第10章 概率 章末測試（提升） 考試時間：120分鐘 滿分：150分 單選題(每題只有一個選擇為正確答案，每題5分，8題共40分) 1．（2022·高一單元測試）一個學(xué)習(xí)小組有5名同學(xué)，其中2名男生，3名女生．從這個小組中任意選出2名同學(xué)，則選出的同學(xué)中既有男生又有女生的概率為（????） A． B． C． D． 2．（2022秋·黑龍江哈爾濱）齊王與田忌賽馬，田忌的上等馬優(yōu)于齊王的中等馬，劣于齊王的上等馬，田忌的中等馬優(yōu)于齊王的下等馬，劣于齊王的中等馬，田忌的下等馬劣于齊王的下等馬．某天，齊王與田忌賽馬，雙方約定：比賽三局，每局各出一匹，每匹馬賽一次，贏得兩局者為勝，則田忌獲勝概率為（????）． A． B． C． D． 3．（2022河南南陽）甲、乙兩隊進(jìn)行排球決賽，現(xiàn)在的情形是甲隊只要再贏一次就獲冠軍，乙隊需要再贏兩局才能得冠軍，若兩隊勝每局的概率相同，則甲隊獲得冠軍的概率為　　 A． B． C． D． 4．（2022春·甘肅天水·高一校考期末）拋擲一個質(zhì)地均勻的骰子的試驗，事件A表示“小于5的偶數(shù)點出現(xiàn)”，事件B表示“不小于5的點數(shù)出現(xiàn)”，則一次試驗中，事件A或事件B至少有一個發(fā)生的概率為（????） A． B． C． D． 5．（2022江西贛州）概率論起源于博弈游戲．17世紀(jì)，曾有一個“賭金分配“的問題：博弈水平相當(dāng)?shù)募?、乙兩人進(jìn)行博弈游戲，每局比賽都能分出勝負(fù)，沒有平局．雙方約定，各出賭金48枚金幣，先贏3局者可獲得全部賭金；但比賽中途因故終止了，此時甲贏了2局，乙贏了1局．問這96枚金幣的賭金該如何分配？數(shù)學(xué)家費(fèi)馬和帕斯卡都用了現(xiàn)在稱之為“概率“的知識，合理地給出了賭金分配方案．該分配方案是 A．甲48枚，乙48枚 B．甲64枚，乙32枚 C．甲72枚，乙24枚 D．甲80枚，乙16枚 6．（2022·高一單元測試）素數(shù)分布是數(shù)論研究的核心領(lǐng)域之一，含有眾多著名的猜想.世紀(jì)中葉，法國數(shù)學(xué)家波利尼亞克提出了“廣義孿生素數(shù)猜想”：對所有自然數(shù)，存在無窮多個素數(shù)對.其中當(dāng)時，稱為“孿生素數(shù)”，時，稱為“表兄弟素數(shù)”.在不超過的素數(shù)中，任選兩個不同的素數(shù)?()，令事件為孿生素數(shù)}，為表兄弟素數(shù)}，，記事件??發(fā)生的概率分別為??，則下列關(guān)系式成立的是（????） A． B． C． D． 7．（2022·高一課時練習(xí)）下列命題中正確的是（????） A．事件發(fā)生的概率等于事件發(fā)生的頻率 B．一個質(zhì)地均勻的骰子擲一次得到3點的概率是，說明這個骰子擲6次一定會出現(xiàn)一次3點 C．?dāng)S兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，事件為“一枚正面朝上，一枚反面朝上”，事件為“兩枚都是正面朝上”，則 D．對于兩個事件、，若，則事件與事件互斥 8．（2022湖北武漢）一個電路如圖所示，A，B，C，D，E，F(xiàn)為6個開關(guān)，其閉合的概率為，且是相互獨立的，則燈亮的概率是(　　) A． B． C． D． 多選題（每題至少有兩個選項為正確答案，少選且正確得2分，每題5分。4題共20分） 9．（2023山東）下列說法正確的是（????） A．甲乙兩人獨立地解題，已知各人能解出的概率分別是0.5，0.25，則題被解出的概率是0.125 B．若，是互斥事件，則， C．某校200名教師的職稱分布情況如下：高級占比20%，中級占比50%，初級占比30%，現(xiàn)從中抽取50名教師做樣本，若采用分層抽樣方法，則高級教師應(yīng)抽取10人 D．一位男生和兩位女生隨機(jī)排成一列，則兩位女生相鄰的概率是 10．（2022·全國·高一專題練習(xí)）某社團(tuán)開展“建黨100周年主題活動——學(xué)黨史知識競賽”，甲、乙兩人能得滿分的概率分別為，，兩人能否獲得滿分相互獨立，則下列說法錯誤的是：（????） A．兩人均獲得滿分的概率為 B．兩人至少一人獲得滿分的概率為 C．兩人恰好只有甲獲得滿分的概率為 D．兩人至多一人獲得滿分的概率為 11．（2022秋·河南南陽·高一?？计谀┧惚P是我國古代一項偉大的發(fā)明，是一類重要的計算工具.下圖是一把算盤的初始狀態(tài)，自右向左，分別表示個位?十位?百位?千位……，上面一粒珠子(簡稱上珠)代表5，下面一粒珠子(簡稱下珠)代表1，五粒下珠的大小等于同組一粒上珠的大小.例如，個位撥動一粒上珠?十位撥動一粒下珠至梁上，表示數(shù)字15.現(xiàn)將算盤的個位?十位?百位?千位分別隨機(jī)撥動一粒珠子至梁上，設(shè)事件“表示的四位數(shù)能被3整除”，“表示的四位數(shù)能被5整除”，則（????） A． B． C． D． 12．（2022秋·山東威海·高一乳山市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）下列對各事件發(fā)生的概率判斷正確的是（） A．某學(xué)生在上學(xué)的路上要經(jīng)過4個路口，假設(shè)在各路口是否遇到紅燈是相互獨立的，遇到紅燈的概率都是，那么該生在上學(xué)路上到第3個路口首次遇到紅燈的概率為 B．三人獨立地破譯一份密碼，他們能單獨譯出的概率分別為，，，假設(shè)他們破譯密碼是彼此獨立的，則此密碼被破譯的概率為 C．甲袋中有8個白球，4個紅球，乙袋中有6個白球，6個紅球，從每袋中各任取一個球，則取到同色球的概率為 D．設(shè)兩個獨立事件A和B都不發(fā)生的概率為，A發(fā)生B不發(fā)生的概率與B發(fā)生A不發(fā)生的概率相同，則事件A發(fā)生的概率是 三、填空題(每題5分，4題共20分) 13．（2022秋·廣東汕頭）若三個原件A，B，C按照如圖的方式連接成一個系統(tǒng)，每個原件是否正常工作不受其他元件的影響，當(dāng)原件A正常工作且B，C中至少有一個正常工作時，系統(tǒng)就正常工作，若原件A，B，C正常工作的概率依次為0.7，0.8，0.9，則這個系統(tǒng)正常工作的概率為______ 14．（2022·高一課時練習(xí)）口袋里裝有1紅，2白，3黃共6個形狀相同的小球，從中取出2球，事件“取出的兩球同色”，“取出的2球中至少有一個黃球”，“取出的2球至少有一個白球”，“取出的兩球不同色”，“取出的2球中至多有一個白球”.下列判斷中正確的序號為________. ①與為對立事件；②與是互斥事件；③與是對立事件：④；⑤. 15．（2023湖北）將一顆質(zhì)地均勻的骰子(一種各個面上分別標(biāo)有1，2，3，4，5，6個點的正方體玩具)先后拋擲2次，則出現(xiàn)向上的點數(shù)之和小于10的概率是________． 16．（2023陜西）由1， 2， 3， …，1000這個1000正整數(shù)構(gòu)成集合，先從集合中隨機(jī)取一個數(shù)，取出后把放回集合，然后再從集合中隨機(jī)取出一個數(shù)，則的概率為______． 四、解答題（17題10分，其余每題12分，6題共70分） 17．（2022·高一單元測試）4月23日是世界讀書日，樹人中學(xué)為了解本校學(xué)生課外閱讀情況，按性別進(jìn)行分層，用分層隨機(jī)抽樣的方法從全校學(xué)生中抽出一個容量為100的樣本，其中男生40名，女生60名.經(jīng)調(diào)查統(tǒng)計，分別得到40名男生一周課外閱讀時間（單位：小時）的頻數(shù)分布表和60名女生一周課外閱讀時間（單位：小時）的頻率分布直方圖：（以各組的區(qū)間中點值代表該組的各個值） （1）從一周課外閱讀時間為的學(xué)生中按比例分配抽取6人，從這6人中任意抽取2人，求恰好一男一女的概率； （2）分別估計男生和女生一周課外閱讀時間的平均數(shù)，； （3）估計總樣本的平均數(shù)和方差. 參考數(shù)據(jù)和公式：男生和女生一周課外閱讀時間方差的估計值分別為和.，和分別表示男生和女生一周閱讀時間的樣本，其中. 18．（2022春·新疆烏魯木齊·高一兵團(tuán)二中?？计谀┠承Ｉ鐖F(tuán)活動深受學(xué)生歡迎，每屆高一新生都踴躍報名加入.現(xiàn)已知高一某班60名同學(xué)中有4名男同學(xué)和2名女同學(xué)參加攝影社，在這6名同學(xué)中，2名同學(xué)初中畢業(yè)于同一所學(xué)校，其余4名同學(xué)初中畢業(yè)于其他4所不同的學(xué)?，F(xiàn)從這6名同學(xué)中隨機(jī)選取2名同學(xué)代表社團(tuán)參加校際交流（每名同學(xué)被選到的可能性相同). （1）在該班隨機(jī)選取1名同學(xué)，求該同學(xué)參加攝影社的概率； （2）求從這6名同學(xué)中選出的2名同學(xué)代表至少有1名女同學(xué)的概率； （3）求從這6名同學(xué)中選出的2名同學(xué)代表來自不同的初中學(xué)校的概率. 19．（2022·高一單元測試）某數(shù)學(xué)老師對本校2018屆高三學(xué)生某次聯(lián)考的數(shù)學(xué)成績進(jìn)行分析，按1：50進(jìn)行分層抽樣抽取20名學(xué)生的成績進(jìn)行分析，分?jǐn)?shù)用莖葉圖記錄如圖所示（部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失），得到的頻率分布表如下： （1）表中a，b的值及分?jǐn)?shù)在范圍內(nèi)的學(xué)生，并估計這次考試全校學(xué)生數(shù)學(xué)成績及格率（分?jǐn)?shù)在范圍為及格）； （2）從大于等于110分的學(xué)生隨機(jī)選2名學(xué)生得分，求2名學(xué)生的平均得分大于等于130分的概率． 20．（2022貴州六盤水）已知關(guān)于的二次函數(shù)，令集合，，若分別從集合、中隨機(jī)抽取一個數(shù)和，構(gòu)成數(shù)對. （1）列舉數(shù)對的樣本空間； （2）記事件為“二次函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為”，求事件的概率； （3）記事件為“關(guān)于的一元二次方程有4個零點”，求事件的概率. 21．（2022黑龍江）從某學(xué)校的800名男生中隨機(jī)抽取50名測量身高，被測學(xué)生身高全部介于155cm和195cm之間，將測量結(jié)果按如下方式分成八組：第一組，第二組，，第八組，下圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖的一部分，已知第一組與第八組人數(shù)相同，第六組的人數(shù)為4人． (1)求第七組的頻率； (2)估計該校的800名男生的身高的平均數(shù)和中位數(shù)； (3)若從身高屬于第六組和第八組的所有男生中隨機(jī)抽取兩名男生，記他們的身高分別為x，y，事件，求． 22．（2022·高一單元測試）某市小型機(jī)動車駕照“科二”考試中共有項考查項目，分別記作①、②、③、④、⑤. (1)某教練將所帶名學(xué)員“科二”模擬考試成績進(jìn)行統(tǒng)計（如表所示），并計算從恰有項成績不合格的學(xué)員中任意抽出人進(jìn)行補(bǔ)測（只測不合格的項目），求補(bǔ)測項目種類不超過項的概率. (2)“科二”考試中，學(xué)員需繳納元的報名費(fèi)，并進(jìn)行輪測試（按①、②、③、④、⑤的順序進(jìn)行）；如果某項目不合格，可免費(fèi)再進(jìn)行輪補(bǔ)測；若第輪補(bǔ)測中仍有不合格的項目，可選擇“是否補(bǔ)考”；若補(bǔ)考則需繳納元補(bǔ)考費(fèi)，并獲得最多輪補(bǔ)測機(jī)會，否則考試結(jié)束；每輪補(bǔ)測都按①，②，③，④，⑤的順序進(jìn)行，學(xué)員在任何輪測試或補(bǔ)測中個項目均合格，方可通過“科二”考試，每人最多只能補(bǔ)考次，某學(xué)員每輪測試或補(bǔ)考通過①、②、③、④、⑤各項測試的概率依次為、、、、，且他遇到“是否補(bǔ)考”的決斷時會選擇補(bǔ)考.求該學(xué)員能通過“科二”考試的概率. 男生一周閱讀時間頻數(shù)分布表小時頻數(shù)92533分?jǐn)?shù)段（分）合計頻數(shù)b頻率a 第10章 概率 章末測試（提升） 考試時間：120分鐘 滿分：150分 單選題(每題只有一個選擇為正確答案，每題5分，8題共40分) 1．（2022·高一單元測試）一個學(xué)習(xí)小組有5名同學(xué)，其中2名男生，3名女生．從這個小組中任意選出2名同學(xué)，則選出的同學(xué)中既有男生又有女生的概率為（????） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】5人小組中，設(shè)2男生分別為a,b，3名女生分別為A,B,C， 則任意選出2名同學(xué)，共有:10個基本事件， 其中選出的同學(xué)中既有男生又有女生共有6個基本事件， 所以, 故選：C 2．（2022秋·黑龍江哈爾濱）齊王與田忌賽馬，田忌的上等馬優(yōu)于齊王的中等馬，劣于齊王的上等馬，田忌的中等馬優(yōu)于齊王的下等馬，劣于齊王的中等馬，田忌的下等馬劣于齊王的下等馬．某天，齊王與田忌賽馬，雙方約定：比賽三局，每局各出一匹，每匹馬賽一次，贏得兩局者為勝，則田忌獲勝概率為（????）． A． B． C． D． 【答案】B 【解析】設(shè)齊王的三匹馬分別為，田忌的三匹馬分別為，所有比賽的情況:： 、、，齊王獲勝三局； 、、，齊王獲勝兩局； 、、，齊王獲勝兩局； 、、，齊王獲勝兩局； 、、，田忌獲勝兩局； 、、，齊王獲勝兩局，共6種情況，則田忌勝1種情況，故概率為 故選：B 3．（2022河南南陽）甲、乙兩隊進(jìn)行排球決賽，現(xiàn)在的情形是甲隊只要再贏一次就獲冠軍，乙隊需要再贏兩局才能得冠軍，若兩隊勝每局的概率相同，則甲隊獲得冠軍的概率為　　 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】甲要獲得冠軍共分為兩個情況： 一是第一場就取勝，這種情況的概率為 一是第一場失敗，第二場取勝，這種情況的概率為 則甲獲得冠軍的概率為 故選：A． 4．（2022春·甘肅天水·高一?？计谀仈S一個質(zhì)地均勻的骰子的試驗，事件A表示“小于5的偶數(shù)點出現(xiàn)”，事件B表示“不小于5的點數(shù)出現(xiàn)”，則一次試驗中，事件A或事件B至少有一個發(fā)生的概率為（????） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】事件A表示“小于5的偶數(shù)點出現(xiàn)”，事件B表示“不小于5的點數(shù)出現(xiàn)”，∴P(A)，P(B)， 又小于5的偶數(shù)點有2和4，不小于5的點數(shù)有5和6，所以事件A和事件B為互斥事件， 則一次試驗中，事件A或事件B至少有一個發(fā)生的概率為P（A∪B）＝P(A)+P(B)， 故選：A． 5．（2022江西贛州）概率論起源于博弈游戲．17世紀(jì)，曾有一個“賭金分配“的問題：博弈水平相當(dāng)?shù)募住⒁覂扇诉M(jìn)行博弈游戲，每局比賽都能分出勝負(fù)，沒有平局．雙方約定，各出賭金48枚金幣，先贏3局者可獲得全部賭金；但比賽中途因故終止了，此時甲贏了2局，乙贏了1局．問這96枚金幣的賭金該如何分配？數(shù)學(xué)家費(fèi)馬和帕斯卡都用了現(xiàn)在稱之為“概率“的知識，合理地給出了賭金分配方案．該分配方案是 A．甲48枚，乙48枚 B．甲64枚，乙32枚 C．甲72枚，乙24枚 D．甲80枚，乙16枚 【答案】C 【解析】根據(jù)題意，甲、乙兩人每局獲勝的概率均為， 假設(shè)兩人繼續(xù)進(jìn)行比賽，甲獲取96枚金幣的概率， 乙獲取96枚金幣的概率， 則甲應(yīng)該獲得枚金幣；乙應(yīng)該獲得枚金幣； 故選：C．. 6．（2022·高一單元測試）素數(shù)分布是數(shù)論研究的核心領(lǐng)域之一，含有眾多著名的猜想.世紀(jì)中葉，法國數(shù)學(xué)家波利尼亞克提出了“廣義孿生素數(shù)猜想”：對所有自然數(shù)，存在無窮多個素數(shù)對.其中當(dāng)時，稱為“孿生素數(shù)”，時，稱為“表兄弟素數(shù)”.在不超過的素數(shù)中，任選兩個不同的素數(shù)?()，令事件為孿生素數(shù)}，為表兄弟素數(shù)}，，記事件??發(fā)生的概率分別為??，則下列關(guān)系式成立的是（????） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】不超過的素數(shù)有、、、、、、、、、，共10個， 隨機(jī)選取兩個不同的素數(shù)、()，有(種)選法， 事件發(fā)生的樣本點為、、、共4個， 事件發(fā)生的樣本點為、、、共4個， 事件發(fā)生的樣本點為、、、、、 、、、、，共個， ∴，， 故. 故選：D. 7．（2022·高一課時練習(xí)）下列命題中正確的是（????） A．事件發(fā)生的概率等于事件發(fā)生的頻率 B．一個質(zhì)地均勻的骰子擲一次得到3點的概率是，說明這個骰子擲6次一定會出現(xiàn)一次3點 C．?dāng)S兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，事件為“一枚正面朝上，一枚反面朝上”，事件為“兩枚都是正面朝上”，則 D．對于兩個事件、，若，則事件與事件互斥 【答案】C 【解析】對于A選項，頻率與實驗次數(shù)有關(guān)，且在概率附近擺動，故A選項錯誤； 對于B選項，根據(jù)概率的意義，一個質(zhì)地均勻的骰子擲一次得到3點的概率是，表示一次實驗發(fā)生的可能性是，故骰子擲6次出現(xiàn)3點的次數(shù)也不確定，故B選項錯誤； 對于C選項，根據(jù)概率的計算公式得，，故，故C選項正確； 對于D選項，設(shè)，A事件表示從中任取一個數(shù)，使得的事件，則，B事件表示從中任取一個數(shù)，使得的事件，則，顯然，此時A事件與B事件不互斥，故D選項錯誤. 8．（2022湖北武漢）一個電路如圖所示，A，B，C，D，E，F(xiàn)為6個開關(guān)，其閉合的概率為，且是相互獨立的，則燈亮的概率是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】設(shè)與中至少有一個不閉合的事件為與至少有一個不閉合的事件為，則，所以燈亮的概率為 ， 故選B. 多選題（每題至少有兩個選項為正確答案，少選且正確得2分，每題5分。4題共20分） 9．（2023山東）下列說法正確的是（????） A．甲乙兩人獨立地解題，已知各人能解出的概率分別是0.5，0.25，則題被解出的概率是0.125 B．若，是互斥事件，則， C．某校200名教師的職稱分布情況如下：高級占比20%，中級占比50%，初級占比30%，現(xiàn)從中抽取50名教師做樣本，若采用分層抽樣方法，則高級教師應(yīng)抽取10人 D．一位男生和兩位女生隨機(jī)排成一列，則兩位女生相鄰的概率是 【答案】BCD 【解析】對于A，∵他們各自解出的概率分別是，，則此題不能解出的概率為 ，則此題能解出的概率為，故A錯； 對于B，若，是互斥事件，則，，故B正確； 對于C，高級教師應(yīng)抽取人，故C正確； 對于D，由列舉法可知，兩位女生相鄰的概率是，故D正確. 故選：BCD. 10．（2022·全國·高一專題練習(xí)）某社團(tuán)開展“建黨100周年主題活動——學(xué)黨史知識競賽”，甲、乙兩人能得滿分的概率分別為，，兩人能否獲得滿分相互獨立，則下列說法錯誤的是：（????） A．兩人均獲得滿分的概率為 B．兩人至少一人獲得滿分的概率為 C．兩人恰好只有甲獲得滿分的概率為 D．兩人至多一人獲得滿分的概率為 【答案】BCD 【解析】∵甲、乙兩人能得滿分的概率分別為，，兩人能否獲得滿分相互獨立， 分別記甲、乙得滿分的事件為，則獨立. ∴兩人均獲得滿分的概率為: ,故正確; 兩人至少一人獲得滿分的概率為: ，故錯誤； 兩人恰好只有甲獲得滿分的概率為: ，故錯誤； 兩人至多一人獲得滿分的概率為: ，故錯誤. 故選：. 11．（2022秋·河南南陽·高一校考期末）算盤是我國古代一項偉大的發(fā)明，是一類重要的計算工具.下圖是一把算盤的初始狀態(tài)，自右向左，分別表示個位?十位?百位?千位……，上面一粒珠子(簡稱上珠)代表5，下面一粒珠子(簡稱下珠)代表1，五粒下珠的大小等于同組一粒上珠的大小.例如，個位撥動一粒上珠?十位撥動一粒下珠至梁上，表示數(shù)字15.現(xiàn)將算盤的個位?十位?百位?千位分別隨機(jī)撥動一粒珠子至梁上，設(shè)事件“表示的四位數(shù)能被3整除”，“表示的四位數(shù)能被5整除”，則（????） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】只撥動一粒珠子至梁上，因此數(shù)字只表示1或5，四位數(shù)的個數(shù)是，能被3整除的數(shù)字1和5各出現(xiàn)2個，因此滿足條件的四位數(shù)和個數(shù)是，所以， 能被5帶除的四位數(shù)個數(shù)為，，能被15帶除的是能被3整除的四位數(shù)的個數(shù)是5，因此滿足這個條件的四位數(shù)的個數(shù)是，概率為， ． 故選：ACD． 12．（2022秋·山東威海·高一乳山市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）下列對各事件發(fā)生的概率判斷正確的是（） A．某學(xué)生在上學(xué)的路上要經(jīng)過4個路口，假設(shè)在各路口是否遇到紅燈是相互獨立的，遇到紅燈的概率都是，那么該生在上學(xué)路上到第3個路口首次遇到紅燈的概率為 B．三人獨立地破譯一份密碼，他們能單獨譯出的概率分別為，，，假設(shè)他們破譯密碼是彼此獨立的，則此密碼被破譯的概率為 C．甲袋中有8個白球，4個紅球，乙袋中有6個白球，6個紅球，從每袋中各任取一個球，則取到同色球的概率為 D．設(shè)兩個獨立事件A和B都不發(fā)生的概率為，A發(fā)生B不發(fā)生的概率與B發(fā)生A不發(fā)生的概率相同，則事件A發(fā)生的概率是 【答案】AC 【解析】對于A,該生在第3個路口首次遇到紅燈的情況為前2個路口不是紅燈,第3個路口是紅燈,所以概率為,故A正確； 對于B,用A、B、C分別表示甲、乙、丙三人能破譯出密碼,則,,,“三個人都不能破譯出密碼”發(fā)生的概率為,所以此密碼被破譯的概率為,故B不正確； 對于C,設(shè)“從甲袋中取到白球”為事件A,則,設(shè)“從乙袋中取到白球”為事件B,則,故取到同色球的概率為,故C正確； 對于D,易得,即, 即,∴,又, ∴,∴,故D錯誤 故選AC 三、填空題(每題5分，4題共20分) 13．（2022秋·廣東汕頭）若三個原件A，B，C按照如圖的方式連接成一個系統(tǒng)，每個原件是否正常工作不受其他元件的影響，當(dāng)原件A正常工作且B，C中至少有一個正常工作時，系統(tǒng)就正常工作，若原件A，B，C正常工作的概率依次為0.7，0.8，0.9，則這個系統(tǒng)正常工作的概率為______ 【答案】0.686 【解析】由題意，系統(tǒng)正常工作的情況分成兩個步驟，A正常工作且B，C至少有一個正常工作的情況，其中正常工作的概率為0.7；正常工作的概率為0.8, 正常工作的概率為0.9， 則與至少有一個正常工作的概率為， 所以這個系統(tǒng)正常工作的概率為：0.7×0.98＝0.686； 故答案為：0.686； 14．（2022·高一課時練習(xí)）口袋里裝有1紅，2白，3黃共6個形狀相同的小球，從中取出2球，事件“取出的兩球同色”，“取出的2球中至少有一個黃球”，“取出的2球至少有一個白球”，“取出的兩球不同色”，“取出的2球中至多有一個白球”.下列判斷中正確的序號為________. ①與為對立事件；②與是互斥事件；③與是對立事件：④；⑤. 【答案】①④ 【解析】口袋里裝有1紅，2白，3黃共6個形狀相同小球，從中取出2球， 事件 “取出的兩球同色”， “取出的2球中至少有一個黃球”， “取出的2球至少有一個白球”， “取出的兩球不同色”， “取出的2球中至多有一個白球”， ①，由對立事件定義得與為對立事件，故①正確； ②，與有可能同時發(fā)生，故與不是互斥事件，故②錯誤； ③，與有可能同時發(fā)生，不是對立事件，故③錯誤； ④，（C），（E），， 從而（C）（E），故④正確； ⑤，，從而（B）（C），故⑤錯誤． 故答案為：①④． 15．（2023湖北）將一顆質(zhì)地均勻的骰子(一種各個面上分別標(biāo)有1，2，3，4，5，6個點的正方體玩具)先后拋擲2次，則出現(xiàn)向上的點數(shù)之和小于10的概率是________． 【答案】 【解析】基本事件總數(shù)為36，點數(shù)之和小于10的基本事件共有30種，所以所求概率為 16．（2023陜西）由1， 2， 3， …，1000這個1000正整數(shù)構(gòu)成集合，先從集合中隨機(jī)取一個數(shù)，取出后把放回集合，然后再從集合中隨機(jī)取出一個數(shù)，則的概率為______． 【答案】 【解析】由題可知，，且，要使得，即：，則有： 當(dāng)時，或，有2種取法；當(dāng)時，的取值增加3、4、5，有2+3種取法； 當(dāng)時，的取值增加6、7、8，有種取法； 當(dāng)時，有種取法； 當(dāng)時，都有1000種取法. 故. 故答案為：. 四、解答題（17題10分，其余每題12分，6題共70分） 17．（2022·高一單元測試）4月23日是世界讀書日，樹人中學(xué)為了解本校學(xué)生課外閱讀情況，按性別進(jìn)行分層，用分層隨機(jī)抽樣的方法從全校學(xué)生中抽出一個容量為100的樣本，其中男生40名，女生60名.經(jīng)調(diào)查統(tǒng)計，分別得到40名男生一周課外閱讀時間（單位：小時）的頻數(shù)分布表和60名女生一周課外閱讀時間（單位：小時）的頻率分布直方圖：（以各組的區(qū)間中點值代表該組的各個值） （1）從一周課外閱讀時間為的學(xué)生中按比例分配抽取6人，從這6人中任意抽取2人，求恰好一男一女的概率； （2）分別估計男生和女生一周課外閱讀時間的平均數(shù)，； （3）估計總樣本的平均數(shù)和方差. 參考數(shù)據(jù)和公式：男生和女生一周課外閱讀時間方差的估計值分別為和.，和分別表示男生和女生一周閱讀時間的樣本，其中. 【答案】（1）；（2），；（3），. 【解析】（1）一周課外閱讀時間為的學(xué)生中男生有3人，女生有人， 若從中按比例分配抽取6人，則男生有1人，記為，女生有5人，記為，，，，， 則樣本空間， 記事件“恰好一男一女”，則， 所以， 所以從這6人中任意抽取2人恰好一男一女的概率為； （2）估計男生一周課外閱讀時間平均數(shù)； 估計女生一周課外閱讀時間的平均數(shù). （3）估計總樣本的平均數(shù)， ∵， ∴，， ，， ∴， 所以估計總樣本的平均數(shù)和方差分別是3.6和3. 18．（2022春·新疆烏魯木齊·高一兵團(tuán)二中?？计谀┠承Ｉ鐖F(tuán)活動深受學(xué)生歡迎，每屆高一新生都踴躍報名加入.現(xiàn)已知高一某班60名同學(xué)中有4名男同學(xué)和2名女同學(xué)參加攝影社，在這6名同學(xué)中，2名同學(xué)初中畢業(yè)于同一所學(xué)校，其余4名同學(xué)初中畢業(yè)于其他4所不同的學(xué)校現(xiàn)從這6名同學(xué)中隨機(jī)選取2名同學(xué)代表社團(tuán)參加校際交流（每名同學(xué)被選到的可能性相同). （1）在該班隨機(jī)選取1名同學(xué)，求該同學(xué)參加攝影社的概率； （2）求從這6名同學(xué)中選出的2名同學(xué)代表至少有1名女同學(xué)的概率； （3）求從這6名同學(xué)中選出的2名同學(xué)代表來自不同的初中學(xué)校的概率. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】（1）依題意，該班60名同學(xué)中共有6名同學(xué)參加攝影社， 所以在該班隨機(jī)選取1名同學(xué)，該同學(xué)參加攝影社的概率為. （2）設(shè)表示參加攝影社的男同學(xué)，表示參加攝影社的女同學(xué)， 則從6名同學(xué)中選出的2名同學(xué)代表共有15種等可能的結(jié)果： ， 其中至少有1名女同學(xué)的結(jié)果有9種： ， 根據(jù)古典概率計算公式，從6名同學(xué)中選出的2名同學(xué)代表至少有1名女同學(xué)的概率為 （3）用1，2，3，4表示這6名同學(xué)中選出的4同學(xué)代表來自不同的初中學(xué)校的同學(xué)，用e，f表示2名來自同一個學(xué)校的2名同學(xué). 從6名同學(xué)中選出2名，有：12，13，14，1e，1f，23，24，2e，2f，34，3e，3f，4e，4f，ef共15種不同情況，其中2名同學(xué)代表來自不同的初中學(xué)校12，13，14，1e，1f，23，24，2e，2f，34，3e，3f，4e，4f有14種， 所以從這6名同學(xué)中選出的2名同學(xué)代表來自不同的初中學(xué)校的概率 19．（2022·高一單元測試）某數(shù)學(xué)老師對本校2018屆高三學(xué)生某次聯(lián)考的數(shù)學(xué)成績進(jìn)行分析，按1：50進(jìn)行分層抽樣抽取20名學(xué)生的成績進(jìn)行分析，分?jǐn)?shù)用莖葉圖記錄如圖所示（部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失），得到的頻率分布表如下： （1）表中a，b的值及分?jǐn)?shù)在范圍內(nèi)的學(xué)生，并估計這次考試全校學(xué)生數(shù)學(xué)成績及格率（分?jǐn)?shù)在范圍為及格）； （2）從大于等于110分的學(xué)生隨機(jī)選2名學(xué)生得分，求2名學(xué)生的平均得分大于等于130分的概率． 【答案】（1），，及格率為；（2）. 【解析】（1）由莖葉圖可知分?jǐn)?shù)在范圍內(nèi)的有2人，在范圍內(nèi)的有3人，∴，． 又分?jǐn)?shù)在范圍內(nèi)的頻率為，∴分?jǐn)?shù)在范圍內(nèi)的頻率為， ∴分?jǐn)?shù)在范圍內(nèi)的人數(shù)為，由莖葉圖可知分?jǐn)?shù)范圍內(nèi)的人數(shù)為4人， ∴分?jǐn)?shù)在范圍內(nèi)的學(xué)生數(shù)為（人）． 從莖葉圖可知分?jǐn)?shù)在范圍內(nèi)的頻率為0.25，所以有（人）， ∴數(shù)學(xué)成績及格的學(xué)生為：人，∴估計全校數(shù)學(xué)成績及格率為． （2）設(shè)A表示事件“大于等于110分的學(xué)生中隨機(jī)選2名學(xué)生得分，平均得分大于等于130分”， 由莖葉圖可知大于等于110分有5人，記這5人分別為 ， 則選取學(xué)生的所有可能結(jié)果為，，，，，，，，，，基本事件數(shù)為10， 事件“2名學(xué)生的平均得分大于等于130分”也就是“這兩個學(xué)生的分?jǐn)?shù)之和大于等于260”， 所以可能結(jié)果為，，，，共4種情況，基本事件數(shù)為4， ∴． 20．（2022貴州六盤水）已知關(guān)于的二次函數(shù)，令集合，，若分別從集合、中隨機(jī)抽取一個數(shù)和，構(gòu)成數(shù)對. （1）列舉數(shù)對的樣本空間； （2）記事件為“二次函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為”，求事件的概率； （3）記事件為“關(guān)于的一元二次方程有4個零點”，求事件的概率. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】（1）由題意可得，，， 數(shù)對的樣本空間為； （2）若二次函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為， 則二次函數(shù)的對稱軸，即， 由（1）可得，總的基本事件個數(shù)為20個， 符合的基本事件為：，，，共4個， 所以； （3）因為，二次函數(shù)的圖象開口向上， 方程有4個零點，即方程和各有2個零點， 等價于二次函數(shù)的最小值小于， 所以，即， 樣本空間中符合的基本事件有：，，，，，，，，，，，共11個， 所以. 21．（2022黑龍江）從某學(xué)校的800名男生中隨機(jī)抽取50名測量身高，被測學(xué)生身高全部介于155cm和195cm之間，將測量結(jié)果按如下方式分成八組：第一組，第二組，，第八組，下圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖的一部分，已知第一組與第八組人數(shù)相同，第六組的人數(shù)為4人． (1)求第七組的頻率； (2)估計該校的800名男生的身高的平均數(shù)和中位數(shù)； (3)若從身高屬于第六組和第八組的所有男生中隨機(jī)抽取兩名男生，記他們的身高分別為x，y，事件，求． 【答案】(1)；(2)平均數(shù)為，中位數(shù)為；(3)． 【解析】：(1)第六組的頻率為， ∴第七組的頻率為． (2)由直方圖得，身高在第一組的頻率為， 身高在第二組的頻率為， 身高在第三組的頻率為， 身高在第四組的頻率為， 由于，， 設(shè)這所學(xué)校的800名男生的身高中位數(shù)為m，則， 由得， 所以這所學(xué)校的800名男生的身高的中位數(shù)為174.5cm，平均數(shù)為 ． (3)第六組的抽取人數(shù)為4，設(shè)所抽取的人為a，b，c，d， 第八組的抽取人數(shù)為，設(shè)所抽取的人為A，B， 則從中隨機(jī)抽取兩名男生有ab，ac，ad，bc，bd，cd，aA，aB，bA，bB，cA，cB，dA，dB，AB共15種情況， 因事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)隨機(jī)抽取的兩名男生在同一組，所以事件E包含的基本事件為ab，ac，ad，bc，bd，cd，AB共7種情況．所以． 22．（2022·高一單元測試）某市小型機(jī)動車駕照“科二”考試中共有項考查項目，分別記作①、②、③、④、⑤. (1)某教練將所帶名學(xué)員“科二”模擬考試成績進(jìn)行統(tǒng)計（如表所示），并計算從恰有項成績不合格的學(xué)員中任意抽出人進(jìn)行補(bǔ)測（只測不合格的項目），求補(bǔ)測項目種類不超過項的概率. (2)“科二”考試中，學(xué)員需繳納元的報名費(fèi)，并進(jìn)行輪測試（按①、②、③、④、⑤的順序進(jìn)行）；如果某項目不合格，可免費(fèi)再進(jìn)行輪補(bǔ)測；若第輪補(bǔ)測中仍有不合格的項目，可選擇“是否補(bǔ)考”；若補(bǔ)考則需繳納元補(bǔ)考費(fèi)，并獲得最多輪補(bǔ)測機(jī)會，否則考試結(jié)束；每輪補(bǔ)測都按①，②，③，④，⑤的順序進(jìn)行，學(xué)員在任何輪測試或補(bǔ)測中個項目均合格，方可通過“科二”考試，每人最多只能補(bǔ)考次，某學(xué)員每輪測試或補(bǔ)考通過①、②、③、④、⑤各項測試的概率依次為、、、、，且他遇到“是否補(bǔ)考”的決斷時會選擇補(bǔ)考.求該學(xué)員能通過“科二”考試的概率. 【答案】(1) (2) 【解析】（1） 根據(jù)題意，學(xué)員（1）、（2）、（4）、（6）、（9）恰有兩項不合格， 從中任意抽出人，所有可能的情況如下： 由表可知，全部種可能的情況中，有種情況補(bǔ)測項數(shù)不超過， 故所求概率為； （2） 由題意可知，該學(xué)員順利完成每輪測試（或補(bǔ)測）的概率為： ， 由題意，該學(xué)員無法通過“科二”考試，當(dāng)且僅當(dāng)其測試與次補(bǔ)測均未能完成項測試， 相應(yīng)概率為，故學(xué)員能通過“科二”考試的概率為 男生一周閱讀時間頻數(shù)分布表小時頻數(shù)92533分?jǐn)?shù)段（分）合計頻數(shù)b頻率a學(xué)員編號補(bǔ)測編號項數(shù)（1）（2）②③⑤3（1）（4）②③④⑤4（1）（6）③④⑤3（1）（9）①③⑤3（2）（4）②④⑤3（2）（6）②③④⑤4（2）（9）①②⑤3（4）（6）②③④3（4）（9）①②④⑤4（6）（9）①③④⑤4

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