專題2.10 一元二次方程章末八大題型總結(jié)（拔尖篇） 【北師大版】 TOC \o "1-3" \h \u   HYPERLINK \l "_Toc2359" 【題型1 利用根與系數(shù)的關(guān)系降次求值】  PAGEREF _Toc2359 \h 1  HYPERLINK \l "_Toc11610" 【題型2 利用一元二次方程的解法解特殊方程】  PAGEREF _Toc11610 \h 1  HYPERLINK \l "_Toc5857" 【題型3 利用一元二次方程求最值】  PAGEREF _Toc5857 \h 2  HYPERLINK \l "_Toc22316" 【題型4 利用一元二次方程的根求取值范圍】  PAGEREF _Toc22316 \h 3  HYPERLINK \l "_Toc25497" 【題型5 一元二次方程中的新定義問題】  PAGEREF _Toc25497 \h 3  HYPERLINK \l "_Toc19093" 【題型6 一元二次方程中的規(guī)律探究】  PAGEREF _Toc19093 \h 4  HYPERLINK \l "_Toc21578" 【題型7 一元二次方程在幾何中的動(dòng)點(diǎn)問題】  PAGEREF _Toc21578 \h 6  HYPERLINK \l "_Toc4319" 【題型8 一元二次方程與幾何圖形的綜合問題】  PAGEREF _Toc4319 \h 7  【題型1 利用根與系數(shù)的關(guān)系降次求值】 【例1】（2023春·安徽池州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知α和β是方程x2+2023x+1=0的兩個(gè)根，則α2+2024α+2β2+2024β+2的值為（????） A．?2021 B．2021 C．?2023 D．2023 【變式1-1】（2023春·四川南充·九年級(jí)四川省營(yíng)山中學(xué)校?？计谥校┮阎猘，b是方程x2?x?1=0的兩根，則代數(shù)式2a3+5a+3b3+3b+1的值是（????） A．19 B．20 C．14 D．15 【變式1-2】（2023春·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）已知a是方程x2?2021x+1=0的一個(gè)根，則a3?2021a2?2021a2+1= ． 【變式1-3】（2023春·四川自貢·九年級(jí)統(tǒng)考期末）若m、n是一元二次方程x2+2x?1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則n3+n2m2n?1的值為（????） A．1 B．-1 C．2 D．-2 【題型2 利用一元二次方程的解法解特殊方程】 【例2】（2023春·上海青浦·九年級(jí)?？计谀┙夥匠蹋?(1)x+2?8?x=2； (2)2xx2?2x?3?1x?3=1； (3)2x2?32x2?1+1=0 【變式2-1】（2023春·上海·九年級(jí)期中）解方程：mx2?3=x2+2 m≠1 【變式2-2】（2023春·內(nèi)蒙古通遼·九年級(jí)統(tǒng)考期末）閱讀理解： 解方程：x3?x=0． 解：方程左邊分解因式，得 x(x+1)(x?1)=0， 解得x1=0，x2=1，x3=?1． 問題解決： （1）解方程：4x3?12x2?x=0． （2）解方程：(x2?x)2?3(x2?x)=0． （3）方程(2x2?x+1)2?2(2x2?x)?5=0的解為 ． 【變式2-3】（2023春·江西景德鎮(zhèn)·九年級(jí)景德鎮(zhèn)一中?？计谀┙夥匠蹋?(1)x4+2x3?9x2?2x+8=0； (2)|x?1|+|x?2|+|2x?3|=4； (3)x2+y2+xy?3y+3=0． 【題型3 利用一元二次方程求最值】 【例3】（2023春·江西景德鎮(zhèn)·九年級(jí)景德鎮(zhèn)一中?？计谀┰O(shè)實(shí)數(shù)x,y,z滿足x2+y2+z2?xy?yz?zx=27，則y?z的最大值為 . 【變式3-1】（2023春·四川瀘州·九年級(jí)?？计谀┮阎獙?shí)數(shù)x，y滿足x2+3x+y?3=0，則x+y的最大值為 ． 【變式3-2】（2023·浙江金華·九年級(jí)期中）當(dāng)a= ，b= 時(shí)，多項(xiàng)式a2?2ab+2b2?2a?4b+25有最小值，這個(gè)最小值是 ． 【變式3-3】（2023春·山東濟(jì)南·九年級(jí)階段練習(xí)）閱讀下面材料： 麗麗這學(xué)期學(xué)習(xí)了軸對(duì)稱的知識(shí)，知道了像角、等腰三角形、正方形、圓等圖形都是軸對(duì)稱圖形.類比這一特性，麗麗發(fā)現(xiàn)像m+n，mnp，m2+n2等代數(shù)式，如果任意交換兩個(gè)字母的位置，式子的值都不變.太神奇了！于是她把這樣的式子命名為神奇對(duì)稱式. 她還發(fā)現(xiàn)像m2+n2，(m-1)(n-1)等神奇對(duì)稱式都可以用mn,m+n表示.例如：m2+n2=(m+n)2?2mn，?(m?1)(n?1)=mn?(m+n)+1.于是麗麗把mn?和?m+n稱為基本神奇對(duì)稱式 . 請(qǐng)根據(jù)以上材料解決下列問題： （1）代數(shù)式①1mn ， ②m2?n2 ， ③nm， ④ xy + yz + zx中，屬于神奇對(duì)稱式的是__________（填序號(hào)）； （2）已知(x?m)(x?n)=x2?px+q. ① q=__________（用含m，n的代數(shù)式表示）； ② 若p=3，??q=?2，則神奇對(duì)稱式1m+1n=__________； ③ 若p2?q=0 ，求神奇對(duì)稱式m3+1m+n3+1n的最小值. 【題型4 利用一元二次方程的根求取值范圍】 【例4】（2023春·四川眉山·九年級(jí)?？计谥校╆P(guān)于x的方程ax2+（a+2）x+9a＝0有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根x1，x2，且x1＜1＜x2，那么a的取值范圍是（　　） A．﹣27＜a＜25 B．a(chǎn)＞25 C．a(chǎn)＜﹣27 D．﹣211＜a＜0 【變式4-1】（2023春·全國(guó)·九年級(jí)期中）已知m、n是關(guān)于x的一元二次方程x2+px+q＝0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且m2+mn+n2＝3，則q的取值范圍是 ． 【變式4-2】（2023春·江西景德鎮(zhèn)·九年級(jí)景德鎮(zhèn)一中?？计谀╆P(guān)于x的方程(1?m2)x2?2mx?1=0的所有根都是比2小的正實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 ． 【變式4-3】（2023春·山東煙臺(tái)·九年級(jí)山東省煙臺(tái)第十中學(xué)校考期中）若關(guān)于x的方程(m2?5m+6)x2?(3?m)x+14=0無解，則m的取值范圍是 ． 【題型5 一元二次方程中的新定義問題】 【例5】（2023春·四川資陽·九年級(jí)統(tǒng)考期末）定義：已知x1，x2是關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，若x1

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