS證△ADC≌△MDB，推出BM=AC，∠CAD=∠M，根據(jù)AE=EF，推出∠CAD=∠AFE=∠BFD，求出∠BFD=∠M，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出即可．
(1)
∵在△ADC和△EDB中
，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
故選B；
(2)
∵由（1）知：△ADC≌△EDB，
∴BE=AC=6，AE=2AD，
∵在△ABE中，AB=8，由三角形三邊關(guān)系定理得：8-6＜2AD＜8+6，
∴1＜AD＜7，
故選：C．
(3)
延長(zhǎng)AD到點(diǎn)M，使AD＝DM，連接BM．
∵AD是△ABC中線
∴CD＝BD
∵在△ADC和△MDB中
∴
∴BM＝AC（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）
∠CAD＝∠M（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）
∵AE＝EF，
∴∠CAD＝∠AFE（等邊對(duì)等角）
∵∠AFE＝∠BFD，
∴∠BFD＝∠M，
∴BF＝BM（等角對(duì)等邊）
又∵BM＝AC，
∴AC＝BF．
【點(diǎn)睛】
本題考查了三角形的中線，三角形的三邊關(guān)系定理，等腰三角形性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)點(diǎn)，主要考查學(xué)生運(yùn)用定理進(jìn)行推理的能力．
【題型四 旋轉(zhuǎn)模型】
【例題4】如圖，在中，，，D、E是斜邊上兩點(diǎn)，且，若，，，則與的面積之和為（ ）
A．36B．21C．30D．22
【答案】B
【解析】
【分析】
將關(guān)于對(duì)稱得到，從而可得的面積為15，再根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)可得，然后根據(jù)三角形全等的判定定理證出，從而可得，最后根據(jù)與的面積之和等于與的面積之和即可得．
【詳解】
解：如圖，將關(guān)于AE對(duì)稱得到，
則，，
，
，
，
在和中，，
，
，
，即是直角三角形，
，
，
即與的面積之和為21，
故選：B．
【點(diǎn)睛】
本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)、三角形全等的判定定理與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，通過作輔助線，構(gòu)造全等三角形和直角三角形是解題關(guān)鍵．
【變式4-1】如圖，正三角形和，A，C，E在同一直線上，AD與BE交于點(diǎn)O，AD與BC交于點(diǎn)P，BE與CD交于點(diǎn)Q，連接PQ．①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°．成立的結(jié)論有______________．并寫出3對(duì)全等三角形___________________________．
【答案】 ①②③⑤ △ACD≌△BCE，△BCQ≌△ACP，△CDP≌△CEQ
【解析】
【分析】
①可證明△ACD≌△BCE,從而得出AD=BE；
②可通過證明△BCQ≌△ACP，從而可證明△PCQ為等邊三角形，再根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行可證明PQ∥AE．
③由②中△BCQ≌△ACP，可證AP=BQ；
④通過證明△CDP≌△CEQ可得DP=EQ，又由圖可知DE＞QE，從而④錯(cuò)誤；
⑤通過三角形外角定理和前面△ACD≌△BCE可得該結(jié)論．
由前面的證明過程可得出三個(gè)全等三角形．
【詳解】
解：①△ABC和△DCE均是等邊三角形，點(diǎn)A，C，E在同一條直線上，
∴AC=BC，EC=DC，∠BCE=∠ACD=120°
∴△ACD≌△BCE
∴AD=BE，故本選項(xiàng)正確；
②∵△ACD≌△BCE，
∴∠CBQ=∠CAP，
又∵∠PCQ=∠ACB=60°，CB=AC，
∴△BCQ≌△ACP，
∴CQ=CP，又∠PCQ=60°，
∴△PCQ為等邊三角形，
∴∠QPC=60°=∠ACB，
∴PQ∥AE，故本選項(xiàng)正確；
③由②△BCQ≌△ACP可得AP=BQ，故本選項(xiàng)正確；
④∵△ACD≌△BCE，
∴∠ADC=∠BEC，
∵CD=CE，∠DCP=∠ECQ=60°，
∴△CDP≌△CEQ（ASA）．
∴DP=EQ，
∵DE＞QE
∴DE＞DP，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
⑤∠AOB=∠DAE+∠AEO=∠DAE+∠ADC=∠DCE=60°，故本選項(xiàng)正確；
∴正確的有：①②③⑤．
由上面證明過程可知△ACD≌△BCE，△BCQ≌△ACP，△CDP≌△CEQ．
故答案為：①②③⑤；△ACD≌△BCE，△BCQ≌△ACP，△CDP≌△CEQ．
【點(diǎn)睛】
本題考查全等三角形的性質(zhì)和判定，等邊三角形的性質(zhì)．熟練掌握全等三角形的判定定理，并能依據(jù)等邊三角形三邊相等，三角相等都是60°的特征判斷三角形全等是解題關(guān)鍵．
【變式4-2】如圖，P是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且PA＝6，PC＝8，PB＝10，若△APB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°后，得到△AP′C，則∠APC＝_____°．
【答案】150°
【解析】
【分析】
如圖，連接PP′，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證明△APP′是等邊三角形，可得∠APP′=60°，PP′=PA=6，再由勾股定理的逆定理判定△P′PC是以∠P′PC為直角的直角三角形，即可求得∠APC的度數(shù)．
【詳解】
解：如圖，連接PP′，
∵△APB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△AP′C，
∴△AP′C≌△APB，
∴P′A=PA=6，P′C=PB=10，
∵旋轉(zhuǎn)角是60°，
∴△APP′是等邊三角形，
∴∠APP′=60°，PP′=PA=6，
∵PP′2+PC2=62+82=100，P′C2=PB2=102=100，
∴PP′2+PC2=P′C2，
∴△P′PC是以∠P′PC為直角的直角三角形，
∴∠APC=∠APP′+∠P′PC=60°+90°=150°．
故答案為150°．
【點(diǎn)睛】
本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)．關(guān)鍵是通過旋轉(zhuǎn)，得出旋轉(zhuǎn)角及對(duì)應(yīng)邊的關(guān)系，判斷特殊三角形．
【變式4-3】（1）如圖①，在正方形中，、分別是、上的點(diǎn)，且，連接，探究、、之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
（2）如圖②，在四邊形中，，，、分別是、上的點(diǎn)，且，此時(shí)（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)說明理由．
【答案】（1），理由見解析；（2）成立，理由見解析
【解析】
【分析】
（1）典型的“夾半角模型”，延長(zhǎng)到使得，先證，再證，最后根據(jù)邊的關(guān)系即可證明；
（2）圖形變式題可以參考第一問的思路，延長(zhǎng)到使得，先證
，再證，最后根據(jù)邊的關(guān)系即可證明；
【詳解】
解：（1）
證明：延長(zhǎng)到，使得
連接
∵四邊形是正方形
∴，
又∵
∴
∴，
∵
∴
∴
又∵
∴
∴
又∵
∴
（2）
證明：延長(zhǎng)到，使得
連接
∵，
∴
又∵，
∴
∴，
∵
∴
∴
又∵
∴
∴
又∵
∴
【點(diǎn)睛】
本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，正確的根據(jù)“夾半角模型”作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
【題型五 垂線模型】
【例題5】如圖，，，于點(diǎn)E，于點(diǎn)D，，，則的長(zhǎng)是（ ）
A．8B．4C．3D．2
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)已知條件，觀察圖形得，，然后證后求解．
【詳解】
解：，，于，于，
，
，
又，，
．
，，
．
故選：C．
【點(diǎn)睛】
本題考查了直角三角形全等的判定方法；題目利用全等三角形的判定和性質(zhì)求解，發(fā)現(xiàn)并利用，，是解題的關(guān)鍵．
【變式5-1】如圖，在中，，過點(diǎn)作，且，連接，若，則的長(zhǎng)為________．
【答案】3
【解析】
【分析】
過點(diǎn)作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，先證明，則，然后根據(jù)求即可．
【詳解】
解：過點(diǎn)作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，
則∠DMC=90°=∠ABC，
，，
，，
，
，
，
，
，
．
故填．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及三角形的面積，正確作出輔助線、構(gòu)造全等三角形證得成為解答本題的關(guān)鍵．
【變式5-2】如圖，線段AB=8cm，射線AN⊥AB，垂足為點(diǎn)A，點(diǎn)C是射線上一動(dòng)點(diǎn)，分別以AC，BC為直角邊作等腰直角三角形，得△ACD與△BCE，連接DE交射線AN于點(diǎn)M，則CM的長(zhǎng)為__________．
【答案】4cm.
【解析】
【分析】
過點(diǎn)E作EF⊥AN于F，先利用AAS證出△ABC≌△FCE，從而得出AB=FC=8cm，AC=FE，然后利用AAS證出△DCM≌△EFM,從而求出CM的長(zhǎng).
【詳解】
解：過點(diǎn)E作EF⊥AN于F，如圖所示
∵AN⊥AB，△BCE和△ACD為等腰直角三角形，
∴∠BAC=∠BCE=∠ACD=∠CFE =90°，BC=CE，AC=CD
∴∠ABC+∠ACB=90°，∠FCE+∠ACB =90°，
∴∠ABC =∠FCE，
在△ABC和△FCE中
∴△ABC≌△FCE
∴AB=FC=8cm，AC=FE
∴CD= FE
在△DCM和△EFM中
∴△DCM≌△EFM
∴CM=FM=FC=4cm.
故答案為：4cm.
【點(diǎn)睛】
此題考查的是全等三角形的判定及性質(zhì)，掌握用AAS證兩個(gè)三角形全等是解決此題的關(guān)鍵.
【變式5-3】在中，，，直線MN經(jīng)過點(diǎn)C，且于D點(diǎn)，于E點(diǎn)．
（1）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖①的位置時(shí)，求證：；
（2）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖②、圖③的位置時(shí)，試問DE、AD、BE具有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)直接寫出這個(gè)等量關(guān)系．

【答案】（1）證明見解析，（2）圖②中DE、AD、BE的等量關(guān)系是DE＝AD﹣BE，圖③中DE、AD、BE的等量關(guān)系是DE＝BE﹣AD．
【解析】
【分析】
（1）由已知推出推出∠DAC＝∠BCE，根據(jù)AAS證明△ADC≌△CEB即可得到答案；
（2）與（1）證法類似可證出∠ACD＝∠EBC，能推出△ADC≌△CEB，得到AD＝CE，CD＝BE，即可得到線段的關(guān)系．
【詳解】
解：（1）①證明：∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∴∠ADC＝∠BEC＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠DAC+∠ACD＝90°，
∴∠DAC＝∠BCE，
在△ADC和△CEB中
∴△ADC≌△CEB（AAS）．
∴AD＝CE，CD＝BE，
∵DC+CE＝DE，
∴DE＝AD+BE．
（2）圖②中DE、AD、BE的等量關(guān)系是DE＝AD﹣BE，圖③中DE、AD、BE的等量關(guān)系是DE＝BE﹣AD．
如圖②
∵BE⊥EC，AD⊥CE，
∴∠ADC＝∠BEC＝90°，
∴∠EBC+∠ECB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ECB+∠ACE＝90°，
∴∠ACD＝∠EBC，
在△ADC和△CEB中，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴AD＝CE，CD＝BE，
∴DE＝EC﹣CD＝AD﹣BE．
DE＝AD﹣BE，
如圖③
∵BE⊥EC，AD⊥CE，
∴∠ADC＝∠BEC＝90°，
∴∠EBC+∠ECB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ECB+∠ACE＝90°，
∴∠ACD＝∠EBC，
在△ADC和△CEB中，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴AD＝CE，CD＝BE，
∴DE＝CD﹣CE＝BE﹣AD．
【點(diǎn)睛】
此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，能根據(jù)已知證出全等三角形是解此題的關(guān)鍵．
【題型六 其他模型】
【例題6】如圖：，，，，連接與交于，則：①；②；③；正確的有（ ）個(gè)
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【解析】
【分析】
利用垂直的定義得到，則，于是可對(duì)①進(jìn)行判斷；利用“”可證明，于是可對(duì)②進(jìn)行判斷；利用全等的性質(zhì)得到，則根據(jù)三角形內(nèi)角和和對(duì)頂角相等得到，于是可對(duì)③進(jìn)行判斷．
【詳解】
解：，，
，，
，
即，所以①正確；
在和中，
，
，所以②正確；
，
∵∠AFD=∠MFB，
，
，所以③正確．
故選：．
【點(diǎn)睛】
本題考查了全等三角形的判定：熟練掌握全等三角形的5種判定方法中，選用哪一種方法，取決于題目中的已知條件．
【變式6-1】如圖，已知中，，D為上一點(diǎn)，且，則的度數(shù)是_________．
【答案】20°
【解析】
【分析】
延長(zhǎng)至點(diǎn)E使，連接，證明是等邊三角形，設(shè)，則，再證明，即可得到結(jié)果．
【詳解】
解：如圖，延長(zhǎng)至點(diǎn)E使，連接．
∴，
∵，
∴．
∵，
∴是等邊三角形，
∴，
∵，
∴設(shè)，則．在與中，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案是．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，準(zhǔn)確分析計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
【變式6-2】如圖，的面積是10，垂直的平分線于點(diǎn)，則的面積是__________．
【答案】5
【解析】
【分析】
延長(zhǎng)AP交BC于E，通過垂直的平分線于點(diǎn)證明，從而可得，，即可求出的面積．
【詳解】
延長(zhǎng)AP交BC于E
∵垂直的平分線于點(diǎn)
∴，
在△ABP和△EBP中
∴
∴，
∴△ACP和△PCE等底同高
∴
∴
故答案為：5．
【點(diǎn)睛】
本題考查了三角形的面積問題，掌握角平分線的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)以及判定定理、三角形的面積公式是解題的關(guān)鍵．
【變式6-3】已知：和都是等腰直角三角形，，連接、交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)．
（1）如圖1，求證：；
（2）如圖2，若，在不添加任何輔助線的情況下，請(qǐng)直接寫出圖2中四對(duì)全等的直角三角形．
【答案】（1）證明見解析；（2）△ACB≌△DCE，△BCF≌△DCG，△AHF≌△EHG，△EHD≌△AHB
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)SAS可證明△ACD≌△BCE，從而可知AD=BE；
（2）根據(jù)條件即可判斷圖中的全等直角三角形．
【詳解】
解：（1）∵△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，
∴AC=BC，DC=EC，
∴∠ACB+∠ACE=∠DCE+∠ACE，
∴∠BCE=∠ACD，
在△ACD與△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE；
（2）△ACB≌△DCE，△BCF≌△DCG，△AHF≌△EHG，△EHD≌△AHB．
理由：∵AC=DC，∠ACB=∠DCE，
∴AC=CD=EC=CB，
∴△ACB≌△DCE（SAS）；
由（1）可知：∠EBC=∠DAC，∠ADC=∠BEC，
∴∠AHF=90°，
∵∠EBC=∠CEB=∠CDA，
∴△BCF≌△DCG（ASA），
∴CF=CG，
∴AF=EG，
∵∠AHF=∠EHG，∠FAH=∠HEG，
∴△AHF≌△EHG（AAS），
∴AH=EH，
又∵DE=AB，
∴Rt△EHD≌Rt△AHB（HL）．
【點(diǎn)睛】
本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用全等三角形的判定條件．
【題型七 全等三角形中的動(dòng)點(diǎn)問題】
【例題7】如圖，在長(zhǎng)方形的中，已知，，點(diǎn)以4cm/s的速度由點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)以的速度由點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，若以A，，為頂點(diǎn)的三角形和以，，為頂點(diǎn)的三角形全等，則的值為（ ）
A．4B．6C．4或D．4或
【答案】D
【解析】
【分析】
分兩種情況分別計(jì)算，即可分別求得．
【詳解】
解：設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，
由題意知：BP=4tcm，CQ=atcm，則PC=BC-BP=(10-4t)cm，
當(dāng)時(shí)，BP=CQ，
即4t=at，解得a=4，
當(dāng)時(shí)，BP=CP，CQ=AB，
即4t=10-4t，at=6，
解得，
故，解得，
故的值為4或，
故選：D．
【點(diǎn)睛】
本題考查了全等三角形的性質(zhì)，采用分類討論的思想是解決本題的關(guān)鍵．
【變式7-1】如圖，△ABC中，∠ACB=90°，AC=12，BC=16．點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)沿A—C—B路徑向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，終點(diǎn)為B點(diǎn)；點(diǎn)Q從B點(diǎn)出發(fā)沿B—C—A路徑向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，終點(diǎn)為A點(diǎn)．點(diǎn)P和Q分別以2和6的運(yùn)動(dòng)速度同時(shí)開始運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)都要到相應(yīng)的終點(diǎn)時(shí)才能停止運(yùn)動(dòng)，在某時(shí)刻，分別過P和Q作PE⊥l于E，QF⊥l于F．若要△PEC與△QFC全等，則點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為_______．
【答案】1或3.5或12
【解析】
【分析】
分4種情況求解：①P在AC上，Q在BC上，推出方程6-t=8-3t，②P、Q都在AC上，此時(shí)P、Q重合，得到方程6-t=3t-8，Q在AC上，③P在BC上，Q在AC時(shí)，此時(shí)不存在，④當(dāng)Q到A點(diǎn)，與A重合，P在BC上時(shí)．
【詳解】
解：∵△PEC與△QFC全等，∴斜邊CP=CQ，有四種情況：
①P在AC上，Q在BC上，
，
CP=12-2t，CQ=16-6t，
∴12-2t=16-6t，
∴t=1；
②P、Q都在AC上，此時(shí)P、Q重合，
∴CP=12-2t=6t-16，
∴t=3.5；
③P到BC上，Q在AC時(shí)，此時(shí)不存在；
理由是：28÷6=，12÷2=6，即Q在AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，P點(diǎn)也在AC上運(yùn)動(dòng)；
④當(dāng)Q到A點(diǎn)（和A重合），P在BC上時(shí)，
∵CP=CQ=AC=12．CP=12-2t，
∴2t-12=12，
∴t=12符合題意；
答：點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)1或3.5或12時(shí)，△PEC與△QFC全等．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查對(duì)全等三角形的性質(zhì)，解一元一次方程等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，能根據(jù)題意得出方程是解此題的關(guān)鍵．
【變式7-2】如圖，在△ABC中，，AC＝8cm，BC＝10cm．點(diǎn)C在直線l上，動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)沿A→C的路徑向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)Q從B點(diǎn)出發(fā)沿B→C→A路徑向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)P和點(diǎn)Q分別以每秒1cm和2cm的運(yùn)動(dòng)速度同時(shí)開始運(yùn)動(dòng)，其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)，分別過點(diǎn)P和Q作PM⊥直線l于M，QN⊥直線l于N．則點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為____秒時(shí)，△PMC與△QNC全等．
【答案】2或6##6或2
【解析】
【分析】
設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，根據(jù)題意化成兩種情況，由全等三角形的性質(zhì)得出，列出關(guān)于t的方程，求解即可．
【詳解】
解：設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒時(shí)，△PMC≌△CNQ，
∴斜邊，
分兩種情況：
①如圖1，點(diǎn)P在AC上，點(diǎn)Q在BC上，
圖1
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴；
②如圖2，點(diǎn)P、Q都在AC上，此時(shí)點(diǎn)P、Q重合，
圖2
∵，，
∴，
∴；
綜上所述，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為2或6秒時(shí)，△PMC與△QNC全等，
故答案為：2或6．
【點(diǎn)睛】
本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，根據(jù)題意判斷兩三角形全等的條件是解題關(guān)鍵，同時(shí)要注意分情況討論，解題時(shí)避免遺漏答案．
【變式7-3】如圖，在中，，，，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿線段以3cm/s的速度連續(xù)做往返運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿線段以2cm/s的速度向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)，、兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，與交于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（秒）．
(1)分別寫出當(dāng)和時(shí)線段的長(zhǎng)度（用含的代數(shù)式表示）．
(2)當(dāng)時(shí)，求的值．
(3)若，求所有滿足條件的值．
【答案】(1)時(shí)，，時(shí)，
(2)
(3)
【解析】
【分析】
(1)根據(jù)點(diǎn)F從點(diǎn)B出發(fā)的速度和圖形解答即可；
(2)根據(jù)題意列出方程，解方程即可；
(3)分兩種情況討論，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)列式計(jì)算即可．
(1)
解：當(dāng)時(shí)，，，
當(dāng)時(shí)，，．
(2)
解：由題意知：，
當(dāng)時(shí)，，，(舍去)．
當(dāng)時(shí)，，，．
(3)
解：當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，，．
當(dāng)時(shí)，，，(舍去）．
∴當(dāng)時(shí)，．
【點(diǎn)睛】
本題考查的是列代數(shù)式和全等三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，根據(jù)題意求出代數(shù)式、掌握全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等是解題的關(guān)鍵．
【題型八 全等三角形的幾何綜合】
【例題8】如圖，，，，，垂足分別是點(diǎn)，，若，，則的長(zhǎng)是（ ）
A．B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)已知條件可以得出∠E=∠ADC=90°，進(jìn)而得出?CEB??ADC，就可以得出BE=DC，就可以求出DE的值.
【詳解】
解：∵BE⊥CE，AD⊥CE，
∴∠E=∠ADC=90°
∴∠EBC+∠BCE=90°
∵∠BCE+∠ACD=90°
∴∠EBC=∠DCA
在?CEB和?ADC中，
∠E=∠ADC，∠EBC=∠DCA，BC=AC
∴?CEB??ADC(AAS)
∴BE=DC=1，CE=AD=3
∴DE=EC-CD=3-1=2
故選：B．
【點(diǎn)睛】
全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具，在判定三角形全等時(shí)，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件．
【變式8-1】如圖，已知四邊形ABCD中，，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)．如果點(diǎn)P在線段BC上以的速度沿運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段CD上由C點(diǎn)向D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為_________時(shí)，能夠使與全等．
【答案】3或
【解析】
【分析】
根據(jù)①當(dāng)時(shí)，；②當(dāng)時(shí)，兩種情況進(jìn)行討論，從而可求點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度；
【詳解】
解：設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts；
①當(dāng)時(shí)，，Q的運(yùn)動(dòng)速度等于P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度；
②當(dāng)時(shí)，，則，
∴點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度：；
故答案為：3或．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查全等三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【變式8-2】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，△ABC的角平分線AD，BE相交于點(diǎn)P，過P作PF⊥AD，交BC延長(zhǎng)線于F，交AC于H，則下列結(jié)論：①∠APB=135°；②BF=BA；③=HC；④PH=PD；其中正確的有____________________．
【答案】①②④
【解析】
【分析】
由角平分線的定義，可得∠PAB+∠PBA=45°，由三角形內(nèi)角和定理可得結(jié)論①；由△BPA≌△BPF可得結(jié)論②；由△APH≌△FPD可得結(jié)論④；若PH=HC，則PD=HC，由AD＞AC可得AP＞AH不成立，故③錯(cuò)誤；
【詳解】
解：∵∠CAB+∠CBA=90°，AD、BE平分∠CAB、∠CBA，
∴∠PAB+∠PBA=（∠CAB+∠CBA）=45°，
△PAB中，∠APB=180°-（∠PAB+∠PBA）=135°，
故①正確；
∵∠ADF+∠F=90°，∠ADF+∠DAC=90°，
∴∠F=∠DAC=∠DAB，
△BPA和△BPF中：∠PBA=∠PBF，∠PAB=∠PFB，BP=BP，
∴△BPA≌△BPF（AAS），
∴BA=BF，PA=PF，
故②正確；
△APH和△FPD中：∠PAH=∠PFD，PA=PF，∠APH=∠FPD=90°，
∴△APH≌△FPD（ASA），
∴PH=PD，故④正確；
若PH=HC，則PD=HC，
AD＞AC，則AD-PD＞AC-HC，即AP＞AH，不成立，
故③錯(cuò)誤；
綜上所述①②④正確，
故答案為：①②④
【點(diǎn)睛】
本題考查了三角形內(nèi)角和定理，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)；掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
【變式8-3】如圖1，的角平分線，相交于點(diǎn)，
(1)發(fā)現(xiàn)：的度數(shù)為________；
(2)①猜想：與的數(shù)量關(guān)系為________；
②愛思考的小江對(duì)上述猜想進(jìn)行了合理的推理，淘氣的弟弟把他的稿紙撕了，僅剩如圖2所示的部分過程，請(qǐng)把其余過程補(bǔ)充完整；
(3)拓展：如圖3過點(diǎn)作的高記為，過點(diǎn)作的高記為；過點(diǎn)作的高記為，請(qǐng)寫出，，之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由．
【答案】(1)60
(2)①；②見解析
(3)，理由見解析
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和角平分線的定義可得∠，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得結(jié)論；
（2）①猜想；②在上取一點(diǎn)使得連接根據(jù)證明得到，再根據(jù)證明△即可得到結(jié)論；
（3）證明即可得到結(jié)論．
(1)
∵的角平分線，相交于點(diǎn)，
∴∠
∵，
∴∠
∴∠
∴∠
故答案為
(2)
①猜想：與的數(shù)量關(guān)系為證明見②；
故答案為：
②在上取一點(diǎn)使得連接如圖2，
∵平分∠
∴∠
在和中
∴
∴
又由（1）得
∴∠∠∠
∴∠
∴∠
在和中
∴△
∴
∴
(3)
理由如下：
由（2）②知：
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了角平分線的定義，三角形外角的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)以及三角形的面積公式等知識(shí)，正確作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵．
【亮點(diǎn)訓(xùn)練】
1．如圖，把沿線段折疊，使點(diǎn)落在點(diǎn)處；若，，，則的度數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由于折疊，可得三角形全等，運(yùn)用三角形全等得出，利用平行線的性質(zhì)可得出則即可求．
【詳解】
解：∵沿線段折疊，使點(diǎn)落在點(diǎn)處，
∴ ，
∴ ，
∵，，
∴ ，
∵，
∴ ，
∴ ，
故選：C．
【點(diǎn)睛】
本題考查了全等三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理、平行線的性質(zhì)；解題的關(guān)鍵是，理解折疊就是得到全等的三角形，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等就可以解決．
2．如圖，AB＝AD，AC＝AE，∠DAB＝∠CAE＝50°，以下四個(gè)結(jié)論：①△ADC≌△ABE；②CD＝BE；③∠DOB＝50°；④CD平分∠ACB．其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】
【分析】
由∠DAB＝∠CAE，可得∠DAC＝∠BAE，再通過SAS可證明△ADC≌△ABE，再利用全等三角形的性質(zhì)可進(jìn)行判斷．
【詳解】
解：∵∠DAB＝∠CAE，
∴∠DAB＋∠BAC＝∠CAE＋∠BAC，
∴∠DAC＝∠BAE，
在△ADC和△ABE中，
，
∴△ADC≌△ABE（SAS），
∴CD＝BE，∠ADC＝∠ABE，
∵∠AFD＝∠BFO，
∴∠BOD＝∠BAD＝50°，
故①②③正確，
故選：C．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，利用SAS證明△ADC≌△ABE是解題的關(guān)鍵．
3．如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AE是經(jīng)過點(diǎn)A的一條線段，且B，C在AE的兩側(cè)，BD⊥AE于點(diǎn)D，CE⊥AE于點(diǎn)E，若CE＝3，BD＝AE＝9，則DE的長(zhǎng)是（ ）
A．5B．5.5C．6D．7
【答案】C
【解析】
【分析】
先證明△ABD≌△CAE，再結(jié)合三角形全等性質(zhì)可得AD，再根據(jù)DE=AE-AD可得答案．
【詳解】
解：∵BD⊥AE于D，∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠ABD =90°，∠CAE+∠BAD=90°，
∴∠ABD=∠CAE，
∵BD⊥AE，CE⊥AE，
∴∠ADB=∠AEC=90°,
又∵BD＝AE＝9，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴AD=CE=3，
∴DE=AE-AD=9-3=6．
故選：C．
【點(diǎn)睛】
本題考查全等三角形性質(zhì)和判定．能根據(jù)同角的余角相等得出角相等是解題關(guān)鍵．
4．將斜邊相等的兩塊三角形如圖放置，其中含45°角的三角板ABC的斜邊與含30°的三角板ADC的斜邊重合，B、D位于AC的兩側(cè)，若S四邊形ABCD＝8，連接BD．則BD的長(zhǎng)為（ ）
A．2B．4C．8D．16
【答案】B
【解析】
【分析】
將△BCD繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△BCE，可證D、A、E在一條直線上，△DBE是等腰直角三角形，面積是8，即可求出BD的長(zhǎng)．
【詳解】
解：將△BCD繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△BCE，
可知，BE=BD，∠BCD=∠BAE，
∵∠ADC=∠ABC=90°，
∴∠BCD+∠BAD=180°，
∴∠BAE +∠BAD=180°，
∴D、A、E在一條直線上，
∴△DBE是等腰直角三角形，面積等于四邊形ABCD的面積，即，
，，
故選：B
【點(diǎn)睛】
本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是恰當(dāng)作輔助線，得到等腰直角三角形．
5．如圖，AB，CD相交于點(diǎn)E，且AB=CD，試添加一個(gè)條件使得△ADE≌△CBE．現(xiàn)給出如下五個(gè)條件：①∠A=∠C;②∠B=∠D;③AE=CE;④BE=DE;⑤AD=CB．其中符合要求有( )
A．2個(gè)B．3個(gè)C．4個(gè)D．5個(gè)
【答案】D
【解析】
【分析】
延長(zhǎng)DA、BC使它們相較于點(diǎn)F ，首先根據(jù)AAS證明△FAB≌△FCD，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到AF=FC，F(xiàn)D=FB，進(jìn)而得到AD=BC，即可證明△ADE≌△CBE，可判斷①、②的正誤；根據(jù)SAS證明△ADE≌△CBE，即判斷③、④的正誤；連接BD，根據(jù)SSS證明△ADB≌△CBD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠A=∠C，結(jié)合①即可證明⑤．
【詳解】
延長(zhǎng)DA、BC使它們相較于點(diǎn)F
∵∠DAB=∠DCB，∠AED=∠BEC
∴∠B=∠D
又∵∠F=∠F，AB=CD
∴△FAB≌△FCD
∴AF=FC，F(xiàn)D=FB
∴AD=BC
∴△ADE≌△CBE，即①正確；
同理即可證明②正確；
∵AE=CE，AB=CD
∴DE=BE
又∵∠AED=∠BEC
∴△ADE≌△CBE，③正確；
同理即可證明④正確；
連接BD，
∵AD=CB，AB=CD，BD=BD
∴△ADB≌△CBD
∴∠DAB=∠BCD
∴△ADE≌△CBE，⑤正確；
故選D．
【點(diǎn)睛】
本題考查了三角形全等的判定方法，主要包括：SSS、SAS、AAS、ASA，難點(diǎn)在于添加輔助線來構(gòu)造三角形全等，關(guān)鍵在于應(yīng)根據(jù)所給的條件判斷應(yīng)證明哪兩個(gè)三角形全等．
6．如圖，△ABC中，BD平分∠ABC，AD垂直于BD，△BCD的面積為58，△ADC的面積為30，則△ABD的面積等于______．
【答案】28
【解析】
【分析】
延長(zhǎng)交于，由證明，得出，得出，進(jìn)而得出，即可得出結(jié)果．
【詳解】
如圖所示，延長(zhǎng)交于，
∵平分，，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，，
∴．
故答案為：28．
【點(diǎn)睛】
此題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形面積的計(jì)算，證明三角形全等得出是解題關(guān)鍵．
7．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于點(diǎn)E，AD⊥CE于點(diǎn)D，已知DE＝4，AD＝6，則BE的長(zhǎng)為___．
【答案】2
【解析】
【分析】
根據(jù)AAS證明△ACD≌△CBE，再利用其性質(zhì)解答即可．
【詳解】
解：∵∠ACB=90°，
∴∠BCE+∠ACD=90°，
∵AD⊥CE，BE⊥CE，
∴∠ADC=∠CEB=90°，∠CAD+∠ACD=90°，
∴∠BCE=∠CAD，
在△ACD與△CBE中，
，
∴△ACD≌△CBE，
∴BE=CD，CE=AD，
∴BE=CD=CE?DE=AD?DE=6?4=2．
故答案為：2．
【點(diǎn)睛】
本題考查三角形全等的判定和性質(zhì)，要根據(jù)AAS證明△ACD≌△CBE是解題的關(guān)鍵．
8．如圖，在四邊形ABCD中，∠DAB＝∠ABC，AB＝5cm，AD＝BC＝3cm，點(diǎn)E在線段AB上以1cm/s的速度由點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)F在線段BC上由點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），當(dāng)△ADE與以B，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的三角形全等時(shí)，則點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)速度為 ___cm/s．
【答案】1 或
【解析】
【分析】
根據(jù)題意可得當(dāng)和時(shí)兩種情況討論，然后根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等分別列出方程求解即可．
【詳解】
解：設(shè)點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)速度為x m/s，
由題意可得，，，，
當(dāng)時(shí)，
∴，
∴，
解得：，
∴此時(shí)點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)速度為1m/s；
當(dāng)時(shí)，
，，
∴，，
解得：，．
∴此時(shí)點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)速度為m/s；
故答案為：1 或 ．
【點(diǎn)睛】
此題考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，幾何動(dòng)點(diǎn)問題，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意分情況討論，分別根據(jù)全等三角形的性質(zhì)列出方程求解．
9．如圖，中，，，，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿路徑向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，終點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿路徑向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，終點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)和分別以每秒和的運(yùn)動(dòng)速度同時(shí)開始運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)都要到達(dá)相應(yīng)的終點(diǎn)時(shí)才能停止運(yùn)動(dòng)，分別過和作于，于.設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，要使以點(diǎn)，，為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)，，為頂點(diǎn)的三角形全等，則的值為______.
【答案】或7或8
【解析】
【分析】
易證∠MEC＝∠CFN，∠MCE＝∠CNF．只需MC＝NC，就可得到△MEC與△CFN全等，然后只需根據(jù)點(diǎn)M和點(diǎn)N不同位置進(jìn)行分類討論即可解決問題．
【詳解】
①當(dāng)0≤t＜4時(shí)，點(diǎn)M在AC上，點(diǎn)N在BC上，如圖①，
此時(shí)有AM＝2t，BN＝3t，AC＝8，BC＝15．
當(dāng)MC＝NC即8?2t＝15?3t時(shí)全等，
解得t＝7，不合題意舍去；
②當(dāng)4≤t＜5時(shí)，點(diǎn)M在BC上，點(diǎn)N也在BC上，如圖②，
若MC＝NC，則點(diǎn)M與點(diǎn)N重合，即2t?8＝15?3t，
解得t＝；
當(dāng)5≤t＜時(shí)，點(diǎn)M在BC上，點(diǎn)N在AC上，如圖③，
當(dāng)MC＝NC即2t?8＝3t?15時(shí)全等，
解得t＝7；
④當(dāng)≤t＜時(shí)，點(diǎn)N停在點(diǎn)A處，點(diǎn)M在BC上，如圖④，
當(dāng)MC＝NC即2t?8＝8，
解得t＝8；
綜上所述：當(dāng)t等于或7或8秒時(shí)，以點(diǎn)M，E，C為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)N，F(xiàn)，C為頂點(diǎn)的三角形全等．
故答案為：或7或8．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了全等三角形的判定以及分類討論的思想，可能會(huì)因考慮不全面而出錯(cuò)，是一道易錯(cuò)題．
10．如圖，△ABC中，AC＝BC＝5，∠ACB＝80°，O為△ABC中一點(diǎn)，∠OAB＝10°，∠OBA＝30°，則線段AO的長(zhǎng)是_____．
【答案】5
【解析】
【分析】
作∠CAO的平分線AD，交BO的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，連接CD，由等邊對(duì)等角得到∠CAB＝∠CBA＝50°，再推出∠DAB＝∠DBA，得到AD＝BD，然后可證△ACD≌△BCD，最后證△ACD≌△AOD，即可得AO＝AC＝5．
【詳解】
解：如圖，作∠CAO的平分線AD，交BO的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，連接CD，
∵AC＝BC＝5，
∴∠CAB＝∠CBA＝50°，
∵∠OAB＝10°，
∴∠CAD＝∠OAD＝＝＝20°，
∵∠DAB＝∠OAD+∠OAB＝20°+10°＝30°，
∴∠DAB＝30°＝∠DBA，
∴AD＝BD，∠ADB＝120°，
在△ACD與△BCD中
∴△ACD≌△BCD（SSS）
∴∠CDA＝∠CDB，
∴∠CDA＝∠CDB＝＝＝120°，
在△ACD與△AOD中
∴△ACD≌△AOD（ASA）
∴AO＝AC=5，
故答案為5．
【點(diǎn)睛】
本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造全等三角形是解決本題的關(guān)鍵.
11．（1）閱讀理解：?jiǎn)栴}：如圖1，在四邊形中，對(duì)角線平分，．求證：．
思考：“角平分線+對(duì)角互補(bǔ)”可以通過“截長(zhǎng)、補(bǔ)短”等構(gòu)造全等去解決問題．
方法1：在上截取，連接，得到全等三角形，進(jìn)而解決問題；
方法2：延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得，連接，得到全等三角形，進(jìn)而解決問題．
結(jié)合圖1，在方法1和方法2中任選一種，添加輔助線并完成證明．
（2）問題解決：如圖2，在（1）的條件下，連接，當(dāng)時(shí)，探究線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
（3）問題拓展：如圖3，在四邊形中，，，過點(diǎn)D作，垂足為點(diǎn)E，請(qǐng)直接寫出線段、、之間的數(shù)量關(guān)系．
【答案】（1）證明見解析；（2）；理由見解析；（3）．
【解析】
【分析】
（1）方法1：在上截取，連接，得到全等三角形，進(jìn)而解決問題；方法2：延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得，連接，得到全等三角形，進(jìn)而解決問題；
（2）延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接，證明，可得，即
（3）連接，過點(diǎn)作于，證明，，進(jìn)而根據(jù)即可得出結(jié)論．
【詳解】
解：（1）方法1：在上截，連接，如圖．
平分，
．
在和中，，
，
，．
，．
．
，
．
方法2：延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得，連接，如圖．
平分，
．
在和中，，
．
，．
，
．
，
，
．
（2）、、之間的數(shù)量關(guān)系為：．
（或者：，）．
延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接，如圖2所示．
由（1）可知，
．
為等邊三角形．
，．
，
．
．
，
為等邊三角形．
，．
，
，
即．
在和中，，
．
，
，
．
（3），，之間的數(shù)量關(guān)系為：．
（或者：，）
解：連接，過點(diǎn)作于，如圖3所示．
，．
．
在和中，，
，
，．
在和中，
，
．
，
，
．
【點(diǎn)睛】
本題考查了三角形全等的性質(zhì)與判定，正確的添加輔助線是解題的關(guān)鍵．
12．在邊長(zhǎng)為10厘米的等邊三角形△ABC中，如果點(diǎn)M，N都以3厘米/秒的速度勻速同時(shí)出發(fā)．
（1）若點(diǎn)M在線段AC上由A向C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N在線段BC上由C向B運(yùn)動(dòng)．
①如圖①，當(dāng)BD＝6，且點(diǎn)M，N在線段上移動(dòng)了2s，此時(shí)△AMD和△BND是否全等，請(qǐng)說明理由．
②求兩點(diǎn)從開始運(yùn)動(dòng)經(jīng)過幾秒后，△CMN是直角三角形．
（2）若點(diǎn)M在線段AC上由A向點(diǎn)C方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N在線段CB上由C向點(diǎn)B方向運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)的過程中，連接直線AN，BM，交點(diǎn)為E，探究所成夾角∠BEN的變化情況，結(jié)合計(jì)算加以說明．
【答案】（1）①證明見解析；②經(jīng)過或秒后，△CMN是直角三角形；（2）∠BEN＝60°，證明見解析
【解析】
【分析】
（1）①根據(jù)題意得出AM＝BD，AD＝BN，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠A＝∠B＝∠C＝60°，利用SAS定理證明△AMD≌△BDN；
②分∠CNM＝90°、∠CMN＝90°兩種情況，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)列式計(jì)算即可；
（2）證明△ABM≌△CAN，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠ABM＝∠CAN，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)計(jì)算，得到答案．
【詳解】
（1）①∵△ABC為等邊三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，
當(dāng)點(diǎn)M，N在線段上移動(dòng)了2s時(shí)，AM＝6厘米，CN＝6厘米，
∴BN＝BC﹣CN＝4厘米，
∵AB＝10厘米，BD＝6厘米，
∴AD＝4厘米，
∴AM＝BD，AD＝BN，
在△AMD和△BDN中，
，
∴△AMD≌△BDN（SAS）；
②設(shè)經(jīng)過t秒后，△CMN是直角三角形，
由題意得：CM＝（10﹣3t）厘米，CN＝3t厘米，
當(dāng)∠CNM＝90°時(shí)，
∵∠C＝60°，
∴∠CMN＝30°，
∴CM＝2CN，即10﹣3t＝2×3t，
解得：t＝，
當(dāng)∠CMN＝90°時(shí)，CN＝2CM，即2（10﹣3t）＝3t，
解得：t＝，
綜上所述：經(jīng)過或秒后，△CMN是直角三角形；
（2）如圖所示，由題意得：AM＝CN，
在△ABM和△CAN中，
，
∴△ABM≌△CAN（SAS），
∴∠ABM＝∠CAN，
∴∠BEN＝∠ABE+∠BAE＝∠CAN+∠BAE＝60°．
【點(diǎn)睛】
本題考查了全等三角形的判斷以及列一元一次方程動(dòng)點(diǎn)相關(guān)問題，兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等；一元一次方程與幾何圖形的相結(jié)合的題，多數(shù)會(huì)涉及到動(dòng)點(diǎn)的問題，需要對(duì)動(dòng)點(diǎn)的位置進(jìn)行討論，討論時(shí)要注意討論全面，做到不重不漏，通常會(huì)按照從左到右或從上到下的方位進(jìn)行考慮．

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