2022-2023學(xué)年北師大版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)章節(jié)考點(diǎn)精講精練 第3章《位置與坐標(biāo)》 知識(shí)互聯(lián)網(wǎng) 知識(shí)導(dǎo)航 知識(shí)點(diǎn)01:有序數(shù)對(duì) 把一對(duì)數(shù)按某種特定意義，規(guī)定了順序并放在一起就形成了有序數(shù)對(duì)，人們?cè)谏a(chǎn)生活中經(jīng)常以有序數(shù)對(duì)為工具表達(dá)一個(gè)確定的意思，如某人記錄某個(gè)月不確定周期的零散收入，可用(13，2000)， (17，190)， (21，330)…，表示，其中前一數(shù)表示日期，后一數(shù)表示收入，但更多的人們還是用它來(lái)進(jìn)行空間定位，如：(4，5)，(20，12)，(13，2)，…，用來(lái)表示電影院的座位，其中前一數(shù)表示排數(shù)，后一數(shù)表示座位號(hào). 知識(shí)點(diǎn)02:平面直角坐標(biāo)系 在平面內(nèi)畫(huà)兩條互相垂直、原點(diǎn)重合的數(shù)軸就組成平面直角坐標(biāo)系，如下圖： 細(xì)節(jié)剖析：（1）坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)可以劃分為六個(gè)區(qū)域：x軸，y軸、第一象限、第二象限、第三象限、第四象限，這六個(gè)區(qū)域中，除了x軸與y軸有一個(gè)公共點(diǎn)（原點(diǎn)）外，其他區(qū)域之間均沒(méi)有公共點(diǎn). （2）在平面上建立平面直角坐標(biāo)系后，坐標(biāo)平面上的點(diǎn)與有序數(shù)對(duì)（x，y）之間建立了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，這樣就將‘形’與‘?dāng)?shù)’聯(lián)系起來(lái)，從而實(shí)現(xiàn)了代數(shù)問(wèn)題與幾何問(wèn)題的轉(zhuǎn)化. （3）要熟記坐標(biāo)系中一些特殊點(diǎn)的坐標(biāo)及特征： ① x軸上的點(diǎn)縱坐標(biāo)為零；y軸上的點(diǎn)橫坐標(biāo)為零． ② 平行于x軸直線上的點(diǎn)橫坐標(biāo)不相等，縱坐標(biāo)相等； 平行于y軸直線上的點(diǎn)橫坐標(biāo)相等，縱坐標(biāo)不相等． ③ 關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)橫坐標(biāo)相等，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)； 關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)縱坐標(biāo)相等，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)； 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)橫、縱坐標(biāo)分別互為相反數(shù)． ④ 象限角平分線上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征： 一、三象限角平分線上的點(diǎn)橫、縱坐標(biāo)相等； 二、四象限角平分線上的點(diǎn)橫、縱坐標(biāo)互為相反數(shù)． 注：反之亦成立． （4）理解坐標(biāo)系中用坐標(biāo)表示距離的方法和結(jié)論： ① 坐標(biāo)平面內(nèi)點(diǎn)P(x，y)到x軸的距離為|y|，到y(tǒng)軸的距離為|x|． ② x軸上兩點(diǎn)A(x1，0)、B(x2，0)的距離為AB=|x1 - x2|； y軸上兩點(diǎn)C(0，y1)、D(0，y2)的距離為CD=|y1 - y2|． ③ 平行于x軸的直線上兩點(diǎn)A(x1，y)、B(x2，y)的距離為AB=|x1 - x2|； 平行于y軸的直線上兩點(diǎn)C(x，y1)、D(x，y2)的距離為CD=|y1 - y2|． （5）利用坐標(biāo)系求一些知道關(guān)鍵點(diǎn)坐標(biāo)的幾何圖形的面積：切割、拼補(bǔ) 知識(shí)點(diǎn)03:坐標(biāo)方法的簡(jiǎn)單應(yīng)用 1．用坐標(biāo)表示地理位置 (1)建立坐標(biāo)系，選擇一個(gè)適當(dāng)?shù)膮⒄拯c(diǎn)為原點(diǎn)，確定x軸、y軸的正方向； (2)根據(jù)具體問(wèn)題確定適當(dāng)?shù)谋壤撸谧鴺?biāo)軸上標(biāo)出單位長(zhǎng)度； (3)在坐標(biāo)平面內(nèi)畫(huà)出這些點(diǎn)，寫(xiě)出各點(diǎn)的坐標(biāo)和各個(gè)地點(diǎn)的名稱(chēng)． 細(xì)節(jié)剖析： (1)我們習(xí)慣選取向東、向北分別為x軸、y軸的正方向，建立坐標(biāo)系的關(guān)鍵是確定原點(diǎn)的位置． (2)確定比例尺是畫(huà)平面示意圖的重要環(huán)節(jié)，要結(jié)合比例尺來(lái)確定坐標(biāo)軸上的單位長(zhǎng)度． 2．用坐標(biāo)表示平移 (1)點(diǎn)的平移 點(diǎn)的平移引起坐標(biāo)的變化規(guī)律：在平面直角坐標(biāo)中，將點(diǎn)(x，y)向右(或左)平移a個(gè)單位長(zhǎng)度，可以得到對(duì)應(yīng)點(diǎn)(x+a，y)(或(x-a，y))；將點(diǎn)(x，y)向上(或下)平移b個(gè)單位長(zhǎng)度，可以得到對(duì)應(yīng)點(diǎn)(x，y+b)(或(x，y-b))． 細(xì)節(jié)剖析：上述結(jié)論反之亦成立，即點(diǎn)的坐標(biāo)的上述變化引起的點(diǎn)的平移變換． (2)圖形的平移 在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，如果把一個(gè)圖形各個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)都加(或減去)一個(gè)正數(shù)a，相應(yīng)的新圖形就是把原圖形向右(或向左)平移a個(gè)單位長(zhǎng)度；如果把它各個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)都加(或減去)一個(gè)正數(shù)a，相應(yīng)的新圖形就是把原圖形向上(或向下)平移a個(gè)單位長(zhǎng)度． 細(xì)節(jié)剖析：平移是圖形的整體運(yùn)動(dòng)，某一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)發(fā)生變化，其他點(diǎn)的坐標(biāo)也進(jìn)行了相應(yīng)的變化，反過(guò)來(lái)點(diǎn)的坐標(biāo)發(fā)生了相應(yīng)的變化，也就意味著點(diǎn)的位置也發(fā)生了變化，其變化規(guī)律遵循：“右加左減，縱不變；上加下減，橫不變”． 考點(diǎn)提優(yōu)練 考點(diǎn)01：坐標(biāo)與圖形性質(zhì) 1．（2022春?海安市期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，三角形ABC三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)A（0，4），B（﹣1，b），C（2，c），BC經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，且CD⊥AB，垂足為點(diǎn)D，則AB?CD的值為（　　） A．10 B．11 C．12 D．14 2．（2022春?如東縣期中）在下列四點(diǎn)中，與點(diǎn)（﹣3，4）所連的直線不與y軸相交的是（　?。?A．（﹣2，3） B．（2，﹣3） C．（3，2） D．（﹣3，2） 3．（2022春?鼓樓區(qū)校級(jí)期中）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（x，y），B（4，3），AB＝4，且AB∥y軸，則A點(diǎn)的坐標(biāo)為（　?。?A．（4，7） B．（4，﹣1） C．（0，3），或（8，3） D．（4，7），或（4，﹣1） 4．（2022春?朝陽(yáng)區(qū)校級(jí)月考）教材上曾讓同學(xué)們探索過(guò)線段的中點(diǎn)坐標(biāo)：在平面直角坐標(biāo)系中，有兩點(diǎn)A（x1，y1）、B（x2，y2），所連線段AB的中點(diǎn)是M，則M的坐標(biāo)為（，），如：點(diǎn)A（1，2）、點(diǎn)B（3，6），則線段AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，），即M（2，4）．利用以上結(jié)論解決問(wèn)題：平面直角坐標(biāo)系中，若E（a﹣1，a），F(xiàn)（b，a﹣b），線段EF的中點(diǎn)G恰好位于y軸上，且到x軸的距離是1，則4a+b的值等于 　 ?。?5．（2022春?海滄區(qū)校級(jí)期末）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，若點(diǎn)A（1，3），B（m2+2，3），M（2，3），N（1﹣m2，3），P（m2，3），Q（2﹣m2，3）．當(dāng)m＞1時(shí)，則M，N，P，Q這四點(diǎn)中在線段AB上的點(diǎn)是 　 　． 6．（2022春?東莞市校級(jí)期中）已知點(diǎn)Q（2m﹣6，m+2），試分別根據(jù)下列條件，求出m的值并寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)． （1）若點(diǎn)Q在y軸上，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)． （2）若點(diǎn)Q在∠x(chóng)Oy（即第一象限）角平分線上，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)． 7．（2022春?商南縣期末）如圖，在長(zhǎng)方形OABC中，O為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，點(diǎn)A坐標(biāo)為（a，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，b），且a、b滿(mǎn)足+|b﹣6|＝0，點(diǎn)B在第一象限內(nèi)，點(diǎn)P從原點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿著O→A→B→C→O的線路移動(dòng) （1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)． （2）當(dāng)點(diǎn)P移動(dòng)4秒時(shí)，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)． （3）當(dāng)點(diǎn)P移動(dòng)到距離x軸5個(gè)單位長(zhǎng)度時(shí)，求點(diǎn)P移動(dòng)的時(shí)間． 8．（2022春?海淀區(qū)期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)于點(diǎn)A（x1，y1），點(diǎn)B（x2，y2），定義|x1﹣x2|+|y1﹣y2|為點(diǎn)A，B的“絕對(duì)距離”，記為d（A，B）．特別地，當(dāng)|x1﹣x2|＝|y1﹣y2|時(shí)，規(guī)定d（A，B）＝|x1﹣x2|，將平面內(nèi)的一些點(diǎn)分為I，Ⅱ兩類(lèi)，每類(lèi)至少包含兩個(gè)點(diǎn)，記第I任意兩點(diǎn)的絕對(duì)距離的最大值為d1，第Ⅱ類(lèi)中任意兩點(diǎn)的絕對(duì)距離的最大值為d2，稱(chēng)d1與d2的較大值為分類(lèi)系數(shù)．如圖，點(diǎn)A，B，C，D，E的橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)． （1）若將點(diǎn)A，C分為第I類(lèi)，點(diǎn)B，D，E分為第Ⅱ類(lèi)，則d1＝　 　，d2＝　 　，因此，這種分類(lèi)方式的分類(lèi)系數(shù)為 　 ??； （2）將點(diǎn)A，B，C，D，E分為兩類(lèi)，求分類(lèi)系數(shù)d的最小值： （3）點(diǎn)F的坐標(biāo)為（m，2），已知將6個(gè)點(diǎn)A，B，C，D，E，F(xiàn)分為兩類(lèi)的分類(lèi)系數(shù)的最小值是5，直接寫(xiě)出m的取值范圍． 考點(diǎn)02：兩點(diǎn)間的距離公式 9．（2022春?忠縣期末）當(dāng)點(diǎn)A（x﹣1，3）到點(diǎn)B（﹣2，2y+5）的距離最短時(shí)，點(diǎn)P（x，y）在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 10．（2022春?河西區(qū)期末）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（﹣3，2），B（3，5），C（x，y），若AC∥x軸，則線段BC的最小值及此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)分別為（　?。?A．6，（﹣3，5） B．10，（3，﹣5） C．1，（3，4） D．3，（3，2） 11．（2023春?海淀區(qū)校級(jí)期末）A（0，a），B（3，5）是平面直角坐標(biāo)系中的兩點(diǎn)，線段AB長(zhǎng)度的最小值為 　 ?。?12．（2019春?新余期末）對(duì)于平面直角坐標(biāo)系xOy中的點(diǎn)P（a，b），若點(diǎn)P'的坐標(biāo)為（a+kb，ka+b）（其中k為常數(shù)，且k≠0），則稱(chēng)點(diǎn)P'為點(diǎn)P的“k屬派生點(diǎn)”，例如：P（1，4）的“2屬派生點(diǎn)”為P'（1+2×4，2×1+4），即P′（9，6）．若點(diǎn)P在x軸的正半軸上，點(diǎn)P的“k屬派生點(diǎn)”為點(diǎn)P′，且線段PP′的長(zhǎng)度為線段OP長(zhǎng)度的5倍，則k的值為　 ?。? 13．（2023秋?射陽(yáng)縣校級(jí)期末）閱讀下列一段文字，然后回答下列問(wèn)題： 已知平面內(nèi)兩點(diǎn)M（x1，y1）、N（x2，y2），則這兩點(diǎn)間的距離可用下列公式計(jì)算：MN＝． 例如：已知P（3，1）、Q（1，﹣2），則這兩點(diǎn)的距離PQ＝＝． 特別地，如果兩點(diǎn)M（x1，y1）、N（x2，y2）所在的直線與坐標(biāo)軸重合或平行于坐標(biāo)軸或垂直于坐標(biāo)軸，那么這兩點(diǎn)間的距離公式可簡(jiǎn)化為MN＝|x1﹣x2|或|y1﹣y2|． （1）已知A（1，2）、B（﹣2，﹣3），試求A、B兩點(diǎn)間的距離； （2）已知A、B在平行于y軸的同一條直線上，點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為5，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為﹣1，試求A、B兩點(diǎn)間的距離； （3）已知△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（0，4）、B（﹣1，2）、C（4，2），你能判定△ABC的形狀嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由． 14．（2023?張家界模擬）問(wèn)題情境： 在平面直角坐標(biāo)系xOy中有不重合的兩點(diǎn)A（x1，y1）和點(diǎn)B（x2，y2），小明在學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)，若x1＝x2，則AB∥y軸，且線段AB的長(zhǎng)度為|y1﹣y2|；若y1＝y(tǒng)2，則AB∥x軸，且線段AB的長(zhǎng)度為|x1﹣x2|； 【應(yīng)用】： （1）若點(diǎn)A（﹣1，1）、B（2，1），則AB∥x軸，AB的長(zhǎng)度為 　 ?。?（2）若點(diǎn)C（1，0），且CD∥y軸，且CD＝2，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為 　 ?。?【拓展】： 我們規(guī)定：平面直角坐標(biāo)系中任意不重合的兩點(diǎn)M（x1，y1），N（x2，y2）之間的折線距離為d（M，N）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|；例如：圖1中，點(diǎn)M（﹣1，1）與點(diǎn)N（1，﹣2）之間的折線距離為d（M，N）＝|﹣1﹣1|+|1﹣（﹣2）|＝2+3＝5． 解決下列問(wèn)題： （1）如圖2，已知E（2，0），若F（﹣1，﹣2），則d（E，F(xiàn)） 　 ?。?（2）如圖2，已知E（2，0），H（1，t），若d（E，H）＝3，則t＝　 ?。?（3）如圖3，已知P（3，3），點(diǎn)Q在x軸上，且三角形OPQ的面積為3，則d（P，Q）＝　 　． 15．（2023?安徽模擬）先閱讀下列一段文字，在回答后面的問(wèn)題． 已知在平面內(nèi)兩點(diǎn)P1（x1，y1）、P2（x2，y2），其兩點(diǎn)間的距離公式，同時(shí)，當(dāng)兩點(diǎn)所在的直線在坐標(biāo)軸或平行于坐標(biāo)軸或垂直于坐標(biāo)軸時(shí)，兩點(diǎn)間距離公式可簡(jiǎn)化為|x2﹣x1|或|y2﹣y1|． （1）已知A（2，4）、B（﹣3，﹣8），試求A、B兩點(diǎn)間的距離； （2）已知A、B在平行于y軸的直線上，點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為5，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為﹣1，試求A、B兩點(diǎn)間的距離． （3）已知一個(gè)三角形各頂點(diǎn)坐標(biāo)為A（0，6）、B（﹣3，2）、C（3，2），你能判定此三角形的形狀嗎？說(shuō)明理由． 考點(diǎn)03：關(guān)于x軸、y軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo) 16．（2023秋?歷下區(qū)期末）已知有序數(shù)對(duì)（a，b）及常數(shù)k，我們稱(chēng)有序數(shù)對(duì)（ka+b，a﹣b）為有序數(shù)對(duì)（a，b）的“k階結(jié)伴數(shù)對(duì)”．如（3，2）的“1階結(jié)伴數(shù)”對(duì)為（1×3+2，3﹣2）即（5，1）．若有序數(shù)對(duì)（a，b）（b≠0）與它的“k階結(jié)伴數(shù)對(duì)”關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，則此時(shí)k的值為（　?。?A．﹣2 B．﹣ C．0 D．﹣ 17．（2022春?洛江區(qū)期末）點(diǎn)P（﹣5，3）關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（　?。?A．（﹣5，﹣3） B．（5，3） C．（5，﹣3） D．（3，﹣5 ） 18．（2022?皇姑區(qū)二模）若點(diǎn)A（a﹣2，3）和點(diǎn)B（﹣1，b+5）關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，則點(diǎn)C（a，b）在第　 　象限． 19．（2023秋?溫州期末）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)（﹣1，2）關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是　 ?。?20．（2019秋?昌平區(qū)校級(jí)期末）如圖，請(qǐng)作出△PQR關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的△P1Q1R1，寫(xiě)出它們的坐標(biāo)P1　 　，Q1　 　，R1　 　 21．（2016秋?天橋區(qū)期末）如圖，已知△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（﹣2，4），B（﹣6，0），C（﹣1，0）．請(qǐng)將點(diǎn)A，B，C的橫坐標(biāo)分別乘以﹣1，縱坐標(biāo)保持不變，分別得到點(diǎn)A′，B′，C′，并依次連接A′，B′，C′，得△A′B′C′；并求出△A′B′C′的面積． 22．（2018秋?東湖區(qū)校級(jí)期中）如圖，已知線段AC∥y軸，點(diǎn)B在第一象限，且AO平分∠BAC，AB交y軸于G，連OB、OC． （1）判斷△AOG的形狀，并予以證明； （2）若點(diǎn)B、C關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，求證：AO⊥BO． 23．（2019秋?臺(tái)山市期中）如圖是一個(gè)平面直角坐標(biāo)系，按要求完成下列各小題． （1）寫(xiě)出圖中的多邊形ABCDEF頂點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)； （2）說(shuō)明點(diǎn)B與點(diǎn)C的縱坐標(biāo)有什么特點(diǎn)？線段BC與x軸有怎樣的位置關(guān)系？ （3）寫(xiě)出點(diǎn)E關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E′的坐標(biāo)，并指出點(diǎn)E′與點(diǎn)C有怎樣的位置關(guān)系． 考點(diǎn)04：坐標(biāo)與圖形變化-對(duì)稱(chēng) 24．（2022?邗江區(qū)校級(jí)一模）如圖，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（0，4）、（6，8），點(diǎn)P為x軸上的動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)B關(guān)于直線AP的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B'恰好落在x軸上，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是（　?。? A． B． C．（2，0） D．（3，0） 25．（2023秋?武城縣期末）明明和樂(lè)樂(lè)下棋，明明執(zhí)圓形棋子，樂(lè)樂(lè)執(zhí)方形棋子，如圖，棋盤(pán)中心的方子的位置用（﹣1，0）表示，右下角方子的位置用（0，﹣1）表示，明明將第4枚圓形棋子放入棋盤(pán)后，所有的棋子構(gòu)成軸對(duì)稱(chēng)圖形，則明明放的位置可能是（　　） A．（﹣1，2） B．（﹣1，3） C．（0，2） D．（﹣1，1） 26．（2023秋?豐臺(tái)區(qū)期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)叫做整點(diǎn)．如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，4），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，1），點(diǎn)C為第一象限內(nèi)的整點(diǎn)．若不共線的A，B，C三點(diǎn)構(gòu)成軸對(duì)稱(chēng)圖形，則點(diǎn)C的坐標(biāo)可以是 　 　（寫(xiě)出一個(gè)即可），滿(mǎn)足題意的點(diǎn)C的個(gè)數(shù)為 　 　． 27．（2023秋?鹽田區(qū)校級(jí)期末）欣欣和佳佳下棋，欣欣持圓形棋子，佳佳持方形棋子．若棋盤(pán)正中方形棋子的位置用（2，2）表示，右上角方形棋子的位置用（3，3）表示，要使棋盤(pán)上所有棋子組成軸對(duì)稱(chēng)圖形，則欣欣下一枚圓形棋子的位置是 　 　． 28．（2023?黃石港區(qū)校級(jí)模擬）如圖，點(diǎn)A坐標(biāo)為（0，4），點(diǎn)B坐標(biāo)為（4，2）．直線BC垂直于y軸于點(diǎn)C．點(diǎn)D在直線BC上，點(diǎn)B關(guān)于直線AD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在y軸上，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為　 ?。? 29．（2023秋?江陰市期中）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（2+2m，1），點(diǎn)B（2﹣m，4），其中m為實(shí)數(shù)，點(diǎn)O關(guān)于直線AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為C，則AB的最小值為 　 　，點(diǎn)P（﹣2，0）到點(diǎn)C的最大距離為 　 ?。?30．（2022?和平區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）如圖，已知P（﹣2，4），M（﹣1，1），請(qǐng)根據(jù)每一問(wèn)的要求填空： （1）寫(xiě)出P關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)Q的坐標(biāo) 　 　，M關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)N的坐標(biāo) 　 ?。?（2）寫(xiě)出P關(guān)于x＝1的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)R的坐標(biāo) 　 　，則PR的距離為 　 　； （3）寫(xiě)出M關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)T的坐標(biāo) 　 　，則NT的距離為 　 ?。? 31．（2023秋?峽江縣期末）如圖在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC各頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為：A（4，0），B（﹣1，4），C（﹣3，1） （1）在圖中作△A′B′C′使△A′B′C′和△ABC關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)； （2）寫(xiě)出點(diǎn)A′，B′，C′的坐標(biāo)． 32．（2023秋?建陽(yáng)區(qū)期中）如圖，P，M關(guān)于直線x＝1的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為P′，M′． （1）寫(xiě)出P′的坐標(biāo) 　 　，M′的坐標(biāo) 　 　； （2）思考，寫(xiě)出P（﹣2，4）關(guān)于直線x＝﹣1的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)坐標(biāo) 　 　；寫(xiě)出N′（5，﹣2）關(guān)于直線x＝2的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)坐標(biāo) 　 ??； （3）思考，寫(xiě)出點(diǎn)（a，b）關(guān)于直線x＝n的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)坐標(biāo) 　 ?。? 33．（2019秋?咸豐縣期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l過(guò)點(diǎn)M（3，0），且平行于y軸． （1）如果△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A（﹣2，0），B（﹣1，0），C（﹣1，2），△ABC關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)圖形是△A1B1C1，△A1B1C1關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)圖形是△A2B2C2，寫(xiě)出△A2B2C2的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)； （2）如果點(diǎn)P的坐標(biāo)是（﹣a，0），其中0＜a＜3，點(diǎn)P關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是P1，點(diǎn)P1關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是P2，求PP2的長(zhǎng)． 2022-2023學(xué)年北師大版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)章節(jié)考點(diǎn)精講精練 第3章《位置與坐標(biāo)》 知識(shí)互聯(lián)網(wǎng) 知識(shí)導(dǎo)航 知識(shí)點(diǎn)01:有序數(shù)對(duì) 把一對(duì)數(shù)按某種特定意義，規(guī)定了順序并放在一起就形成了有序數(shù)對(duì)，人們?cè)谏a(chǎn)生活中經(jīng)常以有序數(shù)對(duì)為工具表達(dá)一個(gè)確定的意思，如某人記錄某個(gè)月不確定周期的零散收入，可用(13，2000)， (17，190)， (21，330)…，表示，其中前一數(shù)表示日期，后一數(shù)表示收入，但更多的人們還是用它來(lái)進(jìn)行空間定位，如：(4，5)，(20，12)，(13，2)，…，用來(lái)表示電影院的座位，其中前一數(shù)表示排數(shù)，后一數(shù)表示座位號(hào). 知識(shí)點(diǎn)02:平面直角坐標(biāo)系 在平面內(nèi)畫(huà)兩條互相垂直、原點(diǎn)重合的數(shù)軸就組成平面直角坐標(biāo)系，如下圖： 細(xì)節(jié)剖析：（1）坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)可以劃分為六個(gè)區(qū)域：x軸，y軸、第一象限、第二象限、第三象限、第四象限，這六個(gè)區(qū)域中，除了x軸與y軸有一個(gè)公共點(diǎn)（原點(diǎn)）外，其他區(qū)域之間均沒(méi)有公共點(diǎn). （2）在平面上建立平面直角坐標(biāo)系后，坐標(biāo)平面上的點(diǎn)與有序數(shù)對(duì)（x，y）之間建立了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，這樣就將‘形’與‘?dāng)?shù)’聯(lián)系起來(lái)，從而實(shí)現(xiàn)了代數(shù)問(wèn)題與幾何問(wèn)題的轉(zhuǎn)化. （3）要熟記坐標(biāo)系中一些特殊點(diǎn)的坐標(biāo)及特征： ① x軸上的點(diǎn)縱坐標(biāo)為零；y軸上的點(diǎn)橫坐標(biāo)為零． ② 平行于x軸直線上的點(diǎn)橫坐標(biāo)不相等，縱坐標(biāo)相等； 平行于y軸直線上的點(diǎn)橫坐標(biāo)相等，縱坐標(biāo)不相等． ③ 關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)橫坐標(biāo)相等，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)； 關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)縱坐標(biāo)相等，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)； 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)橫、縱坐標(biāo)分別互為相反數(shù)． ④ 象限角平分線上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征： 一、三象限角平分線上的點(diǎn)橫、縱坐標(biāo)相等； 二、四象限角平分線上的點(diǎn)橫、縱坐標(biāo)互為相反數(shù)． 注：反之亦成立． （4）理解坐標(biāo)系中用坐標(biāo)表示距離的方法和結(jié)論： ① 坐標(biāo)平面內(nèi)點(diǎn)P(x，y)到x軸的距離為|y|，到y(tǒng)軸的距離為|x|． ② x軸上兩點(diǎn)A(x1，0)、B(x2，0)的距離為AB=|x1 - x2|； y軸上兩點(diǎn)C(0，y1)、D(0，y2)的距離為CD=|y1 - y2|． ③ 平行于x軸的直線上兩點(diǎn)A(x1，y)、B(x2，y)的距離為AB=|x1 - x2|； 平行于y軸的直線上兩點(diǎn)C(x，y1)、D(x，y2)的距離為CD=|y1 - y2|． （5）利用坐標(biāo)系求一些知道關(guān)鍵點(diǎn)坐標(biāo)的幾何圖形的面積：切割、拼補(bǔ) 知識(shí)點(diǎn)03:坐標(biāo)方法的簡(jiǎn)單應(yīng)用 1．用坐標(biāo)表示地理位置 (1)建立坐標(biāo)系，選擇一個(gè)適當(dāng)?shù)膮⒄拯c(diǎn)為原點(diǎn)，確定x軸、y軸的正方向； (2)根據(jù)具體問(wèn)題確定適當(dāng)?shù)谋壤?，在坐?biāo)軸上標(biāo)出單位長(zhǎng)度； (3)在坐標(biāo)平面內(nèi)畫(huà)出這些點(diǎn)，寫(xiě)出各點(diǎn)的坐標(biāo)和各個(gè)地點(diǎn)的名稱(chēng)． 細(xì)節(jié)剖析： (1)我們習(xí)慣選取向東、向北分別為x軸、y軸的正方向，建立坐標(biāo)系的關(guān)鍵是確定原點(diǎn)的位置． (2)確定比例尺是畫(huà)平面示意圖的重要環(huán)節(jié)，要結(jié)合比例尺來(lái)確定坐標(biāo)軸上的單位長(zhǎng)度． 2．用坐標(biāo)表示平移 (1)點(diǎn)的平移 點(diǎn)的平移引起坐標(biāo)的變化規(guī)律：在平面直角坐標(biāo)中，將點(diǎn)(x，y)向右(或左)平移a個(gè)單位長(zhǎng)度，可以得到對(duì)應(yīng)點(diǎn)(x+a，y)(或(x-a，y))；將點(diǎn)(x，y)向上(或下)平移b個(gè)單位長(zhǎng)度，可以得到對(duì)應(yīng)點(diǎn)(x，y+b)(或(x，y-b))． 細(xì)節(jié)剖析：上述結(jié)論反之亦成立，即點(diǎn)的坐標(biāo)的上述變化引起的點(diǎn)的平移變換． (2)圖形的平移 在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，如果把一個(gè)圖形各個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)都加(或減去)一個(gè)正數(shù)a，相應(yīng)的新圖形就是把原圖形向右(或向左)平移a個(gè)單位長(zhǎng)度；如果把它各個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)都加(或減去)一個(gè)正數(shù)a，相應(yīng)的新圖形就是把原圖形向上(或向下)平移a個(gè)單位長(zhǎng)度． 細(xì)節(jié)剖析：平移是圖形的整體運(yùn)動(dòng)，某一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)發(fā)生變化，其他點(diǎn)的坐標(biāo)也進(jìn)行了相應(yīng)的變化，反過(guò)來(lái)點(diǎn)的坐標(biāo)發(fā)生了相應(yīng)的變化，也就意味著點(diǎn)的位置也發(fā)生了變化，其變化規(guī)律遵循：“右加左減，縱不變；上加下減，橫不變”． 考點(diǎn)提優(yōu)練 考點(diǎn)01：坐標(biāo)與圖形性質(zhì) 1．（2022春?海安市期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，三角形ABC三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)A（0，4），B（﹣1，b），C（2，c），BC經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，且CD⊥AB，垂足為點(diǎn)D，則AB?CD的值為（　　） A．10 B．11 C．12 D．14 解：∵A（0，4）， ∴OA＝4， ∵B（﹣1，b），C（2，c）， ∴點(diǎn)B，C到y(tǒng)軸的距離分別為1，2， ∵S△ABO+S△ACO＝S△ABC， ∴×4×1+×4×2＝×AB?CD， ∴AB?CD＝12， 故答案為：C． 2．（2022春?如東縣期中）在下列四點(diǎn)中，與點(diǎn)（﹣3，4）所連的直線不與y軸相交的是（　?。?A．（﹣2，3） B．（2，﹣3） C．（3，2） D．（﹣3，2） 解：點(diǎn)（﹣3，4）在第二象限，點(diǎn)（﹣3，2）也在第二象限，兩點(diǎn)的連接線段與x軸，y軸都不相交． 故選：D． 3．（2022春?鼓樓區(qū)校級(jí)期中）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（x，y），B（4，3），AB＝4，且AB∥y軸，則A點(diǎn)的坐標(biāo)為（　　） A．（4，7） B．（4，﹣1） C．（0，3），或（8，3） D．（4，7），或（4，﹣1） 解：∵AB∥y軸， ∴A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同， 又∵AB＝4， ∴B點(diǎn)縱坐標(biāo)為：3+4＝7或3﹣4＝﹣1， ∴B點(diǎn)的坐標(biāo)為：（4，7）或（4，﹣1）． 故選：D． 4．（2022春?朝陽(yáng)區(qū)校級(jí)月考）教材上曾讓同學(xué)們探索過(guò)線段的中點(diǎn)坐標(biāo)：在平面直角坐標(biāo)系中，有兩點(diǎn)A（x1，y1）、B（x2，y2），所連線段AB的中點(diǎn)是M，則M的坐標(biāo)為（，），如：點(diǎn)A（1，2）、點(diǎn)B（3，6），則線段AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，），即M（2，4）．利用以上結(jié)論解決問(wèn)題：平面直角坐標(biāo)系中，若E（a﹣1，a），F(xiàn)（b，a﹣b），線段EF的中點(diǎn)G恰好位于y軸上，且到x軸的距離是1，則4a+b的值等于 　4或0?。?解：根據(jù)題意得：G（，）， ∵線段EF的中點(diǎn)G恰好位于y軸上，且到x軸的距離是1， ∴， 解得：4a+b＝4或0． 故答案為：4或0． 5．（2022春?海滄區(qū)校級(jí)期末）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，若點(diǎn)A（1，3），B（m2+2，3），M（2，3），N（1﹣m2，3），P（m2，3），Q（2﹣m2，3）．當(dāng)m＞1時(shí)，則M，N，P，Q這四點(diǎn)中在線段AB上的點(diǎn)是 　M，P?。?解：∵這六個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)都是3， ∴它們都在直線AB上，與x軸平行， ∵m＞1， ∴m2＞1， ∴1＜2＜m2+2，1﹣m2＜0，1＜m2＜m2+2，2﹣m2＜1， ∴M，N，P，Q這四點(diǎn)中在線段AB上的點(diǎn)是M，P． 故答案為：M，P． 6．（2022春?東莞市校級(jí)期中）已知點(diǎn)Q（2m﹣6，m+2），試分別根據(jù)下列條件，求出m的值并寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)． （1）若點(diǎn)Q在y軸上，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)． （2）若點(diǎn)Q在∠x(chóng)Oy（即第一象限）角平分線上，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)． 解：（1）點(diǎn)Q在y軸上，則2m﹣6＝0， 解得m＝3． 所以m+2＝5， 故Q點(diǎn)的坐標(biāo)是（0，5）； （2）當(dāng)點(diǎn)Q在∠x(chóng)Oy（即第一象限）角平分線上，有2m﹣6＝m+2， 解得m＝8． 所以2m﹣6＝10． 故Q點(diǎn)的坐標(biāo)是（10，10）． 7．（2022春?商南縣期末）如圖，在長(zhǎng)方形OABC中，O為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，點(diǎn)A坐標(biāo)為（a，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，b），且a、b滿(mǎn)足+|b﹣6|＝0，點(diǎn)B在第一象限內(nèi)，點(diǎn)P從原點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿著O→A→B→C→O的線路移動(dòng) （1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)． （2）當(dāng)點(diǎn)P移動(dòng)4秒時(shí)，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)． （3）當(dāng)點(diǎn)P移動(dòng)到距離x軸5個(gè)單位長(zhǎng)度時(shí)，求點(diǎn)P移動(dòng)的時(shí)間． 解：（1）∵a、b滿(mǎn)足+|b﹣6|＝0， ∴a﹣4＝0，b﹣6＝0， 解得a＝4，b＝6， ∴點(diǎn)B的坐標(biāo)是（4，6）； （2）∵點(diǎn)P從原點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿著O→A→B→C→O的線路移動(dòng)， ∴點(diǎn)P的路程：2×4＝8， ∵OA＝4，OC＝6， ∴當(dāng)點(diǎn)P移動(dòng)4秒時(shí)，在線段AB上，AP＝8﹣4＝4， 即當(dāng)點(diǎn)P移動(dòng)4秒時(shí)，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)是（4，4）； （3）由題意可得，在移動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)點(diǎn)P到x軸的距離為5個(gè)單位長(zhǎng)度時(shí)，存在兩種情況， 第一種情況，當(dāng)點(diǎn)P在OC上時(shí)， 點(diǎn)P移動(dòng)的時(shí)間是：[2（4+6）﹣5]÷2＝7.5（秒）， 第二種情況，當(dāng)點(diǎn)P在BA上時(shí)． 點(diǎn)P移動(dòng)的時(shí)間是：（5+4）÷2＝4.5（秒）， 故在移動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)點(diǎn)P到x軸的距離為5個(gè)單位長(zhǎng)度時(shí)，點(diǎn)P移動(dòng)的時(shí)間是4.5秒或7.5秒． 8．（2022春?海淀區(qū)期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)于點(diǎn)A（x1，y1），點(diǎn)B（x2，y2），定義|x1﹣x2|+|y1﹣y2|為點(diǎn)A，B的“絕對(duì)距離”，記為d（A，B）．特別地，當(dāng)|x1﹣x2|＝|y1﹣y2|時(shí)，規(guī)定d（A，B）＝|x1﹣x2|，將平面內(nèi)的一些點(diǎn)分為I，Ⅱ兩類(lèi)，每類(lèi)至少包含兩個(gè)點(diǎn)，記第I任意兩點(diǎn)的絕對(duì)距離的最大值為d1，第Ⅱ類(lèi)中任意兩點(diǎn)的絕對(duì)距離的最大值為d2，稱(chēng)d1與d2的較大值為分類(lèi)系數(shù)．如圖，點(diǎn)A，B，C，D，E的橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)． （1）若將點(diǎn)A，C分為第I類(lèi)，點(diǎn)B，D，E分為第Ⅱ類(lèi)，則d1＝　2　，d2＝　5　，因此，這種分類(lèi)方式的分類(lèi)系數(shù)為 　5　； （2）將點(diǎn)A，B，C，D，E分為兩類(lèi)，求分類(lèi)系數(shù)d的最小值： （3）點(diǎn)F的坐標(biāo)為（m，2），已知將6個(gè)點(diǎn)A，B，C，D，E，F(xiàn)分為兩類(lèi)的分類(lèi)系數(shù)的最小值是5，直接寫(xiě)出m的取值范圍． 解：（1）觀察坐標(biāo)圖，根據(jù)題意得知： d1＝d（A，C）＝|xA﹣xC|＝2； d2＝d（B，E）＝|yB﹣yE|＝5；因?yàn)閐2＞d1，所以分類(lèi)系數(shù)為5； 故答案為：2；5；5； （2）共有十種分類(lèi)方法： 若將點(diǎn)A，B分為第I類(lèi)，點(diǎn)C，D，E分為第Ⅱ類(lèi)：d1＝d（A，B）＝|yA﹣yB|＝4， d2＝d（D，E）＝|yD﹣yE|＝3，因?yàn)?d1＞d2，所以分類(lèi)系數(shù)為4； 若將點(diǎn)A，C分為第I類(lèi)，點(diǎn)B，D，E分為第Ⅱ類(lèi)：分類(lèi)系數(shù)為5； 若將點(diǎn)A，D分為第I類(lèi)，點(diǎn)B，C，E分為第Ⅱ類(lèi)：d1＝d（A，D）＝|xA﹣xD|＝3，d2＝d（B，E）＝|yB﹣yE|＝5，因?yàn)閐2＞d1，所以分類(lèi)系數(shù)為5； 若將點(diǎn)A，E分為第I類(lèi)，點(diǎn)B，C，D分為第Ⅱ類(lèi)：d1＝d（A，E）＝|xA﹣xE|＝4，d2＝d（B，C）＝|yB﹣yC|＝4，因?yàn)閐1＝d2，所以分類(lèi)系數(shù)為4； 若將點(diǎn)B，C分為第I類(lèi)，點(diǎn)A，D，E分為第Ⅱ類(lèi)：d1＝d（B，C）＝|yB﹣yC|＝4，d2＝d（A，E）＝|xA﹣xE|＝4，因?yàn)閐1＝d2，所以分類(lèi)系數(shù)為4； 若將點(diǎn)B，D分為第I類(lèi)，點(diǎn)A，C，E分為第Ⅱ類(lèi)：d1＝d（B，D）＝|xB﹣xD|＝2，d2＝d（A，E）＝|xA﹣xE|＝4，因?yàn)閐2＞d1，所以分類(lèi)系數(shù)為4； 若將點(diǎn)B，E分為第I類(lèi)，點(diǎn)A，C，D分為第Ⅱ類(lèi)：d1＝d（B，E）＝|yB﹣yE|＝5，d2＝d（A，D）＝|xA﹣xD|＝3，因?yàn)閐1＞d2，所以分類(lèi)系數(shù)為5； 若將點(diǎn)C，D分為第I類(lèi)，點(diǎn)A，B，E分為第Ⅱ類(lèi)：d1＝d（C，D）＝|yC﹣yD|＝2，d2＝d（B，E）＝|yB﹣yE|＝5，因?yàn)閐2＞d1，所以分類(lèi)系數(shù)為5； 若將點(diǎn)C，E分為第I類(lèi)，點(diǎn)A，B，D分為第Ⅱ類(lèi)：d1＝d（C，E）＝|xC﹣xE|＝2，d2＝d（A，B）＝|yA﹣yB|＝4，因?yàn)閐2＞d1，所以分類(lèi)系數(shù)為4； 若將點(diǎn)D，E分為第I類(lèi)，點(diǎn)A，B，C分為第Ⅱ類(lèi)：d1＝d（D，E）＝|yD﹣yE|＝3，d2＝d（A，B）＝|yA﹣yB|＝4，因?yàn)閐2＞d1，所以分類(lèi)系數(shù)為4； 比較得：分類(lèi)系數(shù)d的最小值為4； （3）當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)E的右邊時(shí)，|xF﹣xA|≤5，m﹣1≤5； 當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)A的左邊時(shí)，|xF﹣xE|≤5，5﹣m≤5，得0≤m≤6． 故m的取值范圍是：0≤m≤6． 考點(diǎn)02：兩點(diǎn)間的距離公式 9．（2022春?忠縣期末）當(dāng)點(diǎn)A（x﹣1，3）到點(diǎn)B（﹣2，2y+5）的距離最短時(shí)，點(diǎn)P（x，y）在（　?。?A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解：根據(jù)題意得AB＝＝， ∵（x+1）2≥0，（2y+2）2≥0， ∴當(dāng)x+1＝0，2y+2＝0時(shí)，AB最小， 解得x＝﹣1，y＝﹣1， ∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣1，﹣1）， ∴P點(diǎn)在第三象限． 故選：C． 10．（2022春?河西區(qū)期末）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（﹣3，2），B（3，5），C（x，y），若AC∥x軸，則線段BC的最小值及此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)分別為（　?。?A．6，（﹣3，5） B．10，（3，﹣5） C．1，（3，4） D．3，（3，2） 解：依題意可得： ∵AC∥x軸，A（﹣3，2） ∴y＝2， 根據(jù)垂線段最短，當(dāng)BC⊥AC于點(diǎn)C時(shí)， 點(diǎn)B到AC的距離最短，即 BC的最小值＝5﹣2＝3， 此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，2）， 故選：D． 11．（2023春?海淀區(qū)校級(jí)期末）A（0，a），B（3，5）是平面直角坐標(biāo)系中的兩點(diǎn)，線段AB長(zhǎng)度的最小值為 　3　． 解：如圖． ∵A（0，a）， ∴A在y軸上． ∴線段AB的長(zhǎng)度為B點(diǎn)到y(tǒng)軸上點(diǎn)的距離． 若使得線段AB長(zhǎng)度的最小，由垂線段最短， ∴當(dāng)A在（0，5）時(shí)，即AB⊥y軸，線段AB長(zhǎng)度最?。?∴（dAB）min＝3． 故答案為：3． 12．（2019春?新余期末）對(duì)于平面直角坐標(biāo)系xOy中的點(diǎn)P（a，b），若點(diǎn)P'的坐標(biāo)為（a+kb，ka+b）（其中k為常數(shù)，且k≠0），則稱(chēng)點(diǎn)P'為點(diǎn)P的“k屬派生點(diǎn)”，例如：P（1，4）的“2屬派生點(diǎn)”為P'（1+2×4，2×1+4），即P′（9，6）．若點(diǎn)P在x軸的正半軸上，點(diǎn)P的“k屬派生點(diǎn)”為點(diǎn)P′，且線段PP′的長(zhǎng)度為線段OP長(zhǎng)度的5倍，則k的值為　±5?。?解：設(shè)P（m，0）（m＞0），由題意：P′（m，mk）， ∵PP′＝5OP， ∴|mk|＝5m， ∵m＞0， ∴|k|＝5， ∴k＝±5． 故答案為：±5． 13．（2023秋?射陽(yáng)縣校級(jí)期末）閱讀下列一段文字，然后回答下列問(wèn)題： 已知平面內(nèi)兩點(diǎn)M（x1，y1）、N（x2，y2），則這兩點(diǎn)間的距離可用下列公式計(jì)算：MN＝． 例如：已知P（3，1）、Q（1，﹣2），則這兩點(diǎn)的距離PQ＝＝． 特別地，如果兩點(diǎn)M（x1，y1）、N（x2，y2）所在的直線與坐標(biāo)軸重合或平行于坐標(biāo)軸或垂直于坐標(biāo)軸，那么這兩點(diǎn)間的距離公式可簡(jiǎn)化為MN＝|x1﹣x2|或|y1﹣y2|． （1）已知A（1，2）、B（﹣2，﹣3），試求A、B兩點(diǎn)間的距離； （2）已知A、B在平行于y軸的同一條直線上，點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為5，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為﹣1，試求A、B兩點(diǎn)間的距離； （3）已知△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（0，4）、B（﹣1，2）、C（4，2），你能判定△ABC的形狀嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由． 解：（1）AB＝＝； （2）AB＝5﹣（﹣1）＝6； （3）△ABC為直角三角形．理由如下： ∵AB＝＝，AC＝＝2，BC＝＝5， ∴AB2+AC2＝BC2， ∴△ABC為直角三角形． 14．（2023?張家界模擬）問(wèn)題情境： 在平面直角坐標(biāo)系xOy中有不重合的兩點(diǎn)A（x1，y1）和點(diǎn)B（x2，y2），小明在學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)，若x1＝x2，則AB∥y軸，且線段AB的長(zhǎng)度為|y1﹣y2|；若y1＝y(tǒng)2，則AB∥x軸，且線段AB的長(zhǎng)度為|x1﹣x2|； 【應(yīng)用】： （1）若點(diǎn)A（﹣1，1）、B（2，1），則AB∥x軸，AB的長(zhǎng)度為 　3?。?（2）若點(diǎn)C（1，0），且CD∥y軸，且CD＝2，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為 　（1，2）或（1，﹣2）?。?【拓展】： 我們規(guī)定：平面直角坐標(biāo)系中任意不重合的兩點(diǎn)M（x1，y1），N（x2，y2）之間的折線距離為d（M，N）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|；例如：圖1中，點(diǎn)M（﹣1，1）與點(diǎn)N（1，﹣2）之間的折線距離為d（M，N）＝|﹣1﹣1|+|1﹣（﹣2）|＝2+3＝5． 解決下列問(wèn)題： （1）如圖2，已知E（2，0），若F（﹣1，﹣2），則d（E，F(xiàn)） ?。?　； （2）如圖2，已知E（2，0），H（1，t），若d（E，H）＝3，則t＝　2或﹣2　． （3）如圖3，已知P（3，3），點(diǎn)Q在x軸上，且三角形OPQ的面積為3，則d（P，Q）＝　4或8?。? 解：【應(yīng)用】： （1）AB的長(zhǎng)度為|﹣1﹣2|＝3． 故答案為：3． （2）由CD∥y軸，可設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，m）， ∵CD＝2， ∴|0﹣m|＝2，解得：m＝±2， ∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，2）或（1，﹣2）． 故答案為：（1，2）或（1，﹣2）． 【拓展】： （1）d（E，F(xiàn)）＝|2﹣（﹣1）|+|0﹣（﹣2）|＝5． 故答案為：＝5． （2）∵E（2，0），H（1，t），d（E，H）＝3， ∴|2﹣1|+|0﹣t|＝3，解得：t＝±2． 故答案為：2或﹣2． （3）由點(diǎn)Q在x軸上，可設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（x，0）， ∵三角形OPQ的面積為3， ∴|x|×3＝3，解得：x＝±2． 當(dāng)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（2，0）時(shí)，d（P，Q）＝|3﹣2|+|3﹣0|＝4； 當(dāng)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（﹣2，0）時(shí)，d（P，Q）＝|3﹣（﹣2）|+|3﹣0|＝8． 故答案為：4或8． 15．（2023?安徽模擬）先閱讀下列一段文字，在回答后面的問(wèn)題． 已知在平面內(nèi)兩點(diǎn)P1（x1，y1）、P2（x2，y2），其兩點(diǎn)間的距離公式，同時(shí)，當(dāng)兩點(diǎn)所在的直線在坐標(biāo)軸或平行于坐標(biāo)軸或垂直于坐標(biāo)軸時(shí)，兩點(diǎn)間距離公式可簡(jiǎn)化為|x2﹣x1|或|y2﹣y1|． （1）已知A（2，4）、B（﹣3，﹣8），試求A、B兩點(diǎn)間的距離； （2）已知A、B在平行于y軸的直線上，點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為5，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為﹣1，試求A、B兩點(diǎn)間的距離． （3）已知一個(gè)三角形各頂點(diǎn)坐標(biāo)為A（0，6）、B（﹣3，2）、C（3，2），你能判定此三角形的形狀嗎？說(shuō)明理由． 解：（1）∵A（2，4）、B（﹣3，﹣8）， ∴|AB|＝＝13，即A、B兩點(diǎn)間的距離是13； （2）∵A、B在平行于y軸的直線上，點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為5，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為﹣1， ∴|AB|＝|﹣1﹣5|＝6，即A、B兩點(diǎn)間的距離是6； （3）△ABC是等腰三角形，理由如下： ∵一個(gè)三角形各頂點(diǎn)坐標(biāo)為A（0，6）、B（﹣3，2）、C（3，2）， ∴AB＝5，BC＝6，AC＝5， ∴AB＝AC， ∴△ABC是等腰三角形． 考點(diǎn)03：關(guān)于x軸、y軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo) 16．（2023秋?歷下區(qū)期末）已知有序數(shù)對(duì)（a，b）及常數(shù)k，我們稱(chēng)有序數(shù)對(duì)（ka+b，a﹣b）為有序數(shù)對(duì)（a，b）的“k階結(jié)伴數(shù)對(duì)”．如（3，2）的“1階結(jié)伴數(shù)”對(duì)為（1×3+2，3﹣2）即（5，1）．若有序數(shù)對(duì)（a，b）（b≠0）與它的“k階結(jié)伴數(shù)對(duì)”關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，則此時(shí)k的值為（　?。?A．﹣2 B．﹣ C．0 D．﹣ 解：有序數(shù)對(duì)（a，b）（b≠0）它的“k階結(jié)伴數(shù)對(duì)”為（ka+b，a﹣b）， ∵（a，b）與（ka+b，a﹣b）關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)， ∴a＝﹣ka﹣b，b＝a﹣b， 解得k＝﹣， 故選：B． 17．（2022春?洛江區(qū)期末）點(diǎn)P（﹣5，3）關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（　?。?A．（﹣5，﹣3） B．（5，3） C．（5，﹣3） D．（3，﹣5 ） 解：點(diǎn)P（﹣5，3）關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣5，﹣3）， 故選：A． 18．（2022?皇姑區(qū)二模）若點(diǎn)A（a﹣2，3）和點(diǎn)B（﹣1，b+5）關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，則點(diǎn)C（a，b）在第　四　象限． 解：由題意，得 a﹣2＝1，b+5＝3， 解得a＝3，b＝﹣2， 點(diǎn)C（a，b）在第四象限， 故答案為：四． 19．（2023秋?溫州期末）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)（﹣1，2）關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是?。?，2）?。?解：由點(diǎn)（﹣1，2）關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是（1，2）． 故答案為：（1，2）． 20．（2019秋?昌平區(qū)校級(jí)期末）如圖，請(qǐng)作出△PQR關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的△P1Q1R1，寫(xiě)出它們的坐標(biāo)P1?。?，﹣1）　，Q1　（1，4）　，R1?。ī?，1）　 解：如圖，△P1Q1R1即為所求． 觀察圖象可知：P1（4，﹣1）、Q1（1，4）、R1（﹣1，1）， 故答案為（4，﹣1），（1，4），（﹣1，1）． 21．（2016秋?天橋區(qū)期末）如圖，已知△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（﹣2，4），B（﹣6，0），C（﹣1，0）．請(qǐng)將點(diǎn)A，B，C的橫坐標(biāo)分別乘以﹣1，縱坐標(biāo)保持不變，分別得到點(diǎn)A′，B′，C′，并依次連接A′，B′，C′，得△A′B′C′；并求出△A′B′C′的面積． 解：如圖所示，△A′B′C′即為所求， △A′B′C′的面積為×5×4＝10． 22．（2018秋?東湖區(qū)校級(jí)期中）如圖，已知線段AC∥y軸，點(diǎn)B在第一象限，且AO平分∠BAC，AB交y軸于G，連OB、OC． （1）判斷△AOG的形狀，并予以證明； （2）若點(diǎn)B、C關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，求證：AO⊥BO． 解：（1）△AOG是等腰三角形； 證明：∵AC∥y軸， ∴∠CAO＝∠AOG， ∵AO平分∠BAC， ∴∠CAO＝∠GAO， ∴∠GAO＝∠AOG， ∴AG＝GO， ∴△AOG是等腰三角形； （2）證明：連接BC交y軸于K，過(guò)A作AN⊥y軸于N， ∵AC∥y軸，點(diǎn)B、C關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)， ∴AN＝CK＝BK， 在△ANG和△BKG中， ， ∴△ANG≌△BKG，（AAS） ∴AG＝BG， ∵AG＝OG，（1）中已證， ∴AG＝OG＝BG， ∴∠BOG＝∠OBG，∠OAG＝∠AOG， ∵∠OAG+∠AOG+∠BOG+∠OBG＝180°， ∴∠AOG+∠BOG＝90°， ∴AO⊥BO． 23．（2019秋?臺(tái)山市期中）如圖是一個(gè)平面直角坐標(biāo)系，按要求完成下列各小題． （1）寫(xiě)出圖中的多邊形ABCDEF頂點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)； （2）說(shuō)明點(diǎn)B與點(diǎn)C的縱坐標(biāo)有什么特點(diǎn)？線段BC與x軸有怎樣的位置關(guān)系？ （3）寫(xiě)出點(diǎn)E關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E′的坐標(biāo)，并指出點(diǎn)E′與點(diǎn)C有怎樣的位置關(guān)系． 解：（1）點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣2，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，﹣3），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（4，0），點(diǎn)F的坐標(biāo)為（0，3）； （2）點(diǎn)B與點(diǎn)C的縱坐標(biāo)相等，線段BC平行于x軸； （3）點(diǎn)E關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣3，3），它與點(diǎn)C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)． 考點(diǎn)04：坐標(biāo)與圖形變化-對(duì)稱(chēng) 24．（2022?邗江區(qū)校級(jí)一模）如圖，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（0，4）、（6，8），點(diǎn)P為x軸上的動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)B關(guān)于直線AP的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B'恰好落在x軸上，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是（　?。? A． B． C．（2，0） D．（3，0） 解：如圖，連接AB、AB′， ∵A（0，4），B（6，8）， ∴AB＝＝2， ∵點(diǎn)B與B′關(guān)于直線AP對(duì)稱(chēng)， ∴AB′＝AB＝2， 在Rt△AOB′中，B′O＝＝＝6， ∴B′點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣6，0）或（6，0）， ∵A（0，4），點(diǎn)B（6，8）關(guān)于直線AP的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B′恰好落在x軸上， ∴點(diǎn)B（6，8）關(guān)于直線AP的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B′（﹣6，0）， ∴B′點(diǎn)坐標(biāo)為（6，0）不合題意舍去， 設(shè)直線BB′方程為y＝kx+b 將B（6，8），B′（﹣6，0）代入得 ， 解得k＝，b＝4， ∴直線BB′的解析式為：y＝x+4， ∴直線AP的解析式為：y＝﹣x+4， 當(dāng)yAP＝0時(shí)，﹣x+4＝0， 解得：x＝， ∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（，0）； 故選：A． 25．（2023秋?武城縣期末）明明和樂(lè)樂(lè)下棋，明明執(zhí)圓形棋子，樂(lè)樂(lè)執(zhí)方形棋子，如圖，棋盤(pán)中心的方子的位置用（﹣1，0）表示，右下角方子的位置用（0，﹣1）表示，明明將第4枚圓形棋子放入棋盤(pán)后，所有的棋子構(gòu)成軸對(duì)稱(chēng)圖形，則明明放的位置可能是（　　） A．（﹣1，2） B．（﹣1，3） C．（0，2） D．（﹣1，1） 解：將第4枚圓形放在中心方形棋子的正上方一格處，即（﹣1，1）處，構(gòu)成以過(guò)點(diǎn)（﹣1，0），（0，﹣1）的直線為對(duì)稱(chēng)軸的軸對(duì)稱(chēng)圖形． 故選：D． 26．（2023秋?豐臺(tái)區(qū)期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)叫做整點(diǎn)．如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，4），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，1），點(diǎn)C為第一象限內(nèi)的整點(diǎn)．若不共線的A，B，C三點(diǎn)構(gòu)成軸對(duì)稱(chēng)圖形，則點(diǎn)C的坐標(biāo)可以是 ?。?.1）（答案不唯一）?。▽?xiě)出一個(gè)即可），滿(mǎn)足題意的點(diǎn)C的個(gè)數(shù)為 　6?。? 解：由不共線的A，B，C三點(diǎn)構(gòu)成軸對(duì)稱(chēng)圖形， 則△ABC是等腰三角形， 如圖，共有符合要求的點(diǎn)C有6個(gè)． 其中點(diǎn)C坐標(biāo)為（3，1）（答案不唯一）， 故答案為：（3，1）（不唯一），6． 27．（2023秋?鹽田區(qū)校級(jí)期末）欣欣和佳佳下棋，欣欣持圓形棋子，佳佳持方形棋子．若棋盤(pán)正中方形棋子的位置用（2，2）表示，右上角方形棋子的位置用（3，3）表示，要使棋盤(pán)上所有棋子組成軸對(duì)稱(chēng)圖形，則欣欣下一枚圓形棋子的位置是 ?。?，1）?。? 解：第八枚圓形棋子放在位置，如圖所示，坐標(biāo)為（2，1）． 故答案為：（2，1）． 28．（2023?黃石港區(qū)校級(jí)模擬）如圖，點(diǎn)A坐標(biāo)為（0，4），點(diǎn)B坐標(biāo)為（4，2）．直線BC垂直于y軸于點(diǎn)C．點(diǎn)D在直線BC上，點(diǎn)B關(guān)于直線AD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在y軸上，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為?。ī?，2）或（﹣﹣1，2）　． 解：∵點(diǎn)A坐標(biāo)為（0，4），點(diǎn)B坐標(biāo)為（4，2）， ∴AB＝＝2， ∵由題意點(diǎn)D在∠CAB的角平分線或∠CAB的外角平分線上， 作DH⊥AB于H． ∵DC⊥AC，DH⊥AB，AD平分∠BAC， ∴DC＝DH， 設(shè)DC＝DH＝m， 則有?AC?BC＝?AC?DC+?AB?DH， ∴2×4＝2m+2m， ∴m＝﹣1， ∴D（﹣1，2）， 當(dāng)D′在∠CAB的外角平分線上時(shí)，同法可得CD′＝+1， ∴D′（﹣﹣1，2） 故答案為：（﹣1，2）或（﹣﹣1，2）． 29．（2023秋?江陰市期中）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（2+2m，1），點(diǎn)B（2﹣m，4），其中m為實(shí)數(shù)，點(diǎn)O關(guān)于直線AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為C，則AB的最小值為 　3　，點(diǎn)P（﹣2，0）到點(diǎn)C的最大距離為 　5+?。?解：∵A（2+2m，1），點(diǎn)B（2﹣m，4）， ∴點(diǎn)A在直線y＝1上，點(diǎn)B在直線y＝4上， ∴AB的最小值為3， 如圖，設(shè)直線AB的解析式為y＝kx+b． 則有， 解得， ∴直線AB的解析式為y＝﹣?x+3+， ∵x＝2時(shí)，y＝3， ∴直線AB經(jīng)過(guò)定點(diǎn)D（2，3）， 連接PD，CD，OD， ∵P（﹣2，0）， ∵PD＝＝5，OD＝＝， ∵O，C關(guān)于直線AB對(duì)稱(chēng)， ∴DC＝OD＝， ∴PC≤PD+CD＝5+， ∴PC的最大值為5+． 故答案為：3，5+． 30．（2022?和平區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）如圖，已知P（﹣2，4），M（﹣1，1），請(qǐng)根據(jù)每一問(wèn)的要求填空： （1）寫(xiě)出P關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)Q的坐標(biāo) ?。?，4）　，M關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)N的坐標(biāo) ?。?，1）?。?（2）寫(xiě)出P關(guān)于x＝1的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)R的坐標(biāo) ?。?，4）　，則PR的距離為 　6??； （3）寫(xiě)出M關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)T的坐標(biāo) ?。ī?，﹣1）　，則NT的距離為 　2?。? 解：（1）如圖，點(diǎn)Q，點(diǎn)N即為所求，Q（2，4），N（1，1）． 故答案為：（2，4），（1，1）； （2）如圖，點(diǎn)R即為所求，R（4，4），PR＝6． 故答案為：（4，4），6； （3）如圖，點(diǎn)T即為所求．T（﹣1，﹣1），NT＝＝2． 故答案為：（﹣1，﹣1），2． 31．（2023秋?峽江縣期末）如圖在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC各頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為：A（4，0），B（﹣1，4），C（﹣3，1） （1）在圖中作△A′B′C′使△A′B′C′和△ABC關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)； （2）寫(xiě)出點(diǎn)A′，B′，C′的坐標(biāo)． 解：（1）如圖， （2）點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（4，0），點(diǎn)B′的坐標(biāo)為（﹣1，﹣4），點(diǎn)C′的坐標(biāo)為（﹣3，﹣1）． 32．（2023秋?建陽(yáng)區(qū)期中）如圖，P，M關(guān)于直線x＝1的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為P′，M′． （1）寫(xiě)出P′的坐標(biāo) ?。?，4）　，M′的坐標(biāo) ?。?，1）　； （2）思考，寫(xiě)出P（﹣2，4）關(guān)于直線x＝﹣1的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)坐標(biāo) ?。?，4）?。粚?xiě)出N′（5，﹣2）關(guān)于直線x＝2的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)坐標(biāo) 　（﹣1，﹣2）　； （3）思考，寫(xiě)出點(diǎn)（a，b）關(guān)于直線x＝n的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)坐標(biāo) ?。?n﹣a，b）?。? 解：（1）由題意，P′（4，4），M′（3，1）， 故答案為：（4，4），（3，1）； （2）P（﹣2，4）關(guān)于直線x＝﹣1的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)坐標(biāo)（0，4）；N′（5，﹣2）關(guān)于直線x＝2的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)坐標(biāo)（﹣1，﹣2）． 故答案為：（0，4），（﹣1，﹣2）； （3）設(shè)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y）， 則有＝n，y＝b， x＝2n﹣a， ∴點(diǎn)（a，b）關(guān)于直線x＝n的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)坐標(biāo)（2n﹣a，b）． 故答案為：（2n﹣a，b）． 33．（2019秋?咸豐縣期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l過(guò)點(diǎn)M（3，0），且平行于y軸． （1）如果△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A（﹣2，0），B（﹣1，0），C（﹣1，2），△ABC關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)圖形是△A1B1C1，△A1B1C1關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)圖形是△A2B2C2，寫(xiě)出△A2B2C2的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)； （2）如果點(diǎn)P的坐標(biāo)是（﹣a，0），其中0＜a＜3，點(diǎn)P關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是P1，點(diǎn)P1關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是P2，求PP2的長(zhǎng)． 解：（1）△A2B2C2的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A2（4，0），B2（5，0），C2（5，2）； （2）如圖1，當(dāng)0＜a＜3時(shí)，∵P與P1關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，P（﹣a，0）， ∴P1（a，0）， 又∵P1與P2關(guān)于l：直線x＝3對(duì)稱(chēng)， 設(shè)P2（x，0），可得：＝3，即x＝6﹣a， ∴P2（6﹣a，0）， 則PP2＝6﹣a﹣（﹣a）＝6﹣a+a＝6．

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