初中數(shù)學(xué)北師大版八年級(jí)上冊(cè)3 平行線的判定鞏固練習(xí)

這是一份初中數(shù)學(xué)北師大版八年級(jí)上冊(cè)3 平行線的判定鞏固練習(xí)，共36頁。試卷主要包含了5，等內(nèi)容，歡迎下載使用。
知識(shí)點(diǎn)01：平行線的性質(zhì)定理的探究過程
1.兩條平行線被第三條直線所截，得到的內(nèi)錯(cuò)角相等（簡記為： ）.
因?yàn)閍∥b,
所以∠1=∠2（兩直線平行，同位角相等），
又∠3=∠1 (對(duì)頂角相等)
所以∠2=∠3.
2.兩條平行線被第三條直線所截，得到的同旁內(nèi)角互補(bǔ)(簡記為： ).

因?yàn)閍∥b,
所以∠3=∠2（兩直線平行， ），
又∠3+∠1=180°（ ），
所以∠2+∠1=180°.
細(xì)節(jié)剖析：平行線性質(zhì)定理的證明，要借助 ，因?yàn)楣硎侨藗冊(cè)谏a(chǎn)和生活中總結(jié)出來的正確的結(jié)論，不需要證明，但是定理、性質(zhì)或推論到的證明其正確性.
知識(shí)點(diǎn)01：平行線的性質(zhì)與判定
（1）平行線的判定是由 判斷 ．平行線的性質(zhì)是由 來尋找角的 ．
（2）應(yīng)用 時(shí)，一定要弄清題設(shè)和結(jié)論，切莫混淆．
（3）平行線的判定與性質(zhì)的聯(lián)系與區(qū)別
區(qū)別：性質(zhì) ，用于 并計(jì)算；判定由數(shù)到形，用于判定兩直線平行．
聯(lián)系：性質(zhì)與判定的已知和結(jié)論正好相反，都是 ．
（4）輔助線規(guī)律，經(jīng)常作出兩平行線平行的直線或作出聯(lián)系兩直線的截線，構(gòu)造出三類角．
易錯(cuò)題專訓(xùn)
一．選擇題
1．（2023春?招遠(yuǎn)市期末）如圖，把一張長方形紙片ABCD沿EF折疊后，D、C分別在M、N的位置上，EM與BC的交點(diǎn)為G，若∠EFG＝55°，則∠1＝（ ）
A．35°B．55°C．65°D．70°
2．（2023春?沙坪壩區(qū)校級(jí)期末）如圖，直線AB∥CD，AD⊥BD，∠ADC＝38°，則∠ABD的度數(shù)為（ ）
A．38°B．42°C．52°D．62°
3．（2019秋?縉云縣期末）如圖，把一張長方形紙片ABCD沿EF折疊后，點(diǎn)A落在CD邊上的點(diǎn)A′處，點(diǎn)B落在點(diǎn)B′處．若∠1＝38°，則圖中∠2的度數(shù)為（ ）
A．64°B．69°C．111°D．116°
4．（2018秋?武昌區(qū)校級(jí)期中）如圖△ABC的∠ABC的外角平分線BD與∠ACB的外角平分線CE交于P，過P作MN∥AB交AC于M，交BC于N，且AM＝8，BN＝5，則MN＝（ ）
A．2B．3C．4D．5
5．（2022秋?惠陽區(qū)校級(jí)月考）如圖，AB∥EF，C點(diǎn)在EF上，∠EAC＝∠ECA，BC平分∠DCF，且AC⊥BC．則關(guān)于結(jié)論①AE∥CD；②∠BDC＝2∠1，下列判斷正確的是（ ）
A．①②都正確B．①②都錯(cuò)誤
C．①正確，②錯(cuò)誤D．①錯(cuò)誤，②正確
6．（2022秋?臨洮縣校級(jí)月考）如圖，直線CE∥DF，∠CAB＝125°，∠ABD＝85°，則∠1+∠2＝（ ）
A．15°B．25°C．30°D．45°
7．（2022春?承德縣期末）黑板上有一個(gè)數(shù)學(xué)問題如圖所示：
如圖AB⊥BC，BC交CD于點(diǎn)C，AE平分∠BAD交BC于E，AE⊥DE，∠1+∠2＝90°，M，N分別是BA，CD延長線上的點(diǎn)，∠EAM和∠EDN的平分線交于點(diǎn)F．
幾位同學(xué)經(jīng)過研究得到以下結(jié)論：
嘉嘉說：“AB∥CD”；
琪琪說：“∠AEB+∠ADC＝180°”；
薇薇說：“DE平分∠ADC”；
亮亮說：“∠F＝135°”，則（ ）
A．只有嘉嘉的結(jié)論正確
B．嘉嘉和琪琪的結(jié)論都正確
C．只有琪琪的結(jié)論不正確
D．四個(gè)人的結(jié)論都正確
二．填空題
8．（2022?柯城區(qū)校級(jí)開學(xué)）如圖，QP∥MN，A，B分別為直線MN，PQ上兩點(diǎn)，且∠BAN＝60°，射線AE從AM開始繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)至AN后立即回轉(zhuǎn)，然后以不變的速度在AM和AN之間不停地來回旋轉(zhuǎn)，射線BF從BQ繞點(diǎn)B按逆時(shí)針方向同時(shí)開始旋轉(zhuǎn)，射線AE轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是4°/s，射線BF轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是1°/s，在射線BF到達(dá)BP之前，有 次射線AE與射線BF互相平行，時(shí)間分別是 s．
9．（2023秋?牡丹區(qū)期末）如圖，點(diǎn)E在BC的延長線上，下列條件中，①∠2＝∠5；②∠3＝∠4；③∠ACE+∠E＝180°；④∠B＝∠3，能判斷AC∥DE的有 ．
10．（2023春?零陵區(qū)期末）如圖，已知AC∥BD，BC平分∠ABD，CE平分∠DCM，且BC⊥CE．則下列結(jié)論：①CB平分∠ACD，②AB∥CD，③∠A＝∠BDC，④點(diǎn)P是線段BE上任意一點(diǎn)，則∠APM＝∠BAP+∠PCD．正確的是 ．
11．（2023春?西城區(qū)校級(jí)期末）如圖，已知AB∥CD∥EF，BC∥AD，AC平分∠BAD，那么圖中與∠AGE相等的角有 個(gè)．
12．（2023春?襄城縣月考）已知∠1的兩邊分別平行于∠2的兩邊，若∠1＝40°，則∠2的度數(shù)為 ．
13．（2022春?岳池縣期末）如圖，AB∥CD，OE平分∠BOC，OF⊥OE，OP⊥CD，∠ABO＝a°．則下列結(jié)論：①∠BOE＝（180﹣a）°；②OF平分∠BOD；③∠POE＝∠BOF；④∠POB＝2∠DOF．其中正確結(jié)論 （填編號(hào)）．
三．解答題
14．（2022春?沙坪壩區(qū)校級(jí)月考）已知，如圖，AB∥CD，直線MN交AB于點(diǎn)M，交CD于點(diǎn)N，點(diǎn)E是線段MN上一點(diǎn)，P，Q分別在射線MB，ND上，連接PE，EQ，PF平分∠MPE，QF平分∠DQE．
（1）如圖1，當(dāng)PE⊥QE時(shí)，直接寫出∠PFQ的度數(shù)；
（2）如圖2，求∠PEQ與∠PFQ之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
（3）如圖3，在（1）問的條件下，若∠APE＝45°，∠MND＝75°，過點(diǎn)P作PH⊥OF交QF的延長線于點(diǎn)H，將MN繞點(diǎn)N順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，速度為每秒5°，直線MN旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)直線為M'N，同時(shí)△FPH繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，速度為每秒10°，△FPH旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)三角形為△F'PH'，當(dāng)MN首次落到CD上時(shí)，整個(gè)運(yùn)動(dòng)停止，在此運(yùn)動(dòng)過程中，經(jīng)過t秒后，M'N恰好平行于△F'PH'的其中一條邊，請(qǐng)直接寫出所有滿足條件的t的值．
15．（2023秋?舞鋼市期末）如圖，四邊形BCED中，點(diǎn)A在CB的延長線上，點(diǎn)F在DE的延長線上，連接AF交BD于G，交CE于H，且∠1＝45°，∠2＝135°．
（1）求證：BD∥CE；
（2）若∠C＝∠D，求證：∠A＝∠F．
16．（2022春?鳳凰縣期末）如圖1，已知兩條直線AB，CD被直線EF所截，分別交于點(diǎn)E，點(diǎn)F，EM平分∠AEF交CD于點(diǎn)M，且∠FEM＝∠FME．
（1）判斷直線AB與直線CD是否平行，并說明理由；
（2）如圖2，點(diǎn)G是射線MD上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)M，F(xiàn)重合），EH平分∠FEG交CD于點(diǎn)H，過點(diǎn)H作HN⊥EM于點(diǎn)N，設(shè)∠EHN＝α，∠EGF＝β．
①當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)F的右側(cè)時(shí)，若β＝50°，求α的度數(shù)；
②當(dāng)點(diǎn)G在運(yùn)動(dòng)過程中，α和β之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想，并加以證明．
17．（2022春?濰坊期末）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠1＝∠2，∠2與∠3互余，以點(diǎn)C為頂點(diǎn)，CD為一邊，在四邊形ABCD的外部作∠5，使∠5＝∠4，交DE于點(diǎn)F，試探索DE和CF的位置關(guān)系，并說明理由．
18．（2023秋?汝州市校級(jí)月考）平行線是平面幾何中最基本、也是非常重要的圖形．在解決某些幾何問題時(shí)，若能根據(jù)問題的需要，添加適當(dāng)?shù)钠叫芯€，往往能使證明順暢、簡潔．請(qǐng)根據(jù)上述思想解決問題：
（1）如圖（1），AB∥CD，試判斷∠B，∠D與∠E的關(guān)系；
（2）如圖（2），已知AB∥CD，在∠ACD的角平分線上取兩個(gè)點(diǎn)M、N，使得∠AMN＝∠ANM，求證：∠CAM＝∠BAN．
19．（2023秋?法庫縣期末）如圖，∠AOB＝40°，OC平分∠AOB，點(diǎn)D，E在射線OA，OC上，點(diǎn)P是射線OB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接DP交射線OC于點(diǎn)F，設(shè)∠ODP＝x°．
（1）如圖1，若DE∥OB．
①∠DEO的度數(shù)是 °，當(dāng)DP⊥OE時(shí)，x＝ ；
②若∠EDF＝∠EFD，求x的值；
（2）如圖2，若DE⊥OA，是否存在這樣的x的值，使得∠EFD＝4∠EDF？若存在，求出x的值；若不存在，說明理由．
20．（2023秋?金水區(qū)校級(jí)期末）【探究】
（1）如圖1，∠ADC＝120°，∠BCD＝130°，∠DAB和∠CBE的平分線交于點(diǎn)F，則∠AFB＝ °；
（2）如圖2，∠ADC＝α，∠BCD＝β，且α+β＞180°，∠DAB和∠CBE的平分線交于點(diǎn)F，則∠AFB＝ ；（用α、β表示）
（3）如圖3，∠ADC＝α，∠BCD＝β，當(dāng)∠DAB和∠CBE的平分線AG、BH平行時(shí)，α、β應(yīng)該滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)證明你的結(jié)論．
【挑戰(zhàn)】
如果將（2）中的條件α+β＞180°改為α+β＜180°，再分別作∠DAB和∠CBE的平分線，你又可以找到怎樣的數(shù)量關(guān)系？畫出圖形并直接寫出結(jié)論．
專題18 平行線的判定與性質(zhì)（綜合題）
易錯(cuò)點(diǎn)撥
知識(shí)點(diǎn)01：平行線的性質(zhì)定理的探究過程
1.兩條平行線被第三條直線所截，得到的內(nèi)錯(cuò)角相等（簡記為：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）.
因?yàn)閍∥b,
所以∠1=∠2（兩直線平行，同位角相等），
又∠3=∠1 (對(duì)頂角相等)
所以∠2=∠3.
2.兩條平行線被第三條直線所截，得到的同旁內(nèi)角互補(bǔ)(簡記為：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)).

因?yàn)閍∥b,
所以∠3=∠2（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），
又∠3+∠1=180°（補(bǔ)角的定義），
所以∠2+∠1=180°.
細(xì)節(jié)剖析：平行線性質(zhì)定理的證明，要借助平行線線性質(zhì)公理，因?yàn)楣硎侨藗冊(cè)谏a(chǎn)和生活中總結(jié)出來的正確的結(jié)論，不需要證明，但是定理、性質(zhì)或推論到的證明其正確性.
知識(shí)點(diǎn)01：平行線的性質(zhì)與判定
（1）平行線的判定是由角的數(shù)量關(guān)系判斷兩直線的位置關(guān)系．平行線的性質(zhì)是由平行關(guān)系來尋找角的數(shù)量關(guān)系．
（2）應(yīng)用平行線的判定和性質(zhì)定理時(shí)，一定要弄清題設(shè)和結(jié)論，切莫混淆．
（3）平行線的判定與性質(zhì)的聯(lián)系與區(qū)別
區(qū)別：性質(zhì)由形到數(shù)，用于推導(dǎo)角的關(guān)系并計(jì)算；判定由數(shù)到形，用于判定兩直線平行．
聯(lián)系：性質(zhì)與判定的已知和結(jié)論正好相反，都是角的關(guān)系與平行線相關(guān)．
（4）輔助線規(guī)律，經(jīng)常作出兩平行線平行的直線或作出聯(lián)系兩直線的截線，構(gòu)造出三類角．
易錯(cuò)題專訓(xùn)
一．選擇題
1．（2023春?招遠(yuǎn)市期末）如圖，把一張長方形紙片ABCD沿EF折疊后，D、C分別在M、N的位置上，EM與BC的交點(diǎn)為G，若∠EFG＝55°，則∠1＝（ ）
A．35°B．55°C．65°D．70°
【易錯(cuò)思路引導(dǎo)】根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠DEF＝∠EFG，再根據(jù)翻折的性質(zhì)和平角的定義列式計(jì)算即可求出∠1．
【規(guī)范解答】解：∵長方形對(duì)邊AD∥BC，
∴∠DEF＝∠EFG＝55°，
由翻折的性質(zhì)得∠DEF＝∠MEF，
∴∠1＝180°﹣∠DEF×2＝180°﹣55°×2＝70°．
故選：D．
【考察注意點(diǎn)】本題考查了平行線的性質(zhì)，翻折變換的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵．
2．（2023春?沙坪壩區(qū)校級(jí)期末）如圖，直線AB∥CD，AD⊥BD，∠ADC＝38°，則∠ABD的度數(shù)為（ ）
A．38°B．42°C．52°D．62°
【易錯(cuò)思路引導(dǎo)】先根據(jù)AD⊥BD，∠ADC＝38°，求出∠1的度數(shù)，再根據(jù)平行線的性質(zhì)，即可得到∠ABD的度數(shù)．
【規(guī)范解答】解：如圖：
∵AD⊥BD，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ADC＝38°，
∴∠1＝90°﹣38°＝52°，
∵AB∥CD，
∴∠ABD＝∠1＝52°，
故選：C．
【考察注意點(diǎn)】本題主要考查了平行線的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是掌握平行線的性質(zhì)：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．
3．（2019秋?縉云縣期末）如圖，把一張長方形紙片ABCD沿EF折疊后，點(diǎn)A落在CD邊上的點(diǎn)A′處，點(diǎn)B落在點(diǎn)B′處．若∠1＝38°，則圖中∠2的度數(shù)為（ ）
A．64°B．69°C．111°D．116°
【易錯(cuò)思路引導(dǎo)】根據(jù)長方形的性質(zhì)得出∠1+∠CA′B′＝90°，∠CA′B′+∠DA′E＝90°，可得∠DA′E＝∠1＝38°，可得∠DEA′＝52°，根據(jù)折疊的性質(zhì)得出∠AEF＝∠A′EF＝64°，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求解．
【規(guī)范解答】解：∵把一張長方形紙片ABCD沿EF折疊后，點(diǎn)A落在CD邊上的點(diǎn)A′處，點(diǎn)B落在點(diǎn)B′處，
∴∠C＝∠D＝∠EA′B′＝90°，AD∥BC，
∴∠1+∠CA′B′＝90°，∠CA′B′+∠DA′E＝90°，
∴∠DA′E＝∠1＝38°，
∴∠DEA′＝∠90°﹣∠DA′E＝52°，
∴∠AEA′＝180°﹣52°＝128°，
由折疊的性質(zhì)得∠AEF＝∠A′EF＝∠AEA′＝64°，
∵AD∥BC，
∴∠2+∠AEF＝180°，
∴∠2＝180°﹣64°＝116°，
故選：D．
【考察注意點(diǎn)】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，能綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理和計(jì)算是解此題的關(guān)鍵，注意：折疊后的兩個(gè)圖形全等．
4．（2018秋?武昌區(qū)校級(jí)期中）如圖△ABC的∠ABC的外角平分線BD與∠ACB的外角平分線CE交于P，過P作MN∥AB交AC于M，交BC于N，且AM＝8，BN＝5，則MN＝（ ）
A．2B．3C．4D．5
【易錯(cuò)思路引導(dǎo)】過P作PF⊥AC，PG⊥BC，PH⊥AB，連接AP，依據(jù)條件可得AP平分∠BAC，再根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線定義得出∠MAP＝∠MPA，∠NBP＝∠NPB，即可得到AM＝PM，NP＝NB，再根據(jù)MN＝MP﹣NP＝AM﹣BN進(jìn)行計(jì)算即可．
【規(guī)范解答】解：如圖，過P作PF⊥AC，PG⊥BC，PH⊥AB，連接AP，
∵∠ABC的外角平分線BD與∠ACB的外角平分線CE交于P，
∴PF＝PG＝PH，
∴點(diǎn)P在∠BAC的平分線上，即AP平分∠BAC，
∴∠MAP＝∠BAP，
∵M(jìn)N∥AB，
∴∠BAP＝∠MPA，
∴∠MAP＝∠MPA，
∴AM＝PM，
同理可得：∠NBP＝∠NPB，
∴NP＝NB，
∴MN＝MP﹣NP＝AM﹣BN＝8﹣5＝3，
故選：B．
【考察注意點(diǎn)】本題主要考查了角平分線的判定與性質(zhì)的運(yùn)用，解題時(shí)注意：到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角平分線上．
5．（2022秋?惠陽區(qū)校級(jí)月考）如圖，AB∥EF，C點(diǎn)在EF上，∠EAC＝∠ECA，BC平分∠DCF，且AC⊥BC．則關(guān)于結(jié)論①AE∥CD；②∠BDC＝2∠1，下列判斷正確的是（ ）
A．①②都正確B．①②都錯(cuò)誤
C．①正確，②錯(cuò)誤D．①錯(cuò)誤，②正確
【易錯(cuò)思路引導(dǎo)】由平行線的性質(zhì)得出∠ECA＝∠BAC，∠BCF＝∠B，證出∠1+∠BCD＝90°，∠ECA+∠BCF＝90°，由角平分線定義得出∠BCD＝∠BCF，得出∠1＝∠ECA，AC平分∠DCE，證出∠EAC＝∠1，得出AE∥CD，①正確；由∠1＝∠ECA＝∠BAC，∠BDC＝∠BAC+∠1，得出∠BDC＝2∠1，②正確；即可得出結(jié)論．
【規(guī)范解答】解：∵AB∥EF，
∴∠ECA＝∠BAC，∠BCF＝∠B，
∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°，
∴∠1+∠BCD＝90°，∠ECA+∠BCF＝90°，
∵BC平分∠DCF，
∴∠BCD＝∠BCF，
∴∠1＝∠ECA，
∴AC平分∠DCE，
∵∠EAC＝∠ECA，
∴∠EAC＝∠1，
∴AE∥CD，①正確；
∵∠1＝∠ECA＝∠BAC，∠BDC＝∠BAC+∠1，
∴∠BDC＝2∠1，②正確；
故選：A．
【考察注意點(diǎn)】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
6．（2022秋?臨洮縣校級(jí)月考）如圖，直線CE∥DF，∠CAB＝125°，∠ABD＝85°，則∠1+∠2＝（ ）
A．15°B．25°C．30°D．45°
【易錯(cuò)思路引導(dǎo)】根據(jù)平行線的性質(zhì)以及外角和定理，可求出其值．
【規(guī)范解答】解：∵CE∥DF，
∴∠CEA+∠DFB＝180°，
∵∠1+∠CEA＝125°，∠2+DFB＝85°，
∴∠1+∠CEA+∠2+DFB＝125°+85°，
∴∠1+∠2＝210°﹣180°＝30°．
故選：C．
【考察注意點(diǎn)】本題考查了平行線的性質(zhì)以及三角形的外角和定理，綜合性較強(qiáng)，難度適中．
7．（2022春?承德縣期末）黑板上有一個(gè)數(shù)學(xué)問題如圖所示：
如圖AB⊥BC，BC交CD于點(diǎn)C，AE平分∠BAD交BC于E，AE⊥DE，∠1+∠2＝90°，M，N分別是BA，CD延長線上的點(diǎn)，∠EAM和∠EDN的平分線交于點(diǎn)F．
幾位同學(xué)經(jīng)過研究得到以下結(jié)論：
嘉嘉說：“AB∥CD”；
琪琪說：“∠AEB+∠ADC＝180°”；
薇薇說：“DE平分∠ADC”；
亮亮說：“∠F＝135°”，則（ ）
A．只有嘉嘉的結(jié)論正確
B．嘉嘉和琪琪的結(jié)論都正確
C．只有琪琪的結(jié)論不正確
D．四個(gè)人的結(jié)論都正確
【易錯(cuò)思路引導(dǎo)】根據(jù)平行線得性質(zhì)，角平分線得定義，互補(bǔ)得性質(zhì)求解．
【規(guī)范解答】解：
過點(diǎn)E作EH∥AB交AD于點(diǎn)H，則∠1＝∠AEH，
∵∠AEH+∠DEH＝90°，∠1+∠2＝90°，
∴∠2＝∠DEH，
∴EH∥CD，
∴AB∥CD，
∵AE平分∠BAD，
∴∠1＝∠EAD，
∵∠AED＝90°，
∴∠EAD+∠ADE＝90°，
∴∠ADE＝∠2，
∴DE平分∠ADC，
∵∠EAM和∠EDN的平分線交于點(diǎn)F．
根據(jù)平行線的拐點(diǎn)問題得：∠F＝∠MAF+∠FDN＝（360°﹣45°）＝135°，
∵∠AEB＝∠2，∠EDN+∠2＝180°，而∠EDN≠∠ADC，
故選：C．
【考察注意點(diǎn)】本題考查了平行線得性質(zhì)，角平分線的定義，互補(bǔ)，互余，是一道綜合性較強(qiáng)的題．
二．填空題
8．（2022?柯城區(qū)校級(jí)開學(xué)）如圖，QP∥MN，A，B分別為直線MN，PQ上兩點(diǎn)，且∠BAN＝60°，射線AE從AM開始繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)至AN后立即回轉(zhuǎn)，然后以不變的速度在AM和AN之間不停地來回旋轉(zhuǎn)，射線BF從BQ繞點(diǎn)B按逆時(shí)針方向同時(shí)開始旋轉(zhuǎn)，射線AE轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是4°/s，射線BF轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是1°/s，在射線BF到達(dá)BP之前，有 2 次射線AE與射線BF互相平行，時(shí)間分別是 36或60 s．
【易錯(cuò)思路引導(dǎo)】分三種情況討論，依據(jù)∠ABF＝∠BAE時(shí)，AE∥BF，列出方程即可得到射線AE與射線BF互相平行時(shí)的時(shí)間．
【規(guī)范解答】解：設(shè)射線AE從AM開始繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)ts時(shí)，射線AE與射線BF互相平行．
分三種情況：
①如圖，當(dāng)0＜t＜45時(shí)，∠QBF＝t°，∠MAE＝（4t）°，
∵PQ∥MN，∠BAN＝60°，
∴∠ABQ＝∠BAN＝60°，
∴∠MAB＝180°﹣∠BAN＝120°，
∴∠ABF＝60°﹣t°，∠BAE＝∠MAE﹣∠MAB＝（4t）°﹣120°，
當(dāng)∠ABF＝∠BAE時(shí)，AE∥BF，
此時(shí)，60﹣t＝4t﹣120，
解得t＝36；
②當(dāng)45≤t≤60時(shí)，∠QBF＝t°，∠NAE＝（4t）°﹣180°，∠BAE＝60°﹣[（4t）°﹣180°]＝240°﹣（4t）°，
∵PQ∥MN，∠BAN＝60°，
∴∠ABQ＝∠BAN＝60°，
∴∠MAB＝180°﹣∠BAN＝120°，
∴∠ABF＝60°﹣t°，∠BAE＝240°﹣（4t）°，
當(dāng)∠ABF＝∠BAE時(shí)，AE∥BF，
此時(shí)，60﹣t＝240﹣4t，
解得t＝60；
③如圖，當(dāng)60≤t＜180時(shí)，∠QBF＝t°，∠NAE＝（4t）°﹣180°，∠BAE＝[（4t）°﹣180°]﹣60°＝（4t）°﹣240°，
∵PQ∥MN，∠BAN＝60°，
∴∠ABQ＝∠BAN＝60°，
∴∠MAB＝180°﹣∠BAN＝120°，
∴∠ABF＝t°﹣60°，∠BAE＝240°﹣（4t）°，
當(dāng)∠ABF＝∠BAE時(shí)，AE∥BF，
此時(shí)，t﹣60＝4t﹣240，
解得t＝60；
綜上所述，在射線BF到達(dá)BP之前，有2次射線AE與射線BF互相平行，時(shí)間分別是36或60s．
故答案為：2，36或60．
【考察注意點(diǎn)】本題主要考查了平行線的判定與性質(zhì)，以及角的和差關(guān)系的運(yùn)用，解決問題的關(guān)鍵是運(yùn)用分類思想進(jìn)行求解，解題時(shí)注意：兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角相等．簡單說成：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．
9．（2023秋?牡丹區(qū)期末）如圖，點(diǎn)E在BC的延長線上，下列條件中，①∠2＝∠5；②∠3＝∠4；③∠ACE+∠E＝180°；④∠B＝∠3，能判斷AC∥DE的有 ①③ ．
【易錯(cuò)思路引導(dǎo)】同位角相等，兩直線平行；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行，據(jù)此進(jìn)行判斷即可．
【規(guī)范解答】解：①∠2＝∠5，根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行可得AC∥DE；
②∠3＝∠4，根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行可得AD∥CE；
③∠ACE+∠E＝180°，根據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行可得AC∥DE；
④∠B＝∠3，根據(jù)同位角相等，兩直線平行可得AB∥DC．
∴能判斷AC∥DE的有①③，
故答案為：①③．
【考察注意點(diǎn)】本題主要考查了平行線的判定，解題時(shí)注意：同位角相等，兩直線平行；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行．
10．（2023春?零陵區(qū)期末）如圖，已知AC∥BD，BC平分∠ABD，CE平分∠DCM，且BC⊥CE．則下列結(jié)論：①CB平分∠ACD，②AB∥CD，③∠A＝∠BDC，④點(diǎn)P是線段BE上任意一點(diǎn)，則∠APM＝∠BAP+∠PCD．正確的是 ①②③ ．
【易錯(cuò)思路引導(dǎo)】根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)和角平分線的定義逐一進(jìn)行判斷即可．
【規(guī)范解答】解：如圖，
∵AC∥BD，
∵∠2＝∠3
∵BC平分∠ABD，
∴∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3，
∵CE平分∠DCM，
∴∠4＝∠5，
∵BC⊥CE．
∴∠4+∠6＝90°，
∴∠5+∠6＝90°，
∵∠3+∠5＝90°，
∴∠3＝∠6，
∴CB平分∠ACD，故①正確；
∴∠1＝∠6，
AB∥CD，故②正確；
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠A＝∠BDC，故③正確；
如圖，點(diǎn)P是線段BE上任意一點(diǎn)，
∵AB與PC不平行，CD與PM不平行，
∴∠BAP≠∠APC，∠PCD≠∠CPM，
∴∠APM≠∠BAP+∠PCD．故④不正確．
所以正確的是①②③．
故答案為：①②③．
【考察注意點(diǎn)】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握平行線的判定與性質(zhì)．
11．（2023春?西城區(qū)校級(jí)期末）如圖，已知AB∥CD∥EF，BC∥AD，AC平分∠BAD，那么圖中與∠AGE相等的角有 5 個(gè)．
【易錯(cuò)思路引導(dǎo)】由AB∥CD∥EF，可得∠AGE＝∠GAB＝∠DCA；由BC∥AD，可得∠GAE＝∠GCF；又因?yàn)锳C平分∠BAD，可得∠GAB＝∠GAE；根據(jù)對(duì)頂角相等可得∠AGE＝∠CGF．所以圖中與∠AGE相等的角有5個(gè)．
【規(guī)范解答】解：∵AB∥CD∥EF，
∴∠AGE＝∠GAB＝∠DCA；
∵BC∥AD，
∴∠GAE＝∠GCF；
又∵AC平分∠BAD，
∴∠GAB＝∠GAE；
∵∠AGE＝∠CGF．
∴∠AGE＝∠GAB＝∠DCA＝∠CGF＝∠GAE＝∠GCF．
∴圖中與∠AGE相等的角有5個(gè)．
【考察注意點(diǎn)】此題考查了平行線的性質(zhì)、角平分線的定義以及對(duì)頂角的性質(zhì)．注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
12．（2023春?襄城縣月考）已知∠1的兩邊分別平行于∠2的兩邊，若∠1＝40°，則∠2的度數(shù)為 40°或140° ．
【易錯(cuò)思路引導(dǎo)】①圖1時(shí)，由兩直線平行，同位角相等，等量代換和角的和差計(jì)算出∠2的度數(shù)為40°；
②圖2時(shí)，同兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，等量代換和角的和差計(jì)算出∠2的度數(shù)為140°．
【規(guī)范解答】解：①若∠1與∠2位置如圖1所示：
∵AB∥DE，
∴∠1＝∠3，
又∵DC∥EF，
∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠2，
又∵∠1＝40°，
∴∠2＝40°；
②若∠1與∠2位置如圖2所示：
∵AB∥DE，
∴∠1＝∠3，
又∵DC∥EF，
∴∠2+∠3＝180°，
∴∠2+∠1＝180°，
又∵∠1＝40°
∴∠2＝180°﹣∠1＝180°﹣40°＝140°，
綜合所述：∠2的度數(shù)為40°或140°，
故答案為：40°或140°．
【考察注意點(diǎn)】本題綜合考查了平行線的性質(zhì)，角的和差，等量代換，鄰補(bǔ)角性質(zhì)，對(duì)頂角性質(zhì)等相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，重點(diǎn)掌握平行線的性質(zhì)，難點(diǎn)是兩個(gè)角的兩邊分別平行是射線平行，分類畫出符合題意的圖形后計(jì)算．
13．（2022春?岳池縣期末）如圖，AB∥CD，OE平分∠BOC，OF⊥OE，OP⊥CD，∠ABO＝a°．則下列結(jié)論：①∠BOE＝（180﹣a）°；②OF平分∠BOD；③∠POE＝∠BOF；④∠POB＝2∠DOF．其中正確結(jié)論 ①②③ （填編號(hào)）．
【易錯(cuò)思路引導(dǎo)】由于AB∥CD，則∠ABO＝∠BOD＝40°，利用平角等于得到∠BOC＝（180﹣a）°，再根據(jù)角平分線定義得到∠BOE＝（180﹣a）°；利用OF⊥OE，可計(jì)算出∠BOF＝a°，則∠BOF＝∠BOD，即OF平分∠BOD； 利用OP⊥CD，可計(jì)算出∠POE＝a°，則∠POE＝∠BOF； 根據(jù)∠POB＝90°﹣a°，∠DOF＝a°，可知④不正確．
【規(guī)范解答】解：①∵AB∥CD，
∴∠BOD＝∠ABO＝a°，
∴∠COB＝180°﹣a°＝（180﹣a）°，
又∵OE平分∠BOC，
∴∠BOE＝∠COB＝（180﹣a）°．故①正確；
②∵OF⊥OE，
∴∠EOF＝90°，
∴∠BOF＝90°﹣（180﹣a）°＝a°，
∴∠BOF＝∠BOD，
∴OF平分∠BOD所以②正確；
③∵OP⊥CD，
∴∠COP＝90°，
∴∠POE＝90°﹣∠EOC＝a°，
∴∠POE＝∠BOF； 所以③正確；
∴∠POB＝90°﹣a°，
而∠DOF＝a°，所以④錯(cuò)誤．
【考察注意點(diǎn)】本題考查了平行線的性質(zhì)：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；兩直線平行，同位角相等．
三．解答題
14．（2022春?沙坪壩區(qū)校級(jí)月考）已知，如圖，AB∥CD，直線MN交AB于點(diǎn)M，交CD于點(diǎn)N，點(diǎn)E是線段MN上一點(diǎn)，P，Q分別在射線MB，ND上，連接PE，EQ，PF平分∠MPE，QF平分∠DQE．
（1）如圖1，當(dāng)PE⊥QE時(shí)，直接寫出∠PFQ的度數(shù)；
（2）如圖2，求∠PEQ與∠PFQ之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
（3）如圖3，在（1）問的條件下，若∠APE＝45°，∠MND＝75°，過點(diǎn)P作PH⊥OF交QF的延長線于點(diǎn)H，將MN繞點(diǎn)N順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，速度為每秒5°，直線MN旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)直線為M'N，同時(shí)△FPH繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，速度為每秒10°，△FPH旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)三角形為△F'PH'，當(dāng)MN首次落到CD上時(shí)，整個(gè)運(yùn)動(dòng)停止，在此運(yùn)動(dòng)過程中，經(jīng)過t秒后，M'N恰好平行于△F'PH'的其中一條邊，請(qǐng)直接寫出所有滿足條件的t的值．
【易錯(cuò)思路引導(dǎo)】（1）延長PE交CD于G，設(shè)PE，F(xiàn)Q交于點(diǎn)H，設(shè)∠APE＝2α，則∠FPH＝∠APE＝α，根據(jù)AB∥CD可表示出∠PGQ，進(jìn)而根據(jù)三角形內(nèi)角和推論表示出∠EQD，進(jìn)而表示出∠EQH，然后結(jié)合△EQH和△PFH得出關(guān)系式，進(jìn)一步得出結(jié)果；
（2）類比（1）的方法過程，得出結(jié)果；
（3）分為△PF′H′的三邊分別與NM′平行，當(dāng)PF′∥NM′時(shí)，∠APF′與NM′同AB的夾角（銳角）相等，從而列出方程求得結(jié)果，當(dāng)PH′∥NM′時(shí)，同樣的方法求得，當(dāng)F′H′∥NM′時(shí)，此時(shí)PH′⊥NM′，根據(jù)四邊形內(nèi)角和列出方程求得結(jié)果．
【規(guī)范解答】解：（1）如圖1：
延長PE交CD于G，設(shè)PE，F(xiàn)Q交于點(diǎn)H，
設(shè)∠APE＝2α，則∠FPH＝∠APE＝α，
∵AB∥CD，
∴∠PGQ＝∠APE＝2α，
∵PE⊥QE，
∴∠QEH＝QEG＝90°，
∴∠EQD＝∠QEG+∠PGQ＝90°+2α，
∴∠EQH＝∠EQD＝45°+α，
在△EQH和△PFH中，
∵∠HEQ+∠HQE+∠EHQ＝180°，∠FPH+∠FHP+∠PFH＝180°，∠PHF＝∠EHQ，
∴∠HEQ+∠HQE＝∠FPH+∠PFH，
即：90°+45°+α＝α+∠PFH，
∴∠PFH＝135°，
故答案為：135°；
（2）如圖1，
延長PE交CD于G，設(shè)PE，F(xiàn)Q交于點(diǎn)H，
設(shè)∠APE＝2α，設(shè)∠PEQ＝β，則∠FPH＝∠APE＝α，
∵AB∥CD，
∴∠PGQ＝∠APE＝2α，
∵∠GEQ＝180°﹣∠PEQ，
∴∠EQD＝∠QEG+∠PGQ＝180°﹣∠PEQ+2α，
∴∠HQE＝∠EQD＝90°+α﹣∠PEQ，
在△EQH和△PFH中，
∵∠PEQ+∠HQE+∠EHQ＝180°，∠FPH+∠FHP+∠PFH＝180°，∠PHF＝∠EHQ，
∴∠PEQ+∠HQE＝∠FPH+∠PFH，
即：∠PEQ+90°+α﹣∠PEQ＝α+∠PFQ
∴2∠PFQ﹣∠PEQ＝180°；
（3）如圖2：
當(dāng)M′N∥PF′時(shí)，
105﹣5t＝22.5+10t，
∴t＝5.5，
如圖3：
當(dāng)NM′∥PH′時(shí)，
105﹣5t＝10t﹣22.5，
∴t＝8.5，
如圖4：
當(dāng)NM′∥F′H′時(shí)，即PH′⊥NM′，
105+5t+10t﹣22.5+90＝360，
∴t＝12.5，
綜上所述：t＝5.5或8.5或12.5．
【考察注意點(diǎn)】本題考查了平行線判定，三角形內(nèi)角和定理及其推論，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，四邊形內(nèi)角和等知識(shí)，解決問題的關(guān)鍵是正確分類，并找出相等關(guān)系列方程．
15．（2023秋?舞鋼市期末）如圖，四邊形BCED中，點(diǎn)A在CB的延長線上，點(diǎn)F在DE的延長線上，連接AF交BD于G，交CE于H，且∠1＝45°，∠2＝135°．
（1）求證：BD∥CE；
（2）若∠C＝∠D，求證：∠A＝∠F．
【易錯(cuò)思路引導(dǎo)】（1）由∠CHG+∠2＝180°，∠2＝135°可得出∠CHG＝45°＝∠1，利用“同位角相等，兩直線平行”可證出BD∥CE；
（2）由BD∥CE得出∠C＝∠ABD，由∠C＝∠D得出∠ABD＝∠D，利用“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”得出AC∥DF，利用“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”得出∠A＝∠F．
【規(guī)范解答】證明：（1）∵∠CHG+∠2＝180°，∠2＝135°，
∴∠CHG＝45°，
∵∠1＝45°，
∴∠CHG＝∠1，
∴BD∥CE．
（2）∵BD∥CE，
∴∠C＝∠ABD，
∵∠C＝∠D，
∴∠ABD＝∠D．
∴AC∥DF，
∴∠A＝∠F．
【考察注意點(diǎn)】本題主要考查了平行線的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）通過角的計(jì)算，找出∠CHG＝∠1；（2）利用平行線的判定得出AC∥DF．
16．（2022春?鳳凰縣期末）如圖1，已知兩條直線AB，CD被直線EF所截，分別交于點(diǎn)E，點(diǎn)F，EM平分∠AEF交CD于點(diǎn)M，且∠FEM＝∠FME．
（1）判斷直線AB與直線CD是否平行，并說明理由；
（2）如圖2，點(diǎn)G是射線MD上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)M，F(xiàn)重合），EH平分∠FEG交CD于點(diǎn)H，過點(diǎn)H作HN⊥EM于點(diǎn)N，設(shè)∠EHN＝α，∠EGF＝β．
①當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)F的右側(cè)時(shí)，若β＝50°，求α的度數(shù)；
②當(dāng)點(diǎn)G在運(yùn)動(dòng)過程中，α和β之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想，并加以證明．
【易錯(cuò)思路引導(dǎo)】（1）依據(jù)角平分線，可得∠AEM＝∠FEM，根據(jù)∠FEM＝∠FME，可得∠AEM＝∠FME，進(jìn)而得出AB∥CD；
（2）①依據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠AEG＝130°，再根據(jù)EH平分∠FEG，EM平分∠AEF，即可得到∠MEH＝∠AEG＝65°，再根據(jù)HN⊥ME，即可得到Rt△EHN中，∠EHN＝90°﹣65°＝25°；
②分兩種情況進(jìn)行討論：當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)F的右側(cè)時(shí)，α＝．當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)F的左側(cè)時(shí)，α＝90°﹣．
【規(guī)范解答】解：（1）∵EM平分∠AEF
∴∠AEM＝∠FEM，
又∵∠FEM＝∠FME，
∴∠AEM＝∠FME，
∴AB∥CD；
（2）①如圖2，∵AB∥CD，β＝50°
∴∠AEG＝130°，
又∵EH平分∠FEG，EM平分∠AEF
∴∠HEF＝∠FEG，∠MEF＝∠AEF，
∴∠MEH＝∠AEG＝65°，
又∵HN⊥ME，
∴Rt△EHN中，∠EHN＝90°﹣65°＝25°，
即α＝25°；
②點(diǎn)G是射線MD上一動(dòng)點(diǎn)，故分兩種情況討論：
如圖2，當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)F的右側(cè)時(shí)，α＝．
證明：∵AB∥CD，
∴∠AEG＝180°﹣β，
又∵EH平分∠FEG，EM平分∠AEF
∴∠HEF＝∠FEG，∠MEF＝∠AEF，
∴∠MEH＝∠AEG＝（180°﹣β），
又∵HN⊥ME，
∴Rt△EHN中，∠EHN＝90°﹣∠MEH＝90°﹣（180°﹣β）＝，
即α＝；
如圖3，當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)F的左側(cè)時(shí)，α＝90°﹣．
證明：∵AB∥CD，
∴∠AEG＝∠EGF＝β，
又∵EH平分∠FEG，EM平分∠AEF
∴∠HEF＝∠FEG，∠MEF＝∠AEF，
∴∠MEH＝∠MEF﹣∠HEF
＝（∠AEF﹣∠FEG）
＝∠AEG
＝β，
又∵HN⊥ME，
∴Rt△EHN中，∠EHN＝90°﹣∠MEH，
即α＝90°﹣．
【考察注意點(diǎn)】本題主要考查了平行線的性質(zhì)與判定，角平分線的定義的運(yùn)用，解決問題的關(guān)鍵是掌握：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；利用角的和差關(guān)系進(jìn)行推算．
17．（2022春?濰坊期末）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠1＝∠2，∠2與∠3互余，以點(diǎn)C為頂點(diǎn)，CD為一邊，在四邊形ABCD的外部作∠5，使∠5＝∠4，交DE于點(diǎn)F，試探索DE和CF的位置關(guān)系，并說明理由．
【易錯(cuò)思路引導(dǎo)】依據(jù)AD∥BC，∠1＝∠2，即可得到∠1＝∠4＝∠2，再根據(jù)∠5＝∠4，可得∠5＝∠2，依據(jù)∠2與∠3互余，可得∠3與∠5互余，即可得出DE⊥CF．
【規(guī)范解答】解：DE⊥CF，理由如下：
∵AD∥BC，∠1＝∠2，
∴∠1＝∠4＝∠2，
又∵∠5＝∠4，
∴∠5＝∠2，
又∵∠2與∠3互余，
∴∠3與∠5互余，
∴∠5+∠3＝90°，
∴DE⊥CF．
【考察注意點(diǎn)】本題主要考查了平行線性質(zhì)以及垂線的定義的運(yùn)用，平行線的判定是由角的數(shù)量關(guān)系判斷兩直線的位置關(guān)系，平行線的性質(zhì)是由平行關(guān)系來尋找角的數(shù)量關(guān)系．
18．（2023秋?汝州市校級(jí)月考）平行線是平面幾何中最基本、也是非常重要的圖形．在解決某些幾何問題時(shí)，若能根據(jù)問題的需要，添加適當(dāng)?shù)钠叫芯€，往往能使證明順暢、簡潔．請(qǐng)根據(jù)上述思想解決問題：
（1）如圖（1），AB∥CD，試判斷∠B，∠D與∠E的關(guān)系；
（2）如圖（2），已知AB∥CD，在∠ACD的角平分線上取兩個(gè)點(diǎn)M、N，使得∠AMN＝∠ANM，求證：∠CAM＝∠BAN．
【易錯(cuò)思路引導(dǎo)】（1）過E作EF∥AB，則EF∥AB∥CD，由平行線的性質(zhì)得出∠B＝∠BEF，∠D＝∠DEF，即可得出結(jié)論；
（2）過點(diǎn)N作NG∥AB，交AM于點(diǎn)G，則NG∥AB∥CD，由平行線的性質(zhì)得出∠BAN＝∠ANG，∠GNC＝∠NCD，由三角形的外角性質(zhì)得出∠AMN＝∠ACM+∠CAM，證出∠ACM+∠CAM＝∠ANG+∠GNC，得出∠ACM+∠CAM＝∠BAN+∠NCD，由角平分線得出∠ACM＝∠NCD，即可得出結(jié)論．
【規(guī)范解答】（1）解：∠B+∠D＝∠BED，理由如下：
過E作EF∥AB，如圖①所示：
則EF∥AB∥CD，
∴∠B＝∠BEF，∠D＝∠DEF，
∴∠B+∠D＝∠BEF+∠DEF，
即∠B+∠D＝∠BED；
（2）證明：過點(diǎn)N作NG∥AB，交AM于點(diǎn)G，如圖②所示：
則NG∥AB∥CD，
∴∠BAN＝∠ANG，∠GNC＝∠NCD，
∵∠AMN是△ACM的一個(gè)外角，
∴∠AMN＝∠ACM+∠CAM，
又∵∠AMN＝∠ANM，∠ANM＝∠ANG+∠GNC，
∴∠ACM+∠CAM＝∠ANG+∠GNC，
∴∠ACM+∠CAM＝∠BAN+∠NCD，
∵CN平分∠ACD，
∴∠ACM＝∠NCD，
∴∠CAM＝∠BAN．
【考察注意點(diǎn)】本題考查了平行線的性質(zhì)與判定、角平分線定義等知識(shí)；熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)，作出輔助平行線是解決問題的關(guān)鍵．
19．（2023秋?法庫縣期末）如圖，∠AOB＝40°，OC平分∠AOB，點(diǎn)D，E在射線OA，OC上，點(diǎn)P是射線OB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接DP交射線OC于點(diǎn)F，設(shè)∠ODP＝x°．
（1）如圖1，若DE∥OB．
①∠DEO的度數(shù)是 20 °，當(dāng)DP⊥OE時(shí)，x＝ 70 ；
②若∠EDF＝∠EFD，求x的值；
（2）如圖2，若DE⊥OA，是否存在這樣的x的值，使得∠EFD＝4∠EDF？若存在，求出x的值；若不存在，說明理由．
【易錯(cuò)思路引導(dǎo)】（1）①運(yùn)用平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義，可得∠DEO的度數(shù)及x的值；②根據(jù)∠ODE、∠FDE的度數(shù)，可得x的值；
（2）分兩種情況進(jìn)行討論：DP在DE左側(cè)，DP在DE右側(cè)，分別根據(jù)三角形內(nèi)角和定理以及直角的度數(shù)，可得x的值．
【規(guī)范解答】解：（1）①∵∠AOB＝40°，OC平分∠AOB，
∴∠BOE＝20°，
∵DE∥OB，
∴∠DEO＝∠BOE＝20°；
∵∠DOE＝∠DEO＝20°，
∴DO＝DE，∠ODE＝140°，
當(dāng)DP⊥OE時(shí)，∠ODP＝∠ODE＝70°，
即x＝70，
故答案為：20，70；
②∵∠DEO＝20°，∠EDF＝∠EFD，
∴∠EDF＝80°，
又∵∠ODE＝140°，
∴∠ODP＝140°﹣80°＝60°，
∴x＝60；
（2）存在這樣的x的值，使得∠EFD＝4∠EDF．
分兩種情況：
①如圖2，若DP在DE左側(cè)，
∵DE⊥OA，
∴∠EDF＝90°﹣x°，
∵∠AOC＝20°，
∴∠EFD＝20°+x°，
當(dāng)∠EFD＝4∠EDF時(shí)，20°+x°＝4（90°﹣x°），
解得x＝68；
②如圖3，若DP在DE右側(cè)，
∵∠EDF＝x°﹣90°，∠EFD＝180°﹣20°﹣x°＝160°﹣x°，
∴當(dāng)∠EFD＝4∠EDF時(shí)，160°﹣x°＝4（x°﹣90°），
解得x＝104；
綜上所述，當(dāng)x＝68或104時(shí)，∠EFD＝4∠EDF．
【考察注意點(diǎn)】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理和三角形的外角性質(zhì)的應(yīng)用，三角形的內(nèi)角和等于180°，三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和．解題時(shí)注意分類討論思想的運(yùn)用．
20．（2023秋?金水區(qū)校級(jí)期末）【探究】
（1）如圖1，∠ADC＝120°，∠BCD＝130°，∠DAB和∠CBE的平分線交于點(diǎn)F，則∠AFB＝ 35 °；
（2）如圖2，∠ADC＝α，∠BCD＝β，且α+β＞180°，∠DAB和∠CBE的平分線交于點(diǎn)F，則∠AFB＝ ；（用α、β表示）
（3）如圖3，∠ADC＝α，∠BCD＝β，當(dāng)∠DAB和∠CBE的平分線AG、BH平行時(shí)，α、β應(yīng)該滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)證明你的結(jié)論．
【挑戰(zhàn)】
如果將（2）中的條件α+β＞180°改為α+β＜180°，再分別作∠DAB和∠CBE的平分線，你又可以找到怎樣的數(shù)量關(guān)系？畫出圖形并直接寫出結(jié)論．
【易錯(cuò)思路引導(dǎo)】利用三角形外角的性質(zhì)，列出∠F＝∠FBE﹣∠FAB．再通過角平分線的定義以及四邊形內(nèi)角和的性質(zhì)，將∠F＝∠FBE﹣∠FAB轉(zhuǎn)化為含有α與β的關(guān)系式，進(jìn)而求出∠AFB．
【規(guī)范解答】解：（1）如圖1．
∵BF平分∠CBE，AF平分∠DAB，
∴∠FBE＝∠CBE，∠FAB＝∠DAB．
∵∠D+∠DCB+∠DAB+∠ABC＝360°，
∴∠DAB+∠ABC＝360°﹣∠D﹣∠DCB
＝360°﹣120°﹣130°＝110°．
又∵∠F+∠FAB＝∠FBE，
∴∠F＝∠FBE﹣∠FAB＝
＝
＝．
（2）如圖2．
由（1）得：∠AFB＝，∠DAB+∠ABC＝360°﹣∠D﹣∠DCB．
∴∠AFB＝＝．
（3）若AG∥BH，則α+β＝180°．
證明：如圖3．
若AG∥BH，則∠GAB＝∠HBE．
∵AG平分∠DAB，BH平分∠CBE，
∴∠DAB＝2∠GAB，∠CBE＝2∠HBE．
∴∠DAB＝∠CBE．
∴AD∥BC．
∴∠DAB+∠DCB＝α+β＝180°．
挑戰(zhàn)：如圖4．
∵AM平分∠DAB，BN平分∠CBE，
∴∠BAM＝，．
∵∠D+∠DAB+∠ABC+∠BCD＝360°，
∴∠DAB+∠ABC＝360°﹣∠D﹣BCD＝360°﹣α﹣β．
∴∠DAB+180°﹣∠CBE＝360°﹣α﹣β．
∴∠DAB﹣∠CBE＝180°﹣α﹣β．
∵∠ABF與∠NBE是對(duì)頂角，
∴∠ABF＝∠NBE．
又∵∠F+∠ABF＝∠MAB，
∴∠F＝∠MAB﹣∠ABF．
∴∠F＝
＝
＝90°﹣．
【考察注意點(diǎn)】本題主要考查三角形外角的性質(zhì)、四邊形內(nèi)角和的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、角平分線的定義．借助轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，將未知條件轉(zhuǎn)化為已知條件解題