2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。
3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。
一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1．（2023·陜西咸陽）復(fù)數(shù) 滿足(為虛數(shù)單位)，則的虛部為（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·陜西安康·）如圖，在矩形中，是的中點(diǎn)，若，則（ ）
A．B．1C．D．2
3．（2023安徽蕪湖）在△ABC中，，，，則（ ）
A．B．C．D．或
4．（2023陜西）已知向量，，若向量，則實(shí)數(shù)的值是（ ）.
A．B．C．D．2
5．（2023春·安徽合肥）在如圖所示的半圓中，AB為直徑，點(diǎn)O為圓心，C為半圓上一點(diǎn)，且，，則等于（ ）
A．1B．C．D．2
6．（2022秋·廣西）下列幾何體表示圓錐的是（ ）
A．B．
C．D．
7．（2023春·湖南長沙）圓臺上、下底面的圓周都在一個直徑為10的球面上，其上、下底面的半徑分別為4和5，則該圓臺的體積為（ ）
A．B．C．D．
8．（2023春·安徽馬鞍山）如圖，在正方體中，直線與所成的角是（ ）
A．B．C．D．
二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．
9．（2022·山東濟(jì)南）若，，則（ ）
A．B．
C．在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限D(zhuǎn)．是實(shí)數(shù)
10．（2023春·安徽銅陵）下列四式可以化簡為的是（ ）
A．B．
C．D．
11．（2023·全國·高一專題練習(xí)）在中，角所對的邊分別為，已知，則下列判斷中正確的是（ ）
A．若，則B．若，則該三角形有兩解
C．周長有最大值12D．面積有最小值
12．（2022秋·河北滄州）如圖所示，已知幾何體是正方體，則（ ）
A．平面
B．平面
C．異面直線與所成的角為60°
D．異面直線與所成的角為90°
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
13．（2023上海）如圖，是的斜二測直觀圖，其中，斜邊，則的面積是______．
14．（江西省贛州市2023屆）已知向量，.若，則實(shí)數(shù)的值為______.
15．（2022·四川成都·高一統(tǒng)考期中）如圖，小李開車在一條水平的公路上向正西方向前進(jìn)，到A處時測得公路北側(cè)一山頂D在西偏北30°的方向上，行駛1200m后到達(dá)B處，測得此山頂在西偏北75°的方向上，仰角為45°，則此山的高度為______m
16．（2023春·河南）在中，角，，的對邊分別為，，，，，則__________.
四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17．（2022·高一課時練習(xí)）（10分）已知復(fù)數(shù)．
(1)若復(fù)數(shù)z是實(shí)數(shù)，求實(shí)數(shù)a的值；
(2)若復(fù)數(shù)z是虛數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
(3)復(fù)數(shù)z是不是純虛數(shù)？若是純虛數(shù)，求出實(shí)數(shù)a的值；若不是純虛數(shù)，請說明理由．
18．（2023春·河北）（12分）已知的三個內(nèi)角所對的邊分別是，且.
(1)求的周長；
(2)求邊上的高.
19．（2023春·湖南岳陽）（12分）在中,角的對邊分別為,且滿足.
(1)求角的值;
(2)若,求的面積.
20．（2022秋·遼寧沈陽·高一沈陽二十中?？计谀?2分）已知向量，求：
(1)若，且，求的坐標(biāo)；
(2)若﹐求；
(3)若，求k的值．
21．（2023·江西南昌·）（12分）已知直棱柱的底面ABCD為菱形，且，，點(diǎn)為的中點(diǎn)．
(1)證明：平面；
(2)求三棱錐的體積．
22．（2023·云南昆明）如圖①：在△ABC中，AB＝BC＝5，∠ABC＝90°，DE∥BC，DE＝2，將△ADE沿DE折起到△PDE的位置（如圖②），且∠PEB＝60°.
(1)請作出平面PBC與平面PDE的交線l（不需要說明理由）
(2)證明；平面PBC⊥平面PBE；
(3)求直線PE與平面PBC所成角的正弦值.
期中考試測試（基礎(chǔ)）
注意事項(xiàng)：
1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。
2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。
3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。
一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1．（2023·陜西咸陽）復(fù)數(shù) 滿足(為虛數(shù)單位)，則的虛部為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】，則復(fù)數(shù)的虛部為. 故選：D
2．（2023·陜西安康·）如圖，在矩形中，是的中點(diǎn)，若，則（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】C
【解析】，∴，，∴，故選：C．
3．（2023安徽蕪湖）在△ABC中，，，，則（ ）
A．B．C．D．或
【答案】B
【解析】由正弦定理得，所以，
由于，所以為銳角，所以.故選：B
4．（2023陜西）已知向量，，若向量，則實(shí)數(shù)的值是（ ）.
A．B．C．D．2
【答案】B
【解析】，解得.故選：B
5．（2023春·安徽合肥）在如圖所示的半圓中，AB為直徑，點(diǎn)O為圓心，C為半圓上一點(diǎn)，且，，則等于（ ）
A．1B．C．D．2
【答案】A
【解析】如圖，連接AC，由，得.
因?yàn)闉榘雸A上的點(diǎn)，所以，所以．
故選：A.
6．（2022秋·廣西）下列幾何體表示圓錐的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】A圖表示圓柱，B圖表示球，C圖表示圓錐，D圖表示四棱柱.故選：C.
7．（2023春·湖南長沙）圓臺上、下底面的圓周都在一個直徑為10的球面上，其上、下底面的半徑分別為4和5，則該圓臺的體積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】求得直徑為，半徑為，圓臺的下底面半徑為，所以圓臺的高為，
所以圓臺的體積為.故選：A
8．（2023春·安徽馬鞍山）如圖，在正方體中，直線與所成的角是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】連接，，在正方體中，
因?yàn)?，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，則即為直線與所成的角或其補(bǔ)角，由正方體的性質(zhì)可得：為正三角形，所以，則直線與所成的角是，
故選：.
二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．
9．（2022·山東濟(jì)南）若，，則（ ）
A．B．
C．在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限D(zhuǎn)．是實(shí)數(shù)
【答案】ABD
【解析】因?yàn)?，所以A正確；
因?yàn)?，，所以B正確；
因?yàn)椋趶?fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為，所以在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，所以C錯誤；
因?yàn)?，所以是?shí)數(shù)，所以D正確．
故選：ABD.
10．（2023春·安徽銅陵）下列四式可以化簡為的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【解析】對選項(xiàng)A：，正確；
對選項(xiàng)B：，正確；
對選項(xiàng)C：，正確；
對選項(xiàng)D：，錯誤．
故選：ABC
11．（2023·全國·高一專題練習(xí)）在中，角所對的邊分別為，已知，則下列判斷中正確的是（ ）
A．若，則B．若，則該三角形有兩解
C．周長有最大值12D．面積有最小值
【答案】ABC
【解析】對于A，，，由正弦定理得
所以，故A正確；
對于B，由正弦定理得得，所以，
因?yàn)橛袃蓚€解，
所以該三角形有兩解，故B正確；
對于C，由，得
，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，此時三角形周長最大為等邊三角形，周長為12，故C對；
對于D，由得,
故
由于，
無最小值，
所以面積無最小值，有最大值為，故D錯誤.
故選：ABC
12．（2022秋·河北滄州）如圖所示，已知幾何體是正方體，則（ ）
A．平面
B．平面
C．異面直線與所成的角為60°
D．異面直線與所成的角為90°
【答案】BC
【解析】對于A，由幾何體是正方體可知，而平面,
故平面相交，故A錯誤；
對于B，平面平面，且平面，
所以平面，故B正確；
對于C，，與均為正方體面對角線，故，
三角形是等邊三角形，
則直線與所成的角為60°，故C正確；
對于D，,
同理，三角形是等邊三角形，
直線與所成的角為60°，故D錯誤.
故選：BC.
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
13．（2023上海）如圖，是的斜二測直觀圖，其中，斜邊，則的面積是______．
【答案】
【解析】由的斜二測直觀圖還原得的直觀圖如下，
因?yàn)樵谥?，，，，所以?br>則在中，，，，
所以的面積為.
故答案為：.
14．（江西省贛州市2023屆）已知向量，.若，則實(shí)數(shù)的值為______.
【答案】
【解析】因?yàn)椋?所以，
又因?yàn)?所以，
所以.故答案為: .
15．（2022·四川成都·高一統(tǒng)考期中）如圖，小李開車在一條水平的公路上向正西方向前進(jìn)，到A處時測得公路北側(cè)一山頂D在西偏北30°的方向上，行駛1200m后到達(dá)B處，測得此山頂在西偏北75°的方向上，仰角為45°，則此山的高度為______m
【答案】
【解析】由題，作出空間圖形如下，
則有,
因?yàn)榈竭_(dá)B處仰角為45°，所以，
在中，，
由正弦定理可得解得m，
所以m，
故答案為: .
16．（2023春·河南）在中，角，，的對邊分別為，，，，，則__________.
【答案】
【解析】∵，∴由正弦定理，得；
又∵，
∴由正弦定理，得，
將代入上式，化簡整理得，
兩邊同除以，得，
解得或（舍）.
故答案為：.
四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17．（2022·高一課時練習(xí)）（10分）已知復(fù)數(shù)．
(1)若復(fù)數(shù)z是實(shí)數(shù)，求實(shí)數(shù)a的值；
(2)若復(fù)數(shù)z是虛數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
(3)復(fù)數(shù)z是不是純虛數(shù)？若是純虛數(shù)，求出實(shí)數(shù)a的值；若不是純虛數(shù)，請說明理由．
【答案】(1)；
(2)；
(3)不是，理由見解析.
【解析】（1）若復(fù)數(shù)z是實(shí)數(shù)，則，即，所以；
（2）若復(fù)數(shù)z是虛數(shù)，則，即，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為；
（3）復(fù)數(shù)z不是純虛數(shù)．理由如下：若復(fù)數(shù)z是純虛數(shù)，
則，即，此時無解，故復(fù)數(shù)z不是純虛數(shù).
18．（2023春·河北）（12分）已知的三個內(nèi)角所對的邊分別是，且.
(1)求的周長；
(2)求邊上的高.
【答案】(1)9
(2)
【解析】（1）在△中，，
由余弦定理得，
解得，
∴△的周長為.
（2）∵，∴.
設(shè)邊上的高為，則，即，
解得.
所以AB邊上的高為.
19．（2023春·湖南岳陽）（12分）在中,角的對邊分別為,且滿足.
(1)求角的值;
(2)若,求的面積.
【答案】(1)；
(2).
【解析】（1）解:由題意知,
在中,將正弦定理代入有,
所以,
即,即,
即,
因?yàn)?所以,所以,
因?yàn)?
所以；
（2）由(1)知,在中,由余弦定理可知,
即,
解得或（舍）,
所以.
20．（2022秋·遼寧沈陽·高一沈陽二十中?？计谀?2分）已知向量，求：
(1)若，且，求的坐標(biāo)；
(2)若﹐求；
(3)若，求k的值．
【答案】(1)或
(2)
(3)
【解析】（1）設(shè)，
由，且，得
，解得或
或
（2），
，解得
（3）由已知，
又，
，
解得
21．（2023·江西南昌·）（12分）已知直棱柱的底面ABCD為菱形，且，，點(diǎn)為的中點(diǎn)．
(1)證明：平面；
(2)求三棱錐的體積．
【答案】(1)證明見解析
(2)1
【解析】（1）連接AC交BD于點(diǎn)，連接，
在直四棱柱中，，
所以四邊形為平行四邊形，即，，
又因?yàn)榈酌鍭BCD為菱形，所以點(diǎn)為AC的中點(diǎn)，
點(diǎn)為的中點(diǎn)，即點(diǎn)為的中點(diǎn)，所以，，
即四邊形為平行四邊形，所以，
因?yàn)槠矫妫矫?，，所以平面?br>（2）在直棱柱中平面，平面，
所以，
又因?yàn)樯系酌鏋榱庑?，所以?br>因?yàn)槠矫妫?br>所以平面，
因?yàn)樵谥?，?br>且點(diǎn)為BD的中點(diǎn)，所以，即，
所以．
22．（2023·云南昆明）如圖①：在△ABC中，AB＝BC＝5，∠ABC＝90°，DE∥BC，DE＝2，將△ADE沿DE折起到△PDE的位置（如圖②），且∠PEB＝60°.
(1)請作出平面PBC與平面PDE的交線l（不需要說明理由）
(2)證明；平面PBC⊥平面PBE；
(3)求直線PE與平面PBC所成角的正弦值.
【答案】(1)答案見解析
(2)證明見解析
(3)
【解析】（1）因?yàn)椋矫?，平面?br>所以平面，且平面，平面平面，
所以，
則過點(diǎn)作直線，使；
（2）因?yàn)椋?，且?br>所以，且，且平面，平面，
所以平面，且平面，
所以平面平面；
（3）由（2）可知平面平面，
且平面平面，
所以直線在平面內(nèi)的射影就是，則直線PE與平面PBC所成角為或其補(bǔ)角，
因?yàn)槭堑妊苯侨切?，且?br>所以也是等腰直角三角形，,，，
種，根據(jù)余弦定理，，
則，所以，
,
則，
所以直線PE與平面PBC所成角的正弦值為.

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