第10章 概率 重難點歸納總結(jié) 考點一 古典概型 【例1-1】（2023·陜西安康）某校動漫社團(tuán)成員共6人，其中社長2人，現(xiàn)需要選派3人去參加動漫大賽，則至少有1名社長人選的概率為（????） A． B． C． D． 【例1-2】（2023秋·遼寧葫蘆島·高一統(tǒng)考期末）2022年下半年，我國新冠肺炎疫情“多點散發(fā)”的特點愈加明顯，為了有效阻斷疫情的快速傳播，全國各地均提供了生活必需品線上采購服務(wù)，某地區(qū)為了更好的做好此項工作，高質(zhì)量服務(wù)于百姓生活，對愛好線上采購生活必需品的人員進(jìn)行了調(diào)查，隨機調(diào)查了100位線上采購愛好者的年齡，得到如下的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖： (1)估計該地區(qū)愛好線上采購生活必需品人員的平均年齡（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）； (2)估計該地區(qū)一位線上采購愛好者的年齡位于區(qū)間的概率； (3)工作人員為了確定20歲以下和80歲以上是否具有主動性和代表性，在參與調(diào)查的100位線上采購愛好者中20歲以下和80歲以上人員中抽取兩名進(jìn)行電話訪問，求被訪問者恰有一名是80歲以上的概率． 【一隅三反】 1．（2022秋·云南玉溪）歐幾里得大約生活在公元前330~前275年之間，著有《幾何原本》《已知數(shù)》《圓錐曲線》《曲面軌跡》等著作.若從上述4部書籍中任意抽取2部，則抽到《幾何原本》的概率為（????） A． B． C． D． 2．（2023春·河南）在1，2，3，4中任取2個不同的數(shù)，作為a，b的值，使方程有2個不相等的實數(shù)根的概率為（????） A． B． C． D． 3．（2023·全國·高一專題練習(xí)）某工廠為了檢驗?zāi)钞a(chǎn)品的質(zhì)量，隨機抽取100件產(chǎn)品，測量其某一質(zhì)量指數(shù)，根據(jù)所得數(shù)據(jù)，按分成5組，得到如圖所示的頻率分布直方圖. (1)估計該產(chǎn)品這一質(zhì)量指數(shù)的中位數(shù)； (2)若采用分層抽樣的方法從這一質(zhì)量指數(shù)在和內(nèi)的該產(chǎn)品中抽取6件，再從這6件產(chǎn)品中隨機抽取2件，求這2件產(chǎn)品不是取自同一組的概率. 4．（2023北京平谷）某高中高一500名學(xué)生參加某次測評，根據(jù)男女學(xué)生人數(shù)比例，使用分層抽樣的方法從中隨機抽取了100名學(xué)生，記錄他們的分?jǐn)?shù)，將數(shù)據(jù)分成7組：，，…，，并整理得到頻率分布直方圖如圖所示． (1)從總體的500名學(xué)生中隨機抽取一人，估計其分?jǐn)?shù)小于60的概率； (2)已知樣本中分?jǐn)?shù)小于40的學(xué)生有5人，試估計總體中分?jǐn)?shù)在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)； (3)估計隨機抽取的100名學(xué)生分?jǐn)?shù)的眾數(shù)，估計測評成績的75%分位數(shù)； (4)已知樣本中有一半男生的分?jǐn)?shù)不小于70，且樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的男女生人數(shù)相等．試估計總體中男生和女生人數(shù)的比例． 考點二 事件的運算與關(guān)系 【例2-1】（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知件產(chǎn)品中有件正品，其余為次品.現(xiàn)從件產(chǎn)品中任取件，觀察正品件數(shù)與次品件數(shù)，下列選項中的兩個事件互為對立事件的是（????） A．恰好有件次品和恰好有件次品 B．至少有件次品和全是次品 C．至少有件正品和至少有件次品 D．至少有件次品和全是正品 【例2-2】（2023·全國·高一專題練習(xí)）甲、乙兩個元件構(gòu)成一并聯(lián)電路，設(shè)E=“甲元件故障”，F(xiàn)=“乙元件故障”，則表示電路故障的事件為（????） A．EF B．EF C．E D． 【一隅三反】 1．（2022秋·云南曲靖）（多選）現(xiàn)從3名男生和2名女生中選3名同學(xué)參加演講比賽，下列各對事件中為互斥事件的是（????） A．事件M“選取的3人都是男生”，事件N“2名女生都被選中” B．事件M“選取的3人中至少有1名女生”，事件N“選取的3人中至少有1名男生” C．事件M“選取的3人中恰有1名男生”，事件N“選取的3人中恰有1名女生” D．事件M“選取的3人中至多有1名女生”，事件N“選取的3人中恰有1名男生” 2．（2022·湖北）某小組有1名男生和2名女生，從中任選2名學(xué)生參加圍棋比賽，事件“至多有1名男生”與事件“至多有1名女生”（????） A．是對立事件 B．都是必然事件 C．不是互斥事件 D．是互斥事件但不是對立事件 3．（2022·高一課時練習(xí)）拋擲一顆質(zhì)地均勻的骰子，有如下隨機事件：“向上的點數(shù)為”，其中，“向上的點數(shù)為偶數(shù)”，則下列說法正確的是（????） A． B． C．與互斥 D．與對立 4．（2022·上海·高二專題練習(xí)）已知事件A、B、C滿足A?B，B?C，則下列說法不正確的是（????） A．事件A發(fā)生一定導(dǎo)致事件C發(fā)生 B．事件B發(fā)生一定導(dǎo)致事件C發(fā)生 C．事件發(fā)生不一定導(dǎo)致事件發(fā)生 D．事件發(fā)生不一定導(dǎo)致事件發(fā)生 5（2023上海徐匯）已知是兩個隨機事件，且，則下列選項中一定成立的是（????）． A． B． C． D． 考點三 事件的相互獨立性 【例3-1】（2023春·江蘇南京）（多選）甲乙兩人準(zhǔn)備買一部手機，購買國產(chǎn)手機的概率分別為，，購買白色手機的概率分別為，，若甲乙兩人購買哪款手機互相獨立，則（????） A．恰有一人購買國產(chǎn)手機的概率為 B．兩人都沒購買白色手機的概率為 C．甲購買國產(chǎn)白色手機的概率為 D．甲乙至少一位購買國產(chǎn)白色手機的概率為 【例3-2】（2023·全國·高一專題練習(xí)）（多選）從甲袋中摸出一個紅球的概率是，從乙袋中摸出一個紅球的概率是，從兩袋各摸出一個球，下列結(jié)論正確的是（????） A．2個球都是紅球的概率為 B．2個球不都是紅球的概率為 C．至少有1個紅球的概率為 D．2個球中恰有1個紅球的概率為 【一隅三反】 1．（2022廣西）某俱樂部通過抽獎活動回饋球迷，獎品為第22屆世界杯足球賽吉祥物“拉伊卜”.已知中獎的概率為，則參加抽獎的甲、乙兩位球迷都中獎的概率為（????） A． B． C． D． 2．（2022山東淄博）近年來，部分高校根據(jù)教育部相關(guān)文件規(guī)定開展基礎(chǔ)學(xué)科招生改革試點（也稱強基計劃），假設(shè)甲?乙?丙三人通過強基計劃的概率分別為，那么三人中恰有兩人通過強基計劃的概率為（????） A． B． C． D． 3．（2022廣東佛山）甲、乙兩人約定進(jìn)行乒乓球比賽，采取三局兩勝制（在三局比賽中，優(yōu)先取得兩局勝利的一方獲勝，無平局），乙每局比賽獲勝的概率都為，則最后甲獲勝的概率是（????） A． B． C． D． 第10章 概率 重難點歸納總結(jié) 考點一 古典概型 【例1-1】（2023·陜西安康）某校動漫社團(tuán)成員共6人，其中社長2人，現(xiàn)需要選派3人去參加動漫大賽，則至少有1名社長人選的概率為（????） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】記社長為A，，其他成員為，，，，所以從6人中任選3人， 共有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，20種，其中至少含一個社長的有16種，所以概率為，故選：D． 【例1-2】（2023秋·遼寧葫蘆島·高一統(tǒng)考期末）2022年下半年，我國新冠肺炎疫情“多點散發(fā)”的特點愈加明顯，為了有效阻斷疫情的快速傳播，全國各地均提供了生活必需品線上采購服務(wù)，某地區(qū)為了更好的做好此項工作，高質(zhì)量服務(wù)于百姓生活，對愛好線上采購生活必需品的人員進(jìn)行了調(diào)查，隨機調(diào)查了100位線上采購愛好者的年齡，得到如下的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖： (1)估計該地區(qū)愛好線上采購生活必需品人員的平均年齡（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）； (2)估計該地區(qū)一位線上采購愛好者的年齡位于區(qū)間的概率； (3)工作人員為了確定20歲以下和80歲以上是否具有主動性和代表性，在參與調(diào)查的100位線上采購愛好者中20歲以下和80歲以上人員中抽取兩名進(jìn)行電話訪問，求被訪問者恰有一名是80歲以上的概率． 【答案】(1)歲 (2) (3) 【解析】（1）該地區(qū)愛好線上采購生活必需品人員的平均年齡為 （歲） （2）這100位線上采購愛好者的年齡位于區(qū)間的頻率為. 故估計該地區(qū)一位線上采購愛好者的年齡位于區(qū)間的概率. （3）參與調(diào)查的100位線上采購愛好者中20歲以下的人數(shù)為人，記為； 80歲以上的人數(shù)為人，記為. 從這三名中抽取兩名進(jìn)行電話訪問，所有情況如下：，共10種. 其中被訪問者恰有一名是80歲以上的情況分別為，共6種. 則被訪問者恰有一名是80歲以上的概率為 【一隅三反】 1．（2022秋·云南玉溪）歐幾里得大約生活在公元前330~前275年之間，著有《幾何原本》《已知數(shù)》《圓錐曲線》《曲面軌跡》等著作.若從上述4部書籍中任意抽取2部，則抽到《幾何原本》的概率為（????） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】記4部書籍分別為a、b、c、d，則從從4部書籍中任意抽取2部的基本事件為、、、、、共有6個，抽到《幾何原本》的基本事件為、、共有3個，所以抽到《幾何原本》的概率為：.故選：A. 2．（2023春·河南）在1，2，3，4中任取2個不同的數(shù)，作為a，b的值，使方程有2個不相等的實數(shù)根的概率為（????） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】取為，，，，，，，，，，，共12種，其中使有2個不等實根，即，的有8個，所以.故選：D. 3．（2023·全國·高一專題練習(xí)）某工廠為了檢驗?zāi)钞a(chǎn)品的質(zhì)量，隨機抽取100件產(chǎn)品，測量其某一質(zhì)量指數(shù)，根據(jù)所得數(shù)據(jù)，按分成5組，得到如圖所示的頻率分布直方圖. (1)估計該產(chǎn)品這一質(zhì)量指數(shù)的中位數(shù)； (2)若采用分層抽樣的方法從這一質(zhì)量指數(shù)在和內(nèi)的該產(chǎn)品中抽取6件，再從這6件產(chǎn)品中隨機抽取2件，求這2件產(chǎn)品不是取自同一組的概率. 【答案】(1)15. (2). 【解析】（1）因為，， 所以該產(chǎn)品這一質(zhì)量指數(shù)的中位數(shù)在內(nèi)， 設(shè)該產(chǎn)品這一質(zhì)量指數(shù)的中位數(shù)為，則， 解得； （2）由頻率分布直方圖可得， 即在和的產(chǎn)品分別由件， 采用分層抽樣的方法抽取的6件產(chǎn)品中這一質(zhì)量指數(shù)在內(nèi)的有4件，記為，這一質(zhì)量指數(shù)在內(nèi)的有2件，記為， 從這6件產(chǎn)品中隨機抽取2件的情況有， 共15種；其中符合條件的情況有，共8種， 故所求概率. 4．（2023北京平谷）某高中高一500名學(xué)生參加某次測評，根據(jù)男女學(xué)生人數(shù)比例，使用分層抽樣的方法從中隨機抽取了100名學(xué)生，記錄他們的分?jǐn)?shù)，將數(shù)據(jù)分成7組：，，…，，并整理得到頻率分布直方圖如圖所示． (1)從總體的500名學(xué)生中隨機抽取一人，估計其分?jǐn)?shù)小于60的概率； (2)已知樣本中分?jǐn)?shù)小于40的學(xué)生有5人，試估計總體中分?jǐn)?shù)在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)； (3)估計隨機抽取的100名學(xué)生分?jǐn)?shù)的眾數(shù)，估計測評成績的75%分位數(shù)； (4)已知樣本中有一半男生的分?jǐn)?shù)不小于70，且樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的男女生人數(shù)相等．試估計總體中男生和女生人數(shù)的比例． 【答案】(1) (2)人 (3)眾數(shù)為；測評成績的75%分位數(shù)為 (4) 【解析】（1）由頻率分布直方圖可得分?jǐn)?shù)不小于60的頻率為：， 則分?jǐn)?shù)小于60的頻率為：， 故從總體的500名學(xué)生中隨機抽取一人，其分?jǐn)?shù)小于60的概率估計為； （2）由頻率分布直方圖可得分?jǐn)?shù)不小于50的頻率為：， 則分?jǐn)?shù)在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)為：人， 則總體中分?jǐn)?shù)在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)為：人； （3）由頻率分布直方圖可得分?jǐn)?shù)在區(qū)間的頻率最高， 則隨機抽取的100名學(xué)生分?jǐn)?shù)的眾數(shù)估計為， 由頻率分布直方圖可得分?jǐn)?shù)小于70的頻率為，分?jǐn)?shù)小于80的頻率為， 則測評成績的75%分位數(shù)落在區(qū)間上， 則測評成績的75%分位數(shù)為； （4）由頻率分布直方圖可得分?jǐn)?shù)不小于70的學(xué)生人數(shù)為人， 因為樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的男女生人數(shù)相等 所以樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的男生人數(shù)為人， 又因為樣本中有一半男生的分?jǐn)?shù)不小于70， 所以樣本中的男生共有人， 則樣本中的女生共有人， 所以總體中男生和女生人數(shù)的比例估計為. 考點二 事件的運算與關(guān)系 【例2-1】（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知件產(chǎn)品中有件正品，其余為次品.現(xiàn)從件產(chǎn)品中任取件，觀察正品件數(shù)與次品件數(shù)，下列選項中的兩個事件互為對立事件的是（????） A．恰好有件次品和恰好有件次品 B．至少有件次品和全是次品 C．至少有件正品和至少有件次品 D．至少有件次品和全是正品 【答案】D 【解析】對于A項，恰好有1件次品和恰好有兩件次品互為互斥事件，但不是對立事件； 對于B項，至少有1件次品和全是次品可以同時發(fā)生，不是對立事件； 對于C項，至少有1件正品和至少有1件次品可以同時發(fā)生，不是對立事件； 對于D項，至少有1件次品即存在次品，與全是正品互為對立事件. 故選：D. 【例2-2】（2023·全國·高一專題練習(xí)）甲、乙兩個元件構(gòu)成一并聯(lián)電路，設(shè)E=“甲元件故障”，F(xiàn)=“乙元件故障”，則表示電路故障的事件為（????） A．EF B．EF C．E D． 【答案】B 【解析】因為甲、乙兩個元件構(gòu)成一并聯(lián)電路， 所以只有當(dāng)甲、乙兩個元件都故障時，才造成電路故障，所以表示電路故障的事件為.故選：B 【一隅三反】 1．（2022秋·云南曲靖）（多選）現(xiàn)從3名男生和2名女生中選3名同學(xué)參加演講比賽，下列各對事件中為互斥事件的是（????） A．事件M“選取的3人都是男生”，事件N“2名女生都被選中” B．事件M“選取的3人中至少有1名女生”，事件N“選取的3人中至少有1名男生” C．事件M“選取的3人中恰有1名男生”，事件N“選取的3人中恰有1名女生” D．事件M“選取的3人中至多有1名女生”，事件N“選取的3人中恰有1名男生” 【答案】ACD 【解析】對于A，“選取的3人都是男生”與“2名女生都被選中”不能同時發(fā)生，故為互斥事件，故A正確. 對于B，“選取的3人中至少有1名女生”包含“選取的3人中有2名女生,1名男生”， “選取的3人中至少有1名男生” 包含“選取的3人中有2名女生,1名男生”， 故可同時發(fā)生，故不為互斥事件，故B錯誤. 對于C，“選取的3人中恰有1名男生”即為“選取的3人中1名男生，2名女生”， “選取的3人中恰有1名女生” 即為“選取的3人中1名女生，2名男生”， 不能同時發(fā)生，故為互斥事件，故C正確. 對于D，“選取的3人中至多有1名女生”即為“選取的3人中均為男生或2名男生，1名女生”， 故 “選取的3人中至多有1名女生”與“選取的3人中恰有1名男生”不能同時發(fā)生， 故為互斥事件，故D正確. 故選：ACD. 2．（2022·湖北）某小組有1名男生和2名女生，從中任選2名學(xué)生參加圍棋比賽，事件“至多有1名男生”與事件“至多有1名女生”（????） A．是對立事件 B．都是必然事件 C．不是互斥事件 D．是互斥事件但不是對立事件 【答案】C 【解析】事件“至多有1名男生”和“至多有1名女生”均為隨機事件，故B錯誤. 事件“至多有1名男生”有兩種情況：2名學(xué)生都是女生或2名學(xué)生一男一女. “至多有1名女生” 有一種情況： 2名學(xué)生一男一女. 故兩個事件不是對立事件、互斥事件，故AD錯誤，C正確， 故選：C. 3．（2022·高一課時練習(xí)）拋擲一顆質(zhì)地均勻的骰子，有如下隨機事件：“向上的點數(shù)為”，其中，“向上的點數(shù)為偶數(shù)”，則下列說法正確的是（????） A． B． C．與互斥 D．與對立 【答案】C 【解析】對于A，，，∴，故A錯誤； 對于B，，故B錯誤； 對于C，與不能同時發(fā)生，是互斥事件，故C正確； 對于D，，，與是互斥但不對立事件，故D錯誤； 故選：C 4．（2022·上?！じ叨ｎ}練習(xí)）已知事件A、B、C滿足A?B，B?C，則下列說法不正確的是（????） A．事件A發(fā)生一定導(dǎo)致事件C發(fā)生 B．事件B發(fā)生一定導(dǎo)致事件C發(fā)生 C．事件發(fā)生不一定導(dǎo)致事件發(fā)生 D．事件發(fā)生不一定導(dǎo)致事件發(fā)生 【答案】D 【解析】由已知可得A?C，又因為A?B，B?C，如圖事件A，B，C用集合表示： 則選項A，B正確， 事件，則C正確，D錯誤 故選：D． 5（2023上海徐匯）已知是兩個隨機事件，且，則下列選項中一定成立的是（????）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因為，所以，所以，故A錯誤； ，故B錯誤；，故C正確； ，故D錯誤.故選：C. 考點三 事件的相互獨立性 【例3-1】（2023春·江蘇南京）（多選）甲乙兩人準(zhǔn)備買一部手機，購買國產(chǎn)手機的概率分別為，，購買白色手機的概率分別為，，若甲乙兩人購買哪款手機互相獨立，則（????） A．恰有一人購買國產(chǎn)手機的概率為 B．兩人都沒購買白色手機的概率為 C．甲購買國產(chǎn)白色手機的概率為 D．甲乙至少一位購買國產(chǎn)白色手機的概率為 【答案】AD 【解析】由已知，甲乙兩人購買哪款手機互相獨立， “甲購買國產(chǎn)手機”記為事件，；“乙購買國產(chǎn)手機”記為事件，； “甲購買白色手機”記為事件，；“乙購買白色手機”記為事件，， 對于選項A，恰有一人購買國產(chǎn)手機的概率為， 故選項A正確； 對于選項B，兩人都沒購買白色手機的概率為，故選項B錯誤； 對于選項C，“甲購買國產(chǎn)白色手機”記為事件，其概率為，故選項C錯誤； 對于選項D，“乙購買國產(chǎn)白色手機”記為事件，其概率為， 結(jié)合選項C的判斷，甲乙至少一位購買國產(chǎn)白色手機的概率為 ， （也可以用進(jìn)行計算），故選項D正確. 故選：AD. 【例3-2】（2023·全國·高一專題練習(xí)）（多選）從甲袋中摸出一個紅球的概率是，從乙袋中摸出一個紅球的概率是，從兩袋各摸出一個球，下列結(jié)論正確的是（????） A．2個球都是紅球的概率為 B．2個球不都是紅球的概率為 C．至少有1個紅球的概率為 D．2個球中恰有1個紅球的概率為 【答案】ACD 【解析】設(shè)“從甲袋中摸出一個紅球”為事件，從“乙袋中摸出一個紅球”為事件， 則，， 對于A選項，2個球都是紅球為，其概率為，故A選項正確， 對于B選項，“2個球不都是紅球”是“2個球都是紅球”的對立事件，其概率為，故B選項錯誤， 對于C選項，2個球至少有一個紅球的概率為，故C選項正確， 對于D選項，2個球中恰有1個紅球的概率為，故D選項正確． 故選：ACD． 【一隅三反】 1．（2022廣西）某俱樂部通過抽獎活動回饋球迷，獎品為第22屆世界杯足球賽吉祥物“拉伊卜”.已知中獎的概率為，則參加抽獎的甲、乙兩位球迷都中獎的概率為（????） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因為抽獎中獎的概率為， 則參加抽獎的甲、乙兩位球迷都中獎的概率為：. 故選：B. 2．（2022山東淄博）近年來，部分高校根據(jù)教育部相關(guān)文件規(guī)定開展基礎(chǔ)學(xué)科招生改革試點（也稱強基計劃），假設(shè)甲?乙?丙三人通過強基計劃的概率分別為，那么三人中恰有兩人通過強基計劃的概率為（????） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】記甲、乙、丙三人通過強基計劃分別為事件,顯然為相互獨立事件, 則“三人中恰有兩人通過”相當(dāng)于事件,且互斥, ∴ . 故選:C. 3．（2022廣東佛山）甲、乙兩人約定進(jìn)行乒乓球比賽，采取三局兩勝制（在三局比賽中，優(yōu)先取得兩局勝利的一方獲勝，無平局），乙每局比賽獲勝的概率都為，則最后甲獲勝的概率是（????） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因為乒乓球比賽的規(guī)則是三局兩勝制（無平局），甲每局比賽獲勝的概率都為， 若前兩局甲均贏，則結(jié)束比賽，甲獲得勝利，此時概率為， 前兩局甲贏一場，輸一場，第三局甲贏，此時甲獲得勝利， 則概率為，所以最后甲獲勝的概率.故選：C

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