專題6.8 正弦定理與余弦定理的應(yīng)用 TOC \o "1-3" \t "正文,1" \h  HYPERLINK \l "_Toc12542" 【考點(diǎn)一：距離測量問題】  PAGEREF _Toc12542 \h 1  HYPERLINK \l "_Toc12969" 【考點(diǎn)二：高度測量問題】  PAGEREF _Toc12969 \h 3  HYPERLINK \l "_Toc15626" 【考點(diǎn)三：角度測量問題】  PAGEREF _Toc15626 \h 6  HYPERLINK \l "_Toc10614" 【考點(diǎn)四：其他應(yīng)用問題】  PAGEREF _Toc10614 \h 9  【考點(diǎn)一：距離測量問題】 【知識點(diǎn)：距離測量問題】 [方法技巧] 處理距離問題的策略 (1)選定或確定要創(chuàng)建的三角形，首先確定所求量所在的三角形，若其他量已知則直接求解；若有未知量，則把未知量放在另一確定三角形中求解． (2)確定用正弦定理還是余弦定理，如果都可用，就選擇更便于計算的定理．　　 1．（2024·吉林·二模）如圖，位于某海域處的甲船獲悉，在其北偏東 方向處有一艘漁船遇險后拋錨等待營救. 甲船立即將救援消息告知位于甲船北偏東，且與甲船相距的處的乙船，已知遇險漁船在乙船的正東方向，那么乙船前往營救遇險漁船時需要航行的距離為（????） A． B． C． D． 2．（2024·山東臨沂·一模）在同一平面上有相距14公里的兩座炮臺，在的正東方.某次演習(xí)時，向西偏北方向發(fā)射炮彈，則向東偏北方向發(fā)射炮彈，其中為銳角，觀測回報兩炮彈皆命中18公里外的同一目標(biāo)，接著改向向西偏北方向發(fā)射炮彈，彈著點(diǎn)為18公里外的點(diǎn)，則炮臺與彈著點(diǎn)的距離為（????） A．7公里 B．8公里 C．9公里 D．10公里 3．（2023高三上·全國·專題練習(xí)）已知A船在燈塔C北偏東處，且A到C的距離為2 km，B船在燈塔C北偏西處，A，B兩船的距離為3 km，則B到C的距離為 km. 4．（2023高三上·全國·專題練習(xí)）如圖，一架飛機(jī)從地飛往地，兩地相距.飛行員為了避開某一區(qū)域的雷雨云層，從機(jī)場起飛以后，就沿與原來的飛行方向成角的方向飛行，飛行到地，再沿與原來的飛行方向成角的方向繼續(xù)飛行到達(dá)終點(diǎn). 則= 5．（2023高三上·全國·專題練習(xí)）如圖所示，設(shè)A，B兩點(diǎn)在河的兩岸，要測量兩點(diǎn)之間的距離，測量者在A的同側(cè)，在所在的河岸邊選定一點(diǎn)C，測出的距離是m米，，則A，B兩點(diǎn)間的距離為 米. 6．（23-24高三下·湖南長沙·開學(xué)考試）海邊近似平直的海岸線上有兩處碼頭、，且.現(xiàn)有一觀光艇由出發(fā)，同時在處有一小艇出發(fā)向觀光艇補(bǔ)充物資，其速度為觀光艇的兩倍，在處成功攔截觀光艇，完成補(bǔ)給.若兩船都做勻速直線運(yùn)動，觀光艇行駛向海洋的方向任意的情況下，小艇總可以設(shè)定合適的出發(fā)角度，使得行駛距離最小，則攔截點(diǎn)距離海岸線的最遠(yuǎn)距離為 . 7．（23-24高三下·北京海淀·開學(xué)考試）一艘輪船在江中向正東方向航行，在點(diǎn)處觀測到燈塔在一直線上，并與航線成30角.輪船沿航線前進(jìn)1000米到達(dá)處，此時觀測到燈塔在北偏西方向，燈塔在北偏東方向.則此時輪船到燈塔之間的距離為 米. 8．（21-22高三上·重慶黔江·階段練習(xí)）馬爾代夫群島是世界上風(fēng)景最為優(yōu)美的群島之一，如圖所示，為了測量兩座島之間的距離，小船從初始位置出發(fā)，已知在的北偏西的方向上，在的北偏東的方向上，現(xiàn)在船往東航行2百海里到達(dá)處，此時測得在的北偏西的方向上，船再返回到處后，由向西航行百海里到達(dá)處，測得在的北偏東的方向上，則兩座島之間的距離為 百海里. 【考點(diǎn)二：高度測量問題】 【知識點(diǎn)：高度測量問題】 [方法技巧] 求解高度問題應(yīng)注意的問題 (1)理解仰角、俯角(它是在鉛垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)等的定義． (2)在實(shí)際問題中，可能會遇到空間與平面(地面)同時研究的問題，這時最好畫兩個圖形，一個空間圖形，一個平面圖形，這樣處理起來既清楚又不容易搞錯． (3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題．　　 1．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·模擬預(yù)測）為了測量西藏被譽(yù)稱為“阿里之巔”岡仁波齊山峰的高度，通常采用人工攀登的方式進(jìn)行，測量人員從山腳開始，直到到達(dá)山頂分段測量過程中，已知豎立在點(diǎn)處的測量覘標(biāo)高米，攀登者們在處測得，到覘標(biāo)底點(diǎn)和頂點(diǎn)的仰角分別為，則的高度差約為（????） A．7.32米 B．7.07米 C．27.32米 D．30米 2．（23-24高三下·江蘇南京·開學(xué)考試）某中學(xué)校園內(nèi)的紅豆樹已有百年歷史，小明為了測量紅豆樹高度，他選取與紅豆樹根部在同一水平面的，兩點(diǎn)，在點(diǎn)測得紅豆樹根部在北偏西的方向上，沿正西方向步行40米到處，測得樹根部在北偏西的方向上，樹梢的仰角為，則紅豆樹的高度為（????） A．米 B．米 C．米 D．米 3．（2022高三·全國·專題練習(xí)）如圖，無人機(jī)在離地面高的處，觀測到山頂處的俯角為，山腳處的俯角為，已知，則山的高度為（????） A． B． C． D． 4．（2024高三·全國·專題練習(xí)）李子壩站的“單軌穿樓”是重慶軌道交通的一大特色，吸引眾多游客來此打卡拍照.如圖所示，李明為了測量李子壩站站臺距離地面的高度，采用了如下方法：在觀景臺的點(diǎn)處測得站臺點(diǎn)處的仰角為；沿直線后退米后，在點(diǎn)處測得站臺點(diǎn)處的仰角為.已知李明的眼睛距離地面高度為米，則李子壩站站臺的高度約為 （精確到小數(shù)點(diǎn)后1位）（近似數(shù)據(jù)：，）. 5．（23-24高三上·浙江杭州·期末）位于奧體核心的杭州世紀(jì)中心總投資近100億元，總建筑面積約53萬平方米，由兩座超高層雙子塔和8萬平方米商業(yè)設(shè)施構(gòu)成，外形為杭州的拼音首字母“H”，被譽(yù)為代表新杭州風(fēng)貌、迎接八方來客的“杭州之門”.如圖，為測量杭州世紀(jì)中心塔高，可以選取與塔底在同一水平面內(nèi)的兩個測量基點(diǎn)C與D，現(xiàn)測得，，米，在點(diǎn)C測得塔頂A的仰角為80°，則塔高為 米.（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：） 6．（23-24高一下·山東濱州·開學(xué)考試）瀑布是大自然的奇觀，唐代詩人李白曾在《望廬山瀑布》中寫到“日照香爐生紫煙，遙看瀑布掛前川.飛流直下三千尺，疑是銀河落九天”.某學(xué)校高一數(shù)學(xué)活動小組為了測量瀑布的實(shí)際高度，設(shè)計了如下測量方案：沿一段水平山道步行至與瀑布底端在同一水平面時，在此位置測得瀑布頂端的仰角正切值為，沿著山道繼續(xù)走m，測得瀑布頂端仰角為已知該同學(xué)沿山道行進(jìn)方向與他第一次望向瀑布底端的方向所成的角為根據(jù)該同學(xué)的測量數(shù)據(jù)，可知該瀑布的高度為 ． 7．（22-23高一下·陜西咸陽·階段練習(xí)）某中學(xué)研究性學(xué)習(xí)小組為測量四門通天銅雕高度，在和它底部位于同一水平高度的共線三點(diǎn)A，B，C處測得銅雕頂端P處仰角分別為，，，且，則四門通天銅雕的高度為 m． ?? 8．（23-24高二下·云南·開學(xué)考試）如圖，為了測量某塔的高度，無人機(jī)在與塔底B位于同一水平面的C點(diǎn)測得塔頂A的仰角為45°，無人機(jī)沿著仰角α（）的方向靠近塔，飛行了m后到達(dá)D點(diǎn)，在D點(diǎn)測得塔頂A的仰角為26°，塔底B的俯角為45°，且A，B，C，D四點(diǎn)在同一平面上，求該塔的高度．（參考數(shù)據(jù):取 tan 26°=，cos 56°=） ?? 【考點(diǎn)三：角度測量問題】 【知識點(diǎn)：角度測量問題】 [方法技巧] 解決角度問題的注意事項 (1)測量角度時，首先應(yīng)明確方位角及方向角的含義． (2)求角的大小時，先在三角形中求出其正弦或余弦值． (3)在解應(yīng)用題時，要根據(jù)題意正確畫出示意圖，通過這一步可將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為可用數(shù)學(xué)方法解決的問題，解題中也要注意體會正、余弦定理“聯(lián)袂”使用的優(yōu)點(diǎn)．　　 1．（2024高三上·山東泰安·階段練習(xí)）公路北側(cè)有一幢樓，高為60米，公路與樓腳底面在同一水平面上.某人在點(diǎn)處測得樓頂?shù)难鼋菫?，他在公路上自西向東行走，行走60米到點(diǎn)處，測得仰角為，沿該方向再行走60米到點(diǎn)處，測得仰角為.則（????） A． B．3 C． D． 2．（2024高一下·重慶·期中）一艘游輪航行到處時看燈塔在的北偏東，距離為海里，燈塔在的北偏西，距離為海里，該游輪由沿正北方向繼續(xù)航行到處時再看燈塔在其南偏東方向，則此時燈塔位于游輪的（　?。?A．正西方向 B．南偏西方向 C．南偏西方向 D．南偏西方向 3．（多選）（2024高三上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）某貨輪在處看燈塔在貨輪北偏東，距離為nmile；在處看燈塔在貨輪的北偏西，距離為nmile．貨輪由處向正北航行到處時，再看燈塔在南偏東，則下列說法正確的是（????） A．處與處之間的距離是 B．燈塔與處之間的距離是 C．燈塔在處的西偏南 D．在燈塔的北偏西 4．（2024高三上·廣東廣州·階段練習(xí)）在一次海上聯(lián)合作戰(zhàn)演習(xí)中，紅方一艘偵察艇發(fā)現(xiàn)在北偏東方向，相距12公里的水面上，有藍(lán)方一艘小艇正以每小時10公里的速度沿南偏東方向前進(jìn)，若偵察艇以每小時14公里的速度，沿北偏東方向攔截藍(lán)方的小艇．若要在最短的時間內(nèi)攔截住，則紅方偵察艇所需的時間為 小時，角的正弦值為 ． ?? 5．（2024高三上·山東青島·期中）公路北側(cè)有一幢樓，高為60米，公路與樓腳底面在同一平面上.某人在點(diǎn)A處測得樓頂?shù)难鼋菫?，他在公路上自西向東行走，行走60米到點(diǎn)B處，測得仰角為，沿該方向再行走60米到點(diǎn)C處，測得仰角為.則 . 6．（2024高二上·四川成都·階段練習(xí)）如圖，某人在垂直于水平地面的墻面前的點(diǎn)處進(jìn)行射擊訓(xùn)練，已知點(diǎn)到墻面的距離為，某目標(biāo)點(diǎn)沿墻面上的射線移動，此人為了準(zhǔn)確瞄準(zhǔn)目標(biāo)點(diǎn)，需計算由點(diǎn)觀察點(diǎn)的仰角的大小，則的最大值是 .（仰角為直線與平面所成的角） ???? 7．（2024高一下·上海寶山·期中）如圖，我邊防巡邏艇在處測得，北偏東相距10海里的處，有一艘可疑船只正以每小時12海里的航速沿東南方向駛?cè)ィ霞壷甘疚彝В簞蛩俸叫邪胄r，在處準(zhǔn)時追上目標(biāo)． ?? (1)求我邊防巡邏艇的航速； (2)求我邊防巡邏艇的航向角（即的大小，精確到）． 8．（2024高一·全國·課堂例題）一顆人造地球衛(wèi)星在地球上空1600km處沿著圓形的軌道運(yùn)行，每2h沿軌道繞地球旋轉(zhuǎn)一圈．假設(shè)衛(wèi)星于中午12點(diǎn)正通過衛(wèi)星跟蹤站A點(diǎn)的正上空，地球半徑約為6400km． ?? (1)求人造衛(wèi)星與衛(wèi)星跟蹤站在12：03時相隔的距離是多少． (2)如果此時跟蹤站天線指向人造衛(wèi)星，那么天線瞄準(zhǔn)的方向與水平線的夾角的余弦值是多少？（參考數(shù)據(jù)：，） 【考點(diǎn)四：其他應(yīng)用問題】 【知識點(diǎn)：其他應(yīng)用問題】 1．（2024·河北衡水·高三河北衡水中學(xué)?？茧A段練習(xí)）據(jù)氣象部門報道某臺風(fēng)影響我國東南沿海一帶，測定臺風(fēng)中心位于某市南偏東60°，距離該市400千米的位置，臺風(fēng)中心以40千米/時的速度向正北方向移動，距離臺風(fēng)中心350千米的范圍都會受到臺風(fēng)影響，則該市從受到臺風(fēng)影響到影響結(jié)束，持續(xù)的時間為_________小時． 2．（2022秋·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱七十三中?？茧A段練習(xí)）如圖，某濕地為拓展旅游業(yè)務(wù)，現(xiàn)準(zhǔn)備在濕地內(nèi)建造一個觀景臺D，已知射線AB，AC為濕地兩邊夾角為π3的公路（長度均超過4千米），在兩條公路AB，AC上分別設(shè)立游客接送點(diǎn)E，F(xiàn)，且AE=AF=3千米，若要求觀景臺D與兩接送點(diǎn)所成角∠EDF與∠BAC互補(bǔ)且觀景臺D在EF的右側(cè)，并在觀景臺D與接送點(diǎn)E，F(xiàn)之間建造兩條觀光線路DE與DF，則觀光線路之和最長是_________（千米）. 3．（2023·云南昆明·統(tǒng)考一模）“不以規(guī)矩，不能成方圓”，出自《孟子·離婁章句上》．“規(guī)”指圓規(guī)，“矩”指由相互垂直的長短兩條直尺構(gòu)成的角尺，是用來測量、畫圓和方形圖案的工具。有一塊圓形木板，以“矩”量之，較長邊為10cm，較短邊為5cm，如圖所示，將這塊圓形木板截出一塊三角形木塊，三角形頂點(diǎn)A,B,C都在圓周上，角A,B,C的對邊分別為a，b，c，滿足c=45cm (1)求sinC； (2)若△ABC的面積為8cm2，且a>c，求△ABC的周長 4．（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖，某廣場有一塊不規(guī)則的綠地，城建部門欲在該地上建造一個底座為三角形的環(huán)境標(biāo)志，小李、小王設(shè)計的底座形狀分別為△ABC、△ABD，經(jīng)測量AD=BD=7m，BC=5m，AC=8m，∠C=∠D． (1)求AB的長度； (2)若環(huán)境標(biāo)志的底座每平方米造價為5000元，不考慮其他因素，小李、小王誰的設(shè)計使建造費(fèi)用較低（請說明理由）？較低造價為多少？ 5．（2022秋·湖北·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，經(jīng)過村莊A有兩條夾角為60°的公路AB,AC，根據(jù)規(guī)劃在兩條公路之間的區(qū)域內(nèi)建一工廠P，分別在兩條公路邊上建兩個倉庫M，N（異于村莊A），要求PM=PN=MN=3km． (1)當(dāng)∠AMN=30°時，求線段AP的長度； (2)問如何設(shè)計，使得工廠產(chǎn)生的噪音對居民的影響最小？（即工廠與村莊的距離最遠(yuǎn)） 6．（2023春·全國·高一專題練習(xí)）在某海濱城市O東偏南θcosθ=210方向300 km的海面P處有一臺風(fēng)中心，并以40 km/h的速度向西北方向移動，據(jù)監(jiān)測，距離臺風(fēng)中心200 km以內(nèi)的地區(qū)都將受到影響，若臺風(fēng)中心的這種移動趨勢不變． (1)海濱城市O是否會受到臺風(fēng)影響，說明理由； (2)如果海濱城市O會受到臺風(fēng)影響，持續(xù)時間有多長． 7．（2022秋·云南·高二云南省下關(guān)第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，為方便市民游覽市民中心附近的“網(wǎng)紅橋”，現(xiàn)準(zhǔn)備在河岸一側(cè)建造一個觀景臺P，已知射線AB，AC為兩邊夾角為120°的公路（長度均超過3千米），在兩條公路AB，AC上分別設(shè)立游客上下點(diǎn)M，N，從觀景臺P到M，N建造兩條觀光線路PM，PN，測得AM=3千米，AN=3千米. (1)求線段MN的長度； (2)若∠MPN=60°，求兩條觀光線路PM與PN所圍成△PMN的面積的最大值. 8．（2023春·上海金山·高一華東師范大學(xué)第三附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí)）為打贏打好脫貧攻堅戰(zhàn)，某村加大旅游業(yè)投入，準(zhǔn)備將如圖扇形空地AOB分隔成三部分建成花卉觀賞區(qū)，分別種植玫瑰花、郁金香和菊花，已知扇形的半徑為100米，圓心角為23π，點(diǎn)P在扇形的弧上，點(diǎn)Q在OB上，且PQ∥OA． (1)當(dāng)Q是OB的中點(diǎn)時，求PQ的長； (2)已知種植玫瑰花、郁金香和菊花的成本分別為30元/平方米、50元/平方米、20元/平方米，要使郁金香種植區(qū)△OPQ的面積盡可能的大，求△OPQ面積的最大值，并求此時扇形區(qū)域AOB種植花卉的總成本．

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