知識(shí)點(diǎn)01 向量的概念
1．向量：既有大小又有方向的量叫做向量.
2．?dāng)?shù)量：只有大小，沒(méi)有方向的量（如年齡、身高、長(zhǎng)度、面積、體積和質(zhì)量等），稱為數(shù)量．
【解讀】（1）本書所學(xué)向量是自由向量，即只有大小和方向，而無(wú)特定的位置，這樣的向量可以作任意平移．
（2）看一個(gè)量是否為向量，就要看它是否具備了大小和方向兩個(gè)要素．
（3）向量與數(shù)量的區(qū)別：數(shù)量與數(shù)量之間可以比較大小，而向量與向量之間不能比較大小．
【即學(xué)即練1】有下列物理量：①質(zhì)量；②速度；③力；④加速度；⑤路程；⑥功．
其中，不是向量的個(gè)數(shù)是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
知識(shí)點(diǎn)02 向量的表示法
1．有向線段
具有方向的線段叫做有向線段，有向線段包含三個(gè)要素：起點(diǎn)、方向、長(zhǎng)度．
2．向量的表示方法
（1）字母表示法：如等.
（2）幾何表示法：以A為始點(diǎn)，B為終點(diǎn)作有向線段（注意始點(diǎn)一定要寫在終點(diǎn)的前面）．如果用一條有向線段表示向量，通常我們就說(shuō)向量.
【注意】（1）用字母表示向量便于向量運(yùn)算；
（2）用有向線段來(lái)表示向量，顯示了圖形的直觀性．應(yīng)該注意的是有向線段是向量的表示，不是說(shuō)向量就是有向線段．由于向量只含有大小和方向兩個(gè)要素，用有向線段表示向量時(shí)，與它的始點(diǎn)的位置無(wú)關(guān)，即同向且等長(zhǎng)的有向線段表示同一向量或相等的向量．
【即學(xué)即練2】已知向量a如圖所示，下列說(shuō)法不正確的是( )
A．也可以用eq \(MN,\s\up7(―→))表示 B．方向是由M指向N
C．起點(diǎn)是M D．終點(diǎn)是M
知識(shí)點(diǎn)03向量的有關(guān)概念
1．向量的模：向量的大小叫向量的模(就是用來(lái)表示向量的有向線段的長(zhǎng)度).
【解讀】（1）向量的模．
（2）向量不能比較大小，但是實(shí)數(shù)，可以比較大小．
2．零向量：長(zhǎng)度為零的向量叫零向量.記作，它的方向是任意的．
3．單位向量：長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量.
【解讀】定義中的零向量和單位向量都是只限制大小，沒(méi)有確定方向．我們規(guī)定零向量的方向是任意的；單位向量有無(wú)數(shù)個(gè)，它們大小相等，但方向不一定相同，在平面內(nèi)，將所有單位向量的起點(diǎn)平移到同一點(diǎn)，則它們的終點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)半徑為1的圓.
4．相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量.
【解讀】在平面內(nèi)，相等的向量有無(wú)數(shù)多個(gè)，它們的方向相同且長(zhǎng)度相等．
【即學(xué)即練3】（2024·高二課時(shí)練習(xí)）下列關(guān)于向量的命題中，真命題的個(gè)數(shù)是（ ）
①任一向量與它的相反向量不相等；
②長(zhǎng)度相等、方向相同的兩個(gè)向量是相等向量；
③若，則；
④兩個(gè)向量相等，則它們的起點(diǎn)與終點(diǎn)相同.
A．0B．1C．2D．3
知識(shí)點(diǎn)04向量的共線或平行
方向相同或相反的非零向量，叫共線向量(共線向量又稱為平行向量).規(guī)定：與任一向量共線.
【解讀】（1）零向量的方向是任意的，注意0與0的含義與書寫區(qū)別.
(2)理解平行向量的概念時(shí)，需注意平行向量和平行直線是有區(qū)別的，平行直線不包括重合的情況，而平行向量是可以重合的．
(3)共線向量就是平行向量，其中“共線”的含義不是平面幾何中“共線”的含義．實(shí)際上，共線向量(平行向量)有以下四種情況：方向相同且模相等；方向相同且模不等；方向相反且模相等；方向相反且模不等．這樣，也就找到了共線向量與相等向量的關(guān)系，即共線向量不一定是相等向量，而相等向量一定是共線向量．
(4)向量相等具有傳遞性，即ab，bc，則ac. 而向量的平行不具有傳遞性，若a∥b，b∥c，未必有a∥c. 因?yàn)榱阆蛄科叫杏谌我庀蛄浚?br>【即學(xué)即練4】
在下列命題中：①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③共線向量一定相等；④相等向量一定共線；⑤長(zhǎng)度相等的向量是相等向量；⑥平行于同一個(gè)非零向量的兩個(gè)向量是共線向量．正確的命題是________．
題型01 平面向量的基本概念
【典例1】（23-24高一下·北京·期中）以下命題中正確的個(gè)數(shù)是（ ）
①兩個(gè)相等向量的模相等；
②若和都是單位向量，則；
③相等的兩個(gè)向量一定是共線向量；
④零向量是唯一沒(méi)有方向的向量；
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【變式1】（23-24高一下·福建莆田·階段練習(xí)）下列結(jié)論中，正確的是（ ）
A．零向量的大小為0，沒(méi)有方向
B．
C．起點(diǎn)相同的單位向量，終點(diǎn)必相同
D．若兩個(gè)單位向量平行，則這兩個(gè)單位向量相等
【變式2】（24-25高二上·甘肅臨夏·階段練習(xí)）判斷下列各命題的真假：①向量與平行，則與的方向相同或相反；②兩個(gè)有共同起點(diǎn)而且相等的向量，其終點(diǎn)必相同；③零向量是沒(méi)有方向的；④有向線段就是向量，向量就是有向線段．其中假命題的個(gè)數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
【變式3】（23-24高一下·吉林·期末）下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．平面上所有單位向量，其終點(diǎn)在同一個(gè)圓上；
B．若，則與的長(zhǎng)度相等且方向相同或相反；
C．若，且與的方向相同，則
D．若，則與方向相同或相反
【變式4】（23-24高一下·北京·期中）已知是平面內(nèi)四個(gè)不同的點(diǎn)，則“”是“四邊形為平行四邊形”的（ ）
A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件
C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件
題型02 平面向量的表示
【典例2】（25-26高一上·全國(guó)·隨堂練習(xí)）如圖，在圓中，向量，，是（ ）

A．有相同起點(diǎn)的向量B．相反向量
C．模相等的向量D．相等向量
【變式1】（23-24高一下·江西九江·階段練習(xí)）如圖，B是線段AC的中點(diǎn)，若分別以圖中各點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)，則最多可以寫出 個(gè)共線非零向量．

【變式2】如圖，是某人行走的路線，那么的幾何意義是某人從A點(diǎn)沿西偏南 方向行走了 km．
【變式3】 一輛汽車從A點(diǎn)出發(fā)向西行駛了100 km到達(dá)B點(diǎn),然后改變方向向西偏北70°方向行駛了200 km到達(dá)C點(diǎn),又改變方向,向東行駛了100 km到達(dá)D點(diǎn)。
(1)作出向量AB,BC,CD;
(2)求汽車從A點(diǎn)到D點(diǎn)的位移大小|AD|。
題型03 平行向量與相等向量
【典例3】（24-25高一下·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，在菱形中，，則以下說(shuō)法正確的是（ ）

A．與相等的向量只有1個(gè)（不含）
B．與的模相等的向量有9個(gè)（不含）
C．的模恰為的模的倍
D．與不相等
【變式1】下列命題：①方向不同的兩個(gè)向量不可能是共線向量；②長(zhǎng)度相等、方向相同的向量是相等向量；③平行且模相等的兩個(gè)向量是相等向量；④若，則.其中正確命題的個(gè)數(shù)是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【變式2】（23-24高一下·福建泉州·階段練習(xí)）關(guān)于向量，下列命題中正確的是（ ）
A．若，則B．若，則
C．若，則D．若，則
【變式3】如圖，點(diǎn)O是正六邊形ABCDEF的中心，在分別以正六邊形的頂點(diǎn)和中心為始點(diǎn)和終點(diǎn)的向量中，與向量相等的向量有 個(gè).

題型04 平面向量的簡(jiǎn)單應(yīng)用
【典例4】（24-25高一上·上海·課后作業(yè)）（1）A、B、C是平面上三個(gè)不同的點(diǎn)，若，則A、B、C的位置關(guān)系是 ；若進(jìn)一步有，則A、B、C的位置關(guān)系是 ；
（2）如圖，在四邊形中，若，則四邊形是 ．
【變式1】（23-24高一下·陜西咸陽(yáng)·期中）已知四邊形中，，并且，則四邊形是（ ）
A．菱形B．正方形C．等腰梯形D．長(zhǎng)方形
【變式2】已知四邊形，下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．若，則四邊形為平行四邊形
B．若，則四邊形為矩形
C．若，且，則四邊形為矩形
D．若，且，則四邊形為梯形
【變式3】已知點(diǎn)，，，分別是平面四邊形的邊，，，的中點(diǎn)，求證：．
一、單選題
1．（24-25高二上·黑龍江佳木斯·階段練習(xí)）下列量中是向量的為（ ）
A．體積B．距離
C．拉力D．質(zhì)量
2．（23-24高一下·陜西寶雞·期中）下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．?dāng)?shù)量可以比較大小，向量也可以比較大小
B．由于零向量的方向不確定，因此零向量不能與任意向量平行
C．模為1的向量都是相等向量
D．向量的?？梢员容^大小
3．（23-24高一下·天津河北·期中）下列說(shuō)法中，正確的是（ ）
A．若，則B．若，則
C．若且，則D．若，則
4．（23-24高一下·全國(guó)·隨堂練習(xí)）下列關(guān)于向量的描述正確的是（ ）
A．若向量，都是單位向量，則
B．若向量，都是單位向量，則
C．任何非零向量都有唯一的與之共線的單位向量
D．平面內(nèi)起點(diǎn)相同的所有單位向量的終點(diǎn)共線
5．（23-24高一下·江西南昌·期中）下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．若，則與共線B．若與是平行向量，則
C．若，則D．共線向量方向必相同
6．（23-24高一下·陜西寶雞·階段練習(xí)）下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（ ）．
A．零向量沒(méi)有方向
B．兩個(gè)相等的向量若起點(diǎn)相同，則終點(diǎn)必相同
C．只有零向量的模等于0
D．向量與的長(zhǎng)度相等
7．（23-24高一下·黑龍江大慶·階段練習(xí)）下列命題中，正確的是（ ）
A．若，則B．若，則
C．若，則D．若，則
8．（22-23高一下·江蘇連云港·階段練習(xí)）下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（ ）
A．B．、是單位向量，則
C．兩個(gè)相同的向量的模相等D．單位向量均相等
二、多選題
9．（23-24高一下·廣東佛山·期中）下列命題是真命題的是（ ）
A．在正方形ABCD中，
B．的模長(zhǎng)為0
C．若，則向量是單位向量
D．若向量與向量是共線向量，則向量與向量的方向相同
10．（23-24高一下·陜西渭南·期末）已知，為兩個(gè)單位向量，則下列四個(gè)命題中錯(cuò)誤的是（ ）
A．與相等B．如果與平行，那么與相等
C．與共線D．如果與平行，那么或
11．（23-24高一下·廣西來(lái)賓·期末）關(guān)于非零向量，，下列命題中，正確的是（ ）
A．若，則B．若，則
C．若，，則D．若，則
三、填空題
12．下列各量中，向量有： ．（填寫序號(hào)）
①濃度；②年齡；③風(fēng)力；④面積；⑤位移；⑥人造衛(wèi)星的速度；⑦電量；⑧向心力；⑨盈利；⑩加速度．
13．（23-24高一下·江蘇宿遷·開學(xué)考試）在下列判斷中，真命題的是 .
①長(zhǎng)度為的向量都是零向量；②零向量的方向都是相同的；③單位向量的長(zhǎng)度都相等；④單位向量都是同方向；⑤任意向量與零向量都共線．
14．如圖所示，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，在其中標(biāo)出了6個(gè)向量，在這6個(gè)向量中：
(1)有兩個(gè)向量的模相等，這兩個(gè)向量是________，它們的模都等于________．
(2)存在著共線向量，這些共線的向量是________，它們的模的和等于________．
四、解答題
15．.如圖，D，E，F(xiàn)分別是正三角形ABC各邊的中點(diǎn)．
(1)寫出圖中所示與向量eq \(DE,\s\up7(―→))長(zhǎng)度相等的向量；
(2)寫出圖中所示與向量eq \(FD,\s\up7(―→))相等的向量；
(3)分別寫出圖中所示向量與向量eq \(DE,\s\up7(―→))，eq \(FD,\s\up7(―→))共線的向量．
16．（24-25高一上·上海·課后作業(yè)）已知線段被n（）等分，等分點(diǎn)為，，，…，.從這個(gè)點(diǎn)中任取兩點(diǎn)作為向量的起點(diǎn)和終點(diǎn).
(1)當(dāng)時(shí)，一共可以構(gòu)成多少個(gè)互不相等的非零向量？
(2)求互不相等的非零向量總數(shù)，用n表示.課程標(biāo)準(zhǔn)
學(xué)習(xí)目標(biāo)
掌握向量、相等向量、共線向量的概念及向量的幾何表示；對(duì)共線向量的理解及掌握.
通過(guò)對(duì)生活中力、速度、位移等的分析，了解平面向量的實(shí)際背景；
理解向量的意義及幾何表示；
掌握相等向量與共線向量的意義.
第01講 平面向量的概念

知識(shí)點(diǎn)01 向量的概念
1．向量：既有大小又有方向的量叫做向量.
2．?dāng)?shù)量：只有大小，沒(méi)有方向的量（如年齡、身高、長(zhǎng)度、面積、體積和質(zhì)量等），稱為數(shù)量．
【解讀】（1）本書所學(xué)向量是自由向量，即只有大小和方向，而無(wú)特定的位置，這樣的向量可以作任意平移．
（2）看一個(gè)量是否為向量，就要看它是否具備了大小和方向兩個(gè)要素．
（3）向量與數(shù)量的區(qū)別：數(shù)量與數(shù)量之間可以比較大小，而向量與向量之間不能比較大?。?br>【即學(xué)即練1】有下列物理量：①質(zhì)量；②速度；③力；④加速度；⑤路程；⑥功．
其中，不是向量的個(gè)數(shù)是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】D
【解析】質(zhì)量、路程、功只有大小，沒(méi)有方向不是向量，而速度、力、加速度均是既有大小又有方向的物理量．故選C.
知識(shí)點(diǎn)02 向量的表示法
1．有向線段
具有方向的線段叫做有向線段，有向線段包含三個(gè)要素：起點(diǎn)、方向、長(zhǎng)度．
2．向量的表示方法
（1）字母表示法：如等.
（2）幾何表示法：以A為始點(diǎn)，B為終點(diǎn)作有向線段（注意始點(diǎn)一定要寫在終點(diǎn)的前面）．如果用一條有向線段表示向量，通常我們就說(shuō)向量.
【注意】（1）用字母表示向量便于向量運(yùn)算；
（2）用有向線段來(lái)表示向量，顯示了圖形的直觀性．應(yīng)該注意的是有向線段是向量的表示，不是說(shuō)向量就是有向線段．由于向量只含有大小和方向兩個(gè)要素，用有向線段表示向量時(shí)，與它的始點(diǎn)的位置無(wú)關(guān)，即同向且等長(zhǎng)的有向線段表示同一向量或相等的向量．
【即學(xué)即練2】已知向量a如圖所示，下列說(shuō)法不正確的是( )
A．也可以用eq \(MN,\s\up7(―→))表示 B．方向是由M指向N
C．起點(diǎn)是M D．終點(diǎn)是M
【答案】A
【解析】由向量的幾何表示知，A、B、C正確，D不正確．故選D.
知識(shí)點(diǎn)03向量的有關(guān)概念
1．向量的模：向量的大小叫向量的模(就是用來(lái)表示向量的有向線段的長(zhǎng)度).
【解讀】（1）向量的模．
（2）向量不能比較大小，但是實(shí)數(shù)，可以比較大?。?br>2．零向量：長(zhǎng)度為零的向量叫零向量.記作，它的方向是任意的．
3．單位向量：長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量.
【解讀】定義中的零向量和單位向量都是只限制大小，沒(méi)有確定方向．我們規(guī)定零向量的方向是任意的；單位向量有無(wú)數(shù)個(gè)，它們大小相等，但方向不一定相同，在平面內(nèi)，將所有單位向量的起點(diǎn)平移到同一點(diǎn)，則它們的終點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)半徑為1的圓.
4．相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量.
【解讀】在平面內(nèi)，相等的向量有無(wú)數(shù)多個(gè)，它們的方向相同且長(zhǎng)度相等．
【即學(xué)即練3】（2024·高二課時(shí)練習(xí)）下列關(guān)于向量的命題中，真命題的個(gè)數(shù)是（ ）
①任一向量與它的相反向量不相等；
②長(zhǎng)度相等、方向相同的兩個(gè)向量是相等向量；
③若，則；
④兩個(gè)向量相等，則它們的起點(diǎn)與終點(diǎn)相同.
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【分析】利用零向量、相等向量與向量的模的定義逐一判斷即可.
【詳解】對(duì)于①，因?yàn)榱阆蛄颗c它的相反向量相等，所以①不是真命題；
對(duì)于②，根據(jù)向量的定義，知長(zhǎng)度相等、方向相同的兩個(gè)向量是相等向量，所以②是真命題；
對(duì)于③，當(dāng)時(shí)，滿足，但，所以③不是真命題；
對(duì)于④，只要模相等，方向相同，兩個(gè)向量就是相等向量，與向量的起點(diǎn)與終點(diǎn)無(wú)關(guān)，所以④不是真命題.
綜上，只有②是真命題，即真命題的個(gè)數(shù)是.
.
知識(shí)點(diǎn)04向量的共線或平行
方向相同或相反的非零向量，叫共線向量(共線向量又稱為平行向量).規(guī)定：與任一向量共線.
【解讀】（1）零向量的方向是任意的，注意0與0的含義與書寫區(qū)別.
(2)理解平行向量的概念時(shí)，需注意平行向量和平行直線是有區(qū)別的，平行直線不包括重合的情況，而平行向量是可以重合的．
(3)共線向量就是平行向量，其中“共線”的含義不是平面幾何中“共線”的含義．實(shí)際上，共線向量(平行向量)有以下四種情況：方向相同且模相等；方向相同且模不等；方向相反且模相等；方向相反且模不等．這樣，也就找到了共線向量與相等向量的關(guān)系，即共線向量不一定是相等向量，而相等向量一定是共線向量．
(4)向量相等具有傳遞性，即ab，bc，則ac. 而向量的平行不具有傳遞性，若a∥b，b∥c，未必有a∥c. 因?yàn)榱阆蛄科叫杏谌我庀蛄浚?br>【即學(xué)即練4】
在下列命題中：①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③共線向量一定相等；④相等向量一定共線；⑤長(zhǎng)度相等的向量是相等向量；⑥平行于同一個(gè)非零向量的兩個(gè)向量是共線向量．正確的命題是________．
【答案】 ④⑥
【解析】 由向量的相關(guān)概念可知④⑥正確．
題型01 平面向量的基本概念
【典例1】（23-24高一下·北京·期中）以下命題中正確的個(gè)數(shù)是（ ）
①兩個(gè)相等向量的模相等；
②若和都是單位向量，則；
③相等的兩個(gè)向量一定是共線向量；
④零向量是唯一沒(méi)有方向的向量；
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【答案】C
【分析】由相等向量、零向量、單位向量以及共線向量的定義逐一判斷各個(gè)序號(hào)即可求解.
【詳解】對(duì)于①，兩個(gè)相等向量的模相等，且它們的方向也相同，故①正確；
對(duì)于②，若和都是單位向量，當(dāng)它們的方向不同時(shí)，則不不成立，故②錯(cuò)誤；
對(duì)于③，相等的兩個(gè)向量方向相同，所以它們一定是共線向量，故③正確；
對(duì)于④，任何向量都有大小以及方向，零向量也是向量，只不過(guò)零向量是方向任意的向量，故④錯(cuò)誤.
故正確的有①③，共兩個(gè).
.
【變式1】（23-24高一下·福建莆田·階段練習(xí)）下列結(jié)論中，正確的是（ ）
A．零向量的大小為0，沒(méi)有方向
B．
C．起點(diǎn)相同的單位向量，終點(diǎn)必相同
D．若兩個(gè)單位向量平行，則這兩個(gè)單位向量相等
【答案】C
【分析】根據(jù)零向量特點(diǎn)即可判斷A；根據(jù)向量模的定義即可判斷B，根據(jù)單位向量以及向量共線的性質(zhì)即可判斷CD.
【詳解】對(duì)A，既有大小又有方向的量叫向量，則零向量既有大小又有方向，故A錯(cuò)誤；
對(duì)B，由于與方向相反，長(zhǎng)度相等，故B正確；
對(duì)C，起點(diǎn)相同的單位向量，終點(diǎn)不一定相同，故C錯(cuò)誤；
對(duì)D，若兩個(gè)單位向量平行，則這兩個(gè)單位向量相等或相反，故D錯(cuò)誤．
．
【變式2】（24-25高二上·甘肅臨夏·階段練習(xí)）判斷下列各命題的真假：①向量與平行，則與的方向相同或相反；②兩個(gè)有共同起點(diǎn)而且相等的向量，其終點(diǎn)必相同；③零向量是沒(méi)有方向的；④有向線段就是向量，向量就是有向線段．其中假命題的個(gè)數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)零向量的定義及共線向量的定義判斷即可得.
【詳解】對(duì)①：因?yàn)榱阆蛄康姆较蚴侨我獾那伊阆蛄颗c任何向量共線，
故當(dāng)與中有一個(gè)為零向量時(shí)，其方向是不確定的，故為假命題；
對(duì)②：兩個(gè)有共同起點(diǎn)而且相等的向量，其終點(diǎn)必相同，故為真命題；
對(duì)③：零向量也是向量，故也有方向，只是方向是任意的，故為假命題；
對(duì)④：向量可用有向線段來(lái)表示，但并不是有向線段，故為假命題.
.
【變式3】（23-24高一下·吉林·期末）下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．平面上所有單位向量，其終點(diǎn)在同一個(gè)圓上；
B．若，則與的長(zhǎng)度相等且方向相同或相反；
C．若，且與的方向相同，則
D．若，則與方向相同或相反
【答案】D
【分析】考慮向量的起點(diǎn)位置可判斷A；利用向量相等的定義可判斷BC；考慮特殊向量可判斷D.
【詳解】對(duì)于A，只有平面上所有單位向量的起點(diǎn)移到同一個(gè)點(diǎn)時(shí)，其終點(diǎn)才會(huì)在同一個(gè)圓上，故A錯(cuò)誤：
對(duì)于B，由只能判斷兩向量長(zhǎng)度相等，不能確定它們的方向關(guān)系，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，因?yàn)?，且與同向，由兩向量相等的條件，可得，故C正確；
對(duì)于D，依據(jù)規(guī)定：與任意向量平行，故當(dāng)時(shí)，與的方向不一定相同或相反，故D錯(cuò)誤.
．
【變式4】（23-24高一下·北京·期中）已知是平面內(nèi)四個(gè)不同的點(diǎn)，則“”是“四邊形為平行四邊形”的（ ）
A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件
C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】C
【分析】根據(jù)向量平行的意義進(jìn)行判斷即可.
【詳解】一方面，時(shí)，可能共線，此時(shí)不構(gòu)成四邊形，充分性不不成立；
另一方面，四邊形為平行四邊形時(shí)，則，故，必要性不成立.
故“”是“四邊形為平行四邊形”的必要不充分條件.
題型02 平面向量的表示
【典例2】（25-26高一上·全國(guó)·隨堂練習(xí)）如圖，在圓中，向量，，是（ ）

A．有相同起點(diǎn)的向量B．相反向量
C．模相等的向量D．相等向量
【答案】D
【分析】根據(jù)向量的幾何表示，可判斷出選項(xiàng)A和C的正誤，再利用相反向量及相等向量的概念，結(jié)合圖形，即可判斷選項(xiàng)B和D的正誤.
【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)橄蛄?，的起點(diǎn)為，而向量的起點(diǎn)為，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤，
對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)橄喾聪蛄渴欠较蛳喾?，長(zhǎng)度相等的向量，而向量，，方向不同，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤，
對(duì)于選項(xiàng)C，向量，，的模長(zhǎng)均為圓的半徑，所以選項(xiàng)C正確，
對(duì)于選項(xiàng)D，因?yàn)橄嗟认蛄渴欠较蛳嗤?，長(zhǎng)度相等的向量，而向量，，方向不同，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤，

.
【變式1】（23-24高一下·江西九江·階段練習(xí)）如圖，B是線段AC的中點(diǎn)，若分別以圖中各點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)，則最多可以寫出 個(gè)共線非零向量．

【答案】6
【分析】根據(jù)題意，直接寫出滿足題意的向量即可.
【詳解】根據(jù)題意，可得所有共線非零向量有：，共有個(gè).
故答案為：.
【變式2】如圖，是某人行走的路線，那么的幾何意義是某人從A點(diǎn)沿西偏南 方向行走了 km．
【答案】 80° 2
【分析】直接由圖求解即可
【詳解】解析：由已知圖形可知，的幾何意義是從A點(diǎn)沿西偏南80°方向，行走了2km．
故答案為：80°；2
【變式3】 一輛汽車從A點(diǎn)出發(fā)向西行駛了100 km到達(dá)B點(diǎn),然后改變方向向西偏北70°方向行駛了200 km到達(dá)C點(diǎn),又改變方向,向東行駛了100 km到達(dá)D點(diǎn)。
(1)作出向量AB,BC,CD;
(2)求汽車從A點(diǎn)到D點(diǎn)的位移大小|AD|。
【解析】 (1)如圖所示。
(2)由題意,易知AB與CD方向相反,故AB與CD平行。
又因?yàn)閨AB|=|CD|,所以在四邊形ABCD中,AB∥CD,且AB=CD。所以四邊形ABCD為平行四邊形。
所以|AD|=|BC|=200 km,即這輛汽車從A點(diǎn)到D點(diǎn)的位移大小為200 km。
題型03 平行向量與相等向量
【典例3】（24-25高一下·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，在菱形中，，則以下說(shuō)法正確的是（ ）

A．與相等的向量只有1個(gè)（不含）
B．與的模相等的向量有9個(gè)（不含）
C．的模恰為的模的倍
D．與不相等
【答案】ABC
【分析】根據(jù)相等向量以及模長(zhǎng)定義，結(jié)合結(jié)合圖形求解ABD，根據(jù)菱形的性質(zhì)即可求解C.
【詳解】由于，因此與相等的向量只有，而與的模相等的向量有，，，，，，，，，故A，B正確；
而在中，，，故，故C正確；
由于，因此與是相等的，故D錯(cuò)誤．
BC
【變式1】下列命題：①方向不同的兩個(gè)向量不可能是共線向量；②長(zhǎng)度相等、方向相同的向量是相等向量；③平行且模相等的兩個(gè)向量是相等向量；④若，則.其中正確命題的個(gè)數(shù)是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】對(duì)于①，由共線向量的定義可知：方向相反的兩個(gè)向量也是共線向量，故①錯(cuò)誤；
對(duì)于②，長(zhǎng)度相等，方向相同的向量是相等向量，故②正確；
對(duì)于③，平行向量的方向相同或相反，不一定方向相同，
所以不一定相等，故③錯(cuò)誤；
對(duì)于④，若，可能只是方向不相同，但模長(zhǎng)相等，故④錯(cuò)誤.
【變式2】（23-24高一下·福建泉州·階段練習(xí)）關(guān)于向量，下列命題中正確的是（ ）
A．若，則B．若，則
C．若，則D．若，則
【答案】D
【分析】利用向量的有向知識(shí)逐項(xiàng)判斷即可得結(jié)論.
【詳解】對(duì)于A：當(dāng)時(shí)，，但，得不出，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B：若，則與沒(méi)有關(guān)系，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C：若，則，故C正確；
對(duì)于D：若，則和不能比較大小，故D錯(cuò)誤．
．
【變式3】如圖，點(diǎn)O是正六邊形ABCDEF的中心，在分別以正六邊形的頂點(diǎn)和中心為始點(diǎn)和終點(diǎn)的向量中，與向量相等的向量有 個(gè).

【答案】3
【分析】根據(jù)相等向量的定義及正六邊形的性質(zhì)即可求解.
【詳解】根據(jù)正六邊形的性質(zhì)和相等向量的定義知，與向量相等的向量有，，，共3個(gè).
故答案為：3
題型04 平面向量的簡(jiǎn)單應(yīng)用
【典例4】（24-25高一上·上海·課后作業(yè)）（1）A、B、C是平面上三個(gè)不同的點(diǎn)，若，則A、B、C的位置關(guān)系是 ；若進(jìn)一步有，則A、B、C的位置關(guān)系是 ；
（2）如圖，在四邊形中，若，則四邊形是 ．
【答案】 A、B、C三點(diǎn)共線 B是的中點(diǎn) 平行四邊形
【分析】（1）根據(jù)共線向量的概念即可判斷；
（2）根據(jù)相等向量的概念即可判斷．
【詳解】（1）且有一個(gè)公共點(diǎn)，
A、B、C三點(diǎn)共線；
，方向相同，
B是的中點(diǎn)，
故答案為：A、B、C三點(diǎn)共線；B是的中點(diǎn)；
（2）在四邊形中，若，則一組對(duì)邊平行且相等，則四邊形是平行四邊形；
故答案為：平行四邊形
【變式1】（23-24高一下·陜西咸陽(yáng)·期中）已知四邊形中，，并且，則四邊形是（ ）
A．菱形B．正方形C．等腰梯形D．長(zhǎng)方形
【答案】A
【分析】由，得到四邊形為平行四邊形，再由，得到，得出四邊形為菱形.
【詳解】由題意，四邊形中，
因?yàn)?，可得且，所以四邊形為平行四邊形?br>又因?yàn)椋傻茫?br>所以四邊形為菱形.
.
【變式2】已知四邊形，下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．若，則四邊形為平行四邊形
B．若，則四邊形為矩形
C．若，且，則四邊形為矩形
D．若，且，則四邊形為梯形
【答案】A
【解析】A選項(xiàng)，若，則且，則四邊形為平行四邊形，正確；
選項(xiàng)，如圖
，但是四邊形不是矩形，錯(cuò)誤；
選項(xiàng)，若，且，
則四邊形可以是等腰梯形,也可以是矩形，故錯(cuò)誤．
選項(xiàng)，若，且，
則四邊形可以是平行四邊形，也可以是梯形，故錯(cuò)誤.
【變式3】已知點(diǎn)，，，分別是平面四邊形的邊，，，的中點(diǎn)，求證：．
【答案】證明見解析
【解析】證明：如圖，連接AC，
因?yàn)?，分別是，的中點(diǎn)，所以為的中位線，
所以，且，
同理，因?yàn)?，分別是，的中點(diǎn)，所以，且，
所以，且，
因?yàn)橄蛄颗c方向相同，所以.
一、單選題
1．（24-25高二上·黑龍江佳木斯·階段練習(xí)）下列量中是向量的為（ ）
A．體積B．距離
C．拉力D．質(zhì)量
【答案】D
【分析】由向量的定義即可判斷
【詳解】A，B，D只有大小，C既有大小又有方向
故選:C
2．（23-24高一下·陜西寶雞·期中）下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．?dāng)?shù)量可以比較大小，向量也可以比較大小
B．由于零向量的方向不確定，因此零向量不能與任意向量平行
C．模為1的向量都是相等向量
D．向量的?？梢员容^大小
【答案】A
【分析】由向量的相關(guān)概念逐一判斷即可.
【詳解】向量是有大小又有方向的矢量，不能比較大小，故A錯(cuò)；
由于零向量的方向不確定，故規(guī)定零向量與任意向量平行，故B錯(cuò)；
長(zhǎng)度相等、方向相同的向量稱為相等向量，模長(zhǎng)為1的向量只規(guī)定了長(zhǎng)度相等，方向不一等相同，故C錯(cuò)；
向量的模長(zhǎng)是一個(gè)數(shù)量，因此可以比較大小，故D正確.
.
3．（23-24高一下·天津河北·期中）下列說(shuō)法中，正確的是（ ）
A．若，則B．若，則
C．若且，則D．若，則
【答案】C
【分析】對(duì)于A：根據(jù)向量與數(shù)量的定義分析判斷；對(duì)于B：根據(jù)向量相等和向量共線分析判斷；對(duì)于C：舉反例說(shuō)明即可；對(duì)于D：根據(jù)零向量和向量共線分析判斷.
【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)闉橄蛄?，均為?shù)量，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)B：根據(jù)相等向量與平行向量的關(guān)系，知，即有，故B正確；
對(duì)于選項(xiàng)C：例如，滿足且，但，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)D：由零向量可知：對(duì)任意，均有，即不一定不成立，故D錯(cuò)誤；
4．（23-24高一下·全國(guó)·隨堂練習(xí)）下列關(guān)于向量的描述正確的是（ ）
A．若向量，都是單位向量，則
B．若向量，都是單位向量，則
C．任何非零向量都有唯一的與之共線的單位向量
D．平面內(nèi)起點(diǎn)相同的所有單位向量的終點(diǎn)共線
【答案】C
【分析】利用單位向量的定義，即可判斷出選項(xiàng)ABD的正誤；選項(xiàng)C，利用共線向量的定義，即可判斷出選項(xiàng)C的正誤.
【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，向量包括長(zhǎng)度和方向，單位向量的長(zhǎng)度相同均為，方向不定，
故向量和不一定相同，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)B，單位向量的長(zhǎng)度相同均為，所以，故選項(xiàng)B正確；
對(duì)于選項(xiàng)C，任意一個(gè)非零向量有兩個(gè)與之共線的單位向量，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)D，因?yàn)樗袉挝幌蛄康哪?，且共起點(diǎn)，
所以所有單位向量的終點(diǎn)在半徑為的圓周上，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤；
.
5．（23-24高一下·江西南昌·期中）下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．若，則與共線B．若與是平行向量，則
C．若，則D．共線向量方向必相同
【答案】A
【分析】利用共線向量、相等向量的概念逐項(xiàng)判斷即得.
【詳解】對(duì)于A，相等向量必是共線向量，A正確；
對(duì)于B，與是平行向量，如為非零向量，而，顯然，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，模相等的兩個(gè)向量，它們的方向不一定相同，即不一定不成立，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，共線向量的方向可以相反，D錯(cuò)誤.
6．（23-24高一下·陜西寶雞·階段練習(xí)）下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（ ）．
A．零向量沒(méi)有方向
B．兩個(gè)相等的向量若起點(diǎn)相同，則終點(diǎn)必相同
C．只有零向量的模等于0
D．向量與的長(zhǎng)度相等
【答案】A
【分析】A.由零向量的定義判斷；B.由相等向量的定義判斷；C.由向量模的定義判斷；D.由相反向量的定義判斷.
【詳解】A.規(guī)定零向量的方向是任意的，所以零向量有方向，故錯(cuò)誤；
B.兩個(gè)相等的向量大小相同，方向相同，所以若起點(diǎn)相同，則終點(diǎn)必相同，故正確；
C.由向量模的定義可知只有零向量的模等于0，故正確；
D.向量與是相反向量，大小相同，方向相反，故正確；
7．（23-24高一下·黑龍江大慶·階段練習(xí)）下列命題中，正確的是（ ）
A．若，則B．若，則
C．若，則D．若，則
【答案】D
【分析】根據(jù)向量的概念逐一判斷.
【詳解】對(duì)于A：若，則只是大小相同，并不能說(shuō)方向相同，A錯(cuò)誤；
對(duì)于B：向量不能比較大小，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C：若，則方向相同，C正確；
對(duì)于D：若，如果為零向量，則不能推出平行，D錯(cuò)誤.
.
8．（22-23高一下·江蘇連云港·階段練習(xí)）下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（ ）
A．B．、是單位向量，則
C．兩個(gè)相同的向量的模相等D．單位向量均相等
【答案】A
【分析】根據(jù)相等向量、單位向量的定義判斷即可.
【詳解】對(duì)于A：因?yàn)?，又互為相反向量的兩個(gè)向量的模相等，所以，故A正確；
對(duì)于B：因?yàn)?、是單位向量，所以，故B正確；
對(duì)于C：兩個(gè)相同的向量的模相等，故C正確；
對(duì)于D：?jiǎn)挝幌蛄康哪Ｏ嗟染鶠?，由于無(wú)法確定方向是否相同，故單位向量不一定相等，故D錯(cuò)誤.
二、多選題
9．（23-24高一下·廣東佛山·期中）下列命題是真命題的是（ ）
A．在正方形ABCD中，
B．的模長(zhǎng)為0
C．若，則向量是單位向量
D．若向量與向量是共線向量，則向量與向量的方向相同
【答案】CC
【分析】對(duì)于A，根據(jù)正方形的性質(zhì)結(jié)合相等向量的定義分析判斷，對(duì)于B，由零向量的定義判斷，對(duì)于C，由單位向量的定義判斷，對(duì)于D，根據(jù)共線向量的定義判斷.
【詳解】對(duì)于A，在正方形ABCD中，與的方向不同，A錯(cuò)誤.
對(duì)于B，的模長(zhǎng)為0，B正確.
對(duì)于C，若，則向量是單位向量，C正確.
對(duì)于D，若向量與向量是共線向量，則向量與向量的可能相反，D錯(cuò)誤.
C
10．（23-24高一下·陜西渭南·期末）已知，為兩個(gè)單位向量，則下列四個(gè)命題中錯(cuò)誤的是（ ）
A．與相等B．如果與平行，那么與相等
C．與共線D．如果與平行，那么或
【答案】ABC
【分析】根據(jù)相等向量，共線向量的定義進(jìn)行判斷.
【詳解】A選項(xiàng)，與為兩個(gè)單位向量，它們模長(zhǎng)相等，但方向不一定相同，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B選項(xiàng)，如果與平行，即與共線，根據(jù)共線向量性質(zhì)，此時(shí)它們可能同向共線或者反向共線，
當(dāng)它們反向共線時(shí)，與不相等，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C選項(xiàng)，兩個(gè)單位向量的夾角為或，它們才共線，但這是不一定的，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D選項(xiàng)，如果與平行，即與共線，根據(jù)共線向量性質(zhì)，此時(shí)它們可能同向共線或者反向共線，
即或，D選項(xiàng)正確.
BC.
11．（23-24高一下·廣西來(lái)賓·期末）關(guān)于非零向量，，下列命題中，正確的是（ ）
A．若，則B．若，則
C．若，，則D．若，則
【答案】CC
【分析】對(duì)于A，由相等向量定義即可判斷；對(duì)于B,由共線向量的內(nèi)涵即可判斷；對(duì)于C，因?yàn)榉橇阆蛄?，故可以利用平行傳遞性判斷；對(duì)于D，因向量有方向，不能比較大小即可判斷.
【詳解】對(duì)于A，若，但與方向不確定，則得不到，，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，若，說(shuō)明與方向相反，故，即B正確；
對(duì)于C，因，由，，易得，故C正確；
對(duì)于D，若，但、不能比較大小，故D錯(cuò)誤．
C．
三、填空題
12．下列各量中，向量有： ．（填寫序號(hào)）
①濃度；②年齡；③風(fēng)力；④面積；⑤位移；⑥人造衛(wèi)星的速度；⑦電量；⑧向心力；⑨盈利；⑩加速度．
【答案】③⑤⑥⑧⑩
【分析】根據(jù)向量的概念判斷即可.
【詳解】解：向量是有大小有方向的量，故符合的有：風(fēng)力，位移，人造衛(wèi)星的速度，向心力，加速度.
故答案為：③⑤⑥⑧⑩.
13．（23-24高一下·江蘇宿遷·開學(xué)考試）在下列判斷中，真命題的是 .
①長(zhǎng)度為的向量都是零向量；②零向量的方向都是相同的；③單位向量的長(zhǎng)度都相等；④單位向量都是同方向；⑤任意向量與零向量都共線．
【答案】①③⑤
【分析】根據(jù)向量的定義及知識(shí)即可逐項(xiàng)判斷求解.
【詳解】對(duì)①：由定義知①正確；
對(duì)②：由于兩個(gè)零向量是平行的，但不能確定是否同向，也不能確定是哪個(gè)具體方向，故②不正確；
對(duì)③：根據(jù)定義可知單位向量的長(zhǎng)度都為1，故③正確；
對(duì)④：?jiǎn)挝幌蛄糠较蚩梢圆煌?，故④錯(cuò)誤；
對(duì)⑤：任意向量與零向量都共線，故⑤正確；
故答案為：①③⑤.
14．如圖所示，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，在其中標(biāo)出了6個(gè)向量，在這6個(gè)向量中：
(1)有兩個(gè)向量的模相等，這兩個(gè)向量是________，它們的模都等于________．
(2)存在著共線向量，這些共線的向量是________，它們的模的和等于________．
【答案】(1)eq \(CH,\s\up7(―→))，eq \(AE,\s\up7(―→)) eq \r(10) (2)eq \(DG,\s\up7(―→))，eq \(HF,\s\up7(―→)) 5eq \r(2)
【解析】結(jié)合圖形可知，(1)|eq \(CH,\s\up7(―→))||eq \(AE,\s\up7(―→))|eq \r(10).
(2)eq \(DG,\s\up7(―→))與eq \(HF,\s\up7(―→))共線，|eq \(DG,\s\up7(―→))|2eq \r(2)，|eq \(HF,\s\up7(―→))|3eq \r(2)，故|eq \(DG,\s\up7(―→))|＋|eq \(HF,\s\up7(―→))|5eq \r(2).
四、解答題
15．.如圖，D，E，F(xiàn)分別是正三角形ABC各邊的中點(diǎn)．
(1)寫出圖中所示與向量eq \(DE,\s\up7(―→))長(zhǎng)度相等的向量；
(2)寫出圖中所示與向量eq \(FD,\s\up7(―→))相等的向量；
(3)分別寫出圖中所示向量與向量eq \(DE,\s\up7(―→))，eq \(FD,\s\up7(―→))共線的向量．
解：(1)與eq \(DE,\s\up7(―→))長(zhǎng)度相等的向量是eq \(EF,\s\up7(―→))，eq \(FD,\s\up7(―→))，eq \(AF,\s\up7(―→))，eq \(FC,\s\up7(―→))，eq \(BD,\s\up7(―→))，eq \(DA,\s\up7(―→))，eq \(CE,\s\up7(―→))，eq \(EB,\s\up7(―→)).
(2)與eq \(FD,\s\up7(―→))相等的向量是eq \(CE,\s\up7(―→))，eq \(EB,\s\up7(―→)).
(3)與eq \(DE,\s\up7(―→))共線的向量是eq \(AC,\s\up7(―→))，eq \(AF,\s\up7(―→))，eq \(FC,\s\up7(―→))；與eq \(FD,\s\up7(―→))共線的向量是eq \(CE,\s\up7(―→))，eq \(EB,\s\up7(―→))，eq \(CB,\s\up7(―→)).
16．（24-25高一上·上?！ふn后作業(yè)）已知線段被n（）等分，等分點(diǎn)為，，，…，.從這個(gè)點(diǎn)中任取兩點(diǎn)作為向量的起點(diǎn)和終點(diǎn).
(1)當(dāng)時(shí)，一共可以構(gòu)成多少個(gè)互不相等的非零向量？
(2)求互不相等的非零向量總數(shù)，用n表示.
【答案】(1)8個(gè)
(2)個(gè)
【分析】（1）按向量的模長(zhǎng)進(jìn)行分類求解；
（2）按向量的模長(zhǎng)進(jìn)行分類求解．
【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，則等分點(diǎn)有，，，共3個(gè)，則從5個(gè)點(diǎn)中任取兩點(diǎn)作為向量的起點(diǎn)和終點(diǎn)時(shí)，
模長(zhǎng)為1時(shí)，有2個(gè)，為：，
模長(zhǎng)為2時(shí)，有2個(gè)，為：，
模長(zhǎng)為3時(shí)，有2個(gè)，為：，
模長(zhǎng)為4時(shí)，有2個(gè)，為：，
總共有8個(gè)．
（2）由（1）知，當(dāng)模長(zhǎng)為1時(shí)，有2個(gè)，
當(dāng)模長(zhǎng)為2時(shí)，有2個(gè)，
當(dāng)模長(zhǎng)為3時(shí)，有2個(gè)，依次類推，當(dāng)模長(zhǎng)為時(shí)，有2個(gè)，
總共有個(gè)．
課程標(biāo)準(zhǔn)
學(xué)習(xí)目標(biāo)
掌握向量、相等向量、共線向量的概念及向量的幾何表示；對(duì)共線向量的理解及掌握.
通過(guò)對(duì)生活中力、速度、位移等的分析，了解平面向量的實(shí)際背景；
理解向量的意義及幾何表示；
掌握相等向量與共線向量的意義.

相關(guān)學(xué)案

高中數(shù)學(xué)人教B版 (2019)必修 第二冊(cè)第六章 平面向量初步6.3 平面向量線性運(yùn)算的應(yīng)用學(xué)案及答案：

這是一份高中數(shù)學(xué)人教B版 (2019)必修 第二冊(cè)第六章 平面向量初步6.3 平面向量線性運(yùn)算的應(yīng)用學(xué)案及答案，共22頁(yè)。

人教B版 (2019)必修 第二冊(cè)6.1.5 向量的線性運(yùn)算導(dǎo)學(xué)案：

這是一份人教B版 (2019)必修 第二冊(cè)6.1.5 向量的線性運(yùn)算導(dǎo)學(xué)案，共37頁(yè)。學(xué)案主要包含了即學(xué)即練1，即學(xué)即練2，即學(xué)即練3，即學(xué)即練4等內(nèi)容，歡迎下載使用。

高中數(shù)學(xué)人教B版 (2019)必修 第二冊(cè)5.1.3 數(shù)據(jù)的直觀表示學(xué)案設(shè)計(jì)：

這是一份高中數(shù)學(xué)人教B版 (2019)必修 第二冊(cè)5.1.3 數(shù)據(jù)的直觀表示學(xué)案設(shè)計(jì)，共52頁(yè)。學(xué)案主要包含了即學(xué)即練1，即學(xué)即練2，即學(xué)即練3，即學(xué)即練4，即學(xué)即練5等內(nèi)容，歡迎下載使用。

英語(yǔ)朗讀寶

相關(guān)學(xué)案 更多

高中數(shù)學(xué)人教B版 (2019)必修 第二冊(cè)第五章 統(tǒng)計(jì)與概率5.1 統(tǒng)計(jì)5.1.1 數(shù)據(jù)的收集學(xué)案

高中數(shù)學(xué)人教B版 (2019)必修 第二冊(cè)第五章 統(tǒng)計(jì)與概率5.1 統(tǒng)計(jì)5.1.1 數(shù)據(jù)的收集學(xué)案
人教B版 (2019)必修 第二冊(cè)4.6 函數(shù)的應(yīng)用(二)學(xué)案

人教B版 (2019)必修 第二冊(cè)4.6 函數(shù)的應(yīng)用(二)學(xué)案
人教B版 (2019)第四章 指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)4.4 冪函數(shù)學(xué)案

人教B版 (2019)第四章 指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)4.4 冪函數(shù)學(xué)案
人教B版 (2019)必修 第二冊(cè)第四章 指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)4.1 指數(shù)與指數(shù)函數(shù)4.1.1 實(shí)數(shù)指數(shù)冪及其運(yùn)算導(dǎo)學(xué)案及答案

人教B版 (2019)必修 第二冊(cè)第四章 指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)4.1 指數(shù)與指數(shù)函數(shù)4.1.1 實(shí)數(shù)指數(shù)冪及其運(yùn)算導(dǎo)學(xué)案及答案
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識(shí)產(chǎn)權(quán)，請(qǐng)掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請(qǐng) 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
高中數(shù)學(xué)人教B版 (2019)必修 第二冊(cè)電子課本

6.1.1 向量的概念

版本： 人教B版 (2019)

年級(jí)： 必修 第二冊(cè)

切換課文
  • 課件
  • 教案
  • 試卷
  • 學(xué)案
  • 更多
所有DOC左下方推薦
歡迎來(lái)到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬(wàn)優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬(wàn)優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬(wàn)教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊(cè)
qrcode
二維碼已過(guò)期
刷新

微信掃碼，快速注冊(cè)

手機(jī)號(hào)注冊(cè)
手機(jī)號(hào)碼

手機(jī)號(hào)格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號(hào)

注冊(cè)即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊(cè)協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊(cè)
手機(jī)號(hào)注冊(cè)
微信注冊(cè)

注冊(cè)成功

返回
頂部