1、掌握勾股定理的內(nèi)容；
2、會(huì)用面積法證明勾股定理，能利用勾股定理求出邊長(zhǎng)；
【題型目錄】
亮題一：用勾股定理解三角形
亮題二：利用勾股定理求面積
亮題三：勾股定理與折疊問(wèn)題
亮題四：用勾股定理構(gòu)造圖形解決問(wèn)題
【知識(shí)亮解】
知識(shí)點(diǎn)一 勾股定理的概念
勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．如果用，，分別表示直角三角形的兩直角邊和斜邊，那么．
數(shù)學(xué)小史：勾股定理是我國(guó)最早發(fā)現(xiàn)的，中國(guó)古代把直角三角形中較短的直角邊稱為勾，較長(zhǎng)的直角邊稱為股，斜邊稱為弦，“勾股定理”因此而得名．（在西方文獻(xiàn)中又稱為畢達(dá)哥拉斯定理）。據(jù)《周髀算經(jīng)》記載，公元前1000多年就發(fā)現(xiàn)“勾三股四弦五”的結(jié)論。
注意：（1）“直角三角形”是勾股定理的前提條件，解題時(shí)，首先看題目中有沒(méi)有具備這個(gè)條件，只有具有這個(gè)條件，才能利用勾股定理求第三條邊。
（2）在應(yīng)用勾股定理時(shí)要注意它的訓(xùn)練：
（3）應(yīng)用勾股定理時(shí)要分清直角三角形中的直角邊和斜邊，在一些直角三角形中斜邊不一定是用字母表示，只有當(dāng)時(shí)，，若，則。
（4）在實(shí)際問(wèn)題中，若圖中無(wú)直角，可通過(guò)添加輔助線來(lái)構(gòu)造直角三角形。
知識(shí)點(diǎn)二 勾股定理的驗(yàn)證
方法一：將四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖（1）所示的正方形．
圖（1）中，所以．

方法二：將四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖（2）所示的正方形．
圖（2）中，所以．

方法三：如圖（3）所示，將兩個(gè)直角三角形拼成直角梯形．

，所以．
亮題一：用勾股定理解三角形
1．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，DE是AB的垂直平分線，若BC＝8，BD＝5，則AC的長(zhǎng)為（ ）
A．3B．4C．5D．13
2．在中，，垂直平分交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，若，，則的長(zhǎng)是（ ）
A．8B．10C．12D．1
3．在RtABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，連接CD，則線段CD的長(zhǎng)為（ ）
A．3cmB．4cmC．5cmD．10cm
4．如圖在Rt△ABC中，，AB=8，AC=10，AC的垂直平分線DE分別交AB、AC于D、E兩點(diǎn)，則BD的長(zhǎng)為（ ）
A．B．C．2D．
5．在中，，若，，則＝______．
6．小東和小明要測(cè)量校園里的一塊四邊形場(chǎng)地ABCD（如圖所示）的周長(zhǎng)，其中邊CD上有水池及建筑遮擋，沒(méi)有辦法直接測(cè)量其長(zhǎng)度．小東經(jīng)測(cè)量得知AB＝AD＝5m，∠A＝60°，BC＝12m，∠ABC＝150°．小明說(shuō)根據(jù)小東所得的數(shù)據(jù)可以求出CD的長(zhǎng)度為 _____．
7．如圖，∠MON＝90°．△ABC中，AC＝BC＝10，AB＝12，點(diǎn)A、B分別在邊OM，ON上．當(dāng)B在邊ON上運(yùn)動(dòng)時(shí)，A隨之在邊OM上運(yùn)動(dòng)，△ABC的形狀保持不變，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)C到點(diǎn)O的最大距離為 _____．
8．如圖，在一個(gè)直角三角形ABC紙片中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，將其折疊，恰使邊AB落在斜邊AC上，點(diǎn)B落在點(diǎn)E處，折痕交邊BC于點(diǎn)F，則BF的長(zhǎng)為_(kāi)_______cm．
9．為了預(yù)防新冠疫情，某中學(xué)在大門口的正上方A處裝著一個(gè)紅外線激光測(cè)溫儀離地米（如圖所示），當(dāng)人體進(jìn)入感應(yīng)范圍內(nèi)時(shí)，測(cè)溫儀就會(huì)顯示人體體溫．一個(gè)身高1.6米的學(xué)生CD正對(duì)門，緩慢走到離門1.2米的地方時(shí)（米），測(cè)溫儀自動(dòng)顯示體溫，則人體頭頂離測(cè)溫儀的距離AD等于___米．
10．一根直立于水中的蘆節(jié)（BD）高出水面（AC）2米，一陣風(fēng)吹來(lái)，蘆葦?shù)捻敹薉恰好到達(dá)水面的C處，且C到BD的距離AC＝6米，水的深度（AB）為_(kāi)_______米
11．如圖，我國(guó)古代的“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形密鋪構(gòu)成的大正方形，若小正方形的面積為，大正方形的面積為，則直角三角形較短的直角邊與較長(zhǎng)的直角邊的比的值是______．
12．《算法統(tǒng)宗》是中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著，作者是我國(guó)明代數(shù)學(xué)家程大位．在《算法統(tǒng)宗》中有一道“蕩秋千”的問(wèn)題：“平地秋千未起，踏板一尺離地．送行二步與人齊，五尺人高曾記．仕女佳人爭(zhēng)蹴，終朝笑語(yǔ)歡嬉．良工高士素好奇，算出索長(zhǎng)有幾?”譯文：“有一架秋千，當(dāng)它靜止時(shí)，踏板離地1尺，將它往前推送10尺（水平距離）時(shí)，秋千的踏板就和人一樣高，這個(gè)人的身高為5尺，秋千的繩索始終拉得很直（如圖所示），試問(wèn)繩索有多長(zhǎng)?”．根據(jù)題意求出繩索的長(zhǎng)為_(kāi)_____尺．
亮題二：利用勾股定理求面積
1．下列各圖是以直角三角形各邊為邊，在三角形外部畫(huà)正方形得到的，每個(gè)正方形中的數(shù)及字母S表示所在正方形的面積．其中S的值恰好等于10的是（ ）
A．B．C．D．
2．如圖，陰影部分表示以Rt△ABC的各邊為直徑的三個(gè)半圓所組成的兩個(gè)新月形，面積分別記作S1和S2．若S1＋S2＝7，AB＝6，則△ABC的周長(zhǎng)是（ ）
A．12.5B．13C．14D．15
3．有一個(gè)面積為1的正方形，經(jīng)過(guò)一次“生長(zhǎng)”后，在它的左右肩上生出兩個(gè)小正方形（如圖①），其中，三個(gè)正方形圍成的三角形是直角三角形，再經(jīng)過(guò)一次“生長(zhǎng)”后，生出了4個(gè)正方形（如圖②），如果按此規(guī)律繼續(xù)“生長(zhǎng)”下去，那么它將變得“枝繁葉茂”．在“生長(zhǎng)”了2022次后形成的圖形中所有正方形的面積和是（ ）
A．2021B．2022C．2023D．2024
4．如圖是我國(guó)數(shù)學(xué)家趙爽的股弦圖，它由四個(gè)全等的直角三角形和小正方形拼成的一個(gè)大正方形．已知大正方形的面積是26，小正方形的面積是2，直角三角形的較短直角邊長(zhǎng)為a，較長(zhǎng)直角邊長(zhǎng)為b，那么的值為（ ）．
A．28B．50C．26D．169
5．如圖，兩個(gè)正方形的面積分別為9和16，則直角三角形的斜邊長(zhǎng)為_(kāi)____．
6．在如圖所示的圖形中，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若涂黑的四個(gè)正方形的面積的和是10cm2，則圖中正方形A的面積為_(kāi)________cm2．
7．用三張正方形紙片，按如圖所示的方式構(gòu)成圖案，已知圍成陰影部分的三角形是直角三角形，S1＝8，S3＝17，則正方形S2的面積為 _____．
8．如圖是“勾股樹(shù)”的部分圖，其中最大的正方形的邊長(zhǎng)為7cm，則正方形A，B，C，D的面積之和為_(kāi)____．
9．定義：如圖①．如果點(diǎn)D在的邊上且滿足．那么稱點(diǎn)D為的“理根點(diǎn)”，如圖②，在中，，如果點(diǎn)D是的的“理根點(diǎn)”，如圖②，在中，，如果點(diǎn)D是的“理想點(diǎn)”，連接．求的長(zhǎng)．
10．甲同學(xué)在拼圖探索活動(dòng)中發(fā)現(xiàn)；用4個(gè)形狀大小完全相同的直角三角形（直角邊長(zhǎng)分別為，a，b，斜邊長(zhǎng)為c，可以拼成像圖1那樣的正方形，并由此得出了關(guān)于a2，b2，c2.的一個(gè)等式．
（1）請(qǐng)你寫(xiě)出這一結(jié)論： ，并給出驗(yàn)證過(guò)程；
（2）試用上述結(jié)論解決問(wèn)題：如圖2如圖，在四邊形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，分別以四邊向外作正方形甲、乙，丙、丁，若甲的面積為30，乙的面積為16，丙的面積為17，求“丁”的面積．
亮題三：勾股定理與折疊問(wèn)題
1．如圖有一塊直角三角形紙片，，將斜邊AB翻折，使點(diǎn)B落在直角邊AC的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)E處，折痕為AD，則BD的長(zhǎng)為（ ）
A．B．1.5C．D．3
2．在中，，，，點(diǎn)、分別是直角邊和斜邊上的點(diǎn)，把沿著直線折疊，點(diǎn)恰好落在邊的中點(diǎn)上，則線段的長(zhǎng)度為（ ）
A．B．C．3D．4
3．如圖，三角形紙片ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝3．沿過(guò)點(diǎn)A的直線將紙片折疊，使點(diǎn)B落在邊BC上的點(diǎn)D處；再折疊紙片，使點(diǎn)C與點(diǎn)D重合，若折痕與AC的交點(diǎn)為E，則AE的長(zhǎng)是（ ）
A．B．C．D．
4．如圖，將矩形ABCD沿直線DE折疊，頂點(diǎn)A落在BC邊上F處，已知，，則BF的長(zhǎng)為（ ）
A．5B．4C．3D．2
5．如圖，折疊直角三角形紙片，使得點(diǎn)與點(diǎn)重合，折痕為．若，，則的長(zhǎng)是______．
6．如圖，已知ABCD是長(zhǎng)方形紙片，，在CD上存在一點(diǎn)E，沿直線AE將折疊，D恰好落在BC邊上的點(diǎn)F處，且，則的面積是________．
7．如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，AC=8，BC＝6，將△ADE沿DE翻折，使點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，則CE的長(zhǎng)為_(kāi)_____．
8．如圖，在中，．將折疊，使點(diǎn)B恰好落在邊上，與點(diǎn)重合，為折痕，則的周長(zhǎng)為_(kāi)_________．
9．如圖，在中，∠ACB＝90°，AB＝20，AC＝12，把沿AD折疊，使AB落在直線AC上．
(1)BC＝______；
(2)求重疊部分（陰影部分）的面積．
10．如圖直角三角形紙片中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，AC＝6，沿點(diǎn)B的直線折疊這個(gè)三角形，使點(diǎn)C在AB邊上的點(diǎn)E處，折痕為BD．
（1）求△ADE的周長(zhǎng)；
（2）求DE的長(zhǎng)．
亮題四：用勾股定理構(gòu)造圖形解決問(wèn)題
1．兩只螞蟻在水平地面上從同一地點(diǎn)出發(fā)，一只以每分鐘12cm的速度朝正東方向爬行，一只以每分鐘16cm的速度朝正南方向爬行，10分鐘之后兩只螞蟻相距（ ）
A．120cmB．160cmC．200cmD．280cm
2．（九章算術(shù)）是中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的重要著作之一，奠定了中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的基本框架．如圖所示是其中記我的一道“折竹”問(wèn)題：“今有竹高一丈，末折抵地，去根四尺，向折者高幾何？“題意是：一根竹子原高1丈（1丈尺），中部有一處折斷，竹梢觸地面處離竹根4尺．則折斷處離地面的高度為（ ）
A．4.1B．4.2C．4.5D．4.8
3．我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》有一道“蕩秋千”的問(wèn)題：“平地秋千未起，踏板一尺離地．送行二步與人齊，5尺人高曾記，仕女家人爭(zhēng)蹴．良工高士素好奇，算出索長(zhǎng)有幾？”此問(wèn)題可理解為：“如圖，有一架秋千，當(dāng)它靜止時(shí)，踏板離地距離的長(zhǎng)為尺，將它向前水平推送尺時(shí)，即尺，秋千踏板離地的距離和身高尺的人一樣高，秋千的繩索始終拉得很直，試問(wèn)繩索有多長(zhǎng)？”，設(shè)秋千的繩索長(zhǎng)為尺，根據(jù)題意可列方程為（ ）
A．B．
C．D．
4．《九章算術(shù)》第九章有如下題目，原文：今有垣高一丈，倚木于垣，上與垣齊．引木卻行一尺，其木至地．問(wèn)木長(zhǎng)幾何？譯文是：今有墻高1丈，倚木桿于墻．使木桿之上端與墻平齊．牽引木桿下端退行1尺，則木桿（從墻上）滑落至地上．間木桿長(zhǎng)是多少？（1丈=10尺，1尺=10寸）（ ）
A．5尺5寸B．1丈1尺C．5丈5寸D．5丈5尺
5．為了預(yù)防新冠疫情，某中學(xué)在大門口的正上方A處裝著一個(gè)紅外線激光測(cè)溫儀離地米（如圖所示），當(dāng)人體進(jìn)入感應(yīng)范圍內(nèi)時(shí)，測(cè)溫儀就會(huì)顯示人體體溫．一個(gè)身高1.6米的學(xué)生CD正對(duì)門，緩慢走到離門1.2米的地方時(shí)（米），測(cè)溫儀自動(dòng)顯示體溫，則人體頭頂離測(cè)溫儀的距離AD等于___米．
6．一根直立于水中的蘆節(jié)（BD）高出水面（AC）2米，一陣風(fēng)吹來(lái)，蘆葦?shù)捻敹薉恰好到達(dá)水面的C處，且C到BD的距離AC＝6米，水的深度（AB）為_(kāi)_______米
7．如圖，我國(guó)古代的“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形密鋪構(gòu)成的大正方形，若小正方形的面積為，大正方形的面積為，則直角三角形較短的直角邊與較長(zhǎng)的直角邊的比的值是______．
8．《算法統(tǒng)宗》是中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著，作者是我國(guó)明代數(shù)學(xué)家程大位．在《算法統(tǒng)宗》中有一道“蕩秋千”的問(wèn)題：“平地秋千未起，踏板一尺離地．送行二步與人齊，五尺人高曾記．仕女佳人爭(zhēng)蹴，終朝笑語(yǔ)歡嬉．良工高士素好奇，算出索長(zhǎng)有幾?”譯文：“有一架秋千，當(dāng)它靜止時(shí)，踏板離地1尺，將它往前推送10尺（水平距離）時(shí)，秋千的踏板就和人一樣高，這個(gè)人的身高為5尺，秋千的繩索始終拉得很直（如圖所示），試問(wèn)繩索有多長(zhǎng)?”．根據(jù)題意求出繩索的長(zhǎng)為_(kāi)_____尺．
9．我國(guó)明代有一位杰出的數(shù)學(xué)家程大位在所著的《直至算法統(tǒng)宗》里有一道“蕩秋千”的問(wèn)題：“平地秋千未起，踏板一尺離地，送行二步與人齊，五尺人高曾記；仕女佳人爭(zhēng)蹴，終朝笑語(yǔ)歡嬉，良工高士素好奇，算出索長(zhǎng)有幾？”詩(shī)的意思是：當(dāng)秋千靜止時(shí)，秋千的踏板離地的距離為一尺，將秋千的踏板往前推兩步，這里的每一步合五尺，秋千的踏板與人一樣高，這個(gè)人的身高為五尺，當(dāng)然這時(shí)秋千的繩索是呈直線狀態(tài)的，求這個(gè)秋千的繩索有多長(zhǎng)．
40．我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中有這樣一個(gè)問(wèn)題：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊，問(wèn)水深、葭長(zhǎng)各幾何？”（注：丈、尺是長(zhǎng)度單位，1丈＝10尺，1尺＝米），這段話翻譯成現(xiàn)代漢語(yǔ)，即為：如圖，有一個(gè)水池，水面是一個(gè)邊長(zhǎng)為一丈的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺，如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點(diǎn)，它的頂端恰好到達(dá)池邊的水面，則水池里水的深度與這根蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度分別是多少米？請(qǐng)你用所學(xué)知識(shí)解答這個(gè)問(wèn)題．
【亮點(diǎn)訓(xùn)練】
訓(xùn)練一：勾股定理基本計(jì)算
【訓(xùn)練1】★在Rt△ABC中，∠B＝90°，a＝3，b＝4，則c＝__________；
【訓(xùn)練2】★若已知一個(gè)直角三角形的周長(zhǎng)為30 cm，其中一個(gè)直角邊長(zhǎng)為12 cm，則它的斜邊為_(kāi)_________cm．
【訓(xùn)練3】★在△ABC中，∠A、∠B、∠C的對(duì)應(yīng)邊分別是a、b、c，若∠A＋∠C＝90°，則下列等式中成立的是()
A．a(chǎn)2＋b2＝c2 B．a(chǎn)2＋c2＝b2
C．b2＋c2＝a2 D．c2－a2＝b2
【訓(xùn)練4】★一直角三角形兩邊分別為3和5，則第三邊為（ ）
A. 4 B. C. 4或 D. 2
【訓(xùn)練5】★一個(gè)直角三角形，兩直角邊長(zhǎng)分別為3和2，則三角形的周長(zhǎng)為_(kāi)_______．
訓(xùn)練二：利用勾股定理求面積
【訓(xùn)練1】★★如圖，圖中所有的三角形都是直角三角形，四邊形都是正方形，其中最大正方形的邊長(zhǎng)為10，則四個(gè)正方形，，，的面積之和為
A．24B．56C．121D．100
【訓(xùn)練2】★★如圖，中，，以、為直徑作半圓和，且，則的長(zhǎng)為
A．16B．8C．4D．2
【訓(xùn)練3】★如圖，其中所有三角形都是直角三角形，所有四邊形都是正方形．若，，，和分別代表相應(yīng)的正方形的面積，且，，，，則等于
A．25B．31C．32D．40
訓(xùn)練三：利用勾股定理求長(zhǎng)度
【訓(xùn)練1】★★在等腰中，已知，于．
（1）若，求的度數(shù)；
（2）若，，求的長(zhǎng)．
【訓(xùn)練2】★★如圖，在中，，是上一點(diǎn)，已知，，，求的長(zhǎng)．
【訓(xùn)練3】★★★如圖，在中，，，正方形的面積為，于點(diǎn)，求的長(zhǎng)．
【訓(xùn)練4】★★如圖，鐵路上A、B兩點(diǎn)相距25km，C、D為兩村莊，DA＝10km，CB＝15km，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，現(xiàn)要在AB上建一個(gè)中轉(zhuǎn)站E，使得C、D兩村到E站的距離相等．求E應(yīng)建立在距A多遠(yuǎn)外？
【培優(yōu)檢測(cè)】
一、單選題
1．（2022·山東濟(jì)寧·八年級(jí)期中）下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的一組是( )
A．6，7，8B．0.6，0.8，1C．5，12，13D．2，4，5
2．（2022·新疆阿克蘇·八年級(jí)期中）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的長(zhǎng)為（ ）
A．5B．10C．6D．8
3．（2022·廣東·深圳外國(guó)語(yǔ)學(xué)校七年級(jí)期末）在Rt△ABC中，，．則＝（ ）
A．8B．16或64C．4D．4或16
4．（2022·廣東·陸河縣河城中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）在中，，，，則的值為（ ）
A．50B．35C．34D．25
5．（2022·江西贛州·八年級(jí)期末）如圖，直線l上有三個(gè)正方形a，b，c，若a，c的面積分別為3和4，則b的面積為（ ）．
A．5B．6C．7D．8
6．（2021·云南曲靖·八年級(jí)期中）下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的是( )
A．B．3，4，7C．6，8，10D．1，，2
7．（2022·湖北孝感·八年級(jí)階段練習(xí)）2002年8月在北京召開(kāi)的國(guó)際數(shù)學(xué)大會(huì)會(huì)標(biāo)取材于我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的《勾股圓方圖》，它是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形（如圖），如果大正方形的面積是13，小正方形的面積是1，直角三角形較短的直角邊為a，較長(zhǎng)的直角邊為b，那么的值為（ ）
A．25B．16C．14D．12
8．（2022·湖北宜昌·八年級(jí)期中）如圖，各小方格的邊長(zhǎng)為1，△ABC的各頂點(diǎn)都在個(gè)點(diǎn)上，則BC邊上的高等于（ ）
A．2.5B．2.6C．1.7D．1.6
9．（2022·廣西柳州·八年級(jí)期中）如圖，在△ABC中，∠B=90°，AB=1，BC=2．四邊形ADEC是正方形，則正方形ADEC的面積是（ ）
A．3B．4C．5D．6
10．（2022·浙江金華·八年級(jí)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，點(diǎn)E，F(xiàn)在斜邊AB上，將邊AC沿CE翻折，使點(diǎn)A落在AB上的點(diǎn)D處，再將邊BC沿CF翻折，使點(diǎn)B落在CD延長(zhǎng)線上的點(diǎn)處，則線段的長(zhǎng)為（ ）
A．B．C．1D．
二、填空題
11．（2022·福建福州·八年級(jí)期中）如圖所示，邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B、C落在格點(diǎn)上，則的度數(shù)為_(kāi)_____°．
12．（2022·陜西西安·八年級(jí)期中）中，，若，則_______．
13．（2022·湖南·株洲縣教學(xué)研究室八年級(jí)期末）在中，，AD平分交BC于點(diǎn)D．若，，，則點(diǎn)D到AB的距離是_________．
14．（2022·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)期末）如圖，在ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，點(diǎn)E在AC邊上，EF⊥AB于點(diǎn)F，連接EB，AF＝3，EFB的周長(zhǎng)為12，則EB的長(zhǎng)為_(kāi)___．
15．（2022·廣西·南寧二中八年級(jí)期末）如圖所示的圖形表示勾股定理的一種證明方法，該方法運(yùn)用了祖沖之的出入相補(bǔ)原理．若圖中空白部分的面積是，整個(gè)圖形連同空白部分的面積是，則大正方形的邊長(zhǎng)是______．
16．（2022·寧夏吳忠·八年級(jí)期末）在中，，若，則__________．
17．（2022·重慶一中七年級(jí)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，點(diǎn)D是邊AC上一點(diǎn)，將△BCD沿BD翻折，使點(diǎn)C恰好落在AB邊上的點(diǎn)E處，線段BD上有一動(dòng)點(diǎn)P，則△PAE周長(zhǎng)的最小值為_(kāi)_____．
18．（2022·四川宜賓·八年級(jí)期末）在△ABC中，AB=BC，∠ABC＝90°，D為AC邊上中點(diǎn)，過(guò)D點(diǎn)作DE⊥DF交AB于E，交BC于F，若AB的長(zhǎng)為4，則四邊形BFDE的面積為_(kāi)__．
19．（2022·河北·秦皇島市第七中學(xué)八年級(jí)期末）如圖，在中，，，，將折疊，使點(diǎn)A落在邊上，對(duì)應(yīng)點(diǎn)為D，若折痕與邊交于點(diǎn)E、與邊交于點(diǎn)F，則的取值范圍是________．
20．（2021·陜西·西北大學(xué)附中七年級(jí)期末）如圖，已知、、、都是等腰直角三角形．若陰影部分的面積是20cm2，則、的面積之和是______cm2．
三、解答題
21．（2022·山東濟(jì)南·七年級(jí)期末）已知：如圖，在中，于點(diǎn)D，E為AC上一點(diǎn)，且，．
(1)求證：；
(2)已知，，求AF的長(zhǎng)．
22．（2021·福建龍巖·八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，英西中學(xué)有一塊三角形形狀的花圃，現(xiàn)在測(cè)量到∠A＝45°，BC＝5m，AC上的高為4m，請(qǐng)你求出這塊花圃的面積？
23．（2022·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）勾股定理是幾何學(xué)中的明珠，充滿著魅力，千百年來(lái)，人們對(duì)它的證明趨之若騖，其中有著名的數(shù)學(xué)家，也有業(yè)余數(shù)學(xué)愛(ài)好者，向常春在1994年構(gòu)造發(fā)現(xiàn)了一個(gè)新的證法，證法如下：
把兩個(gè)全等的直角三角形（Rt△ABC≌Rt△DAE）如圖1放置，∠DAB＝∠B＝90°，AC⊥DE于點(diǎn)F，點(diǎn)E在邊AB上，現(xiàn)設(shè)Rt△ACB兩直角邊長(zhǎng)分別為CB＝b、BA＝a，斜邊長(zhǎng)為AC＝c，請(qǐng)用a、b、c分別表示出梯形ABCD、四邊形AECD、△EBC的面積，再探究這三個(gè)圖形面積之間的關(guān)系，可得到勾股定理
(1)請(qǐng)根據(jù)上述圖形的面積關(guān)系證明勾股定理；
(2)如圖2，鐵路上A、B兩點(diǎn)（看作直線上的兩點(diǎn)）相距40千米，CD為兩個(gè)村莊（看作直線上的兩點(diǎn)），AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分別為A、B，AD＝25千米，BC＝16千米，則兩個(gè)村莊的距離為多少千米．
24．（2022·廣東潮州·八年級(jí)期末）如圖所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于點(diǎn)E，若AC=6，BC=8，CD=3．
(1)求AB和DE的長(zhǎng)；
(2)求△ADB的面積．
25．（2022·福建福州·八年級(jí)期末）對(duì)于一個(gè)圖形，通過(guò)兩種不同的方法計(jì)算它的面積，可以得到一個(gè)數(shù)學(xué)等式．
(1)如圖1所示的大正方形，是由兩個(gè)正方形和兩個(gè)形狀大小完全相同的長(zhǎng)方形拼成的．用兩種不同的方法計(jì)算圖中陰影部分的面積，可以得到的數(shù)學(xué)等式是 ；
(2)如圖2所示的大正方形，是由四個(gè)三邊長(zhǎng)分別為a、b、c的全等的直角三角形（a、b為直角邊）和一個(gè)正方形拼成，試通過(guò)兩種不同的方法計(jì)算中間正方形的面積，并探究a、b、c之間滿足怎樣的等量關(guān)系．
26．（2021·江蘇鎮(zhèn)江·八年級(jí)期中）已知，如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝8，BC＝10，DE為邊BC的垂直平分線，與邊BC、AB分別交于D、E兩點(diǎn)．求AC和AE的長(zhǎng)．
27．（2020·江西景德鎮(zhèn)·八年級(jí)期中）如圖是某隧道入口的截面示意圖，其上方是一個(gè)半圓，下方是一個(gè)長(zhǎng)方形，現(xiàn)有一輛滿載貨物的卡車，寬3米，高4米，請(qǐng)判斷這輛卡車能否通過(guò)該隧道．
28．（2022·陜西西安·八年級(jí)期中）如圖，在中，，，于．
(1)求證：；
(2)若，，求的長(zhǎng)．
29．（2022·湖北孝感·八年級(jí)期中）據(jù)我國(guó)古代《周髀算經(jīng)》記載，公元前1120年商高對(duì)周公說(shuō)，將一根直尺折成一個(gè)直角，兩端連接得一個(gè)直角三角形，如果勾是三、股是四，那么弦就等于五．后人概括為“勾三、股四、弦五”．
(1)觀察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；……，發(fā)現(xiàn)這些勾股數(shù)的勾都是奇數(shù)，且從3起就沒(méi)有間斷過(guò)．計(jì)算、與、，并根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，分別寫(xiě)出能表示7，24，25的股和弦的算式；
(2)根據(jù)（1）的規(guī)律，用n（n為奇數(shù)且）的代數(shù)式來(lái)表示所有這些勾股數(shù)的勾、股、弦，合情猜想他們之間二種相等關(guān)系并對(duì)其中一種猜想加以證明；
(3)繼續(xù)觀察4，3，5；6，8，10；8，15，17；……，可以發(fā)現(xiàn)各組的第一個(gè)數(shù)都是偶數(shù)，且從4起也沒(méi)有間斷過(guò)．運(yùn)用類似上述探索的方法，直接用m（m為偶數(shù)且）的代數(shù)式來(lái)表示他們的股和弦．
30．（2022·福建·泉州七中八年級(jí)期末）數(shù)學(xué)家華羅庚說(shuō)過(guò)“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)事休”．請(qǐng)你利用數(shù)形結(jié)合的思想解決以下數(shù)學(xué)問(wèn)題．
(1)根據(jù)圖中大正方形面積的兩種不同表示方法，可得出代數(shù)恒等式________；
(2)如圖，將一張大長(zhǎng)方形紙板按圖中虛線裁剪成9塊，其中有2塊是邊長(zhǎng)為厘米的大正方形，2塊是邊長(zhǎng)都為厘米的小正方形，5塊是長(zhǎng)為厘米，寬為厘米的全等的小長(zhǎng)方形，且．
①觀察圖形，可以發(fā)現(xiàn)代數(shù)式可以因式分解為_(kāi)_______；
②若陰影部分的面積為20平方厘米，大長(zhǎng)方形紙板的周長(zhǎng)為24厘米，求圖中空白部分的面積．
(3)若，請(qǐng)你構(gòu)造合適的圖形，直接寫(xiě)出的最小值是_________．
專題3.1 勾股定理
【教學(xué)目標(biāo)】
1、掌握勾股定理的內(nèi)容；
2、會(huì)用面積法證明勾股定理，能利用勾股定理求出邊長(zhǎng)；
【題型目錄】
亮題一：用勾股定理解三角形
亮題二：利用勾股定理求面積
亮題三：勾股定理與折疊問(wèn)題
亮題四：用勾股定理構(gòu)造圖形解決問(wèn)題
【知識(shí)亮解】
知識(shí)點(diǎn)一 勾股定理的概念
勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．如果用，，分別表示直角三角形的兩直角邊和斜邊，那么．
數(shù)學(xué)小史：勾股定理是我國(guó)最早發(fā)現(xiàn)的，中國(guó)古代把直角三角形中較短的直角邊稱為勾，較長(zhǎng)的直角邊稱為股，斜邊稱為弦，“勾股定理”因此而得名．（在西方文獻(xiàn)中又稱為畢達(dá)哥拉斯定理）。據(jù)《周髀算經(jīng)》記載，公元前1000多年就發(fā)現(xiàn)“勾三股四弦五”的結(jié)論。
注意：（1）“直角三角形”是勾股定理的前提條件，解題時(shí)，首先看題目中有沒(méi)有具備這個(gè)條件，只有具有這個(gè)條件，才能利用勾股定理求第三條邊。
（2）在應(yīng)用勾股定理時(shí)要注意它的訓(xùn)練：
（3）應(yīng)用勾股定理時(shí)要分清直角三角形中的直角邊和斜邊，在一些直角三角形中斜邊不一定是用字母表示，只有當(dāng)時(shí)，，若，則。
（4）在實(shí)際問(wèn)題中，若圖中無(wú)直角，可通過(guò)添加輔助線來(lái)構(gòu)造直角三角形。
知識(shí)點(diǎn)二 勾股定理的驗(yàn)證
方法一：將四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖（1）所示的正方形．
圖（1）中，所以．

方法二：將四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖（2）所示的正方形．
圖（2）中，所以．

方法三：如圖（3）所示，將兩個(gè)直角三角形拼成直角梯形．

，所以．
亮題一：用勾股定理解三角形
1．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，DE是AB的垂直平分線，若BC＝8，BD＝5，則AC的長(zhǎng)為（ ）
A．3B．4C．5D．13
【答案】B
【分析】由線段垂直平分線的性質(zhì)求出AD=BD=5，又因CD=BC-BD=8-5=3，即可由勾股定理求解．
【詳解】解：∵DE是AB的垂直平分線，
∴AD=BD=5，
又∵CD=BC-BD=8-5=3，∠C＝90°，
∴AC==4,
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查線段垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
2．在中，，垂直平分交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，若，，則的長(zhǎng)是（ ）
A．8B．10C．12D．1
【答案】C
【分析】由垂直平分線可以得到BE=AE，再由勾股定理可以得到答案．
【詳解】解：由題意可得，
∵垂直平分交于點(diǎn)，
∴BE=AE=13，
又∵，且，
∴在Rt中，
AC==12，
故選C．
【點(diǎn)睛】本題考查了垂直平分線的性質(zhì)和勾股定理得應(yīng)用，解決此題的關(guān)鍵是讀懂題意并學(xué)會(huì)正確解答．
3．在RtABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，連接CD，則線段CD的長(zhǎng)為（ ）
A．3cmB．4cmC．5cmD．10cm
【答案】C
【分析】根據(jù)勾股定理求出AB的長(zhǎng)，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求出CD的長(zhǎng)．
【詳解】解：∵∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，
∴，
∵∠C=90°，D是斜邊AB的中點(diǎn)，
∴CD=AB=5cm，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理和直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，掌握直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵．
4．如圖在Rt△ABC中，，AB=8，AC=10，AC的垂直平分線DE分別交AB、AC于D、E兩點(diǎn)，則BD的長(zhǎng)為（ ）
A．B．C．2D．
【答案】B
【分析】利用勾股定理求出BC=6，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出CD=AD，故AB=BD+AD=BD+CD，設(shè)CD=x，則BD=8-x，在Rt△BCD中根據(jù)勾股定理求出x的值即可解答．
【詳解】解：∵，AB=8，AC=10，
∴BC=6，
∵DE是AC的垂直平分線，
∴CD=AD，
∴AB=BD+AD=BD+CD=8，
設(shè)CD=x，則BD=8-x，
在Rt△BCD中，，
即，
解得．
∴．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理和線段垂直平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知線段垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等．
5．在中，，若，，則＝______．
【答案】17
【分析】根據(jù)直角三角形中，勾股定理：，即可求出的值．
【詳解】解：如圖可知，所對(duì)應(yīng)的邊為直角三角形的斜邊
∵，
∴
∴
∴
故答案為：17．
【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，熟練掌握勾股定理的運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．
6．小東和小明要測(cè)量校園里的一塊四邊形場(chǎng)地ABCD（如圖所示）的周長(zhǎng)，其中邊CD上有水池及建筑遮擋，沒(méi)有辦法直接測(cè)量其長(zhǎng)度．小東經(jīng)測(cè)量得知AB＝AD＝5m，∠A＝60°，BC＝12m，∠ABC＝150°．小明說(shuō)根據(jù)小東所得的數(shù)據(jù)可以求出CD的長(zhǎng)度為 _____．
【答案】13米
【分析】直接利用等邊三角形的判定方法得出△ABD是等邊三角形，再利用勾股定理得出答案．
【詳解】解：連接BD，
∵AB＝AD＝5m，∠A＝60°，
∴△ABD是等邊三角形，
∴BD＝5m，∠ABD＝60°，
∵∠ABC＝150°，
∴∠DBC＝90°，
∵BC＝12m，BD＝5m，
∴DC13（m），
答：CD的長(zhǎng)度為13m，
故答案為：13m．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用以及等邊三角形的判定，正確得出△ABD是等邊三角形是解題關(guān)鍵．
7．如圖，∠MON＝90°．△ABC中，AC＝BC＝10，AB＝12，點(diǎn)A、B分別在邊OM，ON上．當(dāng)B在邊ON上運(yùn)動(dòng)時(shí)，A隨之在邊OM上運(yùn)動(dòng)，△ABC的形狀保持不變，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)C到點(diǎn)O的最大距離為 _____．
【答案】14
【分析】作CD⊥AB于D，連接OD，如圖，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得AD=BD=AB=6，再利用勾股定理計(jì)算出CD=8，接著根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得OD=AB=6，則利用三角形三邊的關(guān)系得到OCCD+OD（當(dāng)點(diǎn)C、O、D共線時(shí)取等號(hào)），從而得到OC的最大值．
【詳解】作CD⊥AB于D，連接OD，如圖，
∵AB＝12，
∴AD=BD=AB=6，
在Rt△BCD中，CD===8，
∵OCCD+OD(當(dāng)點(diǎn)C． O、D共線時(shí)取等號(hào))，
∴當(dāng)O，C，D共線時(shí)，OD=BD=6，
∴OC的最大值為8+6=14．
故答案為14．
【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)、勾股定理、三角形的三邊關(guān)系等知識(shí)；熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
8．如圖，在一個(gè)直角三角形ABC紙片中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，將其折疊，恰使邊AB落在斜邊AC上，點(diǎn)B落在點(diǎn)E處，折痕交邊BC于點(diǎn)F，則BF的長(zhǎng)為_(kāi)_______cm．
【答案】
【分析】先由勾股定理計(jì)算AC=10cm，設(shè)BF=x cm，根據(jù)折疊的性質(zhì)表示EF=BF=x cm，再由勾股定理列方程可得答案．
【詳解】解：∵∠B=90°，AB=8cm，BC=6cm，
∴cm，
設(shè)BF=x，則CF=6-x，
根據(jù)折疊可知：EF=BF=x cm，AE=AB=8cm，∠AEF=∠B=90°，
∴EC=AC-AE=10-8=2（cm），
∴∠CEF=180°-90°=90°，
∴根據(jù)勾股定理得： （6-x）2=x2+22，
解得：，
∴BF=cm，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查翻折變換以及勾股定理，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)利用翻折不變性解決問(wèn)題．
9．為了預(yù)防新冠疫情，某中學(xué)在大門口的正上方A處裝著一個(gè)紅外線激光測(cè)溫儀離地米（如圖所示），當(dāng)人體進(jìn)入感應(yīng)范圍內(nèi)時(shí)，測(cè)溫儀就會(huì)顯示人體體溫．一個(gè)身高1.6米的學(xué)生CD正對(duì)門，緩慢走到離門1.2米的地方時(shí)（米），測(cè)溫儀自動(dòng)顯示體溫，則人體頭頂離測(cè)溫儀的距離AD等于___米．
【答案】1.5
【分析】過(guò)點(diǎn)D作，則AE=0.9米，在中，根據(jù)勾股定理即可得．
【詳解】解：過(guò)點(diǎn)D作，
∵AB=2.5米，BE=CD=1.6米，ED=BC=1.2米，
∴（米），
在中，根據(jù)勾股定理得，
，
故答案為：1.5．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，解題的關(guān)鍵是掌握勾股定理．
10．一根直立于水中的蘆節(jié)（BD）高出水面（AC）2米，一陣風(fēng)吹來(lái)，蘆葦?shù)捻敹薉恰好到達(dá)水面的C處，且C到BD的距離AC＝6米，水的深度（AB）為_(kāi)_______米
【答案】8
【分析】先設(shè)水深x米，則AB=x，則有BD=AD+AB=x+2，由題條件有BD=BC=x+2，又根據(jù)蘆節(jié)直立水面可知BD⊥AC，則在直角△ABC中，利用勾股定理即可求出x．
【詳解】解：設(shè)水深x米，則AB=x，
則有：BD=AD+AB=x+2，
即有：BD=BC=x+2，
根據(jù)蘆節(jié)直立水面，可知BD⊥AC，且AC=6，
則在直角△ABC中：，
即：，
解得x=8，
即水深8米，
故答案為8．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，從現(xiàn)實(shí)圖形中抽象出勾股定理這一模型是解答本題的關(guān)鍵．
11．如圖，我國(guó)古代的“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形密鋪構(gòu)成的大正方形，若小正方形的面積為，大正方形的面積為，則直角三角形較短的直角邊與較長(zhǎng)的直角邊的比的值是______．
【答案】
【分析】根據(jù)勾股定理可以求得等于大正方形的面積，然后求四個(gè)直角三角形的面積，即可得到的值，然后根據(jù)即可求得的值；則可求出答案．
【詳解】解：大正方形的面積是，設(shè)邊長(zhǎng)為，
，
，
直角三角形的面積是，
又直角三角形的面積是，
，
，
．
小正方形的面積為，
，，
．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理以及完全平方公式．注意完全平方公式的展開(kāi)：，還要注意圖形的面積和，之間的關(guān)系．
12．《算法統(tǒng)宗》是中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著，作者是我國(guó)明代數(shù)學(xué)家程大位．在《算法統(tǒng)宗》中有一道“蕩秋千”的問(wèn)題：“平地秋千未起，踏板一尺離地．送行二步與人齊，五尺人高曾記．仕女佳人爭(zhēng)蹴，終朝笑語(yǔ)歡嬉．良工高士素好奇，算出索長(zhǎng)有幾?”譯文：“有一架秋千，當(dāng)它靜止時(shí)，踏板離地1尺，將它往前推送10尺（水平距離）時(shí)，秋千的踏板就和人一樣高，這個(gè)人的身高為5尺，秋千的繩索始終拉得很直（如圖所示），試問(wèn)繩索有多長(zhǎng)?”．根據(jù)題意求出繩索的長(zhǎng)為_(kāi)_____尺．
【答案】14.5
【分析】設(shè)繩索有x尺長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理列方程即可得到結(jié)果．
【詳解】解：延長(zhǎng)到地面于，過(guò)作地面于，如圖所示：
設(shè)繩索有x尺長(zhǎng)，
根據(jù)題意及所作輔助線，四邊形是矩形，則，
在中，，，，則102＋（x＋1?5）2＝x2，解得：x＝14.5，即繩索長(zhǎng)14.5尺，
故答案為：14.5．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用、理解題意能力，關(guān)鍵是能構(gòu)造出直角三角形，用勾股定理來(lái)解．
亮題二：利用勾股定理求面積
1．下列各圖是以直角三角形各邊為邊，在三角形外部畫(huà)正方形得到的，每個(gè)正方形中的數(shù)及字母S表示所在正方形的面積．其中S的值恰好等于10的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)正方形的面積和勾股定理逐項(xiàng)判斷即可．
【詳解】解：根據(jù)題意，每個(gè)正方形中的數(shù)及字母S表示所在正方形的邊長(zhǎng)的平方，
A、由勾股定理得：S=5+15=20，故選項(xiàng)A不符合題意；
B、由勾股定理得：S=8+6=14，故選項(xiàng)B不符合題意；
C、由勾股定理得：S=8－6=2，故選項(xiàng)C不符合題意；
D、由勾股定理得：S=15－5=10，故選項(xiàng)D符合題意，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查正方形的面積和勾股定理，熟練掌握勾股定理是解答的關(guān)鍵．
2．如圖，陰影部分表示以Rt△ABC的各邊為直徑的三個(gè)半圓所組成的兩個(gè)新月形，面積分別記作S1和S2．若S1＋S2＝7，AB＝6，則△ABC的周長(zhǎng)是（ ）
A．12.5B．13C．14D．15
【答案】C
【分析】根據(jù)勾股定理得到，根據(jù)扇形面積公式、完全平方公式計(jì)算即可．
【詳解】解：根據(jù)題意得：，
∵S1＋S2＝7，
∴，
∴，
∴，
∴或-8（舍去），
∴△ABC的周長(zhǎng)是．
故選：C
【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理，熟練掌握如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別是a，b，斜邊長(zhǎng)為c，那么是解題的關(guān)鍵．
3．有一個(gè)面積為1的正方形，經(jīng)過(guò)一次“生長(zhǎng)”后，在它的左右肩上生出兩個(gè)小正方形（如圖①），其中，三個(gè)正方形圍成的三角形是直角三角形，再經(jīng)過(guò)一次“生長(zhǎng)”后，生出了4個(gè)正方形（如圖②），如果按此規(guī)律繼續(xù)“生長(zhǎng)”下去，那么它將變得“枝繁葉茂”．在“生長(zhǎng)”了2022次后形成的圖形中所有正方形的面積和是（ ）
A．2021B．2022C．2023D．2024
【答案】C
【分析】根據(jù)題目可知“生長(zhǎng)”1次后，所有正方形的面積和是2×1=2；“生長(zhǎng)”2次后，所有的正方形的面積和是3×1=3，探究規(guī)律求出“生長(zhǎng)”2022次后形成圖形中所有正方形的面積之和即可．
【詳解】解：由勾股定理知：
圖①中生長(zhǎng)出的兩個(gè)正方形面積和等于原來(lái)正方形的面積，所有正方形的面積和為2；
同樣圖②中生長(zhǎng)出的四個(gè)正方形面積和等于圖①中生長(zhǎng)出的兩個(gè)正方形的面積之和，所有正方形的面積和為3；
……，
經(jīng)過(guò)n次“生長(zhǎng)”后形成的圖形中所有正方形的面積和是n+1；
經(jīng)過(guò)2022次“生長(zhǎng)”后形成的圖形中所有正方形的面積和是2023．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，其中能夠根據(jù)勾股定理發(fā)現(xiàn)每一次得到的新的正方形的面積和與原正方形的面積之間的關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．
4．如圖是我國(guó)數(shù)學(xué)家趙爽的股弦圖，它由四個(gè)全等的直角三角形和小正方形拼成的一個(gè)大正方形．已知大正方形的面積是26，小正方形的面積是2，直角三角形的較短直角邊長(zhǎng)為a，較長(zhǎng)直角邊長(zhǎng)為b，那么的值為（ ）．
A．28B．50C．26D．169
【答案】B
【分析】根據(jù)勾股定理可以求得等于大正方形的面積，然后求四個(gè)直角三角形的面積，即可得到的值，然后根據(jù)即可求解．
【詳解】根據(jù)勾股定理可得，
四個(gè)直角三角形的面積是：，即，
則．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理以及完全平方式，正確根據(jù)圖形的關(guān)系求得和的值是關(guān)鍵．
5．如圖，兩個(gè)正方形的面積分別為9和16，則直角三角形的斜邊長(zhǎng)為_(kāi)____．
【答案】5
【分析】設(shè)斜邊長(zhǎng)為，根據(jù)勾股定理即可求解．
【詳解】解：設(shè)斜邊長(zhǎng)為，根據(jù)題意可得，
，
解得（負(fù)值已舍），
故答案為：5．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．
6．在如圖所示的圖形中，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若涂黑的四個(gè)正方形的面積的和是10cm2，則圖中正方形A的面積為_(kāi)________cm2．
【答案】10
【分析】先把各個(gè)正方形都標(biāo)上代號(hào)，再根據(jù)勾股定理有，，，等量代換即可求最大的正方形面積．
【詳解】解：如下圖所示：

根據(jù)勾股定理可知，
∵，
，
，
∴，
故答案為：10．
【點(diǎn)睛】本題主要考查勾股定理，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．
7．用三張正方形紙片，按如圖所示的方式構(gòu)成圖案，已知圍成陰影部分的三角形是直角三角形，S1＝8，S3＝17，則正方形S2的面積為 _____．
【答案】9
【分析】由題意可得，三個(gè)正方形的邊長(zhǎng)恰好湊成一個(gè)直角三角形，利用勾股定理可得，兩個(gè)較小正方形的面積之和等于最大的正方形的面積．即S1+S2=S3．據(jù)此可求S2．
【詳解】解：由題意可得，三角形各邊的平方是對(duì)應(yīng)的各個(gè)正方形的面積，
∵所圍成的三角形是直角三角形，
∴斜邊對(duì)應(yīng)的正方形的面積=兩直角邊對(duì)應(yīng)的正方形的面積和，
又∵S1=8，S3=17，
∴正方形S2的面積=17-8=9，
故答案為：9．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是明確正方形的面積等于邊長(zhǎng)的平方．
8．如圖是“勾股樹(shù)”的部分圖，其中最大的正方形的邊長(zhǎng)為7cm，則正方形A，B，C，D的面積之和為_(kāi)____．
【答案】49
【分析】設(shè)正方形A，B，C，D，E，F(xiàn)的邊長(zhǎng)分別為：a、b、c、d、e、f，則正方形A，B，C，D的面積之和為：，由勾股定理可得：，，，進(jìn)一步可得：．
【詳解】解：如圖，
設(shè)正方形A，B，C，D，E，F(xiàn)的邊長(zhǎng)分別為：a、b、c、d、e、f，
則：正方形A，B，C，D的面積之和為：，
由勾股定理可得：，，，
∴．
故答案為：49
【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理以及和弦圖有關(guān)的計(jì)算題，解題的關(guān)鍵是掌握勾股定理，得到．
9．定義：如圖①．如果點(diǎn)D在的邊上且滿足．那么稱點(diǎn)D為的“理根點(diǎn)”，如圖②，在中，，如果點(diǎn)D是的的“理根點(diǎn)”，如圖②，在中，，如果點(diǎn)D是的“理想點(diǎn)”，連接．求的長(zhǎng)．
【答案】.
【分析】只要證明CD⊥AB即可解決問(wèn)題．
【詳解】解：如圖②中，
∵點(diǎn)D是△ABC的“理想點(diǎn)”，
∴∠ACD=∠B，
∵，
∴，
∴，
，
在Rt△ABC中，
，
∴BC= ，
∵,
．
【點(diǎn)睛】本解考查了直角三角形判定和性質(zhì)，理解新定義是解本題的關(guān)鍵．
10．甲同學(xué)在拼圖探索活動(dòng)中發(fā)現(xiàn)；用4個(gè)形狀大小完全相同的直角三角形（直角邊長(zhǎng)分別為，a，b，斜邊長(zhǎng)為c，可以拼成像圖1那樣的正方形，并由此得出了關(guān)于a2，b2，c2.的一個(gè)等式．
（1）請(qǐng)你寫(xiě)出這一結(jié)論： ，并給出驗(yàn)證過(guò)程；
（2）試用上述結(jié)論解決問(wèn)題：如圖2如圖，在四邊形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，分別以四邊向外作正方形甲、乙，丙、丁，若甲的面積為30，乙的面積為16，丙的面積為17，求“丁”的面積．
【答案】（1）；（2）29．
【分析】（1）用不同的方法表示陰影部分的面積，即可得到關(guān)于，，的一個(gè)等式．
（2）由（1）得，，進(jìn)而根據(jù)正方形面積得出等量關(guān)系求出“丁”的面積．
【詳解】解：（1）結(jié)論：．
驗(yàn)證：陰影部分的面積，
陰影部分的面積=，
，
即．
故答案為：．
（2）如圖，連接AC，
∵∠B＝∠D＝90°
∴，，
又∵，，，，
∴，
又∵甲的面積為30，乙的面積為16，丙的面積為17
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理以及面積法的運(yùn)用，在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長(zhǎng)的平方之和一定等于斜邊長(zhǎng)的平方．
亮題三：勾股定理與折疊問(wèn)題
1．如圖有一塊直角三角形紙片，，將斜邊AB翻折，使點(diǎn)B落在直角邊AC的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)E處，折痕為AD，則BD的長(zhǎng)為（ ）
A．B．1.5C．D．3
【答案】C
【分析】根據(jù)勾股定理求出AB的長(zhǎng)，利用翻折得到AE=AB=5，DE=BD，求出CE，由勾股定理得到，列得，求出BD．
【詳解】解：∵∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，
∴，
由翻折得AE=AB=5，DE=BD，
∴CE=AE-AC=1，
在Rt△CED中，，
∴，
解得BD=，
故選：C．
【點(diǎn)睛】此題考查了勾股定理的應(yīng)用，翻折的性質(zhì)，熟記勾股定理的計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．
2．在中，，，，點(diǎn)、分別是直角邊和斜邊上的點(diǎn)，把沿著直線折疊，點(diǎn)恰好落在邊的中點(diǎn)上，則線段的長(zhǎng)度為（ ）
A．B．C．3D．4
【答案】B
【分析】由折疊的性質(zhì)可得AE＝DE，則DE＝8－BE，在Rt△BDE中，利用勾股定理構(gòu)建方程求出BE即可．
【詳解】解：由折疊的性質(zhì)可得AE＝DE，
∵，，，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，
∴DE＝AE＝8－BE，BD＝，
在Rt△BDE中，BD2＋BE2＝DE2，即，
解得：BE＝，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，勾股定理，利用勾股定理得出關(guān)于BE的方程是解題的關(guān)鍵．
3．如圖，三角形紙片ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝3．沿過(guò)點(diǎn)A的直線將紙片折疊，使點(diǎn)B落在邊BC上的點(diǎn)D處；再折疊紙片，使點(diǎn)C與點(diǎn)D重合，若折痕與AC的交點(diǎn)為E，則AE的長(zhǎng)是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)題意可得AD = AB = 2， ∠B = ∠ADB， CE= DE， ∠C=∠CDE，可得∠ADE = 90°，繼而設(shè)AE=x，則CE=DE=3-x，根據(jù)勾股定理即可求解．
【詳解】解：∵沿過(guò)點(diǎn)A的直線將紙片折疊，使點(diǎn)B落在邊BC上的點(diǎn)D處，
∴AD = AB = 2， ∠B = ∠ADB，
∵折疊紙片，使點(diǎn)C與點(diǎn)D重合，
∴CE= DE， ∠C=∠CDE，
∵∠BAC = 90°，
∴∠B+ ∠C= 90°，
∴∠ADB + ∠CDE = 90°，
∴∠ADE = 90°，
∴AD2 + DE2 = AE2，
設(shè)AE=x，則CE=DE=3-x，
∴22+(3-x)2 =x2，
解得
即AE=
故選A
【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，勾股定理，掌握折疊的性質(zhì)以及勾股定理是解題的關(guān)鍵．
4．如圖，將矩形ABCD沿直線DE折疊，頂點(diǎn)A落在BC邊上F處，已知，，則BF的長(zhǎng)為（ ）
A．5B．4C．3D．2
【答案】B
【分析】由折疊的性質(zhì)得到，，根據(jù)勾股定理求出BF的長(zhǎng)即可求解．
【詳解】解：由折疊的性質(zhì)知：，，
在中，，，
由勾股定理可得：．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用和折疊的性質(zhì)，理解折疊的性質(zhì)是解答關(guān)鍵．
5．如圖，折疊直角三角形紙片，使得點(diǎn)與點(diǎn)重合，折痕為．若，，則的長(zhǎng)是______．
【答案】
【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，然后在中，利用勾股定理即可解答．
【詳解】解：∵折疊直角三角形紙片，使得點(diǎn)與點(diǎn)重合，
∴，
又∵，，，
∴，
∵在中，，
∴，
∴．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換（折疊問(wèn)題），勾股定理．理解和掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．
6．如圖，已知ABCD是長(zhǎng)方形紙片，，在CD上存在一點(diǎn)E，沿直線AE將折疊，D恰好落在BC邊上的點(diǎn)F處，且，則的面積是________．
【答案】
【分析】根據(jù)面積求出BF、AF、CF，設(shè)DE為x，列方程求出即可．
【詳解】解：ABCD是長(zhǎng)方形紙片，
∴AB=CD=3，
∵，
∴BF=4，
∴AF=，
∴AF=AD=BC=5，CF=1，
設(shè)DE為x，EF=DE=x，EC=3-x，
由勾股定理得：，
解得：x=，
∴，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理與翻折，解題關(guān)鍵是恰當(dāng)?shù)脑O(shè)未知數(shù)，根據(jù)勾股定理列方程．
7．如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，AC=8，BC＝6，將△ADE沿DE翻折，使點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，則CE的長(zhǎng)為_(kāi)_____．
【答案】
【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)可得AE=BE，設(shè)CE=x，則BE=8-x，然后根據(jù)勾股定理，即可求解．
【詳解】解：根據(jù)題意得：AE=BE，
∵ AC=8，
∴BE+CE=8，
設(shè)CE=x，則BE=8-x，
在中，，
∴，
解得：．
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題主要考查了圖形的折疊，勾股定理，熟練掌握?qǐng)D形的折疊的性質(zhì)，勾股定理是解題的關(guān)鍵．
8．如圖，在中，．將折疊，使點(diǎn)B恰好落在邊上，與點(diǎn)重合，為折痕，則的周長(zhǎng)為_(kāi)_________．
【答案】6
【分析】首先利用勾股定理求出AC=5，根據(jù)折疊得到B’C=2，求出三角形的周長(zhǎng)．
【詳解】解：Rt△ABC中，∠B=90°，
∴AC= ,
由折疊知AB’=AB=3，
∴B’C=AC-AB’=5-3=2，
∴△B’EC的周長(zhǎng)為B’C+EC+B’E=B’C+EC+BE=B’C+CB=2+4=6，
故答案為6．
【點(diǎn)睛】本題考查折疊的性質(zhì)以及勾股定理，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是分清折疊前后的對(duì)應(yīng)的關(guān)系．
9．如圖，在中，∠ACB＝90°，AB＝20，AC＝12，把沿AD折疊，使AB落在直線AC上．
(1)BC＝______；
(2)求重疊部分（陰影部分）的面積．
【答案】(1)16
(2)36
【分析】（1）根據(jù)勾股定理直接求解即可；
（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)得出，設(shè)CD＝x，則，利用勾股定理得出CD=6，由三角形面積公式求解即可．
（1）∵在中，，，，∴，故答案為：16；
（2）由折疊可知，∵AC＝12，∴設(shè)CD＝x，則在中，，∴解得x＝6，∴．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了翻折變換的性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)，熟練掌握運(yùn)用勾股定理及折疊的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
10．如圖直角三角形紙片中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，AC＝6，沿點(diǎn)B的直線折疊這個(gè)三角形，使點(diǎn)C在AB邊上的點(diǎn)E處，折痕為BD．
（1）求△ADE的周長(zhǎng)；
（2）求DE的長(zhǎng)．
【答案】（1）8；（2）
【分析】（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)可得BE=BC=8，DE=CD，則AE=AB-BE=2，即可得到△ADE的周長(zhǎng)=AD+AE+DE=AD+DE+AE=AC+AE=8；
（2）設(shè)CD=DE=x，則AD=AC-CD=6-x，由折疊的性質(zhì)可知∠DEB=∠C=90°，則∠DEA=90°，即可得到，則，由此求解即可．
【詳解】解：（1）由折疊的性質(zhì)可知，BE=BC=8，DE=CD，
∴AE=AB-BE=2，
∴△ADE的周長(zhǎng)=AD+AE+DE=AD+DE+AE=AC+AE=8；
（2）設(shè)CD=DE=x，則AD=AC-CD=6-x，
由折疊的性質(zhì)可知∠DEB=∠C=90°，
∴∠DEA=90°，
∴，
∴，
解得，
∴．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了折疊的性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握折疊的性質(zhì)．
亮題四：用勾股定理構(gòu)造圖形解決問(wèn)題
1．兩只螞蟻在水平地面上從同一地點(diǎn)出發(fā)，一只以每分鐘12cm的速度朝正東方向爬行，一只以每分鐘16cm的速度朝正南方向爬行，10分鐘之后兩只螞蟻相距（ ）
A．120cmB．160cmC．200cmD．280cm
【答案】C
【分析】根據(jù)題意，畫(huà)出圖形，可知兩只螞蟻爬行的路程和兩只螞蟻的距離構(gòu)成了一個(gè)直角三角形，根據(jù)勾股定理即可求解．
【詳解】12×10=120（cm），16×10=160（cm）
由勾股定理可得：兩只螞蟻間的距離=（cm）
故選：C
【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的實(shí)際應(yīng)用，根據(jù)題意構(gòu)建直角三角形用勾股定理求解是解題的關(guān)鍵．
2．（九章算術(shù)）是中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的重要著作之一，奠定了中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的基本框架．如圖所示是其中記我的一道“折竹”問(wèn)題：“今有竹高一丈，末折抵地，去根四尺，向折者高幾何？“題意是：一根竹子原高1丈（1丈尺），中部有一處折斷，竹梢觸地面處離竹根4尺．則折斷處離地面的高度為（ ）
A．4.1B．4.2C．4.5D．4.8
【答案】B
【分析】根據(jù)題意結(jié)合勾股定理得出折斷處離地面的長(zhǎng)度即可．
【詳解】解：設(shè)折斷處離地面x尺，
根據(jù)題意可得：，
解得．
即折斷處離地面尺高．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)題意正確應(yīng)用勾股定理是解題關(guān)鍵．
3．我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》有一道“蕩秋千”的問(wèn)題：“平地秋千未起，踏板一尺離地．送行二步與人齊，5尺人高曾記，仕女家人爭(zhēng)蹴．良工高士素好奇，算出索長(zhǎng)有幾？”此問(wèn)題可理解為：“如圖，有一架秋千，當(dāng)它靜止時(shí)，踏板離地距離的長(zhǎng)為尺，將它向前水平推送尺時(shí)，即尺，秋千踏板離地的距離和身高尺的人一樣高，秋千的繩索始終拉得很直，試問(wèn)繩索有多長(zhǎng)？”，設(shè)秋千的繩索長(zhǎng)為尺，根據(jù)題意可列方程為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)勾股定理列方程即可得出結(jié)論．
【詳解】解：由題意知：
OC=x-（5-1），P'C=10，OP'=x，
在Rt△OCP'中，由勾股定理得：
[x-（5-1）]2+102=x2．即．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，讀懂題意是解題的關(guān)鍵．
4．《九章算術(shù)》第九章有如下題目，原文：今有垣高一丈，倚木于垣，上與垣齊．引木卻行一尺，其木至地．問(wèn)木長(zhǎng)幾何？譯文是：今有墻高1丈，倚木桿于墻．使木桿之上端與墻平齊．牽引木桿下端退行1尺，則木桿（從墻上）滑落至地上．間木桿長(zhǎng)是多少？（1丈=10尺，1尺=10寸）（ ）
A．5尺5寸B．1丈1尺C．5丈5寸D．5丈5尺
【答案】C
【分析】根據(jù)題意作出示意圖，利用勾股定理求解即可，最后要注意單位的轉(zhuǎn)化，避免錯(cuò)選．
【詳解】解：根據(jù)題意作出如下示意圖：
設(shè)木桿下滑前底端距離墻角x尺，則木桿長(zhǎng)為（x+1）尺．
1丈=10尺，則墻高為10尺
由勾股定理可知：
解得：
木桿的長(zhǎng)為（尺）
尺=50尺+0.5尺
1丈=10尺，1尺=10寸
尺=5丈5寸
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的實(shí)際應(yīng)用，能夠理清題意，將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言是解決本題的關(guān)鍵，還要注意最后結(jié)果的不同單位之間的換算，避免出現(xiàn)單位錯(cuò)誤．
5．為了預(yù)防新冠疫情，某中學(xué)在大門口的正上方A處裝著一個(gè)紅外線激光測(cè)溫儀離地米（如圖所示），當(dāng)人體進(jìn)入感應(yīng)范圍內(nèi)時(shí)，測(cè)溫儀就會(huì)顯示人體體溫．一個(gè)身高1.6米的學(xué)生CD正對(duì)門，緩慢走到離門1.2米的地方時(shí)（米），測(cè)溫儀自動(dòng)顯示體溫，則人體頭頂離測(cè)溫儀的距離AD等于___米．
【答案】1.5
【分析】過(guò)點(diǎn)D作，則AE=0.9米，在中，根據(jù)勾股定理即可得．
【詳解】解：過(guò)點(diǎn)D作，
∵AB=2.5米，BE=CD=1.6米，ED=BC=1.2米，
∴（米），
在中，根據(jù)勾股定理得，
，
故答案為：1.5．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，解題的關(guān)鍵是掌握勾股定理．
6．一根直立于水中的蘆節(jié)（BD）高出水面（AC）2米，一陣風(fēng)吹來(lái)，蘆葦?shù)捻敹薉恰好到達(dá)水面的C處，且C到BD的距離AC＝6米，水的深度（AB）為_(kāi)_______米
【答案】8
【分析】先設(shè)水深x米，則AB=x，則有BD=AD+AB=x+2，由題條件有BD=BC=x+2，又根據(jù)蘆節(jié)直立水面可知BD⊥AC，則在直角△ABC中，利用勾股定理即可求出x．
【詳解】解：設(shè)水深x米，則AB=x，
則有：BD=AD+AB=x+2，
即有：BD=BC=x+2，
根據(jù)蘆節(jié)直立水面，可知BD⊥AC，且AC=6，
則在直角△ABC中：，
即：，
解得x=8，
即水深8米，
故答案為8．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，從現(xiàn)實(shí)圖形中抽象出勾股定理這一模型是解答本題的關(guān)鍵．
7．如圖，我國(guó)古代的“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形密鋪構(gòu)成的大正方形，若小正方形的面積為，大正方形的面積為，則直角三角形較短的直角邊與較長(zhǎng)的直角邊的比的值是______．
【答案】
【分析】根據(jù)勾股定理可以求得等于大正方形的面積，然后求四個(gè)直角三角形的面積，即可得到的值，然后根據(jù)即可求得的值；則可求出答案．
【詳解】解：大正方形的面積是，設(shè)邊長(zhǎng)為，
，
，
直角三角形的面積是，
又直角三角形的面積是，
，
，
．
小正方形的面積為，
，，
．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理以及完全平方公式．注意完全平方公式的展開(kāi)：，還要注意圖形的面積和，之間的關(guān)系．
8．《算法統(tǒng)宗》是中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著，作者是我國(guó)明代數(shù)學(xué)家程大位．在《算法統(tǒng)宗》中有一道“蕩秋千”的問(wèn)題：“平地秋千未起，踏板一尺離地．送行二步與人齊，五尺人高曾記．仕女佳人爭(zhēng)蹴，終朝笑語(yǔ)歡嬉．良工高士素好奇，算出索長(zhǎng)有幾?”譯文：“有一架秋千，當(dāng)它靜止時(shí)，踏板離地1尺，將它往前推送10尺（水平距離）時(shí)，秋千的踏板就和人一樣高，這個(gè)人的身高為5尺，秋千的繩索始終拉得很直（如圖所示），試問(wèn)繩索有多長(zhǎng)?”．根據(jù)題意求出繩索的長(zhǎng)為_(kāi)_____尺．
【答案】14.5
【分析】設(shè)繩索有x尺長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理列方程即可得到結(jié)果．
【詳解】解：延長(zhǎng)到地面于，過(guò)作地面于，如圖所示：
設(shè)繩索有x尺長(zhǎng)，
根據(jù)題意及所作輔助線，四邊形是矩形，則，
在中，，，，則102＋（x＋1?5）2＝x2，解得：x＝14.5，即繩索長(zhǎng)14.5尺，
故答案為：14.5．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用、理解題意能力，關(guān)鍵是能構(gòu)造出直角三角形，用勾股定理來(lái)解．
9．我國(guó)明代有一位杰出的數(shù)學(xué)家程大位在所著的《直至算法統(tǒng)宗》里有一道“蕩秋千”的問(wèn)題：“平地秋千未起，踏板一尺離地，送行二步與人齊，五尺人高曾記；仕女佳人爭(zhēng)蹴，終朝笑語(yǔ)歡嬉，良工高士素好奇，算出索長(zhǎng)有幾？”詩(shī)的意思是：當(dāng)秋千靜止時(shí)，秋千的踏板離地的距離為一尺，將秋千的踏板往前推兩步，這里的每一步合五尺，秋千的踏板與人一樣高，這個(gè)人的身高為五尺，當(dāng)然這時(shí)秋千的繩索是呈直線狀態(tài)的，求這個(gè)秋千的繩索有多長(zhǎng)．
【答案】14．5尺
【分析】設(shè)繩索有x尺長(zhǎng)，此時(shí)繩索長(zhǎng)，向前推出的10尺，和秋千的上端為端點(diǎn)，垂直地面的線可構(gòu)成直角三角形，根據(jù)勾股定理求解．
【詳解】解：如圖，
不妨設(shè)圖中的OA為秋千的繩索，CD為地平面，BC為身高5尺的人，AE為兩步，即相當(dāng)于10尺的距離，A處有一塊踏板，EC，AD為踏板離地的距離，它等于一尺．
設(shè)OA＝x尺，則OB＝OA＝x尺．FA＝BE=BC－EC＝5－1＝4（尺），BF＝EA＝10尺．
在Rt△OBF中，由勾股定理，得OB2＝OF2＋BF2，
∴x2＝（x－4）2＋102，
解這個(gè)方程，得x＝14．5，
∴這個(gè)秋千的繩索長(zhǎng)度為14．5尺．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，構(gòu)造直角三角形利用勾股定理求解．
40．我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中有這樣一個(gè)問(wèn)題：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊，問(wèn)水深、葭長(zhǎng)各幾何？”（注：丈、尺是長(zhǎng)度單位，1丈＝10尺，1尺＝米），這段話翻譯成現(xiàn)代漢語(yǔ)，即為：如圖，有一個(gè)水池，水面是一個(gè)邊長(zhǎng)為一丈的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺，如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點(diǎn)，它的頂端恰好到達(dá)池邊的水面，則水池里水的深度與這根蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度分別是多少米？請(qǐng)你用所學(xué)知識(shí)解答這個(gè)問(wèn)題．
【答案】水池里水的深度是4米，蘆葦長(zhǎng)為米
【分析】根據(jù)題意，構(gòu)建直角三角形，根據(jù)勾股定理列出方程求解即可．
【詳解】．解：設(shè)水池里水的深度是x尺，則蘆葦長(zhǎng)為（x+1）尺，
由題意得，x2+52=（x+1）2，
解得：x=12，
x+1=13，
米，米，
答：水池里水的深度是4米，蘆葦長(zhǎng)為米
【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的實(shí)際應(yīng)用，熟練地掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．
【亮點(diǎn)訓(xùn)練】
訓(xùn)練一：勾股定理基本計(jì)算
【訓(xùn)練1】★在Rt△ABC中，∠B＝90°，a＝3，b＝4，則c＝__________；
【答案】eq \r(7)
【解析】c＝.
【訓(xùn)練2】★若已知一個(gè)直角三角形的周長(zhǎng)為30 cm，其中一個(gè)直角邊長(zhǎng)為12 cm，則它的斜邊為_(kāi)_________cm．
【答案】13
【訓(xùn)練3】★在△ABC中，∠A、∠B、∠C的對(duì)應(yīng)邊分別是a、b、c，若∠A＋∠C＝90°，則下列等式中成立的是()
A．a(chǎn)2＋b2＝c2 B．a(chǎn)2＋c2＝b2
C．b2＋c2＝a2 D．c2－a2＝b2
【答案】B
【訓(xùn)練4】★一直角三角形兩邊分別為3和5，則第三邊為（ ）
A. 4 B. C. 4或 D. 2
【答案】C
【解析】①當(dāng)5是斜邊時(shí)，根據(jù)勾股定理，得：第三邊是=4；
②當(dāng)5是直角邊時(shí)，根據(jù)勾股定理，得：第三邊是 =，
綜上可得三角形第三邊的長(zhǎng)為4或，故選C.
【訓(xùn)練5】★一個(gè)直角三角形，兩直角邊長(zhǎng)分別為3和2，則三角形的周長(zhǎng)為_(kāi)_______．
【答案】5+
【解析】根據(jù)勾股定理可知：斜邊==，∴三角形周長(zhǎng)=3+2+ =5+ ，
故答案是：5+ ．
訓(xùn)練二：利用勾股定理求面積
【訓(xùn)練1】★★如圖，圖中所有的三角形都是直角三角形，四邊形都是正方形，其中最大正方形的邊長(zhǎng)為10，則四個(gè)正方形，，，的面積之和為
A．24B．56C．121D．100
【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)和勾股定理的幾何意義解答即可．
【解析】根據(jù)勾股定理的幾何意義，可知：；
即四個(gè)正方形，，，的面積之和為100；故選：．
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、勾股定理的幾何意義，關(guān)鍵是掌握兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．
【訓(xùn)練2】★★如圖，中，，以、為直徑作半圓和，且，則的長(zhǎng)為
A．16B．8C．4D．2
【分析】根據(jù)勾股定理得到，根據(jù)圓的面積公式計(jì)算，得到答案．
【解析】由勾股定理得，，
，解得，，
則，解得，，故選：．
【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別是，，斜邊長(zhǎng)為，那么．
【訓(xùn)練3】★如圖，其中所有三角形都是直角三角形，所有四邊形都是正方形．若，，，和分別代表相應(yīng)的正方形的面積，且，，，，則等于
A．25B．31C．32D．40
【分析】如圖，根據(jù)勾股定理分別求出、，進(jìn)而得到，即可解決問(wèn)題．
【解析】如圖，由題意得：，，
，．故選：．
【點(diǎn)睛】主要考查了正方形的性質(zhì)、勾股定理等幾何知識(shí)點(diǎn)及其應(yīng)用問(wèn)題；解題的關(guān)鍵是牢固掌握勾股定理等幾何知識(shí)點(diǎn)．
訓(xùn)練三：利用勾股定理求長(zhǎng)度
【訓(xùn)練1】★★在等腰中，已知，于．
（1）若，求的度數(shù)；
（2）若，，求的長(zhǎng)．
【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和直角三角形的兩個(gè)銳角互余，可以求得的度數(shù)；
（2）根據(jù)題目中的數(shù)據(jù)和勾股定理，可以求得的長(zhǎng)．
【解析】（1）在等腰中，，，
，，
，
，，
；
（2），
，
，，
，
設(shè)，則，
，，
，
解得，，
即．
【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問(wèn)題需要的條件，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．
【訓(xùn)練2】★★如圖，在中，，是上一點(diǎn)，已知，，，求的長(zhǎng)．
【分析】先設(shè)，則，再運(yùn)用勾股定理分別在與中表示出，列出方程，求解即可．
【解析】設(shè)，則．
在中，，
，
在中，，
，
，
即，
解得，
，
．
故的長(zhǎng)為8．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的運(yùn)用，根據(jù)的長(zhǎng)度不變列出方程是解題的關(guān)鍵．
【訓(xùn)練3】★★★如圖，在中，，，正方形的面積為，于點(diǎn)，求的長(zhǎng)．
【分析】根據(jù)正方形的面積公式求得．然后利用勾股定理求得；則利用面積法來(lái)求的長(zhǎng)度．
【答案】正方形的面積為，
，
，，
．
，
，
．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理．解答該題時(shí)，需要熟記正方形的面積公式．
【訓(xùn)練4】★★如圖，鐵路上A、B兩點(diǎn)相距25km，C、D為兩村莊，DA＝10km，CB＝15km，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，現(xiàn)要在AB上建一個(gè)中轉(zhuǎn)站E，使得C、D兩村到E站的距離相等．求E應(yīng)建立在距A多遠(yuǎn)外？
【解析】設(shè)E建在距A點(diǎn)xkm處，則102＋x2＝152＋(25－x)2，∴x＝15.
【培優(yōu)檢測(cè)】
一、單選題
1．（2022·山東濟(jì)寧·八年級(jí)期中）下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的一組是( )
A．6，7，8B．0.6，0.8，1C．5，12，13D．2，4，5
【答案】C
【分析】根據(jù)勾股數(shù)的定義判斷即可．
【詳解】解：A、∵，
∴6，7，8不是一組勾股數(shù)，本選項(xiàng)不符合題意；
B、∵0.6，0.8不是正整數(shù)，
∴0.6，0.8，1不是一組勾股數(shù)，本選項(xiàng)不符合題意；
C、∵，
∴5，12，13是一組勾股數(shù)，本選項(xiàng)符合題意；
D、∵，
∴2，4，5不是一組勾股數(shù)，本選項(xiàng)不符合題意；
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股數(shù)，滿足的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)．
2．（2022·新疆阿克蘇·八年級(jí)期中）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的長(zhǎng)為（ ）
A．5B．10C．6D．8
【答案】B
【分析】根據(jù)原點(diǎn)的坐標(biāo)（0,0）可采用兩點(diǎn)之間的距離公式即可求解．
【詳解】解：∵O（0,0），P（6,8）．
∴OP=．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理和平面直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)間的距離，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．
3．（2022·廣東·深圳外國(guó)語(yǔ)學(xué)校七年級(jí)期末）在Rt△ABC中，，．則＝（ ）
A．8B．16或64C．4D．4或16
【答案】D
【分析】根據(jù)勾股定理分情況討論求解即可．
【詳解】解：當(dāng)∠C=90°時(shí)，
；
當(dāng)∠A=90°時(shí)，
；
故選：D．
【點(diǎn)睛】題目主要考查勾股定理解三角形，理解題意進(jìn)行分類討論是解題關(guān)鍵．
4．（2022·廣東·陸河縣河城中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）在中，，，，則的值為（ ）
A．50B．35C．34D．25
【答案】B
【分析】在直角三角形中，根據(jù)勾股定理求出邊長(zhǎng)即可．
【詳解】解：∵，，，
∴．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別是，，斜邊長(zhǎng)為，那么．熟練掌握勾股定理，并能進(jìn)行推理計(jì)算是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
5．（2022·江西贛州·八年級(jí)期末）如圖，直線l上有三個(gè)正方形a，b，c，若a，c的面積分別為3和4，則b的面積為（ ）．
A．5B．6C．7D．8
【答案】C
【分析】如圖，根據(jù)正方形的性質(zhì)得BC=BF，∠CBF=90°，AC2=3，DF2=4，再利用等角的余角相等得∠1=∠3，則可根據(jù)”AAS“證明△ABC≌△DFB，得到AB=DF，然后根據(jù)勾股定理得到BC2=AC2+AB2=AC2+DF2=7，則有b的面積為7．
【詳解】解：如圖，
∵a、b、c都為正方形，
∴BC=BF，∠CBF=90°，AC2=3，DF2=4，
∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，
在△ABC和△DFB中
，
∴△ABC≌△DFB，
∴AB=DF，
在△ABC中，BC2=AC2+AB2=AC2+DF2=3+4=7，
∴b的面積為7．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時(shí)，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件．也考查了勾股定理和正方形的性質(zhì)．
6．（2021·云南曲靖·八年級(jí)期中）下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的是( )
A．B．3，4，7C．6，8，10D．1，，2
【答案】C
【分析】根據(jù)勾股數(shù)的定義即可求解．
【詳解】A．∵，，均不是整數(shù)，∴不是勾股數(shù)，不符合題意；
B．∵32+42≠72，∴不是勾股數(shù)，不符合題意；
C．∵62+82＝102，∴是勾股數(shù)，符合題意；
D．∵不是整數(shù)，∴不是勾股數(shù)，不符合題意；
故選：C．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了勾股數(shù)：滿足a2＋b2＝c2的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)．掌握定義是解題的關(guān)鍵．
7．（2022·湖北孝感·八年級(jí)階段練習(xí)）2002年8月在北京召開(kāi)的國(guó)際數(shù)學(xué)大會(huì)會(huì)標(biāo)取材于我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的《勾股圓方圖》，它是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形（如圖），如果大正方形的面積是13，小正方形的面積是1，直角三角形較短的直角邊為a，較長(zhǎng)的直角邊為b，那么的值為（ ）
A．25B．16C．14D．12
【答案】A
【分析】根據(jù)大正方形的面積即可求得c2，利用勾股定理可以得到a2+b2=c2，然后求得直角三角形的面積即可求得ab的值，根據(jù)（a+b）2=a2+b2+2ab=c2+2ab即可求解．
【詳解】解：∵大正方形的面積是13，
∴c2=13，
∴a2+b2=c2=13，
∵直角三角形的面積是=3，
又∵直角三角形的面積是ab=3，
∴ab=6，
∴（a+b）2=a2+b2+2ab=c2+2ab=13+2×6=13+12=25．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理以及完全平方公式，正確表示出直角三角形的面積是解題的關(guān)鍵．
8．（2022·湖北宜昌·八年級(jí)期中）如圖，各小方格的邊長(zhǎng)為1，△ABC的各頂點(diǎn)都在個(gè)點(diǎn)上，則BC邊上的高等于（ ）
A．2.5B．2.6C．1.7D．1.6
【答案】B
【分析】根據(jù)勾股定理得出BC的長(zhǎng)，進(jìn)而利用等面積法即可求解．
【詳解】解：由勾股定理得：BC＝，
∵S△ABC＝4×4?×1×3?×3×4?×1×4＝6.5，
∴BC邊上的高＝＝2.6，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，關(guān)鍵是根據(jù)勾股定理得出BC的長(zhǎng)解答．
9．（2022·廣西柳州·八年級(jí)期中）如圖，在△ABC中，∠B=90°，AB=1，BC=2．四邊形ADEC是正方形，則正方形ADEC的面積是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【分析】在△ABC中，通過(guò)勾股定理得AC2=5，從而解決問(wèn)題．
【詳解】解：在△ABC中，∠B=90°，
由勾股定理得：AC2=AB2+BC2=12+22=5，
∵四邊形ADEC是正方形，
∴S正方形ADEC=AC2=5，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，熟記勾股定理內(nèi)容：在直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，是解題的關(guān)鍵．
10．（2022·浙江金華·八年級(jí)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，點(diǎn)E，F(xiàn)在斜邊AB上，將邊AC沿CE翻折，使點(diǎn)A落在AB上的點(diǎn)D處，再將邊BC沿CF翻折，使點(diǎn)B落在CD延長(zhǎng)線上的點(diǎn)處，則線段的長(zhǎng)為（ ）
A．B．C．1D．
【答案】B
【分析】先利用勾股定理可得，再根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，，，利用三角形的面積公式可得，利用勾股定理可得，然后根據(jù)角的和差可得，根據(jù)等腰直角三角形的判定可得，最后根據(jù)線段和差可得，由此即可得．
【詳解】解：，
，
由折疊的性質(zhì)得：，
，即，
解得，
，
又，
，即，
是等腰直角三角形，，
，
，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、折疊的性質(zhì)、等腰三角形的判定等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
二、填空題
11．（2022·福建福州·八年級(jí)期中）如圖所示，邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B、C落在格點(diǎn)上，則的度數(shù)為_(kāi)_____°．
【答案】90
【分析】求出BC，AC和AB的長(zhǎng)，利用勾股定理證明△ABC是直角三角形，得到∠BAC=90°，即可得到結(jié)果．
【詳解】解：由圖可知：BC=5，AC=，AB=，
且滿足，
∴△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，
∴∠BCA+∠ABC=90°，
故答案為：90．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理與網(wǎng)格問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是證明△ABC是直角三角形．
12．（2022·陜西西安·八年級(jí)期中）中，，若，則_______．
【答案】
【分析】先利用含角的直角三角形的性質(zhì)、勾股定理可得，再利用含角的直角三角形的性質(zhì)可得的長(zhǎng)，然后利用勾股定理可得的長(zhǎng)，最后利用含角的直角三角形的性質(zhì)即可得．
【詳解】解：，
，
在中，，，
在中，，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了含角的直角三角形的性質(zhì)、勾股定理，熟練掌握含角的直角三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
13．（2022·湖南·株洲縣教學(xué)研究室八年級(jí)期末）在中，，AD平分交BC于點(diǎn)D．若，，，則點(diǎn)D到AB的距離是_________．
【答案】3
【分析】首先利用勾股定理求出BC的長(zhǎng)，從而得出CD的長(zhǎng)，再利用角平分線的性質(zhì)可得答案．
【詳解】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得，
BC==8，
∵BD=5，
∴CD=3，
過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于E，
∵AD平分∠BAC，
∴CD=DE=3，
∴點(diǎn)D到AB的距離是3，
故答案為：3．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，角平分線的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
14．（2022·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)期末）如圖，在ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，點(diǎn)E在AC邊上，EF⊥AB于點(diǎn)F，連接EB，AF＝3，EFB的周長(zhǎng)為12，則EB的長(zhǎng)為_(kāi)___．
【答案】5
【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和勾股定理即可得到結(jié)論．
【詳解】解：∵AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠A＝∠ABC＝45°，
∵EF⊥AB，
∴∠AFE＝∠BFE＝90°，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴EF＝AF＝3，
∵△EFB的周長(zhǎng)為12，
∴BF+BE＝9，
∵EF2+BF2＝BE2，
∴32+（9﹣BE）2＝BE2，
∴BE＝5，
故答案為：5．
【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握等腰直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
15．（2022·廣西·南寧二中八年級(jí)期末）如圖所示的圖形表示勾股定理的一種證明方法，該方法運(yùn)用了祖沖之的出入相補(bǔ)原理．若圖中空白部分的面積是，整個(gè)圖形連同空白部分的面積是，則大正方形的邊長(zhǎng)是______．
【答案】5
【分析】設(shè)四個(gè)全等的直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為，，斜邊為，根據(jù)題意列出方程組，即可求得．
【詳解】解：設(shè)四個(gè)全等的直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為，，斜邊為，
根據(jù)題意得，
解得：，
解得：或舍去，
故大正方形的邊長(zhǎng)為，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的證明，正確表示出直角三角形的面積是解題的關(guān)鍵．
16．（2022·寧夏吳忠·八年級(jí)期末）在中，，若，則__________．
【答案】8
【分析】直接利用勾股定理即可求解．
【詳解】解：如圖；
∵，
∴，
∴，
故答案是：8．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，解題的關(guān)鍵是掌握勾股定理的使用．
17．（2022·重慶一中七年級(jí)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，點(diǎn)D是邊AC上一點(diǎn)，將△BCD沿BD翻折，使點(diǎn)C恰好落在AB邊上的點(diǎn)E處，線段BD上有一動(dòng)點(diǎn)P，則△PAE周長(zhǎng)的最小值為_(kāi)_____．
【答案】4
【分析】由勾股定理可求AB= 5，由折疊的性質(zhì)可得BE= BC= 4，∠BCD=∠BED= 90°，CD=DE，可求AE= 1， BD是CE的中垂線，則當(dāng)點(diǎn)P、點(diǎn)C、點(diǎn)A三點(diǎn)共線時(shí)，AP+CP的最小值為AC的長(zhǎng)，即可求解．
【詳解】解：如圖，連接CP，CE，
∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝＝5，
∵將△BCD沿BD翻折，使點(diǎn)C恰好落在AB邊上的點(diǎn)E處，
∴BE＝BC＝4，∠BCD＝∠BED＝90°，CD＝DE，
∴AE＝1，BD是CE的中垂線，
∴CP＝PE，
∵△PAE周長(zhǎng)＝AE+AP+PE＝1+AP+CP，
∴當(dāng)AP+CP最小時(shí)，△PAE周長(zhǎng)有最小值，
則當(dāng)點(diǎn)P，點(diǎn)C，點(diǎn)A三點(diǎn)共線時(shí)，AP+CP的最小值為AC的長(zhǎng)，
∴△PAE周長(zhǎng)的最小值為3+1＝4，
故答案為：4．
【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換，勾股定理，線段垂直平分線的性質(zhì)，掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
18．（2022·四川宜賓·八年級(jí)期末）在△ABC中，AB=BC，∠ABC＝90°，D為AC邊上中點(diǎn)，過(guò)D點(diǎn)作DE⊥DF交AB于E，交BC于F，若AB的長(zhǎng)為4，則四邊形BFDE的面積為_(kāi)__．
【答案】4
【分析】連接BD，可證得△BDE≌△CDF，從而得到四邊形BFDE的面積等于S△BDE +S△BDF=S△CDF +S△BDF=S△BCD，再求出S△BCD，即可求解．
【詳解】解：如圖，連接BD，
∵AB=BC，∠ABC＝90°，D為AC邊上中點(diǎn)，
∴∠ABD=∠CBD=∠C=45°，BD⊥AC，BD=CD，
∵DE⊥DF，
∴∠EDF=∠BDC=90°，
∴∠BDE=∠CDF，
∴△BDE≌△CDF，
∴S△BDE≌S△CDF，
∴四邊形BFDE的面積等于S△BDE +S△BDF=S△CDF +S△BDF=S△BCD，
∵AB=4，
∴BC=4，
∴，
∴，
∴，
即四邊形BFDE的面積為4．
故答案為：4
【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
19．（2022·河北·秦皇島市第七中學(xué)八年級(jí)期末）如圖，在中，，，，將折疊，使點(diǎn)A落在邊上，對(duì)應(yīng)點(diǎn)為D，若折痕與邊交于點(diǎn)E、與邊交于點(diǎn)F，則的取值范圍是________．
【答案】
【分析】先畫(huà)出圖形，利用勾股定理可得，再根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，然后利用三角形的三邊關(guān)系定理即可得．
【詳解】解：由題意，畫(huà)出圖形如下：
在中，，，，
，
由折疊的性質(zhì)得：，
，，
（當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，等號(hào)成立），
（當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，等號(hào)成立），
，
解得，
則的取值范圍是，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、折疊的性質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
20．（2021·陜西·西北大學(xué)附中七年級(jí)期末）如圖，已知、、、都是等腰直角三角形．若陰影部分的面積是20cm2，則、的面積之和是______cm2．
【答案】10
【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理可得AC2 = 2AB2， AD2 = 2AC2 = 4AB2， AE2 = 2AD2 = 8AB2，AF2 = 2AE2 = 16AB2，可得AD = 2AB， AF = 4AB，根據(jù)S 陰影 = S△ABD + S△ADF求得AB的長(zhǎng)，根據(jù)S△BCD+S△DEF=S多邊形BCDEF-S陰影即可求解．
【詳解】∵△ABC、△ACD、△ADE、△AEF都是等腰直角三角形，
∴ AC2 = 2AB2， AD2 = 2AC2 = 4AB2， AE2 = 2AD2 = 8AB2，AF2 = 2AE2 = 16AB2，
∴AD = 2AB， AF = 4AB，
∵陰影部分的面積是20cm2，
∴S 陰影 = S△ABD + S△ADF = AB×AD+AF×AD=AB×2AB+×4AB×2AB=5AB2=20
解得AB=2(cm)，
∴S多邊形BCDEF=S△ABC+S△ACD+ S△ADB + S△ABF = AB2 + AC2+ AD2 + AB2 = AB2 = 30(cm2)
∴S△BCD+S△DEF=S多邊形BCDEF-S陰影=30-20=10(cm2)
故答案為：10．
【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，掌握等腰直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
三、解答題
21．（2022·山東濟(jì)南·七年級(jí)期末）已知：如圖，在中，于點(diǎn)D，E為AC上一點(diǎn)，且，．
(1)求證：；
(2)已知，，求AF的長(zhǎng)．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)2
【分析】（1）由可得和都是直角三角形，已經(jīng)給出一條直角邊和斜邊對(duì)應(yīng)相等，直接用“HL”證明全等即可；
（2）由可得對(duì)應(yīng)邊相等，通過(guò)勾股定理求出BD，進(jìn)而求出AF的長(zhǎng)．
（1）證明：∵于點(diǎn)，∴，在與中，∵，∴；
（2）解：∵，∴，，在中，，∴，∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于利用全等三角形的性質(zhì)將相等的邊進(jìn)行轉(zhuǎn)化．
22．（2021·福建龍巖·八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，英西中學(xué)有一塊三角形形狀的花圃，現(xiàn)在測(cè)量到∠A＝45°，BC＝5m，AC上的高為4m，請(qǐng)你求出這塊花圃的面積？
【答案】
【分析】根據(jù)現(xiàn)在測(cè)量到∠A＝45°，BD⊥AC，可求出AD的長(zhǎng)，然后在直角三角形BDC中求出DC的長(zhǎng)，根據(jù)三角形的面積公式可求解．
【詳解】解：∵BD⊥AC，
∴，
∵∠A＝45°，
∴，
∴，
∴AD＝BD＝4m，
∴DC，
∴AC＝4+3＝7（m），
∴這塊花圃的面積為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理、等腰三角形的判定和性質(zhì)、三角形面積的計(jì)算，根據(jù)題意求出AC＝7m，是解題的關(guān)鍵．
23．（2022·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）勾股定理是幾何學(xué)中的明珠，充滿著魅力，千百年來(lái)，人們對(duì)它的證明趨之若騖，其中有著名的數(shù)學(xué)家，也有業(yè)余數(shù)學(xué)愛(ài)好者，向常春在1994年構(gòu)造發(fā)現(xiàn)了一個(gè)新的證法，證法如下：
把兩個(gè)全等的直角三角形（Rt△ABC≌Rt△DAE）如圖1放置，∠DAB＝∠B＝90°，AC⊥DE于點(diǎn)F，點(diǎn)E在邊AB上，現(xiàn)設(shè)Rt△ACB兩直角邊長(zhǎng)分別為CB＝b、BA＝a，斜邊長(zhǎng)為AC＝c，請(qǐng)用a、b、c分別表示出梯形ABCD、四邊形AECD、△EBC的面積，再探究這三個(gè)圖形面積之間的關(guān)系，可得到勾股定理
(1)請(qǐng)根據(jù)上述圖形的面積關(guān)系證明勾股定理；
(2)如圖2，鐵路上A、B兩點(diǎn)（看作直線上的兩點(diǎn)）相距40千米，CD為兩個(gè)村莊（看作直線上的兩點(diǎn)），AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分別為A、B，AD＝25千米，BC＝16千米，則兩個(gè)村莊的距離為多少千米．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)兩個(gè)村莊相距41千米．
【分析】（1）根據(jù)三角形的面積和梯形的面積就可表示出．
（2）連接CD，作CE⊥AD于點(diǎn)E，根據(jù)AD⊥AB，BC⊥AB得到BC=AE，CE=AB，從而得到DE=AD-AE=24-16=8千米，利用勾股定理求得CD兩地之間的距離．
（1）解：∵S梯形ABCD=a（a+b），S△EBC=b（a-b），S四邊形AECD=c2，它們滿足的關(guān)系式為：a（a+b）=b（a-b）+c2，即a2+b2=c2；
（2）解：如圖2①，連接CD，作CE⊥AD于點(diǎn)E，∵AD⊥AB，BC⊥AB，∴BC=AE，CE=AB，∴DE=AD-AE=25-16=9千米，∴CD= =41（千米），∴兩個(gè)村莊相距41千米．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了梯形，證明勾股定理，勾股定理的應(yīng)用，證明勾股定理常用的方法是利用面積證明，是解本題的關(guān)鍵．構(gòu)造出直角三角形DEF是解本題的難點(diǎn)．
24．（2022·廣東潮州·八年級(jí)期末）如圖所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于點(diǎn)E，若AC=6，BC=8，CD=3．
(1)求AB和DE的長(zhǎng)；
(2)求△ADB的面積．
【答案】(1)AB=10，DE=3；
(2)△ADB的面積為15
【分析】（1）根據(jù)根據(jù)勾股定理得到AB，根據(jù)角平分線性質(zhì)得出CD=DE，代入求出即可；
（2）利用勾股定理求出AB的長(zhǎng)，然后計(jì)算△ADB的面積．
（1）解：∵∠C=90°，∴AB==10；∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C=90°，∴CD=DE，∵CD=3，∴DE=3；
（2）解：由（1）知，AB=10，∴△ADB的面積為S△ADB=AB?DE=×10×3=15．
【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線性質(zhì)和勾股定理的運(yùn)用，注意：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等．
25．（2022·福建福州·八年級(jí)期末）對(duì)于一個(gè)圖形，通過(guò)兩種不同的方法計(jì)算它的面積，可以得到一個(gè)數(shù)學(xué)等式．
(1)如圖1所示的大正方形，是由兩個(gè)正方形和兩個(gè)形狀大小完全相同的長(zhǎng)方形拼成的．用兩種不同的方法計(jì)算圖中陰影部分的面積，可以得到的數(shù)學(xué)等式是 ；
(2)如圖2所示的大正方形，是由四個(gè)三邊長(zhǎng)分別為a、b、c的全等的直角三角形（a、b為直角邊）和一個(gè)正方形拼成，試通過(guò)兩種不同的方法計(jì)算中間正方形的面積，并探究a、b、c之間滿足怎樣的等量關(guān)系．
【答案】(1)a2+b2= ( a+b) 2-2ab；
(2)．
【分析】（1）分別用兩種不同的方法表示陰影部分面積即可得等式．
（2）先直接用c表示中間正方形的面積，再用大正方形的面積減去4個(gè)小三角形的面積表示中間正方形的面積，從而可得結(jié)論．
（1）解∶如圖1，∵ S陰影=a2+b2，S陰影= ( a+b) 2-2ab ．∴a2+b2= ( a+b) 2-2ab，故答案為∶a2+b2= ( a+b) 2-2ab；
（2）解：如圖2，∵S中間正方形=c2，S中間正方形=(a+b)2-4×ab，∴，∴．
【點(diǎn)睛】本題考查完全平方公式及勾股定理的幾何背景，用兩種方法表示同一個(gè)圖形的面積是求解本題的關(guān)鍵．
26．（2021·江蘇鎮(zhèn)江·八年級(jí)期中）已知，如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝8，BC＝10，DE為邊BC的垂直平分線，與邊BC、AB分別交于D、E兩點(diǎn)．求AC和AE的長(zhǎng)．
【答案】AC＝6，AE＝
【分析】在Rt△ABC中根據(jù)勾股定理直接求得AC的長(zhǎng)，連接AE，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得到BE=CE，設(shè)AE＝x，則BE＝8-x，在Rt△ACE中根據(jù)AE2＋AC2＝CE2列出等式解得即可．
【詳解】在Rt△ABC中，
∵AB2＋AC2＝BC2，
∴82＋AC2＝102，
∴AC＝6；
連接CE，設(shè)AE＝x，則BE＝8-x，
∵DE為邊BC的垂直平分線，
∴CE＝BE＝8-x，
在Rt△ACE中，∠A＝90°
∴AE2＋AC2＝CE2，
x2＋36＝（8－x）2，
解得x＝，
∴AE＝．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理和垂直平分線的性質(zhì)，熟知垂直平分線上的一點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．
27．（2020·江西景德鎮(zhèn)·八年級(jí)期中）如圖是某隧道入口的截面示意圖，其上方是一個(gè)半圓，下方是一個(gè)長(zhǎng)方形，現(xiàn)有一輛滿載貨物的卡車，寬3米，高4米，請(qǐng)判斷這輛卡車能否通過(guò)該隧道．
【答案】卡車不能通過(guò)．
【分析】卡車能否通過(guò)，關(guān)鍵是車高4米與ME的比較，EN為2.8米，只需求MN，在直角三角形OMN中，半徑OM為1.8米，車寬的一半為EF=ON=1.5米，運(yùn)用勾股定理求出MN即可．
【詳解】解：如圖，
過(guò)CD的中點(diǎn)O，作直徑CD的垂線交下底邊于點(diǎn)F，
如圖所示，在Rt△MNO中，由題意知OM=1.8米，EF=ON=1.5米，
所以MN2=1.82-1.52=0.99，則MN≈1米，
因?yàn)?+2.8=3.8

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