本小節(jié)內(nèi)容選自《普通高中數(shù)學(xué)必修第二冊》人教A版（2019）第六章《平面向量及其應(yīng)用》的第一節(jié)《平面向量的概念》。以下是本節(jié)的課時安排：
學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過數(shù)量，但是形如確定位置的問題，只用數(shù)量是無法滿足需要的，這就使得學(xué)習(xí)新知識是自然的有必要的，同時可以引導(dǎo)學(xué)生類比“學(xué)習(xí)數(shù)量的過程”明確研究向量概念的基本方向，因此，復(fù)習(xí)回顧數(shù)量的相關(guān)知識是有必要的。學(xué)生在物理學(xué)科中已經(jīng)知道重力，彈力，摩擦力，位移，速度等是既有大小又有方向的物理量即矢量，知道借助有向線段來作力的圖示，經(jīng)歷并了解了實(shí)數(shù)的形成過程，針對實(shí)際生活中一些常見的量，能識別是否具有大小，方向。

通過對力、速度、位移等的分析，了解平面向量的實(shí)際背景，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)；
2.理解平面向量的表示和兩個向量平行與相等的含義，提升數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)；
重點(diǎn)：相等向量和共線向量的區(qū)別和聯(lián)系
難點(diǎn)：理解平面向量的意義和兩個向量相等的含義
（一）新知導(dǎo)入
1. 創(chuàng)設(shè)情境，生成問題
向量又稱為矢量，最初被應(yīng)用于物理學(xué).很多物理量如力、速度、位移以及電場強(qiáng)度、磁感應(yīng)強(qiáng)度等都是向量.大約公元前350年，古希臘著名學(xué)者亞里士多德就知道了力可以表示成向量，兩個力的作用可用平行四邊形法則來得到.“向量”一詞來自力學(xué)、解析幾何中的有向線段.最先使用有向線段表示向量的是英國大科學(xué)家牛頓.
2.探索交流，解決問題
【思考1】在物理中,位移與距離是同一個概念嗎?現(xiàn)實(shí)世界中有各種各樣的量,如年齡、身高、體重、力、速度、面積、體積、溫度等,怎樣正確區(qū)分這些量呢?
【提示】位移與距離不是同一個概念;這些量中有些只有大小,沒有方向,但有些既有大小又有方向,因此應(yīng)該從大小和方向兩個方面對這些量進(jìn)行區(qū)分.
【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生體驗(yàn)向量表示方法的探究過程，明確向量的幾何表示，在展示中可以鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)語言表達(dá)能力，提升自信。
（二）平面向量的概念
（1）向量的實(shí)際背景與概念
向量與數(shù)量的定義：我們把既有大小，又有方向的量叫做向量，而把只有大小，沒有方向的量稱為數(shù)量。
向量在物理學(xué)中稱為矢量；數(shù)量在物理學(xué)中稱為標(biāo)量。
數(shù)量與向量的區(qū)別：數(shù)量只有大小，是一個代數(shù)量，可以進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算、能比較大小；而向量既有大小又有方向,向量是不能比較大小的。
（2）向量的幾何表示
1.有向線段：具有方向的線段叫做有向線段，它包含三個要素：起點(diǎn)、方向、長度
以A為起點(diǎn)、B為終點(diǎn)的有向線段記作eq \(AB,\s\up6(→))，線段AB的長度叫做有向線段eq \(AB,\s\up6(→))的長度記作|eq \(AB,\s\up6(→))|
2.向量的表示：(1)幾何表示：向量可以用有向線段表示，有向線段的長度表示向量的大小，有向線段的方向表示向量的方向.
(2)字母表示：向量可以用字母a，b，c，…表示(印刷用黑體a，b，c，書寫時用eq \(a,\s\up6(→))，eq \( b,\s\up6(→))，eq \( c,\s\up6(→))).
【思考】向量與有向線段有什么區(qū)別？
【提示】 向量只有大小和方向兩個要素，與起點(diǎn)無關(guān)，只要大小相等和方向相同，則這兩個向量就是相同的向量.
有向線段有起點(diǎn)、方向與長度三個要素，若起點(diǎn)不同，盡管方向與長度相同，也是不同的有向線段.
（3）模、零向量、單位向量：
向量eq \(AB,\s\up6(→))的大小，稱為向量eq \(AB,\s\up6(→))的長度(或稱模)，記作|eq \(AB,\s\up6(→))|.
長度為0的向量叫做零向量，記作0；
長度等于1個單位長度的向量，叫做單位向量。
【思考1】零向量的方向是什么？兩個單位向量的方向相同嗎？
【提示】零向量的方向是任意的．兩個單位向量的方向不一定相同.
【思考2】向量由其模和方向所確定.對于兩個向量a,b,就其模等與不等,方向同與不同而言,有哪幾種可能情形?
【提示】有四種情形:模相等,方向相同;模相等,方向不相同;模不相等,方向相同;模不相等,方向不相同.
【辯一辯】1.如果|eq \(AB,\s\up6(→))| >|eq \(CD,\s\up6(→))|，那么eq \(AB,\s\up6(→))>eq \(CD,\s\up6(→)).(×)
2.若a，b都是單位向量，則a＝b.(×)
3.若a＝b，且a與b的起點(diǎn)相同，則終點(diǎn)也相同.(√)
4.零向量的大小為0，沒有方向.(×)
（4）相等向量與共線向量
1.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.
記法：向量a與b平行，記作a∥b
規(guī)定：零向量與任意向量平行。
2.相等向量：長度相等且方向相同的向量叫做相等向量。
3.共線向量：由于任一組平行向量都可以平移到同一直線上，所以平行向量也叫做共線向量.
共線向量與平行向量關(guān)系：如圖所示,因?yàn)槿我唤M平行向量都可移到同一直線上（向量具有自由性，與有向線段的起點(diǎn)無關(guān)）,所以平行向量就是共線向量。
【探究1】若平行向量有相同的起點(diǎn)，那么它們是否一定有相同的終點(diǎn)？
【提示】不一定，只有當(dāng)兩個平行向量相等時，它們才有相同的終點(diǎn).
【探究2】不相等的兩個向量a，b可能平行嗎？
【提示】可能.事實(shí)上，考慮到零向量的特殊性，向量平行有如下三種情況：
(1)兩個向量a，b中，有一個為零向量，另一個為非零向量；
(2)兩個向量均為非零向量，方向相同，但模不相等；
(3)兩個向量均為非零向量，方向相反，模相等或不相等皆可.
【探究3】如果兩個向量所在的直線互相平行,那么這兩個向量的方向有什么關(guān)系?
【提示】方向相同或相反.
【辯一辯】判斷下列說法是否正確，正確的在后面的括號內(nèi)打“√”，錯誤的打“×”.
(1)平行向量方向一定相同.( )
(2)不相等向量一定不平行.( )
(3)與零向量相等的向量是零向量.( )
(4)若兩向量平行,則這兩向量的方向相同或相反.( )
(5)若兩個向量共線，則其方向必定相同或相反．( )
答案:(1)×(2)×(3)√(4)√（5）×
【設(shè)計(jì)意圖】通過探究讓學(xué)生理解平面向量的概念、平行向量、相等向量的概念，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)。
（三）典型例題
1.平面向量的相關(guān)概念
例1.給出下列命題：
①若eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))，則A，B，C，D四點(diǎn)是平行四邊形的四個頂點(diǎn)；
②在?ABCD中，一定有eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))；
③若a＝b，b＝c，則a＝c.
其中所有正確命題的序號為________．
解析：eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))，A，B，C，D四點(diǎn)可能在同一條直線上，故①不正確；在?ABCD中，|eq \(AB,\s\up6(→))|＝|eq \(DC,\s\up6(→))|，eq \(AB,\s\up6(→))與eq \(DC,\s\up6(→))平行且方向相同，故eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))，故②正確；a＝b，則|a|＝|b|，且a與b的方向相同；b＝c，則|b|＝|c|，且b與c的方向相同，則a與c長度相等且方向相同，故a＝c，故③正確．
答案：②③
【類題通法】1．單位向量、零向量是用向量的長度來定義的，共線向量是用表示向量的有向線段所在直線平行或重合來定義的．相等向量是用向量的長度和方向共同定義的．
2．對于概念性題目，關(guān)鍵把握好概念的內(nèi)涵與外延，正確理解向量共線、向量相等的概念，清楚它們的區(qū)別與聯(lián)系．
【鞏固練習(xí)1】下列說法正確的是( )
A.向量eq \(AB,\s\up6(→))與向量eq \(BA,\s\up6(→))的長度相等
B.兩個有共同起點(diǎn)，且長度相等的向量，它們的終點(diǎn)相同
C.若a∥b，b∥c，則a∥c
D.若兩個單位向量平行，則這兩個單位向量相等
解析：兩個有共同起點(diǎn)，且長度相等的向量，它們的方向不一定相同，終點(diǎn)也不一定相同；C選項(xiàng)，當(dāng)b＝0時，a與c可能不共線；兩個單位向量平行也可能反向，則不相等，故B，C，D都錯誤，A正確.故選A.
答案：A
2.平面向量的表示
例2.在如圖所示的坐標(biāo)紙上(每個小方格的邊長均為1)，用直尺和圓規(guī)畫出下列向量．
(1)eq \(OA,\s\up6(→))，使|eq \(OA,\s\up6(→))|＝4eq \r(2)，點(diǎn)A在點(diǎn)O北偏東45°方向；
(2)eq \(AB,\s\up6(→))，使|eq \(AB,\s\up6(→))|＝4，點(diǎn)B在點(diǎn)A正東方向；
(3)eq \(BC,\s\up6(→))，使|eq \(BC,\s\up6(→))|＝6，點(diǎn)C在點(diǎn)B北偏東30°方向．
解析：如圖中的eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(AB,\s\up6(→))和eq \(BC,\s\up6(→)).
【類題通法】1.準(zhǔn)確畫出向量的方法是先確定向量的起點(diǎn)，再確定向量的方向，最后根據(jù)向量的大小確定向量的終點(diǎn)．
2．注意事項(xiàng)：書寫有向線段時，要注意起點(diǎn)和終點(diǎn)的不同；在書寫字母表示時不要忘了字母上的箭頭.
【鞏固練習(xí)2】某人從A點(diǎn)出發(fā)向東走了5米到達(dá)B點(diǎn)，然后改變方向按東北方向走了10eq \r(2)米到達(dá)C點(diǎn)，到達(dá)C點(diǎn)后又改變方向向西走了10米到達(dá)D點(diǎn)．
①作出向量eq \(AB,\s\up12(→))，eq \(BC,\s\up12(→))，eq \(CD,\s\up12(→)).
②求eq \(AD,\s\up12(→))的模．
解：①作出向量eq \(AB,\s\up12(→))，eq \(BC,\s\up12(→))，eq \(CD,\s\up12(→))，如圖所示：
②由題意得，△BCD是直角三角形，其中∠BDC＝90°，BC＝10eq \r(2)米，CD＝10米，所以BD＝10米．△ABD是直角三角形，其中∠ABD＝90°，AB＝5米，BD＝10米，所以AD＝eq \r(52＋?10?2)＝5eq \r(5)(米)．所以|eq \(AD,\s\up12(→))|＝5eq \r(5)米．
3.相等向量與共線向量
例3.如圖，四邊形ABCD為邊長為3的正方形，把各邊三等分后，共有16個交點(diǎn)，從中選取兩個交點(diǎn)作為向量，則與eq \(AC,\s\up6(→))平行且長度為2eq \r(2)的向量個數(shù)有________個．
解析：如圖所示，滿足與eq \(AC,\s\up6(→))平行且長度為2eq \r(2)的向量有eq \(AF,\s\up6(→))，eq \(FA,\s\up6(→))，eq \(EC,\s\up6(→))，eq \(CE,\s\up6(→))，eq \(GH,\s\up6(→))，eq \(HG,\s\up6(→))，eq \(IJ,\s\up6(→))，eq \(JI,\s\up6(→))共8個．
答案：8
【變式探究1】本例中的條件不變，與同向且長度為2的向量有幾個？
解：與同向且長度為2的向量占與平行且長度為2的向量中的一半，共4個.
【變式探究2】本例中的條件不變，如圖,與向量 相等的向量有多少個?
解：圖中每個小正方形的對角線所在的向量中,與向量方向相同的向量與其相等,共有8個.
【類題通法】相等向量與共線向量的探求方法
(1)尋找相等向量：先找與表示已知向量的有向線段長度相等的向量，再確定哪些是同向共線．
(2)尋找共線向量：先找與表示已知向量的有向線段平行或共線的線段，再構(gòu)造同向與反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向線段的終點(diǎn)為起點(diǎn)，起點(diǎn)為終點(diǎn)的向量．
提醒：與向量平行相關(guān)的問題中，不要忽視零向量.
【鞏固練習(xí)3】如圖，設(shè)O是?ABCD對角線的交點(diǎn)，則
(1)與Oeq \(A,\s\up12(→))的模相等的向量有多少個？
(2)與Oeq \(A,\s\up12(→))的模相等，方向相反的向量有哪些？
(3)寫出與Aeq \(B,\s\up12(→))共線的向量．
解：(1)與Oeq \(A,\s\up12(→))的模相等的向量有Oeq \(C,\s\up12(→))，Aeq \(O,\s\up12(→))，Ceq \(O,\s\up12(→))三個向量．
(2)與Oeq \(A,\s\up12(→))的模相等且方向相反的向量為Oeq \(C,\s\up12(→))，Aeq \(O,\s\up12(→)).
(3)與Aeq \(B,\s\up12(→))共線的向量有Deq \(C,\s\up12(→))，Ceq \(D,\s\up12(→))，Beq \(A,\s\up12(→)).
（四）操作演練 素養(yǎng)提升
1．在△ABC中，AB＝AC，D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，則( )
A.eq \(AB,\s\up6(→))與eq \(AC,\s\up6(→))共線 B.eq \(DE,\s\up6(→))與eq \(CB,\s\up6(→))共線
C.eq \(AD,\s\up6(→))與eq \(AE,\s\up6(→))相等 D.eq \(AD,\s\up6(→))與eq \(BD,\s\up6(→))相等
2．如圖所示，梯形ABCD為等腰梯形，則兩腰上的向量eq \(AB,\s\up12(→))與eq \(DC,\s\up12(→))的關(guān)系是( )
A.eq \(AB,\s\up12(→))＝eq \(DC,\s\up12(→)) B．|eq \(AB,\s\up12(→))|＝|eq \(DC,\s\up12(→))|
C.eq \(AB,\s\up12(→))＞eq \(DC,\s\up12(→)) D．eq \(AB,\s\up12(→))＜eq \(DC,\s\up12(→))
3．若|AB|=|AD|且BA=CD,則四邊形ABCD的形狀為( )
A.平行四邊形 B.矩形
C.菱形 D.等腰梯形
4.下列結(jié)論中正確的是( )
①若a∥b且|a|＝|b|，則a＝b；
②若a＝b，則a∥b且|a|＝|b|；
③若a與b方向相同且|a|＝|b|，則a＝b；
④若a≠b，則a與b方向相反且|a|≠|(zhì)b|.
A．①③ B．②③ C．③④ D．②④
答案：1.B 2.B 3.C 4.B
【設(shè)計(jì)意圖】通過練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識，通過學(xué)生解決問題的能力，感悟其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用意識。
（五）課堂小結(jié)，反思感悟
1.知識總結(jié)：
2.學(xué)生反思：
（1）通過這節(jié)課，你學(xué)到了什么知識？


（2）在解決問題時，用到了哪些數(shù)學(xué)思想？


【設(shè)計(jì)意圖】
通過總結(jié)，讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固本節(jié)所學(xué)內(nèi)容，提高概括能力,提高學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和邏輯推理能力。
完成教材：第4頁 練習(xí) 第1，2，3,4題
第5 頁 習(xí)題6.1 第1,2,3,4題









第一節(jié)
課時內(nèi)容
平面向量的概念
所在位置
教材第2頁
新教材內(nèi)容分析
本節(jié)課是一節(jié)概念課，在本節(jié)中，學(xué)生將了解平面向量豐富的實(shí)際背景，理解平面向量的意義，能用向量的語言和方法表達(dá)和解決數(shù)學(xué)和物理中的一些問題。
核心素養(yǎng)培養(yǎng)
通過理解平面向量的概念，向量的模的概念，兩個向量相等的含義以及共線向量的概念，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理的核心素養(yǎng)；通過向量的表示方法，提升直觀想象的核心素養(yǎng)。
教學(xué)主線
平面向量的概念

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第二冊電子課本

6.1 平面向量的概念

版本： 人教A版 (2019)

年級： 必修 第二冊

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