1、掌握全等三角形證明中的幾種常見全等模型；
2、掌握全等三角形的綜合運(yùn)用；
【教學(xué)重難點(diǎn)】
1、全等三角形中的平移模型；
2、全等三角形中的軸對稱模型；
3、全等三角形中的倍長中線模型；
4、全等三角形中的角平分線模型；
5、全等三角形中的手拉手模型
6、全等三角形中的動態(tài)問題。
【知識亮解】
知識點(diǎn)一、全等三角形的判定與性質(zhì)
知識點(diǎn)二、全等三角形的證明思路
模型一、平移模型
幾種常見全等三角形基本圖形（平移）
【例1】★如圖所示，AB∥DE，AC∥DF，BE=CF，求證AB=DE.
【例2】★如圖，點(diǎn)O是線段AB的中點(diǎn),OD∥BC且OD=BC，已知∠ADO=34°，∠B=67°，求∠A的度數(shù)．
模型二、軸對稱模型
【例1】★如圖，過等邊△ABC的頂點(diǎn)A作線段AD，若∠DAB=20°，則∠COD的度數(shù)是（ ）
A,100° B,80° C,60° D,40°
【例2】★★在等邊△ABC,點(diǎn)E是AB上的動點(diǎn)，點(diǎn)E與點(diǎn)A，B不重合，點(diǎn)D在CB的延長線上，且EC=ED。
如圖1，當(dāng)BE=AE時(shí)，求證BD=AE
當(dāng)BE≠AE，BD=AE能否成立？請說明理由。
模型三、倍長中線模型
一．中點(diǎn)類輔助線作法
見到中線(中點(diǎn))，我們可以聯(lián)想的內(nèi)容無非是倍長中線或者是與中點(diǎn)有關(guān)的一條線段，尤其是在涉及線段的等量關(guān)系時(shí)，倍長中線的應(yīng)用更是較為常見，常見添加方法如下圖（ 是底邊的中線)．
二．截長補(bǔ)短類輔助線作法
截長補(bǔ)短法，是初中數(shù)學(xué)幾何題中一種輔助線的添加方法，也是把幾何題化難為易的一種思想．所謂“截長”，就是將三者中最長的那條線段一分為二，使其中的一條線段等于已知的兩條較短線段中的一條，然后證明其中的另一段與已知的另一條線段相等；所謂“補(bǔ)短”，就是將一個(gè)已知的較短的線段延長至與另一個(gè)已知的較短的長度相等，然后求出延長后的線段與最長的已知線段的關(guān)系．有的是采取截長補(bǔ)短后，使之構(gòu)成某種特定的三角形進(jìn)行求解。
【例1】★閱讀下面的題目及分析過程，并按要求進(jìn)行證明．
已知：如圖，E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)A在DE上，且∠BAE=∠CDE．
求證：AB=CD．
分析：證明兩條線段相等，常用的一般方法是應(yīng)用全等三角形或等腰三角形的判定和性質(zhì)，觀察本題中要證明的兩條線段，它們不在同一個(gè)三角形中，且它們分別所在的兩個(gè)三角形也不全等．因此，要證AB=CD，必須添加適當(dāng)?shù)妮o助線，構(gòu)造全等三角形或等腰三角形．
現(xiàn)給出如下三種添加輔助線的方法，請任意選擇其中一種，對原題進(jìn)行證明．
【例2】★★★八年級一班數(shù)學(xué)興趣小組在一次活動中進(jìn)行了探究試驗(yàn)活動，請你和他們一起活動吧．
【探究與發(fā)現(xiàn)】
（1）如圖1，AD是△ABC的中線，延長AD至點(diǎn)E，使ED=AD，連接BE，寫出圖中全等的兩個(gè)三角形______
【理解與應(yīng)用】
（2）填空：如圖2，EP是△DEF的中線，若EF=5，DE=3，設(shè)EP=x，則x的取值范圍是______．
（3）已知：如圖3，AD是△ABC的中線，∠BAC=∠ACB，點(diǎn)Q在BC的延長線上，QC=BC，求證：AQ=2AD．
練習(xí)：
1．（2021·甘肅蘭州·模擬預(yù)測）如圖，在△ABC中，AB＝4，AC＝2，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，則AD的長可能是（ ）
A．1B．2C．3D．4
2．（2021·遼寧·鞍山市第五十一中學(xué)八年級階段練習(xí)）如圖，已知AD是△ABC中BC邊上的中線，AB＝5，AC＝3，則AD的取值范圍是（ ）
A．2＜AD＜8B．1＜AD＜4C．2＜AD＜5D．4≤AD≤8
3．（2022·上?！て吣昙墝ｎ}練習(xí)）如圖，已知AD是△ABC的中線，E是AC上的一點(diǎn)，BE交AD于F，AC＝BF，∠DAC＝24°，∠EBC＝32°，則∠ACB＝_____．
4．（2022·全國·八年級）在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，連接AE，作EF⊥AE，若點(diǎn)F在BD的垂直平分線上，∠BAC＝α，則∠BFD＝_________．（用α含的式子表示）
5．（2021·河北邢臺·八年級期中）某數(shù)學(xué)興趣小組在一次活動中進(jìn)行了探究試驗(yàn)活動，請你來加入．
【探究與發(fā)現(xiàn)】
如圖1，延長△ABC的邊BC到D，使DC＝BC，過D作DE∥AB交AC延長線于點(diǎn)E，求證：△ABC≌△EDC．
【理解與應(yīng)用】
如圖2，已知在△ABC中，點(diǎn)E在邊BC上且∠CAE＝∠B，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，若AD平分∠BAE．
（1）求證：AC＝BD；
（2）若BD＝3，AD＝5，AE＝x，求x的取值范圍．
模型四、角平分線模型
1 角平分線常用的輔助線
【例1】（2022·全國·八年級）已知：如圖，BD為△ABC的角平分線，且BD=BC，E為BD延長線上的一點(diǎn)，BE=BA，過E作EF⊥AB，F(xiàn)為垂足，下列結(jié)論：①△ABD≌△EBC②∠BCE+∠BCD=180°③AD=AE=EC ④ BA+BC=2BF其中正確的是（ ）
A．①②③B．①③④C．①②④D．①②③④
【例2】（浙江杭州·八年級期末）如圖，中，，的角平分線、相交于點(diǎn)，過作交的延長線于點(diǎn)，交于點(diǎn)，則下列結(jié)論：①；②；③；④四邊形，其中正確的個(gè)數(shù)是（ ）
A．4B．3C．2D．1
【例3】（2022·全國·八年級）如圖所示，的外角的平分線CP與的平分線相交于點(diǎn)P，若，則_______．
【例4】（2021·山東淄博·七年級期末）已知，△ABC中，∠BAC＝120°，AD平分∠BAC，∠BDC＝60°，AB＝2，AC＝3，則AD的長是________．
【例5】（2022·全國·八年級）已知：如圖，AC∥BD，AE、BE分別平分∠CAB和∠ABD，點(diǎn)E在CD上．用等式表示線段AB、AC、BD三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．
模型五、全等三角形中的手拉手模型
手拉手模型是指兩個(gè)頂角相等的等腰三角形頂角頂點(diǎn)重合，左底角頂點(diǎn)互連，右底角頂點(diǎn)互連所組成的圖形。如果把等腰三角形頂角看作“頭”，左底角看作“左手”，右底角看作“右手”，則可以描述成：頭對頭，左手拉左手，右手拉右手，這也正是手拉手模型名稱的由來。
【例1】（2022·山東·寧津縣育新中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖，，，三點(diǎn)在同一直線上，，都是等邊三角形，連接，，：下列結(jié)論中正確的是（ ）
①△ACD≌△BCE；
②△CPQ是等邊三角形；
③平分；
④△BPO≌△EDO．
A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④
【例2】（2021·江蘇·漣水縣紅日中學(xué)八年級階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)C是線段AE上一動點(diǎn)（不與A，E重合），在AE同側(cè)分別作等邊三角形ABC和等邊三角形CDE，AD與BE交于點(diǎn)O，AD與BC交于點(diǎn)P，BE與CD交于點(diǎn)Q，連接PQ，有以下5個(gè)結(jié)論：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°．其中一定成立的結(jié)論有（ ）個(gè)
A．1B．2C．3D．4
【例3】（2020·江蘇·靖江市靖城中學(xué)八年級期中）如圖，點(diǎn)B、C、E在同一條直線上，與都是等邊三角形，下列結(jié)論：①AE=BD；②；③線段AE和BD所夾銳角為80°；④FG∥BE．其中正確的是______．（填序號）
【例4】（2020·湖南·長沙市長郡外國語實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級階段練習(xí)）如圖，C為線段AE上一動點(diǎn)（不與點(diǎn)A，E重合），在AE同側(cè)分別作等邊三角形ABC和等邊三角形CDE，AD與BE交于點(diǎn)O，AD與BC交于點(diǎn)P，BE與CD交于點(diǎn)Q，連結(jié)PQ．以下結(jié)論：①PQAE；②∠AOE＝120°；③CO平分∠BCD；④△CPQ是等邊三角形，⑤OC+BO＝AO恒成立的是_____．
【例5】（2022·湖南永州·八年級期末）△ACB和△DCE是共頂點(diǎn)C的兩個(gè)大小不一樣的等邊三角形．
(1)問題發(fā)現(xiàn)：
如圖1，若點(diǎn)A，D，E在同一直線上，連接AE，BE．
①求證：△ACD≌△BCE；
②求∠AEB的度數(shù)．
(2)類比探究：如圖2，點(diǎn)B、D、E在同一直線上，連接AE，AD，BE，CM為△DCE中DE邊上的高，請求∠ADB的度數(shù)及線段DB，AD，DM之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
(3)拓展延伸：如圖3，若設(shè)AD（或其延長線）與BE的所夾銳角為α，則你認(rèn)為α為多少度，并證明．
六、全等三角形中的動態(tài)問題
【例1】★★如圖，在Rt△ABC，∠C=90°，AC=12，BC=6，一條線段PQ=AB，P、Q兩點(diǎn)分別在AC和過點(diǎn)A且垂直于AC的射線AX上運(yùn)動，要使△ABC和△QPA全等，則AP= ______ ．
【例2】★★★（2020·廣東省綠翠現(xiàn)代實(shí)驗(yàn)學(xué)校初二期中）如圖（1），AB=4，AC⊥AB，BD⊥AB，AC=BD=3．點(diǎn) P 在線段 AB 上以 1的速度由點(diǎn) A 向點(diǎn) B 運(yùn)動，同時(shí)，點(diǎn) Q 在線段 BD 上由點(diǎn) B 向點(diǎn) D 運(yùn)動．它們運(yùn)動的時(shí)間為 （s）．
（1）若點(diǎn) Q 的運(yùn)動速度與點(diǎn) P 的運(yùn)動速度相等，當(dāng)=1 時(shí)，△ACP 與△BPQ 是否全等，請說明理由， 并判斷此時(shí)線段 PC 和線段 PQ 的位置關(guān)系；
（2）如圖（2），將圖（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”為改“∠CAB=∠DBA=60°”，其他條件不變．設(shè)點(diǎn) Q 的運(yùn)動速度為，是否存在實(shí)數(shù)，使得△ACP 與△BPQ 全等？若存在，求出相應(yīng)的、的值；若不存在，請說明理由．
【亮點(diǎn)訓(xùn)練】
1．（2022·遼寧·沈陽市第一三四中學(xué)七年級階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于點(diǎn)E，AD⊥CE于點(diǎn)D，若AD=12，CD=5，則ED的長度是（ ）
A．8B．7C．6D．5
2．（2022·廣東·西南中學(xué)三模）如圖，在中，為邊上任意一點(diǎn)，按以下步驟作圖：①以點(diǎn)為圓心，以任意長為半徑作弧，分別交，于點(diǎn)，；②以點(diǎn)為圓心，以長為半徑作弧，交于點(diǎn)；③以點(diǎn)為圓心，以長為半徑作弧，在內(nèi)部交前面的弧于點(diǎn)；④作射線交于點(diǎn)若，，則（ ）．
A．B．C．D．
3．（2022·全國·八年級）如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝50°，D，F(xiàn)分別是BC，AC上的點(diǎn)，DE⊥AB，垂足為E，CF＝BE，DF＝DB，則∠ADE的度數(shù)為（ ）
A．40°B．50°C．70°D．71°
4．（2022·福建·模擬預(yù)測）如圖，在正六邊形ABCDEF中，點(diǎn)G，H分別是邊BC，CD上的點(diǎn)，且，AG交BH于點(diǎn)O，則的度數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
5．（2021·湖南永州·八年級階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)在線段上，于，于．，且，，點(diǎn)以的速度沿向終點(diǎn)運(yùn)動，同時(shí)點(diǎn)以的速度從開始，在線段上往返運(yùn)動（即沿運(yùn)動），當(dāng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，，同時(shí)停止運(yùn)動．過，分別作的垂線，垂足為，．設(shè)運(yùn)動時(shí)間為，當(dāng)以，，為頂點(diǎn)的三角形與全等時(shí)，的值為（ ）
A．1或3B．1或
C．1或或D．1或或5
6．（2022·山東東營·七年級期末）如圖，BE交AC于點(diǎn)M，交CF于點(diǎn)D，AB交CF于點(diǎn)N，，給出的下列五個(gè)結(jié)論中正確結(jié)論的序號為 ．
①；②；③；④；⑤．
7．（2022·山東東營·七年級期末）如圖，在中，已知AD是平分線，于點(diǎn)E，，則點(diǎn)D到AB的最短距離是_________．
8．（2022·山東聊城·八年級期末）如圖，在四邊形中，，，，點(diǎn)在線段上以的速度由點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動，同時(shí)，點(diǎn)在線段上由點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為，當(dāng)與以，，為頂點(diǎn)的三角形全等時(shí)，點(diǎn)的運(yùn)動速度為______．
9．（2022·廣東·深圳市高級中學(xué)八年級期末）如圖，把兩塊大小相同的含45°的三角板ACF和三角板CFB如圖所示擺放，點(diǎn)D在邊AC上，點(diǎn)E在邊BC上，且∠CFE＝13°，∠CFD＝32°，則∠DEC的度數(shù)為_______．
10．（2021·全國·八年級期中）如圖，在四邊形ABCD中，AD＝AB，DC＝BC，∠DAB＝60°，∠DCB＝120°，E在AD上，F(xiàn)是AB延長線上一點(diǎn)，且DE＝BF，若G在AB上，且∠ECG＝60°，則DE、EG、BG之間的數(shù)量關(guān)系是_____．
11．（2022·全國·八年級）如圖，△ABC中，D為BC的中點(diǎn)，
(1)在圖中作出CM⊥AD，BN⊥AD，垂足分別為M、N；
(2)求證：DM＝DN；
(3)求AD＝3，求AM＋AN的值．
12．（2022·安徽·合肥壽春中學(xué)八年級期末）如圖，已知AD是△ABC的邊BC上的高，點(diǎn)E為AD上一點(diǎn)，且，．
(1)證明
(2)若，，求△ABC的面積．
13．（2022·全國·八年級）如圖，，，，連接，過點(diǎn)作于，過點(diǎn)作于．
(1)若，求的度數(shù)；
(2)請直接寫出線段、、三者間的數(shù)量關(guān)系．
14．（2022·遼寧·沈陽市第一三四中學(xué)七年級階段練習(xí)）回答問題
（1）【初步探索】如圖1：在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B=∠ADC=90°，E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，且EF=BE+FD，探究圖中∠BAE、∠FAD、∠EAF之間的數(shù)量關(guān)系．
小王同學(xué)探究此問題的方法是：延長FD到點(diǎn)G，使DG=BE．連接AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是_______________；
（2）【靈活運(yùn)用】如圖2，若在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，且EF=BE+FD，上述結(jié)論是否仍然成立，并說明理由；
（3）【拓展延伸】知在四邊形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=AD，若點(diǎn)E在CB的延長線上，點(diǎn)F在CD的延長線上，如圖3所示，仍然滿足EF=BE+FD，請直接寫出∠EAF與∠DAB的數(shù)量關(guān)系．
15．（2022·云南·景谷傣族彝族自治縣教育體育局教研室八年級期末）如圖1，點(diǎn)P，Q分別是等邊邊AB，BC上的動點(diǎn)，點(diǎn)P從頂點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動，點(diǎn)Q從頂點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，且它們的速度都相同．
(1)連接AQ，CP交于點(diǎn)M則在P、Q運(yùn)動的過程中，的大小發(fā)生變化嗎？若變化，則說明理由，若不變，則求出它的度數(shù)；
(2)如圖2，若點(diǎn)P、Q在運(yùn)動到終點(diǎn)后繼續(xù)在射線AB，BC上運(yùn)動，直線AQ、CP交點(diǎn)為M，則的大小發(fā)生變化嗎？若變化，則說明理由，若不變，則求出它的度數(shù)．
【培優(yōu)檢測】
1．（2021·上海市徐匯中學(xué)八年級期中）如圖，若 AC、BD、EF兩兩互相平分于點(diǎn)O，那么圖中的全等三角形共有（ ）
A．3對B．4對C．5對D．6對
2．（2022·全國·八年級）如圖，AE⊥AB且，BC⊥CD且，請按照圖中所標(biāo)注的數(shù)據(jù)，計(jì)算圖中實(shí)線所圍成的圖形的面積是（ ）
A．30B．32C．35D．38
3．（2021·重慶·八年級期中）羅同學(xué)學(xué)習(xí)了全等三角形后，利用全等三角形繪制出了下面系列圖案，第（1）個(gè)圖案由2個(gè)全等三角形組成，第（2）個(gè)圖案由4個(gè)全等三角形組成，第（3）個(gè)圖案由7個(gè)全等三角形組成，第（4）個(gè)圖案由12個(gè)全等三角形組成，則第（6）個(gè)圖案中全等三角形的個(gè)數(shù)為（ ）
A．25B．38C．70D．135
4．（2021·山東煙臺·七年級期中）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，∠DAB與∠ADC的平分線相交于BC邊上的M點(diǎn)，則下列結(jié)論：①∠AMD＝90°；②點(diǎn)M為BC的中點(diǎn)；③AB+CD＝AD；④△ADM的面積是梯形ABCD面積的一半．其中正確的個(gè)數(shù)有（ ）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
5．（2020·北京市京源學(xué)校八年級期中）如圖所示,在中，，AD平分，于點(diǎn)E，則下列結(jié)論：①DA平分；②∠=∠；③DE平分∠；④．其中正確的有（ ）
A．①②B．①④C．③④D．①②④
6．（2022·山東煙臺·七年級期末）如圖，，，F(xiàn)為AB上一點(diǎn)，連接CF，，，垂足分別是點(diǎn)E，D．若，，則DE的長為______cm．

7．（2022·遼寧撫順·八年級期末）如圖，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＜OC，∠AOB＝∠COD＝50°，連接AC、BD交于點(diǎn)M，連接OM．下列結(jié)論：①AC＝BD，②∠AMB＝50°；③OM平分∠AOD；④MO平分∠AMD．其中正確的結(jié)論是 _____．（填序號）
8．（2021·安徽合肥·八年級階段練習(xí)）如圖，AE與BD相交于點(diǎn)C，AC＝EC，BC＝DC，AB＝5cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿A→B方向以2cm/s的速度運(yùn)動，點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā)，沿D→E方向以1cm/s的速度運(yùn)動，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)．當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動時(shí)間為t（s）．
（1）AP的長為 ___cm．（用含t的代數(shù)式表示）
（2）連接PQ，當(dāng)線段PQ經(jīng)過點(diǎn)C時(shí)，t＝___s．
9．（2021·全國·八年級單元測試）如圖，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，△ABC的角平分線AD，BE相交于點(diǎn)P，過點(diǎn)P作PF⊥AD交BC的延長線于點(diǎn)F，交AC于點(diǎn)H，則下列結(jié)論：①∠APB＝135°；②BF＝BA；③PH＝PD；④連接CP，CP平分∠ACB．其中正確結(jié)論的序號是______．
10．（廣東·深圳市高級中學(xué)七年級期中）如圖，在中，，，，為邊上的高，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)在直線上以的速度移動，過點(diǎn)作的垂線交直線于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動_________時(shí)，．
11．（2022·上?！ぐ四昙壠谀┰诘妊鱋AB和等腰△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，連接AC、BD交于點(diǎn)M．
(1)如圖1，若∠AOB＝∠COD＝40°：
①AC與BD的數(shù)量關(guān)系為 ；
②∠AMB的度數(shù)為 ．
(2)如圖2，若∠AOB＝∠COD＝90°：
①判斷AC與BD之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由；
②求∠AMB的度數(shù)．
12．（2022·上?！て吣昙墝ｎ}練習(xí)）閱讀：
如圖，已知在△ABC和△A′B′C′中，AB＝A′B′，∠A＝∠A′，AC＝A′C′．那么△ABC≌△A′B′C′．
說明過程如下：
把△ABC放到△A′B′C′上，使∠A的頂點(diǎn)與∠A′的頂點(diǎn)重合；由于∠A＝∠A′，因此可以使射線AB、AC分別落在射線A′B′、A′C′上．因?yàn)锳B＝A′B′，AC＝A′C′，所以點(diǎn)B、C分別與點(diǎn)B′、C′重合，這樣△ABC和△A′B′C′重合，即△ABC≌△A′B′C′．
于是，得全等三角形判定方法1：在兩個(gè)三角形中，如果有兩條邊及它們的夾角對應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形全等（簡記為SAS）．
請完成下面問題的填空：
如圖，已知在△ABC和△A′B′C′中，∠A＝∠A′，AB＝A′B′，∠B＝∠B′．
那么△ABC≌△A′B′C′．
說明過程如下：
把△ABC放到△A′B′C′上，因?yàn)锳B＝A′B′，可以使 與 重合，并使點(diǎn)C與C′在AB（A′B′）的同一側(cè)，這時(shí)點(diǎn)A與點(diǎn)A′重合，點(diǎn) 與點(diǎn) 重合．由于∠A＝∠A′，因此射線 與射線 疊合；由于
∠B＝∠B′，因此射線 與射線 疊合．于是點(diǎn)C（射線AC與BC的交點(diǎn)）與點(diǎn)C′（射線A′C′與B′C′的交點(diǎn)）重合．這樣 與 重合，即△ABC≌△A′B′C′．
于是，得全等三角形判定方法2：在兩個(gè)三角形中， ．
13．（2022·甘肅蘭州·一模）如圖，BD平分∠ABC，點(diǎn)E在BD上．從下面①②③中選取兩個(gè)作為已知條件，另一個(gè)作為結(jié)論，構(gòu)成一個(gè)命題，判斷該命題真假并說明理由．
①；②；③．
你選擇的已知條件是______，結(jié)論是______（填寫序號）；該命題為______（填“真”或“假”）命題．
注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分．
14．（2021·山西陽泉·八年級期中）通過對下面數(shù)學(xué)模型的研究學(xué)習(xí)，解決下列問題：
（1）如圖1，∠BAD＝90°，AB＝AD，過點(diǎn)B作BC⊥AC于點(diǎn)C，過點(diǎn)D作DE⊥AC于點(diǎn)E．由∠1+∠2＝∠2+∠D＝90°，得∠1＝∠D．又∠ACB＝∠AED＝90°，可以推理得到△ABC≌△DAE．進(jìn)而得到AC＝ ，BC＝AE．我們把這個(gè)數(shù)學(xué)模型稱為“K字”模型或“一線三等角”模型；
（2）如圖2，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AC＝AE，連接BC，DE，且BC⊥AF于點(diǎn)F，DE與直線AF交于點(diǎn)G．求證：點(diǎn)G是DE的中點(diǎn)；
（深入探究）
（3）如圖，已知四邊形ABCD和DEGF為正方形，△AFD的面積為S1，△DCE的面積為S2，則有S1 S2（填“＞、＝、＜”）
15．（2021·河北·廊坊市第四中學(xué)八年級階段練習(xí)）如圖1，在△ABC中，AE⊥BC于E，AE＝BE，D是AE上一點(diǎn)，且DE＝CE，連接BD，CD．
（1）判斷與的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，并證明；
（2）如圖2，若將△DCE繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)一定的角度后，BD與AC的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化？并證明；
（3）如圖3，將（2）中的等腰直角三角形都換成等邊三角形，其他條件不變，求BD與AC夾角的度數(shù)．
一般三角形
直角三角形
判定
邊角邊（SAS）
角邊角（ASA）
角角邊（AAS）
邊邊邊（SSS）
兩直角邊對應(yīng)相等
一邊一銳角對應(yīng)相等
斜邊、直角邊定理（HL）
性質(zhì)
對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等（其他對應(yīng)元素也相等，如對應(yīng)邊上的高相等）
備注
判定三角形全等必須有一組對應(yīng)邊相等
倍長中線
已知：是底邊的中線
截長
（將最長線段
一分為二）
四邊形ABCD中，BC＞BA，AD=CD，BD平分∠ABC，求證：∠A+∠C=180°
證：在BC上截取AB=A’B，則可證
補(bǔ)短
（將較短線段延長，使其與最長線段相等）
△ABC中，∠C=2∠B，∠1=∠2，求證：AB =AC+CD
證：延長AC至點(diǎn)E，使CE=CD，則可證
《講亮點(diǎn)》2022-2023學(xué)年八年級數(shù)學(xué)上冊教材同步配套講練《蘇科版》
專題1.4 全等三角形綜合和常見全等模型匯總
【教學(xué)目標(biāo)】
1、掌握全等三角形證明中的幾種常見全等模型；
2、掌握全等三角形的綜合運(yùn)用；
【教學(xué)重難點(diǎn)】
1、全等三角形中的平移模型；
2、全等三角形中的軸對稱模型；
3、全等三角形中的倍長中線模型；
4、全等三角形中的角平分線模型；
5、全等三角形中的手拉手模型
6、全等三角形中的動態(tài)問題。
【知識亮解】
知識點(diǎn)一、全等三角形的判定與性質(zhì)
知識點(diǎn)二、全等三角形的證明思路
模型一、平移模型
幾種常見全等三角形基本圖形（平移）
【例1】★如圖所示，AB∥DE，AC∥DF，BE=CF，求證AB=DE.
【解析】證明：∵AB∥DE，AC∥DF，∴∠B=∠DEF,∠F=∠ACB，
又∵BE=CF，∴BE＋EC=CF＋EC ，即BC=EF。
在△ABC和△DEF中，∠B=∠DEF，BC=EF，∠F=∠ACB，即△ABC≌△DEF，因此AB=DE。
【例2】★如圖，點(diǎn)O是線段AB的中點(diǎn),OD∥BC且OD=BC，已知∠ADO=34°，∠B=67°，求∠A的度數(shù)．
【解析】∵點(diǎn)O是線段AB的中點(diǎn)，∴AO=BO，又∵OD∥BC，∴∠AOD=∠OBC，
在△AOD和△OBC中，AO=BO，∠AOD=∠OBC，OD=BC，
∴△AOD≌△OBC（SAS），即∠A=∠BOC，∠D=∠C，
因?yàn)镺D∥BC，所以∠DOC=∠C，
又因?yàn)椤螪=∠C=∠DOC，則AD∥OC，因此∠DOC=∠ADO=34°，∴∠C=34°，
根據(jù)三角形內(nèi)角和得: ∠BOC=180°－∠C－∠B=180°－34°－67°=79°，因此∠A=∠BOC=79°。
模型二、軸對稱模型
【例1】★如圖，過等邊△ABC的頂點(diǎn)A作線段AD，若∠DAB=20°，則∠COD的度數(shù)是（ ）
A,100° B,80° C,60° D,40°
【答案】A
【解析】由題意得：∵△ABC是等邊三角形，∴∠B=60°，
即∠AOB=180°－∠B－∠DAB=180°－60°－20°=100°，又因?yàn)椤螦OB=∠COD，因此∠COD=100°，故選 A．
【例2】★★在等邊△ABC,點(diǎn)E是AB上的動點(diǎn)，點(diǎn)E與點(diǎn)A，B不重合，點(diǎn)D在CB的延長線上，且EC=ED。
如圖1，當(dāng)BE=AE時(shí)，求證BD=AE
當(dāng)BE≠AE，BD=AE能否成立？請說明理由。
【答案】(1)證明：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC=60°，
∵BE=AE，∴∠ACE=∠ECB =30° (三線合一)，∠CEB=90°，
又∵EC=ED， ∴∠ECB=∠D=30°，
根據(jù)三角形的內(nèi)角和，∠CED=∠ECB－∠D=180°－30°－30°=120°，
又因?yàn)椤螩EB=90°，所以∠BED=30°，
即∠BED=∠D=30°，因此BD=AE。
(2)由題意得，如下圖，BD=AE，
證明：在BC上取一點(diǎn)M，使得CM=BD，連接EM，
∵CE=DE，∴∠ECB=∠D，
在△ECM和△BDE中，CE=DE，∠ECB=∠D，CM=BD，
∴△ECM≌△BDE（SAS），即EM=EB，
又因?yàn)椤螦BC=60°，所以△EMB是等邊三角形，又因?yàn)椤鰽BC是等邊三角形，所以BC=AB，
則CB－BM=BA－BE，即CM=AE，又因?yàn)镃M=BD，因此AE=BD。
模型三、倍長中線模型
一．中點(diǎn)類輔助線作法
見到中線(中點(diǎn))，我們可以聯(lián)想的內(nèi)容無非是倍長中線或者是與中點(diǎn)有關(guān)的一條線段，尤其是在涉及線段的等量關(guān)系時(shí)，倍長中線的應(yīng)用更是較為常見，常見添加方法如下圖（ 是底邊的中線)．
二．截長補(bǔ)短類輔助線作法
截長補(bǔ)短法，是初中數(shù)學(xué)幾何題中一種輔助線的添加方法，也是把幾何題化難為易的一種思想．所謂“截長”，就是將三者中最長的那條線段一分為二，使其中的一條線段等于已知的兩條較短線段中的一條，然后證明其中的另一段與已知的另一條線段相等；所謂“補(bǔ)短”，就是將一個(gè)已知的較短的線段延長至與另一個(gè)已知的較短的長度相等，然后求出延長后的線段與最長的已知線段的關(guān)系．有的是采取截長補(bǔ)短后，使之構(gòu)成某種特定的三角形進(jìn)行求解。
【例1】★閱讀下面的題目及分析過程，并按要求進(jìn)行證明．
已知：如圖，E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)A在DE上，且∠BAE=∠CDE．
求證：AB=CD．
分析：證明兩條線段相等，常用的一般方法是應(yīng)用全等三角形或等腰三角形的判定和性質(zhì)，觀察本題中要證明的兩條線段，它們不在同一個(gè)三角形中，且它們分別所在的兩個(gè)三角形也不全等．因此，要證AB=CD，必須添加適當(dāng)?shù)妮o助線，構(gòu)造全等三角形或等腰三角形．
現(xiàn)給出如下三種添加輔助線的方法，請任意選擇其中一種，對原題進(jìn)行證明．
【答案】見解析
【解析】方法一：作BF⊥DE于點(diǎn)F，CG⊥DE于點(diǎn)G．∴∠F=∠CGE=90°．
又∵∠BEF=∠CEG，BE=CE，∴△BFE≌△CGE，∴BF=CG．
在△ABF和△DCG中，∵∠F=∠DGC=90°，∠BAE=∠CDE，BF=CG，∴△ABF≌△DCG，∴AB=CD．
方法二：作CF∥AB，交DE的延長線于點(diǎn)F．∴∠F=∠BAE．
又∵∠ABE=∠D，∴∠F=∠D，∴CF=CD．
∵∠F=∠BAE，∠AEB=∠FEC，BE=CE，∴△ABE≌△FCE，∴AB=CF，∴AB=CD．
方法三：延長DE至點(diǎn)F，使EF=DE．
又∵BE=CE，∠BEF=∠CED，∴△BEF≌△CED，∴BF=CD，∠D=∠F．
又∵∠BAE=∠D，∴∠BAE=∠F，∴AB=BF，∴AB=CD。
【例2】★★★八年級一班數(shù)學(xué)興趣小組在一次活動中進(jìn)行了探究試驗(yàn)活動，請你和他們一起活動吧．
【探究與發(fā)現(xiàn)】
（1）如圖1，AD是△ABC的中線，延長AD至點(diǎn)E，使ED=AD，連接BE，寫出圖中全等的兩個(gè)三角形______
【理解與應(yīng)用】
（2）填空：如圖2，EP是△DEF的中線，若EF=5，DE=3，設(shè)EP=x，則x的取值范圍是______．
（3）已知：如圖3，AD是△ABC的中線，∠BAC=∠ACB，點(diǎn)Q在BC的延長線上，QC=BC，求證：AQ=2AD．
【答案】（1）△ADC≌△EDB（2）1＜x＜4（3）見解析
【解析】（1）在△ADC與△EDB中，，∴△ADC≌△EDB；故答案為：△ADC≌△EDB；
（2）如圖2，延長EP至點(diǎn)Q，使PQ=PE，連接FQ，
在△PDE與△PQF中，，∴△PEP≌△QFP，∴FQ=DE=3，
在△EFQ中，EF﹣FQ＜QE＜EF+FQ，即5﹣3＜2x＜5+3，∴x的取值范圍是1＜x＜4；故答案為：1＜x＜4；
（3）證明：如圖3，延長AD到M，使MD=AD，連接BM，∴AM=2AD，
∵AD是△ABC的中線，∴BD=CD，
在△BMD與△CAD中，，∴△BMD≌△CAD，
∴BM=CA，∠M=∠CAD，∴∠BAC=∠BAM+∠CAD=∠BAM+∠M，
∵∠ACB=∠Q+∠CAQ，AB=BC，
∵∠ACQ=180°﹣（∠Q+∠CAQ），∠MBA=180°﹣（∠BAM+∠M），∴∠ACQ=∠MBA，
∵QC=BC，∴QC=AB，
在△ACQ與△MBA中，，∴△ACQ≌△MBA，∴AQ=AM=2AD．

練習(xí)：
1．（2021·甘肅蘭州·模擬預(yù)測）如圖，在△ABC中，AB＝4，AC＝2，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，則AD的長可能是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】
【分析】
延長AD到E，使DE＝AD，連接BE．證△ADC≌△EDB（SAS），可得BE＝AC＝2，再利用三角形的三邊關(guān)系求出AE的范圍即可解決問題．
【詳解】
解：延長AD到E，使DE＝AD，連接BE，
在△ADC和△EDB中，
，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴BE＝AC＝2，
在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，
即2＜2AD＜6，
解得1＜AD＜3，
故選：B．
【點(diǎn)睛】
本題考查了三角形的全等判定和性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系定理，熟練證明三角形的全等是解題的關(guān)鍵．
2．（2021·遼寧·鞍山市第五十一中學(xué)八年級階段練習(xí)）如圖，已知AD是△ABC中BC邊上的中線，AB＝5，AC＝3，則AD的取值范圍是（ ）
A．2＜AD＜8B．1＜AD＜4C．2＜AD＜5D．4≤AD≤8
【答案】B
【解析】
【分析】
如圖所示，延長AD到E，使，連接CE，先證，得，再由三角形任意兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊求出AE的取值范圍．
【詳解】
如圖所示，延長AD到E，使，連接CE，
AD是△ABC中BC邊上的中線，
，
在與中，
，
，
，
在中，由三角形三邊關(guān)系得：
，
，，
，
．
【點(diǎn)睛】
本題考查了三角形三邊的關(guān)系，全等三角形的判定與性質(zhì)，做輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．
3．（2022·上海·七年級專題練習(xí)）如圖，已知AD是△ABC的中線，E是AC上的一點(diǎn)，BE交AD于F，AC＝BF，∠DAC＝24°，∠EBC＝32°，則∠ACB＝_____．
【答案】100°##100度
【解析】
【分析】
延長AD到M，使得DM＝AD，連接BM，證△BDM≌△CDA（SAS），得得到BM＝AC＝BF，∠M＝∠DAC＝24°，∠C＝∠DBM，再證△BFM是等腰三角形，求出∠MBF的度數(shù)，即可解決問題．
【詳解】
解：如圖，延長AD到M，使得DM＝AD，連接BM，
在△BDM和△CDA中，
，
∴△BDM≌△CDA（SAS），
∴BM＝AC＝BF，∠M＝∠DAC＝24°，∠C＝∠DBM，
∵BF＝AC，
∴BF＝BM，
∴∠M＝∠BFM＝24°，
∴∠MBF＝180°﹣∠M﹣∠BFM＝132°，
∵∠EBC＝32°，
∴∠DBM＝∠MBF﹣∠EBC＝100°，
∴∠C＝∠DBM＝100°，
故答案為：100°．
【點(diǎn)睛】
本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．
4．（2022·全國·八年級）在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，連接AE，作EF⊥AE，若點(diǎn)F在BD的垂直平分線上，∠BAC＝α，則∠BFD＝_________．（用α含的式子表示）
【答案】180°﹣α．
【解析】
【分析】
根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠EAC＝∠EMD，AC＝DM，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到AF＝FM，F(xiàn)B＝FD，推出△MDF≌△ABF（SSS），得到∠AFB＝∠MFD，∠DMF＝∠BAF，根據(jù)角的和差即可得到結(jié)論．
【詳解】
解：延長AE至M，使EM＝AE，
連接AF，F(xiàn)M，DM，
∵點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，
∴DE＝CE，
在△AEC與△MED中，
，
∴△AEC≌△MED（SAS），
∴∠EAC＝∠EMD，AC＝DM，
∵EF⊥AE，
∴AF＝FM，
∵點(diǎn)F在BD的垂直平分線上，
∴FB＝FD，
在△MDF與△ABF中，
，
∴△MDF≌△ABF（SSS），
∴∠AFB＝∠MFD，∠DMF＝∠BAF，
∴∠BFD+∠DFA＝∠DFA+∠AFM，
∴∠BFD＝∠AFM
＝180°﹣2（∠DMF+∠EMD）
＝180°﹣（∠FAM+∠BAF+∠EAC）
＝180°﹣∠BAC
＝180°﹣α，
故答案為：180°﹣α．
【點(diǎn)睛】
本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，正確的作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．
5．（2021·河北邢臺·八年級期中）某數(shù)學(xué)興趣小組在一次活動中進(jìn)行了探究試驗(yàn)活動，請你來加入．
【探究與發(fā)現(xiàn)】
如圖1，延長△ABC的邊BC到D，使DC＝BC，過D作DE∥AB交AC延長線于點(diǎn)E，求證：△ABC≌△EDC．
【理解與應(yīng)用】
如圖2，已知在△ABC中，點(diǎn)E在邊BC上且∠CAE＝∠B，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，若AD平分∠BAE．
（1）求證：AC＝BD；
（2）若BD＝3，AD＝5，AE＝x，求x的取值范圍．
【答案】[探究與發(fā)現(xiàn)]見解析；[理解與應(yīng)用]（1）見解析；（2）1＜x＜4
【解析】
【分析】
[探究與發(fā)現(xiàn)]由ASA證明△ABC≌△EDC即可；
[理解與應(yīng)用]（1）延長AE到F，使EF=EA，連接DF，證△DEF≌△CEA（SAS），得AC=FD，再證△ABD≌△AFD（AAS），得BD=FD，即可得出結(jié)論；
（2）由全等三角形的性質(zhì)得AB=AF=2x，再由三角形的三邊關(guān)系得AD-BD＜AB＜AD+BD，即5-3＜2x＜5+3，即可求解．
【詳解】
解：[探究與發(fā)現(xiàn)]
證明：∵DE∥AB，
∴∠B=∠D，
又∵BC=DC，∠ACB=∠ECD，
∴△ABC≌△EDC（ASA）；
[理解與應(yīng)用]
（1）證明：如圖2中，延長AE到F，使EF=EA，連接DF，
∵點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，
∴ED=EC，
在△DEF與△CEA中，
，
∴△DEF≌△CEA（SAS），
∴AC=FD，
∴∠AFD=∠CAE，
∵∠CAE=∠B，
∴∠AFD=∠B，
∵AD平分∠BAE，
∴∠BAD=∠FAD，
在△ABD與△AFD中，
，
∴△ABD≌△AFD（AAS），
∴BD=FD，
∴AC=BD；
（2）解：由（1）得：AF=2AE=2x，△ABD≌△AFD，
∴AB=AF=2x，
∵BD=3，AD=5，
在△ABD中，由三角形的三邊關(guān)系得：AD-BD＜AB＜AD+BD，
即5-3＜2x＜5+3，
解得：1＜x＜4，
即x的取值范圍是1＜x＜4．
【點(diǎn)睛】
本題是三角形綜合題目，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、角平分線定義以及三角形的三邊關(guān)系等知識，本題綜合性強(qiáng)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
模型四、角平分線模型
1 角平分線常用的輔助線
【例1】（2022·全國·八年級）已知：如圖，BD為△ABC的角平分線，且BD=BC，E為BD延長線上的一點(diǎn)，BE=BA，過E作EF⊥AB，F(xiàn)為垂足，下列結(jié)論：①△ABD≌△EBC②∠BCE+∠BCD=180°③AD=AE=EC ④ BA+BC=2BF其中正確的是（ ）
A．①②③B．①③④C．①②④D．①②③④
【答案】D
【解析】
【分析】
易證，可得，AD=EC可得①②正確；再根據(jù)角平分線的性質(zhì)可求得 ，即③正確，根據(jù)③可判斷④正確；
【詳解】
∵ BD為∠ABC的角平分線，
∴ ∠ABD=∠CBD，
∴在△ABD和△EBD中，BD=BC，∠ABD=∠CDB，BE=BA，
∴△(SAS)，故①正確；
∵ BD平分∠ABC，BD=BC，BE=BA，
∴ ∠BCD=∠BDC=∠BAE=∠BEA，
∵△ABD≌△EBC，
∴∠BCE=∠BDA，
∴∠BCE+∠BCD=∠BDA+∠BDC=180°，
故②正確；
∵∠BCE=∠BDA，∠BCE=∠BCD+∠DCE，
∠BDA=∠DAE+∠BEA，∠BCD=∠BEA，
∴∠DCE=∠DAE，
∴△ACE是等腰三角形，
∴AE=EC，
∵△ABD≌△EBC，
∴AD=EC，
∴AD=AE=EC，
故③正確；
作EG⊥BC，垂足為G，如圖所示：
∵ E是BD上的點(diǎn)，∴EF=EG，
在△BEG和△BEF中
∴ △BEG≌△BEF，
∴BG=BF，
在△CEG和△AFE中
∴△CEG≌△AFE，
∴ AF=CG，
∴BA+BC=BF+FA+BG-CG=BF+BG=2BF，
故④正確；
故選：D．
【點(diǎn)睛】
本題考查了全等三角形的判定，全等三角形對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等的性質(zhì)，本題中熟練求證三角形全等和熟練運(yùn)用全等三角形對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵；
【例2】（浙江杭州·八年級期末）如圖，中，，的角平分線、相交于點(diǎn)，過作交的延長線于點(diǎn)，交于點(diǎn)，則下列結(jié)論：①；②；③；④四邊形，其中正確的個(gè)數(shù)是（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)三角形全等的判定和性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理逐一分析判斷即可．
【詳解】
解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，
∴∠CAB+∠ABC=90°
∵AD、BE分別平分∠BAC、∠ABC，
∴∠BAD=，∠ABE=
∴∠BAD+∠ABE=
∴∠APB=180°-（∠BAD+∠ABE）=135°，故①正確；
∴∠BPD=45°，
又∵PF⊥AD，
∴∠FPB=90°+45°=135°
∴∠APB=∠FPB
又∵∠ABP=∠FBP
BP=BP
∴△ABP≌△FBP（ASA）
∴∠BAP=∠BFP，AB=AB，PA=PF，故②正確；
在△APH與△FPD中
∵∠APH=∠FPD=90°
∠PAH=∠BAP=∠BFP
PA=PF
∴△APH≌△FPD（ASA），
∴AH=FD，
又∵AB=FB
∴AB=FD+BD=AH+BD，故③正確；
連接HD，ED，
∵△APH≌△FPD，△ABP≌△FBP
∴，，PH=PD，
∵∠HPD=90°，
∴∠HDP=∠DHP=45°=∠BPD
∴HD∥EP，
∴
∵

故④錯誤，
∴正確的有①②③，
故答案為：B．
【點(diǎn)睛】
本題考查了三角形全等的判定方法，判定兩個(gè)三角形全等的方法有：SSS、SAS、AAS、ASA、HL，注意AAA和SAS不能判定兩個(gè)三角形全等．
【例3】（2022·全國·八年級）如圖所示，的外角的平分線CP與的平分線相交于點(diǎn)P，若，則_______．
【答案】
【解析】
【分析】
如圖（見解析），設(shè)，從而可得，先根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可求出，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，從而可得，然后根據(jù)直角三角形全等的判定定理與性質(zhì)可得，最后根據(jù)平角的定義即可得．
【詳解】
如圖，過點(diǎn)P分別作于點(diǎn)M，于點(diǎn)N，于點(diǎn)E，
設(shè)，則，
，
，
是的平分線，
，
，
是的平分線，，，
，
同理可得：，
，
在和中，，
，
，即，
又，
，
解得，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】
本題考查了角平分線的定義與性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)、直角三角形全等的判定定理與性質(zhì)等知識點(diǎn)，通過作輔助線，利用角平分線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
【例4】（2021·山東淄博·七年級期末）已知，△ABC中，∠BAC＝120°，AD平分∠BAC，∠BDC＝60°，AB＝2，AC＝3，則AD的長是________．
【答案】5
【解析】
【分析】
過D作，，交延長線于F，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和角直角三角形的性質(zhì)即可求解．
【詳解】
過D作，，交延長線于F，
∵AD平分，，，
∴，，
∵，
，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】
此題考查了全等三角形和角平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線構(gòu)造全等三角形．
【例5】（2022·全國·八年級）已知：如圖，AC∥BD，AE、BE分別平分∠CAB和∠ABD，點(diǎn)E在CD上．用等式表示線段AB、AC、BD三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．
【答案】AC+BD=AB，理由見見解析
【解析】
【分析】
在BA上截取BF=BD，連接EF，先證得，可得到∠BFE=∠D，再由AC∥BD，可得∠AFE=∠C，從而證得，可得AF=AC，即可求解．
【詳解】
解：AC+BD=AB，證明如下：
在BA上截取BF=BD，連接EF，如圖所示：
∵AE、BE分別平分∠CAB和∠ABD，
∴∠EAF=∠EAC，∠EBF=∠EBD，
在△BEF和△BED中，
，
∴（SAS），
∴∠BFE=∠D，
∵AC∥BD，
∴∠C+∠D=180°，
∵∠AFE+∠BFE=180°，
∴∠AFE+∠D=180°，
∴∠AFE=∠C，
在△AEF和△AEC中，
，
∴（AAS），
∴AF=AC，
∵AF+BF=AB，
∴AC+BD=AB．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
模型五、全等三角形中的手拉手模型
手拉手模型是指兩個(gè)頂角相等的等腰三角形頂角頂點(diǎn)重合，左底角頂點(diǎn)互連，右底角頂點(diǎn)互連所組成的圖形。如果把等腰三角形頂角看作“頭”，左底角看作“左手”，右底角看作“右手”，則可以描述成：頭對頭，左手拉左手，右手拉右手，這也正是手拉手模型名稱的由來。
【例1】（2022·山東·寧津縣育新中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖，，，三點(diǎn)在同一直線上，，都是等邊三角形，連接，，：下列結(jié)論中正確的是（ ）
①△ACD≌△BCE；
②△CPQ是等邊三角形；
③平分；
④△BPO≌△EDO．
A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④
【答案】B
【解析】
【分析】
利用等邊三角形的性質(zhì)，三角形的全等，逐一判斷即可．
【詳解】
∵△ABC，△CDE都是等邊三角形，
∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠ECD=60°，
∴∠ACB+∠PCQ =∠ECD+∠PCQ，∠PCD=60°，
∴∠ACD =∠BCE，
∴△ACD≌△BCE，
∴①的說法是正確的；
∵△ACD≌△BCE，
∴∠PDC =∠QEC，
∵∠PCD=∠QCE=60°，CD=CE，
∴△PCD≌△QCE，
∴PC=QC，
∴△CPQ是等邊三角形；
∴②的說法是正確的；
∵△PCD≌△QCE，
∴PD=QE，，
過點(diǎn)C作CG⊥PD，垂足為G，CH⊥QE，垂足為H，
∴，
∴CG=CH，
∴平分，
∴③的說法是正確的；
無法證明△BPO≌△EDO．
∴④的說法是錯誤的；
故答案為①②③，
故選B．
【點(diǎn)睛】
本題考查了等邊三角形的性質(zhì)與判定，三角形的全等與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)定理，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，靈活進(jìn)行三角形全等的判定，活用角的平分線性質(zhì)定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．
【例2】（2021·江蘇·漣水縣紅日中學(xué)八年級階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)C是線段AE上一動點(diǎn)（不與A，E重合），在AE同側(cè)分別作等邊三角形ABC和等邊三角形CDE，AD與BE交于點(diǎn)O，AD與BC交于點(diǎn)P，BE與CD交于點(diǎn)Q，連接PQ，有以下5個(gè)結(jié)論：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°．其中一定成立的結(jié)論有（ ）個(gè)
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【解析】
【分析】
①由于△ABC和△CDE是等邊三角形，可知AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，從而證出△ACD≌△BCE，可推知AD=BE；
③由△ACD≌△BCE得∠CBE=∠DAC，加之∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，得到△ACP≌△BCQ（ASA），所以AP=BQ；故③正確；
②根據(jù)②△CQB≌△CPA（ASA），再根據(jù)∠PCQ=60°推出△PCQ為等邊三角形，又由∠PQC=∠DCE，根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行，可知②正確；
④根據(jù)∠DQE=∠ECQ+∠CEQ=60°+∠CEQ，∠CDE=60°，可知∠DQE≠∠CDE，可知④錯誤；
⑤利用等邊三角形的性質(zhì)，BC∥DE，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠CBE=∠DEO，于是∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°，可知⑤正確．
【詳解】
①∵等邊△ABC和等邊△DCE，
∴BC=AC,DE=DC=CE，∠DEC=∠BCA=∠DCE=60°，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
AC=BC，∠ACD=∠BCE，DC=CE，
∴△ACD≌△BCE(SAS)，
∴AD=BE；
故①正確；
③∵△ACD≌△BCE(已證)，
∴∠CAD=∠CBE，
∵∠ACB=∠ECD=60°(已證)，
∴∠BCQ=180°-60°×2=60°，
∴∠ACB=∠BCQ=60°，
在△ACP與△BCQ中，
∠CAD=∠CBE，AC=BC，∠ACB=∠BCQ=60°，
∴△ACP≌△BCQ(ASA)，
∴AP=BQ；
故③正確；
②∵△ACP≌△BCQ，
∴PC=QC，
∴△PCQ是等邊三角形，
∴∠CPQ=60°，
∴∠ACB=∠CPQ，
∴PQ∥AE；
故②正確；
④∵AD=BE，AP=BQ，
∴AD?AP=BE?BQ，
即DP=QE，
∠DQE=∠ECQ+∠CEQ=60°+∠CEQ，∠CDE=60°，
∴∠DQE≠∠CDE，
∴DE≠Q(mào)E，
則DP≠DE，故④錯誤；
⑤∵∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠BCD=60°，
∵等邊△DCE，
∠EDC=60°=∠BCD，
∴BC∥DE，
∴∠CBE=∠DEO，
∴∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°.
故⑤正確；
綜上所述，正確的結(jié)論有：①②③⑤，錯誤的結(jié)論只有④，
故選D．
【點(diǎn)睛】
本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，以及等邊三角形的判定和性質(zhì)，此圖形是典型的“手拉手”模型，熟練掌握此模型的特點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
【例3】（2020·江蘇·靖江市靖城中學(xué)八年級期中）如圖，點(diǎn)B、C、E在同一條直線上，與都是等邊三角形，下列結(jié)論：①AE=BD；②；③線段AE和BD所夾銳角為80°；④FG∥BE．其中正確的是______．（填序號）
【答案】①②④
【解析】
【分析】
利用等邊三角形的性質(zhì)證明可判斷①，利用，可得利用三角形的外角的性質(zhì)可得 從而可判斷③， 再結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)證明可判斷②， 由可得：，結(jié)合可得，從而可判斷④．
【詳解】
解：如圖，記與的交點(diǎn)為，
∵與都是等邊三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠BCA=∠DCE=60°
∵點(diǎn)B、C、E在同一條直線上，
∴∠ACD=60°，
∴∠BCD=∠ACE=120°
在和中，
∴，
所以結(jié)論①正確；
∵，
∴∠BDC=∠CEA，
∵∠AHB=∠DBE+∠BEA=∠DBE+∠BDC=180°∠BCD=60°， 所以③錯誤；
在和中，
，
∴，
∴所以②正確；
，
∵CG=CF，∠ACD=60°，
∴∠GFC=60，
又∵∠DCE=60°，
∴∠GFC=∠DCE，
∴GF∥BC，所以④正確．
故答案為：①②④．
【點(diǎn)睛】
本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)和判定，平行線的判定，解決本題的關(guān)鍵是找到判定三角形全等的條件．
【例4】（2020·湖南·長沙市長郡外國語實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級階段練習(xí)）如圖，C為線段AE上一動點(diǎn)（不與點(diǎn)A，E重合），在AE同側(cè)分別作等邊三角形ABC和等邊三角形CDE，AD與BE交于點(diǎn)O，AD與BC交于點(diǎn)P，BE與CD交于點(diǎn)Q，連結(jié)PQ．以下結(jié)論：①PQAE；②∠AOE＝120°；③CO平分∠BCD；④△CPQ是等邊三角形，⑤OC+BO＝AO恒成立的是_____．
【答案】①②④⑤
【解析】
【分析】
由“”可證，可得，由“”可得，利用全等三角形的性質(zhì)依次判斷可求解．
【詳解】
解：等邊和等邊，
，，，
，即 ，
在與中，
，
，
，
又，
，即，
又，
，
，
又，
為等邊三角形，故④正確；
，
，故①正確；
，
，故②正確；
如圖，在上截取，連接，
，
，， ，
，
，，
，，
又，
，
，
，，
是等邊三角形，
，
，故⑤正確；
不一定垂直，
不一定等于，
不一定等于，
不一定平分，故③錯誤；
故答案為：①②④⑤．
【點(diǎn)睛】
本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，利用了等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)，能熟練應(yīng)用相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【例5】（2022·湖南永州·八年級期末）△ACB和△DCE是共頂點(diǎn)C的兩個(gè)大小不一樣的等邊三角形．
(1)問題發(fā)現(xiàn)：
如圖1，若點(diǎn)A，D，E在同一直線上，連接AE，BE．
①求證：△ACD≌△BCE；
②求∠AEB的度數(shù)．
(2)類比探究：如圖2，點(diǎn)B、D、E在同一直線上，連接AE，AD，BE，CM為△DCE中DE邊上的高，請求∠ADB的度數(shù)及線段DB，AD，DM之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
(3)拓展延伸：如圖3，若設(shè)AD（或其延長線）與BE的所夾銳角為α，則你認(rèn)為α為多少度，并證明．
【答案】(1)①見解析；②∠AEB=60°；
(2)∠ADB=60°，2DM+BD=AD，理由見解析；
(3)α=60°，證明見解析
【解析】
【分析】
（1）①由△ACB和△DCE是等邊三角形知AC=BC，CD=CE，∠ACD=60°-∠DCB=∠BCE，據(jù)此即可得證；
②由△ACD≌△BCE知∠ADC=∠BEC=120°，結(jié)合∠CED=60°可得∠AEB=60°；
（2）證△ACD≌△BCE得∠CDA=∠CED=60°，由∠ADB+∠CDA=∠DCE+∠CED知∠ADB=60°，根據(jù)CM⊥BE，且△CDE為等邊三角形可得DE=2DM，DE+BD=BE=AD；
（3）同理知△ACD≌△BCE，據(jù)此得∠BEC=∠ADC，繼而知∠CDF+∠CEF=180°，即∠ECD+∠DFE=180°，從而得出答案．
(1)
①證明：∵△ACB和△DCE是等邊三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACD=60°-∠DCB=∠BCE，
∴△ACD≌△BCE（SAS）；
②∵△ACD≌△BCE，
∴∠ADC=∠BEC=180°-∠CDE=120°，
又∵∠CED=60°，
∴∠AEB=60°；
(2)
解：∠ADB=60°，2DM +BD=AD，理由如下；
∵AC=BC，CD=CE，∠ACD=60°+∠DCB=∠BCE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠CDA=∠CED=60°；
∵∠ADB+∠CDA=∠DCE+∠CED，
∴∠ADB=60°；
又∵CM⊥BE，且△CDE為等邊三角形，
∴DE=2DM，
∴2DM +BD=BE=AD；
(3)
解：α=60°，理由如下：
同理可證△ACD≌△BCE，
∴∠BEC=∠ADC，
∴∠CDF+∠CEF=180°，
∴∠ECD+∠DFE=180°，而α+∠DFE=180°，
∴α=∠ECD=60°．
【點(diǎn)睛】
本題是三角形的綜合問題，解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)等知識點(diǎn)．
六、全等三角形中的動態(tài)問題
【例1】★★如圖，在Rt△ABC，∠C=90°，AC=12，BC=6，一條線段PQ=AB，P、Q兩點(diǎn)分別在AC和過點(diǎn)A且垂直于AC的射線AX上運(yùn)動，要使△ABC和△QPA全等，則AP= ______ ．
【答案】6或12
【解析】①當(dāng)AP=CB時(shí)，∵∠C=∠QAP=90°，
在Rt△ABC與Rt△QPA中，，∴Rt△ABC≌Rt△QPA（HL），即；
②當(dāng)P運(yùn)動到與C點(diǎn)重合時(shí)，AP=AC，
在Rt△ABC與Rt△QPA中， ,∴Rt△QAP≌Rt△BCA（HL），即，
∴當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，△ABC才能和△APQ全等．
綜上所述，AP=6或12． 故答案為：6或12．
【點(diǎn)睛】本題考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性質(zhì)，判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．由于本題沒有說明全等三角形的對應(yīng)邊和對應(yīng)角，因此要分類討論，以免漏解．
【例2】★★★（2020·廣東省綠翠現(xiàn)代實(shí)驗(yàn)學(xué)校初二期中）如圖（1），AB=4，AC⊥AB，BD⊥AB，AC=BD=3．點(diǎn) P 在線段 AB 上以 1的速度由點(diǎn) A 向點(diǎn) B 運(yùn)動，同時(shí)，點(diǎn) Q 在線段 BD 上由點(diǎn) B 向點(diǎn) D 運(yùn)動．它們運(yùn)動的時(shí)間為 （s）．
（1）若點(diǎn) Q 的運(yùn)動速度與點(diǎn) P 的運(yùn)動速度相等，當(dāng)=1 時(shí)，△ACP 與△BPQ 是否全等，請說明理由， 并判斷此時(shí)線段 PC 和線段 PQ 的位置關(guān)系；
（2）如圖（2），將圖（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”為改“∠CAB=∠DBA=60°”，其他條件不變．設(shè)點(diǎn) Q 的運(yùn)動速度為，是否存在實(shí)數(shù)，使得△ACP 與△BPQ 全等？若存在，求出相應(yīng)的、的值；若不存在，請說明理由．
【答案】
(1)當(dāng)t=1時(shí)，AP= BQ=1, BP= AC=3,
又∠A=∠B= 90°，在△ACP和△BPQ中，，∴△ACP≌△BPQ(SAS).
∴∠ACP=∠BPQ ,∴∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP = 90°，
∴∠CPQ= 90°，即線段PC與線段PQ垂直；
(2)①若△ACP≌△BPQ，則AC= BP，AP= BQ，，解得，
②若△ACP≌△BQP，則AC= BQ，AP= BP，，解得：
綜上所述,存在或使得△ACP與△BPQ全等。
【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形全等與動點(diǎn)問題，熟練掌握三角形全等的性質(zhì)與判定定理，是解決本題的關(guān)鍵.
【亮點(diǎn)訓(xùn)練】
1．（2022·遼寧·沈陽市第一三四中學(xué)七年級階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于點(diǎn)E，AD⊥CE于點(diǎn)D，若AD=12，CD=5，則ED的長度是（ ）
A．8B．7C．6D．5
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)直角三角形的兩銳角互余及角的和差得到∠CAD=∠BCE，即可證明△CDA≌△BEC，可得CD=BE，CE=AD，根據(jù)ED=AD-CD，即可解題．
【詳解】
解：∵∠ACB=90°，BE⊥CE于點(diǎn)E，AD⊥CE于點(diǎn)D，
∴∠E=∠CDA=90°，∠ACD+∠BCE=90°，∠ACD+∠CAD=90°，
∴∠CAD=∠BCE，
在△CDA和△BEC中，，
∴△CDA≌△BEC（AAS），
∴CD=BE，CE=AD，
∵ED=CE-CD，
∴ED=AD-CD，
∵AD=12，CD=5，
∴ED=12-5=7．
故選：B．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定方法（AAS）和性質(zhì)（全等三角形的對應(yīng)邊）是解題的關(guān)鍵．
2．（2022·廣東·西南中學(xué)三模）如圖，在中，為邊上任意一點(diǎn)，按以下步驟作圖：①以點(diǎn)為圓心，以任意長為半徑作弧，分別交，于點(diǎn)，；②以點(diǎn)為圓心，以長為半徑作弧，交于點(diǎn)；③以點(diǎn)為圓心，以長為半徑作弧，在內(nèi)部交前面的弧于點(diǎn)；④作射線交于點(diǎn)若，，則（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由作圖可知，，由三角形內(nèi)角和定理求解即可．
【詳解】
解：由作圖可知，
，
∴
∴
故選：B．
【點(diǎn)睛】
本題考查基本作圖-作一個(gè)角等于已知角，三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握作一個(gè)角等于已知角的尺規(guī)作圖方法.
3．（2022·全國·八年級）如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝50°，D，F(xiàn)分別是BC，AC上的點(diǎn)，DE⊥AB，垂足為E，CF＝BE，DF＝DB，則∠ADE的度數(shù)為（ ）
A．40°B．50°C．70°D．71°
【答案】C
【解析】
【分析】
先利用三角形內(nèi)角和算出，再證明得到；再證明，得到，即可算出
【詳解】
根據(jù)題意：
在中
在和中
∴
∴
在和中
∴
∴
在中
∴
故選：C．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了全等三角形的判定及性質(zhì)，注意HL這個(gè)判定方法的使用．
4．（2022·福建·模擬預(yù)測）如圖，在正六邊形ABCDEF中，點(diǎn)G，H分別是邊BC，CD上的點(diǎn)，且，AG交BH于點(diǎn)O，則的度數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)正六邊形的性質(zhì)得到AB=BC，∠ABC=∠C=120°，由三角形全等的判定定理SAS即可證出△ABG≌△BCH；得到∠BAG=∠HBC，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和和對頂角的性質(zhì)即可得到結(jié)果．
【詳解】
∵在正六邊形ABCDEF中，
AB=BC，∠ABC=∠C=120°，
在△ABG與△BCH中
，
∴△ABG≌△BCH；
∴∠BAG=∠HBC，
∴∠BOG=∠ABG=120°，
∴∠AOH=∠BOG=120°．
故選C
【點(diǎn)睛】
本題考查了正多邊形的計(jì)算及全等三角形的判定及性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確地利用正六邊形中相等的元素．
5．（2021·湖南永州·八年級階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)在線段上，于，于．，且，，點(diǎn)以的速度沿向終點(diǎn)運(yùn)動，同時(shí)點(diǎn)以的速度從開始，在線段上往返運(yùn)動（即沿運(yùn)動），當(dāng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，，同時(shí)停止運(yùn)動．過，分別作的垂線，垂足為，．設(shè)運(yùn)動時(shí)間為，當(dāng)以，，為頂點(diǎn)的三角形與全等時(shí)，的值為（ ）
A．1或3B．1或
C．1或或D．1或或5
【答案】C
【解析】
【分析】
分三種情況討論，①當(dāng)點(diǎn)P在AC上，點(diǎn)Q在CE上時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)P在AC上，點(diǎn)Q第一次從點(diǎn)C返回時(shí)，③當(dāng)點(diǎn)P在CE上，點(diǎn)Q第一次從E點(diǎn)返回時(shí)，由全等三角形的判定和性質(zhì)可求解．
【詳解】
解：當(dāng)點(diǎn)P在AC上，點(diǎn)Q在CE上時(shí)，
∵以P，C，M為頂點(diǎn)的三角形與△QCN全等，
∴PC＝CQ，
∴5?2t＝6?3t，
∴t＝1，
當(dāng)點(diǎn)P在AC上，點(diǎn)Q第一次從點(diǎn)C返回時(shí)，
∵以P，C，M為頂點(diǎn)的三角形與△QCN全等，
∴PC＝CQ，
∴5?2t＝3t?6，
∴t＝，
當(dāng)點(diǎn)P在CE上，點(diǎn)Q第一次從E點(diǎn)返回時(shí)，
∵以P，C，M為頂點(diǎn)的三角形與△QCN全等，
∴PC＝CQ，
∴2t?5＝18?3t，
∴t＝
綜上所述：t的值為1或或或
故選：C．
【點(diǎn)睛】
本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．
6．（2022·山東東營·七年級期末）如圖，BE交AC于點(diǎn)M，交CF于點(diǎn)D，AB交CF于點(diǎn)N，，給出的下列五個(gè)結(jié)論中正確結(jié)論的序號為 ．
①；②；③；④；⑤．
【答案】①；②；③；⑤
【解析】
【分析】
①先證明△ABE≌△ACF，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可判定；②利用全等三角形的性質(zhì)即可判定；③根據(jù)ASA即可證明三角形全等；④無法證明該結(jié)論；⑤根據(jù)ASA證明三角形全等即可．
【詳解】
解：在△ABE和△ACF中，
，
∴△ABE≌△ACF（AAS），
∴∠BAE=∠CAF，BE=CF，故②正確，
∴∠BAE-∠BAC=∠CAF-∠BAC，即∠1=∠2，故①正確，
∵△ABE≌△ACF，
∴AB=AC，
在△CAN和△BAM中，
，
∴△CAN≌△BAM（ASA），故③正確，
CD=DN不能證明成立，故④錯誤
在△AFN和△AEM中
，
∴△AFN≌△AEM（ASA），故⑤正確．
結(jié)論中正確結(jié)論的序號為①；②；③；⑤．
故答案為①；②；③；⑤．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形全等的條件．
7．（2022·山東東營·七年級期末）如圖，在中，已知AD是平分線，于點(diǎn)E，，則點(diǎn)D到AB的最短距離是_________．
【答案】2
【解析】
【分析】
過點(diǎn)D作DF⊥AB于F，先證△FAD≌△EAD（AAS），得出DF=DE，再利用三角形面積S△ABC=S△ABD+S△ACD求解即可．
【詳解】
解：過點(diǎn)D作DF⊥AB于F，
∵AD平分∠BAC，
∴∠FAD=∠EAD，
∵DF⊥AB，，
∴∠DFA=∠DEA=90°，
在△FAD和△EAD中
，
∴△FAD≌△EAD（AAS）
∴DF=DE，
∵S△ABC=S△ABD+S△ACD=，
∴DF=2．
故答案為2．
【點(diǎn)睛】
本題考查角平分線定義，三角形全等判定與性質(zhì)，三角形面積，掌握角平分線定義，三角形全等判定與性質(zhì)，三角形面積是解題關(guān)鍵．
8．（2022·山東聊城·八年級期末）如圖，在四邊形中，，，，點(diǎn)在線段上以的速度由點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動，同時(shí)，點(diǎn)在線段上由點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為，當(dāng)與以，，為頂點(diǎn)的三角形全等時(shí)，點(diǎn)的運(yùn)動速度為______．
【答案】1或
【解析】
【分析】
設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動速度為，由題意可得，與以，，為頂點(diǎn)的三角形全等時(shí)分為兩種情況：，再利用全等三角形的性質(zhì)求解即可．
【詳解】
解：設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動速度為，
由題意可得，
∵
∴與以，，為頂點(diǎn)的三角形全等時(shí)可分為兩種情況：
①當(dāng)時(shí)，
∴，
∴
∴
∴此時(shí)點(diǎn)的運(yùn)動速度為；
②當(dāng)時(shí)，
，
∴，
∴，
此時(shí)點(diǎn)的運(yùn)動速度為，
故答案為：1或．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查三角形全等的性質(zhì)，掌握全等三角形的對應(yīng)邊相等是解題的關(guān)鍵，注意分情況討論．
9．（2022·廣東·深圳市高級中學(xué)八年級期末）如圖，把兩塊大小相同的含45°的三角板ACF和三角板CFB如圖所示擺放，點(diǎn)D在邊AC上，點(diǎn)E在邊BC上，且∠CFE＝13°，∠CFD＝32°，則∠DEC的度數(shù)為_______．
【答案】
【解析】
【分析】
作FH垂直于FE，交AC于點(diǎn)H，可證得，由對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等可得出，進(jìn)而可求出，則．
【詳解】
作FH垂直于FE，交AC于點(diǎn)H，
∵
又∵，
∴
∵，F(xiàn)A=CF
∴
∴FH=FE
∵
∵
∴
又∵DF=DF
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
故答案為：．
【點(diǎn)睛】
本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定及其性質(zhì)，作輔助線HF垂直于FE是解題的關(guān)鍵．
10．（2021·全國·八年級期中）如圖，在四邊形ABCD中，AD＝AB，DC＝BC，∠DAB＝60°，∠DCB＝120°，E在AD上，F(xiàn)是AB延長線上一點(diǎn)，且DE＝BF，若G在AB上，且∠ECG＝60°，則DE、EG、BG之間的數(shù)量關(guān)系是_____．
【答案】DE+BG＝EG
【解析】
【分析】
連接，利用全等三角形的判定和性質(zhì)，求解即可．
【詳解】
解：猜想DE、EG、BG之間的數(shù)量關(guān)系為：DE+BG＝EG．理由如下：
連接AC，如圖所示，
在△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴
又∵∠ECG＝60°，
∴∠DCE＝∠ACG，∠ACE＝∠BCG，
∵∠D+∠DAB+∠ABC+∠DCB＝360°，∠DAB＝60°，∠DCB＝120°，
∴∠D+∠ABC＝360°﹣60°﹣120°＝180°，
又∵∠CBF+∠ABC＝180°，
∴∠D＝∠CBF，
在△CDE和△CBF中，
，
∴△CDE≌△CBF（SAS），
∴CE＝CF，∠DCE＝∠BCF，
∴∠BCG+∠BCF＝∠ACE+∠DCE＝60°，即∠FCG＝60°，
∴∠ECG＝∠FCG，
在△CEG和△CFG中，
，
∴△CEG≌△CFG（SAS），
∴EG＝FG，
又∵DE＝BF，F(xiàn)G＝BF+BG，
∴DE+BG＝EG
故答案為：DE+BG＝EG
【點(diǎn)睛】
此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定方法與性質(zhì)．
11．（2022·全國·八年級）如圖，△ABC中，D為BC的中點(diǎn)，
(1)在圖中作出CM⊥AD，BN⊥AD，垂足分別為M、N；
(2)求證：DM＝DN；
(3)求AD＝3，求AM＋AN的值．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3)6
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)條件結(jié)合作垂線的方法作出圖形，即可得；
（2）由題意得BD＝CD，根據(jù)CM⊥AD，BN⊥AD得∠BND＝∠CMD＝90°，用AAS證明△BND≌△CMD即可得；
（3）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得DM＝DN，利用線段的和與差得AM+AN＝AD+DM+AD﹣ND和DM＝DN，即可得．
(1)
解：如圖所示，
(2)
解：∵D為BC的中點(diǎn)，
∴BD＝CD，
∵CM⊥AD，BN⊥AD，
∴∠BND＝∠CMD＝90°，
在△BND和△CMD中，

∴△BND≌△CMD（AAS），
∴DN＝DM．
(3)
解：∵△BND≌△CMD，
∴DM＝DN，
∵AM＝AD+DM，AN＝AD﹣ND，
∴AM+AN＝AD+DM+AD﹣ND，
∵DM＝DN，
∴AM+AN＝2AD＝6．
【點(diǎn)睛】
本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形判定與性質(zhì)．
12．（2022·安徽·合肥壽春中學(xué)八年級期末）如圖，已知AD是△ABC的邊BC上的高，點(diǎn)E為AD上一點(diǎn)，且，．
(1)證明
(2)若，，求△ABC的面積．
【答案】(1)證明過程見詳解
(2)24
【解析】
【分析】
（1）延長BE交AC于F點(diǎn)，證明Rt△BDE≌Rt△ADC(HL)即可得證；
（2）根據(jù)Rt△BDE≌Rt△ADC(HL)可得BD=AD，即有AD=AE+DE，BC=BD+DC，結(jié)合AD⊥BC即可求解．
(1)
延長BE交AC于F點(diǎn)，如圖，
根據(jù)題意有AD⊥BC，
∴∠BDE=∠ADC=90°，
∵BE=AC，DE=DC，
∴Rt△BDE≌Rt△ADC(HL)，
∴BD=AD，∠DBE=∠DAC，
∵∠C+∠DAC=∠ADC=90°，
∴∠DBE+∠C=90°，
∴∠BFC=90°，
∴BE⊥AC；
(2)
∵Rt△BDE≌Rt△ADC(HL)，
∴BD=AD，
∵AE=4，CD=2，
∴AD=AE+DE=AE+CD=4+2=6，
∴BD=AD=6，
∴BC=BD+CD=6+2=8，
∴△ABC的面積為：．
【點(diǎn)睛】
本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的面積、直角三角形中兩銳角互余等知識，證得Rt△BDE≌Rt△ADC(HL)是解答本題的關(guān)鍵．
13．（2022·全國·八年級）如圖，，，，連接，過點(diǎn)作于，過點(diǎn)作于．
(1)若，求的度數(shù)；
(2)請直接寫出線段、、三者間的數(shù)量關(guān)系．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）證明，可得，由可求出的度數(shù)；
（2）由可得，，則由通過等量代換可得結(jié)論．
(1)
證明：∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
在和中，
∴，
∴，
∵，，
∴．
∴的度數(shù)為．
(2)
解：．理由如下：
∵，
∴，，
∴，
即．
【點(diǎn)睛】
本題考查了平行線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識．解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)．
14．（2022·遼寧·沈陽市第一三四中學(xué)七年級階段練習(xí)）回答問題
（1）【初步探索】如圖1：在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B=∠ADC=90°，E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，且EF=BE+FD，探究圖中∠BAE、∠FAD、∠EAF之間的數(shù)量關(guān)系．
小王同學(xué)探究此問題的方法是：延長FD到點(diǎn)G，使DG=BE．連接AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是_______________；
（2）【靈活運(yùn)用】如圖2，若在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，且EF=BE+FD，上述結(jié)論是否仍然成立，并說明理由；
（3）【拓展延伸】知在四邊形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=AD，若點(diǎn)E在CB的延長線上，點(diǎn)F在CD的延長線上，如圖3所示，仍然滿足EF=BE+FD，請直接寫出∠EAF與∠DAB的數(shù)量關(guān)系．
【答案】（1）∠BAE+∠FAD=∠EAF；（2）仍成立，理由見解析；（3）∠EAF=180°-∠DAB
【解析】
【分析】
（1）延長FD到點(diǎn)G，使DG=BE，連接AG，可判定△ABE≌△ADG，進(jìn)而得出∠BAE=∠DAG，AE=AG，再判定△AEF≌△AGF，可得出∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF，據(jù)此得出結(jié)論；
（2）延長FD到點(diǎn)G，使DG=BE，連接AG，先判定△ABE≌△ADG，進(jìn)而得出∠BAE=∠DAG，AE=AG，再判定△AEF≌△AGF，可得出∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF；
（3）在DC延長線上取一點(diǎn)G，使得DG=BE，連接AG，先判定△ADG≌△ABE，再判定△AEF≌△AGF，得出∠FAE=∠FAG，最后根據(jù)∠FAE+∠FAG+∠GAE=360°，推導(dǎo)得到2∠FAE+∠DAB=360°，即可得出結(jié)論．
【詳解】
解：（1）∠BAE+∠FAD=∠EAF．理由：
如圖1，延長FD到點(diǎn)G，使DG=BE，連接AG，
∵∠B=∠ADF=90°，∠ADG=∠ADF=90°，
∴∠B=∠ADG=90°，
又∵AB=AD，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴∠BAE=∠DAG，AE=AG，
∵EF=BE+FD=DG+FD=GF，AF=AF，
∴△AEF≌△AGF（SSS），
∴∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF；
故答案為：∠BAE+∠FAD=∠EAF；
（2）仍成立，理由：
如圖2，延長FD到點(diǎn)G，使DG=BE，連接AG，
∵∠B+∠ADF=180°，∠ADG+∠ADF=180°，
∴∠B=∠ADG，
又∵AB=AD，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴∠BAE=∠DAG，AE=AG，
∵EF=BE+FD=DG+FD=GF，AF=AF，
∴△AEF≌△AGF（SSS），
∴∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF；
（3）∠EAF=180°-∠DAB．
證明：如圖3，在DC延長線上取一點(diǎn)G，使得DG=BE，連接AG，
∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠ABE=180°，
∴∠ADC=∠ABE，
又∵AB=AD，
∴△ADG≌△ABE（SAS），
∴AG=AE，∠DAG=∠BAE，
∵EF=BE+FD=DG+FD=GF，AF=AF，
∴△AEF≌△AGF（SSS），
∴∠FAE=∠FAG，
∵∠FAE+∠FAG+∠GAE=360°，
∴2∠FAE+（∠GAB+∠BAE）=360°，
∴2∠FAE+（∠GAB+∠DAG）=360°，
即2∠FAE+∠DAB=360°，
∴∠EAF=180°-∠DAB．
【點(diǎn)睛】
本題屬于三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造全等三角形，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)角相等進(jìn)行推導(dǎo)變形．解題時(shí)注意：同角的補(bǔ)角相等．
15．（2022·云南·景谷傣族彝族自治縣教育體育局教研室八年級期末）如圖1，點(diǎn)P，Q分別是等邊邊AB，BC上的動點(diǎn)，點(diǎn)P從頂點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動，點(diǎn)Q從頂點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，且它們的速度都相同．
(1)連接AQ，CP交于點(diǎn)M則在P、Q運(yùn)動的過程中，的大小發(fā)生變化嗎？若變化，則說明理由，若不變，則求出它的度數(shù)；
(2)如圖2，若點(diǎn)P、Q在運(yùn)動到終點(diǎn)后繼續(xù)在射線AB，BC上運(yùn)動，直線AQ、CP交點(diǎn)為M，則的大小發(fā)生變化嗎？若變化，則說明理由，若不變，則求出它的度數(shù)．
【答案】(1)不變；
(2)不變；
【解析】
【分析】
（1）通過證明得到，再利用三角形外角的性質(zhì)即可求解；
（2）同樣通過證明得到，再利用三角形外角的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．
(1)
解：（1）點(diǎn)、在運(yùn)動的過程中，不變.
∵是等邊三角形，
∴，，
又∵點(diǎn)、運(yùn)動速度相同，
∴，且，，
∴，
∴.
∵，
∴
(2)
點(diǎn)、在運(yùn)動的過程中，不變.
由（1）可知：，
∴，
∵，
∴，
∴點(diǎn)、在運(yùn)動的過程中，不變．
【點(diǎn)睛】
本題考查了動點(diǎn)問題，涉及到了三角形全等的判定與性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和是180°等知識，解題關(guān)鍵是正確找到全等三角形．
【培優(yōu)檢測】
1．（2021·上海市徐匯中學(xué)八年級期中）如圖，若 AC、BD、EF兩兩互相平分于點(diǎn)O，那么圖中的全等三角形共有（ ）
A．3對B．4對C．5對D．6對
【答案】D
【解析】
【分析】
根據(jù)AC、BD、EF兩兩互相平分于點(diǎn)O，則有OE＝OF，OA＝OC，OB＝OD；圖中的對頂角有∠AOB與∠DOC，∠AOE與∠COF，∠BOF與∠DOE，∠AOD與∠BOC；根據(jù)兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩三角形全等（SAS）可得△AOB≌△DOC；△AOE≌△COF；再利用前面所證全等三角形，易證四邊形ABCD是平行四邊形，故△BOF≌△DOE；△AOD≌△BOC．
【詳解】
解：∵AC、BD、EF兩兩互相平分于點(diǎn)O
∴OE＝OF，OA＝OC，OB＝OD；
∵∠AOB=∠DOC，∠AOE=∠COF，∠BOF=∠DOE，∠AOD=∠BOC；
∴△AOB≌△DOC（SAS）
△AOE≌△COF（SAS）
∵OA＝OC，OB＝OD；
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
∴ AD∥BC， AD=BC
∴∠EDO=∠FBO， △AOD≌△BOC
∴△BOF≌△DOE
故圖中所有的全等三角形有6對，分別是△AOB≌△DOC；△AOE≌△COF；△BOF≌△DOE；△AOD≌△BOC；△ABD≌△CDB；△ABC≌△CDA．
故選：D
【點(diǎn)睛】
本題考查了全等三角形的判定；找尋全等三角形時(shí)要從最明顯的開始，由易到難，不重不漏．
2．（2022·全國·八年級）如圖，AE⊥AB且，BC⊥CD且，請按照圖中所標(biāo)注的數(shù)據(jù)，計(jì)算圖中實(shí)線所圍成的圖形的面積是（ ）
A．30B．32C．35D．38
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)角的和差關(guān)系可得∠AEF=∠BAG，利用AAS可證明△AEF≌△BAG，可得AF=BG，EF=AG，同理可證明△CDH≌△BCG，可得CH=BG，CG=DH，即可得出FH、AC的長，根據(jù)實(shí)線所圍成的圖形的面積=S梯形EFHD-2S△ABC，利用梯形和三角形面積公式即可得答案．
【詳解】
∵AE⊥AB，EF⊥FH，
∴∠AEF+∠EAF=90°，∠BAG+∠EAF=90°，
∴∠AEF=∠BAG，
在△AEF和△BAG中，，
∴△AEF≌△BAG，
∴AF=BG=2，EF=AG=5，
同理可得：△CDH≌△BCG，
∴CH=BG=2，CG=DH=3，
∴FH=AF+AG+CG+CH=12，AC=AG+CG=8，
∴實(shí)線所圍成的圖形的面積=S梯形EFHD-2S△ABC==32．
故選：B．
【點(diǎn)睛】
本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形判定定理是解題的關(guān)鍵．
3．（2021·重慶·八年級期中）羅同學(xué)學(xué)習(xí)了全等三角形后，利用全等三角形繪制出了下面系列圖案，第（1）個(gè)圖案由2個(gè)全等三角形組成，第（2）個(gè)圖案由4個(gè)全等三角形組成，第（3）個(gè)圖案由7個(gè)全等三角形組成，第（4）個(gè)圖案由12個(gè)全等三角形組成，則第（6）個(gè)圖案中全等三角形的個(gè)數(shù)為（ ）
A．25B．38C．70D．135
【答案】B
【解析】
【分析】
仔細(xì)觀察圖形，發(fā)現(xiàn)第個(gè)圖形有個(gè)三角形，根據(jù)規(guī)律求解即可．
【詳解】
解：觀察發(fā)現(xiàn)：
第一個(gè)圖形有個(gè)全等三角形；
第二個(gè)圖形有個(gè)全等三角形；
第三個(gè)圖形有個(gè)全等三角形；
第四個(gè)圖形有個(gè)全等三角形；
第個(gè)圖形有個(gè)全等三角形；
當(dāng)時(shí)，（個(gè)．
故選：B．
【點(diǎn)睛】
本題考查了全等的定義，圖形類規(guī)律題，正確找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵．對于找規(guī)律的題目首先應(yīng)找出哪些部分發(fā)生了變化，按照什么規(guī)律變化的．
4．（2021·山東煙臺·七年級期中）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，∠DAB與∠ADC的平分線相交于BC邊上的M點(diǎn)，則下列結(jié)論：①∠AMD＝90°；②點(diǎn)M為BC的中點(diǎn)；③AB+CD＝AD；④△ADM的面積是梯形ABCD面積的一半．其中正確的個(gè)數(shù)有（ ）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【答案】D
【解析】
【分析】
過M作ME⊥AD于E，由角平分線的性質(zhì)得出∠MDE=∠CDA，∠MAD=∠BAD，求出∠MDA+∠MAD=（∠CDA+∠BAD）=90°，由三角形內(nèi)角和定理求出∠AMD，即可判斷①；由角平分線的性質(zhì)求出MC=ME，ME=MB，即可判斷②；由Rt△DCM≌Rt△DEM（HL），得出CD=DE，由Rt△ABM≌Rt△AEM（HL），得出AB=AE，即可判斷③；由全等三角形推出S△DEM=S△DCM，S△AEM=S△ABM，即可判斷④．
【詳解】
解：過M作ME⊥AD于E，如圖所示：
∵∠DAB與∠ADC的平分線相交于BC邊上的M點(diǎn)，
∴∠MDE=∠CDA，∠MAD=∠BAD，
∵DC∥AB，
∴∠CDA+∠BAD=180°，
∴∠MDA+∠MAD=（∠CDA+∠BAD）=×180°=90°，
∴∠AMD=180°-90°=90°，故①正確；
∵AB∥CD，∠B=90°，
∴MC⊥DC，
∵DM平分∠CDE，ME⊥DA，
∴MC=ME，
同理ME=MB，
∴MC=MB=ME，
∴點(diǎn)M為BC的中點(diǎn)，故②正確；
在Rt△DCM和Rt△DEM中，
，
∴Rt△DCM≌Rt△DEM（HL），
∴CD=DE，
同理：Rt△ABM≌Rt△AEM（HL），
∴AB=AE，
∴AB+CD=AE+DE=AD，故③正確；
∵Rt△DCM≌Rt△DEM，Rt△ABM≌Rt△AEM，
∴S△DEM=S△DCM，S△AEM=S△ABM，
∴S△ADM=S梯形ABCD，故④正確；
故選：D．
【點(diǎn)睛】
本題考查了角平分線的性質(zhì)、平行線性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、全等三角形的性質(zhì)和判定等知識；熟練掌握角平分線的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
5．（2020·北京市京源學(xué)校八年級期中）如圖所示,在中，，AD平分，于點(diǎn)E，則下列結(jié)論：①DA平分；②∠=∠；③DE平分∠；④．其中正確的有（ ）
A．①②B．①④C．③④D．①②④
【答案】D
【解析】
【分析】
根據(jù)題中條件，結(jié)合圖形及角平分線的性質(zhì)得到結(jié)論，與各選項(xiàng)進(jìn)行比對，排除錯誤答案，選出正確的結(jié)果．
【詳解】
∵AD平分∠BAC
∴∠DAC=∠DAE
∵∠C=90°，DE⊥AB
∴∠C=∠E=90°
∵AD=AD
∴△DAC≌△DAE
∴∠CDA=∠EDA
∴①AD平分∠CDE正確；
無法證明∠BDE=60°，
∴③DE平分∠ADB錯誤；
∵BE+AE=AB，AE=AC
∴BE+AC=AB
∴④BE+AC=AB正確；
∵∠BDE=90°-∠B，∠BAC=90°-∠B
∴∠BDE=∠BAC
∴②∠BAC=∠BDE正確．
故選D．
【點(diǎn)睛】
考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是靈活運(yùn)用角平分線的性質(zhì)進(jìn)行分析．
6．（2022·山東煙臺·七年級期末）如圖，，，F(xiàn)為AB上一點(diǎn)，連接CF，，，垂足分別是點(diǎn)E，D．若，，則DE的長為______cm．

【答案】3
【解析】
【分析】
根據(jù)AAS證明△AEC≌△CDB，得到CD＝AE＝5cm，CE＝BD＝2cm，即可得出ED＝3cm．
【詳解】
解：∵AE⊥CF，BD⊥CF，
∴∠AEC＝∠CDB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACE＋∠BCD＝∠CAE＋∠ACE＝90°，
∴∠CAE＝∠BCD，
在△AEC和△CDB中，
∴△AEC≌△CDB（AAS），
∴CD＝AE＝5cm，CE＝BD＝2cm，
∴ED＝CD?CE＝5?2＝3（cm），
故答案為：3．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)．證得三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．
7．（2022·遼寧撫順·八年級期末）如圖，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＜OC，∠AOB＝∠COD＝50°，連接AC、BD交于點(diǎn)M，連接OM．下列結(jié)論：①AC＝BD，②∠AMB＝50°；③OM平分∠AOD；④MO平分∠AMD．其中正確的結(jié)論是 _____．（填序號）
【答案】①②④
【解析】
【分析】
由證明得出，，①正確；
由全等三角形的性質(zhì)得出，由三角形的外角性質(zhì)得：，得出，②正確；
作于，于，如圖所示：則，利用全等三角形對應(yīng)邊上的高相等，得出，由角平分線的判定方法得出平分，④正確；
假設(shè)平分，則，由全等三角形的判定定理可得，得，而，所以，而，故③錯誤；即可得出結(jié)論．
【詳解】
解：，
，
即，
在和中，
，
，
，，故①正確；
，
由三角形的外角性質(zhì)得：
，
，故②正確；
作于，于，如圖所示，
則，
，
，
平分，故④正確；
假設(shè)平分，則，
在與中，
，
，
，
，
，
而，故③錯誤；
所以其中正確的結(jié)論是①②④．
故答案為：①②④．
【點(diǎn)睛】
本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)、角平分線的判定等知識；證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．
8．（2021·安徽合肥·八年級階段練習(xí)）如圖，AE與BD相交于點(diǎn)C，AC＝EC，BC＝DC，AB＝5cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿A→B方向以2cm/s的速度運(yùn)動，點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā)，沿D→E方向以1cm/s的速度運(yùn)動，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)．當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動時(shí)間為t（s）．
（1）AP的長為 ___cm．（用含t的代數(shù)式表示）
（2）連接PQ，當(dāng)線段PQ經(jīng)過點(diǎn)C時(shí)，t＝___s．
【答案】 2t ##
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)路程=速度×?xí)r間求解即可；
（2）根據(jù)全等三角形在判定證明△ACB≌△ECD可得AB=DE，∠A=∠E，當(dāng)PQ經(jīng)過點(diǎn)C時(shí)，可證得△ACP≌△ECQ，則有AP=EQ，進(jìn)而可得出t的方程，解方程即可．
【詳解】
解：（1）由題意知：AP=2t，0＜t≤，
故答案為：2t；
（2）∵AC＝EC，∠ACB＝∠ECD，BC＝DC，
∴△ACB≌△ECD（SAS），
∴DE=AB=5cm，∠A＝∠E，
當(dāng)PQ經(jīng)過點(diǎn)C時(shí)，∵∠A＝∠E，AC＝EC，∠ACP＝∠ECQ，
∴△ACP≌△ECQ（ASA），
∴AP=EQ，
又∵AP=2t，DQ=t，
∴2t=5－t，
解得：t=，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】
本題考查全等三角形的應(yīng)用，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．
9．（2021·全國·八年級單元測試）如圖，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，△ABC的角平分線AD，BE相交于點(diǎn)P，過點(diǎn)P作PF⊥AD交BC的延長線于點(diǎn)F，交AC于點(diǎn)H，則下列結(jié)論：①∠APB＝135°；②BF＝BA；③PH＝PD；④連接CP，CP平分∠ACB．其中正確結(jié)論的序號是______．
【答案】①②③④
【解析】
【分析】
根據(jù)三角形內(nèi)角和定理以及角平分線定義判斷①；根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)判斷②③；根據(jù)角平分線的判定與性質(zhì)判斷④．
【詳解】
解：在中，
，
，
又、分別平分、
，
，故①正確．
，
又，
，
，
又，，
，
，，，故②正確．
在和中，
，，，
，
，故③正確．
的角平分線、相交于點(diǎn)，
點(diǎn)到、的距離相等，點(diǎn)到、的距離相等，
點(diǎn)到、的距離相等，
點(diǎn)在的平分線上，
平分，故④正確．
故答案為：①②③④．
【點(diǎn)睛】
本題考查了角平分線的判定與性質(zhì)，三角形全等的判定方法，三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)性質(zhì)．
10．（廣東·深圳市高級中學(xué)七年級期中）如圖，在中，，，，為邊上的高，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)在直線上以的速度移動，過點(diǎn)作的垂線交直線于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動_________時(shí)，．
【答案】2或5
【解析】
【分析】
分析E在射線BC上移動和點(diǎn)E在射線CB上移動兩種情況進(jìn)行討論再結(jié)合全等三角形的判定與性質(zhì)計(jì)算即可得出答案．
【詳解】
如圖，當(dāng)E在射線BC上移動時(shí)，CF=AB
∵∠A+∠ACD=90°，∠BCD+∠ACD=90°
∴∠A=∠BCD
又∵∠ECF=∠BCD
∴∠A=∠ECF
在△CFE與△ABC中
∴△CFE≌△ABC
∴CE=AC=7cm
∴BE=BC+CE=10cm
10÷2=5(s)
當(dāng)點(diǎn)E在射線CB上移動時(shí)，CF=AB
在△與△ABC中
∴△≌△ABC
∴=AC=7cm
∴=4cm
4÷2=2(s)
綜上所知，當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動5s或2s時(shí)，CF=AB
故答案為5或2．
【點(diǎn)睛】
本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)已知條件構(gòu)造全等三角形是解決本題的關(guān)鍵．
11．（2022·上海·八年級期末）在等腰△OAB和等腰△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，連接AC、BD交于點(diǎn)M．
(1)如圖1，若∠AOB＝∠COD＝40°：
①AC與BD的數(shù)量關(guān)系為 ；
②∠AMB的度數(shù)為 ．
(2)如圖2，若∠AOB＝∠COD＝90°：
①判斷AC與BD之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由；
②求∠AMB的度數(shù)．
【答案】(1)①AC＝BD，②40°；
(2)①AC＝BD，理由見解析；②90°
【解析】
【分析】
（1）①由∠AOB＝∠COD可得∠BOD＝∠AOC，再由△ODB≌△OCA即可得AC＝BD；②由△ODB≌△OCA可得∠OBD＝∠OAC，于是∠OAB+∠OBA＝∠OAB+∠ABD+∠OAC，再由三角形內(nèi)角和定理即可解答；
（2）①由∠AOB＝∠COD可得∠BOD＝∠AOC，再由△ODB≌△OCA即可得BD＝AC；②由△ODB≌△OCA可得∠OBD＝∠OAC，于是∠OAB+∠OBA＝∠OAB+∠ABD+∠OAC，再由三角形內(nèi)角和定理即可解答.
(1)
解：①∵∠AOB＝∠COD，
∴∠AOB+∠AOD＝∠COD+∠AOD，
∴∠BOD＝∠AOC，
在△ODB和△OCA中：OD=OC，∠DOB=∠COA，OB=OA，
∴△ODB≌△OCA（SAS），
∴AC＝BD，
故答案是：AC＝BD，
②∵△ODB≌△OCA，
∴∠OBD＝∠OAC，
∵∠AOB＝40°，
∴∠OAB+∠OBA＝180°﹣∠AOB＝140°，
又∵∠OAB+∠OBA＝∠OAB+∠ABD+∠OBD，
∴∠OAB+∠OBA＝∠OAB+∠ABD+∠OAC＝140°，
∴∠MAB+∠ABM＝140°，
∵在△ABM中，∠AMB+∠MAB+∠ABM＝180°，
∴∠AMB＝40°，
故答案是：40°；
(2)
解：①∵∠AOB＝∠COD，
∴∠AOB+∠AOD＝∠COD+∠AOD，
∴∠BOD＝∠AOC，
在△ODB和△OCA中：OD=OC，∠DOB=∠COA，OB=OA，
∴△ODB≌△OCA（SAS），
∴AC＝BD；
②∵△ODB≌△OCA，
∴∠OBD＝∠OAC，
∵∠AOB＝90°，
∴∠OAB+∠OBA＝90°，
又∵∠OAB+∠OBA＝∠OAB+∠ABD+∠OBD，
∴∠OAB+∠OBA＝∠OAB+∠ABD+∠OAC＝90°，
∴∠MAB+∠ABM＝90°，
∵在△ABM中，∠AMB+∠MAB+∠ABM＝180°，
∴∠AMB＝90°．
【點(diǎn)睛】
本題考查了全等三角形判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理；熟練掌握全等三角形判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
12．（2022·上?！て吣昙墝ｎ}練習(xí)）閱讀：
如圖，已知在△ABC和△A′B′C′中，AB＝A′B′，∠A＝∠A′，AC＝A′C′．那么△ABC≌△A′B′C′．
說明過程如下：
把△ABC放到△A′B′C′上，使∠A的頂點(diǎn)與∠A′的頂點(diǎn)重合；由于∠A＝∠A′，因此可以使射線AB、AC分別落在射線A′B′、A′C′上．因?yàn)锳B＝A′B′，AC＝A′C′，所以點(diǎn)B、C分別與點(diǎn)B′、C′重合，這樣△ABC和△A′B′C′重合，即△ABC≌△A′B′C′．
于是，得全等三角形判定方法1：在兩個(gè)三角形中，如果有兩條邊及它們的夾角對應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形全等（簡記為SAS）．
請完成下面問題的填空：
如圖，已知在△ABC和△A′B′C′中，∠A＝∠A′，AB＝A′B′，∠B＝∠B′．
那么△ABC≌△A′B′C′．
說明過程如下：
把△ABC放到△A′B′C′上，因?yàn)锳B＝A′B′，可以使 與 重合，并使點(diǎn)C與C′在AB（A′B′）的同一側(cè)，這時(shí)點(diǎn)A與點(diǎn)A′重合，點(diǎn) 與點(diǎn) 重合．由于∠A＝∠A′，因此射線 與射線 疊合；由于
∠B＝∠B′，因此射線 與射線 疊合．于是點(diǎn)C（射線AC與BC的交點(diǎn)）與點(diǎn)C′（射線A′C′與B′C′的交點(diǎn)）重合．這樣 與 重合，即△ABC≌△A′B′C′．
于是，得全等三角形判定方法2：在兩個(gè)三角形中， ．
【答案】AB；A′B′；C；C′；AC；A′C′；BC；B′C′；△ABC；△A′B′C′；如果兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形全等（簡記為ASA）
【解析】
【分析】
根據(jù)題目提供的信息，結(jié)合圖形找準(zhǔn)對應(yīng)邊與對應(yīng)角，然后填空即可．
【詳解】
解：把△ABC放到△A′B′C′上，
因?yàn)锳B＝A′B′，
可以使AB與A′B′重合，并使點(diǎn)C與C′在AB（A′B′）的同一側(cè)，這時(shí)點(diǎn)A與點(diǎn)A′重合，
點(diǎn)B與點(diǎn)B′重合．
由于∠A＝∠A′，因此射線AC與射線A′C′疊合；
由于∠B＝∠B′，因此射線BC與射線B′C′疊合．
于是點(diǎn)C（射線AC與BC的交點(diǎn)）與點(diǎn)C′（射線A′C′與B′C′的交點(diǎn)）重合．
這樣△ABC與△A′B′C′重合，即△ABC≌△A′B′C′．
于是，得全等三角形判定方法2：在兩個(gè)三角形中，如果兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形全等（簡記為ASA）．
故答案為：AB；A′B′；C；C′；AC；A′C′；BC；B′C′；△ABC；△A′B′C′；如果兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形全等（簡記為ASA）．
【點(diǎn)睛】
本題考查了全等三角形的判定，讀懂題目信息，理清證明方法是解題的關(guān)鍵．
13．（2022·甘肅蘭州·一模）如圖，BD平分∠ABC，點(diǎn)E在BD上．從下面①②③中選取兩個(gè)作為已知條件，另一個(gè)作為結(jié)論，構(gòu)成一個(gè)命題，判斷該命題真假并說明理由．
①；②；③．
你選擇的已知條件是______，結(jié)論是______（填寫序號）；該命題為______（填“真”或“假”）命題．
注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分．
【答案】①②，③，真，理由見解析．
【解析】
【分析】
以①②為條件，③為結(jié)論，結(jié)合全等三角形的判定方法及真假命題的定義解答．
【詳解】
解：條件是：①；②，結(jié)論是：③．
BD平分∠ABC，
又，
．
【點(diǎn)睛】
本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、命題的定義等知識，是基礎(chǔ)考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．
14．（2021·山西陽泉·八年級期中）通過對下面數(shù)學(xué)模型的研究學(xué)習(xí)，解決下列問題：
（1）如圖1，∠BAD＝90°，AB＝AD，過點(diǎn)B作BC⊥AC于點(diǎn)C，過點(diǎn)D作DE⊥AC于點(diǎn)E．由∠1+∠2＝∠2+∠D＝90°，得∠1＝∠D．又∠ACB＝∠AED＝90°，可以推理得到△ABC≌△DAE．進(jìn)而得到AC＝ ，BC＝AE．我們把這個(gè)數(shù)學(xué)模型稱為“K字”模型或“一線三等角”模型；
（2）如圖2，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AC＝AE，連接BC，DE，且BC⊥AF于點(diǎn)F，DE與直線AF交于點(diǎn)G．求證：點(diǎn)G是DE的中點(diǎn)；
（深入探究）
（3）如圖，已知四邊形ABCD和DEGF為正方形，△AFD的面積為S1，△DCE的面積為S2，則有S1 S2（填“＞、＝、＜”）
【答案】（1）DE；（2）見解析；（3）=
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可直接進(jìn)行求解；
（2）分別過點(diǎn)D和點(diǎn)E作DH⊥FG于點(diǎn)H，EQ⊥FG于點(diǎn)Q，進(jìn)而可得∠BAF=∠ADH，然后可證△ABF≌△DAH，則有AF=DH，進(jìn)而可得DH=EQ，通過證明△DHG≌△EQG可求解問題；
（3）過點(diǎn)D作DO⊥AF交AF于O，過點(diǎn)E作EN⊥OD交OD延長線于N，過點(diǎn)C作CM⊥OD交OD延長線于M，由題意易得∠ADC=∠90°，AD=DC，DF=DE，然后可得∠ADO=∠DCM，則有△AOD≌△DMC，△FOD≌△DNE，進(jìn)而可得OD=NE，通過證明△ENP≌△CMP及等積法可進(jìn)行求解問題．
【詳解】
解：（1）∵，∴；
（2）分別過點(diǎn)D和點(diǎn)E作DH⊥FG于點(diǎn)H，EQ⊥FG于點(diǎn)Q，如圖所示：
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴△ABF≌△DAH，
∴AF=DH，
同理可知AF=EQ，
∴DH=EQ，
∵DH⊥FG，EQ⊥FG，
∴，
∵
∴△DHG≌△EQG，
∴DG=EG，即點(diǎn)G是DE的中點(diǎn)；
（3），理由如下：如圖所示，過點(diǎn)D作DO⊥AF交AF于O，過點(diǎn)E作EN⊥OD交OD延長線于N，過點(diǎn)C作CM⊥OD交OD延長線于M
∵四邊形ABCD與四邊形DEGF都是正方形
∴∠ADC=∠90°，AD=DC，DF=DE
∵DO⊥AF，CM⊥OD，
∴∠AOD=∠CMD=90°，∠OAD+∠ODA=90°，∠CDM+∠DCM=90°，
又∵∠ODA+∠CDM=90°，
∴∠ADO=∠DCM，
∴△AOD≌△DMC，
∴，OD=MC，
同理可以證明△FOD≌△DNE，
∴，OD=NE，
∴MC =NE，
∵EN⊥OD，CM⊥OD，∠EPN=∠CMP，
∴△ENP≌△CMP，
∴，
∵，
∴,
∴即．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查全等三角形的性質(zhì)與判定、直角三角形的兩個(gè)銳角互余及等積法，熟練掌握全等三角形的判定條件是解題的關(guān)鍵．
15．（2021·河北·廊坊市第四中學(xué)八年級階段練習(xí)）如圖1，在△ABC中，AE⊥BC于E，AE＝BE，D是AE上一點(diǎn)，且DE＝CE，連接BD，CD．
（1）判斷與的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，并證明；
（2）如圖2，若將△DCE繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)一定的角度后，BD與AC的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化？并證明；
（3）如圖3，將（2）中的等腰直角三角形都換成等邊三角形，其他條件不變，求BD與AC夾角的度數(shù)．
【答案】（1）， ；（2）， ；（3）．
【解析】
【分析】
（1）先判斷出，再判定，再判斷，
（2）先判斷出，再得到同理（1）可得結(jié)論；
（3）先判斷出，再判斷出，最后計(jì)算即可．
【詳解】
解：（1）與的位置關(guān)系是：，數(shù)量關(guān)系是．
理由如下：
如圖1，延長交于點(diǎn)．
于，
．
，，
，
，，．
，
．
AE⊥BC
∴，
，
．
（2）與的位置關(guān)系是：，數(shù)量關(guān)系是．
如圖，線段AC與線段BD交于點(diǎn)F，線段AE與線段BD交于點(diǎn)G，
，
，
即．
，，
，
，．
AE⊥BC
∴，
又∵
，
．
（3）如圖，線段AC與線段BD交于點(diǎn)F，
和是等邊三角形，
，，，，
，
，
在和中，
，
∴，
，
與的夾角度數(shù)為．
【點(diǎn)睛】
此題是幾何變換綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，判斷垂直的方法，解本題的關(guān)鍵是判斷．
一般三角形
直角三角形
判定
邊角邊（SAS）
角邊角（ASA）
角角邊（AAS）
邊邊邊（SSS）
兩直角邊對應(yīng)相等
一邊一銳角對應(yīng)相等
斜邊、直角邊定理（HL）
性質(zhì)
對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等（其他對應(yīng)元素也相等，如對應(yīng)邊上的高相等）
備注
判定三角形全等必須有一組對應(yīng)邊相等
倍長中線
已知：是底邊的中線
截長
（將最長線段
一分為二）
四邊形ABCD中，BC＞BA，AD=CD，BD平分∠ABC，求證：∠A+∠C=180°
證：在BC上截取AB=A’B，則可證
補(bǔ)短
（將較短線段延長，使其與最長線段相等）
△ABC中，∠C=2∠B，∠1=∠2，求證：AB =AC+CD
證：延長AC至點(diǎn)E，使CE=CD，則可證

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初中數(shù)學(xué)蘇科版八年級上冊第一章 全等三角形1.2 全等三角形課時(shí)作業(yè)

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初中數(shù)學(xué)蘇科版八年級上冊1.2 全等三角形精練

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蘇科版八年級上冊第一章 全等三角形1.2 全等三角形課后復(fù)習(xí)題

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初中數(shù)學(xué)蘇科版（2024）八年級上冊電子課本 舊教材

1.2 全等三角形

版本： 蘇科版（2024）

年級： 八年級上冊

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