專題3.1 簡單事件的概率【十大題型】 【北師大版】 TOC \o "1-3" \h \u   HYPERLINK \l "_Toc3900" 【題型1 根據(jù)概率公式計算概率】  PAGEREF _Toc3900 \h 1  HYPERLINK \l "_Toc24704" 【題型2 幾何概率】  PAGEREF _Toc24704 \h 3  HYPERLINK \l "_Toc3486" 【題型3 游戲的公平性】  PAGEREF _Toc3486 \h 6  HYPERLINK \l "_Toc25335" 【題型4 概率在比賽中的應用】  PAGEREF _Toc25335 \h 10  HYPERLINK \l "_Toc20093" 【題型5 概率在電路問題中的應用】  PAGEREF _Toc20093 \h 14  HYPERLINK \l "_Toc1062" 【題型6 概率在轉盤抽獎中的應用】  PAGEREF _Toc1062 \h 18  HYPERLINK \l "_Toc2478" 【題型7 概率在摸球試驗中的應用】  PAGEREF _Toc2478 \h 22  HYPERLINK \l "_Toc6144" 【題型8 概率中的其他應用】  PAGEREF _Toc6144 \h 26  HYPERLINK \l "_Toc6394" 【題型9 概率與統(tǒng)計的綜合】  PAGEREF _Toc6394 \h 29  HYPERLINK \l "_Toc14379" 【題型10 用頻率估計概率】  PAGEREF _Toc14379 \h 36  【知識點1 概率】 一般地，對于一個隨機事件A，我們把刻畫其發(fā)生可能性大小的數(shù)值，稱為隨機事件A發(fā)生的概率，記作P（A）。 一般地，如果在一次試驗中，有n種可能的結果，并且它們發(fā)生的可能性都相等，事件A包含其中的m種結果，那么事件A發(fā)生的概率P（A）=mn。由m與n的含義可知0≤m≤n，因此0≤mn≤1，因此0≤P（A）≤1、 當A為必然事件時，P（A）=1；當A為不可能事件時，P（A）=0. 【題型1 根據(jù)概率公式計算概率】 【例1】（2023春·四川廣元·九年級統(tǒng)考期末）在一個不透明的盒子中，裝有2個白球和1個紅球，這些球除顏色外其余都相同.攪勻后從中任意摸出一個球，要使摸出紅球的概率為12，應在該盒子中再添加紅球（????） A．2個 B．3個 C．4個 D．1個 【答案】D 【分析】首先設應在該盒子中再添加紅球x個，根據(jù)題意得x+1x+1+2＝12，解此分式方程即可求得答案． 【詳解】解：設應在該盒子中再添加紅球x個， 根據(jù)題意得：x+1x+1+2＝12， 解得：x=1， 經(jīng)檢驗，x=1是原分式方程的解． 故選：D． 【點睛】此題考查了概率公式的應用．用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比． 【變式1-1】（2023春·遼寧鐵嶺·九年級統(tǒng)考期末）四張完全相同的卡片上，分別畫有等邊三角形、平行四邊形、菱形、正五邊形，現(xiàn)從中隨機抽取一張，卡片上畫的恰好是軸對稱圖形的概率為（????） A．14 B．12 C．34 D．1 【答案】C 【分析】首先由等邊三角形、平行四邊形、菱形、正五邊形中是軸對稱圖形的有等邊三角形、菱形、正五邊形，再直接利用概率公式求解即可求得答案． 【詳解】解：∵等邊三角形、平行四邊形、、菱形、正五邊形中是軸對稱圖形的有等邊三角形、菱形、正五邊形， ∴現(xiàn)從中隨機抽取一張，卡片上畫的圖形恰好是軸對稱圖形的概率是：34， 故選：C． 【點睛】本題主要考查了概率公式，軸對稱圖形的識別，解題的關鍵是掌握隨機事件A的概率P(A)=事件A可能出現(xiàn)的結果數(shù)÷所有可能出現(xiàn)的結果數(shù)． 【變式1-2】（2023春·山東煙臺·九年級統(tǒng)考期末）李明用6個球設計了一個摸球游戲，共有四種方案，肯定不能成功的是（????） A．摸到黃球、紅球的概率均為12 B．摸到黃球的概率是23，摸到紅球、白球的概率均為13 C．摸到黃球、紅球、白球的概率分別為12、13、16 D．摸到黃球、紅球、白球的概率都是13 【答案】B 【分析】分析各個選項中的概率之和即可選出不成功的選項． 【詳解】A.P摸到黃球+P摸到紅球=12+12=1； B.P摸到黃球+P摸到紅球+P摸到b白球=23+13+13>1，不成立； C.P摸到黃球+P摸到紅球+P摸到b白球=12+13+16=1; D.P摸到黃球+P摸到紅球+P摸到b白球=13+13+13=1; 故選：B． 【點睛】本題考查簡單事件的概率．一次試驗中有n種等可能的結果，每種結果出現(xiàn)的概率之和為1． 【變式1-3】（2023春·四川瀘州·九年級統(tǒng)考期末）九年級學生李明每天騎自行車上學時都要經(jīng)過一個十字路口，設十字路口有紅、黃、綠三色交通信號燈，他在路口遇到紅燈的概率為13，遇到黃燈的概率為29，那么他遇到綠燈的概率為（　?。?A．19 B．29 C．49 D．59 【答案】C 【分析】利用十字路口有紅、黃、綠三色交通信號燈，遇到每種信號燈的概率之和為1，進而求出即可． 【詳解】解：∵十字路口有紅、黃、綠三色交通信號燈，他在路口遇到紅燈的概率為13，遇到黃燈的概率為29， ∴他遇到綠燈的概率為： 1?13?29=49． 故選：C． 【點睛】本題考查了概率公式，掌握遇到每種信號燈的概率之和為1是關鍵． 【知識點2 用列表法、樹狀圖法求概率】 列表法：當一次試驗要涉及兩個因素并且可能出現(xiàn)得結果數(shù)目較多時，為不重不漏地列出所有可能得結果，通常用列表法。列表法就是用表格得形式反映事件發(fā)生得各種情況出現(xiàn)的次數(shù)與方式，以及某一事件發(fā)生的可能的次數(shù)與方式，并求出概率的方法。 樹狀圖法：當一次試驗要涉及3個或更多得因素時，列方形表就不方便了，為不重不漏地列出所有可能得結果，通常采用樹形圖。樹形圖就是反映事件發(fā)生得各種情況出現(xiàn)得次數(shù)與方式，并求出概率得方法。 （1）樹形圖法同樣適用于各種情況出現(xiàn)得總次數(shù)不就是很大時求概率得方法。 （2）在用列表法與樹形圖法求隨機事件得概率時，應注意各種情況出現(xiàn)得可能性務必相同。 【題型2 幾何概率】 【例2】（2023春·山東淄博·九年級統(tǒng)考期末）一只蜘蛛爬到如圖所示的一面墻上，停留位置是隨機的，則停留在陰影區(qū)域上的概率是（????） A．23 B．12 C．13 D．16 【答案】C 【分析】設每小格的面積為1，易得整個方磚的面積為9，陰影區(qū)域的面積3，然后根據(jù)概率的定義計算即可． 【詳解】解：設每小格的面積為1， ∴整個方磚的面積為9， 陰影區(qū)域的面積為3， ∴最終停在陰影區(qū)域上的概率為：39=13． 故選：C． 【點睛】本題考查了求幾何概率的方法：先利用幾何性質(zhì)求出整個幾何圖形的面積n,再計算出其中某個區(qū)域的幾何圖形的面積m,然后根據(jù)概率的定義計算出落在這個幾何區(qū)域的事件的概率=mn． 【變式2-1】（2023·廣西河池·九年級統(tǒng)考期末）如圖，正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，⊙O的直徑為2分米，若在這個圓面上隨意拋一粒豆子，則豆子落在正方形ABCD內(nèi)的概率是（　?。? A．2π B．π2 C．12π D．2π 【答案】A 【分析】在這個圓面上隨意拋一粒豆子，落在圓內(nèi)每一個地方是均等的，因此計算出正方形和圓的面積，利用幾何概率的計算方法解答即可. 【詳解】因為⊙O的直徑為2分米，則半徑為22分米，⊙O的面積為π222=π2平方分米； 正方形的邊長為222+222=1分米，面積為1平方分米； 因為豆子落在圓內(nèi)每一個地方是均等的， 所以P（豆子落在正方形ABCD內(nèi)）=1π2=2π． 故答案為A． 【點睛】此題主要考查幾何概率的意義：一般地，如果試驗的基本事件為m，隨機事件A所包含的基本事件數(shù)為n，我們就用來描述事件A出現(xiàn)的可能性大小，稱它為事件A的概率，記作P（A），即有 P（A）=nm，熟記概率公式是解題的關鍵． 【變式2-2】（2023春·河北唐山·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，AD為中線，點E，F(xiàn)，G為AD的四等分點，在△ABC內(nèi)任意拋一粒豆子，豆子落在陰影部分的概率為 ． 【答案】38 【分析】先求出陰影部分的面積與總面積的關系，再根據(jù)概率=相應的面積與總面積之比即可求出答案． 【詳解】解：∵在△ABC中，AD為中線， ∴S△ADC=12S△ABC，S△ADC=S△ADB， ∵點E、F、G為AD的四等分點， ∴S△EDC=34S△ADC，S△CGF=14S△ADC，S△BGF=14S△ADB， ∴，S△EDC=34×12S△ABC=38S△ABC， ∴S陰影部分=38S△ABC， ∴豆子落在陰影部分的概率為38． 故答案為：38． 【點睛】此題考查了幾何概率，關鍵是求出陰影部分的面積與總面積的關系，用到的知識點為：概率=相應的面積與總面積之比． 【變式2-3】（2023春·江蘇泰州·九年級統(tǒng)考期末）七巧板是我國古代勞動人民的發(fā)明之一，被譽為“東方魔板”，它是由五塊等腰直角三角形、一塊正方形和一塊平行四邊形共七塊板組成的．如圖是一個用七巧板拼成的正方形，如果在此正方形中隨機取一點，那么此點取自黑色部分的概率是 ． 【答案】316 【分析】設正方形的邊長為4，將△BIC的面積和?GHEF的面積計算出來，再用陰影部分的面積除以正方形的面積即可求出此點取自黑色部分的概率. 【詳解】設正方形ABDF的邊長為4， 則S正方形ABDF=42=16,且BC=CD=DE=EF=2 ∵△BIC是等腰直角三角形 ∴∠IBC=45° ∴IC=BCsin45°=2×22=2???? ∴BI=2 ∴S△BIC=12×2×2=1 ∵Rt△CDE中，CD=2,∠ECD=45° ∴CE=2CD=22 ∴HE=12CE=2 OH=IC=2 ∴S?GHEF=HE?OH=2×2=2 ∴S陰影=S△BIC+SGHEF?=1+2=3 ∴此點取自黑色部分的概率是S陰影S正方形ABDF=316 【點睛】本題主要考查了幾何概率的求法，解題的關鍵是正確計算出陰影部分的面積. 【題型3 游戲的公平性】 【例3】（2023春·四川雅安·九年級統(tǒng)考期末）一個不透明的布袋里裝有20個除顏色外均相同的小球，其中白球有x個，紅球有2x個，其他均為黃球．現(xiàn)從布袋中隨機摸出一個球，若是紅球則甲同學獲勝，若為黃球，則乙同學獲勝． (1)當x=5時，誰獲勝的可能性大？ (2)要使游戲對甲乙雙方是公平的，x應取何值？ 【答案】(1)摸到紅球的可能性更大 (2)x=4 【分析】（1）根據(jù)x=5時，紅球的個數(shù)多于黃球的個數(shù)，即可得出結論； （2）根據(jù)概率相等時，游戲公平，列式求解即可． 【詳解】（1）解：當x=5時，則紅球有10個，黃球有5個， ∵紅球的個數(shù)多于黃球的個數(shù)， ∴摸到紅球的可能性更大， ∴當x=5時，甲同學獲勝可能性大； （2）要使游戲對甲乙雙方公平，必須有：2x20=20?3x20 解得x=4； ∴當x=4時，游戲對甲乙雙方是公平的． 【點睛】本題考查利用概率解決游戲公平性．熟練掌握概率公式，是解題的關鍵． 【變式3-1】（2023春·新疆·九年級新疆農(nóng)業(yè)大學附屬中學校考期末）有3張背面相同的紙牌A，B，C，其正面分別畫有三個不同的圖形（如圖），將這3張紙牌洗勻后，背面朝上放在桌面上． (1)隨機地摸出一張，求摸出牌面圖形是軸對稱圖形的概率； (2)小華和小明玩游戲，規(guī)則是：隨機地摸出一張，放回洗勻后再摸一張．若摸出兩張牌面圖形都是軸對稱圖形的紙牌，則小華贏；否則，小明贏．你認為該游戲公平嗎？請用畫樹狀圖或列表法說明理由．（紙牌可用A，B，C表示） 【答案】(1)23 (2)不公平，理由見解析 【分析】（1）隨機地摸出一張共有3種等可能的結果，其中摸出牌面圖形是軸對稱圖形的結果有2種，再利用概率公式計算即可得； （2）先畫出樹狀圖，從而可得摸出兩張牌的所有等可能的結果，再找出摸出兩張牌面圖形都是軸對稱圖形的結果，然后利用概率公式求出摸出兩張牌面圖形都是軸對稱圖形、摸出兩張牌面圖形不都是軸對稱圖形的概率，由此即可得． 【詳解】（1）解：由題意，隨機地摸出一張共有3種等可能的結果，其中摸出牌面圖形是軸對稱圖形的結果有紙牌A,B，共2種， 則摸出牌面圖形是軸對稱圖形的概率為P=23． （2）解：由題意，畫出樹狀圖如下： 由圖可知，摸出兩張牌共有9種等可能的結果，其中摸出兩張牌面圖形都是軸對稱圖形的結果有4種、摸出兩張牌面圖形不都是軸對稱圖形的結果有5種， 則摸出兩張牌面圖形都是軸對稱圖形的概率是49，摸出兩張牌面圖形不都是軸對稱圖形的概率是59， 因為49≠59， 所以這個游戲不公平． 【點睛】本題考查了簡單的概率計算、利用列舉法求概率，正確畫出樹狀圖是解題關鍵． 【變式3-2】（2023·北京海淀·九年級期末）在一只不透明的袋中，裝著標有數(shù)字4，5，7，9的質(zhì)地、大小均相同的四個小球．小明和小東同時從袋中隨機各摸出1個球，并計算這兩球上的數(shù)字之和，當和小于13時小明獲勝，反之小東獲勝． (1)請用列表的方法，求小明獲勝的概率； (2)這個游戲公平嗎？請說明理由． 【答案】(1)12； (2)游戲公平，理由如下． 【分析】（1）根據(jù)題意以小明為橫排，小東為豎列，列出所有情況，找到和小于13時的情況及大于或等于13的情況，根據(jù)P(m)=mn即可得到答案； （2）比較小東、小明的概率即可得到公平性． 【詳解】（1）解：由題意可得，以小明為橫排，小東為豎列，列表如下： 根據(jù)表可知：總共有12種情況，小于13的有6種，大于或等于13的有6種， ∴P(小明)=612=12 ； （2）解：這個游戲公平，理由如下， 由（1）得， P(小東)=612=12， ∴P(小明)=P(小東)=12 ∴這個游戲公平． 【點睛】本題考查用列表法求概率及判斷游戲公平性，解題的關鍵是，列出表格，找到所有情況及小于13的情況． 【變式3-3】（2023春·黑龍江黑河·九年級統(tǒng)考期末）淘淘和明明玩骰子游戲，每人將一個各面分別標有1，2，3，4，5，6的正方體骰子擲一次，把兩人擲得的點數(shù)相加，并約定：點數(shù)之和等于6，淘淘贏；點數(shù)之和等于7，明明贏；點數(shù)之和是其它數(shù)，兩人不分勝負． (1)請你用“畫樹狀圖”或“列表”的方法分析說明此游戲是否公平． (2)請你基于（1）問中得到的數(shù)據(jù)，設計出一種公平的游戲規(guī)則．(列出一種即可) 【答案】(1)此游戲不公平，見解析 (2)點數(shù)之和等于6，淘淘贏；點數(shù)之和等于8，明明贏 【分析】（1）畫樹狀圖求出淘淘和明明獲勝的概率，再比較概率即可判定游戲是否公平； （2）設計一個兩人獲勝概率一樣的游戲規(guī)則即可． 【詳解】（1）解：畫樹狀圖： 由圖可知，點數(shù)之和共有36種可能的結果，其中6出現(xiàn)5次，7出現(xiàn)6次， 故P(和為6)=536，P(和為7)=636． P(和為6)5， ∴李同學應該買一個小盲盒好． 【點睛】本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率和概率的應用．列表法或畫樹狀圖法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，列表法適合于兩步完成的事件，樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件．注意概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．理解和掌握概率公式的應用是解題的關鍵． 【變式6-1】（2023春·湖南長沙·九年級統(tǒng)考期中）某商場為了吸引顧客，設立了一個可以自由轉動的轉盤，如圖所示，并規(guī)定：顧客消費200元（含200元）以上，就能獲得一次轉動轉盤的機會，如果轉盤停止后，指針正好對準九折、八折、七折區(qū)域，顧客就可以獲得此項優(yōu)惠，如果指針恰好在分割線上時，則需重新轉動轉盤． （1）某顧客正好消費220元，他轉一次轉盤，他獲得九折、八折、七折優(yōu)惠的概率分別是多少？ （2）某顧客消費中獲得了轉動一次轉盤的機會，實際付費168元，請問他消費所購物品的原價應為多少元． 【答案】（1）12，13，16；（2）210元或240元 【分析】（1）由圓盤可知，七折圓心角為30°，八折圓心角為60°，九折圓心角為90°，利用它們所占圓的百分比即可算出概率； （2）對于實際花費的168元進行三種情況的計算，即可得到答案． 【詳解】（1）獲得九折的概率為90°×2360°=12 獲得八折的概率為60°×2360°=13， 獲得七折的概率為30°×2360°=16， （2）∵200×0.9=180>168 ∴他沒有獲得九折優(yōu)惠． ∵200×0.8=160

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