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知識(shí)導(dǎo)航
知識(shí)點(diǎn)01：函數(shù)的相關(guān)概念
一般地，在一個(gè)變化過程中. 如果有兩個(gè)變量 與，并且對(duì)于的每一個(gè)確定的值，都有唯一確定的值與其對(duì)應(yīng)，那么我們就說 是自變量，是的函數(shù).
是的函數(shù)，如果當(dāng)＝時(shí)＝，那么叫做當(dāng)自變量為時(shí)的函數(shù)值.
函數(shù)的表示方法有三種：解析式法，列表法，圖象法.
知識(shí)點(diǎn)02：一次函數(shù)的相關(guān)概念
一次函數(shù)的一般形式為，其中、是常數(shù)，≠0.特別地，當(dāng)＝0時(shí)，一次函數(shù)即（≠0），是正比例函數(shù).
知識(shí)點(diǎn)03：一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)
1、函數(shù)的圖象
如果把自變量與函數(shù)的每對(duì)對(duì)應(yīng)值分別作為點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)，那么坐標(biāo)平面內(nèi)由這些點(diǎn)組成的圖形，就是這個(gè)函數(shù)的圖象.
細(xì)節(jié)剖析：
直線可以看作由直線平移||個(gè)單位長度而得到（當(dāng)＞0時(shí)，向上平移；當(dāng)＜0時(shí)，向下平移）.說明通過平移，函數(shù)與函數(shù)的圖象之間可以相互轉(zhuǎn)化.
2、一次函數(shù)性質(zhì)及圖象特征
掌握一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)（對(duì)比正比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)）
細(xì)節(jié)剖析：
理解、對(duì)一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)的影響：
（1）決定直線從左向右的趨勢(shì)（及傾斜角的大小——傾斜程度），決定它與軸交點(diǎn)的位置，、一起決定直線經(jīng)過的象限．
（2）兩條直線：和：的位置關(guān)系可由其系數(shù)確定：
與相交；
，且與平行；
，且與重合；
（3）直線與一次函數(shù)圖象的聯(lián)系與區(qū)別
一次函數(shù)的圖象是一條直線；特殊的直線、直線不是一次函數(shù)的圖象.
知識(shí)點(diǎn)04：用函數(shù)的觀點(diǎn)看方程、方程組、不等式
考點(diǎn)提優(yōu)練
考點(diǎn)01：一次函數(shù)圖象與幾何變換
1．（2023春?大同期末）對(duì)于一次函數(shù)y＝﹣2x+4，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．函數(shù)的圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（4，0）
B．函數(shù)的圖象不經(jīng)過第三象限
C．函數(shù)的圖象向上平移4個(gè)單位長度得y＝﹣2x的圖象
D．若A（x1，y1），B（x2，y2）兩點(diǎn)在該函數(shù)圖象上，且x1＜x2，則y1＜y2
2．（2020秋?碑林區(qū)校級(jí)期中）將直線y＝﹣3x沿著x軸向右平移2個(gè)單位，所得直線的表達(dá)式為（ ）
A．y＝﹣3x+6B．y＝﹣3x﹣6C．y＝﹣3x+2D．y＝﹣3x﹣2
3．（2023秋?溧水區(qū)期末）如圖，正比例函數(shù)y＝kx（k≠0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（2，4），AB⊥x軸于點(diǎn)B，將△ABO繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ADC，則直線AC的函數(shù)表達(dá)式為 ．
4．（2020秋?盱眙縣期末）將函數(shù)y＝3x+1的圖象沿y軸向下平移2個(gè)單位長度，所得直線的函數(shù)表達(dá)式為 ．
5．（2022春?寧陵縣期末）因?yàn)橐淮魏瘮?shù)y＝kx+b與y＝﹣kx+b（k≠0）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，所以我們定義：函數(shù)y＝kx+b與y＝﹣kx+b（k≠0）互為“鏡子”函數(shù)．
（1）請(qǐng)直接寫出函數(shù)y＝3x﹣2的“鏡子”函數(shù)： ；
（2）如果一對(duì)“鏡子”函數(shù)y＝kx+b與y＝﹣kx+b（k≠0）的圖象交于點(diǎn)A，且與x軸交于B、C兩點(diǎn)，如圖所示，若△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，且它的面積是16，求這對(duì)“鏡子”函數(shù)的解析式．
6．（2023?北京模擬）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0）的圖象由函數(shù)y＝x的圖象平移得到，且經(jīng)過點(diǎn)（1，2）．
（1）請(qǐng)?jiān)谒o平面直角坐標(biāo)系中畫出這個(gè)一次函數(shù)的圖象并求該一次函數(shù)的解析式；
（2）當(dāng)x＞1時(shí)，對(duì)于x的每一個(gè)值函數(shù)y＝mx（m≠0）的值大于一次函數(shù)y＝kx+b的值，求出m的取值范圍．
7．（2022秋?海淀區(qū)校級(jí)期中）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)于任意圖形G及直線l1，l2，給出如下定義：將圖形G先沿直線l1翻折得到圖形G1，再將圖形G1沿直線l2翻折得到圖形G2，則稱圖形G2是圖形G的＜l1，l2＞雙反圖形．
例如：點(diǎn)P（1，2）的＜x軸，y軸＞雙反圖形是點(diǎn)P'（﹣1，﹣2）．
（1）點(diǎn)Q（3，﹣2）的＜x軸，y軸＞雙反圖形點(diǎn)Q'的坐標(biāo)為 ；
（2）已知A（t，1），B（t﹣4，1），C（t，3），直線m經(jīng)過點(diǎn)（﹣1，﹣1）．
①當(dāng)t＝﹣2，且直線m與y軸平行時(shí)，點(diǎn)C的＜x軸，m＞雙反圖形點(diǎn)C'的坐標(biāo)為 ；
②當(dāng)直線m經(jīng)過原點(diǎn)時(shí)，若△ABC的＜x軸，m＞雙反圖形上只存在兩個(gè)與x軸的距離為1的點(diǎn)，直接寫出t的取值范圍．
8．（2017秋?邗江區(qū)期末）在直角坐標(biāo)系中畫出一次函數(shù)y＝2x﹣4的圖象，并完成下列問題：
（1）此函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是 ；
（2）觀察圖象，當(dāng)0≤x≤4時(shí)，y的取值范圍是 ；
（3）將直線y＝2x﹣4平移后經(jīng)過點(diǎn)（﹣3，1），求平移后的直線的函數(shù)表達(dá)式．
考點(diǎn)02：待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式
9．（2022?灞橋區(qū)校級(jí)模擬）在平面直角坐標(biāo)系的第二象限內(nèi)有一點(diǎn)M，點(diǎn)M到x軸的距離為3，到y(tǒng)軸距離為4，則直線OM的表達(dá)式是（ ）
A．y＝B．y＝﹣C．y＝D．y＝﹣
10．（2023秋?襄都區(qū)校級(jí)月考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（2，4），B（1，2），C（5，2），直線l經(jīng)過B，C兩點(diǎn)的中點(diǎn)，則直線l的表達(dá)式為（ ）
注：點(diǎn)A（xA，yA），點(diǎn)B（xB，yB）兩點(diǎn)的中點(diǎn)坐標(biāo)公式是（，）．
A．y＝﹣2x+6B．y＝﹣2x+8C．y＝2x+8D．y＝﹣x+6
11．（2023秋?無錫期末）當(dāng)光線射到x軸進(jìn)行反射，如果反射的路徑經(jīng)過點(diǎn)A（0，1）和點(diǎn)B（3，4），則入射光線所在直線的解析式為 ．
12．（2023秋?任城區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（0，4），B（﹣1，2），C（3，2），直線l經(jīng)過點(diǎn)A，它將△ABC分成面積相等的兩部分，則直線l的表達(dá)式為 ．
13．（2022秋?市中區(qū)期中）如圖，已知點(diǎn)A（6，0）、點(diǎn)B（0，4）．
（1）求直線AB的函數(shù)表達(dá)式；
（2）著C為直線AB上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△OBC的面積為3時(shí)，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．
14．（2022秋?無為市月考）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)有三點(diǎn)A（0，4），B（﹣3，1），C（1，6）．
（1）求過其中兩點(diǎn)的直線的函數(shù)表達(dá)式（選一種情形作答）．
（2）判斷A，B，C三點(diǎn)是否在同一直線上，并說明理由．
15．（2022?陜西）如圖，是一個(gè)“函數(shù)求值機(jī)”的示意圖，其中y是x的函數(shù)．下面表格中，是通過該“函數(shù)求值機(jī)”得到的幾組x與y的對(duì)應(yīng)值．
根據(jù)以上信息，解答下列問題：
（1）當(dāng)輸入的x值為1時(shí)，輸出的y值為 ；
（2）求k，b的值；
（3）當(dāng)輸出的y值為0時(shí)，求輸入的x值．
考點(diǎn)03：一次函數(shù)與一元一次方程
16．（2019秋?寧德期末）如圖，已知一次函數(shù)y＝ax﹣1與y＝mx+4的圖象交于點(diǎn)A（3，1），則關(guān)于x的方程ax﹣1＝mx+4的解是（ ）
A．x＝﹣1B．x＝1C．x＝3D．x＝4
17．（2023秋?包河區(qū)期末）已知直線y＝x+b和y＝ax+2交于點(diǎn)P（3，﹣1），則關(guān)于x的方程（a﹣1）x＝b﹣2的解為 ．
18．（2023春?呼和浩特期末）已知一次函數(shù)y＝kx﹣b（k、b為常數(shù)且k≠0，b≠0）與y＝x的圖象相交于點(diǎn)M（a，），則關(guān)于x的方程（k﹣）x＝b的解為x＝ ．
19．（2023春?漢陰縣期末）如圖，已知直線y＝3x+b與y＝ax﹣2的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為﹣2，則關(guān)于x的方程3x+b＝ax﹣2的解為x＝ ．
20．（2017秋?芷江縣校級(jí)月考）一次函數(shù)y＝kx+b（k，b為常數(shù)，且k≠0）的圖象如圖所示，根據(jù)圖象信息可求得關(guān)于x的方程kx+b＝4的解為多少？
21．（2023秋?永登縣校級(jí)期中）已知一次函數(shù)y＝kx﹣6的圖象如圖
（1）求k的值；
（2）在圖中的坐標(biāo)系中畫出一次函數(shù)y＝﹣3x+3的圖象（要求：先列表，再描點(diǎn)，最后連線）；
（3）根據(jù)圖象寫出關(guān)于x的方程kx﹣6＝﹣3x+3的解．
考點(diǎn)04：根據(jù)實(shí)際問題列一次函數(shù)關(guān)系式
22．（2023春?遂寧期末）等腰三角形周長為20cm，底邊長ycm與腰長xcm之間的函數(shù)關(guān)系是（ ）
A．y＝20﹣2xB．y＝20﹣2x（5＜x＜10）
C．y＝10﹣0.5xD．y＝10﹣0.5x（10＜x＜20）
23．（2013秋?岱岳區(qū)期末）油箱中有油20升，油從管道中勻速流出，100分鐘流完．油箱中剩油量Q（升）與流出的時(shí)間t（分）間的函數(shù)關(guān)系式是（ ）
A．Q＝20﹣5tB．Q＝t+20C．Q＝20﹣tD．Q＝t
24．（2023?饒平縣校級(jí)模擬）一個(gè)彈簧不掛重物時(shí)長10cm，掛上重物后伸長的長度與所掛重物的質(zhì)量成正比，如果掛上1kg的物體后，彈簧伸長3cm，則彈簧總長y（單位：cm）關(guān)于所掛重物x（單位：kg）的函數(shù)關(guān)系式為 （不需要寫出自變量取值范圍）
25．（2023春?漳平市月考）某工人生產(chǎn)一種零件，完成定額20個(gè)，每天收入28元，如果超額生產(chǎn)一個(gè)零件，增加收入1.5元．寫出該工人一天的收入y（元）與他生產(chǎn)的零件x（個(gè)）的函數(shù)關(guān)系式 ．
26．（2019春?城固縣期末）一盤蚊香長105cm，點(diǎn)燃時(shí)每小時(shí)縮短10cm．
（1）請(qǐng)寫出點(diǎn)燃后蚊香的長y（cm）與蚊香燃燒時(shí)間t（h）之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）該蚊香可點(diǎn)燃多長時(shí)間？
27．（2018秋?桐城市期末）已知等腰三角形的周長是20cm，設(shè)底邊長為y，腰長為x，求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并求出自變量x的取值范圍．
考點(diǎn)05：一次函數(shù)的應(yīng)用
28．（2022春?鎮(zhèn)平縣月考）甲、乙兩地相距300千米，一輛貨車和一輛轎車分別從甲地開往乙地（轎車的平均速度大于貨車的平均速度），如圖線段OA和折線BCD分別表示兩車離甲地的距離y（單位：千米）與時(shí)間x（單位：小時(shí)）之間的函數(shù)關(guān)系．則下列說法正確的是（ ）
A．兩車同時(shí)到達(dá)乙地
B．轎車行駛1.3小時(shí)時(shí)進(jìn)行了提速
C．貨車出發(fā)3小時(shí)后，轎車追上貨車
D．兩車在前80千米的速度相等
29．（2022秋?定遠(yuǎn)縣校級(jí)月考）八（1）班同學(xué)參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，在王伯伯的指導(dǎo)下，要圍一個(gè)如圖所示的長方形菜園ABCD，萊園的一邊利用足夠長的墻，用籬笆圍成的另外三邊的總長恰好為12m，設(shè)邊BC的長為xm，邊AB的長為ym（x＞y）．則y與x之間的函數(shù)表達(dá)式為（ ）
A．y＝﹣2x+12（0＜x＜12）B．y＝﹣x+6（4＜x＜12）
C．y＝2x﹣12（0＜x＜12）D．y＝x﹣6（4＜x＜12）
30．（2022秋?羅湖區(qū)校級(jí)期中）小剛從家出發(fā)步行去學(xué)校，幾分鐘后發(fā)現(xiàn)忘帶作業(yè)，于是掉頭原速返回并立即打電話給爸爸，掛斷電話后爸爸立即跑步去追小剛，同時(shí)小剛以原速的兩倍跑步回家，爸爸追上小剛后以原速的0.5倍原路步行回家，而小剛則以原跑步速度趕往學(xué)校，并在從家出發(fā)23分鐘后到校（小剛被爸爸追上時(shí)交流時(shí)間忽略不計(jì)）．兩人之間相距的路程y（米）與小剛從家出發(fā)到學(xué)校的時(shí)間x（分鐘）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，則小剛的步行速度為 m/min．
31．（2023秋?長清區(qū)期末）甲、乙兩人在一條長400米的直線跑道上同起點(diǎn)、同終點(diǎn)、同方向勻速跑步，先到終點(diǎn)的人原地休息．已知甲先出發(fā)3秒，在跑步過程中，甲、乙兩人間的距離y（米）與乙出發(fā)的時(shí)間x（秒）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，則下列結(jié)論正確的是 （填序號(hào)）．
①乙的速度為5米/秒；
②離開起點(diǎn)后，甲、乙兩人第一次相遇時(shí)，距離起點(diǎn)60米；
③甲、乙兩人之間的距離為40米時(shí)，甲出發(fā)的時(shí)間為55秒和90秒；
④乙到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，甲距離終點(diǎn)還有80米．
32．（2023秋?九龍坡區(qū)校級(jí)月考）某自動(dòng)販賣機(jī)售賣A、B兩種盲盒，B種盲盒的價(jià)格比A種盲盒價(jià)格的6倍少60元，該販賣機(jī)存儲(chǔ)的A種盲盒不低于22個(gè)，B種盲盒的數(shù)量不少于A種的2倍，且最多可存儲(chǔ)兩種盲盒100個(gè)，某天上午售賣后，工作人員及時(shí)補(bǔ)貨，將售賣機(jī)裝滿，該天下午，由于系統(tǒng)bug，B種盲盒的價(jià)格變?yōu)樵瓉鞟種的價(jià)格，而A種的價(jià)格變?yōu)樵瓉韮r(jià)格的5倍少50元后再打了個(gè)六折，下午A種盲盒的銷量變?yōu)樯衔绲?倍，而B種盲盒的銷量不變，結(jié)果上午的銷售額比下午多390元，其中兩種盲盒的價(jià)格均為整數(shù)，則下午販賣的盲盒的銷售額最多可為 元．
33．（2022春?沙坪壩區(qū)校級(jí)月考）“最是一年春好處”，小墩和小融約定好從各自家里出發(fā)，自駕去近郊踏青賞花，小墩家、小融家以及他們的目的地在同一條直線上，小墩從家出發(fā)1小時(shí)之后，小融才從家出發(fā)，先到的人在目的地等待，他們二人與小墩家的距離y（千米）與小墩行駛的時(shí)間x（小時(shí)）之間的關(guān)系如圖所示，請(qǐng)根據(jù)圖象回答下列問題：
（1）小墩的速度為 千米/小時(shí)，小融的速度為 千米/小時(shí)；
（2）當(dāng)小融追上小墩時(shí)，他們與目的地的距離為多少千米？
（3）小融從家里出發(fā)后，當(dāng)兩人相距10千米時(shí)，一輛花車沿同一路線從后面追上他們其中一人，已知這輛花車的速度為90千米/小時(shí)，當(dāng)花車?yán)^續(xù)前行追上前方另一人時(shí)，求前一個(gè)被花車追上的人此時(shí)與目的地的距離．
34．（2022?無棣縣一模）一列快車和一列慢車同時(shí)從甲地出發(fā)，分別以速度v1、v2（單位：km/h，且v1＞2v2）勻速駛向乙地．快車到達(dá)乙地后停留了2h，沿原路仍以速度v1勻速返回甲地，設(shè)慢車行駛的時(shí)間為x（h），兩車之間的距離為y（km），圖中的折線表示從慢車出發(fā)至慢車到達(dá)乙地的過程中，y與x之間的函數(shù)關(guān)系．
（1）甲乙兩地相距 km；點(diǎn)A實(shí)際意義： ；
（2）求a，b的值；
（3）慢車出發(fā)多長時(shí)間后，兩車相距480km？
35．（2023秋?錫山區(qū)期末）某興趣小組利用計(jì)算機(jī)進(jìn)行電子蟲運(yùn)動(dòng)實(shí)驗(yàn)．如圖1，在相距100個(gè)單位長度的線段AB上，電子蟲甲從端點(diǎn)A出發(fā)，勻速往返于端點(diǎn)A、B之間，電子蟲乙同時(shí)從端點(diǎn)B出發(fā)，設(shè)定不低于甲的速度勻速往返干端點(diǎn)B、A之間，他們到達(dá)端點(diǎn)后立即轉(zhuǎn)身折返，用時(shí)忽略不計(jì)．
興趣小組成員重點(diǎn)探究了甲、乙迎面相遇的情況，這里的“迎面相遇”包括面對(duì)面相遇、在端點(diǎn)處相遇這兩種．
設(shè)甲、乙第一次迎面相遇時(shí)，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)A之間的距離為x個(gè)單位長度，他們第二次迎面相遇時(shí)，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)A之間的距離為y個(gè)單位長度．
【觀察】請(qǐng)直接寫出：當(dāng)x＝20時(shí)，y的值為 ；當(dāng)x＝40時(shí)，y的值為 ；
【發(fā)現(xiàn)】興趣小組成員發(fā)現(xiàn)了y與x的函數(shù)關(guān)系，并畫出了部分函數(shù)圖象（如圖2中的線段OM，但不包括點(diǎn)O，因此點(diǎn)O用空心畫出）
①請(qǐng)直接寫出：a＝ ；
②分別求出各部分圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式，并在圖2中補(bǔ)全函數(shù)圖象，標(biāo)出關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)；
【拓展】設(shè)甲、乙第一次迎面相遇時(shí)，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)A之間的距離為x個(gè)單位長度，他們第三次迎面相遇時(shí)，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)A之間的距離為z個(gè)單位長度．若z不超過40，則x的取值范圍是 （直接寫出結(jié)果）．
考點(diǎn)06：一次函數(shù)綜合題
36．（2020秋?福田區(qū)校級(jí)期中）已知直線l1：y＝kx+b與直線l2：y＝﹣x+m都經(jīng)過C（﹣，），直線l1交y軸于點(diǎn)B（0，4），交x軸于點(diǎn)A，直線l2交y軸于點(diǎn)D，P為y軸上任意一點(diǎn)，連接PA、PC，有以下說法：
①方程組的解為；
②△BCD為直角三角形；
③S△ABD＝6；
④當(dāng)PA+PC的值最小時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，1）．
其中正確的說法是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④
37．（2020?深圳模擬）八個(gè)邊長為1的正方形如圖擺放在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過P點(diǎn)的一條直線l將這八個(gè)正方形分成面積相等的兩部分，則該直線l的解析式為（ ）
A．y＝x+B．y＝x+C．y＝x+D．y＝x+
38．（2022?蘇州一模）如圖，正方形ABCD的邊長為2，A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB和AD分別在x軸、y軸上，點(diǎn)E是BC邊的中點(diǎn)，過點(diǎn)A的直線y＝kx交線段DC于點(diǎn)F，連接EF，若AF平分∠DFE，則k的值為 ．
39．（2019?站前區(qū)校級(jí)一模）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)P（2，2），C為y軸正半軸上一點(diǎn)，連接PC，線段PC繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至線段PD，過點(diǎn)D作直線AB⊥x軸，垂足為B，直線AB與直線OP交于點(diǎn)A，且BD＝4AD，直線CD與直線OP交于點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為 ．
40．（2022秋?定遠(yuǎn)縣校級(jí)月考）如圖，已知直線y＝kx+b經(jīng)過點(diǎn)B（1，4），與x軸交于點(diǎn)A（5，0），與直線y＝2x﹣4交于點(diǎn)C（3，m）．
（1）求直線AB的函數(shù)表達(dá)式及m的值；
（2）根據(jù)函數(shù)圖象，直接寫出關(guān)于x的不等式組2＜kx+b＜4的解集： ；
（3）現(xiàn)有一點(diǎn)P在直線AB上，過點(diǎn)P作PQ∥y軸交直線y＝2x﹣4于點(diǎn)Q，若點(diǎn)C到線段PQ的距離為1，求點(diǎn)P的坐標(biāo)和點(diǎn)Q的坐標(biāo)．
41．（2022秋?南山區(qū)期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝2x+6與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A，C，經(jīng)過點(diǎn)C的直線與x軸交于點(diǎn)B（6，0）．
（1）求直線BC的解析式；
（2）點(diǎn)G是線段BC上一動(dòng)點(diǎn)，若直線AG把△ABC的面積分成1：2的兩部分，請(qǐng)求點(diǎn)G的坐標(biāo)；
（3）直線AC上有一個(gè)點(diǎn)P，過P作x軸的垂線交直線BC于點(diǎn)Q，當(dāng)PQ＝OB時(shí)，求點(diǎn)P坐標(biāo)．
（4）在x軸上找一點(diǎn)M，使△MAC是等腰三角形，求點(diǎn)M的坐標(biāo)（直接寫結(jié)果）．
42．（2022秋?天橋區(qū)期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l1的解析式為y＝x，直線l2與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B（0，3），與l1交于點(diǎn)C（2，m）．
（1）求出直線l2的函數(shù)關(guān)系式；
（2）在y軸右側(cè)有一動(dòng)直線平行于y軸，分別與l1、l2交于點(diǎn)M、N，
①當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)N的上方，且滿足MN＝OB時(shí)，請(qǐng)求出點(diǎn)M與點(diǎn)N的坐標(biāo)；
②當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)N的下方時(shí)，y軸上是否存在點(diǎn)Q，使△MNQ為等腰直角三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
方程（組）、不等式問題
函 數(shù) 問 題
從“數(shù)”的角度看
從“形”的角度看
求關(guān)于、的一元一次方程＝0（≠0）的解
為何值時(shí)，函數(shù)的值為0？
確定直線與軸（即直線＝0）交點(diǎn)的橫坐標(biāo)
求關(guān)于、的二元一次方程組的解．
為何值時(shí)，函數(shù)與函數(shù)的值相等？
確定直線與直線的交點(diǎn)的坐標(biāo)
求關(guān)于的一元一次不等式＞0（≠0）的解集
為何值時(shí)，函數(shù)的值大于0？
確定直線在軸（即直線＝0）上方部分的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)的范圍
輸入x
…
﹣6
﹣4
﹣2
0
2
…
輸出y
…
﹣6
﹣2
2
6
16
…
2022-2023學(xué)年北師大版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)章節(jié)考點(diǎn)精講精練
第4章《一次函數(shù)》
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知識(shí)導(dǎo)航
知識(shí)點(diǎn)01：函數(shù)的相關(guān)概念
一般地，在一個(gè)變化過程中. 如果有兩個(gè)變量 與，并且對(duì)于的每一個(gè)確定的值，都有唯一確定的值與其對(duì)應(yīng)，那么我們就說 是自變量，是的函數(shù).
是的函數(shù)，如果當(dāng)＝時(shí)＝，那么叫做當(dāng)自變量為時(shí)的函數(shù)值.
函數(shù)的表示方法有三種：解析式法，列表法，圖象法.
知識(shí)點(diǎn)02：一次函數(shù)的相關(guān)概念
一次函數(shù)的一般形式為，其中、是常數(shù)，≠0.特別地，當(dāng)＝0時(shí)，一次函數(shù)即（≠0），是正比例函數(shù).
知識(shí)點(diǎn)03：一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)
1、函數(shù)的圖象
如果把自變量與函數(shù)的每對(duì)對(duì)應(yīng)值分別作為點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)，那么坐標(biāo)平面內(nèi)由這些點(diǎn)組成的圖形，就是這個(gè)函數(shù)的圖象.
細(xì)節(jié)剖析：
直線可以看作由直線平移||個(gè)單位長度而得到（當(dāng)＞0時(shí)，向上平移；當(dāng)＜0時(shí)，向下平移）.說明通過平移，函數(shù)與函數(shù)的圖象之間可以相互轉(zhuǎn)化.
2、一次函數(shù)性質(zhì)及圖象特征
掌握一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)（對(duì)比正比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)）
細(xì)節(jié)剖析：
理解、對(duì)一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)的影響：
（1）決定直線從左向右的趨勢(shì)（及傾斜角的大小——傾斜程度），決定它與軸交點(diǎn)的位置，、一起決定直線經(jīng)過的象限．
（2）兩條直線：和：的位置關(guān)系可由其系數(shù)確定：
與相交；
，且與平行；
，且與重合；
（3）直線與一次函數(shù)圖象的聯(lián)系與區(qū)別
一次函數(shù)的圖象是一條直線；特殊的直線、直線不是一次函數(shù)的圖象.
知識(shí)點(diǎn)04：用函數(shù)的觀點(diǎn)看方程、方程組、不等式
考點(diǎn)提優(yōu)練
考點(diǎn)01：一次函數(shù)圖象與幾何變換
1．（2023春?大同期末）對(duì)于一次函數(shù)y＝﹣2x+4，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．函數(shù)的圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（4，0）
B．函數(shù)的圖象不經(jīng)過第三象限
C．函數(shù)的圖象向上平移4個(gè)單位長度得y＝﹣2x的圖象
D．若A（x1，y1），B（x2，y2）兩點(diǎn)在該函數(shù)圖象上，且x1＜x2，則y1＜y2
解：A、令y＝﹣2x+4中y＝0，則x＝2，
∴一次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（2，0），故本選項(xiàng)不符合題意；
B、∵k＝﹣2＜0，b＝4＞0，
∴一次函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、二、四象限，即函數(shù)的圖象不經(jīng)過第三象限，故本選項(xiàng)符合題意；
C、根據(jù)平移的規(guī)律，函數(shù)的圖象向上平移4個(gè)單位長度得到的函數(shù)解析式為y＝﹣2x+4+4，即y＝﹣2x+8，故本選項(xiàng)不符合題意；
D、∵k＝﹣2＜0，
∴一次函數(shù)中y隨x的增大而減小，
∴若A（x1，y1），B（x2，y2）兩點(diǎn)在該函數(shù)圖象上，且x1＜x2，則y1＞y2，故本選項(xiàng)不符合題意．
故選：B．
2．（2020秋?碑林區(qū)校級(jí)期中）將直線y＝﹣3x沿著x軸向右平移2個(gè)單位，所得直線的表達(dá)式為（ ）
A．y＝﹣3x+6B．y＝﹣3x﹣6C．y＝﹣3x+2D．y＝﹣3x﹣2
解：根據(jù)題意，得直線向右平移2個(gè)單位，
即對(duì)應(yīng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)減2，
所以得到的解析式是y＝﹣3（x﹣2）＝﹣3x+6．
故選：A．
3．（2023秋?溧水區(qū)期末）如圖，正比例函數(shù)y＝kx（k≠0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（2，4），AB⊥x軸于點(diǎn)B，將△ABO繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ADC，則直線AC的函數(shù)表達(dá)式為 y＝﹣0.5x+5 ．
解：∵正比例函數(shù)y＝kx（k≠0）經(jīng)過點(diǎn)A（2，4）
∴4＝2k，
解得：k＝2，
∴y＝2x；
∵A（2，4），AB⊥x軸于點(diǎn)B，
∴OB＝2，AB＝4，
∵△ABO繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ADC，
∴DC＝OB＝2，AD＝AB＝4
∴C（6，2）
設(shè)直線AC的解析式為y＝ax+b，
把（2，4）（6，2）代入解析式可得：，
解得：，
所以解析式為：y＝﹣0.5x+5
4．（2020秋?盱眙縣期末）將函數(shù)y＝3x+1的圖象沿y軸向下平移2個(gè)單位長度，所得直線的函數(shù)表達(dá)式為 y＝3x﹣1 ．
解：∵y＝3x+1的圖象沿y軸向下平移2個(gè)單位長度，
∴平移后所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為：y＝3x﹣1，
即y＝3x﹣1．
故答案為：y＝3x﹣1．
5．（2022春?寧陵縣期末）因?yàn)橐淮魏瘮?shù)y＝kx+b與y＝﹣kx+b（k≠0）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，所以我們定義：函數(shù)y＝kx+b與y＝﹣kx+b（k≠0）互為“鏡子”函數(shù)．
（1）請(qǐng)直接寫出函數(shù)y＝3x﹣2的“鏡子”函數(shù)： y＝﹣3x﹣2 ；
（2）如果一對(duì)“鏡子”函數(shù)y＝kx+b與y＝﹣kx+b（k≠0）的圖象交于點(diǎn)A，且與x軸交于B、C兩點(diǎn)，如圖所示，若△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，且它的面積是16，求這對(duì)“鏡子”函數(shù)的解析式．
解：（1）根據(jù)題意可得：函數(shù)y＝3x﹣2的“鏡子”函數(shù)：y＝﹣3x﹣2；
故答案為：y＝﹣3x﹣2；
（2）∵△ABC是等腰直角三角形，AO⊥BC，
∴AO＝BO＝CO，
∴設(shè)AO＝BO＝CO＝x，根據(jù)題意可得：x×2x＝16，
解得：x＝4，
則B（﹣4，0），C（4，0），A（0，4），
將B，A分別代入y＝kx+b得：
，
解得：，
故其函數(shù)解析式為：y＝x+4，
故其“鏡子”函數(shù)為：y＝﹣x+4．
6．（2023?北京模擬）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0）的圖象由函數(shù)y＝x的圖象平移得到，且經(jīng)過點(diǎn)（1，2）．
（1）請(qǐng)?jiān)谒o平面直角坐標(biāo)系中畫出這個(gè)一次函數(shù)的圖象并求該一次函數(shù)的解析式；
（2）當(dāng)x＞1時(shí)，對(duì)于x的每一個(gè)值函數(shù)y＝mx（m≠0）的值大于一次函數(shù)y＝kx+b的值，求出m的取值范圍．
解：（1）∵一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0）的圖象由直線y＝x平移得到，
∴k＝1，
將點(diǎn)（1，2），解得b＝1，
∴一次函數(shù)的解析式為y＝x+1；
（2）把點(diǎn)（1，2）代入y＝mx求得m＝2，
∵當(dāng)x＞1時(shí)，對(duì)于x的每一個(gè)值，函數(shù)y＝mx（m≠0）的值大于一次函數(shù)y＝x+1的值，
∴m≥2．
7．（2022秋?海淀區(qū)校級(jí)期中）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)于任意圖形G及直線l1，l2，給出如下定義：將圖形G先沿直線l1翻折得到圖形G1，再將圖形G1沿直線l2翻折得到圖形G2，則稱圖形G2是圖形G的＜l1，l2＞雙反圖形．
例如：點(diǎn)P（1，2）的＜x軸，y軸＞雙反圖形是點(diǎn)P'（﹣1，﹣2）．
（1）點(diǎn)Q（3，﹣2）的＜x軸，y軸＞雙反圖形點(diǎn)Q'的坐標(biāo)為 （﹣3，2） ；
（2）已知A（t，1），B（t﹣4，1），C（t，3），直線m經(jīng)過點(diǎn)（﹣1，﹣1）．
①當(dāng)t＝﹣2，且直線m與y軸平行時(shí)，點(diǎn)C的＜x軸，m＞雙反圖形點(diǎn)C'的坐標(biāo)為 （0，﹣3） ；
②當(dāng)直線m經(jīng)過原點(diǎn)時(shí)，若△ABC的＜x軸，m＞雙反圖形上只存在兩個(gè)與x軸的距離為1的點(diǎn)，直接寫出t的取值范圍．
解：（1）由題意知（3．﹣2）沿x軸翻折得點(diǎn)坐標(biāo)為（3，2）；
（3，2）沿y軸翻折得點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣3.2），
∴點(diǎn)Q（3，﹣2）的＜x軸，y軸＞雙反圖形點(diǎn)Q'的坐標(biāo)為（﹣3，2）．
故答案為：（﹣3.2）；
（2）①當(dāng)t＝﹣2時(shí)，C點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，3），
∵直線m經(jīng)過點(diǎn)（﹣1，﹣1），且直線m與y軸平行，
∴直線m為x＝﹣1，
∴（﹣2.3）沿x軸翻折得點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，﹣3），
（﹣2，﹣3）沿直線x＝﹣1翻折得點(diǎn)坐標(biāo)為（0，﹣3），
∴C′（0，﹣3）．
故答案為：（0，﹣3）；
②∵直線m經(jīng)過原點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)（﹣1，﹣1），
∴直線m為y＝x，
A、B、C三點(diǎn)沿x軸翻折點(diǎn)坐標(biāo)依次表示為：（t，﹣1）、（t﹣4，﹣1）、（t，﹣3），
A、B、C三點(diǎn)沿直線m翻折點(diǎn)坐標(biāo)依次表示為：（﹣1，t）、（﹣1，t﹣4）、（﹣3，t），
由題意可知：|t|＜1或|t﹣4|＜1，
解得：﹣1＜t＜1或3＜t＜5，
∴t的取值范圍為﹣1＜t＜1或3＜t＜5．
8．（2017秋?邗江區(qū)期末）在直角坐標(biāo)系中畫出一次函數(shù)y＝2x﹣4的圖象，并完成下列問題：
（1）此函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是 4 ；
（2）觀察圖象，當(dāng)0≤x≤4時(shí)，y的取值范圍是 ﹣4≤y≤4 ；
（3）將直線y＝2x﹣4平移后經(jīng)過點(diǎn)（﹣3，1），求平移后的直線的函數(shù)表達(dá)式．
解：（1）令y＝0，解得x＝2，
∴直線與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，﹣4），
∴此三角形的面積S＝4
（2）畫圖如下：

由圖可知，y的取值范圍為﹣4≤y≤4．
（3）設(shè)平移后的函數(shù)表達(dá)式為y＝2x+b，將（﹣3，1）代入，解得b＝7．
∴函數(shù)解析式為y＝2x+7．
故答案為：4；﹣4≤y≤4
考點(diǎn)02：待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式
9．（2022?灞橋區(qū)校級(jí)模擬）在平面直角坐標(biāo)系的第二象限內(nèi)有一點(diǎn)M，點(diǎn)M到x軸的距離為3，到y(tǒng)軸距離為4，則直線OM的表達(dá)式是（ ）
A．y＝B．y＝﹣C．y＝D．y＝﹣
解：∵點(diǎn)M到x軸的距離為3，到y(tǒng)軸距離為4，M在第二象限，
∴M（﹣4，3），
設(shè)OM的解析式為y＝kx+b，
將點(diǎn)O（0，0），M（﹣4，3）代入，得
，
∴，
∴y＝﹣x，
故選：B．
10．（2023秋?襄都區(qū)校級(jí)月考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（2，4），B（1，2），C（5，2），直線l經(jīng)過B，C兩點(diǎn)的中點(diǎn)，則直線l的表達(dá)式為（ ）
注：點(diǎn)A（xA，yA），點(diǎn)B（xB，yB）兩點(diǎn)的中點(diǎn)坐標(biāo)公式是（，）．
A．y＝﹣2x+6B．y＝﹣2x+8C．y＝2x+8D．y＝﹣x+6
解：∵B（1，2），C（5，2），
∴線段BC的中點(diǎn)坐標(biāo)為（，），即（3，2），
設(shè)直線l的解析式為y＝kx+b，
把A（2，4），（3，2）分別代入得，
解得，
∴直線l的解析式為y＝﹣2x+8．
故選：B．
11．（2023秋?無錫期末）當(dāng)光線射到x軸進(jìn)行反射，如果反射的路徑經(jīng)過點(diǎn)A（0，1）和點(diǎn)B（3，4），則入射光線所在直線的解析式為 y＝﹣x﹣1 ．
解：設(shè)反射光線的直線解析式為y＝kx+b，
∵反射的路徑經(jīng)過點(diǎn)A（0，1）和點(diǎn)B（3，4），
∴，
解得k＝1，b＝1，
∴反射光線的直線解析式為y＝x+1，
根據(jù)入射光線和反射光線軸對(duì)稱，
故知入射光線的解析式為y＝﹣x﹣1，
故答案為y＝﹣x﹣1．
12．（2023秋?任城區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（0，4），B（﹣1，2），C（3，2），直線l經(jīng)過點(diǎn)A，它將△ABC分成面積相等的兩部分，則直線l的表達(dá)式為 y＝﹣2x+4 ．
解：設(shè)直線l與BC交于點(diǎn)D，
∵直線l經(jīng)過點(diǎn)A，并將△ABC分成面積相等的兩部分，
∴AD是△ABC的中線，
又∵B（﹣1，2），C（3，2），
∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（，），即D（1，2），
設(shè)直線l的表達(dá)式為y＝kx+b，把A（0，4），D（1，2）代入，可得：
，
解得，
∴直線l的表達(dá)式為y＝﹣2x+4，
故答案為：y＝﹣2x+4．
13．（2022秋?市中區(qū)期中）如圖，已知點(diǎn)A（6，0）、點(diǎn)B（0，4）．
（1）求直線AB的函數(shù)表達(dá)式；
（2）著C為直線AB上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△OBC的面積為3時(shí)，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．
解：（1）設(shè)直線AB所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y＝kx+b（k≠0）．
由題意得，
解得k＝﹣，b＝4，
∴直線AB所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y＝﹣x+4．
（2）由題意得OB＝4．
又∵△OBC的面積為3，
∴△OBC中OB邊上的高為3．
當(dāng)x＝﹣時(shí)，y＝﹣x+4＝4；
當(dāng)x＝時(shí)，y＝﹣x+4＝3．
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣，4）或（，3）．
14．（2022秋?無為市月考）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)有三點(diǎn)A（0，4），B（﹣3，1），C（1，6）．
（1）求過其中兩點(diǎn)的直線的函數(shù)表達(dá)式（選一種情形作答）．
（2）判斷A，B，C三點(diǎn)是否在同一直線上，并說明理由．
解：（1）設(shè)A（0，4），B（﹣3，1）兩點(diǎn)所在直線解析式為y＝kx+b，
∴，
解得，
∴直線AB的解析式y(tǒng)＝x+4．
（2）當(dāng)x＝1時(shí)，y＝1+4≠6，
∴點(diǎn)C（1，6）不在直線AB上，即點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)不在同一條直線上．
15．（2022?陜西）如圖，是一個(gè)“函數(shù)求值機(jī)”的示意圖，其中y是x的函數(shù)．下面表格中，是通過該“函數(shù)求值機(jī)”得到的幾組x與y的對(duì)應(yīng)值．
根據(jù)以上信息，解答下列問題：
（1）當(dāng)輸入的x值為1時(shí)，輸出的y值為 8 ；
（2）求k，b的值；
（3）當(dāng)輸出的y值為0時(shí)，求輸入的x值．
解：（1）當(dāng)輸入的x值為1時(shí)，輸出的y值為y＝8x＝8×1＝8，
故答案為：8；
（2）將（﹣2，2）（0，6）代入y＝kx+b得，
解得；
（3）令y＝0，
由y＝8x得0＝8x，
∴x＝0＜1（舍去），
由y＝2x+6，得0＝2x+6，
∴x＝﹣3＜1，
∴輸出的y值為0時(shí)，輸入的x值為﹣3．
考點(diǎn)03：一次函數(shù)與一元一次方程
16．（2019秋?寧德期末）如圖，已知一次函數(shù)y＝ax﹣1與y＝mx+4的圖象交于點(diǎn)A（3，1），則關(guān)于x的方程ax﹣1＝mx+4的解是（ ）
A．x＝﹣1B．x＝1C．x＝3D．x＝4
解：∵一次函數(shù)y＝ax﹣1與y＝mx+4的圖象交于點(diǎn)P（3，1），
∴ax﹣1＝mx+4的解是x＝3．
故選：C．
17．（2023秋?包河區(qū)期末）已知直線y＝x+b和y＝ax+2交于點(diǎn)P（3，﹣1），則關(guān)于x的方程（a﹣1）x＝b﹣2的解為 x＝3 ．
解：由（a﹣1）x＝b﹣2知，x+b＝ax+2．
∵直線y＝x+b和ax+2交于點(diǎn)P（3，﹣1），
∴當(dāng)x＝3時(shí)，x+b＝ax+2＝﹣1，
即關(guān)于x的方程（a﹣1）x＝b﹣2的解為x＝3．
故答案為：x＝3．
18．（2023春?呼和浩特期末）已知一次函數(shù)y＝kx﹣b（k、b為常數(shù)且k≠0，b≠0）與y＝x的圖象相交于點(diǎn)M（a，），則關(guān)于x的方程（k﹣）x＝b的解為x＝ ．
解：把M（a，）代入y＝x得：＝a，
解得a＝，
∴M（，），
∴根據(jù)圖象信息可得關(guān)于x的方程kx﹣b＝x的解為，
∴關(guān)于x的方程（k﹣）x＝b的解為x＝．
故答案為：．
19．（2023春?漢陰縣期末）如圖，已知直線y＝3x+b與y＝ax﹣2的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為﹣2，則關(guān)于x的方程3x+b＝ax﹣2的解為x＝ ﹣2 ．
解：∵直線y＝3x+b與y＝ax﹣2的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為﹣2，
∴當(dāng)x＝﹣2時(shí)，3x+b＝ax﹣2，
∴關(guān)于x的方程3x+b＝ax﹣2的解為x＝﹣2．
故答案為﹣2．
20．（2017秋?芷江縣校級(jí)月考）一次函數(shù)y＝kx+b（k，b為常數(shù)，且k≠0）的圖象如圖所示，根據(jù)圖象信息可求得關(guān)于x的方程kx+b＝4的解為多少？
解：把（0，1）和（2，3）代入y＝kx+b得：
，
解得：k＝1，b＝1，
即y＝x+1，
當(dāng)y＝4時(shí)，x+1＝4，
解得：x＝3，
∴方程kx+b＝4的解為x＝3．
21．（2023秋?永登縣校級(jí)期中）已知一次函數(shù)y＝kx﹣6的圖象如圖
（1）求k的值；
（2）在圖中的坐標(biāo)系中畫出一次函數(shù)y＝﹣3x+3的圖象（要求：先列表，再描點(diǎn)，最后連線）；
（3）根據(jù)圖象寫出關(guān)于x的方程kx﹣6＝﹣3x+3的解．
解：（1）∵一次函數(shù)y＝kx﹣6的圖象過點(diǎn)（4，0），
∴4k﹣6＝0，
∴k＝；
（2）列表：
描點(diǎn)：在平面直角坐標(biāo)系中描出兩點(diǎn)（0，3）、（1，0），
連線：過點(diǎn)（0，3）、（1，0）畫直線，得出一次函數(shù)y＝﹣3x+3的圖象；
（3）一次函數(shù)y＝kx﹣6與y＝﹣3x+3的圖象交于點(diǎn)（2，﹣3），
則關(guān)于x的方程kx﹣6＝﹣3x+3的解為x＝2．
考點(diǎn)04：根據(jù)實(shí)際問題列一次函數(shù)關(guān)系式
22．（2023春?遂寧期末）等腰三角形周長為20cm，底邊長ycm與腰長xcm之間的函數(shù)關(guān)系是（ ）
A．y＝20﹣2xB．y＝20﹣2x（5＜x＜10）
C．y＝10﹣0.5xD．y＝10﹣0.5x（10＜x＜20）
解：∵2x+y＝20，
∴y＝20﹣2x，則20﹣2x＞0，
解得：x＜10，
由兩邊之和大于第三邊，得x+x＞20﹣2x，
解得：x＞5，
綜上可得：y＝20﹣2x（5＜x＜10）
故選：B．
23．（2013秋?岱岳區(qū)期末）油箱中有油20升，油從管道中勻速流出，100分鐘流完．油箱中剩油量Q（升）與流出的時(shí)間t（分）間的函數(shù)關(guān)系式是（ ）
A．Q＝20﹣5tB．Q＝t+20C．Q＝20﹣tD．Q＝t
解：∵100分鐘可流完20升油，
∴1分鐘可流油20÷100＝升，
∴t分流的油量為t，
∴Q＝20﹣t．
故選：C．
24．（2023?饒平縣校級(jí)模擬）一個(gè)彈簧不掛重物時(shí)長10cm，掛上重物后伸長的長度與所掛重物的質(zhì)量成正比，如果掛上1kg的物體后，彈簧伸長3cm，則彈簧總長y（單位：cm）關(guān)于所掛重物x（單位：kg）的函數(shù)關(guān)系式為 y＝3x+10 （不需要寫出自變量取值范圍）
解：彈簧總長y（單位：cm）關(guān)于所掛重物x（單位：kg）的函數(shù)關(guān)系式為y＝3x+10，
故答案為：y＝3x+10
25．（2023春?漳平市月考）某工人生產(chǎn)一種零件，完成定額20個(gè)，每天收入28元，如果超額生產(chǎn)一個(gè)零件，增加收入1.5元．寫出該工人一天的收入y（元）與他生產(chǎn)的零件x（個(gè)）的函數(shù)關(guān)系式 y＝1.5x﹣2 ．
解：∵他一天生產(chǎn)零件x個(gè)，定額20，
∴一天超額生產(chǎn)零件的收入為：1.5×（x﹣20），
∴該工人一天的收入y（元）與他生產(chǎn)的零件x（個(gè)）的函數(shù)關(guān)系式為：y＝28+1.5×（x﹣20），即y＝1.5x﹣2．
故答案為：y＝1.5x﹣2．
26．（2019春?城固縣期末）一盤蚊香長105cm，點(diǎn)燃時(shí)每小時(shí)縮短10cm．
（1）請(qǐng)寫出點(diǎn)燃后蚊香的長y（cm）與蚊香燃燒時(shí)間t（h）之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）該蚊香可點(diǎn)燃多長時(shí)間？
解：（1）∵蚊香的長等于蚊香的原長減去燃燒的長度，
∴y＝105﹣10t（0≤t≤10.5）；
（2）∵蚊香燃盡的時(shí)候蚊香的長度y＝0，
∴105﹣10t＝0，
解得：t＝10.5，
∴該蚊香可點(diǎn)燃10.5小時(shí)．
27．（2018秋?桐城市期末）已知等腰三角形的周長是20cm，設(shè)底邊長為y，腰長為x，求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并求出自變量x的取值范圍．
解：∵2x+y＝20，
∴y＝20﹣2x，即x＜10，
∵兩邊之和大于第三邊，
∴x＞5，
綜上可得5＜x＜10．
考點(diǎn)05：一次函數(shù)的應(yīng)用
28．（2022春?鎮(zhèn)平縣月考）甲、乙兩地相距300千米，一輛貨車和一輛轎車分別從甲地開往乙地（轎車的平均速度大于貨車的平均速度），如圖線段OA和折線BCD分別表示兩車離甲地的距離y（單位：千米）與時(shí)間x（單位：小時(shí)）之間的函數(shù)關(guān)系．則下列說法正確的是（ ）
A．兩車同時(shí)到達(dá)乙地
B．轎車行駛1.3小時(shí)時(shí)進(jìn)行了提速
C．貨車出發(fā)3小時(shí)后，轎車追上貨車
D．兩車在前80千米的速度相等
解：由題意和圖可得，
轎車先到達(dá)乙地，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；
轎車行駛了（2.5﹣1.2）＝1.3小時(shí)時(shí)進(jìn)行了提速，故選項(xiàng)B正確；
貨車的速度是：300÷5＝60千米/時(shí)，轎車在BC段對(duì)應(yīng)的速度是：80÷（2.5﹣1.2）＝千米/時(shí)，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤；
設(shè)貨車對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為y＝kx，
5k＝300，得k＝60，
即貨車對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為y＝60x，
設(shè)CD段轎車對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為y＝ax+b，
，
解得，
即CD段轎車對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為y＝110x﹣195，
令60x＝110x﹣195，得x＝3.9，
即貨車出發(fā)3.9小時(shí)后，轎車追上貨車，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤，
故選：B．
29．（2022秋?定遠(yuǎn)縣校級(jí)月考）八（1）班同學(xué)參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，在王伯伯的指導(dǎo)下，要圍一個(gè)如圖所示的長方形菜園ABCD，萊園的一邊利用足夠長的墻，用籬笆圍成的另外三邊的總長恰好為12m，設(shè)邊BC的長為xm，邊AB的長為ym（x＞y）．則y與x之間的函數(shù)表達(dá)式為（ ）
A．y＝﹣2x+12（0＜x＜12）B．y＝﹣x+6（4＜x＜12）
C．y＝2x﹣12（0＜x＜12）D．y＝x﹣6（4＜x＜12）
解：根據(jù)題意得，菜園三邊長度的和為12m，
∴2y+x＝12，
∴y＝﹣x+6，
∵y＞0，x＞y，
∴，
解得4＜x＜12，
∴y＝﹣x+6（4＜x＜12），
故選：B．
30．（2022秋?羅湖區(qū)校級(jí)期中）小剛從家出發(fā)步行去學(xué)校，幾分鐘后發(fā)現(xiàn)忘帶作業(yè)，于是掉頭原速返回并立即打電話給爸爸，掛斷電話后爸爸立即跑步去追小剛，同時(shí)小剛以原速的兩倍跑步回家，爸爸追上小剛后以原速的0.5倍原路步行回家，而小剛則以原跑步速度趕往學(xué)校，并在從家出發(fā)23分鐘后到校（小剛被爸爸追上時(shí)交流時(shí)間忽略不計(jì)）．兩人之間相距的路程y（米）與小剛從家出發(fā)到學(xué)校的時(shí)間x（分鐘）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，則小剛的步行速度為 160 m/min．
解：由圖可知，小剛和爸爸相遇后，到小剛爸爸回到家用時(shí)17﹣15＝2（分鐘），
∵爸爸追上小剛后以原速的0.5倍原路步行回家，
∴小剛打完電話到與爸爸相遇用的時(shí)間為1分鐘，
∵由于時(shí)間關(guān)系小明拿到作業(yè)后同樣以之前跑步的速度趕往學(xué)校，
∴小剛和爸爸相遇之后跑步的1分和爸爸2分鐘走的路程是720米，
∴小剛后來的速度為：1040﹣720＝320（米/分鐘）．
∴小剛步行的速度為：160米/分．
故答案為：160．
31．（2023秋?長清區(qū)期末）甲、乙兩人在一條長400米的直線跑道上同起點(diǎn)、同終點(diǎn)、同方向勻速跑步，先到終點(diǎn)的人原地休息．已知甲先出發(fā)3秒，在跑步過程中，甲、乙兩人間的距離y（米）與乙出發(fā)的時(shí)間x（秒）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，則下列結(jié)論正確的是 ①②③ （填序號(hào)）．
①乙的速度為5米/秒；
②離開起點(diǎn)后，甲、乙兩人第一次相遇時(shí)，距離起點(diǎn)60米；
③甲、乙兩人之間的距離為40米時(shí)，甲出發(fā)的時(shí)間為55秒和90秒；
④乙到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，甲距離終點(diǎn)還有80米．
解：由圖象可知，乙80秒到達(dá)終點(diǎn)，
∴400÷80＝5（米/秒），
∴乙的速度為5米/秒，
故①正確；
由圖象可知，甲3秒行12米，
∴12÷3＝4（米/秒），
∴甲的速度是4米/秒，
甲、乙兩人第一次相遇，則12+4x＝5x，
解得x＝12，
∴5×12＝60（米），
∴甲、乙兩人第一次相遇時(shí)，距離起點(diǎn)60米，
故②正確；
當(dāng)x＝12時(shí)，兩人第一次相遇，即y＝0；
當(dāng)x＝80時(shí)，乙行400米，甲行4×（3+80）＝332（米），
∴400﹣332＝68（米），
此時(shí)兩人的距離是68米，
即當(dāng)x＝80時(shí)，y＝68，
設(shè)當(dāng)12≤x≤80時(shí)，y＝kx+b，
則，
解得，
∴y＝x﹣12，
當(dāng)y＝40時(shí)，則x﹣12＝40，
解得x＝52，
∴52+3＝55（秒），
當(dāng)甲距離終點(diǎn)40米時(shí)，則12+4x+40＝400，
解得x＝87，
∴87+3＝90（秒），
∴甲、乙兩人之間的距離為40米時(shí)，甲出發(fā)的時(shí)間為55秒和90秒，
故③正確；
由圖象可知，乙80秒到達(dá)終點(diǎn)，行400米，
此時(shí)甲跑的距離為4×（3+80）＝332（米），
∴400﹣332＝68（米），
∴乙到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，甲距離終點(diǎn)還有68米，
故④錯(cuò)誤，
故答案為：①②③．
32．（2023秋?九龍坡區(qū)校級(jí)月考）某自動(dòng)販賣機(jī)售賣A、B兩種盲盒，B種盲盒的價(jià)格比A種盲盒價(jià)格的6倍少60元，該販賣機(jī)存儲(chǔ)的A種盲盒不低于22個(gè)，B種盲盒的數(shù)量不少于A種的2倍，且最多可存儲(chǔ)兩種盲盒100個(gè)，某天上午售賣后，工作人員及時(shí)補(bǔ)貨，將售賣機(jī)裝滿，該天下午，由于系統(tǒng)bug，B種盲盒的價(jià)格變?yōu)樵瓉鞟種的價(jià)格，而A種的價(jià)格變?yōu)樵瓉韮r(jià)格的5倍少50元后再打了個(gè)六折，下午A種盲盒的銷量變?yōu)樯衔绲?倍，而B種盲盒的銷量不變，結(jié)果上午的銷售額比下午多390元，其中兩種盲盒的價(jià)格均為整數(shù)，則下午販賣的盲盒的銷售額最多可為 8080 元．
解：設(shè)A種盲盒的價(jià)格為x元，則B種盲盒的價(jià)格為（6x﹣60）元，A種盲盒的數(shù)量為a個(gè)，B種盲盒的數(shù)量為b個(gè)，根據(jù)題意得：
，
解得：，
又因?yàn)?x﹣60＞0，
解得：x＞10，
設(shè)上午A種盲盒售出m個(gè)，B種盲盒售出n個(gè)，則上午的銷售額為mx+n（6x﹣60），
該天下午，A種盲盒的價(jià)格為0.6（5x﹣50）元，即（3x﹣30）元，B種盲盒的價(jià)格為x元，
A種盲盒售出2m個(gè)，B種盲盒售出n個(gè)，則下午的銷售額為nx+2m（3x﹣30）＝nx+6mx﹣60m，
由上午的銷售額比下午多390元，得：
mx+n（6x﹣60）﹣nx﹣2m（3x﹣30）＝390，且2m≤a，
因?yàn)椋?br>所以，
即（5n﹣5m）x﹣60n+60m＝390，且0＜m≤16，
（n﹣m）（x﹣12）＝78，且0＜m≤16，
下午的銷售額y＝nx+6mx﹣60m＝nx+6m（x﹣10），
因?yàn)閤﹣10＞0，
則當(dāng)m取最大值的時(shí)，銷售額取得最大值，
因?yàn)?＜m≤16，
所以m＝16，
所以nx+6m（x﹣10）＝nx+6×16×（x﹣10）＝nx+96x﹣960＝（n+96）x﹣960，
令y＝（n+96）x﹣960，
因?yàn)閚+96＞0，
所以當(dāng)x取得最大值時(shí)，y取得最大值，
因?yàn)椋╪﹣16）（x﹣12）＝78，
且78＝6×13或3×26或2×39或1×78，n≤78，
所以或，或，
解得：，，，（舍去），
所以當(dāng)時(shí)，
y＝（n+96）x﹣960＝（17+96）×80﹣960＝8080．
故答案為：8080．
33．（2022春?沙坪壩區(qū)校級(jí)月考）“最是一年春好處”，小墩和小融約定好從各自家里出發(fā)，自駕去近郊踏青賞花，小墩家、小融家以及他們的目的地在同一條直線上，小墩從家出發(fā)1小時(shí)之后，小融才從家出發(fā)，先到的人在目的地等待，他們二人與小墩家的距離y（千米）與小墩行駛的時(shí)間x（小時(shí)）之間的關(guān)系如圖所示，請(qǐng)根據(jù)圖象回答下列問題：
（1）小墩的速度為 50 千米/小時(shí)，小融的速度為 75 千米/小時(shí)；
（2）當(dāng)小融追上小墩時(shí)，他們與目的地的距離為多少千米？
（3）小融從家里出發(fā)后，當(dāng)兩人相距10千米時(shí)，一輛花車沿同一路線從后面追上他們其中一人，已知這輛花車的速度為90千米/小時(shí)，當(dāng)花車?yán)^續(xù)前行追上前方另一人時(shí)，求前一個(gè)被花車追上的人此時(shí)與目的地的距離．
解：（1）小墩的速度為150÷3＝50（千米/小時(shí)），
小融的速度為（150﹣30）÷（2.6﹣1）＝75（千米/小時(shí)），
故答案為：50，75；
（2）由（1）可知小墩行駛的路程與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系為y＝50x，
設(shè)小融行駛的路程與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系為y＝kx+b，
將（1，30），（2.6，150）代入可得：，
解得，
∴小融行駛的路程與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系為y＝75x﹣45，
令50x＝75x﹣45，
解得x＝1.8，
∴在小墩出發(fā)1.8小時(shí)后被小融追上，
此時(shí)距離目的地距離：150﹣1.8×50＝60 （千米），
當(dāng)小融追上小墩時(shí)，他們與目的地的距離為60千米；
（3）①小墩在小融前10千米處，
由題意可得：50x＝75x﹣45+10，
解得：x＝1.4，
∴在1.4小時(shí)處，花車追趕上小融，
此時(shí)花車追趕小墩的時(shí)間：10÷（90﹣50）＝0.25（小時(shí)），
∴在1.65小時(shí)處，花車追趕上小墩，
此時(shí)小融距離目的地的距離為：150﹣（75×1.65﹣45）＝71.25（千米），
故前一個(gè)被花車追上的人此時(shí)與目的地的距離為71.25千米；
②小融在小墩前10千米處，
由題意可得：50x+10＝75x﹣45，
解得：x＝2.2，
∴在2.2小時(shí)處，花車追趕上小墩，
此時(shí)花車追趕小墩的時(shí)間：10÷（90﹣75）＝0.4 （小時(shí)），
∴在2.6小時(shí)處，花車追趕上小融，
此時(shí)小墩距離目的地的距離為150﹣50×2.6＝20 （千米），
故前一個(gè)被花車追上的人此時(shí)與目的地的距離為20千米．
綜上，前一個(gè)被花車追上的人此時(shí)與目的地的距離71.25千米或20千米．
34．（2022?無棣縣一模）一列快車和一列慢車同時(shí)從甲地出發(fā)，分別以速度v1、v2（單位：km/h，且v1＞2v2）勻速駛向乙地．快車到達(dá)乙地后停留了2h，沿原路仍以速度v1勻速返回甲地，設(shè)慢車行駛的時(shí)間為x（h），兩車之間的距離為y（km），圖中的折線表示從慢車出發(fā)至慢車到達(dá)乙地的過程中，y與x之間的函數(shù)關(guān)系．
（1）甲乙兩地相距 900 km；點(diǎn)A實(shí)際意義： 快車行駛6h時(shí)到達(dá)乙地，此時(shí)慢車距離乙地540km ；
（2）求a，b的值；
（3）慢車出發(fā)多長時(shí)間后，兩車相距480km？
解：（1）由圖象知，甲、乙兩地之間的距離為900km，
如圖，過點(diǎn)B向y軸作垂線，過點(diǎn)A作x軸的垂線，
由圖可知，AB段表示快車在乙地停留的2h，
此時(shí)，慢車走的路程為60×2＝120（km），
∴c＝540﹣120＝420（km），a＝＝8（h），
∴a﹣2＝6（h），
∴A（6，540），
∴點(diǎn)A的實(shí)際意義是：快車行駛6h時(shí)到達(dá)乙地，此時(shí)慢車距離乙地540km，
故答案為：900；快車行駛6h時(shí)到達(dá)乙地，此時(shí)慢車距離乙地540km；
（2）由OA段可知，快車的速度﹣慢車的速度＝＝90（km/h），
∴快車的速度為150（km/h），快車的速度為＝150（km/h），
所以線段AB所表示的y與x之間的函數(shù)表達(dá)式為y1＝900﹣60x，
所以線段CD所表示的y與x之間的函數(shù)表達(dá)式為：y2＝（60+150）（x﹣10）＝210x﹣2100；
根據(jù)快車的運(yùn)動(dòng)可知，點(diǎn)D表示的含義是當(dāng)快車行駛xh時(shí)，快車到達(dá)甲地，乙車距離甲車的距離為b，
又點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為：900×2÷150+2＝12+2＝14，
此時(shí)b＝60×14＝840（km），
即a的值為8，b的值為840；
（3）如圖，作y＝480，
①線段OA所表示的y與x之間的函數(shù)表達(dá)式為y3＝90x（0≤x＜6），
令y3＝480，得x＝，
②線段AB所表示的y與x之間的函數(shù)表達(dá)式為y1＝﹣60x+900（6≤x＜8），
令y1＝480，得x＝7，
③線段CD所表示的y與x之間的函數(shù)表達(dá)式為y2＝210x﹣2100（10≤x＜14），
令y2＝480，得x＝．
答：慢車出發(fā)h，7h，h后，兩車相距480km．
35．（2023秋?錫山區(qū)期末）某興趣小組利用計(jì)算機(jī)進(jìn)行電子蟲運(yùn)動(dòng)實(shí)驗(yàn)．如圖1，在相距100個(gè)單位長度的線段AB上，電子蟲甲從端點(diǎn)A出發(fā)，勻速往返于端點(diǎn)A、B之間，電子蟲乙同時(shí)從端點(diǎn)B出發(fā)，設(shè)定不低于甲的速度勻速往返干端點(diǎn)B、A之間，他們到達(dá)端點(diǎn)后立即轉(zhuǎn)身折返，用時(shí)忽略不計(jì)．
興趣小組成員重點(diǎn)探究了甲、乙迎面相遇的情況，這里的“迎面相遇”包括面對(duì)面相遇、在端點(diǎn)處相遇這兩種．
設(shè)甲、乙第一次迎面相遇時(shí)，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)A之間的距離為x個(gè)單位長度，他們第二次迎面相遇時(shí)，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)A之間的距離為y個(gè)單位長度．
【觀察】請(qǐng)直接寫出：當(dāng)x＝20時(shí)，y的值為 60 ；當(dāng)x＝40時(shí)，y的值為 80 ；
【發(fā)現(xiàn)】興趣小組成員發(fā)現(xiàn)了y與x的函數(shù)關(guān)系，并畫出了部分函數(shù)圖象（如圖2中的線段OM，但不包括點(diǎn)O，因此點(diǎn)O用空心畫出）
①請(qǐng)直接寫出：a＝ ；
②分別求出各部分圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式，并在圖2中補(bǔ)全函數(shù)圖象，標(biāo)出關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)；
【拓展】設(shè)甲、乙第一次迎面相遇時(shí)，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)A之間的距離為x個(gè)單位長度，他們第三次迎面相遇時(shí)，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)A之間的距離為z個(gè)單位長度．若z不超過40，則x的取值范圍是 0＜x≤8或40≤x≤48 （直接寫出結(jié)果）．
解：【觀察】當(dāng)x＝20時(shí)，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)A之間的距離為20個(gè)單位長度，
∴相遇地點(diǎn)與點(diǎn)B之間的距離為100﹣20＝80個(gè)單位長度，
設(shè)電子蟲甲的速度為v，
∴電子蟲乙的速度為v＝4v，
∴電子蟲甲從相遇點(diǎn)到點(diǎn)B所用的時(shí)間為，
電子蟲乙從相遇地點(diǎn)到點(diǎn)A再返回到點(diǎn)B所用時(shí)間為＝，而＞，
∴電子蟲乙從第一次相遇地點(diǎn)到點(diǎn)A，返回到點(diǎn)B，再返回向A時(shí)和電子蟲甲第二次迎面相遇，
∵他們第二次迎面相遇時(shí)，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)A之間的距離為y個(gè)單位長度，
根據(jù)題意得：20+100+100﹣y＝4（y﹣20），
∴y＝60，
當(dāng)x＝40時(shí)，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)A之間的距離為40個(gè)單位長度，
∴相遇地點(diǎn)與點(diǎn)B之間的距離為100﹣40＝60個(gè)單位長度，
設(shè)電子蟲甲的速度為v'，
∴電子蟲乙的速度為v'＝v'，
∴電子蟲乙從相遇點(diǎn)到點(diǎn)A再到點(diǎn)B所用的時(shí)間為＝，電子蟲甲從相遇點(diǎn)到點(diǎn)B所用時(shí)間為，
∵＞，
∴電子蟲甲從第一次相遇點(diǎn)到點(diǎn)B，再返回A，在返回A的途中與返回B的電子蟲乙第二次迎面相遇，
根據(jù)題意得：40+y＝（60+100﹣y），
∴y＝80，
故答案為：60，80；
【發(fā)現(xiàn)】①由函數(shù)圖象可知，第一次相遇距A地a個(gè)單位，第二次相遇距A地第100個(gè)單位（B地），
設(shè)電子蟲甲的速度為v，則電子蟲乙的速度為v，
根據(jù)題意知，v＝2v，
∴a＝，
故答案為：；
②當(dāng)0＜x≤時(shí)，點(diǎn)M（，100）在線段OM上，
∴線段OM的表達(dá)式為y＝3x，
當(dāng)v＜v時(shí)，即當(dāng)＜x＜50，此時(shí)，第二次相遇地點(diǎn)是電子蟲甲在到點(diǎn)B返回向點(diǎn)A時(shí)，
設(shè)電子蟲甲的速度為v，則電子蟲乙的速度為，
根據(jù)題意知，x+y＝（100﹣x+100﹣y），
∴y＝﹣3x+200，
即：y＝，
補(bǔ)全圖形如下：
【拓展】①如圖，
由題意知，＝，
∴z＝5x，
∵0＜y≤40，
∴0＜x≤8；
②如圖，
∴＝，
∴z＝﹣5x+200，
∵0≤z≤40，
∴32≤x≤40，
③如圖，
由題意得，＝，
∴z＝5x﹣200，
∵0≤z≤40，
∴40≤x≤48，
綜上所述，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)A之間的距離x的取值范圍是0＜x≤8或40≤x≤48，
故答案為：0＜x≤8或40≤x≤48．
考點(diǎn)06：一次函數(shù)綜合題
36．（2020秋?福田區(qū)校級(jí)期中）已知直線l1：y＝kx+b與直線l2：y＝﹣x+m都經(jīng)過C（﹣，），直線l1交y軸于點(diǎn)B（0，4），交x軸于點(diǎn)A，直線l2交y軸于點(diǎn)D，P為y軸上任意一點(diǎn)，連接PA、PC，有以下說法：
①方程組的解為；
②△BCD為直角三角形；
③S△ABD＝6；
④當(dāng)PA+PC的值最小時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，1）．
其中正確的說法是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④
解：①∵直線l1：y＝kx+b與直線l2：y＝﹣x+m都經(jīng)過C（﹣，），
∴方程組的解為，
故①正確，符合題意；
②把B（0，4），C（﹣，）代入直線l1：y＝kx+b，可得，解得，
∴直線l1：y＝2x+4，
又∵直線l2：y＝﹣x+m，
∴直線l1與直線l2互相垂直，即∠BCD＝90°，
∴△BCD為直角三角形，
故②正確，符合題意；
③把C（﹣，）代入直線l2：y＝﹣x+m，可得m＝1，
y＝﹣x+1中，令x＝0，則y＝1，
∴D（0，1），
∴BD＝4﹣1＝3，
在直線l1：y＝2x+4中，令y＝0，則x＝﹣2，
∴A（﹣2，0），
∴AO＝2，
∴S△ABD＝×3×2＝3，
故③錯(cuò)誤，不符合題意；
④點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)為A'（2，0），
由點(diǎn)C、A′的坐標(biāo)得，直線CA′的表達(dá)式為：y＝﹣x+1，
令x＝0，則y＝1，
∴當(dāng)PA+PC的值最小時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，1），
故④正確，符合題意；
故選：B．
37．（2020?深圳模擬）八個(gè)邊長為1的正方形如圖擺放在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過P點(diǎn)的一條直線l將這八個(gè)正方形分成面積相等的兩部分，則該直線l的解析式為（ ）
A．y＝x+B．y＝x+C．y＝x+D．y＝x+
解：直線l和八個(gè)正方形的最上面交點(diǎn)為P，過P作PB⊥OB于B，過P作PC⊥OC于C，
∵正方形的邊長為1，
∴OB＝3，
∵經(jīng)過P點(diǎn)的一條直線l將這八個(gè)正方形分成面積相等的兩部分，
∴三角形ABP面積是8÷2+1＝5，
∴BP?AB＝5，
∴AB＝2.5，
∴OA＝3﹣2.5＝0.5，
由此可知直線l經(jīng)過（0，0.5），（4，3）
設(shè)直線方程為y＝kx+b，則，
解得．
∴直線l解析式為y＝x+．
故選：A．
38．（2022?蘇州一模）如圖，正方形ABCD的邊長為2，A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB和AD分別在x軸、y軸上，點(diǎn)E是BC邊的中點(diǎn)，過點(diǎn)A的直線y＝kx交線段DC于點(diǎn)F，連接EF，若AF平分∠DFE，則k的值為 1或3 ．
解：①如圖，作AG⊥EF交EF于點(diǎn)G，連接AE，
∵AF平分∠DFE，
∴DA＝AG＝2，
在RT△ADF和RT△AGF中，
，
∴RT△ADF≌RT△AGF（HL），
∴DF＝FG，
∵點(diǎn)E是BC邊的中點(diǎn)，
∴BE＝CE＝1，
∴AE＝＝，
∴GE＝＝1，
∴在RT△FCE中，EF2＝FC2+CE2，即（DF+1）2＝（2﹣DF）2+1，解得DF＝，
∴點(diǎn)F（，2），
把點(diǎn)F的坐標(biāo)代入y＝kx得：2＝k，解得k＝3；
②當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)C重合時(shí)，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AF平分∠DFE，
∴F（2，2），
把點(diǎn)F的坐標(biāo)代入y＝kx得：2＝2k，解得k＝1．
故答案為：1或3．
39．（2019?站前區(qū)校級(jí)一模）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)P（2，2），C為y軸正半軸上一點(diǎn)，連接PC，線段PC繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至線段PD，過點(diǎn)D作直線AB⊥x軸，垂足為B，直線AB與直線OP交于點(diǎn)A，且BD＝4AD，直線CD與直線OP交于點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為 （，）或（，） ．
解：過點(diǎn)P作PE⊥OC于E，EP的延長線交AB于F．
∵AB⊥OB，
∴∠OBF＝∠EOB＝∠FEO＝90°，
∴四邊形EOBF是矩形，
∵P（2，2），
∴OE＝PE＝BF＝2，
∵∠CPD＝90°，
∴∠CPE+∠DPF＝90°，∠ECP+∠CPE＝90°，
∴∠ECP＝∠DPF，
在△CPE和△PDF中，
，
∴△CPE≌△PDF（AAS），
∴DF＝PE＝2，
∴BD＝BF+DF＝4，
∵BD＝4AD，
∴AD＝1，AB＝OB＝5，
∴CE＝PF＝3，
∴D（5，4），C（0，5），
設(shè)直線CD的解析式為y＝kx+b則有，解得，
∴直線CD的解析式為y＝﹣x+5，
由解得，
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（，）．
當(dāng)點(diǎn)D在直線OP的上方時(shí)，同法可得C（0，3），D（3，4），
∴直線CD的解析式為y＝x+3，
由，解得，
∴Q（，），
綜上所述，滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：（，）或（，）．
40．（2022秋?定遠(yuǎn)縣校級(jí)月考）如圖，已知直線y＝kx+b經(jīng)過點(diǎn)B（1，4），與x軸交于點(diǎn)A（5，0），與直線y＝2x﹣4交于點(diǎn)C（3，m）．
（1）求直線AB的函數(shù)表達(dá)式及m的值；
（2）根據(jù)函數(shù)圖象，直接寫出關(guān)于x的不等式組2＜kx+b＜4的解集： 1＜x＜3 ；
（3）現(xiàn)有一點(diǎn)P在直線AB上，過點(diǎn)P作PQ∥y軸交直線y＝2x﹣4于點(diǎn)Q，若點(diǎn)C到線段PQ的距離為1，求點(diǎn)P的坐標(biāo)和點(diǎn)Q的坐標(biāo)．
解：（1）將（1，4），（5，0）代入y＝kx+b得，
解得，
∴y＝﹣x+5．
將（3，m）代入y＝2x﹣4得m＝6﹣4＝2．
（2）∵點(diǎn)B坐標(biāo)為（1，4），點(diǎn)C坐標(biāo)為（3，2），
由圖象得1＜x＜3時(shí)，2＜kx+b＜4，
故答案為：1＜x＜3．
（3）∵點(diǎn)C到線段PQ的距離為1，點(diǎn)C橫坐標(biāo)為3，
∴點(diǎn)P，Q橫坐標(biāo)為3﹣1＝2或3+1＝4，
將x＝2代入y＝﹣x+5得y＝﹣2+5＝3，
∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（2，3），
將x＝2代入y＝2x﹣4得y＝4﹣4＝0，
∴點(diǎn)Q坐標(biāo)為（2，0），
將x＝4代入y＝﹣x+5得y＝﹣4+5＝1，
∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（4，1），
將x＝4代入y＝2x﹣4得y＝8﹣4＝4，
∴點(diǎn)Q坐標(biāo)為（4，4），
綜上所述，點(diǎn)P，Q坐標(biāo)為（2，3），（2，0）或（4，1），（4，4）．
41．（2022秋?南山區(qū)期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝2x+6與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A，C，經(jīng)過點(diǎn)C的直線與x軸交于點(diǎn)B（6，0）．
（1）求直線BC的解析式；
（2）點(diǎn)G是線段BC上一動(dòng)點(diǎn)，若直線AG把△ABC的面積分成1：2的兩部分，請(qǐng)求點(diǎn)G的坐標(biāo)；
（3）直線AC上有一個(gè)點(diǎn)P，過P作x軸的垂線交直線BC于點(diǎn)Q，當(dāng)PQ＝OB時(shí)，求點(diǎn)P坐標(biāo)．
（4）在x軸上找一點(diǎn)M，使△MAC是等腰三角形，求點(diǎn)M的坐標(biāo)（直接寫結(jié)果）．
解：（1）由y＝2x+6得：A（﹣3，0），C（0，6），
∵點(diǎn)B（6，0）．
設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+b（k≠0）：
，
解得：，
∴直線BC的解析式為y＝﹣x+6；
（2）∵A（﹣3，0），C（0，6），B（6，0）．
∴AB＝9，
∴S△ABC＝×9×6＝27，
設(shè)G（m，﹣m+6），（0＜m＜6），
①當(dāng)S△ABG：S△ACG＝1：2時(shí)，即S△ABG＝S△ABC＝9，
∴×9（﹣m+6）＝9，
∴m＝4，
∴G（4，2）；
當(dāng)S△ABG：S△ACG＝2：1時(shí)，即S△ABG＝S△ABC＝18，
∴×9（﹣m+6）＝18，
∴m＝2，
∴G（2，4）．
綜上，點(diǎn)G的坐標(biāo)為（4，2）或（2，4）；
（3）設(shè)P（n，2n+6），則Q（n，﹣n+6），
∴PQ＝|2n+6+n﹣6|＝|3n|，
∵PQ＝OB＝6，
∴|3n|＝6，
∴n＝2或n＝﹣2，
∴P（2，10）或（﹣2，2）．
（4）若△MAC是等腰三角形可分三種情況：
①若CA＝CM，
∵CO⊥AM，
∴OM＝OA＝3，
∴點(diǎn)M（3，0）．
②若AM＝AC，
∵A（﹣3，0），C（0，6），
∴AC＝＝3，
∴AM＝AC＝3，
∴點(diǎn)M為（3﹣3，0）或（﹣3﹣3，0）．
③若MA＝MC，
設(shè)OM＝x，則MC＝MA＝OM+OA＝x+3，
在Rt△MOC中，根據(jù)勾股定理可得：x2+62＝（x+3）2，
解得：x＝，
∴點(diǎn)M為（，0），
綜上所述：點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3，0）或（3﹣3，0）或（﹣3﹣3，0）或（，0）．
42．（2022秋?天橋區(qū)期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l1的解析式為y＝x，直線l2與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B（0，3），與l1交于點(diǎn)C（2，m）．
（1）求出直線l2的函數(shù)關(guān)系式；
（2）在y軸右側(cè)有一動(dòng)直線平行于y軸，分別與l1、l2交于點(diǎn)M、N，
①當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)N的上方，且滿足MN＝OB時(shí)，請(qǐng)求出點(diǎn)M與點(diǎn)N的坐標(biāo)；
②當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)N的下方時(shí)，y軸上是否存在點(diǎn)Q，使△MNQ為等腰直角三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
解：（1）將點(diǎn)C（2，m）代入y＝x，
∴m＝2，
∴C（2，2），
設(shè)直線l2的解析式為y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝﹣x+3；
（2）①設(shè)M（t，t），N（t，﹣t+3），
∵點(diǎn)M在點(diǎn)N的上方，
∴t＞2，
∵M(jìn)N＝OB，
∴t﹣3＝3，
解得t＝4，
∴M（4，4），N（4，1）；
②存在點(diǎn)Q，使△MNQ為等腰直角三角形，理由如下：
點(diǎn)M在點(diǎn)N的下方時(shí)，t＜2，
當(dāng)∠NMQ＝90°時(shí)，MN＝MQ，此時(shí)Q（0，t），
∴﹣t+3＝|t|，
解得t＝或t＝6（舍），
∴Q（0，）；
當(dāng)∠MNQ＝90°時(shí)，NQ＝MN，此時(shí)Q（0，﹣t+3），
∴﹣t+3＝|t|，
∴t＝或t＝6（舍），
解得t＝，
∴Q（0，）；
當(dāng)∠MQN＝90°時(shí)，MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為（t，t+），
∴Q（0，t+），
∵|t|＝（﹣t+3），
解得t＝﹣6或t＝，
∴Q（0，0）或（0，）；
綜上所述：Q點(diǎn)坐標(biāo)為（0，）或（0，）或（0，0）或（0，）
方程（組）、不等式問題
函 數(shù) 問 題
從“數(shù)”的角度看
從“形”的角度看
求關(guān)于、的一元一次方程＝0（≠0）的解
為何值時(shí)，函數(shù)的值為0？
確定直線與軸（即直線＝0）交點(diǎn)的橫坐標(biāo)
求關(guān)于、的二元一次方程組的解．
為何值時(shí)，函數(shù)與函數(shù)的值相等？
確定直線與直線的交點(diǎn)的坐標(biāo)
求關(guān)于的一元一次不等式＞0（≠0）的解集
為何值時(shí)，函數(shù)的值大于0？
確定直線在軸（即直線＝0）上方部分的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)的范圍
輸入x
…
﹣6
﹣4
﹣2
0
2
…
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…
﹣6
﹣2
2
6
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初中數(shù)學(xué)北師大版八年級(jí)上冊(cè)電子課本

1 函數(shù)

版本： 北師大版

年級(jí)： 八年級(jí)上冊(cè)

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