專(zhuān)題6.7 利用正弦定理與余弦定理解三角形 TOC \o "1-3" \t "正文,1" \h  HYPERLINK \l "_Toc9681" 【基本知識(shí)】  PAGEREF _Toc9681 \h 1  HYPERLINK \l "_Toc30260" 【考點(diǎn)一：利用余弦定理解三角形】 2  HYPERLINK \l "_Toc17429" 【考點(diǎn)二：利用正弦定理解三角形】  PAGEREF _Toc17429 \h 6  HYPERLINK \l "_Toc12625" 【考點(diǎn)三：面積公式及應(yīng)用】  PAGEREF _Toc12625 \h 13  【基本知識(shí)】 【知識(shí)點(diǎn)：正弦定理與余弦定理】 [方法技巧]　用正、余弦定理求解三角形基本量的方法 [方法技巧]　求解與三角形面積有關(guān)的問(wèn)題的步驟 【考點(diǎn)一：利用余弦定理解三角形】 【知識(shí)點(diǎn)：利用余弦定理解三角形】 利用余弦定理可以解決的兩類(lèi)問(wèn)題 (1)已知兩邊及夾角，先求第三邊，再求其余兩個(gè)角． (2)已知三邊，求三個(gè)內(nèi)角． 1．（2024下·山東·高三煙臺(tái)二中校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知在中，，則（????） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】根據(jù)余弦定理運(yùn)算求解. 【詳解】由余弦定理得， 所以． 故選：D． 2．（2024下·山東濱州·高一山東省北鎮(zhèn)中學(xué)校考開(kāi)學(xué)考試）已知在三角形中，，且，則角所對(duì)邊的長(zhǎng)度為（????） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由余弦定理求解. 【詳解】由余弦定理可得：， 所以. 故選：C 3．（2024下·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）在中，若，則=（????） A．90° B．30° C．120° D．150° 【答案】B 【分析】利用余弦定理解三角形即可求得. 【詳解】因?yàn)?，所以?由余弦定理可得，，所以. 故選：B． 4．（2024下·江蘇蘇州·高三統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）在△ABC中， 角 A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c， 且.當(dāng)取最小值時(shí)， 則（????） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，結(jié)合余弦定理得，代入得最小值，此時(shí)，然后結(jié)合余弦定理得到，進(jìn)而得到答案. 【詳解】因?yàn)?，結(jié)合余弦定理得， ，整理得， 所以， 當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí) 此時(shí)， 又因?yàn)椋?所以， 故選：B. 5．（多選）（2024下·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，則下列結(jié)論正確的是（????） A．若，則 B．若，則 C．若，則 D．若，則 【答案】AC 【分析】根據(jù)余弦定理判斷A；根據(jù)余弦定理和基本不等式，即可判斷B；利用反證法，假設(shè)，結(jié)合余弦定理和不等式的性質(zhì)，即可判斷C；舉反例，即可判斷D. 【詳解】A.由，可以得出，所以，故A正確； B.由，得，得，故B錯(cuò)誤； C.假設(shè)，則，，， ，即，與矛盾，,故C正確； D.取，滿(mǎn)足，此時(shí),故D錯(cuò)誤． 故選：AC. 6．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，．若，，，則 ， ． 【答案】5； 【分析】由余弦定理求出的值；由求出. 【詳解】由余弦定理可得，即， 故，解得（舍）或， 因?yàn)?，所以，又，故?故答案為：；. 7．（2024下·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為，已知，，，則 ． 【答案】 【分析】根據(jù)余弦定理求得，進(jìn)而求得． 【詳解】由余弦定理，， 因?yàn)椋裕?即，解得（舍）， 所以，． 故答案為：. 8．（2024下·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）的內(nèi)角所對(duì)的邊滿(mǎn)足，且，則的最小值為 ． 【答案】/ 【分析】由已知條件變形結(jié)合余弦定理可得，再利用均值不等式即可求解． 【詳解】由得， 根據(jù)余弦定理可得， 所以，解得， 所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立， 所以的最小值為． 故答案為：. 9．（2024下·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．已知，，，解三角形． 【答案】，，． 【分析】根據(jù)余弦定理即可求出的長(zhǎng)度和. 【詳解】∵，，，∴由余弦定理得， 即，∴． ∴． ∵，∴， ∴． ∴，，． 10．（2024下·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）已知為的三個(gè)內(nèi)角，其所對(duì)的邊分別為，且. (1)求A的大小； (2)若，求c的值． 【答案】(1)120° (2) 【分析】（1）由題意，根據(jù)二倍角的余弦定理可得，即可求解； （2）利用余弦定理建立關(guān)于c的方程，解之即可求解. 【詳解】（1）∵，， ∴，∴， 由，得. （2）由余弦定理，知， 又， ∴， 化簡(jiǎn)，得，解得或（舍去）． 【考點(diǎn)二：利用正弦定理解三角形】 【知識(shí)點(diǎn)：利用正弦定理解三角形】 利用正弦定理可以解決的兩類(lèi)問(wèn)題 (1)已知兩角和任一邊，求其他兩邊和一角． (2)已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)角，從而進(jìn)一步求出其他的邊和角．由于三角形的形狀不能唯一確定，會(huì)出現(xiàn)兩解、一解和無(wú)解三種情況． 1．（2024下·內(nèi)蒙古赤峰·高三?？奸_(kāi)學(xué)考試）的內(nèi)角的對(duì)邊分別為.已知，，，則的外接圓半徑為（????） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由余弦定理求出，再利用同角三角函數(shù)關(guān)系及正弦定理求解即可. 【詳解】因?yàn)椋?，，所以由余弦定理可得?所以，設(shè)的外接圓半徑為， 由正弦定理可得，即. 則的外接圓半徑為. 故選：C 2．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知D為的邊AC上一點(diǎn)，，，，則（????） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】有題目條件得到，設(shè)，則，，由余弦定理得，再根據(jù)正弦定理求出答案. 【詳解】因?yàn)?，所以? 所以由，得，于是． 設(shè)，則，， 在中，由余弦定理得， 即，解得． 所以，． 在中，由正弦定理得， 故． 故選：A． 3．（多選）（2024下·河北石家莊·高一欒城中學(xué)校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知角A，B，C是三角形ABC的三個(gè)內(nèi)角，下列結(jié)論一定成立的有（????） A． B． C．若，則 D．若，則 【答案】ACD 【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理、誘導(dǎo)公式、正弦定理等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案. 【詳解】A選項(xiàng)，，選項(xiàng)A正確； B選項(xiàng)，，選項(xiàng)B錯(cuò)誤； 在中，由正弦定理得，故C和D正確. 故選：ACD 4．（多選）（浙江省臨平蕭山聯(lián)考2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）在中，角、、所對(duì)的邊分別為、、，且，，，下面說(shuō)法正確的是（????） A． B． C．是銳角三角形 D．的最大內(nèi)角是最小內(nèi)角的倍 【答案】AC 【分析】利用正弦定理可判斷A選項(xiàng)；利用余弦定理可判斷BC選項(xiàng)；利用二倍角的余弦公式可判斷D選項(xiàng). 【詳解】對(duì)于A，由正弦定理可得，A對(duì)； 對(duì)于B，由余弦定理可得，，， 所以，，B錯(cuò)； 對(duì)于C，因?yàn)?，則為最大角，又因?yàn)?，則為銳角，故為銳角三角形，C對(duì)； 對(duì)于D，由題意知，為最小角，則， 因?yàn)?，則，則，D錯(cuò). 故選：AC. 5．（2024下·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）圭表是我國(guó)古代一種通過(guò)測(cè)量正午日影長(zhǎng)度來(lái)推定節(jié)氣的天文儀器，它包括一根呈南北方向的水平長(zhǎng)尺（稱(chēng)為“圭”）和一根直立于圭面的標(biāo)桿（稱(chēng)為“表”），如圖．成語(yǔ)有云：“立竿見(jiàn)影”，《周髀算經(jīng)》里記載的二十四節(jié)氣就是通過(guò)圭表測(cè)量日影長(zhǎng)度來(lái)確定的．利用圭表測(cè)得某市在每年夏至日的早上8：00和中午13：00的太陽(yáng)高度角分別為（）和（）．設(shè)表高為1米，則影差 米（參考數(shù)據(jù)：，） 【答案】2.232 【分析】由正弦定理和三角函數(shù)得到，利用正弦和差公式得到，求出（米）. 【詳解】在中，（米）． 在中，由正弦定理，得， 即， 所以（米）． 因?yàn)椋?且， 所以，所以（米）． 故答案為： 6．（2024上·河南焦作·高三統(tǒng)考期末）已知中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且． (1)證明：； (2)若，求的值． 【答案】(1)證明見(jiàn)解析 (2) 【分析】（1）（2）由正余弦定理邊角互化，結(jié)合余弦定理化簡(jiǎn)計(jì)算求解. 【詳解】（1）證明：由正弦定理及條件可得， 由余弦定理可得，化簡(jiǎn)得． （2）由得， 化簡(jiǎn)得，又，故， 所以，故． 7．（2024上·安徽合肥·高三合肥一六八中學(xué)校聯(lián)考期末）在中，的對(duì)邊分別為，已知. (1)求； (2)已知點(diǎn)在線段上，且，求長(zhǎng). 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用余弦定理角化邊即可得解. （2）由（1）的結(jié)論，利用余弦定理、正弦定理求解即得. 【詳解】（1）在中，由及余弦定理，得， 即，而， 所以. （2）由（1）知，由余弦定理得， 為三角形內(nèi)角，則，而，于是， 在中，由正弦定理得， 所以. 8．（2024上·河北邢臺(tái)·高三統(tǒng)考期末）在銳角中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知． (1)求； (2)求的取值范圍． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）已知等式，由正弦定理邊化角，由正弦值求角； （2）由銳角，求出角的范圍，化簡(jiǎn)得，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)，求出取值范圍. 【詳解】（1），由正弦定理得． 因?yàn)椋裕驗(yàn)闉殇J角三角形，所以． （2）因?yàn)椋裕?因?yàn)闉殇J角三角形，所以得． 因?yàn)椋?由，得，所以. 即的取值范圍為. 9．（2024下·黑龍江·高三大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知在銳角三角形中，邊，，對(duì)應(yīng)角，向量，，且與垂直，． (1)求角； (2)求的取值范圍． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通過(guò)，利用三角恒等變形公式計(jì)算即可； （2）利用正弦定理，將用角表示出來(lái)，然后利用的范圍求的取值范圍． 【詳解】（1）因?yàn)榕c垂直， 所以， 即， 即， 即， 即，又，所以， 所以，即； （2）由正弦定理得 ， 根據(jù)三角形是銳角三角形得， 解得，則，所以， 所以，則， 則的取值范圍為. 10．（2024·廣東湛江·統(tǒng)考一模）已知在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且． (1)求A； (2)若外接圓的直徑為，求的取值范圍． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由兩角和與差的余弦公式、正弦定理化簡(jiǎn)已知式即可得出答案； （2）由正弦定理可得，由兩角差的正弦公式和輔助角公式可得，再由三角函數(shù)的性質(zhì)求解即可. 【詳解】（1）由可得：，所以， 所以， ， ，由正弦定理可得， 因?yàn)椋?，所以?因?yàn)椋? （2）由正弦定理可得， 所以， 故， 又，所以， 所以 ，又，所以， 所以，所以的取值范圍為. 【考點(diǎn)三：三角形的面積公式及應(yīng)用】 【知識(shí)點(diǎn)：三角形的面積公式及應(yīng)用】 三角形的面積是與解三角形息息相關(guān)的內(nèi)容，經(jīng)常出現(xiàn)在高考題中，難度不大．解題的前提條件是熟練掌握三角形面積公式，具體的題型及解題策略為： (1)利用正弦定理、余弦定理解三角形，求出三角形的有關(guān)元素之后，直接求三角形的面積，或求出兩邊之積及夾角正弦，再求解． (2)把面積作為已知條件之一，與正弦定理、余弦定理結(jié)合求出三角形的其他各量．面積公式中涉及面積、兩邊及兩邊夾角正弦四個(gè)量，結(jié)合已知條件列方程求解． 1．（2024·河南·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知中，角所對(duì)的邊分別為，若，且，則的最小值為（????） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根據(jù)題意，求得，再由，求得，結(jié)合余弦定理和基本不等式，即可求解. 【詳解】因?yàn)椋傻茫?即，即， 可得， 因?yàn)?，則，所以，解得， 又因?yàn)?，所以，所以?所以，由余弦定理得，所以， 所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立. 故選：C． 2．（2024下·內(nèi)蒙古赤峰·高三校考開(kāi)學(xué)考試）在中，為邊上一點(diǎn)，，且的面積為，則（????） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由面積公式求出，即可得到為等腰三角形，則，在中由正弦定理求出，即可求出，最后由利用兩角差的正弦公式計(jì)算可得. 【詳解】因?yàn)?，解得?所以為等腰三角形，則， 在中由正弦定理可得，即，解得， 因?yàn)?，所以為銳角，所以， 所以 . 故選：A 3．（2024下·安徽·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，D為邊BC上一點(diǎn)，，，則的面積為（????） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】設(shè)，在與中，由余弦定理求出，根據(jù)求出，進(jìn)而求得的面積. 【詳解】設(shè)，在中，， 在中，， 所以，解得， 因?yàn)?，所以?所以的面積為. 故選：C 4．（2024·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在中，其內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，若，，，則的面積為 ． 【答案】3 【分析】根據(jù)，，，利用余弦定理求得，再利用三角形面積公式求解. 【詳解】解：在中，，，， 由余弦定理得：， ， 解得， 所以， 故答案為：3 5．（2022上·河南·高三校聯(lián)考期末）在中，滿(mǎn)足，且點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，，的面積為，則內(nèi)角 ； . 【答案】 / 【分析】已知條件利用三角形的性質(zhì)和倍角公式化簡(jiǎn)，可求出角，由的面積和余弦定理結(jié)合三角形形狀，求出和，中，由正弦定理求得. 【詳解】因?yàn)椋瑒t， 即，，， 所以，有，得. 因?yàn)?，所以，?所以，則為等邊三角形，，， 在中，由余弦定理得， 即，所以， 中，由正弦定理得. 故答案為：； 6．（2024·貴州貴陽(yáng)·貴陽(yáng)一中校考一模）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知． (1)； (2)若，，求的面積． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根據(jù)題意，利用正弦定理求得，進(jìn)而求得的值； （2）設(shè)的外接圓的半徑為，根據(jù)正弦定理求得，進(jìn)而得到，結(jié)合三角形的面積公式，即可求解. 【詳解】（1）解：因?yàn)椋?由正弦定理得， 又因?yàn)?，可得，所以，可得?因?yàn)椋傻? （2）解：由（1）知，因?yàn)椋?設(shè)的外接圓的半徑為，可得， 所以， 因?yàn)?，可得?所以的面積為. 7．（2024上·浙江杭州·高二杭州高級(jí)中學(xué)校考期末）的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知 (1)求； (2)若，的面積為，求的周長(zhǎng). 【答案】(1) (2)12 【分析】（1）利用正弦定理將邊化角，結(jié)合三角恒等變換公式化簡(jiǎn)計(jì)算即可； （2）表示出面積，結(jié)合余弦定理計(jì)算即可. 【詳解】（1）由已知及正弦定理得：, 即， 由，故， ,因?yàn)?，所? （2）由已知得，， 又，，所以 由余弦定理得：， 所以，從而， 即, ∴周長(zhǎng)為． 8．（2024·四川成都·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知的面積． (1)求； (2)若,，求． 【答案】(1) (2)12 【分析】（1）由三角形面積公式、正弦定理及同角三角函數(shù)基本關(guān)系得解； （2）根據(jù)三角恒等變換化簡(jiǎn)后由正余弦定理求解即可. 【詳解】（1）由題意可知，， 由正弦定理可知：， 因?yàn)?，所? （2）由，可知角為銳角， 所以，得，， 所以， 由， 又，得， 由正弦定理得，所以， 由余弦定理， 得. 9．（2024·貴州貴陽(yáng)·統(tǒng)考一模）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知. (1)求角； (2)若，求面積的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理，將邊化為角，根據(jù)三角函數(shù)值，即可求解； （2）根據(jù)（1）的結(jié)果，寫(xiě)出余弦定理，再結(jié)合基本不等式和三角形的面積公式，即可求解. 【詳解】（1）由正弦定理，得， 又，所以， 即. 又，所以. （2）由余弦定理，得， 所以. 由基本不等式知， 于是. 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立. 所以的面積， 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，面積取得最大值. 10．（2024·陜西咸陽(yáng)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知該三角形的面積． (1)求角的大小； (2)若時(shí)，求面積的最大值． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用三角形面積公式、余弦定理求解即得. （2）由（1）中信息，結(jié)合基本不等式求出的最大值即可得解. 【詳解】（1）在中，，而，即， ，由余弦定理得， 所以. （2）由（1）知，，，而，于是， 即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等， 因此的面積， 所以當(dāng)時(shí)，面積取得最大值. 定理正弦定理余弦定理內(nèi)容eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝2R(其中R是△ABC外接圓的半徑)a2＝b2＋c2－2bccos A； b2＝a2＋c2－2accos_B； c2＝a2＋b2－2abcos_C　變形形式a＝2Rsin A，b＝2 R sin_B， c＝2 R sin_C； sin A＝eq \f(a,2R)；sin B＝eq \f(b,2R)； sin C＝eq \f(c,2R)； a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C； asin B＝bsin A，bsin C ＝csin B，asin C＝csin A； eq \f(a＋b＋c,sin A＋sin B＋sin C)＝2 Rcos A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)； cos B＝eq \f(a2＋c2－b2,2ac)； cos C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)

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