北師大版八年級上冊6 實數(shù)達標(biāo)測試

這是一份北師大版八年級上冊6 實數(shù)達標(biāo)測試，共46頁。試卷主要包含了實數(shù)的分類，1010010001…，實數(shù)與數(shù)軸上的點一 一對應(yīng)，實數(shù)的三個非負性及性質(zhì)，實數(shù)的運算，實數(shù)的大小的比較等內(nèi)容，歡迎下載使用。
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知識導(dǎo)航
知識點01:平方根和立方根
知識點02:無理數(shù)與實數(shù)
有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù).
1.實數(shù)的分類
實數(shù)
細節(jié)剖析（1）所有的實數(shù)分成三類：有限小數(shù)，無限循環(huán)小數(shù)，無限不循環(huán)小數(shù)．其中有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)統(tǒng)稱有理數(shù)，無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù)．
（2）無理數(shù)分成三類：①開方開不盡的數(shù)，如，等；
②有特殊意義的數(shù)，如π；
③有特定結(jié)構(gòu)的數(shù)，如0.1010010001…
（3）凡能寫成無限不循環(huán)小數(shù)的數(shù)都是無理數(shù)，并且無理數(shù)不能寫成分數(shù)形式.
2.實數(shù)與數(shù)軸上的點一 一對應(yīng)
數(shù)軸上的任何一個點都對應(yīng)一個實數(shù)，反之任何一個實數(shù)都能在數(shù)軸上找到一個點與之對應(yīng).
3.實數(shù)的三個非負性及性質(zhì)
在實數(shù)范圍內(nèi)，正數(shù)和零統(tǒng)稱為非負數(shù)。我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過的非負數(shù)有如下三種形式：
（1）任何一個實數(shù)的絕對值是非負數(shù)，即||≥0；
（2）任何一個實數(shù)的平方是非負數(shù)，即≥0；
（3）任何非負數(shù)的算術(shù)平方根是非負數(shù)，即 ().
非負數(shù)具有以下性質(zhì)：
（1）非負數(shù)有最小值零；
（2）有限個非負數(shù)之和仍是非負數(shù)；
（3）幾個非負數(shù)之和等于0，則每個非負數(shù)都等于0.
4.實數(shù)的運算
數(shù)的相反數(shù)是－；一個正實數(shù)的絕對值是它本身；一個負實數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；0的絕對值是0.
有理數(shù)的運算法則和運算律在實數(shù)范圍內(nèi)仍然成立.實數(shù)混合運算的運算順序：先乘方、開方、再乘除，最后算加減.同級運算按從左到右順序進行，有括號先算括號里.
5.實數(shù)的大小的比較
有理數(shù)大小的比較法則在實數(shù)范圍內(nèi)仍然成立.
法則1. 實數(shù)和數(shù)軸上的點一一對應(yīng)，在數(shù)軸上表示的兩個數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù) 大；
法則2．正數(shù)大于0，0大于負數(shù)，正數(shù)大于一切負數(shù)，兩個負數(shù)比較，絕對值大的反而??；
法則3. 兩個數(shù)比較大小常見的方法有：求差法，求商法，倒數(shù)法，估算法，平方法.
知識點03:二次根式的相關(guān)概念和性質(zhì)
1. 二次根式
形如的式子叫做二次根式，如等式子，都叫做二次根式.
細節(jié)剖析：二次根式有意義的條件是，即只有被開方數(shù)時，式子才是二次根式，才有意義.
2.二次根式的性質(zhì)
（1）；
（2）；
（3）.
細節(jié)剖析：（1） 一個非負數(shù)可以寫成它的算術(shù)平方根的平方的形式，即 （），如（）.
（2） 中的取值范圍可以是任意實數(shù)，即不論取何值，一定有意義.
（3）化簡時，先將它化成，再根據(jù)絕對值的意義來進行化簡.
（4）與的異同
不同點：中可以取任何實數(shù)，而中的必須取非負數(shù)；
=，=（）.
相同點：被開方數(shù)都是非負數(shù)，當(dāng)取非負數(shù)時，=.
3. 最簡二次根式
（1）被開方數(shù)是整數(shù)或整式；
（2)被開方數(shù)中不含能開方的因數(shù)或因式.
滿足上述兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式.如等都是最簡二次根式.
細節(jié)剖析：最簡二次根式有兩個要求：（1）被開方數(shù)不含分母；（2）被開方數(shù)中每個因式的指數(shù)都小于根指數(shù)2.
4.同類二次根式
幾個二次根式化成最簡二次根式后，被開方數(shù)相同，這幾個二次根式就叫同類二次根式.
細節(jié)剖析：判斷是否是同類二次根式，一定要化簡到最簡二次根式后，看被開方數(shù)是否相同，再判斷.如與，由于=，與顯然是同類二次根式.
知識點04:二次根式的運算
1. 乘除法
（1）乘除法法則：
細節(jié)剖析：（1）當(dāng)二次根式的前面有系數(shù)時，可類比單項式與單項式相乘（或相除）的法則，如.
（2）被開方數(shù)一定是非負數(shù)（在分母上時只能為正數(shù)）.
如.
2.加減法
將二次根式化為最簡二次根式后，將同類二次根式的系數(shù)相加減，被開方數(shù)和根指數(shù)不變，即合并同類二次根式.
細節(jié)剖析：二次根式相加減時，要先將各個二次根式化成最簡二次根式，再找出同類二次根式，最后合并同類二次根式.如.
考點提優(yōu)練
考點01：非負數(shù)的性質(zhì)：算術(shù)平方根
1．（2023春?密山市期末）若a，b為實數(shù)，且|a+1|+＝0，則﹣（﹣ab）2018的值是（ ）
A．1B．2018C．﹣1D．﹣2018
2．已知x，y為實數(shù)，則代數(shù)式++的最小值是（ ）
A．2B．3C．D．
3．（2022春?禮縣期末）已知，則ab＝ ．
4．（2022春?東莞市期中）已知和|y﹣|互為相反數(shù)，則x＝ ，y＝ ．
5．（2023春?鼓樓區(qū)校級期中）已知|7﹣3m|+（5﹣n）2＝3m﹣7﹣，求（）2．
6．（2023春?大冶市期中）已知：實數(shù)a、b滿足條件+（ab﹣2）2＝0．
試求的值．
考點02：立方根
7．（2022春?越秀區(qū)校級期末）下列計算正確的是（ ）
A．B．4a﹣a＝3C．|a|﹣a＝0D．
8．（2022春?同安區(qū)期中）已知，則＝ ．
9．（2022春?康巴什期末）有一個數(shù)值轉(zhuǎn)換器，流程如下：
當(dāng)輸入的x值為64時，輸出的y值是 ．
10．（2022春?靜海區(qū)校級期中）已知5x+2的立方根是3，3x+y﹣1的算術(shù)平方根是4．求：
（1）x、y的值；
（2）3x﹣2y﹣2的平方根．
11．（2022?南京模擬）求下列各式中的x：
（1）4x2﹣49＝0； （2）；
（3）25x2﹣64＝0； （4）343（x+3）3+27＝0．
12．（2022春?黃岡期中）觀察下列計算過程，猜想立方根．
13＝123＝833＝2743＝6453＝12563＝216 73＝343 83＝51293＝729
（1）小明是這樣試求出19683的立方根的．先估計19683的立方根的個位數(shù)，猜想它的個位數(shù)為 ，又由203＜19000＜303，猜想19683的立方根十位數(shù)為 ，驗證得19683的立方根是
（2）請你根據(jù)（1）中小明的方法，完成如下填空：
①＝ ； ②＝ ；③＝ ．
考點03：實數(shù)與數(shù)軸
13．（2022春?集美區(qū)期末）數(shù)軸上的點A，B，O表示的數(shù)分別為a，b，0，其中a＞0，ab＜0，且|a|＜2|b|，M是OA中點，線段BM上僅有2個表示整數(shù)的點．若a﹣2b﹣2＝2，則整數(shù)c不可能是（ ）
A．1B．2C．3D．4
14．（2022?城廂區(qū)校級一模）實數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的對應(yīng)點的位置如圖所示，下列選項正確的是（ ）
A．|c|＞|a|B．c﹣a＝b﹣a+b﹣c
C．a(chǎn)+b+c＝0D．|a﹣b|＝|a﹣c|﹣|b﹣c|
15．（2019秋?松滋市期末）如圖，O，A，B，C四點在數(shù)軸上，其中O為原點，且AC＝2，OA＝2OB，若C點所表示的數(shù)為m，則B點所表示的數(shù)正確的是（ ）
A．﹣2（m+2）B．C．D．
16．（2023秋?鋼城區(qū)期末）如圖，在數(shù)軸上點A表示的數(shù)是4、點P表示的數(shù)是1，線段AB⊥AP，AB＝1，以點P為圓心，PB長為半徑畫弧交數(shù)軸于點C，則點C表示的數(shù)是 ．
17．（2022春?沙灣縣期末）如圖，CB＝1，OC＝2，且OA＝OB，BC⊥OC，則點A在數(shù)軸上表示的實數(shù)是 ．
18．（2023秋?義烏市期末）如圖，已知實數(shù)a（a＞0）表示在數(shù)軸上對應(yīng)的位置為點P．現(xiàn)對點P進行如下操作：先把點P沿數(shù)軸以每秒1個單位的速度向左移動t秒，再把所得到的點沿數(shù)軸以每秒2個單位的速度向右移動a秒，得到點P'．我們把這樣的操作稱為點P的“回移”，點P'為點P的“回移點”．
（1）當(dāng)t＝2時，
①若a＝4，求點P的回移點P'表示的實數(shù)；
②若回移點P'與點P恰好重合，求a的值；
（2）是否存在這樣的情況：原點O，點P及其回移點P'中，一個點是以另外兩點的端點的線段的三等分點？若存在，請用含a的代數(shù)式表示t；若不存在，請說明理由．
19．（2023秋?濟寧期末）已知，如圖，實數(shù)a，b，c在數(shù)軸上表示的點分別是點A，B，C，且a，b，c滿足（a+8）2+（b+2）2+|c﹣3|＝0．
（1）求a，b，c的值；
（2）若點A沿數(shù)軸向左以每秒1個單位的速度運動，點B和點C沿數(shù)軸向右運動，速度分別是2個單位/秒，3個單位秒．設(shè)運動時間為t（秒）．
①2秒后，點A，B，C表示的數(shù)分別是 ， ， ；
②運動t秒后，求點B和點C之間的距離（用“BC”表示）和點A和點B之間的距離（用“AB”表示）；（用含t的代數(shù)式表示）
③在②的基礎(chǔ)上，請問：3BC﹣AB的值是否隨著時間t的變化而變化？若不變化，求這個不變的值；若變化，求這個值的變化范圍．
考點04：實數(shù)大小比較
20．（2022春?五華區(qū)校級期中）在﹣1，π，﹣，3.14四個數(shù)中，最小的數(shù)是（ ）
A．﹣1B．πC．﹣D．3.14
21．（2022?雁塔區(qū)校級模擬）下面四個數(shù)中，最小的數(shù)是（ ）
A．﹣1B．C．0D．﹣3
22．（2023秋?鼓樓區(qū)校級期末）比較3和5的大小：3 5（用“＞”或“＜”連接）．
23．（2022春?高新區(qū)期中）已知a是大于1的實數(shù)，且有a3+a﹣3＝p，a3﹣a﹣3＝q成立．
（1）若p+q＝4，求p﹣q的值；
（2）當(dāng)q2＝22n+﹣2（n≥1，且n是整數(shù)）時，求p（用n表示）；
（3）在（2）的條件下比較p與（a3+）的大小，并說明理由．
24．（2022?南京模擬）請完成以下問題
（1）有理數(shù)a，b，c所對應(yīng)的點在數(shù)軸上的位置如圖所示，試比較a，﹣a，b，﹣b，c，﹣c，0的大小，并用“＜”連接．
（2）有理數(shù)a、b、m、n、x滿足下列條件：a與b互為倒數(shù)，m與n互為相反數(shù)，x的絕對值為最小的正整數(shù)，求2021（m+n）+2020x3﹣2019ab的值．
25．（2019春?磁縣期末）（1）求出下列各數(shù)：①2的算術(shù)平方根；②﹣27的立方根；③的平方根．
（2）將（1）中求出的每個數(shù)準(zhǔn)確地表示在數(shù)軸上，將這些數(shù)按從小到大的順序排列，并用“＜”連接．
考點05：實數(shù)的運算
26．（2022?夏邑縣模擬）下列運算正確的是（ ）
A．2÷（﹣6）﹣1＝﹣3B．﹣3×20220＝﹣3
C．D．
27．（2022春?東莞市期中）下圖是一個簡單的數(shù)值運算程序，當(dāng)輸入x的值為16時，輸出的數(shù)值為 ．
28．（2022?南崗區(qū)校級模擬）計算（﹣）0﹣的結(jié)果是 ．
29．（2022春?靜海區(qū)校級期中）計算：
（1）； （2）．
30．（2022春?倉山區(qū)校級期中）先閱讀，然后解答提出的問題：
設(shè)a，b是有理數(shù)，且滿足a+b＝3﹣2，求ba的值．
解：由題意得（a﹣3）+（b+2）＝0，因為a，b都是有理數(shù)，所以a﹣3，b+2也是有理數(shù)，由于是無理數(shù)，所以a﹣3＝0，b+2＝0，所以a＝3，b＝﹣2，所以ba＝（﹣2）3＝﹣8．
問題：設(shè)x，y都是有理數(shù)，且滿足x2﹣2y+y＝8+4，求xy的值．
31．（2022?鼓樓區(qū)校級開學(xué)）計算：
（1）（）2+﹣﹣82； （2）﹣（﹣1）2﹣（π﹣1）0+2﹣1．
考點06：二次根式的性質(zhì)與化簡
32．（2022春?藁城區(qū)校級期中）與結(jié)果相同的是（ ）
A．a(chǎn)﹣bB．a(chǎn)+bC．b﹣aD．|a﹣b|
33．（2022?內(nèi)蒙古）實數(shù)a在數(shù)軸上的對應(yīng)位置如圖所示，則+1+|a﹣1|的化簡結(jié)果是（ ）
A．1B．2C．2aD．1﹣2a
34．（2022?遂寧）實數(shù)a、b在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡|a+1|﹣+＝ ．
35．（2022春?姜堰區(qū)月考）將a根號外面的式子移到根號內(nèi)是 ．
36．（2022秋?晉江市月考）材料一：定義：（x，y為正整數(shù)）．
材料二：觀察、思考、解答：；反之3﹣2．
∴3﹣2；
∴﹣1．
（1）仿照材料二，化簡：；
（2）結(jié)合兩個材料，若（a，b，m，n均為正整數(shù)），用含m、n的代數(shù)式分別表示a和b；
（3）由上述m、n與a、b的關(guān)系，當(dāng)a＝4，b＝3時，求m2+n2的值．
37．（2022春?鄖西縣期末）像，…這樣的根式叫做復(fù)合二次根式．有一些復(fù)合二次根式可以借助構(gòu)造完全平方式進行化簡，如：＝．再如：＝．請用上述方法探索并解決下列問題：
（1）化簡：；
（2）化簡：．
（3）若a+6＝（m+n）2，且a，m，n為正整數(shù)，求a的值．
考點07：二次根式的混合運算
38．（2022春?潁州區(qū)期末）下列運算正確的是（ ）
A．+＝B．2×＝6C．÷＝2D．3﹣＝3
39．（2022?南京模擬）下列計算正確的是（ ）
A．÷＝4B．﹣＝C．2+＝2D．×＝
40．（2022?江北區(qū)開學(xué)）若a+6，當(dāng)a，m，n均為正整數(shù)時，則的值為 ．
41．（2022?南京模擬）計算：
（1）； （2）．
42．（2022春?宿豫區(qū)期末）觀察下列計算：．
＝＝＝﹣1，
＝＝＝﹣，
＝＝＝﹣，
（1）運用上面的計算方法化簡（n為正整數(shù)）；
（2）利用上面的結(jié)論計算：（+++…+）（1+）；
（3）計算：++．
43．（2022春?安慶期末）計算：
（1）÷+2×﹣（2+）2
（2）（﹣）﹣2﹣（﹣1）2012×﹣+
考點08：二次根式的化簡求值
44．（2022春?嶧城區(qū)期末）已知x＝﹣1，y＝+1，則分式的值是（ ）
A．2B．C．4D．2
45．（2023秋?天河區(qū)校級月考）已知x＝，則x6﹣2
的值為（ ）
A．0B．1C．D．
46．（2022春?臨西縣期末）已知x＝4+，y＝4﹣．
（1）x+y＝ ．
（2）求x2+xy+y2的值為 ．
47．（2022?雄縣一模）已知，．則
（1）x2+y2＝ ．
（2）（x﹣y）2﹣xy＝ ．
48．（2022?南京模擬）已知，，求的值．
49．（2022春?臨汾期末）（1）計算：6+（+1）（﹣1）．
（2）下面是夏紅同學(xué)對題目的計算過程，請認真閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù)．
題目：已知x＝，求x+1﹣的值．
原式＝…第一步
＝…第二步
＝．…第三步
把x＝代入上式，得
原式＝…第四步
＝…第五步
＝﹣1…第六步
任務(wù)一：填空：
①在化簡步驟中，第 步是進行分式的通分．
②第 步開始出錯，這一錯誤的原因是 ．
任務(wù)二：請直接寫出該題計算后的正確結(jié)果．
考點09：二次根式的應(yīng)用
50．（2022春?內(nèi)黃縣校級月考）如圖、在一個長方形中無重疊的放入面積分別為16cm2和12cm2的兩張正方形紙片，則圖中空白部分的面積為（ ）
A．（4﹣2）cm2B．（8﹣4）cm2C．（8﹣12）cm2D．8cm2
51．（2022春?高青縣期末）如圖，從一個大正方形中裁去面積為16cm2和24cm2的兩個小正方形，則余下的面積為（ ）
A．16cm2B．40 cm2C．8cm2D．（2+4）cm2
52．（2022?湖口縣二模）俊俊和霞霞共同合作將一張長為，寬為1的矩形紙片進行裁剪（共裁剪三次），裁剪出來的圖形剛好是4個等腰三角形（無紙張剩余）．霞霞說：“有一個等腰三角形的腰長是1”；俊俊說：“有一個等腰三角形的腰長是﹣1”；那么另外兩個等腰三角形的腰長可能是 ．
53．（2022春?前郭縣期末）如圖，矩形內(nèi)有兩個相鄰的正方形，其面積分別為2和8，則圖中陰影部分的面積為 ．
54．（2022春?江寧區(qū)期末）材料閱讀：古希臘的幾何學(xué)家海倫在他的著作《度量》中提出：如果一個三角形的三邊長分別為a，b，c，記p＝，那么三角形的面積為S＝，這一公式稱為海倫公式．
我國南宋時期數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書九章》中提出利用三角形三邊a，b，c，求三角形面積的公式S＝，被稱之為秦九韶公式．
（1）海倫公式與秦九韶公式本質(zhì)上是同一個公式．你同意這種說法嗎？請利用以下數(shù)據(jù)驗證兩公式的一致性．
如圖①，在△ABC中，BC＝a＝7，AC＝b＝5，AB＝c＝6，求△ABC的面積．
（2）在（1）的基礎(chǔ)上，作∠ABC和∠ACB的角平分線交于點O．過點O作OD⊥AB，OD的長為 ．
55．（2023秋?汝州市期末）“欲窮千里目，更上一層樓”，說的是登得高看得遠，如圖，若觀測點的高度為h（單位km），觀測者能看到的最遠距離為d（單位km），則d≈，其中R是地球半徑，通常取6400km．
（1）小麗站在海邊的一塊巖石上，眼睛離海平面的高度h為20m，她觀測到遠處一艘船剛露出海平面，求此時d的值．
（2）判斷下面說法是否正確，并說明理由；
泰山海拔約為1500m，泰山到海邊的最小距離約230km，天氣晴朗時站在泰山之巔可以看到大海．
類型
項目
平方根
立方根
被開方數(shù)
非負數(shù)
任意實數(shù)
符號表示
性質(zhì)
一個正數(shù)有兩個平方根，且互為相反數(shù)；
零的平方根為零；
負數(shù)沒有平方根；
一個正數(shù)有一個正的立方根；
一個負數(shù)有一個負的立方根；
零的立方根是零；
重要結(jié)論
類型
法則
逆用法則
二次根式的乘法
積的算術(shù)平方根化簡公式：
二次根式的除法
商的算術(shù)平方根化簡公式：
2022-2023學(xué)年北師大版數(shù)學(xué)八年級上冊章節(jié)考點精講精練
第2章《實數(shù)》
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知識導(dǎo)航
知識點01:平方根和立方根
知識點02:無理數(shù)與實數(shù)
有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù).
1.實數(shù)的分類
實數(shù)
細節(jié)剖析（1）所有的實數(shù)分成三類：有限小數(shù)，無限循環(huán)小數(shù)，無限不循環(huán)小數(shù)．其中有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)統(tǒng)稱有理數(shù)，無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù)．
（2）無理數(shù)分成三類：①開方開不盡的數(shù)，如，等；
②有特殊意義的數(shù)，如π；
③有特定結(jié)構(gòu)的數(shù)，如0.1010010001…
（3）凡能寫成無限不循環(huán)小數(shù)的數(shù)都是無理數(shù)，并且無理數(shù)不能寫成分數(shù)形式.
2.實數(shù)與數(shù)軸上的點一 一對應(yīng)
數(shù)軸上的任何一個點都對應(yīng)一個實數(shù)，反之任何一個實數(shù)都能在數(shù)軸上找到一個點與之對應(yīng).
3.實數(shù)的三個非負性及性質(zhì)
在實數(shù)范圍內(nèi)，正數(shù)和零統(tǒng)稱為非負數(shù)。我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過的非負數(shù)有如下三種形式：
（1）任何一個實數(shù)的絕對值是非負數(shù)，即||≥0；
（2）任何一個實數(shù)的平方是非負數(shù)，即≥0；
（3）任何非負數(shù)的算術(shù)平方根是非負數(shù)，即 ().
非負數(shù)具有以下性質(zhì)：
（1）非負數(shù)有最小值零；
（2）有限個非負數(shù)之和仍是非負數(shù)；
（3）幾個非負數(shù)之和等于0，則每個非負數(shù)都等于0.
4.實數(shù)的運算
數(shù)的相反數(shù)是－；一個正實數(shù)的絕對值是它本身；一個負實數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；0的絕對值是0.
有理數(shù)的運算法則和運算律在實數(shù)范圍內(nèi)仍然成立.實數(shù)混合運算的運算順序：先乘方、開方、再乘除，最后算加減.同級運算按從左到右順序進行，有括號先算括號里.
5.實數(shù)的大小的比較
有理數(shù)大小的比較法則在實數(shù)范圍內(nèi)仍然成立.
法則1. 實數(shù)和數(shù)軸上的點一一對應(yīng)，在數(shù)軸上表示的兩個數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù) 大；
法則2．正數(shù)大于0，0大于負數(shù)，正數(shù)大于一切負數(shù)，兩個負數(shù)比較，絕對值大的反而??；
法則3. 兩個數(shù)比較大小常見的方法有：求差法，求商法，倒數(shù)法，估算法，平方法.
知識點03:二次根式的相關(guān)概念和性質(zhì)
1. 二次根式
形如的式子叫做二次根式，如等式子，都叫做二次根式.
細節(jié)剖析：二次根式有意義的條件是，即只有被開方數(shù)時，式子才是二次根式，才有意義.
2.二次根式的性質(zhì)
（1）；
（2）；
（3）.
細節(jié)剖析：（1） 一個非負數(shù)可以寫成它的算術(shù)平方根的平方的形式，即 （），如（）.
（2） 中的取值范圍可以是任意實數(shù)，即不論取何值，一定有意義.
（3）化簡時，先將它化成，再根據(jù)絕對值的意義來進行化簡.
（4）與的異同
不同點：中可以取任何實數(shù)，而中的必須取非負數(shù)；
=，=（）.
相同點：被開方數(shù)都是非負數(shù)，當(dāng)取非負數(shù)時，=.
3. 最簡二次根式
（1）被開方數(shù)是整數(shù)或整式；
（2)被開方數(shù)中不含能開方的因數(shù)或因式.
滿足上述兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式.如等都是最簡二次根式.
細節(jié)剖析：最簡二次根式有兩個要求：（1）被開方數(shù)不含分母；（2）被開方數(shù)中每個因式的指數(shù)都小于根指數(shù)2.
4.同類二次根式
幾個二次根式化成最簡二次根式后，被開方數(shù)相同，這幾個二次根式就叫同類二次根式.
細節(jié)剖析：判斷是否是同類二次根式，一定要化簡到最簡二次根式后，看被開方數(shù)是否相同，再判斷.如與，由于=，與顯然是同類二次根式.
知識點04:二次根式的運算
1. 乘除法
（1）乘除法法則：
細節(jié)剖析：（1）當(dāng)二次根式的前面有系數(shù)時，可類比單項式與單項式相乘（或相除）的法則，如.
（2）被開方數(shù)一定是非負數(shù)（在分母上時只能為正數(shù)）.
如.
2.加減法
將二次根式化為最簡二次根式后，將同類二次根式的系數(shù)相加減，被開方數(shù)和根指數(shù)不變，即合并同類二次根式.
細節(jié)剖析：二次根式相加減時，要先將各個二次根式化成最簡二次根式，再找出同類二次根式，最后合并同類二次根式.如.
考點提優(yōu)練
考點01：非負數(shù)的性質(zhì)：算術(shù)平方根
1．（2023春?密山市期末）若a，b為實數(shù)，且|a+1|+＝0，則﹣（﹣ab）2018的值是（ ）
A．1B．2018C．﹣1D．﹣2018
解：∵|a+1|+＝0，
∴a+1＝0，b﹣1＝0，
∴a＝﹣1，b＝1，
∴﹣（﹣ab）2018＝﹣[﹣（﹣1）×1）]2018＝﹣1，
故選：C．
2．已知x，y為實數(shù)，則代數(shù)式++的最小值是（ ）
A．2B．3C．D．
解：如圖，
設(shè)P（x，0），Q（0，y），A（﹣1，2），B（3，﹣3），
則代數(shù)式表示AQ+PB+PQ，
當(dāng)A，Q，P，B四點共線時，AQ+PB+PQ取最小值，
即AB＝＝，
故選：D．
3．（2022春?禮縣期末）已知，則ab＝ 1 ．
解：由題意得，a﹣1＝0，8﹣b＝0，
解得a＝1，b＝8，
所以，ab＝18＝1．
故答案為：1．
4．（2022春?東莞市期中）已知和|y﹣|互為相反數(shù)，則x＝ ﹣3 ，y＝ ．
解：∵和|y﹣|互為相反數(shù)，
∴+|y﹣|＝0
∴2x+6＝0，y﹣＝0，
解得x＝﹣3，y＝，
故答案為﹣3，．
5．（2023春?鼓樓區(qū)校級期中）已知|7﹣3m|+（5﹣n）2＝3m﹣7﹣，求（）2．
解：根據(jù)條件得：|7﹣3m|+（5﹣n）2+＝3m﹣7，
根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)得：3m﹣7≥0，
∴7﹣3m≤0，
∴3m﹣7+（5﹣n）2+＝3m﹣7，
∴（5﹣n）2+＝0，
∴5﹣n＝0，m﹣4＝0，
∴m＝4，n＝5，
∴原式＝m﹣2×+n
＝4﹣2×2×+5
＝9﹣4．
6．（2023春?大冶市期中）已知：實數(shù)a、b滿足條件+（ab﹣2）2＝0．
試求的值．
解：∵+（ab﹣2）2＝0，
∴a﹣1＝0，ab﹣1＝0，
解得，a＝1，b＝2，
∴+++…+
＝++…+
＝1﹣+﹣+…﹣
＝1﹣
＝．
考點02：立方根
7．（2022春?越秀區(qū)校級期末）下列計算正確的是（ ）
A．B．4a﹣a＝3C．|a|﹣a＝0D．
解：∵＝3，
∴A選項的計算不正確；
∵4a﹣a＝3a，
∴B選項的計算不正確；
∵|a|﹣a＝，
∴C選項的運算不正確；
∵＝﹣1，
∴D選項的計算正確，
故選：D．
8．（2022春?同安區(qū)期中）已知，則＝ 1 ．
解：∵a2＝81，
∴a＝±9．
∵＝﹣2，
∴b＝﹣8．
∵b﹣a≥0，
∴a＝﹣9，b＝﹣8．
∴＝＝1．
故答案為：1．
9．（2022春?康巴什期末）有一個數(shù)值轉(zhuǎn)換器，流程如下：
當(dāng)輸入的x值為64時，輸出的y值是 ．
解：＝8，是有理數(shù)，8的立方根是2，是有理數(shù)，2的算術(shù)平方根是．
故答案為：．
10．（2022春?靜海區(qū)校級期中）已知5x+2的立方根是3，3x+y﹣1的算術(shù)平方根是4．求：
（1）x、y的值；
（2）3x﹣2y﹣2的平方根．
解：（1）由題意得，，．
∴5x+2＝27，3x+y﹣1＝16．
∴x＝5，y＝2．
（2）由（1）得，x＝5，y＝2．
∴3x﹣2y﹣2＝15﹣4﹣2＝9．
∴3x﹣2y﹣2的平方根是．
11．（2022?南京模擬）求下列各式中的x：
（1）4x2﹣49＝0；
（2）；
（3）25x2﹣64＝0；
（4）343（x+3）3+27＝0．
解：（1）4x2﹣49＝0，
∴4x2＝49，
即：，
∴；
（2），
∴，
∴，
解得：；
（3）25x2﹣64＝0，
∴25x2＝64，
即：，
解得：；
（4）343（x+3）3+27＝0，
∴343（x+3）3＝﹣27，
即：，
∴，
解得：．
12．（2022春?黃岡期中）觀察下列計算過程，猜想立方根．
13＝123＝833＝2743＝6453＝12563＝216 73＝343 83＝51293＝729
（1）小明是這樣試求出19683的立方根的．先估計19683的立方根的個位數(shù)，猜想它的個位數(shù)為 7 ，又由203＜19000＜303，猜想19683的立方根十位數(shù)為 2 ，驗證得19683的立方根是 27
（2）請你根據(jù)（1）中小明的方法，完成如下填空：
①＝ 49 ； ②＝ ﹣72 ；③＝ 0.81 ．
解：（1）先估計19683的立方根的個位數(shù)，猜想它的個位數(shù)為7，又由203＜19000＜303，猜想19683的立方根十位數(shù)為2，驗證得19683的立方根是27
（2）①＝49； ②＝﹣72；③＝0.81．
故答案為：（1）7，2，27；（2）49，﹣72，0.81．
考點03：數(shù)軸
13．（2022春?集美區(qū)期末）數(shù)軸上的點A，B，O表示的數(shù)分別為a，b，0，其中a＞0，ab＜0，且|a|＜2|b|，M是OA中點，線段BM上僅有2個表示整數(shù)的點．若a﹣2b﹣2＝2，則整數(shù)c不可能是（ ）
A．1B．2C．3D．4
解：∵a＞0，ab＜0，且|a|＜2|b|，
∴b＜0，且|b|＞|a|，即OB＞a，
∵M是OA中點，
∴OM＝a，點M表示的數(shù)為a，
∴OB＞OM，
∵線段BM上僅有2個表示整數(shù)的點，
∴線段OM上除了0沒有其他表示整數(shù)的點，線段BM上有2個表示整數(shù)的點0和﹣1，
∴a＜1，﹣2＜b＜﹣1，
∴a＜2，2＜﹣2b＜4，
∴a+2＜a﹣2b＜a+4，
∴a＜a﹣2b﹣2＜a+2，
∵a﹣2b﹣2＝2，
∴a＜2＜a+2，
∵0＜a＜2，且c為整數(shù)，
∴0＜c＜4，
∴c不可能是4．
故選：D．
14．（2022?城廂區(qū)校級一模）實數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的對應(yīng)點的位置如圖所示，下列選項正確的是（ ）
A．|c|＞|a|B．c﹣a＝b﹣a+b﹣c
C．a(chǎn)+b+c＝0D．|a﹣b|＝|a﹣c|﹣|b﹣c|
解：由數(shù)軸可知，a＜﹣3＜0＜b＜2＜c，
∴|c|＜|a|，故A選項錯誤；
∵b≠c，
∴2b≠2c，
∴c﹣a≠b﹣a+b﹣c，故B選項錯誤；
∵a＜﹣3＜0＜b＜2＜c，a，b，c不是整數(shù)，且不確定，
∴a+b+c的值不能確定為0，故C選項錯誤；
∵|a﹣b|＝b﹣a，|a﹣c|﹣|b﹣c|＝c﹣a﹣（c﹣b）＝b﹣a，
∴|a﹣b|＝|a﹣c|﹣|b﹣c|，故D選項正確；
故選：D．
15．（2019秋?松滋市期末）如圖，O，A，B，C四點在數(shù)軸上，其中O為原點，且AC＝2，OA＝2OB，若C點所表示的數(shù)為m，則B點所表示的數(shù)正確的是（ ）
A．﹣2（m+2）B．C．D．
解：由點A、B、C在數(shù)軸上的位置，AC＝2，若C點所表示的數(shù)為m，
∴點A表示的數(shù)為m﹣2，
∴OA＝|m﹣2|＝2﹣m
∵OA＝2OB，
∴OB＝OA＝，
故選：D．
16．（2023秋?鋼城區(qū)期末）如圖，在數(shù)軸上點A表示的數(shù)是4、點P表示的數(shù)是1，線段AB⊥AP，AB＝1，以點P為圓心，PB長為半徑畫弧交數(shù)軸于點C，則點C表示的數(shù)是 1﹣ ．
解：在Rt△ABP中，根據(jù)勾股定理得：PB＝，
∵，
∴C到原點的距離為，
∵C在原點的左側(cè)，
∴．
故答案為：1﹣．
17．（2022春?沙灣縣期末）如圖，CB＝1，OC＝2，且OA＝OB，BC⊥OC，則點A在數(shù)軸上表示的實數(shù)是 ﹣ ．
解：由勾股定理得：OB＝＝，
點A在數(shù)軸上表示的實數(shù)是﹣，
故答案為：﹣．
18．（2023秋?義烏市期末）如圖，已知實數(shù)a（a＞0）表示在數(shù)軸上對應(yīng)的位置為點P．現(xiàn)對點P進行如下操作：先把點P沿數(shù)軸以每秒1個單位的速度向左移動t秒，再把所得到的點沿數(shù)軸以每秒2個單位的速度向右移動a秒，得到點P'．我們把這樣的操作稱為點P的“回移”，點P'為點P的“回移點”．
（1）當(dāng)t＝2時，
①若a＝4，求點P的回移點P'表示的實數(shù)；
②若回移點P'與點P恰好重合，求a的值；
（2）是否存在這樣的情況：原點O，點P及其回移點P'中，一個點是以另外兩點的端點的線段的三等分點？若存在，請用含a的代數(shù)式表示t；若不存在，請說明理由．
解：（1）①t＝2，a＝4時，回移點P'表示的實數(shù)是4﹣2×1+2×4＝10；
②t＝2時，回移點P'表示的實數(shù)是a﹣2×1+2a＝3a﹣2，
∵回移點P'與點P恰好重合，
∴3a﹣2＝a，
解得a＝1，
答：a的值是1；
（2）存在原點O，點P及其回移點P'中，一個點是以另外兩點的端點的線段的三等分點，
根據(jù)題意，P表示的數(shù)是a，O表示的數(shù)是0，P'表示的數(shù)是a﹣t+2a＝3a﹣t，
∴OP＝a，OP'＝|3a﹣t|，PP'＝|2a﹣t|，
當(dāng)O為PP'三等分點時，OP'＝2OP或OP'＝OP，
∴|3a﹣t|＝2a或|3a﹣t|＝a，
解得t＝a（不符合題意，舍去）或t＝5a或t＝a（不符合題意，舍去）或t＝a；
當(dāng)P'是OP的三等分點時，OP'＝2PP'或OP'＝PP'，
∴|3a﹣t|＝2|2a﹣t|或|3a﹣t|＝|2a﹣t|，
解得t＝a（不符合題意，舍去）或t＝a或t＝4a（不符合題意，舍去）或t＝a，
當(dāng)P為OP'的三等分點時，OP＝2PP'或OP＝PP'，
∴a＝2|2a﹣t|或a＝|2a﹣t|，
解得t＝a或t＝a（不符合題意，舍去）或t＝4a（不符合題意，舍去）或t＝0（不符合題意，舍去），
綜上所述，t＝5a或t＝a或t＝a或t＝a或t＝a．
19．（2023秋?濟寧期末）已知，如圖，實數(shù)a，b，c在數(shù)軸上表示的點分別是點A，B，C，且a，b，c滿足（a+8）2+（b+2）2+|c﹣3|＝0．
（1）求a，b，c的值；
（2）若點A沿數(shù)軸向左以每秒1個單位的速度運動，點B和點C沿數(shù)軸向右運動，速度分別是2個單位/秒，3個單位秒．設(shè)運動時間為t（秒）．
①2秒后，點A，B，C表示的數(shù)分別是 ﹣10 ， 2 ， 9 ；
②運動t秒后，求點B和點C之間的距離（用“BC”表示）和點A和點B之間的距離（用“AB”表示）；（用含t的代數(shù)式表示）
③在②的基礎(chǔ)上，請問：3BC﹣AB的值是否隨著時間t的變化而變化？若不變化，求這個不變的值；若變化，求這個值的變化范圍．
解：（1）∵a、b、c滿足（a+8）2+（b+2）2+|c﹣3|＝0，
∴a+8＝0，b+2＝0，c﹣3＝0，
解得a＝﹣8，b＝﹣2，c＝3，
答：a＝﹣8，b＝﹣2，c＝3；
（2）∵A 表示的數(shù)為﹣8，B表示的數(shù)為﹣2，C表示的數(shù)為3，
又∵點A沿數(shù)軸向左以每秒1個單位的速度運動，點B和點C沿數(shù)軸向右運動，速度分別是2個單位/秒、3個單位/秒，
∴t秒后A表示的數(shù)為﹣8﹣t、B表示的數(shù)為﹣2+2t、C表示的數(shù)為3+3t，
①2秒后，A表示﹣8﹣2＝﹣10，B表示﹣2+4＝2，C 表示3+6＝9，
故答案為：﹣10，2，9；
②t秒后，B點始終在C點的左側(cè)，∴BC＝3+3t﹣（﹣2+2t）＝t+5，
B點始終在A點的右側(cè)，∴AB＝﹣2+2t﹣（﹣8﹣t）＝3t+6，
所以BC＝t+5，AB＝3t+6；
③∵3BC﹣AB＝3（t+5）﹣（3t+6）＝3t+15﹣3t﹣6＝9是定值，
∴3BC﹣AB的值不隨著時間t的變化而變化，始終是9．
考點04：實數(shù)的大小比較
20．（2022春?五華區(qū)校級期中）在﹣1，π，﹣，3.14四個數(shù)中，最小的數(shù)是（ ）
A．﹣1B．πC．﹣D．3.14
解：∵1＜，
∴﹣1＞﹣，
∴﹣＜﹣1＜3.14＜π，
∴最小的數(shù)是﹣，
故選：C．
21．（2022?雁塔區(qū)校級模擬）下面四個數(shù)中，最小的數(shù)是（ ）
A．﹣1B．C．0D．﹣3
解：∵﹣3＜﹣1＜0＜，
∴其中最小的數(shù)是﹣3．
故選：D．
22．（2023秋?鼓樓區(qū)校級期末）比較3和5的大?。? ＜ 5（用“＞”或“＜”連接）．
解：3＝，5＝，
∵45＜50，
∴3＜5，
故答案為：＜．
23．（2022春?高新區(qū)期中）已知a是大于1的實數(shù)，且有a3+a﹣3＝p，a3﹣a﹣3＝q成立．
（1）若p+q＝4，求p﹣q的值；
（2）當(dāng)q2＝22n+﹣2（n≥1，且n是整數(shù)）時，求p（用n表示）；
（3）在（2）的條件下比較p與（a3+）的大小，并說明理由．
解：（1）∵a3+a﹣3＝p①，a3﹣a﹣3＝q②，
∴①+②得，2a3＝p+q＝4，
∴a3＝2；
①﹣②得，p﹣q＝2a﹣3＝2×＝1．
（2）∵q2＝22n+2﹣2n﹣2（n≥1，且n是整數(shù)），
∴q2＝（2n﹣2﹣n）2，
∴q＝2n﹣2﹣n，
又由（1）中①+②得2a3＝p+q，a3＝（p+q），
①﹣②得2a﹣3＝p﹣q，a﹣3＝（p﹣q），
∴p2﹣q2＝4，
p2＝q2+4＝（2n+2﹣n）2，
∴p＝2n+2﹣n；
（3）a3+a﹣3＝2n+2﹣n③，
a3﹣a﹣3＝2n﹣2﹣n④，
∴③+④得2a3＝2×2n，
∴a3＝2n，
∴p﹣（a3+）＝2n+2﹣n﹣2n﹣＝2﹣n﹣，
當(dāng)n＝1時，p＞a3+；
當(dāng)n＝2時，p＝a3+；
當(dāng)n≥3時，p＜a3+．
24．（2022?南京模擬）請完成以下問題
（1）有理數(shù)a，b，c所對應(yīng)的點在數(shù)軸上的位置如圖所示，試比較a，﹣a，b，﹣b，c，﹣c，0的大小，并用“＜”連接．
（2）有理數(shù)a、b、m、n、x滿足下列條件：a與b互為倒數(shù)，m與n互為相反數(shù)，x的絕對值為最小的正整數(shù)，求2021（m+n）+2020x3﹣2019ab的值．
解：（1）將﹣a，﹣b，﹣c在數(shù)軸上表示出來如下：
∵在數(shù)軸上右邊的總比左邊的大，
∴a，﹣a，b，﹣b，c，﹣c用“＜”連接如下：
c＜b＜a＜0＜﹣a＜﹣b＜﹣c．
（2）∵a與b互為倒數(shù)，
∴ab＝1；
∵m與n互為相反數(shù)，
∴m+n＝0；
∵x的絕對值為最小的正整數(shù)，
∴x＝±1，
∴當(dāng)x＝1時，
原式＝2012×0+2020×13﹣2019×1
＝2020﹣2019
＝1；
當(dāng)x＝﹣1時，
原式＝2012×0+2020×（﹣1）3﹣2019×1
＝﹣2020﹣2019
＝﹣4039．
綜上，2021（m+n）+2020x3﹣2019ab的值為1或﹣4039．
25．（2019春?磁縣期末）（1）求出下列各數(shù)：①2的算術(shù)平方根；②﹣27的立方根；③的平方根．
（2）將（1）中求出的每個數(shù)準(zhǔn)確地表示在數(shù)軸上，將這些數(shù)按從小到大的順序排列，并用“＜”連接．
解（1）①2的算術(shù)平方根是；
②﹣27的立方根是﹣3；
③＝4，4的平方根是±2．
（2）將（1）中求出的每個數(shù)表示在數(shù)軸上如下：
用“＜”連接為：﹣3＜﹣2＜＜2．考點
考點05：實數(shù)的運算
26．（2022?夏邑縣模擬）下列運算正確的是（ ）
A．2÷（﹣6）﹣1＝﹣3B．﹣3×20220＝﹣3
C．D．
解：A、原式＝2÷（﹣）＝2×（﹣6）＝﹣12，不符合題意；
B、原式＝﹣3×1＝﹣3，符合題意；
C、原式＝3﹣2＝，不符合題意；
D、原式＝﹣3，不符合題意．
故選：B．
27．（2022春?東莞市期中）下圖是一個簡單的數(shù)值運算程序，當(dāng)輸入x的值為16時，輸出的數(shù)值為 3 ．
解：將x＝16代入計算程序得，
+1＝+1＝2+1＝3，
故答案為：3．
28．（2022?南崗區(qū)校級模擬）計算（﹣）0﹣的結(jié)果是 ﹣1 ．
解：原式＝1﹣2＝﹣1．
故答案為：﹣1．
29．（2022春?靜海區(qū)校級期中）計算：
（1）；
（2）．
解：（1）
＝2﹣（﹣2）+5
＝2+2+5
＝9；
（2）
＝﹣1+4﹣
＝3．
30．（2022春?倉山區(qū)校級期中）先閱讀，然后解答提出的問題：
設(shè)a，b是有理數(shù)，且滿足a+b＝3﹣2，求ba的值．
解：由題意得（a﹣3）+（b+2）＝0，因為a，b都是有理數(shù)，所以a﹣3，b+2也是有理數(shù)，由于是無理數(shù)，所以a﹣3＝0，b+2＝0，所以a＝3，b＝﹣2，所以ba＝（﹣2）3＝﹣8．
問題：設(shè)x，y都是有理數(shù)，且滿足x2﹣2y+y＝8+4，求xy的值．
解：∵x2﹣2y+y＝8+4，
∴（x2﹣2y﹣8）+（y﹣4）＝0，
∴x2﹣2y﹣8＝0，y﹣4＝0，
解得：y＝4，x＝±4，
∴當(dāng)x＝4，y＝4時，xy＝4×4＝16；
當(dāng)x＝﹣4，y＝4時，xy＝（﹣4）×4＝﹣16；
綜上所述，xy的值為±16．
31．（2022?鼓樓區(qū)校級開學(xué)）計算：
（1）（）2+﹣﹣82；
（2）﹣（﹣1）2﹣（π﹣1）0+2﹣1．
解：（1）原式＝9﹣4﹣17﹣64
＝9﹣85
＝﹣76；
（2）原式＝2﹣1﹣1+
＝．
考點06：二次根式的性質(zhì)與化簡
32．（2022春?藁城區(qū)校級期中）與結(jié)果相同的是（ ）
A．a(chǎn)﹣bB．a(chǎn)+bC．b﹣aD．|a﹣b|
解：
＝
＝|a﹣b|．
故選：D．
33．（2022?內(nèi)蒙古）實數(shù)a在數(shù)軸上的對應(yīng)位置如圖所示，則+1+|a﹣1|的化簡結(jié)果是（ ）
A．1B．2C．2aD．1﹣2a
解：根據(jù)數(shù)軸得：0＜a＜1，
∴a＞0，a﹣1＜0，
∴原式＝|a|+1+1﹣a
＝a+1+1﹣a
＝2．
故選：B．
34．（2022?遂寧）實數(shù)a、b在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡|a+1|﹣+＝ 2 ．
解：由數(shù)軸可得，
﹣1＜a＜0，1＜b＜2，
∴a+1＞0，b﹣1＞0，a﹣b＜0，
∴|a+1|﹣+
＝a+1﹣（b﹣1）+（b﹣a）
＝a+1﹣b+1+b﹣a
＝2，
故答案為：2．
35．（2022春?姜堰區(qū)月考）將a根號外面的式子移到根號內(nèi)是 ．
解：a＝﹣（﹣a）＝﹣＝﹣．
故答案為：．
36．（2022秋?晉江市月考）材料一：定義：（x，y為正整數(shù)）．
材料二：觀察、思考、解答：；反之3﹣2．
∴3﹣2；
∴﹣1．
（1）仿照材料二，化簡：；
（2）結(jié)合兩個材料，若（a，b，m，n均為正整數(shù)），用含m、n的代數(shù)式分別表示a和b；
（3）由上述m、n與a、b的關(guān)系，當(dāng)a＝4，b＝3時，求m2+n2的值．
解：（1）
＝
＝
＝
＝﹣1．
（2）綜合兩個材料：當(dāng)若（a，b，m，n均為正整數(shù)），
則m+n＝a，mn＝b．
（3）由于m、n、a、b滿足（a，b，m，n均為正整數(shù)），
∴m+n＝4，mn＝3．
∴m2+n2＝（m+n）2﹣2mn
＝16﹣2×3
＝10．
37．（2022春?鄖西縣期末）像，…這樣的根式叫做復(fù)合二次根式．有一些復(fù)合二次根式可以借助構(gòu)造完全平方式進行化簡，如：＝．再如：＝．請用上述方法探索并解決下列問題：
（1）化簡：；
（2）化簡：．
（3）若a+6＝（m+n）2，且a，m，n為正整數(shù)，求a的值．
解：（1）＝＝＝；
（2）＝＝＝2﹣；
（3）∵a+6＝（m+n）2＝m2+5n2+2mn，
∴a＝m2+5n2且2mn＝6，
∴a＝m2+5n2且mn＝3，
∵a，m，n為正整數(shù)，
∴當(dāng)m＝1，n＝3時a＝46；
當(dāng)m＝3，n＝1時，a＝14．
所以a的值為：14或46．
考點07：二次根式的混合運算
38．（2022春?潁州區(qū)期末）下列運算正確的是（ ）
A．+＝B．2×＝6C．÷＝2D．3﹣＝3
解：A．和不能合并，故本選項不符合題意；
B．2＝2，故本選項不符合題意；
C．÷
＝
＝
＝2，故本選項符合題意；
D．3﹣＝2，故本選項不符合題意；
故選：C．
39．（2022?南京模擬）下列計算正確的是（ ）
A．÷＝4B．﹣＝C．2+＝2D．×＝
解：A．÷＝2÷＝2，此選項不符合題意；
B．與不是同類二次根式，不能合并，此選項不符合題意；
C．2與不是同類二次根式，不能合并，此選項不符合題意；
D．×＝＝，此選項符合題意；
故選：D．
40．（2022?江北區(qū)開學(xué)）若a+6，當(dāng)a，m，n均為正整數(shù)時，則的值為 2或2 ．
解：∵a+6，
∴a+6＝m2+2nm+3n2（a，m，n均為整數(shù)），
∴a＝m2+3n2，2mn＝6，
∴mn＝3，
①m＝1，n＝3，a＝28，
②m＝3，n＝1，a＝12，
故的值為2或2．
41．（2022?南京模擬）計算：
（1）；
（2）．
解：（1）原式＝
＝﹣1+3
＝2；
（2）原式＝
＝
＝．
42．（2022春?宿豫區(qū)期末）觀察下列計算：．
＝＝＝﹣1，
＝＝＝﹣，
＝＝＝﹣，
（1）運用上面的計算方法化簡（n為正整數(shù)）；
（2）利用上面的結(jié)論計算：（+++…+）（1+）；
（3）計算：++．
解：（1）
＝
＝
＝；
（2）（+++…+）（1+）
＝（+++…+）（1+）
＝（﹣1）（1+）
＝2022﹣1
＝2021；
（3）++
＝++
＝﹣1++
＝﹣1．
43．（2022春?安慶期末）計算：
（1）÷+2×﹣（2+）2
（2）（﹣）﹣2﹣（﹣1）2012×﹣+
解：（1）原式＝+2﹣（8+4+3）
＝4+2﹣11﹣4
＝﹣7﹣2；
（2）原式＝4﹣1×1﹣4+5
＝4﹣1﹣4+5
＝4．
考點08：二次根式的化簡求值
44．（2022春?嶧城區(qū)期末）已知x＝﹣1，y＝+1，則分式的值是（ ）
A．2B．C．4D．2
解：
＝
＝x+y，
當(dāng)x＝﹣1，y＝+1時，
原式＝﹣1++1
＝2．
故選：D．
45．（2023秋?天河區(qū)校級月考）已知x＝，則x6﹣2的值為（ ）
A．0B．1C．D．
解：∵x＝，
∴x＝，
∴x6﹣2
＝+x（）﹣
＝+x﹣
＝+x﹣
＝
＝x﹣
＝
＝．
故選：C．
46．（2022春?臨西縣期末）已知x＝4+，y＝4﹣．
（1）x+y＝ 8 ．
（2）求x2+xy+y2的值為 53 ．
解：（1）∵x＝4+，y＝4﹣，
∴x+y＝4++4﹣＝8，
故答案為：8；
（2）∵x＝4+，y＝4﹣，
∴xy＝（4+）×（4﹣）＝16﹣5＝11，
∵x+y＝8，
∴x2+xy+y2
＝（x+y）2﹣xy
＝82﹣11
＝64﹣11
＝53，
故答案為：53．
47．（2022?雄縣一模）已知，．則
（1）x2+y2＝ 14 ．
（2）（x﹣y）2﹣xy＝ 11 ．
解：（1）∵x＝＝＝2﹣，y＝2+，
∴x﹣y＝（2﹣）﹣（2+）＝﹣2，xy＝（2﹣）×（2+）＝4﹣3＝1，
∴x2+y2＝（x﹣y）2+2xy＝（﹣2）2+2×1＝12+2＝14，
故答案為：14；
（2）由（1）知：x﹣y＝﹣2，xy＝1，
所以（x﹣y）2﹣xy＝（﹣2）2﹣1＝12﹣1＝11，
故答案為：11．
48．（2022?南京模擬）已知，，求的值．
解：∵＝＝+2，＝＝﹣2，
∴ab＝（+2）×（﹣2）＝5﹣4＝1，a+b＝+2+﹣2＝2，
∴
＝
＝
＝
＝（2）2﹣2
＝20﹣2
＝18．
49．（2022春?臨汾期末）（1）計算：6+（+1）（﹣1）．
（2）下面是夏紅同學(xué)對題目的計算過程，請認真閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù)．
題目：已知x＝，求x+1﹣的值．
原式＝…第一步
＝…第二步
＝．…第三步
把x＝代入上式，得
原式＝…第四步
＝…第五步
＝﹣1…第六步
任務(wù)一：填空：
①在化簡步驟中，第 一 步是進行分式的通分．
②第 五 步開始出錯，這一錯誤的原因是 分子沒有乘（+1） ．
任務(wù)二：請直接寫出該題計算后的正確結(jié)果．
解：（1）6+（+1）（﹣1）
＝6+5﹣1
＝10；
（2）任務(wù)一：填空：
①在化簡步驟中，第一步是進行分式的通分．
故答案為：一；
②第五步開始出錯，這一錯誤的原因是分子沒有乘（+1），
故答案為：五，分子沒有乘（+1）；
任務(wù)二：﹣1﹣，
計算過程為：原式＝
＝
＝．
當(dāng)x＝時，原式＝＝＝﹣1﹣．
考點09：二次根式的應(yīng)用．
（2022春?內(nèi)黃縣校級月考）如圖、在一個長方形中無重疊的放入面積分別為16cm2和12cm2的兩張正方形紙片，則圖中空白部分的面積為（ ）
A．（4﹣2）cm2B．（8﹣4）cm2C．（8﹣12）cm2D．8cm2
解：如圖．
由題意知：S正方形ABCH＝HC2＝16cm2，S正方形LMEF＝LM2＝LF2＝12cm2，
∴HC＝4cm，LM＝LF＝2cm．
∴S空白部分＝S矩形HLFG+S矩形MCDE
＝HL?LF+MC?ME
＝HL?LF+MC?LF
＝（HL+MC）?LF
＝（HC﹣LM）?LF
＝（4﹣2）×2
＝（8﹣12）（cm2）．
故選：C．
51．（2022春?高青縣期末）如圖，從一個大正方形中裁去面積為16cm2和24cm2的兩個小正方形，則余下的面積為（ ）
A．16cm2B．40 cm2C．8cm2D．（2+4）cm2
解：從一個大正方形中裁去面積為16cm2和24cm2的兩個小正方形，
大正方形的邊長是+＝4+2，
留下部分（即陰影部分）的面積是（4+2）2﹣16﹣24＝16+16+24﹣16﹣24＝16（cm2）．
故選：A．
52．（2022?湖口縣二模）俊俊和霞霞共同合作將一張長為，寬為1的矩形紙片進行裁剪（共裁剪三次），裁剪出來的圖形剛好是4個等腰三角形（無紙張剩余）．霞霞說：“有一個等腰三角形的腰長是1”；俊俊說：“有一個等腰三角形的腰長是﹣1”；那么另外兩個等腰三角形的腰長可能是 1或或2﹣ ．
解：如圖1方式裁剪，另兩個等腰三角形腰長是或；
如圖2方式裁剪，另兩個等腰三角形腰長都是1．
故答案為：1或或2﹣．
53．（2022春?前郭縣期末）如圖，矩形內(nèi)有兩個相鄰的正方形，其面積分別為2和8，則圖中陰影部分的面積為 2 ．
解：由題意可得，
大正方形的邊長為，小正方形的邊長為，
∴圖中陰影部分的面積為：×（2﹣）＝2，
故答案為：2．
54．（2022春?江寧區(qū)期末）材料閱讀：古希臘的幾何學(xué)家海倫在他的著作《度量》中提出：如果一個三角形的三邊長分別為a，b，c，記p＝，那么三角形的面積為S＝，這一公式稱為海倫公式．
我國南宋時期數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書九章》中提出利用三角形三邊a，b，c，求三角形面積的公式S＝，被稱之為秦九韶公式．
（1）海倫公式與秦九韶公式本質(zhì)上是同一個公式．你同意這種說法嗎？請利用以下數(shù)據(jù)驗證兩公式的一致性．
如圖①，在△ABC中，BC＝a＝7，AC＝b＝5，AB＝c＝6，求△ABC的面積．
（2）在（1）的基礎(chǔ)上，作∠ABC和∠ACB的角平分線交于點O．過點O作OD⊥AB，OD的長為 ．
解：（1）我同意這種說法．
驗證：利用海倫公式：P＝0.5（5+6+7）＝9．
△ABC的面積的面積為：＝6；
利用秦九韶公式：
△ABC的面積的面積為＝6．
∵＝6，
海倫公式與秦九韶公式本質(zhì)上是同一個公式．
（2）∵∠ABC和∠ACB的角平分線交于點O，
∴O為△ABC的內(nèi)心，且O到三角形的三條邊的距離相等，距離為OD的長，設(shè)為x，
∴△ABC的面積等于：0.5×（5+6+7）x＝6，
解得：x＝．
所以O(shè)D的長為：．
故填：．
55．（2023秋?汝州市期末）“欲窮千里目，更上一層樓”，說的是登得高看得遠，如圖，若觀測點的高度為h（單位km），觀測者能看到的最遠距離為d（單位km），則d≈，其中R是地球半徑，通常取6400km．
（1）小麗站在海邊的一塊巖石上，眼睛離海平面的高度h為20m，她觀測到遠處一艘船剛露出海平面，求此時d的值．
（2）判斷下面說法是否正確，并說明理由；
泰山海拔約為1500m，泰山到海邊的最小距離約230km，天氣晴朗時站在泰山之巔可以看到大海．
解：（1）由R＝6400km，h＝0.02km，
得d＝＝＝16（km），
答：此時d的值為16km；
（2）說法是錯誤，
理由：站在泰山之巔，人的身高忽略不計，此時，h＝1.5km，
則d2＝2×1.5×6400＝19200，
2302＝52900，
∵19200＜52900，
∴d＜230，
∴天氣晴朗時站在泰山之巔看不到大海 類型
項目
平方根
立方根
被開方數(shù)
非負數(shù)
任意實數(shù)
符號表示
性質(zhì)
一個正數(shù)有兩個平方根，且互為相反數(shù)；
零的平方根為零；
負數(shù)沒有平方根；
一個正數(shù)有一個正的立方根；
一個負數(shù)有一個負的立方根；
零的立方根是零；
重要結(jié)論
類型
法則
逆用法則
二次根式的乘法
積的算術(shù)平方根化簡公式：
二次根式的除法
商的算術(shù)平方根化簡公式：