2022-2023學(xué)年北師大版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)章節(jié)考點(diǎn)精講精練 第5章《二元一次方程組》 知識(shí)互聯(lián)網(wǎng) 知識(shí)導(dǎo)航 知識(shí)點(diǎn)01：二元一次方程組的相關(guān)概念 1. 二元一次方程的定義 定義：方程中含有兩個(gè)未知數(shù)（和），并且未知數(shù)的次數(shù)都是1，像這樣的方程叫做二元一次方程. 細(xì)節(jié)剖析： （1）在方程中“元”是指未知數(shù)，“二元”就是指方程中有且只有兩個(gè)未知數(shù). （2）“未知數(shù)的次數(shù)為1”是指含有未知數(shù)的項(xiàng)（單項(xiàng)式）的次數(shù)是1. （3）二元一次方程的左邊和右邊都必須是整式. 2.二元一次方程的解 定義：使二元一次方程兩邊的值相等的兩個(gè)未知數(shù)的值，叫做二元一次方程的解. 細(xì)節(jié)剖析： 二元一次方程的每一個(gè)解，都是一對(duì)數(shù)值，而不是一個(gè)數(shù)值，一般要用大括號(hào)聯(lián)立起來(lái)，即二元一次方程的解通常表示為 的形式. 3. 二元一次方程組的定義 定義：把具有相同未知數(shù)的兩個(gè)二元一次方程合在一起，就組成了一個(gè)二元一次方程組. 此外，組成方程組的各個(gè)方程也不必同時(shí)含有兩個(gè)未知數(shù).例如，二元一次方程組. 細(xì)節(jié)剖析： （1）它的一般形式為（其中，，，不同時(shí)為零）． （2）更一般地，如果兩個(gè)一次方程合起來(lái)共有兩個(gè)未知數(shù)，那么它們組成一個(gè)二元一次方程組． （3）符號(hào)“”表示同時(shí)滿足，相當(dāng)于“且”的意思． 4. 二元一次方程組的解 定義：一般地，二元一次方程組的兩個(gè)方程的公共解，叫做二元一次方程組的解. 細(xì)節(jié)剖析： （1）方程組中每個(gè)未知數(shù)的值應(yīng)同時(shí)滿足兩個(gè)方程，所以檢驗(yàn)是否是方程組的解，應(yīng)把數(shù)值代入兩個(gè)方程，若兩個(gè)方程同時(shí)成立，才是方程組的解，而方程組中某一個(gè)方程的某一組解不一定是方程組的解. （2）方程組的解要用大括號(hào)聯(lián)立； （3）一般地，二元一次方程組的解只有一個(gè)，但也有特殊情況，如方程組無(wú)解，而方程組 的解有無(wú)數(shù)個(gè). 知識(shí)點(diǎn)02：二元一次方程組的解法 1.解二元一次方程組的思想 2.解二元一次方程組的基本方法：代入消元法、加減消元法和圖像法 （1）用代入消元法解二元一次方程組的一般過(guò)程： ①?gòu)姆匠探M中選定一個(gè)系數(shù)比較簡(jiǎn)單的方程進(jìn)行變形，用含有（或）的代數(shù)式表示（或），即變成（或）的形式； ②將（或）代入另一個(gè)方程（不能代入原變形方程）中，消去（或），得到一個(gè)關(guān)于（或）的一元一次方程； ③解這個(gè)一元一次方程，求出（或）的值； ④把（或）的值代入（或）中，求（或）的值； ⑤用“”聯(lián)立兩個(gè)未知數(shù)的值，就是方程組的解. 細(xì)節(jié)剖析： (1)用代入法解二元一次方程組時(shí)，應(yīng)先觀察各項(xiàng)系數(shù)的特點(diǎn)，盡可能選擇變形后比較簡(jiǎn)單或代入后化簡(jiǎn)比較容易的方程變形； (2)變形后的方程不能再代入原方程，只能代入原方程組中的另一個(gè)方程； (3)要善于分析方程的特點(diǎn)，尋找簡(jiǎn)便的解法.如將某個(gè)未知數(shù)連同它的系數(shù)作為一個(gè)整體用含另一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式來(lái)表示，代入另一個(gè)方程，或直接將某一方程代入另一個(gè)方程，這種方法叫做整體代入法.整體代入法是解二元一次方程組常用的方法之一，它的運(yùn)用可使運(yùn)算簡(jiǎn)便，提高運(yùn)算速度及準(zhǔn)確率. （2）用加減消元法解二元一次方程組的一般過(guò)程： ①根據(jù)“等式的兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)不等于0的數(shù)，等式仍然成立”的性質(zhì)，將原方程組化成有一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)絕對(duì)值相等的形式； ②根據(jù)“等式兩邊加上（或減去）同一個(gè)整式，所得的方程與原方程是同解方程”的性質(zhì)，將變形后的兩個(gè)方程相加（或相減），消去一個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元一次方程； ③解這個(gè)一元一次方程，求出一個(gè)未知數(shù)的值； ④把求得的未知數(shù)的值代入原方程組中比較簡(jiǎn)單的一個(gè)方程中，求出另一個(gè)未知數(shù)的值； ⑤將兩個(gè)未知數(shù)的值用“”聯(lián)立在一起即可. 細(xì)節(jié)剖析： 當(dāng)方程組中有一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)的絕對(duì)值相等或同一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)成整數(shù)倍時(shí)，用加減消元法較簡(jiǎn)單. （3）圖像法解二元一次方程組的一般過(guò)程： ①把二元一次方程化成一次函數(shù)的形式． ?②在直角坐標(biāo)系中畫(huà)出兩個(gè)一次函數(shù)的圖像，并標(biāo)出交點(diǎn)． ③交點(diǎn)坐標(biāo)就是方程組的解． 細(xì)節(jié)剖析： 二元一次方程組無(wú)解一次函數(shù)的圖像平行（無(wú)交點(diǎn)） 二元一次方程組有一解一次函數(shù)的圖像相交（有一個(gè)交點(diǎn)） 二元一次方程組有無(wú)數(shù)個(gè)解一次函數(shù)的圖像重合（有無(wú)數(shù)個(gè)交點(diǎn)） 利用圖像法求二元一次方程組的解是近似解，要得到準(zhǔn)確解，一般還是用代入消元法和加減消元法解方程組.相反，求兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)可以轉(zhuǎn)化為求這兩條直線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式聯(lián)立的二元一次方程組的解. 知識(shí)點(diǎn)03：實(shí)際問(wèn)題與二元一次方程組 細(xì)節(jié)剖析： （1）解實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題必須寫(xiě)“答”，而且在寫(xiě)答案前要根據(jù)應(yīng)用題的實(shí)際意義，檢查求得的結(jié)果是否合理，不符合題意的解應(yīng)該舍去； （2）“設(shè)”、“答”兩步，都要寫(xiě)清單位名稱； （3）一般來(lái)說(shuō)，設(shè)幾個(gè)未知數(shù)就應(yīng)該列出幾個(gè)方程并組成方程組. 知識(shí)點(diǎn)04：二元一次方程（組）與一次函數(shù) 1.二元一次方程與一次函數(shù)的關(guān)系 （1）任何一個(gè)二元一次方程都可以變形為即為一個(gè)一次函數(shù)，所以每個(gè)二元一次方程都對(duì)應(yīng)一個(gè)一次函數(shù). （2）我們知道每個(gè)二元一次方程都有無(wú)數(shù)組解，例如：方程我們列舉出它的幾組整數(shù)解有，我們發(fā)現(xiàn)以這些整數(shù)解為坐標(biāo)的點(diǎn)（0，5），（5，0），（2，3）恰好在一次函數(shù)y＝的圖像上，反過(guò)來(lái)，在一次函數(shù)的圖像上任取一點(diǎn)，它的坐標(biāo)也適合方程. 細(xì)節(jié)剖析： 1.以二元一次方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在相應(yīng)的函數(shù)圖像上； 2.一次函數(shù)圖像上的點(diǎn)的坐標(biāo)都適合相應(yīng)的二元一次方程； 3.以二元一次方程的解為坐標(biāo)的所有點(diǎn)組成的圖像與相應(yīng)一次函數(shù)的圖像相同. 2. 二元一次方程組與一次函數(shù) 每個(gè)二元一次方程組都對(duì)應(yīng)兩個(gè)一次函數(shù)，于是也對(duì)應(yīng)兩條直線.從“數(shù)”的角度看，解方程組相當(dāng)于考慮自變量為何值時(shí)兩個(gè)函數(shù)的值相等，以及這時(shí)的函數(shù)為何值；從“形”的角度看，解方程組相當(dāng)于確定兩條直線交點(diǎn)的坐標(biāo). 3.用二元一次方程組確定一次函數(shù)表達(dá)式 待定系數(shù)法：先設(shè)出函數(shù)表達(dá)式，再根據(jù)所給的條件確定表達(dá)式中未知數(shù)的系數(shù)，從而得到函數(shù)表達(dá)式的方法，叫做待定系數(shù)法. 利用待定系數(shù)法解決問(wèn)題的步驟： 1.確定所求問(wèn)題含有待定系數(shù)解析式. 2.根據(jù)所給條件, 列出一組含有待定系數(shù)的方程. 3.解方程組或者消去待定系數(shù)，從而使問(wèn)題得到解決. 知識(shí)點(diǎn)05：三元一次方程組 1．定義：含有三個(gè)未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1的方程叫做三元一次方程；含有三個(gè)相同的未知數(shù)，每個(gè)方程中含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1，并且一共有三個(gè)方程，像這樣的方程組叫做三元一次方程組. 等都是三元一次方程組. 細(xì)節(jié)剖析： 理解三元一次方程組的定義時(shí)，要注意以下幾點(diǎn)： （1）方程組中的每一個(gè)方程都是一次方程； （2）如果三個(gè)一元一次方程合起來(lái)共有三個(gè)未知數(shù)，它們就能組成一個(gè)三元一次方程組. 2．三元一次方程組的解法 解三元一次方程組的基本思想仍是消元，一般的，應(yīng)利用代入法或加減法消去一個(gè)未知數(shù)，從而化三元為二元，然后解這個(gè)二元一次方程組，求出兩個(gè)未知數(shù)，最后再求出另一個(gè)未知數(shù)．解三元一次方程組的一般步驟是： （1）利用代入法或加減法，把方程組中一個(gè)方程與另兩個(gè)方程分別組成兩組，消去兩組中的同一個(gè)未知數(shù)，得到關(guān)于另外兩個(gè)未知數(shù)的二元一次方程組； （2）解這個(gè)二元一次方程組，求出兩個(gè)未知數(shù)的值； （3）將求得的兩個(gè)未知數(shù)的值代入原方程組中的一個(gè)系數(shù)比較簡(jiǎn)單的方程，得到一個(gè)一元一次方程； （4）解這個(gè)一元一次方程，求出最后一個(gè)未知數(shù)的值； （5）將求得的三個(gè)未知數(shù)的值用“{”合寫(xiě)在一起． 細(xì)節(jié)剖析： （1）有些特殊的方程組可用特殊的消元法，解題時(shí)要根據(jù)各方程特點(diǎn)尋求比較簡(jiǎn)單的解法． （2）要檢驗(yàn)求得的未知數(shù)的值是不是原方程組的解，將所求得的一組未知數(shù)的值分別代入原方程組里的每一個(gè)方程中，看每個(gè)方程的左右兩邊是否相等，若相等，則是原方程組的解，只要有一個(gè)方程的左、右兩邊不相等就不是原方程組的解． 3. 三元一次方程組的應(yīng)用 列三元一次方程組解應(yīng)用題的一般步驟： （1）弄清題意和題目中的數(shù)量關(guān)系，用字母(如x，y，z)表示題目中的兩個(gè)(或三個(gè))未知數(shù)； （2）找出能夠表達(dá)應(yīng)用題全部含義的相等關(guān)系； （3）根據(jù)這些相等關(guān)系列出需要的代數(shù)式，從而列出方程并組成方程組； （4）解這個(gè)方程組，求出未知數(shù)的值； （5）寫(xiě)出答案(包括單位名稱)． 細(xì)節(jié)剖析： (1)解實(shí)際應(yīng)用題必須寫(xiě)“答”，而且在寫(xiě)答案前要根據(jù)應(yīng)用題的實(shí)際意義，檢查求得的結(jié)果是否合理，不符合題意的應(yīng)該舍去． (2)“設(shè)”、“答”兩步，都要寫(xiě)清單位名稱，應(yīng)注意單位是否統(tǒng)一． (3)一般來(lái)說(shuō)，設(shè)幾個(gè)未知數(shù)，就應(yīng)列出幾個(gè)方程并組成方程組． 考點(diǎn)提優(yōu)練 考點(diǎn)01：求解二元一次方程組 1．（2023八上·嶧城期末）已知二元一次方程組，則的值為（　?。?A．2 B．6 C． D． 2．（2023八上·福田期末）已知方程組 的解滿足 ，則 的值為（　?。? A．7 B． C．1 D． 3．（2022八上·長(zhǎng)沙開(kāi)學(xué)考）已知關(guān)于x、y的方程組，其中﹣3≤t≤1，給出下列結(jié)論：①是方程組的解；②若x﹣y＝3，則t＝1；③若M＝2x﹣y﹣t，則M的最小值為﹣3；其中正確的有　 　（填寫(xiě)正確答案的序號(hào)）． 4．（2023八上·禪城期末）若關(guān)于x、y 的二元一次方程組的解滿足x+y=1，則m的值為　 ?。?5．（2023八上·虎林期末）若無(wú)意義，且則=　 　，=　 　． 6．（2022八上·洪澤月考）解下列方程組或不等式組： （1） （2） （2023八上·榆林期末）已知方程組 的解也是關(guān)于x、y的二元一次方程 的一組解，求a的值. 8．（2023八上·三元月考）閱讀下列解方程組的方法，然后回答問(wèn)題. 解方程組 解：由①-②得即③， ③×16得④ ②-④得， 把代入③得 解得： 原方程組的解是 請(qǐng)你仿照上面的解法解方程組. 考點(diǎn)02：應(yīng)用—雞兔同籠問(wèn)題 9．（2022八上·岳麓開(kāi)學(xué)考）玩具車(chē)間每天能生產(chǎn)甲種玩具零件24個(gè)或乙種玩具零件12個(gè)，若甲種玩具零件1個(gè)與乙種玩具零件2個(gè)能組成一個(gè)完整的玩具，怎樣安排生產(chǎn)才能在60天內(nèi)組裝出最多的玩具？設(shè)生產(chǎn)甲種玩具零件天，乙種玩具零件天，則有（　　） A． B． C． D． 10．（2023八上·普寧期末）我國(guó)古代《四元玉鑒》中記載“二果問(wèn)價(jià)”問(wèn)題，其內(nèi)容如下：九百九十九文錢(qián)，甜果苦果買(mǎi)一千，甜果九個(gè)十一文，苦果七個(gè)四文錢(qián)，試問(wèn)甜苦果幾個(gè)，又問(wèn)各該幾個(gè)錢(qián)？若設(shè)買(mǎi)甜果x個(gè)，買(mǎi)苦果y個(gè)，則下列關(guān)于x、y的二元一次方程組中正確的是（　?。?A． B． C． D． 11．（2023八上·成都期末）《九章算術(shù)》是我國(guó)古代一部著名的算書(shū)，它的出現(xiàn)標(biāo)志著中國(guó)古代數(shù)學(xué)形成了完整的體系其中卷八方程[七]中記載：“今有牛五、羊二，直金十兩.牛二、羊五，直金八兩.牛、羊各直金幾何？”題目大意是：5頭牛、2只羊共值金10兩.2頭牛、5只羊共值金8兩.每頭牛、每只羊各值金多少兩？設(shè)1頭牛值金 兩，1只羊值金 兩，則可列方程組為　 　. 12．中國(guó)古代的數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》有方程組問(wèn)題“五只雀，六只燕，共重1斤(等于16兩)，雀重燕輕．互換其中一只，恰好一樣重．”設(shè)每只雀、燕的重量各為x兩，y兩，則根據(jù)題意，可得方程組為　 ?。? 13．（2020八上·龍崗期末）某工廠用如圖①所示的長(zhǎng)方形和正方形紙板，做成如圖②所示的豎式與橫式兩種長(zhǎng)方體的無(wú)蓋紙盒．現(xiàn)有正方形紙板150張，長(zhǎng)方形紙板300張，若這些紙板恰好用完，則可制作橫式、豎式兩種紙盒各多少個(gè)？ 14．（2019八上·東河月考）根據(jù)小敏、小聰、小東、小強(qiáng)四人的對(duì)話內(nèi)容，請(qǐng)你設(shè)計(jì)一下，分別安排多少立方米木料做桌面，多少立方米木料做桌腿，才能使得生產(chǎn)出來(lái)的桌面和桌腿及庫(kù)存的桌腿恰好全部配套？ 15．（2019八上·永登期末）某校辦工廠有工人60名,生產(chǎn)某種由一個(gè)螺栓套兩個(gè)螺母的配套產(chǎn)品,每人每天平均生產(chǎn)螺栓14個(gè)或螺母20個(gè),應(yīng)分配多少人生產(chǎn)螺栓,多少人生產(chǎn)螺母,能使生產(chǎn)出的螺栓和螺母剛好配套? 16．（2023八上·玉門(mén)期末）“國(guó)美”、“蘇寧”兩家電器商場(chǎng)出售同樣的空氣凈化器和過(guò)濾網(wǎng)，空氣凈化器和過(guò)濾網(wǎng)在兩家商場(chǎng)的售價(jià)一樣.已知買(mǎi)一個(gè)空氣凈化器和1個(gè)過(guò)濾網(wǎng)要花費(fèi) 元，買(mǎi)2個(gè)空氣凈化器和3個(gè)過(guò)濾網(wǎng)要花費(fèi)4760元. （1）請(qǐng)用方程組求出一個(gè)空氣凈化器與一個(gè)過(guò)濾網(wǎng)的銷(xiāo)售價(jià)格分別是多少元？ （2）為了迎接新年，兩家商場(chǎng)都在搞促銷(xiāo)活動(dòng)，“國(guó)美”規(guī)定：這兩種商品都打九五折；“蘇寧”規(guī)定：買(mǎi)一個(gè)空氣凈化器贈(zèng)送兩個(gè)過(guò)濾網(wǎng).若某單位想要買(mǎi)10個(gè)空氣凈化器和30個(gè)過(guò)濾網(wǎng)，如果只能在一家商場(chǎng)購(gòu)買(mǎi)，請(qǐng)問(wèn)選擇哪家商場(chǎng)購(gòu)買(mǎi)更合算？請(qǐng)說(shuō)明理由. 考點(diǎn)03：應(yīng)用-銷(xiāo)售問(wèn)題與和差倍分問(wèn)題 17．（2022八上·沙坪壩開(kāi)學(xué)考）上學(xué)年初一某班的學(xué)生都是兩人一桌，其中男生與女生同桌，這些女生占全班女生的，本學(xué)年該班新轉(zhuǎn)入4個(gè)男生后，男女生剛好一樣多．設(shè)上學(xué)年該班有男生x人，女生y人，則列方程組為（　?。?A． B． C． D． 18．（2023八上·駐馬店期末）如圖，分別用火柴棍連續(xù)搭建等邊三角形和正六邊形，公共邊只用一根火柴棍.如果搭建等邊三角形和正六邊形共用了2018根火柴，并且等邊三角形的個(gè)數(shù)比正六邊形的個(gè)數(shù)多7，那么連續(xù)搭建的等邊三角形的個(gè)數(shù)是（　　） A．291 B．292 C．293 D．294 19．（2023八上·順德期末）小明和小麗同時(shí)到一家水果店買(mǎi)水果．小明買(mǎi)蘋(píng)果和雪梨，共花了33元；小麗買(mǎi)蘋(píng)果和雪梨，共花了36元．設(shè)蘋(píng)果每千克元，雪梨每千克元，請(qǐng)根據(jù)題意，列出方程組：　 ?。?20．（2020八上·青島期末）某旅館的客房有三人間和兩人間兩種，三人間每人每天25元，兩人間每人每天35元．一個(gè)50人的旅游團(tuán)到該旅館住宿，租住了若干客房，且每個(gè)客房正好住滿，一天共花去住宿費(fèi)1510元．設(shè)該旅游團(tuán)租住三人間客房間，兩人間客房間，請(qǐng)列出滿足題意的方程組　 ?。?21．（2023八上·清遠(yuǎn)期末）為了推進(jìn)中華傳統(tǒng)文化教育，營(yíng)造濃郁的讀書(shū)氛圍，某初中舉辦了“建設(shè)書(shū)香校園”主題活動(dòng)．為此特為每個(gè)班級(jí)訂購(gòu)了一批新的圖書(shū)．初一年級(jí)兩個(gè)班訂購(gòu)圖書(shū)情況如下表： 求老舍文集和四大名著每套各是多少元？ 22．（2023八上·榆林期末）學(xué)校計(jì)劃從某花卉供應(yīng)商家定制一批花卉來(lái)裝扮校園（花盆全部為同一型號(hào)），該商家委托某貨運(yùn)公司負(fù)責(zé)這批花卉的運(yùn)輸工作.該貨運(yùn)公司有甲、乙兩種專門(mén)運(yùn)輸花卉的貨車(chē)，已知1輛甲型貨車(chē)和3輛乙型貨車(chē)滿載一次可運(yùn)輸1700盆花卉；2輛甲型貨車(chē)比3輛乙型貨車(chē)滿載一次少運(yùn)輸200盆花卉.1輛甲型貨車(chē)滿載一次可運(yùn)輸多少盆花卉？1輛乙型貨車(chē)滿載一次可運(yùn)輸多少盆花卉？ 23．（2022八上·長(zhǎng)沙開(kāi)學(xué)考）在國(guó)家精準(zhǔn)扶貧政策下，某鄉(xiāng)村大力發(fā)展鄉(xiāng)村旅游，為了滿足游客的需求，某商戶決定購(gòu)進(jìn)A，B兩種特產(chǎn)來(lái)進(jìn)行銷(xiāo)售． （1）若購(gòu)進(jìn)A種特產(chǎn)8件，B種特產(chǎn)3件，需要950元；購(gòu)進(jìn)A種特產(chǎn)5件，B種特產(chǎn)6件，需要800元．求購(gòu)進(jìn)A，B兩種特產(chǎn)每件分別需要多少元？ （2）若該商戶決定購(gòu)進(jìn)A，B兩種特產(chǎn)共100件，考慮市場(chǎng)需求和資金周轉(zhuǎn)，A種特產(chǎn)至少需購(gòu)進(jìn)50件，用于購(gòu)買(mǎi)這100件特產(chǎn)的總資金不能超過(guò)7650元，請(qǐng)問(wèn)該商戶最多可購(gòu)進(jìn)A種特產(chǎn)多少件？ 24．（2022八上·柯城開(kāi)學(xué)考）某店3月份采購(gòu)A，B兩種品牌的T恤衫，若購(gòu)A款40件，B款60件需進(jìn)價(jià)8400元；若購(gòu)A款45件，B款50件需進(jìn)價(jià)8050元. （1）商店3月份的進(jìn)貨金額只有10000元，能否同時(shí)購(gòu)進(jìn)A款和B款T恤衫各60件？ （2）根據(jù)3月份的銷(xiāo)售情況，商店決定4月份和5月份均只銷(xiāo)售A款T恤衫，4月份每件的進(jìn)價(jià)比3月份漲了a元，進(jìn)價(jià)合計(jì)9800元；5月份每件的進(jìn)價(jià)比4月份又漲了0.5a元，進(jìn)價(jià)合計(jì)12240元，數(shù)量是4月份的1.2倍.這兩批A款T恤衫開(kāi)始都以每件150元的價(jià)格出售，到6月初，商店把剩下的30件打八折出售，很快便售完，問(wèn)商店銷(xiāo)售這兩批A款T恤衫共獲毛利潤(rùn)（銷(xiāo)售收入減去進(jìn)價(jià)總計(jì)）多少元？ 25．（2023八上·福田期末）五和超市購(gòu)進(jìn) 、 兩種飲料共200箱，兩種飲料的成本與銷(xiāo)售價(jià)如下表： （1）若該超市花了6500元進(jìn)貨，求購(gòu)進(jìn) 、 兩種飲料各多少箱？ （2）設(shè)購(gòu)進(jìn) 種飲料 箱（ ），200箱飲料全部賣(mài)完可獲利潤(rùn) 元，求 與 的函數(shù)關(guān)系式，并求購(gòu)進(jìn) 種飲料多少箱時(shí)，可獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是多少？ 考點(diǎn)04：應(yīng)用—行程問(wèn)題與數(shù)字問(wèn)題 26．（2023八上·長(zhǎng)清期中）某校舉行籃球賽，每場(chǎng)比賽都要分出勝負(fù)，每隊(duì)勝一場(chǎng)得2分，負(fù)一場(chǎng)得1分．八年級(jí)一班在16場(chǎng)比賽中得26分，設(shè)該班勝x場(chǎng)，負(fù)y場(chǎng)，則根據(jù)題意，下列方程組中正確的是（　?。? A． B． C． D． 27．（2020八上·皇姑期末）為了研究吸煙是否對(duì)肺癌有影響，某腫瘤研究所隨機(jī)地調(diào)查了10000人，并進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析.結(jié)果顯示：在吸煙者中患肺癌的比例是2.5%，在不吸煙者中患肺癌的比例是0.5%，吸煙者患肺癌的人數(shù)比不吸煙者患肺癌的人數(shù)多22人.如果設(shè)這10000人中，吸煙者患肺癌的人數(shù)為x，不吸煙者患肺癌的人數(shù)為y，根據(jù)題意，下面列出的方程組正確的是（　　） A． B． C． D． 28．（2023八上·南海期中）若關(guān)于x，y的方程組與的解相同，則的值為　 　． 29．（2023八上·南岸期末）重慶某快遞公司規(guī)定：寄件不超過(guò) 的部分按起步價(jià)計(jì)費(fèi)，超過(guò) 不足 ，按照 收費(fèi)；超過(guò) 不足 按照 收費(fèi)，以此類(lèi)推.某產(chǎn)家分別寄快遞到重慶市內(nèi)和北京，其中，寄往重慶市內(nèi)的起步價(jià)為 元，超過(guò)部分 元/ ；寄往北京的起步價(jià)為 元，超過(guò)部分 元/ .已知一個(gè)寄往重慶市內(nèi)的快件，質(zhì)量為 ，收費(fèi)13元；一個(gè)寄往北京的快件，質(zhì)量為 ，收費(fèi)42元.如果一個(gè)寄往北京的快件，質(zhì)量為 ，應(yīng)收費(fèi)　 　元. 30．（2023八上·衢州期末）小聰從甲地勻速步行前往乙地，同時(shí)小明從乙地沿同一路線勻速步行前往甲地，兩人之間的距離y（m）與步行時(shí)間x（min）之間的函數(shù)關(guān)系式如圖中折線段AB﹣BC﹣CD所示. （1）小聰與小明出發(fā) 　 　min相遇； （2）在步行過(guò)程中，若小明先到達(dá)甲地，小明的速度是 　 　m/min. 31．（2023八上·寶安期末）列方程組解應(yīng)用題：全自動(dòng)紅外體溫檢測(cè)儀是一種非接觸式人體測(cè)溫系統(tǒng)，通過(guò)人體溫度補(bǔ)償、溫度自動(dòng)校正等技術(shù)實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)確、快速的測(cè)溫工作，具備人體非接觸測(cè)溫、高溫報(bào)警等功能．為了提高體溫檢測(cè)效率，某醫(yī)院引進(jìn)了一批全自動(dòng)紅外體溫檢測(cè)儀．通過(guò)一段時(shí)間使用發(fā)現(xiàn)，全自動(dòng)紅外體溫檢測(cè)儀的平均測(cè)溫用時(shí)比人工測(cè)溫快2秒，全自動(dòng)紅外體溫檢測(cè)儀檢測(cè)60個(gè)人的體溫的時(shí)間比人工檢測(cè)40個(gè)人的體溫的時(shí)間還少50秒，請(qǐng)計(jì)算全自動(dòng)紅外體溫檢測(cè)儀和人工測(cè)量測(cè)溫的平均時(shí)間分別是多少秒？ 32．（2023八上·廣南期末）如圖，已知點(diǎn)A、點(diǎn)B在數(shù)軸上表示的數(shù)分別是-20、64，動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒若干個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向右勻速運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒若干個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向左勻速運(yùn)動(dòng)．若點(diǎn)M、N同時(shí)出發(fā)，則出發(fā)后12秒相遇；若點(diǎn)N先出發(fā)7秒，則點(diǎn)M出發(fā)10秒后與點(diǎn)N相遇．動(dòng)點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)的速度分別是多少？ 33．（2022八上·黃岡開(kāi)學(xué)考）為加強(qiáng)中小學(xué)生安全教育，某校組織了“防溺水”知識(shí)競(jìng)賽，為對(duì)表現(xiàn)優(yōu)異的班級(jí)進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，學(xué)校購(gòu)買(mǎi)了若干副乒乓球拍和羽毛球拍，已知購(gòu)買(mǎi)2副乒乓球拍和1副羽毛球拍共需116元，購(gòu)買(mǎi)3副乒乓球拍和2副羽毛球拍共需204元． （1）求購(gòu)買(mǎi)1副乒乓球拍和1副羽毛球拍各需多少元？ （2）若學(xué)校購(gòu)買(mǎi)乒乓球拍和羽毛球拍共30副，且支出不超過(guò)1480元，則最多能夠購(gòu)買(mǎi)多少副羽毛球拍？ 34．（2023八上·河南期末）下面是學(xué)習(xí)二元一次方程組時(shí)，老師提出的問(wèn)題和兩名同學(xué)所列的方程. 問(wèn)題：某個(gè)工人一天工作6個(gè)小時(shí)，可以生產(chǎn)零件一整箱和不足一箱的20個(gè)；由于特殊情況，今天他只工作4個(gè)小時(shí)，生產(chǎn)零件一整箱和不足一箱的4個(gè)，問(wèn)這一箱零件和該工人每小時(shí)能生產(chǎn)的零件數(shù)分別是多少？ 小明所列方程： 小亮所列方程： 根據(jù)以上信息，解答下列問(wèn)題. （1）以上兩個(gè)方程（組）中x意義是否相同？　 ?。ㄌ睢笆恰被颉胺瘛保?； （2）小亮的方程所用等量關(guān)系　 　（填序號(hào)，“①每個(gè)小時(shí)生產(chǎn)的零件數(shù)”或“②4個(gè)小時(shí)生產(chǎn)的零件數(shù)相等”）； （3）從以上兩個(gè)方程（組）中任選一個(gè)求解，完整解答老師提出的問(wèn)題. 35．（2023八上·梁河月考）實(shí)施鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略，打造鄉(xiāng)村美麗家園．為解決某鎮(zhèn)鄉(xiāng)村灌溉問(wèn)題，縣政府部門(mén)招標(biāo)一工程隊(duì)，負(fù)責(zé)完成在某村山腳下修建一座水庫(kù)的土方施工任務(wù)．該工程隊(duì)有 ， 兩種型號(hào)的挖掘機(jī)，已知4臺(tái) 型和2臺(tái) 型挖掘機(jī)同時(shí)施工一小時(shí)挖土150立方米；3臺(tái) 型和7臺(tái) 型挖掘機(jī)同時(shí)施工一小時(shí)挖土195立方米．每臺(tái) 型挖掘機(jī)一小時(shí)的施工費(fèi)用為300元，每臺(tái) 型挖掘機(jī)一小時(shí)的施工費(fèi)用為180元． （1）分別求每臺(tái) 型， 型挖掘機(jī)一小時(shí)挖土多少立方米？ （2）若不同數(shù)量的 型和 型挖掘機(jī)共12臺(tái)同時(shí)施工4小時(shí)，至少完成1080立方米的挖土量，且總費(fèi)用不超過(guò)12960元，問(wèn)施工時(shí)有哪幾種調(diào)配方案？ 考點(diǎn)05：一次函數(shù)與二元一次方程組的綜合 36．（2023八上·濟(jì)南期末）如圖，一次函數(shù)y＝2x＋1的圖象與y＝kx＋b的圖象相交于點(diǎn)A，則方程組的解是（　　） A． B． C． D． 37．（2023八上·膠州期末）已知一次函數(shù)y＝k1x+b1和一次函數(shù)y1＝k2x+b2的自變量x與因變量y1，y2的部分對(duì)應(yīng)數(shù)值如表所示，則關(guān)于x、y的二元一次方程組的解為（　?。?A． B． C． D． 38．（2023八上·南京期末）已知一次函數(shù)y＝ax+b和y＝kx的圖象交于點(diǎn)P（﹣4，2），則關(guān)于x、y的二元一次方程組 的解是　 　. 39．（2023八上·丹東期末）已知：直線與直線的圖象交點(diǎn)如圖所示，則方程組的解為　 ?。? 40．（2019八上·句容期末）學(xué)完《平面直角坐標(biāo)系》和《一次函數(shù)》這兩章后，老師布置了這樣一道思考題：已知：如圖，在長(zhǎng)方形 中， ， ，點(diǎn) 為 的中點(diǎn)， 和 相交于點(diǎn) .求 的面積.小明同學(xué)應(yīng)用所學(xué)知識(shí)，順利地解決了此題，他的思路是這樣的：以 所在的直線為 軸，以 所在的直線為 軸建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，寫(xiě)出圖中一些點(diǎn)坐標(biāo).根據(jù)一次函數(shù)的知識(shí)求出點(diǎn) 的坐標(biāo)，從而求得 的面積.請(qǐng)你按照小明的思路解決這道思考題. 41．已知：如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線 ： 與坐標(biāo)軸分別相交于點(diǎn)A、B與 ： 相交于點(diǎn)C． （1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)； （2）若平行于y軸的直線 交于直線 于點(diǎn)E，交直線 于點(diǎn)D，交x軸于點(diǎn)M，且 ，求a的值； 42．（2018八上·靖遠(yuǎn)期末）一輛客車(chē)從甲地開(kāi)往乙地，一輛轎車(chē)從乙地開(kāi)往甲地，兩車(chē)同時(shí)出發(fā)，兩車(chē)行駛x小時(shí)后，記客車(chē)離甲地的距離y1千米，轎車(chē)離甲地的距離y2千米，y1、y2關(guān)于x的函數(shù)圖象如圖所示： ①根據(jù)圖象直接寫(xiě)出y1、y2關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式； ②當(dāng)兩車(chē)相遇時(shí)，求此時(shí)客車(chē)行駛的時(shí)間． ③相遇后，兩車(chē)相距200千米時(shí)，求客車(chē)又行駛的時(shí)間． 43．（2018八上·蘇州期末）如圖，直線y= x+6與x軸、y軸分別相交于點(diǎn)E、F，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-6，0），P（x，y）是直線y= x+6上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)． （1）在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，試寫(xiě)出△OPA的面積s與x的函數(shù)關(guān)系式； （2）當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到什么位置，△OPA的面積為 ，求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)； （3）過(guò)P作EF的垂線分別交x軸、y軸于C、D．是否存在這樣的點(diǎn)P，使△COD≌△FOE？若存在，直接寫(xiě)出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)（不要求寫(xiě)解答過(guò)程）；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 44．（2023八上·晉中期末）如圖，直線 y＝－x+4 和直線 y＝2x+1 相交于點(diǎn) A，分別與 y 軸交于 B，C 兩點(diǎn)． （1）求點(diǎn) A 的坐標(biāo)； （2）在 x 軸上有一動(dòng)點(diǎn) P（a，0），過(guò)點(diǎn) P 作 x 軸的垂線，分別交函數(shù) y＝－x+4和 y＝2x+1 的圖象于點(diǎn) D，E，若 DE＝6，求 a 的值． （3）在（2）的條件下，點(diǎn) Q 為 x 軸負(fù)半軸上任意一點(diǎn)，直接寫(xiě)出△DEQ 為等腰三角形時(shí) Q 點(diǎn)的坐標(biāo)． 老舍文集（套）四大名著（套）總費(fèi)用（元）初一（1）班64860初一（2）班54800飲料成本（元/箱）銷(xiāo)售價(jià)（元/箱）25353550x…﹣2﹣1012…y1…﹣10123…y2…﹣5﹣3﹣113… 2022-2023學(xué)年北師大版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)章節(jié)考點(diǎn)精講精練 第5章《二元一次方程組》 知識(shí)互聯(lián)網(wǎng) 知識(shí)導(dǎo)航 知識(shí)點(diǎn)01：二元一次方程組的相關(guān)概念 1. 二元一次方程的定義 定義：方程中含有兩個(gè)未知數(shù)（和），并且未知數(shù)的次數(shù)都是1，像這樣的方程叫做二元一次方程. 細(xì)節(jié)剖析： （1）在方程中“元”是指未知數(shù)，“二元”就是指方程中有且只有兩個(gè)未知數(shù). （2）“未知數(shù)的次數(shù)為1”是指含有未知數(shù)的項(xiàng)（單項(xiàng)式）的次數(shù)是1. （3）二元一次方程的左邊和右邊都必須是整式. 2.二元一次方程的解 定義：使二元一次方程兩邊的值相等的兩個(gè)未知數(shù)的值，叫做二元一次方程的解. 細(xì)節(jié)剖析： 二元一次方程的每一個(gè)解，都是一對(duì)數(shù)值，而不是一個(gè)數(shù)值，一般要用大括號(hào)聯(lián)立起來(lái)，即二元一次方程的解通常表示為 的形式. 3. 二元一次方程組的定義 定義：把具有相同未知數(shù)的兩個(gè)二元一次方程合在一起，就組成了一個(gè)二元一次方程組. 此外，組成方程組的各個(gè)方程也不必同時(shí)含有兩個(gè)未知數(shù).例如，二元一次方程組. 細(xì)節(jié)剖析： （1）它的一般形式為（其中，，，不同時(shí)為零）． （2）更一般地，如果兩個(gè)一次方程合起來(lái)共有兩個(gè)未知數(shù)，那么它們組成一個(gè)二元一次方程組． （3）符號(hào)“”表示同時(shí)滿足，相當(dāng)于“且”的意思． 4. 二元一次方程組的解 定義：一般地，二元一次方程組的兩個(gè)方程的公共解，叫做二元一次方程組的解. 細(xì)節(jié)剖析： （1）方程組中每個(gè)未知數(shù)的值應(yīng)同時(shí)滿足兩個(gè)方程，所以檢驗(yàn)是否是方程組的解，應(yīng)把數(shù)值代入兩個(gè)方程，若兩個(gè)方程同時(shí)成立，才是方程組的解，而方程組中某一個(gè)方程的某一組解不一定是方程組的解. （2）方程組的解要用大括號(hào)聯(lián)立； （3）一般地，二元一次方程組的解只有一個(gè)，但也有特殊情況，如方程組無(wú)解，而方程組 的解有無(wú)數(shù)個(gè). 知識(shí)點(diǎn)02：二元一次方程組的解法 1.解二元一次方程組的思想 2.解二元一次方程組的基本方法：代入消元法、加減消元法和圖像法 （1）用代入消元法解二元一次方程組的一般過(guò)程： ①?gòu)姆匠探M中選定一個(gè)系數(shù)比較簡(jiǎn)單的方程進(jìn)行變形，用含有（或）的代數(shù)式表示（或），即變成（或）的形式； ②將（或）代入另一個(gè)方程（不能代入原變形方程）中，消去（或），得到一個(gè)關(guān)于（或）的一元一次方程； ③解這個(gè)一元一次方程，求出（或）的值； ④把（或）的值代入（或）中，求（或）的值； ⑤用“”聯(lián)立兩個(gè)未知數(shù)的值，就是方程組的解. 細(xì)節(jié)剖析： (1)用代入法解二元一次方程組時(shí)，應(yīng)先觀察各項(xiàng)系數(shù)的特點(diǎn)，盡可能選擇變形后比較簡(jiǎn)單或代入后化簡(jiǎn)比較容易的方程變形； (2)變形后的方程不能再代入原方程，只能代入原方程組中的另一個(gè)方程； (3)要善于分析方程的特點(diǎn)，尋找簡(jiǎn)便的解法.如將某個(gè)未知數(shù)連同它的系數(shù)作為一個(gè)整體用含另一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式來(lái)表示，代入另一個(gè)方程，或直接將某一方程代入另一個(gè)方程，這種方法叫做整體代入法.整體代入法是解二元一次方程組常用的方法之一，它的運(yùn)用可使運(yùn)算簡(jiǎn)便，提高運(yùn)算速度及準(zhǔn)確率. （2）用加減消元法解二元一次方程組的一般過(guò)程： ①根據(jù)“等式的兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)不等于0的數(shù)，等式仍然成立”的性質(zhì)，將原方程組化成有一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)絕對(duì)值相等的形式； ②根據(jù)“等式兩邊加上（或減去）同一個(gè)整式，所得的方程與原方程是同解方程”的性質(zhì)，將變形后的兩個(gè)方程相加（或相減），消去一個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元一次方程； ③解這個(gè)一元一次方程，求出一個(gè)未知數(shù)的值； ④把求得的未知數(shù)的值代入原方程組中比較簡(jiǎn)單的一個(gè)方程中，求出另一個(gè)未知數(shù)的值； ⑤將兩個(gè)未知數(shù)的值用“”聯(lián)立在一起即可. 細(xì)節(jié)剖析： 當(dāng)方程組中有一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)的絕對(duì)值相等或同一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)成整數(shù)倍時(shí)，用加減消元法較簡(jiǎn)單. （3）圖像法解二元一次方程組的一般過(guò)程： ①把二元一次方程化成一次函數(shù)的形式． ?②在直角坐標(biāo)系中畫(huà)出兩個(gè)一次函數(shù)的圖像，并標(biāo)出交點(diǎn)． ③交點(diǎn)坐標(biāo)就是方程組的解． 細(xì)節(jié)剖析： 二元一次方程組無(wú)解一次函數(shù)的圖像平行（無(wú)交點(diǎn)） 二元一次方程組有一解一次函數(shù)的圖像相交（有一個(gè)交點(diǎn)） 二元一次方程組有無(wú)數(shù)個(gè)解一次函數(shù)的圖像重合（有無(wú)數(shù)個(gè)交點(diǎn)） 利用圖像法求二元一次方程組的解是近似解，要得到準(zhǔn)確解，一般還是用代入消元法和加減消元法解方程組.相反，求兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)可以轉(zhuǎn)化為求這兩條直線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式聯(lián)立的二元一次方程組的解. 知識(shí)點(diǎn)03：實(shí)際問(wèn)題與二元一次方程組 細(xì)節(jié)剖析： （1）解實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題必須寫(xiě)“答”，而且在寫(xiě)答案前要根據(jù)應(yīng)用題的實(shí)際意義，檢查求得的結(jié)果是否合理，不符合題意的解應(yīng)該舍去； （2）“設(shè)”、“答”兩步，都要寫(xiě)清單位名稱； （3）一般來(lái)說(shuō)，設(shè)幾個(gè)未知數(shù)就應(yīng)該列出幾個(gè)方程并組成方程組. 知識(shí)點(diǎn)04：二元一次方程（組）與一次函數(shù) 1.二元一次方程與一次函數(shù)的關(guān)系 （1）任何一個(gè)二元一次方程都可以變形為即為一個(gè)一次函數(shù)，所以每個(gè)二元一次方程都對(duì)應(yīng)一個(gè)一次函數(shù). （2）我們知道每個(gè)二元一次方程都有無(wú)數(shù)組解，例如：方程我們列舉出它的幾組整數(shù)解有，我們發(fā)現(xiàn)以這些整數(shù)解為坐標(biāo)的點(diǎn)（0，5），（5，0），（2，3）恰好在一次函數(shù)y＝的圖像上，反過(guò)來(lái)，在一次函數(shù)的圖像上任取一點(diǎn)，它的坐標(biāo)也適合方程. 細(xì)節(jié)剖析： 1.以二元一次方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在相應(yīng)的函數(shù)圖像上； 2.一次函數(shù)圖像上的點(diǎn)的坐標(biāo)都適合相應(yīng)的二元一次方程； 3.以二元一次方程的解為坐標(biāo)的所有點(diǎn)組成的圖像與相應(yīng)一次函數(shù)的圖像相同. 2. 二元一次方程組與一次函數(shù) 每個(gè)二元一次方程組都對(duì)應(yīng)兩個(gè)一次函數(shù)，于是也對(duì)應(yīng)兩條直線.從“數(shù)”的角度看，解方程組相當(dāng)于考慮自變量為何值時(shí)兩個(gè)函數(shù)的值相等，以及這時(shí)的函數(shù)為何值；從“形”的角度看，解方程組相當(dāng)于確定兩條直線交點(diǎn)的坐標(biāo). 3.用二元一次方程組確定一次函數(shù)表達(dá)式 待定系數(shù)法：先設(shè)出函數(shù)表達(dá)式，再根據(jù)所給的條件確定表達(dá)式中未知數(shù)的系數(shù)，從而得到函數(shù)表達(dá)式的方法，叫做待定系數(shù)法. 利用待定系數(shù)法解決問(wèn)題的步驟： 1.確定所求問(wèn)題含有待定系數(shù)解析式. 2.根據(jù)所給條件, 列出一組含有待定系數(shù)的方程. 3.解方程組或者消去待定系數(shù)，從而使問(wèn)題得到解決. 知識(shí)點(diǎn)05：三元一次方程組 1．定義：含有三個(gè)未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1的方程叫做三元一次方程；含有三個(gè)相同的未知數(shù)，每個(gè)方程中含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1，并且一共有三個(gè)方程，像這樣的方程組叫做三元一次方程組. 等都是三元一次方程組. 細(xì)節(jié)剖析： 理解三元一次方程組的定義時(shí)，要注意以下幾點(diǎn)： （1）方程組中的每一個(gè)方程都是一次方程； （2）如果三個(gè)一元一次方程合起來(lái)共有三個(gè)未知數(shù)，它們就能組成一個(gè)三元一次方程組. 2．三元一次方程組的解法 解三元一次方程組的基本思想仍是消元，一般的，應(yīng)利用代入法或加減法消去一個(gè)未知數(shù)，從而化三元為二元，然后解這個(gè)二元一次方程組，求出兩個(gè)未知數(shù)，最后再求出另一個(gè)未知數(shù)．解三元一次方程組的一般步驟是： （1）利用代入法或加減法，把方程組中一個(gè)方程與另兩個(gè)方程分別組成兩組，消去兩組中的同一個(gè)未知數(shù)，得到關(guān)于另外兩個(gè)未知數(shù)的二元一次方程組； （2）解這個(gè)二元一次方程組，求出兩個(gè)未知數(shù)的值； （3）將求得的兩個(gè)未知數(shù)的值代入原方程組中的一個(gè)系數(shù)比較簡(jiǎn)單的方程，得到一個(gè)一元一次方程； （4）解這個(gè)一元一次方程，求出最后一個(gè)未知數(shù)的值； （5）將求得的三個(gè)未知數(shù)的值用“{”合寫(xiě)在一起． 細(xì)節(jié)剖析： （1）有些特殊的方程組可用特殊的消元法，解題時(shí)要根據(jù)各方程特點(diǎn)尋求比較簡(jiǎn)單的解法． （2）要檢驗(yàn)求得的未知數(shù)的值是不是原方程組的解，將所求得的一組未知數(shù)的值分別代入原方程組里的每一個(gè)方程中，看每個(gè)方程的左右兩邊是否相等，若相等，則是原方程組的解，只要有一個(gè)方程的左、右兩邊不相等就不是原方程組的解． 3. 三元一次方程組的應(yīng)用 列三元一次方程組解應(yīng)用題的一般步驟： （1）弄清題意和題目中的數(shù)量關(guān)系，用字母(如x，y，z)表示題目中的兩個(gè)(或三個(gè))未知數(shù)； （2）找出能夠表達(dá)應(yīng)用題全部含義的相等關(guān)系； （3）根據(jù)這些相等關(guān)系列出需要的代數(shù)式，從而列出方程并組成方程組； （4）解這個(gè)方程組，求出未知數(shù)的值； （5）寫(xiě)出答案(包括單位名稱)． 細(xì)節(jié)剖析： (1)解實(shí)際應(yīng)用題必須寫(xiě)“答”，而且在寫(xiě)答案前要根據(jù)應(yīng)用題的實(shí)際意義，檢查求得的結(jié)果是否合理，不符合題意的應(yīng)該舍去． (2)“設(shè)”、“答”兩步，都要寫(xiě)清單位名稱，應(yīng)注意單位是否統(tǒng)一． (3)一般來(lái)說(shuō)，設(shè)幾個(gè)未知數(shù)，就應(yīng)列出幾個(gè)方程并組成方程組． 考點(diǎn)提優(yōu)練 考點(diǎn)01：求解二元一次方程組 1．（2023八上·嶧城期末）已知二元一次方程組，則的值為（　?。?A．2 B．6 C． D． 【答案】A 【完整解答】解：， ①+②得：3x-3y=6， ∴x-y=2， 故答案為：A． 【思路引導(dǎo)】利用加減消元法求解可得3x-3y=6，再計(jì)算求出x-y=2即可。 2．（2023八上·福田期末）已知方程組 的解滿足 ，則 的值為（　?。? A．7 B． C．1 D． 【答案】D 【完整解答】解： ①+②得：3x+3y＝4+k， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 解得： ， 故答案為：D 【思路引導(dǎo)】先將k當(dāng)作常數(shù)求出x、y的值，再將x、y的值代入可得，再求出k的值即可。 3．（2022八上·長(zhǎng)沙開(kāi)學(xué)考）已知關(guān)于x、y的方程組，其中﹣3≤t≤1，給出下列結(jié)論：①是方程組的解；②若x﹣y＝3，則t＝1；③若M＝2x﹣y﹣t，則M的最小值為﹣3；其中正確的有　 ?。ㄌ顚?xiě)正確答案的序號(hào)）． 【答案】①②③ 【完整解答】解：， （2）﹣（1）得：4y＝4t﹣4， ∴y＝t﹣1， 把y＝t﹣1代入（2）得x＝2t+1， ∴， 當(dāng)t＝0時(shí)，， ∴是方程組的解，故①正確； 若x﹣y＝3，則2t+1﹣（t﹣1）＝3， ∴t＝1，故②正確； ∵M(jìn)＝2x﹣y﹣t＝2（2t+1）﹣（t﹣1）﹣t＝2t+3，﹣3≤t≤1， ∴﹣3≤M≤5， ∴M的最小值為﹣3，故③正確； ∴正確的有①②③. 故答案為：①②③. 【思路引導(dǎo)】將方程組中的兩個(gè)方程相減可得y，將y代入第二個(gè)方程中表示出x，據(jù)此可得方程組的解，令t=0，求出x、y的值，據(jù)此判斷①；根據(jù)x-y＝3可得關(guān)于t的方程，求出t的值，進(jìn)而判斷②；根據(jù)x、y可得M＝2x-y-t＝2t+3，結(jié)合t的范圍可得M的范圍，據(jù)此判斷③. 4．（2023八上·禪城期末）若關(guān)于x、y 的二元一次方程組的解滿足x+y=1，則m的值為　 　． 【答案】﹣1 【完整解答】解：， 由①+②，得： ， ∴ ， ∵x+y=1， ∴ ，解得： ． 故答案為：-1 【思路引導(dǎo)】利用加減消元法解二元一次方程組即可得出m的值。 5．（2023八上·虎林期末）若無(wú)意義，且則=　 　，=　 ?。?【答案】0；5 【完整解答】解：無(wú)意義， ，且， 解得． 故答案為：0，5． 【思路引導(dǎo)】根據(jù)題意求出，且，再解方程即可。 6．（2022八上·洪澤月考）解下列方程組或不等式組： （1）3x?2y=?13x?4y=?5 （2）x?2≤14?3x5x+2≥3(x?1) 【答案】（1）解：3x?2y=?1①3x?4y=?5②， ①-②，得 2y=4， ∴y=2， 把y=2代入①，得 3x-4=-1， ∴x=1， ∴． （2）解：x?2≤14?3x①5x+2≥3(x?1)②， 解①，得， 解②，得， ∴． 【思路引導(dǎo)】（1）將兩個(gè)方程相減可得y的值，將y的值代入①中求出x的值，進(jìn)而可得方程組的解； （2）分別求出兩個(gè)不等式的解集，取其公共部分可得不等式組的解集. 7．（2023八上·榆林期末）已知方程組 2x+y=6，3x?y=4 的解也是關(guān)于x、y的二元一次方程 的一組解，求a的值. 【答案】解：方程組 ， ②+①得： ， 解得： ，代入①中， 解得： ， 把 ， 代入方程 得， ， 解得： . 【思路引導(dǎo)】將方程組中的兩個(gè)方程相加可得x的值，將x的值代入第一個(gè)方程中可求出y的值，據(jù)此可得方程組的解，即二元一次方程的解，然后代入計(jì)算即可求出a的值. 8．（2023八上·三元月考）閱讀下列解方程組的方法，然后回答問(wèn)題. 解方程組 解：由①-②得即③， ③×16得④ ②-④得， 把代入③得 解得： 原方程組的解是 請(qǐng)你仿照上面的解法解方程組. 【答案】解： ①﹣②得：3x+3y＝3，即x+y＝1③ ①﹣③×2021 得：x＝4 把x＝4代入③得：y＝-3 所以原方程組的解為 . 【思路引導(dǎo)】（1）觀察方程組中同一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)特點(diǎn)：同一未知數(shù)的系數(shù)相差2，同一未知數(shù)的系數(shù)之和都是36；因此由①-②可得到x+y=1，再與方程②建立方程組，利用加減消元法可求出x，y的值. （2）觀察方程組中同一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)特點(diǎn)：同一未知數(shù)的系數(shù)相差2，由①﹣②，可得到x+y=1，可得到方程③，再由①﹣③×2021，消去y求出x的值，然后求出y的值，可得到方程組的解. 考點(diǎn)02：應(yīng)用—雞兔同籠問(wèn)題 9．（2022八上·岳麓開(kāi)學(xué)考）玩具車(chē)間每天能生產(chǎn)甲種玩具零件24個(gè)或乙種玩具零件12個(gè)，若甲種玩具零件1個(gè)與乙種玩具零件2個(gè)能組成一個(gè)完整的玩具，怎樣安排生產(chǎn)才能在60天內(nèi)組裝出最多的玩具？設(shè)生產(chǎn)甲種玩具零件天，乙種玩具零件天，則有（　?。? A．x+y=6024x=12y B．x+y=6012x=24y C．x+y=602×24x=12y D．x+y=6024x=2×12y 【答案】C 【完整解答】解：由題意可得x+y=602×24x=12y ． 故答案為：C. 【思路引導(dǎo)】根據(jù)總天數(shù)是60天可得x+y=60 ；根據(jù)乙種零件應(yīng)是甲種零件的2倍，可得2×24x=12y，聯(lián)立可得方程組. 10．（2023八上·普寧期末）我國(guó)古代《四元玉鑒》中記載“二果問(wèn)價(jià)”問(wèn)題，其內(nèi)容如下：九百九十九文錢(qián)，甜果苦果買(mǎi)一千，甜果九個(gè)十一文，苦果七個(gè)四文錢(qián)，試問(wèn)甜苦果幾個(gè)，又問(wèn)各該幾個(gè)錢(qián)？若設(shè)買(mǎi)甜果x個(gè)，買(mǎi)苦果y個(gè)，則下列關(guān)于x、y的二元一次方程組中正確的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【完整解答】解：由題意可得， 故答案為：B． 【思路引導(dǎo)】設(shè)買(mǎi)甜果x個(gè)，買(mǎi)苦果y個(gè)，根據(jù)題意直接列出方程組即可。 11．（2023八上·成都期末）《九章算術(shù)》是我國(guó)古代一部著名的算書(shū)，它的出現(xiàn)標(biāo)志著中國(guó)古代數(shù)學(xué)形成了完整的體系其中卷八方程[七]中記載：“今有牛五、羊二，直金十兩.牛二、羊五，直金八兩.牛、羊各直金幾何？”題目大意是：5頭牛、2只羊共值金10兩.2頭牛、5只羊共值金8兩.每頭牛、每只羊各值金多少兩？設(shè)1頭牛值金 兩，1只羊值金 兩，則可列方程組為　 　. 【答案】 【完整解答】解：設(shè)1頭牛值金 兩，1只羊值金 兩，由題意可得， . 故答案為： . 【思路引導(dǎo)】設(shè)1頭牛值金 兩，1只羊值金 兩，根據(jù)等量關(guān)系 “①5頭牛，2只羊共值10兩金；②2頭牛，5只羊共價(jià)值8兩金”，分別列出方程即可求解. 12．中國(guó)古代的數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》有方程組問(wèn)題“五只雀，六只燕，共重1斤(等于16兩)，雀重燕輕．互換其中一只，恰好一樣重．”設(shè)每只雀、燕的重量各為x兩，y兩，則根據(jù)題意，可得方程組為　 ?。? 【答案】 【完整解答】設(shè)每只雀、燕的重量各為x兩，y兩，由題意得： 故答案是： 或 【思路引導(dǎo)】設(shè)每只雀、燕的重量各為x兩，y兩，根據(jù) 五只雀，六只燕，共重16兩，和互換其中一只，恰好一樣重，列出方程組即可. 13．（2020八上·龍崗期末）某工廠用如圖①所示的長(zhǎng)方形和正方形紙板，做成如圖②所示的豎式與橫式兩種長(zhǎng)方體的無(wú)蓋紙盒．現(xiàn)有正方形紙板150張，長(zhǎng)方形紙板300張，若這些紙板恰好用完，則可制作橫式、豎式兩種紙盒各多少個(gè)？ 【答案】解：設(shè)制作豎式紙盒x個(gè)，生產(chǎn)橫式紙盒y個(gè) 由題意得 ， 解得： ． 答：可制作橫式紙盒60個(gè)、豎式紙盒30個(gè)． 【思路引導(dǎo)】根據(jù)題意，由題目中的等量關(guān)系，列出方程組，計(jì)算得到答案即可。 14．（2019八上·東河月考）根據(jù)小敏、小聰、小東、小強(qiáng)四人的對(duì)話內(nèi)容，請(qǐng)你設(shè)計(jì)一下，分別安排多少立方米木料做桌面，多少立方米木料做桌腿，才能使得生產(chǎn)出來(lái)的桌面和桌腿及庫(kù)存的桌腿恰好全部配套？ 【答案】解：設(shè)安排 立方米木料做桌面， 立方米木料做桌腿，依題意得： ， 解得： . 答：應(yīng)安排3.5立方米木料做桌面，2立方米木料做桌腿，才能使得生產(chǎn)出來(lái)的桌面和桌腿及庫(kù)存的桌腿恰好全部配套． 【思路引導(dǎo)】設(shè)安排x立方米木料做桌面，y立方米木料做桌腿，根據(jù)題意的等量關(guān)系列出方程組即可． 15．（2019八上·永登期末）某校辦工廠有工人60名,生產(chǎn)某種由一個(gè)螺栓套兩個(gè)螺母的配套產(chǎn)品,每人每天平均生產(chǎn)螺栓14個(gè)或螺母20個(gè),應(yīng)分配多少人生產(chǎn)螺栓,多少人生產(chǎn)螺母,能使生產(chǎn)出的螺栓和螺母剛好配套? 【答案】解：設(shè)應(yīng)安排x人生產(chǎn)螺栓，有y人生產(chǎn)螺母． 由題意，得 解這個(gè)方程組得： 答：應(yīng)安排25人生產(chǎn)螺栓，35人生產(chǎn)螺母，才能使生產(chǎn)出的螺栓和螺母剛好配套。 【思路引導(dǎo)】二元一次方程組配套問(wèn)題：首先，找到等量關(guān)系（一個(gè)螺栓與兩個(gè)螺母配套）；然后，根據(jù)等量關(guān)系列出等式即可。 16．（2023八上·玉門(mén)期末）“國(guó)美”、“蘇寧”兩家電器商場(chǎng)出售同樣的空氣凈化器和過(guò)濾網(wǎng)，空氣凈化器和過(guò)濾網(wǎng)在兩家商場(chǎng)的售價(jià)一樣.已知買(mǎi)一個(gè)空氣凈化器和1個(gè)過(guò)濾網(wǎng)要花費(fèi) 元，買(mǎi)2個(gè)空氣凈化器和3個(gè)過(guò)濾網(wǎng)要花費(fèi)4760元. （1）請(qǐng)用方程組求出一個(gè)空氣凈化器與一個(gè)過(guò)濾網(wǎng)的銷(xiāo)售價(jià)格分別是多少元？ （2）為了迎接新年，兩家商場(chǎng)都在搞促銷(xiāo)活動(dòng)，“國(guó)美”規(guī)定：這兩種商品都打九五折；“蘇寧”規(guī)定：買(mǎi)一個(gè)空氣凈化器贈(zèng)送兩個(gè)過(guò)濾網(wǎng).若某單位想要買(mǎi)10個(gè)空氣凈化器和30個(gè)過(guò)濾網(wǎng)，如果只能在一家商場(chǎng)購(gòu)買(mǎi)，請(qǐng)問(wèn)選擇哪家商場(chǎng)購(gòu)買(mǎi)更合算？請(qǐng)說(shuō)明理由. 【答案】解：設(shè)一個(gè)空氣凈化器 元，一個(gè)過(guò)濾網(wǎng) 元， ， 則一個(gè)空氣凈化器2200元，一個(gè)過(guò)濾網(wǎng)120元. （ ）為了迎接新年，兩家商場(chǎng)都在搞促銷(xiāo)活動(dòng)，“國(guó)美”規(guī)定：這兩種商品都打九五折；“蘇寧”規(guī)定：買(mǎi)一個(gè)空氣凈化器贈(zèng)送兩個(gè)過(guò)濾網(wǎng).若某單位想要買(mǎi)10個(gè)空氣凈化器和30個(gè)過(guò)濾網(wǎng)，如果只能在一家商場(chǎng)購(gòu)買(mǎi)，請(qǐng)問(wèn)選擇哪家商場(chǎng)購(gòu)買(mǎi)更合算？請(qǐng)說(shuō)明理由. 解：國(guó)美： （元）， 蘇寧：一個(gè)凈化器送兩個(gè)過(guò)濾網(wǎng)，那么10個(gè)凈化器送20個(gè)網(wǎng)，只需買(mǎi)10個(gè)網(wǎng)即可. ∴ （元）， ∵ ， ∴蘇寧更合算. （1）解：設(shè)一個(gè)空氣凈化器 元，一個(gè)過(guò)濾網(wǎng) 元， ， 則一個(gè)空氣凈化器2200元，一個(gè)過(guò)濾網(wǎng)120元. （2）解：國(guó)美： （元）， 蘇寧：一個(gè)凈化器送兩個(gè)過(guò)濾網(wǎng)，那么10個(gè)凈化器送20個(gè)網(wǎng)，只需買(mǎi)10個(gè)網(wǎng)即可. ∴ （元）， ∵ ， ∴蘇寧更合算. 【思路引導(dǎo)】（1）設(shè)一個(gè)空氣凈化器 元，一個(gè)過(guò)濾網(wǎng) 元，根據(jù)等量關(guān)系：1個(gè)凈化器+1個(gè)過(guò)濾網(wǎng)=2200，2個(gè)凈化器+3個(gè)過(guò)濾網(wǎng)=4760，列方程組即可得解； （2）分別計(jì)算出在每一家需要花費(fèi)的錢(qián)數(shù)，比較即可得. 考點(diǎn)03：應(yīng)用-銷(xiāo)售問(wèn)題與和差倍分問(wèn)題 17．（2022八上·沙坪壩開(kāi)學(xué)考）上學(xué)年初一某班的學(xué)生都是兩人一桌，其中男生與女生同桌，這些女生占全班女生的，本學(xué)年該班新轉(zhuǎn)入4個(gè)男生后，男女生剛好一樣多．設(shè)上學(xué)年該班有男生x人，女生y人，則列方程組為（　　） A．x+4=y34x=35y B．x+4=y35x=34y C．x?4=y34x=35y D．x?4=y35x=34y 【答案】A 【完整解答】解：根據(jù)題意，得x+4=y34x=35y， 故答案為：A. 【思路引導(dǎo)】根據(jù)該班新轉(zhuǎn)入4個(gè)男生后，男女生剛好一樣多可得x+4=y；根據(jù)男生與女生同桌，這些女生占全班女生的可得x=y，聯(lián)立可得方程組. 18．（2023八上·駐馬店期末）如圖，分別用火柴棍連續(xù)搭建等邊三角形和正六邊形，公共邊只用一根火柴棍.如果搭建等邊三角形和正六邊形共用了2018根火柴，并且等邊三角形的個(gè)數(shù)比正六邊形的個(gè)數(shù)多7，那么連續(xù)搭建的等邊三角形的個(gè)數(shù)是（　?。? A．291 B．292 C．293 D．294 【答案】C 【完整解答】解：設(shè)連續(xù)搭建等邊三角形x個(gè)，連續(xù)搭建正六邊形y個(gè)， 由題意，得 ， 解得 . 故答案為：C. 【思路引導(dǎo)】設(shè)搭建了x個(gè)正三角形，y個(gè)正六邊形，則搭建正三角形用掉了（2x＋1）根火柴棍，搭建正六邊形用掉了（5y＋1）根火柴棍，根據(jù)“搭建正三角形和正六邊形共用了2018根火柴棍，并且正三角形的個(gè)數(shù)比正六邊形的個(gè)數(shù)多7個(gè)”，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論． 19．（2023八上·順德期末）小明和小麗同時(shí)到一家水果店買(mǎi)水果．小明買(mǎi)蘋(píng)果和雪梨，共花了33元；小麗買(mǎi)蘋(píng)果和雪梨，共花了36元．設(shè)蘋(píng)果每千克元，雪梨每千克元，請(qǐng)根據(jù)題意，列出方程組：　 　． 【答案】 【完整解答】解：由題意可得 故答案為：． 【思路引導(dǎo)】設(shè)蘋(píng)果每千克x元，雪梨每千克y元，根據(jù)關(guān)鍵語(yǔ)句“小明買(mǎi)1kg蘋(píng)果和2kg雪梨，共花了33元；小麗買(mǎi)2kg蘋(píng)果和1kg雪梨，共花了36元”列出方程即可。 20．（2020八上·青島期末）某旅館的客房有三人間和兩人間兩種，三人間每人每天25元，兩人間每人每天35元．一個(gè)50人的旅游團(tuán)到該旅館住宿，租住了若干客房，且每個(gè)客房正好住滿，一天共花去住宿費(fèi)1510元．設(shè)該旅游團(tuán)租住三人間客房間，兩人間客房間，請(qǐng)列出滿足題意的方程組　 ?。?【答案】 【完整解答】解：根據(jù)題意可得三人間每間住宿費(fèi)為25×3=75元；兩人間每間住宿費(fèi)為：35×2=70元； 設(shè)租住三人間x間，兩人間y間，可列方程： 【思路引導(dǎo)】根據(jù)題意可設(shè)租住三人間x間，兩人間y間，即可列方程。 21．（2023八上·清遠(yuǎn)期末）為了推進(jìn)中華傳統(tǒng)文化教育，營(yíng)造濃郁的讀書(shū)氛圍，某初中舉辦了“建設(shè)書(shū)香校園”主題活動(dòng)．為此特為每個(gè)班級(jí)訂購(gòu)了一批新的圖書(shū)．初一年級(jí)兩個(gè)班訂購(gòu)圖書(shū)情況如下表： 求老舍文集和四大名著每套各是多少元？ 【答案】解：設(shè)老舍文集每套x元，四大名著每套y元， 依題意得：6x+4y=8605x+4y=800， 解得：x=60y=125 答：老舍文集每套60元，四大名著每套125元． 【思路引導(dǎo)】設(shè)老舍文集每套x元，四大名著每套y元，根據(jù)題意列出方程組6x+4y=8605x+4y=800，再求解即可。 22．（2023八上·榆林期末）學(xué)校計(jì)劃從某花卉供應(yīng)商家定制一批花卉來(lái)裝扮校園（花盆全部為同一型號(hào)），該商家委托某貨運(yùn)公司負(fù)責(zé)這批花卉的運(yùn)輸工作.該貨運(yùn)公司有甲、乙兩種專門(mén)運(yùn)輸花卉的貨車(chē)，已知1輛甲型貨車(chē)和3輛乙型貨車(chē)滿載一次可運(yùn)輸1700盆花卉；2輛甲型貨車(chē)比3輛乙型貨車(chē)滿載一次少運(yùn)輸200盆花卉.1輛甲型貨車(chē)滿載一次可運(yùn)輸多少盆花卉？1輛乙型貨車(chē)滿載一次可運(yùn)輸多少盆花卉？ 【答案】解：設(shè)1輛甲型貨車(chē)滿載一次可運(yùn)輸x盆花卉，1輛乙型貨車(chē)滿載一次可運(yùn)輸y盆花卉， 根據(jù)題意得： ， 把②代入①×2得 ， 解得 ， 把 代入②得 ， 解得x=500， ∴ ， 答1輛甲型貨車(chē)滿載一次可運(yùn)輸500盆花卉，1輛乙型貨車(chē)滿載一次可運(yùn)輸400盆花卉. 【思路引導(dǎo)】設(shè)1輛甲型貨車(chē)滿載一次可運(yùn)輸x盆花卉，1輛乙型貨車(chē)滿載一次可運(yùn)輸y盆花卉，根據(jù)"1輛甲型貨車(chē)和3輛乙型貨車(chē)滿載一次可運(yùn)輸1700盆花卉"可得方程x+3y=1700；根據(jù)"2輛甲型貨車(chē)比3輛乙型貨車(chē)滿載一次少運(yùn)輸200盆花卉"可得方程2x=3y-200，聯(lián)立求解即可. 23．（2022八上·長(zhǎng)沙開(kāi)學(xué)考）在國(guó)家精準(zhǔn)扶貧政策下，某鄉(xiāng)村大力發(fā)展鄉(xiāng)村旅游，為了滿足游客的需求，某商戶決定購(gòu)進(jìn)A，B兩種特產(chǎn)來(lái)進(jìn)行銷(xiāo)售． （1）若購(gòu)進(jìn)A種特產(chǎn)8件，B種特產(chǎn)3件，需要950元；購(gòu)進(jìn)A種特產(chǎn)5件，B種特產(chǎn)6件，需要800元．求購(gòu)進(jìn)A，B兩種特產(chǎn)每件分別需要多少元？ （2）若該商戶決定購(gòu)進(jìn)A，B兩種特產(chǎn)共100件，考慮市場(chǎng)需求和資金周轉(zhuǎn)，A種特產(chǎn)至少需購(gòu)進(jìn)50件，用于購(gòu)買(mǎi)這100件特產(chǎn)的總資金不能超過(guò)7650元，請(qǐng)問(wèn)該商戶最多可購(gòu)進(jìn)A種特產(chǎn)多少件？ 【答案】（1）解：設(shè)購(gòu)進(jìn)A種特產(chǎn)每件需要x元，購(gòu)進(jìn)B種特產(chǎn)每件需要y元， 依題意得： 解得：x=100y=50． 答：購(gòu)進(jìn)A種特產(chǎn)每件需要100元，購(gòu)進(jìn)B種特產(chǎn)每件需要50元． （2）解：設(shè)該商戶購(gòu)進(jìn)A種特產(chǎn)m件，則購(gòu)進(jìn)B種特產(chǎn)（100﹣m）件， 依題意得：m?50100m+50(100?m)?7650 解得：50≤m≤53． 答：該商戶最多可購(gòu)進(jìn)A種特產(chǎn)53件． 【思路引導(dǎo)】（1）設(shè)購(gòu)進(jìn)A種特產(chǎn)每件需要x元，購(gòu)進(jìn)B種特產(chǎn)每件需要y元，由購(gòu)進(jìn)A種特產(chǎn)8件，B種特產(chǎn)3件，需要950元可得8x+3y=950；由購(gòu)進(jìn)A種特產(chǎn)5件，B種特產(chǎn)6件，需要800元可得5x+6y=800，聯(lián)立求解即可； （2）設(shè)該商戶購(gòu)進(jìn)A種特產(chǎn)m件，則購(gòu)進(jìn)B種特產(chǎn)(100-m)件， 根據(jù)A種特產(chǎn)至少需購(gòu)進(jìn)50件可得m≥50，根據(jù)件數(shù)×每件的費(fèi)用=總費(fèi)用結(jié)合總資金不能超過(guò)7650元可得關(guān)于m的不等式，聯(lián)立求解可得m的范圍. 24．（2022八上·柯城開(kāi)學(xué)考）某店3月份采購(gòu)A，B兩種品牌的T恤衫，若購(gòu)A款40件，B款60件需進(jìn)價(jià)8400元；若購(gòu)A款45件，B款50件需進(jìn)價(jià)8050元. （1）商店3月份的進(jìn)貨金額只有10000元，能否同時(shí)購(gòu)進(jìn)A款和B款T恤衫各60件？ （2）根據(jù)3月份的銷(xiāo)售情況，商店決定4月份和5月份均只銷(xiāo)售A款T恤衫，4月份每件的進(jìn)價(jià)比3月份漲了a元，進(jìn)價(jià)合計(jì)9800元；5月份每件的進(jìn)價(jià)比4月份又漲了0.5a元，進(jìn)價(jià)合計(jì)12240元，數(shù)量是4月份的1.2倍.這兩批A款T恤衫開(kāi)始都以每件150元的價(jià)格出售，到6月初，商店把剩下的30件打八折出售，很快便售完，問(wèn)商店銷(xiāo)售這兩批A款T恤衫共獲毛利潤(rùn)（銷(xiāo)售收入減去進(jìn)價(jià)總計(jì)）多少元？ 【答案】（1）解：設(shè)A款T恤衫的單價(jià)為a元，B款T恤衫的單價(jià)為b元， ， 解得，， ∵60×90+60×80＝5400+4800＝10200＞10000， ∴商店3月份的進(jìn)貨金額只有10000元，不能同時(shí)購(gòu)進(jìn)A款和B款T恤衫各60件； （2）解：由題意可得， ， 解得，a＝8， 經(jīng)檢驗(yàn)，a＝8是原分式方程的解， 則4月份購(gòu)進(jìn)的T恤衫的數(shù)量為＝100（件），5月份購(gòu)進(jìn)的T恤衫的數(shù)量為100×1.2＝120（件）， （100+120﹣30）×150﹣（9800+12240）+150×0.8×30＝10060（元）， 答：商店銷(xiāo)售這兩批A款T恤衫共獲毛利潤(rùn)10060元. 【思路引導(dǎo)】（1）設(shè)A款T恤衫的單價(jià)為a元，B款T恤衫的單價(jià)為b元，根據(jù)購(gòu)A款40件，B款60件需進(jìn)價(jià)8400元可得40a+60b=8400；根據(jù)購(gòu)A款45件，B款50件需進(jìn)價(jià)8050元可得45a+50b=8050，聯(lián)立求出a、b的值，然后根據(jù)A款的單價(jià)×60+B款的單價(jià)×60求出所需費(fèi)用，再與10000進(jìn)行比較即可判斷； （2）由題意可得4月份購(gòu)進(jìn)A款T恤衫數(shù)量為件，5月份購(gòu)進(jìn)A款T恤衫數(shù)量為件，然后根據(jù)數(shù)量是4月份的1.2倍列出關(guān)于a的方程，求出a的值，然后求出4月份、5月份的銷(xiāo)售量，根據(jù)(銷(xiāo)售量-30)×150-進(jìn)價(jià)+150×0.8×30可得毛利潤(rùn). 25．（2023八上·福田期末）五和超市購(gòu)進(jìn) 、 兩種飲料共200箱，兩種飲料的成本與銷(xiāo)售價(jià)如下表： （1）若該超市花了6500元進(jìn)貨，求購(gòu)進(jìn) 、 兩種飲料各多少箱？ （2）設(shè)購(gòu)進(jìn) 種飲料 箱（ ），200箱飲料全部賣(mài)完可獲利潤(rùn) 元，求 與 的函數(shù)關(guān)系式，并求購(gòu)進(jìn) 種飲料多少箱時(shí)，可獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是多少？ 【答案】（1）解：設(shè)購(gòu)進(jìn)A種飲料 箱，則購(gòu)進(jìn)B種飲料 箱，根據(jù)題意得 解得 答：購(gòu)進(jìn)A種飲料 箱，則購(gòu)進(jìn)B種飲料 箱 （2）解：設(shè)購(gòu)進(jìn) 種飲料 箱（ ），200箱飲料全部賣(mài)完可獲利潤(rùn) 元， 則 隨 的增大而減小， 又 時(shí)， 可獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是 （元） 【思路引導(dǎo)】（1）設(shè)購(gòu)進(jìn)A種飲料 箱，則購(gòu)進(jìn)B種飲料 箱，根據(jù)題意列出方程組求解即可； （2）設(shè)購(gòu)進(jìn) 種飲料 箱（ ），200箱飲料全部賣(mài)完可獲利潤(rùn) 元，根據(jù)題意列出函數(shù)解析式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可。 考點(diǎn)04：應(yīng)用—行程問(wèn)題與數(shù)字問(wèn)題 26．（2023八上·長(zhǎng)清期中）某校舉行籃球賽，每場(chǎng)比賽都要分出勝負(fù)，每隊(duì)勝一場(chǎng)得2分，負(fù)一場(chǎng)得1分．八年級(jí)一班在16場(chǎng)比賽中得26分，設(shè)該班勝x場(chǎng)，負(fù)y場(chǎng)，則根據(jù)題意，下列方程組中正確的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【完整解答】解：設(shè)該班勝x場(chǎng)，負(fù)y場(chǎng)， 依題意得： ． 故答案為：A． 【思路引導(dǎo)】設(shè)該班勝x場(chǎng)，負(fù)y場(chǎng)，根據(jù)題意列出方程組。 27．（2020八上·皇姑期末）為了研究吸煙是否對(duì)肺癌有影響，某腫瘤研究所隨機(jī)地調(diào)查了10000人，并進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析.結(jié)果顯示：在吸煙者中患肺癌的比例是2.5%，在不吸煙者中患肺癌的比例是0.5%，吸煙者患肺癌的人數(shù)比不吸煙者患肺癌的人數(shù)多22人.如果設(shè)這10000人中，吸煙者患肺癌的人數(shù)為x，不吸煙者患肺癌的人數(shù)為y，根據(jù)題意，下面列出的方程組正確的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【完整解答】解：由于設(shè)吸煙者患肺癌的人數(shù)為x，不吸煙者患肺癌的人數(shù)為y，根據(jù)題意：“吸煙者患肺癌的人數(shù)比不吸煙者患肺癌的人數(shù)多22人”和“吸煙者和不吸煙者總?cè)藬?shù)不10000”分別得出等式方程組成方程組： ． 故答案為：B． 【思路引導(dǎo)】由于設(shè)吸煙者患肺癌的人數(shù)為x，不吸煙者患肺癌的人數(shù)為y，根據(jù)題意：“吸煙者患肺癌的人數(shù)比不吸煙者患肺癌的人數(shù)多22人”和“吸煙者和不吸煙者總?cè)藬?shù)不10000”即可得出等式方程組。 28．（2023八上·南海期中）若關(guān)于x，y的方程組與的解相同，則的值為　 　． 【答案】2 【完整解答】解：由題意知，兩個(gè)方程組的相同解為，把代入第一個(gè)方程組中的第二個(gè)方程得：；把代入第二個(gè)方程組中的第二個(gè)方程得：； 解方程組，得 ，則 故答案為：2． 【思路引導(dǎo)】先求出，再求出，最后代入計(jì)算求解即可。 29．（2023八上·南岸期末）重慶某快遞公司規(guī)定：寄件不超過(guò) 的部分按起步價(jià)計(jì)費(fèi)，超過(guò) 不足 ，按照 收費(fèi)；超過(guò) 不足 按照 收費(fèi)，以此類(lèi)推.某產(chǎn)家分別寄快遞到重慶市內(nèi)和北京，其中，寄往重慶市內(nèi)的起步價(jià)為 元，超過(guò)部分 元/ ；寄往北京的起步價(jià)為 元，超過(guò)部分 元/ .已知一個(gè)寄往重慶市內(nèi)的快件，質(zhì)量為 ，收費(fèi)13元；一個(gè)寄往北京的快件，質(zhì)量為 ，收費(fèi)42元.如果一個(gè)寄往北京的快件，質(zhì)量為 ，應(yīng)收費(fèi)　 　元. 【答案】30 【完整解答】解：依題意，得： ， 解得 ， 寄往北京市快件重2.8kg按照3kg收費(fèi)， 應(yīng)收費(fèi)： 元， 故答案為：30. 【思路引導(dǎo)】根據(jù)寄往重慶和北京的質(zhì)量和費(fèi)用，可得關(guān)于a、b的二元一次方程組，求解得出a,b的值，然后2.8kg按照3kg收費(fèi)，代入即可求解. 30．（2023八上·衢州期末）小聰從甲地勻速步行前往乙地，同時(shí)小明從乙地沿同一路線勻速步行前往甲地，兩人之間的距離y（m）與步行時(shí)間x（min）之間的函數(shù)關(guān)系式如圖中折線段AB﹣BC﹣CD所示. （1）小聰與小明出發(fā) 　 　min相遇； （2）在步行過(guò)程中，若小明先到達(dá)甲地，小明的速度是 　 　m/min. 【答案】（1）25 （2）100 【完整解答】解：（1）由圖象可得小聰與小明出發(fā)25min相遇. 故答案為：25； （2）設(shè)小聰步行的速度為V1m/min，小明步行的速度為V2m/min，且V2＞V1， 則 ， 解得： ， ∴小明的速度為： ； 故答案為： . 【思路引導(dǎo)】（1）由圖象可得小聰與小明出發(fā)25min相遇； （2）設(shè)小聰步行的速度為V1m/min，小明步行的速度為V2m/min，且V2＞V1，由題意可得25V1+25V2=4500，(56.25-25)V1=25V2，聯(lián)立求解即可. 31．（2023八上·寶安期末）列方程組解應(yīng)用題：全自動(dòng)紅外體溫檢測(cè)儀是一種非接觸式人體測(cè)溫系統(tǒng)，通過(guò)人體溫度補(bǔ)償、溫度自動(dòng)校正等技術(shù)實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)確、快速的測(cè)溫工作，具備人體非接觸測(cè)溫、高溫報(bào)警等功能．為了提高體溫檢測(cè)效率，某醫(yī)院引進(jìn)了一批全自動(dòng)紅外體溫檢測(cè)儀．通過(guò)一段時(shí)間使用發(fā)現(xiàn)，全自動(dòng)紅外體溫檢測(cè)儀的平均測(cè)溫用時(shí)比人工測(cè)溫快2秒，全自動(dòng)紅外體溫檢測(cè)儀檢測(cè)60個(gè)人的體溫的時(shí)間比人工檢測(cè)40個(gè)人的體溫的時(shí)間還少50秒，請(qǐng)計(jì)算全自動(dòng)紅外體溫檢測(cè)儀和人工測(cè)量測(cè)溫的平均時(shí)間分別是多少秒？ 【答案】解：設(shè)全自動(dòng)紅外體溫檢測(cè)儀的平均測(cè)溫用時(shí)為x秒，則人工測(cè)量的平均測(cè)溫用時(shí)為y秒，則 解得 答：全自動(dòng)紅外體溫檢測(cè)儀和人工測(cè)量測(cè)溫的平均時(shí)間分別是秒和秒． 【思路引導(dǎo)】設(shè)全自動(dòng)紅外體溫檢測(cè)儀的平均測(cè)溫用時(shí)為x秒，則人工測(cè)量的平均測(cè)溫用時(shí)為y秒，根據(jù)題意列出方程組求解即可。 32．（2023八上·廣南期末）如圖，已知點(diǎn)A、點(diǎn)B在數(shù)軸上表示的數(shù)分別是-20、64，動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒若干個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向右勻速運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒若干個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向左勻速運(yùn)動(dòng)．若點(diǎn)M、N同時(shí)出發(fā)，則出發(fā)后12秒相遇；若點(diǎn)N先出發(fā)7秒，則點(diǎn)M出發(fā)10秒后與點(diǎn)N相遇．動(dòng)點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)的速度分別是多少？ 【答案】解：設(shè)動(dòng)點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)的速度分別是每秒x、y個(gè)單位長(zhǎng)度， ∵點(diǎn)A、B表示的數(shù)分別是-20、64， ∴線段AB長(zhǎng)為， ∴由題意有， 解得 ∴動(dòng)點(diǎn)M每秒運(yùn)動(dòng)5個(gè)單位長(zhǎng)度，動(dòng)點(diǎn)N每秒運(yùn)動(dòng)2個(gè)單位長(zhǎng)度． 【思路引導(dǎo)】設(shè)動(dòng)點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)的速度分別是每秒x、y個(gè)單位長(zhǎng)度，根據(jù)點(diǎn)A、B表示的數(shù)可得出線段AB的長(zhǎng)，由題意列出方程組，即可得出x、y的值。 33．（2022八上·黃岡開(kāi)學(xué)考）為加強(qiáng)中小學(xué)生安全教育，某校組織了“防溺水”知識(shí)競(jìng)賽，為對(duì)表現(xiàn)優(yōu)異的班級(jí)進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，學(xué)校購(gòu)買(mǎi)了若干副乒乓球拍和羽毛球拍，已知購(gòu)買(mǎi)2副乒乓球拍和1副羽毛球拍共需116元，購(gòu)買(mǎi)3副乒乓球拍和2副羽毛球拍共需204元． （1）求購(gòu)買(mǎi)1副乒乓球拍和1副羽毛球拍各需多少元？ （2）若學(xué)校購(gòu)買(mǎi)乒乓球拍和羽毛球拍共30副，且支出不超過(guò)1480元，則最多能夠購(gòu)買(mǎi)多少副羽毛球拍？ 【答案】（1）解：設(shè)購(gòu)買(mǎi)1副乒乓球拍需要x元，1副羽毛球拍需要y元， 根據(jù)題意，得，解得． 答：購(gòu)買(mǎi)1副乒乓球拍需要28元，1副羽毛球拍需要60元 （2）解：設(shè)購(gòu)買(mǎi)a副羽毛球拍．根據(jù)題意，得28（30-a）+60a≤1480，解得a≤20． 答：最多能夠購(gòu)買(mǎi)20副羽毛球拍． 【思路引導(dǎo)】（1）設(shè)購(gòu)買(mǎi)1副乒乓球拍需要x元，1副羽毛球拍需要y元，根據(jù)題意列出方程組，解方程組求出x，y的值，即可得出答案； （2）設(shè)購(gòu)買(mǎi)a副羽毛球拍，根據(jù)題意列出不等式，求出不等式的解集，即可得出答案. 34．（2023八上·河南期末）下面是學(xué)習(xí)二元一次方程組時(shí)，老師提出的問(wèn)題和兩名同學(xué)所列的方程. 問(wèn)題：某個(gè)工人一天工作6個(gè)小時(shí)，可以生產(chǎn)零件一整箱和不足一箱的20個(gè)；由于特殊情況，今天他只工作4個(gè)小時(shí)，生產(chǎn)零件一整箱和不足一箱的4個(gè)，問(wèn)這一箱零件和該工人每小時(shí)能生產(chǎn)的零件數(shù)分別是多少？ 小明所列方程：6y=x+204y=x+4 小亮所列方程： 根據(jù)以上信息，解答下列問(wèn)題. （1）以上兩個(gè)方程（組）中x意義是否相同？　 ?。ㄌ睢笆恰被颉胺瘛保?； （2）小亮的方程所用等量關(guān)系　 ?。ㄌ钚蛱?hào)，“①每個(gè)小時(shí)生產(chǎn)的零件數(shù)”或“②4個(gè)小時(shí)生產(chǎn)的零件數(shù)相等”）； （3）從以上兩個(gè)方程（組）中任選一個(gè)求解，完整解答老師提出的問(wèn)題. 【答案】（1）是 （2）② （3）解：6y=x+20①4y=x+4②， 把①-②得：，解得， 把代入①得：，解得； 去分母得：， 去括號(hào)：， 移項(xiàng)得：， 合并得：， 系數(shù)化為1得：， ∴， ∴這一箱零件和該工人每小時(shí)能生產(chǎn)的零件數(shù)分別是28個(gè)、8個(gè). 【完整解答】解：（1）由小明所列方程的意義可知，小明方程中x表示的是這一箱零件的個(gè)數(shù)，而由小亮所列方程的意義可知，小亮方程中的x表示的是這一箱零件的個(gè)數(shù)， ∴以上兩個(gè)方程（組）中x意義相同， 故答案為：是； （2）根據(jù)小亮所列方程的意義可知小亮的方程所用等量關(guān)系4個(gè)小時(shí)生產(chǎn)的零件數(shù)相等， 故答案為：②； 【思路引導(dǎo)】（1）方程組和方程中x表示的都是這一箱零件的個(gè)數(shù)，據(jù)此即可判斷； （2） 4個(gè)小時(shí)生產(chǎn)的零件數(shù)相等 ； （3）分別解方程組或方程即可. 35．（2023八上·梁河月考）實(shí)施鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略，打造鄉(xiāng)村美麗家園．為解決某鎮(zhèn)鄉(xiāng)村灌溉問(wèn)題，縣政府部門(mén)招標(biāo)一工程隊(duì)，負(fù)責(zé)完成在某村山腳下修建一座水庫(kù)的土方施工任務(wù)．該工程隊(duì)有 ， 兩種型號(hào)的挖掘機(jī)，已知4臺(tái) 型和2臺(tái) 型挖掘機(jī)同時(shí)施工一小時(shí)挖土150立方米；3臺(tái) 型和7臺(tái) 型挖掘機(jī)同時(shí)施工一小時(shí)挖土195立方米．每臺(tái) 型挖掘機(jī)一小時(shí)的施工費(fèi)用為300元，每臺(tái) 型挖掘機(jī)一小時(shí)的施工費(fèi)用為180元． （1）分別求每臺(tái) 型， 型挖掘機(jī)一小時(shí)挖土多少立方米？ （2）若不同數(shù)量的 型和 型挖掘機(jī)共12臺(tái)同時(shí)施工4小時(shí)，至少完成1080立方米的挖土量，且總費(fèi)用不超過(guò)12960元，問(wèn)施工時(shí)有哪幾種調(diào)配方案？ 【答案】（1）解：設(shè)每臺(tái)A型挖掘機(jī)一小時(shí)挖土x立方米，每臺(tái)B型挖掘機(jī)一小時(shí)挖土y立方米， 依題意得： ， 解得： ． 答：每臺(tái)A型挖掘機(jī)一小時(shí)挖土30立方米，每臺(tái)B型挖掘機(jī)一小時(shí)挖土15立方米； （2）解：設(shè)調(diào)配m臺(tái)A型挖掘機(jī)，則調(diào)配（12-m）臺(tái)B型挖掘機(jī)， 依題意得： ， 解得：6≤m≤9． 又∵m為正整數(shù)， ∴m可以為6，7，8，9， ∴施工時(shí)共有4種調(diào)配方案， 方案1：調(diào)配6臺(tái)A型挖掘機(jī)，6臺(tái)B型挖掘機(jī)； 方案2：調(diào)配7臺(tái)A型挖掘機(jī)，5臺(tái)B型挖掘機(jī)； 方案3：調(diào)配8臺(tái)A型挖掘機(jī)，4臺(tái)B型挖掘機(jī)； 方案4：調(diào)配9臺(tái)A型挖掘機(jī)，3臺(tái)B型挖掘機(jī)． 【思路引導(dǎo)】（1）設(shè)每臺(tái)A型挖掘機(jī)一小時(shí)挖土x立方米，每臺(tái)B型挖掘機(jī)一小時(shí)挖土y立方米，根據(jù)題意列出方程組，解之即可得出答案； （2）設(shè)調(diào)配m臺(tái)A型挖掘機(jī)，則調(diào)配（12-m）臺(tái)B型挖掘機(jī)，根據(jù)題意列出不等式組，可得出m的范圍，因?yàn)閙為正整數(shù)，即可得出所有的方案。 考點(diǎn)05：一次函數(shù)與二元一次方程組的綜合 36．（2023八上·濟(jì)南期末）如圖，一次函數(shù)y＝2x＋1的圖象與y＝kx＋b的圖象相交于點(diǎn)A，則方程組的解是（　?。? A． B． C． D． 【答案】C 【完整解答】解：∵點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為3， 當(dāng)2x+1=3時(shí)，， ∴一次函數(shù)y＝2x＋1的圖象與y＝kx＋b的圖象相交于點(diǎn)A坐標(biāo)為（1，3）， 又∵方程組可變形為， ∴方程組的解為：． 故答案為：C． 【思路引導(dǎo)】根據(jù)一次函數(shù)與二元一次方程組的關(guān)系可得：兩一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)即是二元一次方程組的解。 37．（2023八上·膠州期末）已知一次函數(shù)y＝k1x+b1和一次函數(shù)y1＝k2x+b2的自變量x與因變量y1，y2的部分對(duì)應(yīng)數(shù)值如表所示，則關(guān)于x、y的二元一次方程組的解為（　?。?A． B． C． D． 【答案】C 【完整解答】解：由表格可知，一次函數(shù)y1=k1x+b1和一次函數(shù)y2=k2x+b2的圖象都經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2，3)， ∴一次函數(shù)y1=k1x與y=k2x+b的圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)為(2，3)， ∴關(guān)于x，y的二元一次方程組的解為． 故答案為：C． 【思路引導(dǎo)】由表格可知，一次函數(shù)y1=k1x+b1和一次函數(shù)y2=k2x+b2的圖象都經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2，3)，再根據(jù)一次函數(shù)與二元一次方程組的關(guān)系即可得到答案。 38．（2023八上·南京期末）已知一次函數(shù)y＝ax+b和y＝kx的圖象交于點(diǎn)P（﹣4，2），則關(guān)于x、y的二元一次方程組 的解是　 　. 【答案】 【完整解答】解：∵一次函數(shù)y＝ax+b和y＝kx的圖象交于點(diǎn)P（﹣4，2）， ∴則關(guān)于x、y的二元一次方程組 的解是 . 故答案為：. 【思路引導(dǎo)】函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)即是相對(duì)應(yīng)方程組的解，據(jù)此即得. 39．（2023八上·丹東期末）已知：直線與直線的圖象交點(diǎn)如圖所示，則方程組的解為　 ?。? 【答案】 【完整解答】解：∵函數(shù)y=x-b與函數(shù)y=mx+6的交點(diǎn)坐標(biāo)是（2，3）， ∴方程組的解為． 故答案為． 【思路引導(dǎo)】根據(jù)一次函數(shù)與二元一次方程的關(guān)系：兩個(gè)一次函數(shù)的圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)即是二元一次方程組的解求解即可。 40．（2019八上·句容期末）學(xué)完《平面直角坐標(biāo)系》和《一次函數(shù)》這兩章后，老師布置了這樣一道思考題：已知：如圖，在長(zhǎng)方形 中， ， ，點(diǎn) 為 的中點(diǎn)， 和 相交于點(diǎn) .求 的面積.小明同學(xué)應(yīng)用所學(xué)知識(shí)，順利地解決了此題，他的思路是這樣的：以 所在的直線為 軸，以 所在的直線為 軸建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，寫(xiě)出圖中一些點(diǎn)坐標(biāo).根據(jù)一次函數(shù)的知識(shí)求出點(diǎn) 的坐標(biāo)，從而求得 的面積.請(qǐng)你按照小明的思路解決這道思考題. 【答案】解：如圖建立直角坐標(biāo)系， 則點(diǎn)B（0，0）、C（4，0）、A（0，2）、D（4，2）、E（2，2）. 設(shè)直線BD的解析式為y＝kx， 將點(diǎn)D（4，2）代入y＝kx，得2=4k， 解得：k＝ ， ∴直線BD的解析式為y＝ x； 設(shè)直線CE的解析式為y＝mx＋n， 將點(diǎn)C（4，0），E（2，2）代入y＝mx＋n，得 ， 解得： ， ∴直線CE的解析式為y＝?x＋4， 聯(lián)立直線BD、CE的解析式成方程組 ， 解得： ， ∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（ ， ）， ∴S△BPC＝ BC?yP＝ ×4× ＝ . 【思路引導(dǎo)】以點(diǎn)B為原點(diǎn)、BC所在的直線為x軸、BA所在的直線為y軸建立直角坐標(biāo)系，由此可得出點(diǎn)B、A、C、E、D的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可得出直線BD、CE的解析式，聯(lián)立兩直線解析式成方程組，解之即可得出點(diǎn)P的坐標(biāo)，再根據(jù)三角形的面積公式即可求出△BPC的面積. 41．已知：如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線 ： 與坐標(biāo)軸分別相交于點(diǎn)A、B與 ： 相交于點(diǎn)C． （1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)； （2）若平行于y軸的直線 交于直線 于點(diǎn)E，交直線 于點(diǎn)D，交x軸于點(diǎn)M，且 ，求a的值； 【答案】（1）解：聯(lián)立兩直線解析式得： ， 解得： ， 則點(diǎn)C坐標(biāo)為 （2）解：由題意： 解得 或6 【思路引導(dǎo)】（1）通過(guò)二元一次方程組，解出x、y的值，即為C點(diǎn)的坐標(biāo)。（2）根據(jù)題意寫(xiě)出M、D、E的坐標(biāo)，根據(jù)DE=2DM，求出a的值。 42．（2018八上·靖遠(yuǎn)期末）一輛客車(chē)從甲地開(kāi)往乙地，一輛轎車(chē)從乙地開(kāi)往甲地，兩車(chē)同時(shí)出發(fā)，兩車(chē)行駛x小時(shí)后，記客車(chē)離甲地的距離y1千米，轎車(chē)離甲地的距離y2千米，y1、y2關(guān)于x的函數(shù)圖象如圖所示： ①根據(jù)圖象直接寫(xiě)出y1、y2關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式； ②當(dāng)兩車(chē)相遇時(shí)，求此時(shí)客車(chē)行駛的時(shí)間． ③相遇后，兩車(chē)相距200千米時(shí)，求客車(chē)又行駛的時(shí)間． 【答案】解：①設(shè)y1＝kx，則將(10，600)代入得出：600＝10k， 解得：k＝60， ∴y1＝60x (0≤x≤10)， 設(shè)y2＝ax+b，則將(0，600)，(6，0)代入得出： ， 解得： ， ∴y2＝﹣100x+600 (0≤x≤6)； ②當(dāng)兩車(chē)相遇時(shí)，y1＝y(tǒng)2，即60x＝﹣100x+600 解得：x＝ ； ∴當(dāng)兩車(chē)相遇時(shí)，此時(shí)客車(chē)行駛了 小時(shí)； ③相遇后相距200千米，則y1﹣y2＝200，即60x+100x﹣600＝200， 解得：x＝5 5﹣ = ， ∴相遇后，兩車(chē)相距200千米時(shí)，客車(chē)又行駛的時(shí)間 小時(shí)． 【思路引導(dǎo)】（1）根據(jù)圖象，用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；（2）結(jié)合（1），當(dāng)兩車(chē)相遇時(shí)，y1＝y(tǒng)2，即60x＝﹣100x+600；（3）結(jié)合圖象，可得：相遇后相距200千米，則y1﹣y2＝200，即60x+100x﹣600＝200. 43．（2018八上·蘇州期末）如圖，直線y= x+6與x軸、y軸分別相交于點(diǎn)E、F，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-6，0），P（x，y）是直線y= x+6上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)． （1）在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，試寫(xiě)出△OPA的面積s與x的函數(shù)關(guān)系式； （2）當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到什么位置，△OPA的面積為 ，求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)； （3）過(guò)P作EF的垂線分別交x軸、y軸于C、D．是否存在這樣的點(diǎn)P，使△COD≌△FOE？若存在，直接寫(xiě)出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)（不要求寫(xiě)解答過(guò)程）；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 【答案】（1）解：∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-6，0）， ∴OA=6， ∵點(diǎn)P在直線 上， ∴可設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為 ， ∵直線 與x軸交于點(diǎn)E，和y軸交于點(diǎn)F， ∴點(diǎn)E、F的坐標(biāo)分別為（-8，0）和（0，6）， ∴當(dāng)點(diǎn)P在第一、二象限時(shí)，△OPA的面積S= ·OA· = ； 當(dāng)點(diǎn)P在第三象限時(shí)，△OPA的面積S= ·OA· = ； ∴點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，△OPA的面積S與x的函數(shù)關(guān)系式是S= 或S= （2）解：把S= 代入S= 和S= 得： 和 ， 解得： 或 ， ∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為 或 （3）解：假設(shè)存在P點(diǎn)，使△COD≌△FOE，則OD=OE=8，OC=OF=6，①如圖， 當(dāng)點(diǎn)D在y軸的負(fù)半軸時(shí)，點(diǎn)C在x軸的負(fù)半軸，∵OD=8，OC=6，∴點(diǎn)D、C的坐標(biāo)分別為（0，-8）和（-6，0），設(shè)直線CD的解析式為：y=kx+b，則： ，解得 ， ∴ ， 由 ，解得： ， ∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為 ； ②如下圖所示：當(dāng)點(diǎn)D在y軸正半軸時(shí)，點(diǎn)C在x軸的正半軸，同理可解得此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為 ； 綜上所述，存在P點(diǎn)，使△COD≌△FOE，P的坐標(biāo)是 或 【思路引導(dǎo)】 （1）求出P點(diǎn)坐標(biāo)，當(dāng)點(diǎn)P在第一、二象限時(shí)，根據(jù)三角形的面積公式求出面積即可；當(dāng)點(diǎn)P在第三象限時(shí)，根據(jù)三角形的面積公式求出解析式即可。 （2）把S的值代入解析式即可。 （3）根據(jù)全等求出OC、OD的值，如圖①，求出C、D的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出CD所在的直線方程，再解二元一次方程組求出兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)即可；圖②同理。 44．（2023八上·晉中期末）如圖，直線 y＝－x+4 和直線 y＝2x+1 相交于點(diǎn) A，分別與 y 軸交于 B，C 兩點(diǎn)． （1）求點(diǎn) A 的坐標(biāo)； （2）在 x 軸上有一動(dòng)點(diǎn) P（a，0），過(guò)點(diǎn) P 作 x 軸的垂線，分別交函數(shù) y＝－x+4和 y＝2x+1 的圖象于點(diǎn) D，E，若 DE＝6，求 a 的值． （3）在（2）的條件下，點(diǎn) Q 為 x 軸負(fù)半軸上任意一點(diǎn)，直接寫(xiě)出△DEQ 為等腰三角形時(shí) Q 點(diǎn)的坐標(biāo)． 【答案】（1）解：由題意可得： ， 解之得： ∴A（1，3） （2）解：∵P（a ，0） ∴D（a，-a+4）E（a，2a+1） 當(dāng)點(diǎn) P 在 A 點(diǎn)右側(cè)時(shí)， DE=2a+1-(-a+4) ∵DE=6 ∴2a+1-(-a+4)=6 ∴a=3 當(dāng)點(diǎn) P 在 A 點(diǎn)左側(cè)時(shí)， DE=-a+4-(2a+1) ∵DE=6 ∴-a+4-(2a+1)=6 ∴a=-1 ∴a=3 或 a=-1； （3）△DEQ 為等腰三角形時(shí) Q 點(diǎn)的坐標(biāo)為（3-，0），（-1-，0），（-1-，0） 【完整解答】解：（3）設(shè)Q（b ，0）， 當(dāng)a=3時(shí)， D（3，1），E（3，7），由（2）中圖可知此時(shí)只能DQ=DE， ∴(b-3)2+1=62， 解得 b1=，b2=（舍去）， ∴Q（ ，0）； 當(dāng)a=-1時(shí)， D（-1，5），E（-1，-1）， DQ2=(b+1)2+25，DE2=36，EQ2=(b+1)2+1， 當(dāng)DQ=DE時(shí)， (b+1)2+25 =36， 解得 b1=，b2=（舍去）， 當(dāng)EQ=DE時(shí)， (b+1)2+1 =36， 解得 b1=，b2=（舍去）， 當(dāng)DQ=EQ時(shí)， (b+1)2+25 = (b+1)2+1，無(wú)解． 綜上可知，△DEQ 為等腰三角形時(shí) Q 點(diǎn)的坐標(biāo)為（3-，0），（-1-，0），（-1-，0）． 【思路引導(dǎo)】（1）根據(jù)一次函數(shù)與二元一次方程組的關(guān)系可得，再求出x、y的值，即可得到點(diǎn)A的坐標(biāo)； （2）分兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)P在A點(diǎn)右側(cè)時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)P在A點(diǎn)左側(cè)時(shí)，再分別畫(huà)出圖象并列出方程求解即可； （3）分三種情況：①當(dāng)DQ=DE時(shí)，②當(dāng)EQ=DE時(shí)，③當(dāng)DQ=EQ時(shí)，再分別列出方程求解即可。 老舍文集（套）四大名著（套）總費(fèi)用（元）初一（1）班64860初一（2）班54800飲料成本（元/箱）銷(xiāo)售價(jià)（元/箱）25353550x…﹣2﹣1012…y1…﹣10123…y2…﹣5﹣3﹣113…

英語(yǔ)朗讀寶
相關(guān)資料 更多
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識(shí)產(chǎn)權(quán)，請(qǐng)掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請(qǐng) 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
初中數(shù)學(xué)北師大版八年級(jí)上冊(cè)電子課本

章節(jié)綜合與測(cè)試

版本： 北師大版

年級(jí)： 八年級(jí)上冊(cè)

切換課文
  • 課件
  • 教案
  • 試卷
  • 學(xué)案
  • 更多
所有DOC左下方推薦
歡迎來(lái)到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬(wàn)優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬(wàn)優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬(wàn)教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊(cè)
qrcode
二維碼已過(guò)期
刷新

微信掃碼，快速注冊(cè)

手機(jī)號(hào)注冊(cè)
手機(jī)號(hào)碼

手機(jī)號(hào)格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號(hào)

注冊(cè)即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊(cè)協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊(cè)
手機(jī)號(hào)注冊(cè)
微信注冊(cè)

注冊(cè)成功

返回
頂部